Slaid 19

väheneb monotoonselt R-l. Ox-telg on horisontaalne asümptoot, mis suureneb monotoonselt R 8-l. x ja y mis tahes tegelike väärtuste korral; a>0, a≠1; b>0, b≠1. 7. Asümptoot 6. Ekstreemsus 5. Monotoonsus 4. Paaris, paaritu 3. Intervallid funktsiooni väärtuste võrdlemiseks ühtsusega 2. Funktsiooni väärtuste vahemik 1 Funktsiooni definitsiooni vahemik Eksponentfunktsiooni omadused Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendusmeetodid Eksponentfunktsioonil ei ole äärmust, funktsioon ei ole paaris ega paaritu (üldkuju funktsioon).

Slaid 20

Eksponentvõrratused, nende liigid ja meetodid ülesande nr 1 lahendamiseks Leia funktsiooni definitsioonipiirkond

Slaid 21

Eksponentvõrratused, nende liigid ja meetodid ülesande nr 2 lahendamiseks Määrata väärtused

Slaid 22

Eksponentvõrratused, nende tüübid ja meetodid ülesande nr 3 lahendamiseks Määrata funktsiooni tüüp kasvav kahanev kasvav kahanev

Slaid 23

Uute teadmiste tutvustamine

Slaid 24

Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendusmeetodid Lihtsaimate eksponentsiaalvõrratuste MÄÄRATLUS: Olgu a antud positiivne arv, mis ei võrdu ühega, ja b antud reaalarv. Siis võrratused ax>b (ax≥b) ja ax

Slaid 25

Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendusviisid MIDA NIMETAMISED ON ebavõrdsuse lahendamist? Tundmatu x-iga võrratuse lahendus on arv x0, mis ebavõrdsusega asendamisel annab tõelise arvulise võrratuse.

Slaid 26

Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendusmeetodid MIDA TÄHENDAB ebavõrdsuse lahendamine? Ebavõrdsuse lahendamine tähendab kõigi selle lahenduste leidmist või näitamist, et neid pole.

Slaid 27

Vaatleme funktsiooni y=ax, a>0, a≠1 ja sirge y=b graafiku suhtelist asukohta Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendusviisid y x y x y=b, b 0 y=b, b> 0 0 1 0 1 x0 x0

Slaid 28

Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendusmeetodid JÄRELDUS nr 1: Kui b≤0, siis sirge y=b ei lõiku funktsiooni y=ax graafikuga, sest asub allpool kõverat y=ax, mistõttu on xR võrratused ax>b(ax≥b) täidetud ja võrratused ax

Slaid 29

JÄRELDUS nr 2: y x 0 x0 x1 y=b, b>0 x2 Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendusmeetodid Kui a>1 ja b > 0, siis iga x1 x0- korral sirge all y=b . 1 Kui b> 0, siis sirge y = b lõikab funktsiooni y = ax graafikut ühes punktis, mille abstsiss on x0 = logab

Slaid 30

JÄRELDUS nr 2: y x 0 x0 x1 y=b, b>0 1 Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendusmeetodid Kui a>1 ja b > 0, siis iga x1 >x0 korral vastav punkt funktsioon y=ax asub sirge y=b kohal ja iga x2 0 korral lõikab sirge y = b funktsiooni y = ax graafikut ühes punktis, mille abstsiss on x0 = logab x2

Slaid 31

Lihtsamad eksponentsiaalvõrratused Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendusmeetodid

Slaid 32

Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendusmeetodid Näide nr 1.1 Vastus: suurenemine kogu definitsioonipiirkonna ulatuses, Lahendus:

Slaid 33

Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendusmeetodid Näide nr 1.2 Lahendus: Vastus: väheneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses,

Slaid 34

Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendusmeetodid Näide nr 1.3 Lahendus: Vastus: suureneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses,

Slaid 35

Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendamise meetodid Eksponentvõrratuste tüübid ja lahendamise meetodid 1) Eksponentvõrratused, taandades kõige lihtsamatele, suurenevad kogu definitsioonipiirkonna ulatuses Näide nr 1 Vastus: Lahendus:

Slaid 36

Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendusmeetodid Näide nr 1.4 Lahendus: suurenemine kogu definitsioonipiirkonna ulatuses, Vastus:

Slaid 37

Eksponentvõrratused, nende tüübid ja lahendamise meetodid Eksponentvõrratuste tüübid ja nende lahendamise meetodid Eksponentvõrratused, taandatuna kõige lihtsama näite nr 2ni, suureneb kogu definitsioonivaldkonna ulatuses Vastus: Lahendus:

Slaid 38

Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendamise meetodid Eksponentvõrratuste tüübid ja nende lahendamise meetodid 2) Eksponentvõrratused, taandamine ruutvõrratusteks Näide Pöördume definitsioonipiirkonnast tagasi muutuja x juurde, mis suureneb kõigi x kohta Vastus: Lahendus:

Slaid 39

Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendamise meetodid Eksponentvõrratuste tüübid ja nende lahendamise meetodid 3) Esimese ja teise astme homogeensed eksponentsiaalvõrratused. Esimese astme homogeensed eksponentsiaalvõrratused Näide nr 1 suureneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses Vastus: Lahendus:

Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendamise meetodid Eksponentvõrratuste tüübid ja nende lahendamise meetodid 4) Eksponentvõrratused, taandades ratsionaalsetele võrratustele Näide Pöördume tagasi muutuja x juurde, mis kasvab kogu definitsioonipiirkonna ulatuses Vastus: Lahendus:

Slaid 43

Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendamise meetodid Eksponentvõrratuste liigid ja nende lahendamise meetodid 5) Eksponentsiaalsed mittestandardsed võrratused Näide Lahendus: Lahendame hulga iga väite eraldi. Ebavõrdsus võrdub koondväärtusega

Slaid 44

Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendamise meetodid Eksponentvõrratuste tüübid ja nende lahendamise meetodid 5) Eksponentsiaalsed ebastandardsed võrratused Näide Vastus: Lahendus: Kontrollige Kontrollimine näitas, et x=1, x=3, x=1,5 on lahendused võrrand ja x=2 ei ole võrrandi lahendus. Niisiis,

Slaid 45

Teadmiste kinnistamine

Milliseid ebavõrdsusi nimetatakse eksponentsiaalseteks? Millal on eksponentsiaalsel ebavõrdsusel lahendus mis tahes x väärtuse jaoks? Millal pole eksponentsiaalsel ebavõrdsusel lahendusi? Milliseid ebavõrdsuse tüüpe te selles õppetükis õppisite? Kuidas lahendatakse kõige lihtsamad võrratused? Kuidas lahendatakse ruutvõrratusteks taanduvad ebavõrdsused? Kuidas lahendatakse homogeensed võrratused? Kuidas lahendatakse ebavõrdsus, mida saab taandada ratsionaalseks?

