فرمول ضرب اختصاری A4 b4. فرمول های ضرب اختصاری – هایپر مارکت دانش

فرمول ضرب مختصر

مطالعه فرمول های ضرب اختصاری: مربع مجموع و مربع تفاضل دو عبارت. تفاوت مربع های دو عبارت؛ مکعب مجموع و مکعب تفاضل دو عبارت; مجموع و تفاوت مکعب های دو عبارت.

استفاده از فرمول ضرب اختصاری هنگام حل مثال.

برای ساده سازی عبارات، چند جمله ای های عاملی و کاهش چند جمله ای ها به فرم استاندارد، از فرمول های ضرب اختصاری استفاده می شود. فرمول‌های ضرب اختصاری باید از روی قلب شناخته شوند.

بگذارید a، b R. سپس:

1. مجذور مجموع دو عبارت برابر است بامربع عبارت اول به اضافه دو برابر حاصل ضرب عبارت اول و دومی به علاوه مربع عبارت دوم.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. مجذور اختلاف دو عبارت برابر است بامربع عبارت اول منهای دو برابر حاصل ضرب عبارت اول و دومی به اضافه مربع عبارت دوم.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. تفاوت مربع هادو عبارت برابر است با حاصلضرب تفاضل این عبارات و مجموع آنها.

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. مکعب جمعدو عبارت برابر است با مکعب عبارت اول به اضافه سه برابر حاصل ضرب مجذور عبارت اول و دوم به علاوه سه برابر حاصل ضرب عبارت اول و مربع دومی به علاوه مکعب عبارت دوم.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. مکعب تفاوتدو عبارت برابر است با مکعب عبارت اول منهای سه برابر حاصل ضرب مجذور عبارت اول و دومی به علاوه سه برابر حاصلضرب عبارت اول و مربع دومی منهای مکعب عبارت دوم.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. مجموع مکعب هادو عبارت برابر است با حاصل ضرب مجموع عبارت اول و دوم و مجذور ناقص تفاضل این عبارات.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. تفاوت مکعب هادو عبارت برابر است با حاصل ضرب اختلاف عبارت اول و دوم در مجذور ناقص مجموع این عبارات.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

استفاده از فرمول ضرب اختصاری هنگام حل مثال.

مثال 1.

محاسبه

الف) با استفاده از فرمول مجذور مجموع دو عبارت، داریم

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

ب) با استفاده از فرمول مجذور اختلاف دو عبارت بدست می آوریم

98 2 = (100 - 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 - 400 + 4 = 9604

مثال 2.

محاسبه

با استفاده از فرمول تفاضل مربع های دو عبارت، به دست می آوریم

مثال 3.

یک عبارت را ساده کنید

(x - y) 2 + (x + y) 2

بیایید از فرمول های مجذور مجموع و مجذور اختلاف دو عبارت استفاده کنیم

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

فرمول ضرب اختصاری در یک جدول:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

به منظور ساده سازی چند جمله ای های جبری، وجود دارد فرمول ضرب مختصر. تعداد آنها زیاد نیست و به راحتی قابل یادآوری هستند، اما باید آنها را به خاطر بسپارید. نماد استفاده شده در فرمول ها می تواند هر شکلی داشته باشد (عدد یا چند جمله ای).

اولین فرمول ضرب اختصاری نامیده می شود تفاوت مربع ها. این شامل تفریق مربع یک عدد از مربع عدد دوم است که برابر با تفاوت بین این اعداد و همچنین حاصل ضرب آنها است.

a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)

برای وضوح به آن نگاه می کنیم:

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)

فرمول دوم در مورد مجموع مربعات. به نظر می رسد که مجموع دو کمیت مجذور آن برابر با مجذور کمیت اول است، حاصل ضرب دوتایی کمیت اول در دومی به آن اضافه می شود، مجذور کمیت دوم به آنها اضافه می شود.

(a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2

با تشکر از این فرمول، محاسبه مربع یک عدد بزرگ بدون استفاده از فناوری رایانه بسیار آسان تر می شود.

