ادغام یک تابع کسری - گویا.
روش ضریب نامشخص

ما به کار روی ادغام کسرها ادامه می دهیم. قبلاً در درس به انتگرال‌های برخی از کسرها نگاه کرده‌ایم و این درس را به تعبیری می‌توان ادامه آن دانست. برای درک موفقیت آمیز مطالب، مهارت های ادغام اولیه مورد نیاز است، بنابراین اگر به تازگی مطالعه انتگرال ها را شروع کرده اید، یعنی مبتدی هستید، باید با مقاله شروع کنید. انتگرال نامعین. نمونه هایی از راه حل ها.

به اندازه کافی عجیب، اکنون ما نه چندان درگیر یافتن انتگرال ها، بلکه... در حل سیستم های معادلات خطی خواهیم بود. در این رابطه فوریتوصیه می‌کنم در درس حاضر شوید، یعنی باید در روش‌های جایگزینی (روش مدرسه و روش جمع (تفریق) معادلات سیستمی) به خوبی مسلط باشید.

تابع گویا کسری چیست؟ به عبارت ساده، تابع کسری - گویا کسری است که صورت و مخرج آن شامل چند جمله ای یا حاصلضرب چندجمله ای است. علاوه بر این، کسری ها پیچیده تر از موارد مورد بحث در مقاله هستند ادغام برخی کسرها.

ادغام یک تابع کسری - گویا مناسب

بلافاصله یک مثال و یک الگوریتم معمولی برای حل انتگرال یک تابع کسری - گویا.

مثال 1

مرحله 1.اولین کاری که ما همیشه هنگام حل انتگرال یک تابع گویا کسری انجام می دهیم این است که سؤال زیر را روشن کنیم: آیا کسر مناسب است؟این مرحله به صورت شفاهی انجام می شود و اکنون توضیح می دهم که چگونه:

ابتدا به عددگر نگاه می کنیم و متوجه می شویم مدرک ارشدچند جمله ای:

توان پیشروی صورتگر دو است.

حال به مخرج نگاه می کنیم و متوجه می شویم مدرک ارشدمخرج. راه واضح این است که پرانتزها را باز کنید و اصطلاحات مشابه را بیاورید، اما می‌توانید این کار را ساده‌تر انجام دهید هر یکبالاترین درجه را در پرانتز پیدا کنید

و به طور ذهنی ضرب کنید: - بنابراین بالاترین درجه مخرج برابر با سه است. کاملاً بدیهی است که اگر واقعاً پرانتزها را باز کنیم، مدرکی بیشتر از سه نخواهیم گرفت.

نتیجه: درجه اصلی کسر موکداکمتر از بالاترین توان مخرج است، به این معنی که کسر مناسب است.

اگر در این مثال، شمارنده شامل چند جمله ای 3، 4، 5 و غیره است. درجه، سپس کسر خواهد بود اشتباه.

اکنون فقط توابع گویا کسری صحیح را در نظر خواهیم گرفت. در موردی که درجه صورت بزرگتر یا مساوی با درجه مخرج باشد در پایان درس بحث خواهد شد.

گام 2.بیایید مخرج را فاکتورسازی کنیم. بیایید به مخرج خود نگاه کنیم:

به طور کلی، این در حال حاضر محصول عوامل است، اما، با این وجود، از خود می‌پرسیم: آیا می‌توان چیز دیگری را گسترش داد؟ موضوع شکنجه بدون شک مثلث مربع خواهد بود. حل معادله درجه دوم:

تفکیک بزرگتر از صفر است، به این معنی که سه جمله ای واقعاً می تواند فاکتورگیری شود:

قانون کلی: همه چیز در مخرج را می توان فاکتور گرفت - فاکتور گرفت

بیایید شروع به تدوین یک راه حل کنیم:

مرحله 3.با استفاده از روش ضرایب نامشخص، انتگرال را به مجموع کسرهای ساده (بنیادی) تبدیل می کنیم. حالا واضح تر خواهد شد.

بیایید به تابع انتگرال خود نگاه کنیم:

و، می دانید، به نحوی یک فکر شهودی مطرح می شود که خوب است کسر بزرگ خود را به چند کسر کوچک تبدیل کنیم. به عنوان مثال، مانند این:

این سوال پیش می آید که آیا اصلا امکان این کار وجود دارد؟ اجازه دهید نفس راحتی بکشیم، قضیه مربوط به آنالیز ریاضی بیان می‌کند - ممکن است. چنین تجزیه ای وجود دارد و منحصر به فرد است.

فقط یک مورد وجود دارد، شانس این است خدا حافظما نمی دانیم، از این رو نام - روش ضرایب نامعین است.