Slaid 46

Tunni kokkuvõte

Uurige, mida uued õpilased selles tunnis õppisid. Andke õpilastele tunnis tehtud töö eest hindeid koos üksikasjalike kommentaaridega

Slaid 47

Kodutöö

Õpik 10. klassile “Algebra ja analüüsi algus” autor S.M. Nikolsky Õppelõigud 6.4 ja 6.6, nr 6.31-6.35 ja nr 6.45-6.50 lahenda

Slaid 48

Eksponentvõrratused, nende liigid ja lahendusmeetodid

Teema 6. Eksponent- ja logaritmvõrrandid ja võrratused (11 tundi)
Tunni teema. Ebavõrdsused taandatakse kõige lihtsamaks, asendades tundmatu.
Tunni eesmärk: Arendada oskusi eksponentsiaalsete ja logaritmiliste võrratuste lahendamisel, taandades neid kõige lihtsamatele, asendades tundmatut.
Ülesanded:
Hariduslik: korrake ja kinnistage teadmisi teemal "lihtsamate eksponentsiaal- ja logaritmivõrratuste lahendamine", õppige lahendama logaritmilisi ja eksponentsiaalseid võrratusi asendusmeetodil.
Arendav: arendada õpilase võimet tuvastada kahte tüüpi ebavõrdsust ja määrata nende lahendamise viise (loogiline ja intuitiivne mõtlemine, hinnangute põhjendamine, liigitamine, võrdlemine), arendada enesekontrolli ja enesekontrolli oskusi, liikumisvõimet. etteantud algoritmi järgi hinnata ja korrigeerida saadud tulemust.
Haridus: jätkake õpilaste selliste omaduste arendamist nagu: oskus üksteist kuulata; võime teostada vastastikust kontrolli ja enesehinnangut.
Tunni tüüp: kombineeritud.
Õpik Algebra klass 10 S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Ševkin
Tundide ajal
Aja organiseerimine.
Kodutööde kontrollimine.
Põhiteadmiste värskendamine.
Eesmine:
1. Milliseid võrratusi nimetatakse lihtsaimateks eksponentsiaalvõrratusteks?
2. Selgitage lihtsate eksponentsiaalvõrratuste lahendamise tähendust.
3. Milliseid võrratusi nimetatakse lihtsaimateks logaritmilisteks võrratusteks?
4. Selgitage lihtsate logaritmiliste võrratuste lahendamise tähendust.
Tahvlile kirjutades (igaüks 1 õpilane):
Lahenda ebavõrdsused
2x<1160,3х<103log2x>5log15x>-2Uue materjali selgitus ja selle samm-sammult tugevdamine.
1.1. Uue materjali selgitus.
1. Lahendage ebavõrdsus:
2x2-3x<14Пусть х2-3х=t, тогда
2t<142t<2-2т. к. основание 2>1, siis
t<-2Обратная замена:
x2-3x<-2х2-3х+2<0Нахдим его корни: x1=1, x2=2Отмечаем эти точки на координатной прямой и выясняем знак выражения x2−3x+2 на каждом из полученных интервалов.
Meid huvitab märk „−−.“ Siis saame
Vastus:x∈(1;2)
2. Lahenda ebavõrdsus

1.2. Samm-sammuline konsolideerimine.
nr 6.49(a, c).
nr 6.52(d).
a) 74x2-9x+6>74x2-9x+6>14x2-9x+5>0x1=5/4 x2=1
Vastus: -∞;1∪54;+∞в) (13)5х2-4х-3>95х2-4х-3<-25х2-4х-1<0x1=-15 x2=1
Vastus: -15;1d) log5x2-2x-3<1
log5x2-2x-3 00<х2-2х-3<5х2-2х-3<5х2-2х-3>0 x2-2x-8<0х2-2х-3>0

Vastus: -2;-1∪3;42,1. Uue materjali selgitus.
3. Lahenda ebavõrdsus

Siis on 1 võrratus mõistlik kõigi x-ide jaoks ja teine

2.2. Samm-sammuline konsolideerimine.
Lahenda võrratus nr 6.56(c)
3.1. Uue materjali selgitus.
4. Lahenda ebavõrdsus

3.2. Samm-sammuline konsolideerimine.
Lahenda ebavõrdsus nr 6.60(a)
Õppetunni kokkuvõte.
Peegeldus.
Kodutöö.
P. 6.6
Nr 6.49 (b, d)
Nr 6.52 (a, b)
Nr 6.56 (d)
Nr 6.60 (b)

Lisatud failid

Algebra ja matemaatilise analüüsi algus. 10. klass. Õpik. Nikolsky S.M. ja jne.

Põhi- ja profiilitasemed

8. väljaanne - M.: Haridus, 2009. - 430 lk.

Õpik vastab riikliku matemaatika üldhariduse standardi föderaalkomponentidele ja sisaldab materjali nii põhi- kui ka erialataseme jaoks. Sellega saab töötada olenemata sellest, milliseid õpikuid kooliõpilased eelmistel aastatel õppisid.

Õpik on suunatud üliõpilaste ettevalmistamisele ülikooli astumiseks.

Vorming: djvu

Suurus: 15,2 MB

Vaata, lae alla:drive.google ; Rghost

Vorming: pdf

Suurus: 42,3 MB

Vaata, lae alla:drive.google ; Rghost

Märge: PDF-i kvaliteet on parem, peaaegu suurepärane. Valmistatud samast skaneeringust, 150 dpi, värviline. Kuid DJVU-s osutub see veidi halvemaks. See on juhtum, kus suurus loeb.

