Vastavalt kiiruse projektsiooni graafikule teljele. Ühtlane lineaarne liikumine

Kiirus on üks peamisi omadusi. See väljendab liikumise olemust, s.t. määrab seisva keha ja liikuva keha erinevuse.

Kiiruse SI ühik on m/s.

Oluline on meeles pidada, et kiirus on vektorsuurus. Kiirusvektori suuna määrab liikumine. Kiirusevektor on alati suunatud tangentsiaalselt trajektoorile punktis, mida läbib liikuv keha (joon. 1).

Mõelge näiteks liikuva auto rattale. Ratas pöörleb ja kõik ratta punktid liiguvad ringidena. Rattalt lendavad pritsmed lendavad mööda nende ringide puutujaid, näidates ratta üksikute punktide kiirusvektorite suundi.

Seega iseloomustab kiirus keha liikumissuunda (kiirusvektori suunda) ja liikumiskiirust (kiirusvektori moodul).

Negatiivne kiirus

Kas keha kiirus võib olla negatiivne? Jah, saab. Kui keha kiirus on negatiivne, tähendab see, et keha liigub selles suunas vastassuunas koordinaatteljed valitud tugisüsteemis. Joonisel 2 on kujutatud bussi ja auto liikumist. Auto kiirus on negatiivne ja bussi kiirus positiivne. Tuleb meeles pidada, et kui me räägime kiiruse märgist, siis peame silmas kiirusvektori projektsiooni koordinaatide teljele.

Ühtlane ja ebaühtlane liikumine

Üldiselt sõltub kiirus ajast. Vastavalt kiiruse ajast sõltuvuse olemusele võib liikumine olla ühtlane või ebaühtlane.

MÄÄRATLUS

Ühtlane liikumine – see on liikumine konstantse moodulkiirusega.

Ebaühtlase liikumise korral räägitakse:

Näited probleemide lahendamisest teemal "Kiirus"

NÄIDE 1

Harjutus	Auto läbis nende kahe vahelise teekonna esimese poole asulad kiirusel 90 km/h, teine ​​pool aga 54 km/h. Määrake auto keskmine kiirus.
Lahendus	Oleks vale arvutada auto keskmist kiirust kahe näidatud kiiruse aritmeetilise keskmisena. Kasutame keskmise kiiruse määratlust: Kuna eeldatakse sirgjoonelist ühtlast liikumist, võib vektorite märgid ära jätta. Autoga kogu distantsi läbimiseks kulunud aeg: kus on aeg, mis kulub tee esimese poole läbimiseks, ja on aeg, mis kulub raja teise poole läbimiseks. Kogu liikumine võrdub asustatud alade vahelise kaugusega, s.o. . Asendades need suhted keskmise kiiruse valemisse, saame: Teisendame üksikute lõikude kiirused SI-süsteemi: Siis on auto keskmine kiirus: (m/s)
Vastus	Auto keskmine kiirus on 18,8 m/s

NÄIDE 2

Harjutus	Auto sõidab 10 sekundit kiirusega 10 m/s ja seejärel sõidab veel 2 minutit kiirusega 25 m/s. Määrake auto keskmine kiirus.
Lahendus	Teeme joonise.

Ühtlane liikumine- see on liikumine konstantsel kiirusel, st kui kiirus ei muutu (v = const) ja kiirendust või aeglustumist ei toimu (a = 0).

Sirgejooneline liikumine- see on liikumine sirgjoonel, see tähendab, et sirgjoonelise liikumise trajektoor on sirgjoon.

See on liikumine, mille käigus keha teeb võrdseid liigutusi mis tahes võrdsete ajavahemike järel. Näiteks kui jagame teatud ajaintervalli ühesekundilisteks intervallideks, siis ühtlase liikumise korral liigub keha iga selle ajaintervalli jaoks sama kaugele.

Ühtlase sirgjoonelise liikumise kiirus ei sõltu ajast ja igas trajektoori punktis on suunatud samamoodi nagu keha liikumine. See tähendab, et nihkevektor langeb suunalt kokku kiirusvektoriga. Sel juhul on mis tahes ajaperioodi keskmine kiirus võrdne hetkekiirusega:

vcp = v

Ühtlase sirgjoonelise liikumise kiirus on füüsikaline vektorsuurus, mis on võrdne keha liikumise suhtega mis tahes ajaperioodi ja selle intervalli t väärtusega:

=/t

Seega näitab ühtlase sirgjoonelise liikumise kiirus, millist liikumist materiaalne punkt ajaühiku kohta.