همانطور که حدس زدید، حرکات بعدی بدن همینطور است، غلغله نکنید! صرفاً با هدف شناخت آنها - برای یافتن اینکه آنها با چه چیزی برابر هستند.

مواظب باش فقط یکبار مفصل توضیح میدم!

بنابراین، بیایید شروع به رقصیدن کنیم:

در سمت چپ عبارت را به مخرج مشترک کاهش می دهیم:

اکنون می توانیم با خیال راحت از مخرج ها خلاص شویم (زیرا آنها یکسان هستند):

در سمت چپ، براکت ها را باز می کنیم، اما فعلاً ضرایب مجهول را لمس نکنید:

در همان زمان، قانون مدرسه را برای ضرب چند جمله ای ها تکرار می کنیم. وقتی معلم بودم یاد گرفتم که این قانون را با صورت مستقیم تلفظ کنم: برای ضرب یک چند جمله ای در یک چند جمله ای، باید هر جمله یک چند جمله ای را در هر جمله چند جمله ای دیگر ضرب کنید..

از نظر یک توضیح واضح، بهتر است ضرایب را در پرانتز قرار دهید (البته من شخصاً هرگز برای صرفه جویی در وقت این کار را انجام نمی دهم):

ما یک سیستم معادلات خطی می سازیم.
ابتدا به دنبال مدارک ارشد می گردیم:

و ضرایب مربوطه را در معادله اول سیستم می نویسیم:

نکته زیر را به خوبی به خاطر بسپارید. اگر هیچ s در سمت راست اصلا وجود نداشت چه اتفاقی می افتاد؟ بیایید بگوییم، آیا بدون هیچ مربعی خودنمایی می کند؟ در این صورت، در معادله سیستم لازم است که یک صفر در سمت راست قرار دهیم: . چرا صفر؟ اما چون در سمت راست همیشه می توانید همین مربع را با صفر نسبت دهید: اگر در سمت راست هیچ متغیر و/یا یک جمله آزاد وجود نداشته باشد، در سمت راست معادلات متناظر سیستم صفر قرار می دهیم.

ضرایب مربوطه را در معادله دوم سیستم می نویسیم:

و در نهایت آب معدنی اعضای رایگان را انتخاب می کنیم.

اوه... یه جوری شوخی کردم. شوخی به کنار - ریاضیات یک علم جدی است. در گروه مؤسسه ما، وقتی استادیار گفت که عبارات را در امتداد خط اعداد پراکنده می کند و بزرگترین آنها را انتخاب می کند، هیچ کس نخندید. جدی بگیریم گرچه... هر که زنده بماند تا پایان این درس را ببیند، همچنان آرام لبخند خواهد زد.

سیستم آماده است:

ما سیستم را حل می کنیم:

(1) از معادله اول بیان می کنیم و آن را به معادلات 2 و 3 سیستم تبدیل می کنیم. در واقع، بیان (یا حرف دیگری) از معادله دیگر ممکن بود، اما در این مورد، بیان آن از معادله 1 سودمند است، زیرا وجود دارد کوچکترین شانس.

(2) ما عبارات مشابه را در معادلات 2 و 3 ارائه می کنیم.

(3) معادلات 2 و 3 را ترم به ترم جمع می کنیم و برابری را بدست می آوریم که از آن نتیجه می شود که

(4) معادله دوم (یا سوم) را جایگزین می کنیم، از آنجا که آن را پیدا می کنیم

(5) جایگزین و وارد معادله اول، به دست آوردن .

اگر با روش های حل سیستم مشکلی دارید، آنها را در کلاس تمرین کنید. چگونه یک سیستم معادلات خطی را حل کنیم؟

پس از حل سیستم، همیشه مفید است که مقادیر یافت شده را بررسی کنید - جایگزین کنید هرمعادله سیستم، در نتیجه همه چیز باید "همگرا" شود.

تقریباً وجود دارد. ضرایب پیدا شد و:

کار تمام شده باید چیزی شبیه به این باشد:

همانطور که می بینید، دشواری اصلی کار نوشتن (به درستی!) و حل (درست!) یک سیستم معادلات خطی بود. و در مرحله آخر، همه چیز چندان دشوار نیست: ما از ویژگی های خطی بودن انتگرال نامعین استفاده می کنیم و ادغام می کنیم. لطفاً توجه داشته باشید که در زیر هر یک از سه انتگرال ما یک تابع پیچیده "رایگان" داریم؛ من در مورد ویژگی های ادغام آن در درس صحبت کردم. روش تغییر متغیر در انتگرال نامعین.