SISUKORD
I PEATÜKK. JUURED, VÕIMUSED, LOGARITMID
§ 1. Reaalarvud 3
1.1. Reaalarvu 3 mõiste
1.2. Palju numbreid. Reaalarvude omadused. ... 10
1,3*. Matemaatilise induktsiooni meetod 16
1.4. Permutatsioonid 22
1.5. Paigutused 25
1.6. Kombinatsioonid 27
1,7*. Arvuliste võrratuste tõestus 30
1,8*. Täisarvude jaguvus 35
1,9*. Võrdlused modulo t 38
1.10*. Probleemid tundmatute täisarvudega 40
§ 2. Ratsionaalvõrrandid ja võrratused 44
2.1. Ratsionaalsed väljendid 44
2.2. Newtoni binoomvalemid, astmete summad ja erinevused. . 48
2.3*. Polünoomide jagamine jäägiga. Eukleidiline algoritm... 53
2,4*. Bezouti teoreem 57
2,5*. Polünoomi 60 juur
2.6. Ratsionaalvõrrandid 65
2.7. Ratsionaalvõrrandisüsteemid 70
2.8. Intervallmeetod võrratuste lahendamiseks 75
2.9. Ratsionaalne ebavõrdsus 79
2.10. Mitterange ebavõrdsus 84
2.11. Ratsionaalse ebavõrdsuse süsteemid 88
§ 3. Astmejuur n 93
3.1. Funktsiooni mõiste ja selle graafik 93
3.2. Funktsioon y = x" 96
3.3. Astmejuure mõiste n 100
3.4. Paaris- ja paaritu kraadi juured 102
3.5. Aritmeetiline juur 106
3.6. L 111 astme juurte omadused
3,7*. Funktsioon y = nx (x > 0) 114
3,8*. Funktsioon y = nVx 117
3,9*. Naturaalarvu 119 juur n
§ 4. Positiivse arvu 122 võimsus
4.1. Võimsus ratsionaalse astendajaga 122
4.2. Kraadide omadused ratsionaalse astendajaga 125
4.3. Järjestuse piiri mõiste 131
4.4*. Piirmäärade omadused 134
4.5. Lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon. . . 137
4.6. Number e 140
4.7. Irratsionaalse astendajaga kraadi mõiste.... 142
4.8. Eksponentfunktsioon 144
§ 5. Logaritmid 148
5.1. Logaritmi mõiste 148
5.2. Logaritmide omadused 151
5.3. Logaritmiline funktsioon 155
5.4*. Kümnendlogaritmid 157
5,5*. Toitefunktsioonid 159
§ 6. Eksponent- ja logaritmvõrrandid ning võrratused. . 164
6.1. Kõige lihtsamad eksponentsiaalvõrrandid 164
6.2. Lihtsad logaritmvõrrandid 166
6.3. Võrrandid on taandatud kõige lihtsamateks, asendades tundmatu 169
6.4. Lihtsamad eksponentsiaalsed võrratused 173
6.5. Lihtsamad logaritmilised võrratused 178
6.6. Ebavõrdsused vähendatakse kõige lihtsama, asendades tundmatu 182
Ajalooline teave 187
II PEATÜKK. TRIGONOMEETRILISED VALEMID. TRIGONOMEETRILISED FUNKTSIOONID
§ 7. Nurga 193 siinus ja koosinus
7.1. Nurga mõiste 193
7.2. Nurga radiaanmõõt 200
7.3. Nurga 203 siinuse ja koosinuse määramine
7.4. Sin a ja cos a 211 põhivalemid
7.5. Arcsine 216
7.6. Kaarkoosinus 221
7,7*. Näited arcsiini ja arkosiini kasutamisest... 225
7,8*. Arkosiini ja arkosiini 231 valemid
§ 8. Nurga 233 puutuja ja kotangens
8.1. Nurga puutuja ja kotangensi määramine 233
8.2. Põhivalemid tg a ja ctg a 239 jaoks
8.3. Arktangent 243
8.4*. Kaare puutuja 246
8,5*. Näited arktangensi ja arkotangensi kasutamisest. . 249
8.6*. Arktangensi ja arkotangensi valemid 255
§ 9. Liitmisvalemid 258
9.1. Kahe nurga 258 summa erinevuse koosinus ja koosinus
9.2. Lisanurkade valemid 262
9.3. Siinus summast ja siinus kahe nurga erinevusest 264
9.4. Siinuste ja koosinuste summa ja vahe 266
9.5. Topelt- ja poolnurkade valemid 268
9,6*. Siinuse ja koosinuse korrutis 273
9,7*. Valemid puutujate 275 jaoks
§ 10. Arvuargumendi trigonomeetrilised funktsioonid 280
10.1. Funktsioon y = sin x 281
10.2. Funktsioon y = cos x 285
10.3. Funktsioon y = tg * 288
10.4. Funktsioon y = ctg x 292
§ 11. Trigonomeetrilised võrrandid ja võrratused 295
11.1. Lihtsad trigonomeetrilised võrrandid 295
11.2. Võrrandid on taandatud kõige lihtsamateks, asendades tundmatu 299
11.3. Põhiliste trigonomeetriliste valemite rakendamine võrrandite lahendamisel 303
11.4. Homogeensed võrrandid 307
11,5*. Lihtsamad võrratused siinuse ja koosinuse jaoks.... 310
11,6*. Kõige lihtsamad võrratused puutuja ja kotangensi jaoks. . . 315
11,7*. Ebavõrdsust vähendatakse kõige lihtsama, asendades tundmatu 319
11,8*. Abinurga 322 sissejuhatus
11,9*. Tundmatu asendamine t = sin x + cos x 327
Ajalooline teave 330
III PEATÜKK. TÕENÄOSUSTEOORIA ELEMENDID
§ 12. Sündmuse 333 tõenäosus
12.1. Sündmuse tõenäosuse mõiste 333
12.2. Sündmuse tõenäosuste omadused 338
§ 13*. Sagedus. Tinglik tõenäosus 342
13.1*. Sündmuse suhteline sagedus 342
13.2*. Tinglik tõenäosus. Sõltumatud sündmused 344
§ 14*. Oodatud väärtus. Suurte arvude seadus 348
14.1*. Matemaatiline ootus 348
14.2*. Raske kogemus 353
14.3*. Bernoulli valem. Suurte arvude seadus 355
Ajalooline teave 359
ÜLEVAADE ÜLESANDED 362
Õppeaine register 407
Vastused 410

Paljud inimesed arvavad, et eksponentsiaalne ebavõrdsus on midagi keerulist ja arusaamatut. Ja et nende lahendamise õppimine on peaaegu suur kunst, millest saavad aru vaid valitud...