بنابراین برای مثال:مربع 112 برابر خواهد بود با
1) ابتدا 112 را به اعدادی تقسیم می کنیم که مربع آنها برای ما آشناست
112 = 100 + 12
2) نتیجه را در براکت مربع وارد می کنیم
112 2 = (100+12) 2
3) با اعمال فرمول، دریافت می کنیم:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

فرمول سوم این است اختلاف مربع. که می گوید دو کمیت که در یک مربع از یکدیگر تفریق می شود با هم برابرند، زیرا از مجذور کمیت اول، حاصل ضرب دوتایی کمیت اول را در دومی کم می کنیم و مجذور کمیت دوم را به آنها اضافه می کنیم.

(a + b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

که در آن (a - b) 2 برابر است (b - a) 2. برای اثبات این موضوع، (a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

فرمول چهارم ضرب اختصاری نامیده می شود مکعب مجموع. که به نظر می رسد: دو مقدار جمع در یک مکعب برابر با مکعب 1 کمیت است، حاصلضرب سه گانه 1 کمیت ضرب در مقدار 2 اضافه می شود، به آنها حاصل ضرب سه گانه 1 کمیت ضرب در مجذور 2 اضافه می شود. مقادیر، به علاوه مقدار دوم مکعب شده.

(a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

پنجمین، همانطور که قبلاً فهمیدید، نامیده می شود مکعب تفاوت. که تفاوت بین مقادیر را پیدا می کند، زیرا از اولین علامت در مکعب حاصل ضرب سه گانه نماد اول را در مربع ضرب در دومی کم می کنیم، حاصل ضرب سه گانه نماد اول در مربع دوم به آنها اضافه می شود. نماد، منهای نماد دوم در مکعب.

(a-b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

ششم نام دارد - مجموع مکعب ها. مجموع مکعب ها برابر است با حاصل ضرب دو جمع در مجذور جزئی اختلاف، زیرا مقدار دو برابری در وسط وجود ندارد.

a 3 + b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)

راه دیگر برای بیان مجموع مکعب ها این است که آن را حاصل ضرب در دو پرانتز بنامیم.

هفتمین و آخرین آن نام دارد تفاوت مکعب ها(به راحتی می توان آن را با فرمول مکعب تفاوت اشتباه گرفت، اما اینها چیزهای متفاوتی هستند). تفاوت مکعب ها برابر است با حاصل ضرب اختلاف دو کمیت در مجذور جزئی مجموع، زیرا در وسط مقدار دو برابری وجود ندارد.

a 3 - b 3 = (a-b) (a 2 +ab+b 2)

و بنابراین فقط 7 فرمول برای ضرب اختصاری وجود دارد، آنها شبیه به یکدیگر هستند و به راحتی قابل یادآوری هستند، تنها نکته مهم این است که در علائم گیج نشوید. آنها همچنین برای استفاده در جهت معکوس طراحی شده‌اند و کتاب‌های درسی حاوی تعداد کمی از این وظایف هستند. مراقب باشید و همه چیز برای شما درست خواهد شد.

اگر در مورد فرمول ها سوالی دارید حتما در نظرات بنویسید. ما خوشحال خواهیم شد که به شما پاسخ دهیم!

اگر در مرخصی زایمان هستید، اما می خواهید درآمد کسب کنید. فقط لینک کسب و کار اینترنتی با اوریف لیم را دنبال کنید. همه چیز در آنجا با جزئیات کامل نوشته شده و نشان داده شده است. جالب خواهد بود!

ضرب چند جمله ای در چند جمله ای

! به یک چند جمله ای را در یک چند جمله ای ضرب کنیم، باید هر جمله یک چند جمله ای را در هر جمله چند جمله ای دیگر ضرب کنید و حاصل را جمع کنید.

مراقب باش! هر اصطلاح علامت مخصوص به خود را دارد.

فرمول ضرب مختصرچندجمله ای ها عموماً 7 (هفت) حالت متداول از ضرب چندجمله ای ها هستند.