بررسی کنید: پاسخ را متمایز کنید:

تابع انتگرال اصلی به دست آمده است، به این معنی که انتگرال به درستی پیدا شده است.
در حین تأیید، ما مجبور شدیم که عبارت را به یک مخرج مشترک کاهش دهیم و این تصادفی نیست. روش ضرایب نامعین و کاهش یک عبارت به مخرج مشترک، اقدامات معکوس متقابل هستند.

مثال 2

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

بیایید از مثال اول به کسر برگردیم: . به راحتی می توان متوجه شد که در مخرج همه عوامل متفاوت هستند. این سوال پیش می آید که اگر مثلاً کسری زیر داده شود چه باید کرد: ? در اینجا ما درجاتی در مخرج داریم، یا از نظر ریاضی، مضرب. علاوه بر این، یک مثلث درجه دوم وجود دارد که نمی توان آن را فاکتور گرفت (به راحتی می توان تأیید کرد که ممیز معادله منفی است، بنابراین سه جمله ای را نمی توان فاکتور گرفت). چه باید کرد؟ بسط به مجموع کسرهای ابتدایی چیزی شبیه به آن خواهد بود با ضرایب مجهول در بالا یا چیز دیگری؟

مثال 3

یک تابع معرفی کنید

مرحله 1.بررسی اینکه آیا کسری مناسب داریم یا خیر
شمارنده اصلی: 2
بالاترین درجه مخرج: 8
یعنی کسر صحیح است.

گام 2.آیا می توان چیزی را در مخرج فاکتور گرفت؟ بدیهی است که نه، همه چیز از قبل تنظیم شده است. به دلایلی که در بالا ذکر شد نمی توان سه جمله ای مربع را به یک محصول تبدیل کرد. کاپوت ماشین. کار کمتر.

مرحله 3.بیایید یک تابع کسری - گویا را به عنوان مجموع کسرهای ابتدایی تصور کنیم.
در این حالت، بسط به شکل زیر است:

بیایید به مخرج خود نگاه کنیم:
هنگام تجزیه یک تابع کسری - گویا به مجموع کسرهای ابتدایی، سه نکته اساسی قابل تشخیص است:

1) اگر مخرج دارای یک عامل "تنها" به توان اول باشد (در مورد ما)، یک ضریب نامشخص در بالا قرار می دهیم (در مورد ما). مثال های شماره 1، 2 فقط شامل چنین عوامل "تنهایی" بودند.

2) اگر مخرج داشته باشد چندگانهضریب، سپس باید آن را به صورت زیر تجزیه کنید:
- یعنی به طور متوالی تمام درجات "X" را از درجه اول تا nام طی کنید. در مثال ما دو عامل چندگانه وجود دارد: و، یک نگاهی دیگر به بسطی که ارائه دادم بیندازید و مطمئن شوید که آنها دقیقاً طبق این قانون گسترش می یابند.

3) اگر مخرج حاوی یک چند جمله ای تجزیه ناپذیر درجه دوم باشد (در مورد ما)، پس هنگام تجزیه در صورتگر باید یک تابع خطی با ضرایب نامشخص بنویسید (در مورد ما با ضرایب نامشخص و ).

در واقع، مورد چهارم دیگری وجود دارد، اما من در مورد آن سکوت خواهم کرد، زیرا در عمل بسیار نادر است.

مثال 4

یک تابع معرفی کنید به عنوان مجموع کسرهای ابتدایی با ضرایب مجهول.

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. حل کامل و پاسخ در پایان درس.
الگوریتم را به شدت دنبال کنید!

اگر اصولی را که به وسیله آنها باید یک تابع کسری-عقلایی را به یک مجموع بسط دهید، درک می کنید، می توانید تقریباً هر انتگرال از نوع مورد بررسی را بجوید.

مثال 5

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

مرحله 1.بدیهی است کسر صحیح است:

گام 2.آیا می توان چیزی را در مخرج فاکتور گرفت؟ می توان. در اینجا مجموع مکعب ها است . با استفاده از فرمول ضرب اختصاری، مخرج را عامل کنید

مرحله 3.با استفاده از روش ضرایب نامعین، انتگرال را به مجموع کسرهای ابتدایی گسترش می دهیم:

لطفاً توجه داشته باشید که چند جمله ای را نمی توان فاکتورسازی کرد (بررسی کنید که ممیز منفی است)، بنابراین در بالا یک تابع خطی با ضرایب مجهول قرار می دهیم و نه فقط یک حرف.

کسر را به مخرج مشترک می آوریم:

بیایید سیستم را بسازیم و حل کنیم:

(1) از معادله اول بیان می کنیم و آن را جایگزین معادله دوم سیستم می کنیم (این منطقی ترین راه است).