Täielik jama! Eksponentsiaalne ebavõrdsus on lihtne. Ja need lahendatakse alati lihtsalt. No peaaegu alati. :)

Täna vaatame seda teemat seest ja väljast. See õppetund on väga kasulik neile, kes alles hakkavad sellest koolimatemaatika osast aru saama. Alustame lihtsatest probleemidest ja liigume edasi keerulisemate küsimuste juurde. Täna pole rasket tööd teha, kuid sellest, mida praegu loete, piisab enamiku ebavõrdsuste lahendamiseks kõikvõimalikes testides ja iseseisvas töös. Ja sellel sinu eksamil ka.

Nagu alati, alustame määratlusega. Eksponentsiaalne ebavõrdsus on igasugune võrratus, mis sisaldab eksponentsiaalset funktsiooni. Teisisõnu, selle saab alati taandada vormi ebavõrdsusele

\[((a)^(x)) \gt b\]

Kus $b$ roll võib olla tavaline number või võib-olla midagi karmimat. Näited? Jah palun:

\[\begin(joona) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ nelik ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\lõpp(joonda)\]

Ma arvan, et tähendus on selge: on eksponentsiaalne funktsioon $((a)^(x))$, seda võrreldakse millegagi ja seejärel palutakse leida $x$. Eriti kliinilistel juhtudel võivad nad muutuja $x$ asemel panna mõne funktsiooni $f\left(x \right)$ ja sellega ebavõrdsust veidi keerulisemaks muuta. :)

Muidugi võib mõnel juhul ebavõrdsus tunduda tõsisem. Näiteks:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Või isegi see:

Üldiselt võib selliste ebavõrduste keerukus olla väga erinev, kuid lõpuks taanduvad need siiski lihtsale konstruktsioonile $((a)^(x)) \gt b$. Ja me saame sellise konstruktsiooni kuidagi välja mõelda (eriti kliinilistel juhtudel, kui midagi pähe ei tule, aitavad meid logaritmid). Seetõttu õpetame nüüd teile, kuidas selliseid lihtsaid konstruktsioone lahendada.

Lihtsate eksponentsiaalvõrratuste lahendamine

Vaatleme midagi väga lihtsat. Näiteks see:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Ilmselgelt saab parempoolse arvu ümber kirjutada kahe astmena: $4=((2)^(2))$. Seega saab algse ebavõrdsuse väga mugaval kujul ümber kirjutada:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

Ja nüüd sügelevad käed võimsuste kahekesi “kriipsutada”, et saada vastus $x \gt 2$. Kuid enne millegi maha kriipsutamist, meenutagem kahe võimeid:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Nagu näete, mida suurem arv eksponendis, seda suurem on väljundarv. "Aitäh, Cap!" - hüüatab üks õpilastest. Kas see on kuidagi erinev? Kahjuks juhtub. Näiteks:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ parem))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Ka siin on kõik loogiline: mida suurem on aste, seda rohkem korrutatakse arv 0,5 iseendaga (s.o jagatakse pooleks). Seega tulemuseks olev numbrijada väheneb ning erinevus esimese ja teise jada vahel on ainult baasis:

• Kui astme $a \gt 1$ baas, siis eksponent $n$ kasvades suureneb ka arv $((a)^(n))$;
• Ja vastupidi, kui $0 \lt a \lt 1$, siis eksponendi $n$ kasvades arv $((a)^(n))$ väheneb.

Neid fakte kokku võttes saame kõige olulisema väite, millel põhineb kogu eksponentsiaalvõrratuste lahendus:

Kui $a \gt 1$, siis on võrratus $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ võrdne võrratusega $x \gt n$. Kui $0 \lt a \lt 1$, siis on võrratus $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ võrdne võrratusega $x \lt n$.

Teisisõnu, kui alus on suurem kui üks, saate selle lihtsalt eemaldada - ebavõrdsuse märk ei muutu. Ja kui alus on väiksem kui üks, saab selle ka eemaldada, kuid samal ajal peate muutma ebavõrdsuse märki.

Pange tähele, et me ei ole kaalunud valikuid $a=1$ ja $a\le 0$. Sest sellistel juhtudel tekib ebakindlus. Ütleme, kuidas lahendada ebavõrdsus kujul $((1)^(x)) \gt 3$? Üks igale võimule annab jälle ühe – me ei saa kunagi kolme või enamat. Need. lahendusi pole.

Negatiivsetel põhjustel on kõik veelgi huvitavam. Näiteks kaaluge seda ebavõrdsust:

\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]

Esmapilgul on kõik lihtne:

eks? Kuid mitte! Lahenduse vales veendumiseks piisab, kui asendada $x$ asemel paar paaris ja paar paaritu arvu. Vaata:

\[\begin(joona) & x=4\Paremnool ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Paremnool ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Paremnool ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Paremnool ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(joonda)\]

Nagu näete, on märgid vahelduvad. Kuid on ka murdarvu ja muud jama. Kuidas saaksite näiteks arvutada $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (miinus kaks astmega seitse)? Pole võimalik!

Seetõttu eeldame täpsuse huvides, et kõigis eksponentsiaalsetes võrratustes (ja muide ka võrrandites) $1\ne a \gt 0$. Ja siis lahendatakse kõik väga lihtsalt:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^ (n))\Paremnool \vasak[ \begin(joona) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(joonda) \paremale.\]

Üldiselt pidage veel kord meeles peamist reeglit: kui eksponentsiaalvõrrandi alus on suurem kui üks, saate selle lihtsalt eemaldada; ja kui alus on väiksem kui üks, saab selle ka eemaldada, kuid ebavõrdsuse märk muutub.