تعاریف وفرمول ضرب مختصر جدول

جدول 2. تعاریف فرمول ضرب اختصاری (برای بزرگنمایی کلیک کنید)

سه فرمول ضرب مختصر برای مربع

1. فرمول مجموع مجذور

مربع مجموعدو عبارت برابر است با مربع عبارت اول به اضافه دو برابر حاصل ضرب عبارت اول و دومی به علاوه مربع عبارت دوم.

برای درک بهتر فرمول، اجازه دهید ابتدا عبارت را ساده کنیم (فرمول مجذور مجموع را گسترش دهید)

حالا بیایید فاکتورسازی کنیم (فرمول را جمع کنید)

توالی اقدامات هنگام فاکتورگیری:

1. تعیین کنید که کدام یک از جملات مربع هستند ( 5 و 3 متر);
2. بررسی کنید که آیا حاصل ضرب آنها در وسط فرمول است (2 5 3m = 30 متر);
3. پاسخ را یادداشت کنید (5 + 3 متر) 2.

2. فرمول اختلاف مربع

اختلاف مربعدو عبارت برابر است با مربع عبارت اول منهای دو برابر حاصلضرب عبارت اول و دومی به اضافه مربع عبارت دوم.

ابتدا بیایید عبارت را ساده کنیم (فرمول را گسترش دهیم):

و سپس برعکس، بیایید آن را فاکتورسازی کنیم (فرمول را جمع کنید):

3. فرمول اختلاف مربع

حاصل ضرب مجموع دو عبارت و تفاوت آنها برابر است با اختلاف مجذورهای این عبارات.

بیایید فرمول را جمع کنیم (ضرب را انجام دهیم)

حالا بیایید فرمول را گسترش دهیم (آن را فاکتور بگیرید)

چهار فرمول ضرب مختصر برای مکعب ها

4. فرمول مکعب مجموع دو عدد

مکعب مجموع دو عبارت برابر است با مکعب عبارت اول به اضافه سه برابر حاصل ضرب مجذور عبارت اول و دوم به علاوه سه برابر حاصل ضرب عبارت اول و مربع دومی به علاوه مکعب عبارت اول. بیان دوم

دنباله اقدامات هنگام "در هم ریختن" فرمول:

1. تک‌جملاتی را پیدا کنید که مکعب شده‌اند (اینجا 4 برابرو 1 );
2. میانگین شرایط را برای مطابقت با فرمول بررسی کنید.
3. پاسخ را یادداشت کنید

5. فرمول مکعب اختلاف دو عدد

مکعب اختلاف دو عبارت برابر است با مکعب عبارت اول منهای سه برابر حاصل ضرب مربع اولین عبارت و دوم به علاوه سه برابر حاصلضرب عبارت اول و مربع دوم منهای مکعب عبارت اول. بیان دوم

6. فرمول مجموع مکعب ها

مجموع مکعب های دو عبارت برابر است با حاصل ضرب مجموع عبارت اول و دوم و مجذور ناقص تفاضل این عبارات.

و برگشت:

7. تفاوت فرمول مکعب ها

تفاوت بین مکعب های دو عبارت برابر است با حاصل ضرب اختلاف عبارت اول و دوم و مجذور جزئی مجموع این عبارات.

استفاده از فرمول ضرب اختصاری. جدول

نمونه ای از استفاده از فرمول ها در عمل (محاسبه شفاهی).

وظیفه:مساحت مربعی با ضلع a = 71 سانتی متر را پیدا کنید.

راه حل: S = a 2 . با استفاده از فرمول مجموع مجذور، داریم

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2*70*1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041 سانتی متر مربع

پاسخ: 5041 سانتی متر 2

اصطلاح ( آ + ب) 2 است مربع مجموعشماره آو ب. با تعریف درجه، عبارت ( آ + بآ + ب)(آ + ب). بنابراین، از مجذور مجموع می توان نتیجه گرفت که

(آ + ب) 2 = (آ + ب)(آ + ب) = آ 2 + ab + ab + ب 2 = آ 2 + 2ab + ب 2 ,

یعنی مجذور مجموع دو عدد برابر است با مجذور عدد اول به اضافه دو برابر حاصلضرب عدد اول و عدد دوم به اضافه مجذور عدد دوم.