(2) ما عبارات مشابه را در معادله دوم ارائه می کنیم.

(3) معادله دوم و سوم سیستم را ترم به ترم اضافه می کنیم.

همه محاسبات بعدی، در اصل، شفاهی هستند، زیرا سیستم ساده است.

(1) مجموع کسرها را مطابق با ضرایب پیدا شده یادداشت می کنیم.

(2) ما از خصوصیات خطی بودن انتگرال نامعین استفاده می کنیم. در انتگرال دوم چه اتفاقی افتاد؟ در پاراگراف آخر درس می توانید با این روش آشنا شوید. ادغام برخی کسرها.

(3) یک بار دیگر از ویژگی های خطی بودن استفاده می کنیم. در انتگرال سوم شروع به جداسازی مربع کامل می کنیم (بند ماقبل آخر درس ادغام برخی کسرها).

(4) انتگرال دوم را می گیریم، در سومین مربع کامل را انتخاب می کنیم.

(5) انتگرال سوم را بگیرید. آماده.

موضوع: ادغام کسرهای گویا.

توجه! هنگام مطالعه یکی از روش های اساسی انتگرال گیری: ادغام کسرهای گویا، لازم است چند جمله ای ها را در حوزه مختلط در نظر بگیرید تا اثبات های دقیق انجام شود. بنابراین لازم است از قبل مطالعه کنید برخی از خصوصیات اعداد مختلط و عملیات روی آنها.

ادغام کسرهای گویا ساده

اگر پ(z) و س(z) چند جمله ای در حوزه مختلط هستند، سپس آنها کسرهای گویا هستند. نامیده می شود درست، اگر مدرک پ(z) درجه کمتر س(z) ، و اشتباه، اگر مدرک آر کمتر از یک مدرک س.

هر کسری نامناسب را می توان به صورت زیر نشان داد: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z)،

آ آر(z) – چند جمله ای که درجه آن کمتر از درجه باشد س(z).

بنابراین، ادغام کسرهای گویا به ادغام چندجمله ای ها، یعنی توابع توانی، و کسرهای مناسب منتهی می شود، زیرا کسر مناسبی است.

تعریف 5. ساده ترین کسرها (یا ابتدایی) انواع کسرهای زیر هستند:

1) , 2) , 3) , 4) .

بیایید دریابیم که چگونه آنها ادغام می شوند.

3) (قبل از این مطالعه شده است).

قضیه 5. هر کسر مناسب را می توان به صورت مجموع کسرهای ساده (بدون اثبات) نشان داد.

نتیجه 1. اگر یک کسر گویا مناسب است و اگر در بین ریشه های چند جمله ای فقط ریشه های واقعی ساده وجود داشته باشد، در تجزیه کسری به مجموع کسرهای ساده فقط کسرهای ساده از نوع اول وجود خواهد داشت:

مثال 1.

نتیجه 2. اگر یک کسر گویا مناسب است و اگر در بین ریشه های چند جمله ای فقط چندین ریشه واقعی وجود داشته باشد، در تجزیه کسر به مجموع کسرهای ساده فقط کسرهای ساده از نوع 1 و 2 وجود خواهد داشت. :

مثال 2.

نتیجه 3. اگر یک کسر گویا مناسب است و اگر در بین ریشه های چند جمله ای فقط ریشه های مزدوج پیچیده ساده وجود داشته باشد، در تجزیه کسری به مجموع کسرهای ساده فقط کسرهای ساده از نوع 3 وجود خواهد داشت:

مثال 3.

نتیجه 4. اگر یک کسر گویا مناسب است و اگر در بین ریشه های چند جمله ای فقط چندین ریشه مزدوج پیچیده وجود داشته باشد، در تجزیه کسری به مجموع کسرهای ساده فقط کسرهای ساده 3 و 4 وجود خواهد داشت. انواع:

برای تعیین ضرایب مجهول در بسط داده شده به صورت زیر عمل کنید. ضلع چپ و راست انبساط حاوی ضرایب مجهول در ضرب می شوند برابری دو چند جمله ای به دست می آید. از آن، معادلات ضرایب مورد نیاز با استفاده از:

1. برابری برای هر مقدار X صادق است (روش مقدار جزئی). در این حالت، هر تعداد معادله به دست می‌آید که هر متر از آنها به فرد اجازه می‌دهد ضرایب مجهول را پیدا کند.

2. ضرایب برای همان درجات X (روش ضرایب نامعین) منطبق هستند. در این حالت، سیستمی از m - معادلات با m - مجهول ها به دست می آید که ضرایب مجهول از آن پیدا می شود.