Näited lahendustest

Niisiis, vaatame mõnda lihtsat eksponentsiaalset ebavõrdsust:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\lõpp(joonda)\]

Esmane ülesanne on kõigil juhtudel sama: taandada võrratused lihtsaimale kujule $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Täpselt seda teeme nüüd iga võrratusega ja samal ajal kordame astmete ja eksponentsiaalfunktsioonide omadusi. Nii et lähme!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Mida sa siin teha saad? Noh, vasakul on meil juba suunav väljend - midagi pole vaja muuta. Kuid paremal on mingi jama: murd ja isegi juur nimetajas!

Pidagem siiski meeles murdude ja astmetega töötamise reegleid:

\[\begin(joona) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\lõpp(joonda)\]

Mida see tähendab? Esiteks saame murdosast kergesti vabaneda, muutes selle negatiivse astendajaga astmeks. Ja teiseks, kuna nimetajal on juur, siis oleks tore muuta see astmeks – seekord murdeksponentiga.

Rakendame neid toiminguid järjestikku ebavõrdsuse paremale poolele ja vaatame, mis juhtub:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \parem))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Ärge unustage, et kraadi tõstmisel astmeni liidetakse nende kraadide eksponendid. Ja üldiselt on eksponentsiaalvõrrandite ja ebavõrdsustega töötamisel tingimata vaja teada vähemalt lihtsamaid reegleid võimsustega töötamiseks:

\[\begin(joona) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\lõpp(joonda)\]

Tegelikult rakendasime just viimast reeglit. Seetõttu kirjutatakse meie algne ebavõrdsus ümber järgmiselt:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Paremnool ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Nüüd vabaneme kahest baasis. Kuna 2 > 1, jääb ebavõrdsuse märk samaks:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Paremnool x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(joonda)\]

See on lahendus! Peamine raskus ei seisne sugugi eksponentsiaalses funktsioonis, vaid algse avaldise pädevas teisendamises: peate selle hoolikalt ja kiiresti viima lihtsaimale kujule.

Mõelge teisele ebavõrdsusele:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Nii nii. Siin ootavad meid kümnendmurrud. Nagu olen korduvalt öelnud, tuleks kõigis võimsustega väljendites kümnendkohtadest lahti saada – see on sageli ainus viis kiire ja lihtsa lahenduse leidmiseks. Siin saame lahti:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Paremnool ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\lõpp(joonda)\]

Siin on meil jällegi kõige lihtsam ebavõrdsus ja seda isegi baasiga 1/10, s.o. vähem kui üks. Noh, eemaldame alused, muutes samaaegselt märgi "vähem" asemel "rohkem" ja saame:

\[\begin(joonda) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\lõpp(joonda)\]

Saime lõpliku vastuse: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Pange tähele: vastus on täpselt hulk ja mitte mingil juhul konstruktsioon kujul $x \lt -1$. Sest formaalselt pole selline konstruktsioon üldse hulk, vaid ebavõrdsus muutuja $x$ suhtes. Jah, see on väga lihtne, kuid see pole vastus!

Oluline märkus. Seda ebavõrdsust saab lahendada muul viisil – taandades mõlemad pooled võimule, mille baas on suurem kui üks. Vaata:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Paremnool ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Paremnool ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Pärast sellist teisendust saame jälle eksponentsiaalse võrratuse, kuid baasiga 10 > 1. See tähendab, et kümne võib lihtsalt maha kriipsutada – ebavõrdsuse märk ei muutu. Saame:

\[\begin(joonda) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\lõpp(joonda)\]

Nagu näha, oli vastus täpselt sama. Samal ajal päästsime end vajadusest sildi vahetada ja üldiselt kõiki reegleid meeles pidada. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Kuid ärge laske sellel end hirmutada. Ükskõik, mis näitajates on, jääb ebavõrdsuse lahendamise tehnoloogia ise samaks. Seetõttu paneme kõigepealt tähele, et 16 = 2 4. Kirjutame algse ebavõrdsuse ümber, võttes arvesse seda asjaolu:

\[\begin(joona) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(joonda)\]

Hurraa! Saime tavalise ruutvõrratuse! Märk pole kuskil muutunud, kuna alus on kaks - number suurem kui üks.

Funktsiooni nullid arvureal

Korraldame funktsiooni $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ märgid - ilmselgelt on selle graafik parabool harudega ülespoole, seega on plussid ” külgedel. Meid huvitab piirkond, kus funktsioon on väiksem kui null, st. $x\in \left(2;5 \right)$ on vastus algsele probleemile.

Lõpuks kaaluge teist ebavõrdsust:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Jällegi näeme eksponentsiaalfunktsiooni, mille põhjas on kümnendmurd. Teisendame selle murru tavaliseks murruks:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Paremnool \\ & \Paremnool ((0 ,2 )^(1+((x)^(2))))=((\vasak(((5)^(-1)) \parem))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(joonda)\]

Sel juhul kasutasime varem antud märkust - taandasime aluse arvule 5 > 1, et oma edasist lahendust lihtsustada. Teeme sama parema küljega:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ parem))^(2))=((5)^(-1\cpunkt 2))=((5)^(-2))\]

Kirjutame esialgse ebavõrdsuse ümber, võttes arvesse mõlemat teisendust:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Paremnool ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \parem)))\ge ((5)^(-2))\]

Mõlema külje alused on samad ja ületavad ühe. Paremal ja vasakul pole muid termineid, seega tõmbame viisikud lihtsalt läbi ja saame väga lihtsa väljendi:

\[\begin(joona) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(joonda)\]

See on koht, kus peate olema ettevaatlikum. Paljudele õpilastele meeldib lihtsalt võtta ruutjuur ebavõrdsuse mõlemast poolest ja kirjutada midagi sellist nagu $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Mitte mingil juhul ei tohi seda teha , kuna täpse ruudu juur on moodul ja mitte mingil juhul algne muutuja:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\right|\]

Moodulitega töötamine pole aga just kõige meeldivam kogemus, eks? Nii et me ei tööta. Selle asemel liigutame lihtsalt kõik terminid vasakule ja lahendame tavalise ebavõrdsuse intervallmeetodi abil:

$\begin(joonda) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(joonda)$

Märgime saadud punktid uuesti numbrireale ja vaatame märke:

Kuna lahendasime mitteranget ebavõrdsust, on kõik graafiku punktid varjutatud. Seetõttu on vastus järgmine: $x\in \left[ -1;1 \right]$ ei ole intervall, vaid segment.