فرمول مجموع مربع

(آ + ب) 2 = آ 2 + 2ab + ب 2

چند جمله ای آ 2 + 2ab + ب 2 را بسط مجموع مجذور می گویند.

زیرا آو بهر عدد یا عبارتی را مشخص کنید، سپس قانون به ما این فرصت را می دهد که در یک میانبر، هر عبارتی را که می تواند به عنوان مجموع دو جمله در نظر گرفته شود، مربع کنیم.

مثال.بیان مربع 3 ایکس 2 + 2xy.

راه حل:برای اینکه تبدیل های اضافی ایجاد نکنیم، از فرمول مجذور مجموع استفاده می کنیم. مجموع مجذور عدد اول را باید دو برابر حاصل ضرب عدد اول و دوم و مجذور عدد دوم بدست آوریم:

(3ایکس 2 + 2xy) 2 = (3ایکس 2) 2 + 2(3ایکس 2 2 xy) + (2xy) 2

حال با استفاده از قواعد ضرب و توان واحدها، عبارت حاصل را ساده می کنیم:

(3ایکس 2) 2 + 2(3ایکس 2 2 xy) + (2xy) 2 = 9ایکس 4 + 12ایکس 3 y + 4ایکس 2 y 2

اختلاف مربع

اصطلاح ( آ - ب) 2 است اختلاف مربعشماره آو ب. اصطلاح ( آ - ب) 2 حاصل ضرب دو چند جمله ای است ( آ - ب)(آ - ب). بنابراین، از مربع اختلاف می توان نتیجه گرفت که

(آ - ب) 2 = (آ - ب)(آ - ب) = آ 2 - ab - ab + ب 2 = آ 2 - 2ab + ب 2 ,

یعنی مجذور اختلاف دو عدد برابر است با مربع عدد اول منهای دو برابر حاصلضرب عدد اول و عدد دوم به اضافه مجذور عدد دوم.

از قاعده بر می آید که مجموع فرمول اختلاف مربع، بدون تبدیل های میانی، به صورت زیر خواهد بود:

(آ - ب) 2 = آ 2 - 2ab + ب 2

چند جمله ای آ 2 - 2ab + ب 2 را بسط اختلاف مربع می گویند.

این قاعده در مورد مربع اختصاری عباراتی که می توانند به صورت تفاضل دو عدد بیان شوند اعمال می شود.

مثال.مجذور اختلاف را به صورت سه جمله ای نشان دهید:

(2آ 2 - 5ab 2) 2

راه حل:با استفاده از فرمول اختلاف مجذور، متوجه می شویم:

(2آ 2 - 5ab 2) 2 = (2آ 2) 2 - 2(2آ 2 5 ab 2) + (5ab 2) 2

حال بیایید عبارت را به یک چند جمله ای استاندارد تبدیل کنیم:

(2آ 2) 2 - 2(2آ 2 5 ab 2) + (5ab 2) 2 = 4آ 4 - 20آ 3 ب 2 + 25آ 2 ب 4

تفاوت مربع ها

اصطلاح آ 2 - ب 2 است تفاوت مربع هاشماره آو ب. اصطلاح آ 2 - ب 2 روشی کوتاه برای ضرب مجموع دو عدد در اختلاف آنهاست:

(آ + ب)(آ - ب) = آ 2 + ab - ab - ب 2 = آ 2 - ب 2 ,

یعنی حاصل ضرب مجموع دو عدد و اختلاف آنها برابر است با اختلاف مجذورهای این اعداد.