Liikumineühtlase lineaarse liikumisega määratakse järgmise valemiga:

Läbitud vahemaa sirgel liikumisel võrdne mooduliga liikumine. Kui OX-telje positiivne suund langeb kokku liikumissuunaga, siis on kiiruse projektsioon OX-teljele võrdne kiiruse suurusega ja on positiivne:

vx = v, see tähendab v > 0

Nihke projektsioon OX-teljele on võrdne:

s = vt = x - x0

kus x 0 on keha algkoordinaat, x on keha lõplik koordinaat (või keha koordinaat igal ajal)

Liikumisvõrrand st keha koordinaatide sõltuvus ajast x = x(t) on kujul:

x = x0 + vt

Kui OX-telje positiivne suund on vastupidine keha liikumissuunale, siis on keha kiiruse projektsioon OX-teljele negatiivne, kiirus on väiksem kui null (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:

x = x0 - vt

Ühtlane lineaarne liikumine- See on ebaühtlase liikumise erijuhtum.

Ebaühtlane liikumine- see on liikumine, mille käigus keha (materiaalne punkt) teeb ebavõrdseid liigutusi võrdse aja jooksul. Näiteks linnaliinibuss liigub ebaühtlaselt, kuna selle liikumine koosneb peamiselt kiirendusest ja aeglustusest.

Võrdselt vahelduv liikumine- see on liikumine, mille käigus keha (materiaalse punkti) kiirus muutub võrdselt mis tahes võrdse aja jooksul.

Keha kiirendus ühtlasel liikumisel jääb suuruselt ja suunalt konstantseks (a = const).

Ühtlast liikumist saab ühtlaselt kiirendada või ühtlaselt aeglustada.

Ühtlaselt kiirendatud liikumine- see on keha (materiaalse punkti) liikumine positiivse kiirendusega, see tähendab, et sellise liikumise korral kiirendab keha pideva kiirendusega. Ühtlaselt kiirendatud liikumise korral keha kiiruse moodul ajas suureneb ja kiirenduse suund ühtib liikumiskiiruse suunaga.

Võrdne aegluubis- see on keha (materiaalse punkti) liikumine negatiivse kiirendusega, see tähendab, et sellise liikumise korral aeglustub keha ühtlaselt. Ühtlaselt aeglasel liikumisel on kiirus- ja kiirendusvektorid vastandlikud ning kiirusmoodul aja jooksul väheneb.

Mehaanikas on igasugune sirgjooneline liikumine kiirendatud, seetõttu erineb aeglane liikumine kiirendatud liikumisest ainult kiirendusvektori projektsiooni märgiga koordinaatsüsteemi valitud teljele.

Keskmine muutuv kiirus määratakse keha liikumise jagamisel ajaga, mille jooksul see liigutus tehti. Keskmise kiiruse ühik on m/s.

vcp = s/t

See on keha (materiaalse punkti) kiirus antud ajahetkel või trajektoori antud punktis, st piir, milleni keskmine kiirus ajavahemiku Δt lõpmatu vähenemisega kaldub:

Hetkekiiruse vektorühtlaselt vahelduva liikumise võib leida nihkevektori esimese tuletise aja suhtes:

= "

Kiirusvektori projektsioon OX-teljel:

vx = x'

see on koordinaadi tuletis aja suhtes (samamoodi saadakse kiirusvektori projektsioonid teistele koordinaatide telgedele).

See on suurus, mis määrab keha kiiruse muutumise kiiruse, st piiri, milleni kiiruse muutus ajavahemiku Δt lõpmatu vähenemisega kaldub:

Ühtlaselt vahelduva liikumise kiirendusvektor võib leida kiirusvektori esimese tuletise aja suhtes või nihkevektori teise tuletise aja suhtes:

= " = " Arvestades, et 0 on keha kiirus esialgsel ajahetkel (algkiirus), on keha kiirus antud ajahetkel (lõppkiirus), t on ajavahemik, mille jooksul toimunud kiiruse muutus, on järgmine:

Siit ühtse kiiruse valem igal ajal:

0 + t Kui keha liigub sirgjooneliselt mööda sirgjoonelise Descartes'i koordinaatsüsteemi OX-telge, mis langeb kokku keha trajektooriga, siis määratakse kiirusvektori projektsioon sellele teljele valemiga:

vx = v0x ± axt

"-" (miinus) märk kiirendusvektori projektsiooni ees viitab ühtlaselt aeglasele liikumisele. Kiirusevektori projektsioonide võrrandid teistele koordinaattelgedele on kirjutatud sarnaselt.