Üldiselt tahaksin märkida, et eksponentsiaalses ebavõrdsuses pole midagi keerulist. Kõigi täna tehtud teisenduste tähendus taandub lihtsale algoritmile:

• Leidke alus, milleni me kõik kraadid vähendame;
• Tehke teisendused ettevaatlikult, et saada ebavõrdsus kujul $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Muidugi võivad muutujate $x$ ja $n$ asemel olla palju keerulisemad funktsioonid, kuid tähendus ei muutu;
• Kriipsuta läbi kraadide alused. Sel juhul võib ebavõrdsuse märk muutuda, kui alus $a \lt 1$.

Tegelikult on see universaalne algoritm kõigi selliste ebavõrdsuste lahendamiseks. Ja kõik muu, mida nad teile sel teemal räägivad, on vaid konkreetsed tehnikad ja nipid, mis ümberkujundamist lihtsustavad ja kiirendavad. Räägime nüüd ühest neist tehnikatest. :)

Ratsionaliseerimise meetod

Vaatleme teist ebavõrdsuse kogumit:

\[\begin(joona) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9)) \parem))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(joonda)\]

Mis neis siis nii erilist on? Nad on kerged. Kuigi, lõpetage! Kas arv π on tõstetud mõne astmeni? Milline mõttetus?

Kuidas tõsta arvu $2\sqrt(3)-3$ astmeni? Või $3-2\sqrt(2)$? Probleemide kirjutajad jõid ilmselgelt liiga palju Hawthorni enne tööle istumist. :)

Tegelikult pole nendes ülesannetes midagi hirmutavat. Tuletan meelde: eksponentsiaalfunktsioon on avaldis kujul $((a)^(x))$, kus baas $a$ on mis tahes positiivne arv peale ühe. Arv π on positiivne – me juba teame seda. Arvud $2\sqrt(3)-3$ ja $3-2\sqrt(2)$ on samuti positiivsed – seda on lihtne näha, kui võrrelda neid nulliga.

Selgub, et kõik need "hirmutavad" ebavõrdsused on lahendatud erinevalt ülalpool käsitletud lihtsatest? Ja kas need lahendatakse samamoodi? Jah, see on täiesti õige. Nende näitel tahaksin aga kaaluda ühte tehnikat, mis säästab oluliselt iseseisva töö ja eksamite aega. Räägime ratsionaliseerimise meetodist. Niisiis, tähelepanu:

Igasugune eksponentsiaalne ebavõrdsus kujul $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ on samaväärne ebavõrdsusega $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ paremal) \gt 0 $.

See on kogu meetod :) Kas sa arvasid, et tuleb mingi muu mäng? Mitte midagi sellist! Kuid see lihtne fakt, mis on kirjutatud sõna otseses mõttes ühele reale, lihtsustab meie tööd oluliselt. Vaata:

\[\begin(maatriks) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(maatriks)\]

Seega pole enam eksponentsiaalseid funktsioone! Ja te ei pea meeles pidama, kas märk muutub või mitte. Tekib aga uus probleem: mida teha neetud kordajaga \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Me ei tea, mis on arvu π täpne väärtus. Siiski näib kapten vihjavat ilmselgele:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\umbes 3.14... \gt 3\Paremnool \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

Üldiselt π täpne väärtus meid tegelikult ei puuduta – meie jaoks on oluline vaid mõista, et igal juhul $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. see on positiivne konstant ja me saame sellega jagada ebavõrdsuse mõlemad pooled:

\[\begin(joona) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(joonda)\]

Nagu näha, pidime teatud hetkel jagama miinus ühega – ja ebavõrdsuse märk muutus. Lõpus laiendasin ruuttrinoomi Vieta teoreemi abil - on ilmne, et juured on võrdsed $((x)_(1))=5$ ja $((x)_(2))=-1$ . Seejärel lahendatakse kõik klassikalise intervallimeetodi abil:

Kõik punktid eemaldatakse, kuna algne ebavõrdsus on range. Meid huvitab negatiivsete väärtustega piirkond, seega on vastus $x\in \left(-1;5 \right)$. See on lahendus. :)

Liigume edasi järgmise ülesande juurde:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Kõik siin on üldiselt lihtne, sest paremal on üksus. Ja me mäletame, et üks on mis tahes arv, mis on tõstetud nulli astmeni. Isegi kui see arv on irratsionaalne avaldis vasakpoolses põhjas:

\[\begin(joona) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \paremal))^(0)); \\\lõpp(joonda)\]

Noh, ratsionaliseerime:

\[\begin(joona) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(joonda)\ ]

Jääb vaid märke selgeks teha. Tegur $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ ei sisalda muutujat $x$ – see on lihtsalt konstant ja me peame välja selgitama selle märgi. Selleks pange tähele järgmist.

\[\begin(maatriks) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(maatriks)\]

Selgub, et teine ​​tegur pole lihtsalt konstant, vaid negatiivne konstant! Ja sellega jagades muutub algse ebavõrdsuse märk vastupidiseks:

\[\begin(joona) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(joonda)\]

Nüüd muutub kõik täiesti ilmseks. Parempoolse ruudukujulise trinoomi juured on: $((x)_(1))=0$ ja $((x)_(2))=2$. Märgime need arvureale ja vaatame funktsiooni $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ märke:

Oleme huvitatud plussmärgiga tähistatud intervallidest. Jääb üle vaid vastus kirja panna:

Liigume edasi järgmise näite juurde:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ paremal))^(16-x))\]

Noh, siin on kõik täiesti ilmne: alused sisaldavad sama arvu võimsusi. Seetõttu kirjutan kõik lühidalt:

\[\begin(maatriks) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(maatriks)\]

\[\begin(joona) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ vasak(16-x \parem))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(joonda)\]