از قاعده بر می آید که مجموع فرمول اختلاف مربعبه نظر می رسد که:

آ 2 - ب 2 = (آ + ب)(آ - ب)

این قانون برای ضرب اختصاری عباراتی که می توان آنها را نشان داد اعمال می شود: یکی به عنوان مجموع دو عدد و دیگری به عنوان تفاوت اعداد مشابه.

مثال.تبدیل محصول به دوجمله ای:

(5آ 2 + 3)(5آ 2 - 3)

راه حل:

(5آ 2 + 3)(5آ 2 - 3) = (5آ 2) 2 - 3 2 = 25آ 4 - 9

در مثال، فرمول تفاوت مربع ها را از راست به چپ اعمال کردیم، یعنی سمت راست فرمول به ما داده شد و آن را به سمت چپ تبدیل کردیم:

(آ + ب)(آ - ب) = آ 2 - ب 2

در عمل، هر سه فرمول مورد بحث بسته به موقعیت، هم از چپ به راست و هم از راست به چپ اعمال می‌شوند.

یکی از اولین مباحثی که در درس جبر مورد بررسی قرار می گیرد، فرمول های ضرب اختصاری است. در درجه 7، آنها در ساده ترین موقعیت ها استفاده می شوند، جایی که باید یکی از فرمول ها را در یک عبارت تشخیص دهید و یک چند جمله ای یا برعکس، به سرعت مجموع یا تفاوت را مربع یا مکعب کنید. در آینده از FSU برای حل سریع نابرابری ها و معادلات و حتی برای محاسبه برخی عبارات عددی بدون ماشین حساب استفاده می شود.

لیستی از فرمول ها چگونه است؟

7 فرمول اساسی وجود دارد که به شما امکان می دهد چند جمله ای ها را به سرعت در براکت ها ضرب کنید.

گاهی اوقات این لیست شامل یک بسط برای درجه چهارم نیز می شود که از هویت های ارائه شده بر می آید و به شکل زیر است:

a4 — b4 = (a - b) (a + b) (a² + b²).

همه تساوی ها یک جفت دارند (جمع - تفاوت)، به جز اختلاف مربع ها. فرمول مجموع مربعات داده نشده است.

به خاطر سپردن برابری های باقی مانده آسان است:

لازم به یادآوری است که FSU ها در هر صورت و برای هر مقداری کار می کنند آو ب: اینها می توانند اعداد دلخواه یا عبارت های عدد صحیح باشند.

در شرایطی که ناگهان نمی‌توانید به یاد بیاورید کدام علامت جلوی یک عبارت خاص در فرمول است، می‌توانید براکت‌ها را باز کنید و همان نتیجه را بگیرید که بعد از استفاده از فرمول. به عنوان مثال، اگر هنگام اعمال مکعب تفاوت FSU مشکلی پیش آمد، باید عبارت اصلی را یادداشت کنید و ضرب را یک به یک انجام دهید:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²) (a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

در نتیجه، پس از آوردن همه عبارت های مشابه، همان چند جمله ای در جدول به دست آمد. همین دستکاری ها را می توان با سایر FSU ها انجام داد.

کاربرد FSU برای حل معادلات

به عنوان مثال، شما باید معادله ای را حل کنید که شامل چند جمله ای درجه 3:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

برنامه درسی مدرسه تکنیک های جهانی برای حل معادلات مکعبی را پوشش نمی دهد و چنین وظایفی اغلب بیشتر حل می شوند. روش های ساده(مثلاً با فاکتورسازی). اگر متوجه شویم که سمت چپ هویت شبیه مکعب یک مجموع است، می توان معادله را به شکل ساده تری نوشت:

(x + 1)³ = 0.

ریشه چنین معادله ای به صورت شفاهی محاسبه می شود: x = -1.

نابرابری ها به روشی مشابه حل می شوند. به عنوان مثال، می توانید نابرابری را حل کنید x³ – 6x² + 9x > 0.

اول از همه، شما باید عبارت را فاکتور بگیرید. ابتدا باید براکت کنید ایکس. پس از این، توجه داشته باشید که عبارت داخل پرانتز را می توان به مربع تفاوت تبدیل کرد.