3. روش ترکیبی.

مثال 5. یک کسری را بسط دهید به ساده ترین.

راه حل:

بیایید ضرایب A و B را پیدا کنیم.

روش 1 - روش ارزش خصوصی:

روش 2 - روش ضرایب نامشخص:

پاسخ:

ادغام کسرهای گویا

قضیه 6. انتگرال نامعین هر کسر گویا در هر بازه‌ای که مخرج آن برابر با صفر نباشد وجود دارد و از طریق توابع ابتدایی، یعنی کسرهای گویا، لگاریتم و تانژانت‌های قطبی بیان می‌شود.

اثبات

بیایید کسری گویا را به شکل زیر تصور کنیم: . در این حالت، جمله آخر یک کسر مناسب است و طبق قضیه 5 می توان آن را به صورت ترکیبی خطی از کسرهای ساده نشان داد. بنابراین، ادغام یک کسر گویا به ادغام یک چند جمله ای کاهش می یابد اس(ایکس) و کسرهای ساده که ضد مشتقات آنها، همانطور که نشان داده شد، شکلی دارند که در قضیه نشان داده شده است.

اظهار نظر. مشکل اصلی در این مورد، تجزیه مخرج به عوامل است، یعنی جستجو برای همه ریشه های آن.

مثال 1. انتگرال را پیدا کنید

انتگرال یک کسر گویا مناسب است. بسط مخرج به عوامل تقلیل ناپذیر به این صورت است که بسط انتگرال به مجموع کسرهای ساده به شکل زیر است:

بیایید ضرایب انبساط را با استفاده از روش ترکیبی پیدا کنیم:

بدین ترتیب،

مثال 2. انتگرال را پیدا کنید

انتگرال کسری نامناسب است، بنابراین کل قسمت را جدا می کنیم:

انتگرال اول جدولی است و دومی را با تجزیه کسر مناسب به کسر ساده محاسبه می کنیم:

با استفاده از روش ضرایب نامشخص، داریم:

بدین ترتیب،

تابعی را که باید برای آن انتگرال پیدا کنید وارد کنید

پس از محاسبه انتگرال نامعین، می توانید یک راه حل DETAILED رایگان برای انتگرالی که وارد کرده اید دریافت کنید.

بیایید جواب انتگرال نامعین تابع f(x) (ضد مشتق تابع) را پیدا کنیم.

مثال ها

با استفاده از مدرک
(مربع و مکعب) و کسرها

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

ریشه دوم

Sqrt(x)/(x + 1)

ریشه مکعب

Cbrt(x)/(3*x + 2)

استفاده از سینوس و کسینوس

2*sin(x)*cos(x)

آرکسین

X*arcsin(x)

کسینوس قوسی

X*arccos(x)

کاربرد لگاریتم

X*log (x, 10)

لگاریتم طبیعی

غرفه دار

Tg(x)*sin(x)

کوتانژانت

Ctg(x)*cos(x)

کسرهای غیر منطقی

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Arctangent

X*arctg(x)

Arccotangent

X*arсctg(x)

سینوس و کسینوس هایپربولیک

2*sh(x)*ch(x)

تانژانت و کتانژانت هایپربولیک

Ctgh(x)/tgh(x)

آرکسین و آرکوزین هیپربولیک

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

تانژانت هیبربولیک و آرکوتانژانت

X^2*arctgh(x)*arcctgh(x)

قوانین برای وارد کردن عبارات و توابع

عبارات می توانند شامل توابع باشند (نمادها به ترتیب حروف الفبا آورده شده اند): مطلق (x)قدر مطلق ایکس
(مدول ایکسیا |x|) آرکوس (x)تابع - کسینوس قوسی از ایکس آرکوش (x)کمان کسینوس هذلولی از ایکس آرکسین (x)آرکسین از ایکس arcsinh (x)آرکسین هذلولی از ایکس آرکتان (x)تابع - متقاطع از ایکس arctgh(x)هذلولی قطبی از ایکس ه هعددی که تقریباً برابر با 2.7 است exp(x)تابع - توان از ایکس(مانند ه^ایکس) ورود به سیستم (x)یا ln(x)لگاریتم طبیعی از ایکس
(بدست آوردن log7 (x)، باید log(x)/log(7) را وارد کنید (یا مثلا for log10 (x)=log(x)/log(10)) پیعدد "Pi" است که تقریباً برابر با 3.14 است گناه (x)تابع - سینوس ایکس cos(x)تابع - کسینوس از ایکس sinh (x)تابع - سینوسی هذلولی از ایکس cosh(x)تابع - کسینوس هذلولی از ایکس sqrt(x)تابع - جذر از ایکس sqr(x)یا x^2تابع - مربع ایکس قهوهای مایل به زرد (x)تابع - مماس از ایکس tgh(x)تابع - مماس هذلولی از ایکس cbrt(x)تابع - ریشه مکعبی از ایکس