Kuna ühtlasel liikumisel on kiirendus konstantne (a = const), on kiirenduse graafik 0t teljega paralleelne sirgjoon (ajatelg, joon. 1.15).

Riis. 1.15. Keha kiirenduse sõltuvus ajast.

Kiiruse sõltuvus ajast on lineaarfunktsioon, mille graafik on sirgjoon (joonis 1.16).

Riis. 1.16. Keha kiiruse sõltuvus ajast.

Kiiruse ja aja graafik(joonis 1.16) näitab, et

Sel juhul on nihe arvuliselt võrdne joonise 0abc pindalaga (joonis 1.16).

Trapetsi pindala on võrdne poole selle aluste pikkuste ja kõrguse summa korrutisega. Trapetsi 0abc alused on arvuliselt võrdsed:

0a = v0 bc = v

Trapetsi kõrgus on t. Seega on trapetsi pindala ja seega ka nihke projektsioon OX-teljele võrdne:

Ühtlaselt aeglase liikumise korral on kiirenduse projektsioon negatiivne ja nihkeprojektsiooni valemis asetatakse kiirenduse ette “-” (miinus) märk.

Keha kiiruse ja aja graafik erinevatel kiirendustel on näidatud joonisel fig. 1.17. Nihke ja aja graafik v0 = 0 korral on näidatud joonisel fig. 1.18.

Riis. 1.17. Keha kiiruse sõltuvus ajast erinevate kiirendusväärtuste korral.

Riis. 1.18. Keha liikumise sõltuvus ajast.

Keha kiirus antud ajahetkel t 1 võrdub graafiku puutuja ja ajatelje vahelise kaldenurga puutujaga v = tg α ning nihe määratakse valemiga:

Kui keha liikumise aeg pole teada, võite kasutada teist nihke valemit, lahendades kahe võrrandi süsteemi:

See aitab meil tuletada nihke projektsiooni valemit:

Kuna keha koordinaat igal ajal määratakse algkoordinaadi ja nihke projektsiooni summaga, näeb see välja järgmine:

Koordinaadi x(t) graafik on samuti parabool (nagu nihke graafik), kuid parabooli tipp üldjuhul ei kattu lähtepunktiga. Kui x< 0 и х 0 = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).

Graafikud võimaldavad visualiseerida kiiruse ja kiirenduse sõltuvust ajast, kui keha (punkt) liigub.
Moodulite ja kiirenduse projektsioonigraafikud
Kui punkt liigub pideva kiirendusega, siis on mooduli ja kiirenduse projektsiooni graafikud ajateljega paralleelsed sirged. Tuleb meeles pidada, et moodul on mittenegatiivne suurus, mistõttu kiirendusmooduli graafik ei saa paikneda allpool ajatelge (joonis 1.50). Kiirendusprognoosidel võivad olla positiivsed ja negatiivsed väärtused (joonis 1.51, a, b). Joonis 1.51, b näitab, et kiirendus on konstantne ja suunatud X-teljega vastupidises suunas.
Riis. 1.50