سپس باید نقاطی را پیدا کنید که در آن عبارت مقادیر صفر می گیرد و آنها را در خط اعداد علامت گذاری کنید. در یک مورد خاص، اینها 0 و 3 خواهند بود. سپس با استفاده از روش بازه مشخص کنید که در کدام بازه x با شرط نابرابری مطابقت دارد.

FSU ها ممکن است هنگام اجرا مفید باشند برخی از محاسبات بدون کمک ماشین حساب:

703² - 203² = (703 + 203) (703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

علاوه بر این، با فاکتورگیری عبارات، می توانید به راحتی کسرها را کاهش دهید و عبارات جبری مختلف را ساده کنید.

نمونه هایی از مسائل برای پایه های 7-8

در پایان، ما دو کار در مورد استفاده از فرمول ضرب اختصاری در جبر را تجزیه و تحلیل و حل خواهیم کرد.

وظیفه 1. عبارت را ساده کنید:

(m + 3)² + (3m + 1) (3m - 1) - 2m (5m + 3).

راه حل. شرط کار مستلزم ساده کردن عبارت است، یعنی باز کردن پرانتزها، انجام عملیات ضرب و توان، و همچنین آوردن تمام عبارت های مشابه. اجازه دهید به طور مشروط عبارت را به سه قسمت تقسیم کنیم (با توجه به تعداد عبارت ها) و پرانتزها را یکی یکی باز کنیم و در صورت امکان از FSU استفاده کنیم.

• (m + 3)² = m² + 6m + 9(مربع مجموع)؛
• (3 متر + 1) (3 متر - 1) = 9 متر مربع - 1(تفاوت مربعات)؛
• در ترم آخر باید ضرب کنید: 2 متر (5 متر + 3) = 10 متر مربع + 6 متر.

بیایید نتایج به دست آمده را با عبارت اصلی جایگزین کنیم:

(متر مربع + 6 متر + 9) + (9 متر مربع - 1) - (10 متر مربع + 6 متر).

با در نظر گرفتن علائم، پرانتزها را باز می کنیم و اصطلاحات مشابهی را ارائه می دهیم:

متر مربع + 6 متر + 9 + 9 متر مربع 1 - 10 متر مربع - 6 متر = 8.

مسئله 2. معادله ای حاوی k مجهول به توان 5 را حل کنید:

k5 + 4k4 + 4k³ - 4k² - 4k = k³.

راه حل. در این صورت استفاده از FSU و روش گروه بندی ضروری است. باید آخرین و ماقبل آخر را به سمت راست هویت منتقل کرد.

k5 + 4k4 + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

عامل مشترک از سمت راست و چپ مشتق شده است (k² + 4k +4):

k³ (k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).

همه چیز به سمت چپ معادله منتقل می شود تا 0 در سمت راست باقی بماند:

k³ (k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0.

باز هم لازم است عامل مشترک را حذف کنیم:

(k³ - k) (k² + 4k + 4) = 0.

از اولین عامل به دست آمده می توانیم نتیجه بگیریم ک. با توجه به فرمول ضرب کوتاه، عامل دوم برابر است با (k+2)²:

k (k² - 1) (k + 2)² = 0.

با استفاده از فرمول تفاضل مربعات:

k (k - 1) (k + 1) (k + 2)² = 0.

از آنجایی که یک محصول برابر با 0 است اگر حداقل یکی از عوامل آن صفر باشد، یافتن تمام ریشه های معادله دشوار نیست:

1. k = 0;
2. k - 1 = 0; k = 1;
3. k + 1 = 0; k = -1;
4. (k + 2)² = 0; k = -2.

بر اساس مثال های گویا، می توانید نحوه به خاطر سپردن فرمول ها، تفاوت های آنها و همچنین حل چندین مشکل عملی را با استفاده از FSU درک کنید. کارها ساده هستند و در انجام آنها نباید مشکلی وجود داشته باشد.