عملیات زیر را می توان در عبارات استفاده کرد: اعداد واقعیبه عنوان وارد کنید 7.5 ، نه 7,5 2*x- ضرب 3/x- تقسیم x^3- توانمندی x+7- اضافه x - 6- منها کردن
ویژگی های دیگر: طبقه (x)عملکرد - گرد کردن ایکسرو به پایین (کف مثال (4.5)==4.0) سقف (x)عملکرد - گرد کردن ایکسرو به بالا (سقف مثال (4.5)==5.0) علامت (x)تابع - علامت ایکس erf(x)تابع خطا (یا انتگرال احتمال) لاپلاس (x)تابع لاپلاس

مشکل یافتن انتگرال نامعین یک تابع گویا کسری به ادغام کسرهای ساده ختم می شود. بنابراین، توصیه می کنیم ابتدا با بخش تئوری تجزیه کسرها به ساده ترین ها آشنا شوید.

مثال.

راه حل.

از آنجایی که درجه صورت انتگرال برابر با درجه مخرج است، ابتدا کل قسمت را با تقسیم چند جمله ای بر چند جمله ای با یک ستون انتخاب می کنیم:

از همین رو، .

تجزیه کسر منطقی مناسب حاصل به کسرهای ساده‌تر این شکل را دارد . از این رو،

انتگرال حاصل انتگرال ساده ترین کسری از نوع سوم است. با کمی نگاه کردن به آینده، توجه می کنیم که می توانید آن را با قرار دادن آن در زیر علامت دیفرانسیل بگیرید.

زیرا ، آن . از همین رو

از این رو،

حالا بیایید به توصیف روش‌هایی برای ادغام کسرهای ساده از هر یک از چهار نوع بپردازیم.

ادغام کسرهای ساده از نوع اول

روش ادغام مستقیم برای حل این مشکل ایده آل است:

مثال.

راه حل.

بیایید انتگرال نامعین را با استفاده از ویژگی های ضد مشتق، جدول ضد مشتق ها و قانون ادغام پیدا کنیم.

بالای صفحه

ادغام کسرهای ساده از نوع دوم

روش ادغام مستقیم نیز برای حل این مشکل مناسب است:

مثال.

راه حل.

بالای صفحه

ادغام کسرهای ساده از نوع سوم

ابتدا انتگرال نامعین را ارائه می کنیم به صورت جمع:

انتگرال اول را با قرار دادن آن در زیر علامت دیفرانسیل می گیریم:

از همین رو،

اجازه دهید مخرج انتگرال حاصل را تبدیل کنیم:

از این رو،

فرمول ادغام کسرهای ساده از نوع سوم به شکل زیر است:

مثال.

انتگرال نامعین را پیدا کنید .

راه حل.

ما از فرمول به دست آمده استفاده می کنیم:

اگر این فرمول را نداشتیم، چه می‌کردیم:

9. ادغام کسرهای ساده از نوع چهارم

اولین قدم قرار دادن آن در زیر علامت دیفرانسیل است:

مرحله دوم یافتن یک انتگرال از فرم است . انتگرال های این نوع با استفاده از فرمول های بازگشتی یافت می شوند. (به پارتیشن بندی با استفاده از فرمول های تکراری مراجعه کنید). فرمول تکرارشونده زیر برای مورد ما مناسب است:

مثال.

انتگرال نامعین را پیدا کنید

راه حل.

برای این نوع انتگرال از روش جایگزینی استفاده می کنیم. بیایید یک متغیر جدید معرفی کنیم (به بخش ادغام توابع غیر منطقی مراجعه کنید):

بعد از تعویض داریم:

به یافتن انتگرال کسری از نوع چهارم رسیدیم. در مورد ما ضرایب داریم M = 0، p = 0، q = 1، N = 1و n=3. ما فرمول تکراری را اعمال می کنیم:

پس از تعویض معکوس نتیجه را می گیریم:

10. ادغام توابع مثلثاتی.

بسیاری از مشکلات به یافتن انتگرال های توابع ماورایی حاوی توابع مثلثاتی منتهی می شود. در این مقاله رایج ترین انواع انتگرال ها را گروه بندی می کنیم و از مثال هایی برای در نظر گرفتن روش هایی برای ادغام آنها استفاده می کنیم.