O
Kiirenduse projektsiooni graafikult leiate lisaks ah-le ka kiiruse projektsiooni muutuse. See on arvuliselt võrdne ristküliku OABC või OKMN pindalaga, kuna Avx = axt ja axt on arvuliselt võrdne ristküliku OABC või OKMN pindalaga.
Pindala võetakse miinusmärgiga, kui see asub allpool ajatelge, mis vastab joonisele 1.51, b, kus Avx = axt
Kiiruse projektsiooni valemid (1.17.3) on lineaarsed funktsioonid aega. Seetõttu on mooduli ja kiiruse projektsioonide graafikud sirged. Joonis 1.52 näitab kiiruse mooduli ja aja graafikuid kolme pideva kiirendusega liikumise korral. Graafikud 2 ja 3 vastavad liikumistele, mille algkiiruse moodulid vastavad segmentidele OA ja OB. Graafik 1 vastab liikumisele ühtlaselt kasvava kiirusmooduliga ja nulliga võrdse algkiirusega. Graafik 3 vastab liikumisele, mille kiirusmoodul väheneb ühtlaselt nullini. OS-i segment on arvuliselt võrdne ajaga, mil punkt liigub kuni peatumiseni. Riis. 1.52
Kiirusprojektsiooni graafik
Kiirusmooduli graafikud sisaldavad /1
O
Need sisaldavad vähem teavet kui kiirusprojektsiooni graafikud, kuna esimesi graafikuid ei saa kasutada koordinaattelgede suhtes liikumise suuna hindamiseks.
Riis. 1.53
Joonisel 1.53 on kujutatud kahe punkti kiiruse projektsioonide graafikud 1 ja 2. Mõlema algkiirus on null. Esimene punkt liigub
X-telje positiivses suunas ja kuna Avx > 0, siis a1x > 0. Teine punkt liigub X-teljega vastassuunas, kuna Avx Joonisel 1.54 on kujutatud ka kahe punkti kiirusprojektsioonide graafikud 1, 2. Mõlemal on sama algkiiruse projektsiooni väärtus, mis vastab segmendile OA. Graafiku 1 järgi liigub punkt X-telje positiivses suunas ning kiiruse suurus ja projektsioon kasvavad ühtlaselt.
Vastavalt graafikule 2 (vt. joon. 1.54) liigub punkt teatud aja jooksul (lõik OB) X-telje positiivses suunas (vx > 0), kusjuures kiirusprojektsiooni väärtus väheneb ühtlaselt nullini (peatus). Pärast seda muutub kiiruse projektsioon negatiivseks; see tähendab, et punkt hakkas liikuma X-telje positiivsele suunale vastupidises suunas. Sel juhul suureneb kiiruse projektsioonimoodul ja seega ka kiirusmoodul. Punkti kiirenduse projektsioon on negatiivne. Kuna punkti kiiruse projektsioon väheneb ühtlaselt, jääb kiirenduse projektsioon konstantseks. Seetõttu liigub punkt pideva kiirendusega.
Pideva kiirenduse kiiruse ja kiirenduse graafikud ajas on üsna lihtsad. Peamine on siin harjuda positiivsete ja negatiivsete suuruste kuvandiga ning mitte segi ajada moodulite ja projektsioonide graafikuid.
? 1. Näidake, et kiiruse projektsiooni graafiku kaldenurk ajatelje suhtes on seda suurem, mida suurem on kiirenduse projektsioonimoodul, st kiirenduse projektsioon on sirge nurgategur.
2. Joonisel 1.55 on kujutatud kahe punkti kiirusprojektsioonide graafikud 1 ja 2. Tõesta, et graafikud vastavad liikumisele kiirendusega, mille suurus ja suund ei muutu.? Riis. 1.54 Joon. 1.55
Kuidas muutub punkti kiirus, selle kiiruse projektsiooni graafik aja funktsioonina on näidatud sirgega 1 (vt joonis 1.55)? Millele vastavad segmendid OC ja OX>?
Kuidas muutus punkti kiirus (vt graafik 2 joonisel 1.55)? Millele OS-i segment vastab? Kuhu on suunatud punkti kiirendus XI telje suhtes?

Kahe punkti kiiruste projektsioonid tahke need punktid läbival teljel on üksteisega võrdsed.
v A cos α = v B cos β.

Tõestus

Valime ristkülikukujulise fikseeritud koordinaatide süsteemi Oxyz. Võtame jäiga keha kaks suvalist punkti A ja B. Lase (x A , y A , z A ) Ja
, .

Kasutame ära asjaolu, et kui jäik keha liigub, siis vahemaa | AB| punktide vahel jääb konstantseks, st ei sõltu ajast t.
.
Samuti on konstantne kauguse ruut Diferentseerime seda võrrandit aja t suhtes, rakendades diferentseerimisreeglit.

keeruline funktsioon 2 .
(1)

Lühendame selle võrra
.
Tutvustame vektorit (1) Siis võrrand
(2)
saab esitada vektorite skalaarkorrutisena.
;
(3) .
Teostame ümberkujundamisi.
,
.
Skalaarkorrutise omaduse järgi (3) Asendus sisse | AB|.
;

ja vähendada võrra

Q.E.D.