Nagu näete, pidime teisendusprotsessi käigus korrutama negatiivse arvuga, mistõttu ebavõrdsuse märk muutus. Päris lõpus rakendasin taas Vieta teoreemi ruuttrinoomi arvutamiseks. Tulemuseks on vastus järgmine: $x\in \left(-8;4 \right)$ – seda saab igaüks kontrollida, joonistades numbrijoone, märkides punktid ja lugedes märke. Vahepeal liigume oma "komplektist" edasi viimase ebavõrdsuse juurde:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Nagu näete, on aluses jälle irratsionaalne arv ja paremal jälle ühik. Seetõttu kirjutame oma eksponentsiaalse ebavõrdsuse ümber järgmiselt:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2)) \ paremal))^(0))\]

Rakendame ratsionaliseerimist:

\[\begin(joona) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(joonda)\ ]

Siiski on üsna ilmne, et $1-\sqrt(2) \lt 0$, kuna $\sqrt(2)\ca 1,4... \gt 1$. Seetõttu on teine ​​tegur jällegi negatiivne konstant, millega saab jagada ebavõrdsuse mõlemad pooled:

\[\begin(maatriks) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(maatriks)\]

\[\begin(joonda) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(joonda)\]

Liikuge teise baasi

Omaette probleem eksponentsiaalvõrratuste lahendamisel on “õige” aluse otsimine. Kahjuks ei ole ülesande juures esmapilgul alati selge, mida võtta aluseks ja mida selle aluse astme järgi teha.

Kuid ärge muretsege: siin pole maagiat ega "salajast" tehnoloogiat. Matemaatikas saab praktikas hõlpsasti arendada mis tahes oskusi, mida ei saa algoritmiseerida. Kuid selleks peate lahendama erineva keerukusega probleeme. Näiteks nii:

\[\begin(joona) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ end(joonda)\]

Raske? Hirmutav? See on lihtsam kui kanaga asfaldile löömine! Proovime. Esimene ebavõrdsus:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Noh, ma arvan, et siin on kõik selge:

Kirjutame algse ebavõrdsuse ümber, taandades kõik kahele alusele:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Paremnool \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Jah, jah, sa kuulsid õigesti: ma lihtsalt rakendasin ülalkirjeldatud ratsionaliseerimismeetodit. Nüüd peame hoolikalt töötama: meil on murd-ratsionaalne ebavõrdsus (see on selline, mille nimetajas on muutuja), nii et enne kui võrdsustada midagi nulliga, peame viima kõik ühisele nimetajale ja vabanema konstantsest tegurist. .

\[\begin(joona) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(joonda)\]

Nüüd kasutame standardintervalli meetodit. Lugeja nullid: $x=\pm 4$. Nimetaja läheb nulli ainult siis, kui $x=0$. Kokku on kolm punkti, mis tuleb arvjoonele märkida (kõik punktid on nööpnõelaga välja märgitud, kuna ebavõrdsuse märk on range). Saame:

Nagu võite arvata, tähistab varjutus neid intervalle, mille järel vasakpoolne avaldis võtab negatiivseid väärtusi. Seetõttu sisaldab lõplik vastus korraga kahte intervalli:

Intervallide lõppu vastuses ei arvestata, kuna algne ebavõrdsus oli range. Seda vastust ei ole vaja täiendavalt kontrollida. Sellega seoses on eksponentsiaalsed võrratused palju lihtsamad kui logaritmilised: pole ODZ-d, puuduvad piirangud jne.

Liigume edasi järgmise ülesande juurde:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Ka siin pole probleeme, kuna me juba teame, et $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, seega saab kogu ebavõrdsuse ümber kirjutada järgmiselt:

\[\begin(joona) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Paremnool ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \right) \right. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(joonda)\]

Pange tähele: kolmandas reas otsustasin mitte raisata aega pisiasjadele ja jagada kõik kohe (−2-ga). Minul läks esimesse sulgu (nüüd on plussid igal pool) ja kaks vähendati konstantse koefitsiendiga. Täpselt seda peaksite tegema, kui koostate iseseisvaks ja testtööks reaalseid arvutusi – te ei pea iga tegevust ja teisendust otse kirjeldama.

Järgmisena tuleb mängu tuttav intervallide meetod. Lugeja nullid: aga neid pole. Sest diskriminant on negatiivne. Nimetaja lähtestatakse omakorda ainult $x=0$ juures – täpselt nagu eelmine kord. Noh, on selge, et paremal pool $x=0$ saab murdosa positiivseid väärtusi ja vasakule - negatiivseid. Kuna meid huvitavad negatiivsed väärtused, on lõplik vastus: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

Mida peaksite tegema eksponentsiaalvõrratuste kümnendmurdudega? See on õige: vabanege neist, muutes need tavalisteks. Siin tõlgime:

\[\begin(joona) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Paremnool ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ vasak(\frac(4)(25) \parem))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Paremnool ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)) (4)\paremal))^(x)). \\\lõpp(joonda)\]

Mida me siis eksponentsiaalfunktsioonide alustes saime? Ja me saime kaks vastastikku pöördarvu:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Paremnool ((\left(\frac(25)(4) \) parem))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \parem))^(x))=((\ vasak(\frac(4)(25) \parem))^(-x))\]

Seega saab esialgse ebavõrdsuse ümber kirjutada järgmiselt:

\[\begin(joona) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25)) \paremal))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\lõpp(joonda)\]

Muidugi, korrutades astmeid sama alusega, liidetakse nende eksponendid, mis juhtus ka teisel real. Lisaks esindasime parempoolset üksust, ka võimuna baasis 4/25. Jääb üle vaid ratsionaliseerida:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Paremnool \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Pange tähele, et $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, st. teine ​​tegur on negatiivne konstant ja sellega jagades muutub ebavõrdsuse märk:

\[\begin(joona) & x+1-0\le 0\Paremnool x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(joonda)\]

Lõpuks viimane ebavõrdsus praegusest "komplektist":

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

Põhimõtteliselt on ka siinse lahenduse idee selge: kõik ebavõrdsesse kuuluvad eksponentsiaalsed funktsioonid tuleb taandada baasile "3". Kuid selleks peate juurte ja jõududega veidi nuputama:

\[\begin(joona) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\lõpp(joonda)\]

Neid fakte arvesse võttes saab esialgse ebavõrdsuse ümber kirjutada järgmiselt:

\[\begin(joona) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\parem))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\lõpp(joonda)\]

Pöörake tähelepanu arvutuste 2. ja 3. reale: enne kui midagi ebavõrdsusega ette võtate, viige see kindlasti vormile, millest me õppetunni algusest peale rääkisime: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Niikaua kui teil on vasakul või paremal mõned vasakukäelised tegurid, lisakonstandid jne, põhjuseid ei saa ratsionaliseerida ega läbi kriipsutada! Sellest lihtsast tõsiasjast arusaamatuse tõttu on lugematu arv ülesandeid valesti täidetud. Ma ise jälgin seda probleemi oma õpilastega pidevalt, kui me alles hakkame eksponentsiaalset ja logaritmilist ebavõrdsust analüüsima.