بیایید با ادغام سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت شروع کنیم.

از جدول ضد مشتقات ما بلافاصله به آن توجه می کنیم و .

روش جمع کردن علامت دیفرانسیل به شما امکان می دهد انتگرال های نامشخص توابع مماس و کتانژانت را محاسبه کنید:

بالای صفحه

بیایید به مورد اول نگاه کنیم، مورد دوم کاملاً مشابه است.

بیایید از روش جایگزینی استفاده کنیم:

ما به مشکل ادغام یک تابع غیرمنطقی رسیدیم. روش جایگزینی نیز در اینجا به ما کمک می کند:

تنها چیزی که باقی می ماند این است که تعویض معکوس و t = sinx:

بالای صفحه

می توانید در مورد اصول یافتن آنها در بخش ادغام با استفاده از فرمول های تکراری اطلاعات بیشتری کسب کنید. اگر مشتق این فرمول ها را مطالعه کنید، به راحتی می توانید انتگرال های فرم را بگیرید ، جایی که مترو n- اعداد صحیح

بالای صفحه

بالای صفحه

بیشترین خلاقیت زمانی حاصل می شود که انتگرال حاوی توابع مثلثاتی با آرگومان های مختلف باشد.

اینجاست که فرمول های اصلی مثلثات به کمک می آیند. بنابراین آنها را روی یک کاغذ جداگانه یادداشت کنید و جلوی چشمان خود نگه دارید.

مثال.

مجموعه پاد مشتق های یک تابع را بیابید .

راه حل.

فرمول های کاهش می دهد و .

از همین رو

مخرج فرمول سینوس مجموع است، بنابراین،

به مجموع سه انتگرال می رسیم.

بالای صفحه

انتگرال های حاوی توابع مثلثاتی را می توان گاهی با استفاده از جایگزینی مثلثاتی استاندارد به عبارات گویا کسری تقلیل داد.

بیایید فرمول های مثلثاتی را بنویسیم که سینوس، کسینوس، مماس را از طریق مماس آرگومان نیم بیان می کند:

هنگام ادغام، به عبارت دیفرانسیل نیز نیاز خواهیم داشت dxاز طریق مماس نیم زاویه.

زیرا ، آن

یعنی کجا.

مثال.

انتگرال نامعین را پیدا کنید .

راه حل.

بیایید از جایگزینی مثلثاتی استاندارد استفاده کنیم:

بدین ترتیب، .

تجزیه انتگرال به کسرهای ساده ما را به مجموع دو انتگرال می رساند:

تنها چیزی که باقی می ماند این است که جایگزینی معکوس را انجام دهید:

11. فرمول های تکراری فرمول هایی هستند که بیان می کنند nامین عضو دنباله از طریق اعضای قبلی. آنها اغلب هنگام یافتن انتگرال استفاده می شوند.

هدف ما فهرست کردن همه فرمول‌های تکراری نیست، بلکه می‌خواهیم اصل اشتقاق آنها را بیان کنیم. استخراج این فرمول ها بر اساس تبدیل انتگرال و اعمال روش یکپارچه سازی توسط قطعات است.

مثلاً انتگرال نامعین را می توان با استفاده از فرمول عود مصرف کرد .

استخراج فرمول:

با استفاده از فرمول های مثلثاتی می توانیم بنویسیم:

ما انتگرال حاصل را با استفاده از روش یکپارچه سازی توسط قطعات پیدا می کنیم. به عنوان یک تابع u(x)بگیریم cosx، از این رو، .

از همین رو،

به انتگرال اصلی برمی گردیم:

به این معنا که،

این چیزی است که باید نشان داده شود.

فرمول های تکرار زیر نیز به طور مشابه مشتق شده اند:

مثال.

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

راه حل.

ما از فرمول مکرر پاراگراف چهارم استفاده می کنیم (در مثال ما n=3):

از آنجایی که از جدول ضد مشتقات داریم ، آن

یک ریاضیدان، درست مانند یک هنرمند یا شاعر، الگوها را خلق می کند. و اگر الگوهای او پایدارتر است، فقط به این دلیل است که از ایده‌ها تشکیل شده‌اند... الگوهای یک ریاضیدان، درست مانند الگوهای یک هنرمند یا شاعر، باید زیبا باشد. ایده ها، درست مانند رنگ ها یا کلمات، باید با یکدیگر مطابقت داشته باشند. زیبایی اولین شرط است: هیچ جایی در دنیا برای ریاضیات زشت وجود ندارد».