Suhteline kiirus

Tutvustame vektorit (2) Vaatleme punkti B liikumist punkti A suhtes.
.

Tutvustame punkti B suhtelist kiirust A suhtes. saab vormis ümber kirjutada
.

See tähendab, et suhteline kiirus on risti punktist A punkti B tõmmatud vektoriga. Kuna punkt B on võetud suvaliselt, on jäiga keha mis tahes punkti suhteline kiirus risti punktist A tõmmatud raadiusvektoriga..

See tähendab, et punkti A suhtes toimub keha pöörlev liikumine. Keha punktide suhteline kiirus määratakse valemiga
.
pöörlev liikumine

Sageli nimetatakse punkti A, mille suhtes liikumist vaadeldakse

poolus

Punkti B absoluutse kiiruse fikseeritud koordinaatsüsteemi suhtes saab kirjutada järgmisel kujul: See on võrdne suvalise punkti A (pooluse) translatsioonilise liikumise kiiruse ja pooluse A suhtes pöörleva liikumise kiiruse summaga. Näide probleemi lahendamisest Probleemne seisund Rattad 1 ja 2 raadiusega R 1 = 0,15 m ja R 2 = 0,3 m, on vastavalt hingedega ühendatud 3 pikkusega vardaga 2 | AB| = 0,5 m ..

Ratas 1 pöörleb nurkkiirusega ω

1 = 1 rad/s. 1 Joonisel näidatud mehhanismi asukoha jaoks määrake nurkkiirus ω 1 rattad 2. Võtke L =
0,3 m Probleemi lahendus.
Punkt A liigub ringis raadius R).

ümber pöörlemiskeskme O. 2 Joonisel näidatud mehhanismi asukoha jaoks määrake nurkkiirus ω 2 .
Punkti A kiirus määratakse valemiga VA = ω.
1 R 1
.
Vektor on suunatud vertikaalselt (risti O-ga 1 A).

Punkt B liigub ringis . Punkti B kiirus määratakse valemiga
V B = ω
.
2 R 2
.

Siit Vektor on suunatud horisontaalselt (risti O-ga 2 B
Me ehitame täisnurkne kolmnurk.
1 R 1
.

ABC..
Rakendame Pythagorase teoreemi.

(m)

Ühtlane sirgjooneline liikumine on liikumine konstantsel kiirusel, mille puhul kiirendus puudub ja liikumise trajektooriks on sirgjoon.

Ühtlase sirgjoonelise liikumise kiirus ei sõltu ajast ja igas trajektoori punktis on suunatud samamoodi nagu keha liikumine. See tähendab, et nihkevektor langeb suunalt kokku kiirusvektoriga. Sel juhul on mis tahes ajavahemiku keskmine kiirus võrdne hetkekiirusega: $\left\langle v\right\rangle =v$

(m)

Ühtlase sirgjoonelise liikumise kiirus on füüsikaline vektori suurus, mis võrdub keha $\overrightarrow(S)$ mis tahes ajaperioodi liikumise suhtega selle intervalli väärtusesse t:

$$\overrightarrow(v)=\frac(\overrightarrow(S))(t)$$

Seega näitab ühtlase sirgjoonelise liikumise kiirus, kui palju liigub materiaalne punkt ajaühikus.

Ühtlase lineaarse liikumise nihe määratakse järgmise valemiga:

$$ \overrightarrow(S) = \overrightarrow(v) \cdot t $$

Sirgjoonelise liikumise ajal läbitud vahemaa on võrdne nihkemooduliga. Kui OX-telje positiivne suund langeb kokku liikumissuunaga, siis on kiiruse projektsioon OX-teljele võrdne kiiruse suurusega ja on positiivne: $v_x = v$, see tähendab $v $> $ 0 $

Nihke projektsioon OX-teljele on võrdne: $s = v_t = x - x0$

kus $x_0$ on keha algkoordinaat, $x$ on keha lõplik koordinaat (või keha koordinaat igal ajal)

Liikumisvõrrand ehk keha koordinaatide sõltuvus ajast $x = x(t)$ on kujul: $x = x_0 + v_t$

Kui OX-telje positiivne suund on vastupidine keha liikumissuunale, siis on keha kiiruse projektsioon OX-teljele negatiivne, kiirus on väiksem kui null ($v $

Keha kiiruse projektsiooni sõltuvus ajast on näidatud joonisel fig. 1. Kuna kiirus on konstantne ($v = const$), on kiiruse graafik ajateljega Ot paralleelne sirgjoon.