Kuid pöördume tagasi oma ülesande juurde. Proovime seekord ilma ratsionaliseerimiseta hakkama. Pidagem meeles: astme alus on suurem kui üks, seega võib kolmikud lihtsalt maha kriipsutada – ebavõrdsuse märk ei muutu. Saame:

\[\begin(joonda) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(joonda)\]

See on kõik. Lõplik vastus: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Stabiilse avaldise eraldamine ja muutuja asendamine

Kokkuvõtteks teen ettepaneku lahendada veel neli eksponentsiaalset ebavõrdsust, mis on ettevalmistamata õpilaste jaoks juba üsna keerulised. Nendega toimetulemiseks peate meeles pidama kraadidega töötamise reegleid. Eelkõige ühiste tegurite sulgudest välja jätmine.

Kuid kõige tähtsam on õppida aru saama, mida täpselt saab sulgudest välja võtta. Sellist avaldist nimetatakse stabiilseks – seda saab tähistada uue muutujaga ja seeläbi vabaneda eksponentsiaalfunktsioonist. Niisiis, vaatame ülesandeid:

\[\begin(joonda) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(joonda)\]

Alustame päris esimesest reast. Kirjutame selle ebavõrdsuse eraldi:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Pange tähele, et $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, seega parem käsi poole saab ümber kirjutada:

Pange tähele, et võrratuses pole muid eksponentsiaalseid funktsioone peale $(5)^(x+1))$. Ja üldiselt ei esine muutujat $x$ kusagil mujal, seega võtame kasutusele uue muutuja: $((5)^(x+1))=t$. Saame järgmise konstruktsiooni:

\[\begin(joona) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(joonda)\]

Naaseme algse muutuja juurde ($t=((5)^(x+1))$) ja samal ajal jätame meelde, et 1=5 0 . Meil on:

\[\begin(joonda) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\lõpp(joonda)\]

See on lahendus! Vastus: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Liigume edasi teise ebavõrdsuse juurde:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Siin on kõik endine. Pange tähele, et $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Seejärel saab vasaku poole ümber kirjutada:

\[\begin(joona) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \parem. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Paremnool ((3)^(x))\ge 9\Paremnool ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Paremnool x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\lõpp(joonda)\]

Umbes nii peate koostama lahenduse reaalseteks katseteks ja iseseisvaks tööks.

Noh, proovime midagi keerulisemat. Näiteks siin on ebavõrdsus:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Milles siin probleem on? Esiteks on vasakpoolsete eksponentsiaalfunktsioonide alused erinevad: 5 ja 25. Samas 25 = 5 2, seega saab esimese liikme teisendada:

\[\begin(joona) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(joonda )\]

Nagu näete, viisime alguses kõik samale alusele ja siis märkasime, et esimest liiget saab hõlpsasti teiseks taandada - peate lihtsalt eksponendit laiendama. Nüüd võid julgelt kasutusele võtta uue muutuja: $((5)^(2x+2))=t$ ja kogu ebavõrdsus kirjutatakse ümber järgmiselt:

\[\begin(joonda) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(joonda)\]

Ja jällegi pole raskusi! Lõplik vastus: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Liigume tänases õppetunnis edasi lõpliku ebavõrdsuse juurde:

\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Esimene asi, millele peaksite tähelepanu pöörama, on loomulikult kümnendmurd esimese astme baasis. Sellest on vaja lahti saada ja samal ajal viia kõik eksponentsiaalsed funktsioonid samale alusele - arv “2”:

\[\begin(joona) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Paremnool ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Paremnool ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \parem))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(joonda)\]

Suurepärane, oleme astunud esimese sammu – kõik on viinud samale alusele. Nüüd peate valima stabiilse avaldise. Pange tähele, et $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Kui võtta kasutusele uus muutuja $((2)^(4x+6))=t$, siis saab algse võrratuse ümber kirjutada järgmiselt:

\[\begin(joonda) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\lõpp(joonda)\]

Loomulikult võib tekkida küsimus: kuidas me avastasime, et 256 = 2 8? Kahjuks on siin vaja lihtsalt teada kahe astmeid (ja samal ajal kolme ja viie astmeid). Noh, või jagage 256 2-ga (võite jagada, kuna 256 on paarisarv), kuni saame tulemuse. See näeb välja umbes selline:

\[\begin(joona) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(joonda )\]

Sama lugu on kolmega (numbrid 9, 27, 81 ja 243 on selle kraadid) ja seitsmega (ka numbrid 49 ja 343 oleks tore meeles pidada). Noh, viiel on ka "ilusad" kraadid, mida peate teadma:

\[\begin(joonda) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\lõpp(joonda)\]

Loomulikult saab soovi korral kõik need numbrid oma mõtetes taastada, lihtsalt korrutades need järjestikku üksteisega. Kui aga lahendada tuleb mitu eksponentsiaalset võrratust ja iga järgmine on eelmisest keerulisem, siis viimane asi, millele tahad mõelda, on mõne arvu astmed. Ja selles mõttes on need probleemid keerulisemad kui "klassikalised" ebavõrdsused, mida lahendatakse intervallmeetodiga.

Loodan, et see õppetund aitas teil seda teemat omandada. Kui midagi jääb arusaamatuks, küsige kommentaarides. Ja kohtumiseni järgmistes tundides. :)