جی اچ هاردی

در فصل اول اشاره شد که ضد مشتق‌هایی از توابع نسبتاً ساده وجود دارد که دیگر نمی‌توان آنها را از طریق توابع ابتدایی بیان کرد. در این راستا، آن دسته از توابع که به طور دقیق می توان گفت که ضد مشتقات آنها توابع ابتدایی هستند، اهمیت عملی زیادی پیدا می کنند. این دسته از توابع شامل توابع منطقی، نشان دهنده نسبت دو چند جمله ای جبری است. بسیاری از مشکلات منجر به ادغام کسرهای گویا می شود. بنابراین، بسیار مهم است که بتوان چنین توابعی را یکپارچه کرد.

2.1.1. توابع گویا کسری

کسر گویا(یا تابع گویا کسری) رابطه دو چند جمله ای جبری نامیده می شود:

کجا و چند جمله ای هستند.

این را به شما یادآوری کنیم چند جمله ای (چند جمله ای, کل عملکرد عقلانی) nدرجه امتابع فرم نامیده می شود

جایی که - اعداد واقعی. مثلا،

- چند جمله ای درجه اول؛

- چند جمله ای درجه چهارم و غیره

کسر گویا (2.1.1) نامیده می شود درست, اگر درجه کمتر از درجه باشد , i.e. n<متر، در غیر این صورت کسر نامیده می شود اشتباه.

هر کسر نامناسب را می توان به صورت مجموع یک چند جمله ای (کل جزء) و یک کسر مناسب (قسمت کسری) نشان داد.جداسازی اجزای کل و کسری یک کسر نامناسب را می توان طبق قانون تقسیم چندجمله ای ها با "گوشه" انجام داد.

مثال 2.1.1.کسرهای گویا نامناسب زیر را اجزای کل و کسری مشخص کنید:

آ) ، ب) .

راه حل . الف) با استفاده از الگوریتم تقسیم "گوشه"، به دست می آوریم

بنابراین، ما دریافت می کنیم

.

ب) در اینجا از الگوریتم تقسیم "گوشه" نیز استفاده می کنیم:

در نتیجه می گیریم

.

بیایید خلاصه کنیم. در حالت کلی، انتگرال نامعین یک کسر گویا را می توان به صورت مجموع انتگرال های چند جمله ای و کسر گویا مناسب نشان داد. یافتن پاد مشتق چند جمله ای ها کار سختی نیست. بنابراین، در مطالب بعدی عمدتاً کسرهای گویا مناسب را در نظر خواهیم گرفت.

2.1.2. ساده ترین کسرهای گویا و ادغام آنها

در میان کسرهای گویا، چهار نوع وجود دارد که به عنوان دسته بندی می شوند ساده ترین کسرهای گویا (بنیادی):

3) ,

4) ,

یک عدد صحیح کجاست، ، یعنی سه جمله ای درجه دوم ریشه واقعی ندارد

ادغام کسرهای ساده از نوع 1 و 2 هیچ مشکل بزرگی ایجاد نمی کند:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

اجازه دهید اکنون ادغام کسرهای ساده نوع 3 را در نظر بگیریم، اما کسری از نوع 4 را در نظر نخواهیم گرفت.

بیایید با انتگرال های فرم شروع کنیم

.

این انتگرال معمولاً با جداسازی مجذور کامل مخرج محاسبه می شود. نتیجه یک انتگرال جدول از فرم زیر است

یا .

مثال 2.1.2.انتگرال ها را بیابید:

آ) ، ب) .

راه حل . الف) یک مربع کامل از یک مثلث درجه دوم انتخاب کنید:

از اینجا پیدا می کنیم

ب) با جدا کردن یک مربع کامل از یک مثلث درجه دوم، به دست می آوریم:

بدین ترتیب،

.

برای یافتن انتگرال

می توانید مشتق مخرج را در صورت جدا کنید و انتگرال را به مجموع دو انتگرال بسط دهید: اولی آنها با جایگزینی به ظاهر می رسد

,

و دوم - به موردی که در بالا مورد بحث قرار گرفت.

مثال 2.1.3.انتگرال ها را بیابید:

.

راه حل . توجه کنید که . بیایید مشتق مخرج را در صورت جدا کنیم:

انتگرال اول با استفاده از جایگزینی محاسبه می شود :

در انتگرال دوم، مربع کامل را در مخرج انتخاب می کنیم

بالاخره می رسیم

2.1.3. بسط کسر گویا مناسب
برای مجموع کسرهای ساده

هر کسر منطقی مناسب را می توان به روشی منحصر به فرد به عنوان مجموع کسرهای ساده نشان داد. برای این کار باید مخرج را فاکتور گرفت. از جبر بالاتر مشخص می شود که هر چند جمله ای دارای ضرایب واقعی است