Riis. 1. Keha kiiruse projektsiooni sõltuvus ajast ühtlase sirgjoonelise liikumise korral.

Liikumise projektsioon koordinaatteljele on arvuliselt võrdne ristküliku OABC pindalaga (joonis 2), kuna liikumisvektori suurus on võrdne kiirusvektori ja aja korrutisega, mille jooksul liikumine toimus. tehtud.

Riis. 2. Keha nihke projektsiooni sõltuvus ajast ühtlase sirgjoonelise liikumise korral.

Nihke ja aja graafik on näidatud joonisel fig. 3. Graafikult on selgelt näha, et kiiruse projektsioon Ot-teljele on arvuliselt võrdne graafiku ajatelje kaldenurga puutujaga:

Riis. 3. Keha nihke projektsiooni sõltuvus ajast ühtlase sirgjoonelise liikumise korral.

Koordinaadi sõltuvus ajast on näidatud joonisel fig. 4. Jooniselt on selge, et

tg $\alpha $1 $>$ tg $\alpha $2, seega on keha 1 kiirus suurem kui keha 2 kiirus (v1 $>$ v2).

tg $\alpha $3 = v3 $

Riis. 4. Keha koordinaatide sõltuvus ajast ühtlase sirgjoonelise liikumise korral.

Kui keha on puhkeasendis, on koordinaatgraafik ajateljega paralleelne sirgjoon, st x = x0

Probleem 1

Kaks rongi liiguvad paralleelsetel rööbastel teineteise poole. Esimese rongi kiirus on 10 meetrit sekundis, esimese rongi pikkus 500 meetrit. Teise rongi kiirus on 30 meetrit sekundis, teise rongi pikkus 300 meetrit. Määrake, kui kaua kulub teisel rongil esimesest möödumiseks.

Antud: $v_1$=10 m/s; $v_2$=30 m/s; $L_1$=500 m; $L_2$=300 m

Leia: t --- ?

Aega, mis kulub rongidel üksteisest möödumiseks, saab määrata, jagades rongide kogupikkuse nende suhtelise kiirusega. Esimese rongi kiirus teise suhtes määratakse valemiga v= v1+v2 Siis on aja määramise valem järgmine: $t=\frac(L_1+L_2)(v_1+v_2)=\frac(500 +300)(10+30)= 20\c$

Vastus: Teine rong möödub esimesest 20 sekundi jooksul.

Probleem 2

Määrake jõe voolu kiirus ja paadi kiirus seisvas vees, kui on teada, et paat läbib allavoolu 300 kilomeetrit 4 tunniga ja vastuvoolu 6 tunniga.

Antud: $L$=300000 m; $t_1$=14400 s; $t_2$=21600 s

Otsi: $v_p$ - ?; $v_k$ - ?

Paadi kiirus mööda jõge kalda suhtes on $v_1=v_k+v_p$ ja voolu suhtes $v_2=v_k-v_p$. Kirjutame mõlemal juhul üles liikumisseaduse:

Olles lahendanud vp ja vk võrrandid, saame valemid jõevoolu kiiruse ja paadi kiiruse arvutamiseks.

Jõe voolukiirus: $v_p=\frac(L\left(t_2-t_1\right))(2t_1t_2)=\frac(300000\left(21600-14400\right))(2\ korda 14400\ korda 21600)=3 .47\ m/s$

Paadi kiirus: $v_к=\frac(L\left(t_2+t_1\right))(2t_1t_2)=\frac(300000\left(21600+14400\right))(2\ korda 14400\ korda 21600)=17, 36\ m/s$

Vastus: jõe kiirus on 3,47 meetrit sekundis, paadi kiirus on 17,36 meetrit sekundis.