Puutuja konstrueerimine puutujaringidele. Kahe ringi suhteline asukoht

Tavaliselt antakse sellise ülesande puhul ring ja punkt. On vaja konstrueerida ringi puutuja ja puutuja peab läbima antud punkti.

Kui punkti asukohta ei määrata, siis tuleks eraldi välja tuua kolm võimalikku punkti asukoha juhtumit.

Kui punkt asub antud ringiga piiratud ringi sees, siis puutujat ei saa selle kaudu konstrueerida.
Kui punkt asub ringil, siis puutuja konstrueeritakse antud punkti raadiusega risti oleva sirge konstrueerimise teel.
Kui punkt asub väljaspool ringiga piiratud ringi, siis enne puutuja konstrueerimist otsitakse ringil punkt, mida see läbima peab.

Teise juhtumi lahendamiseks konstrueeritakse sirgele, millel raadius asub, segment, mis on raadiusega võrdne ja asub ringjoone punkti teisel küljel. Seega osutub ringi punkt kahekordse raadiusega lõigu keskpaigaks. Järgmisena konstrueeritakse kaks ringi, mille raadiused on võrdsed algse ringi kahekordse raadiusega ja mille keskpunktid lõigu otstes on võrdsed kahekordse raadiusega. Nende ringide mis tahes lõikepunkti ja ülesande tingimustega määratud punkti kaudu tõmmatakse sirgjoon. See on mediaan, mis on risti algse ringi raadiusega, st on sellega risti ja seetõttu puutuja ringiga.

Kolmanda juhtumi, kui punkt asub väljaspool ringiga piiratud ringi, saate lahendada järgmiselt. On vaja konstrueerida lõik, mis ühendab antud ringi keskpunkti ja antud punkti. Järgmisena leidke selle keskpunkt, konstrueerides mediaanristi (kirjeldatud eelmises lõigus). Pärast seda joonistage ring (või osa sellest). Konstrueeritud ringi ja ülesandetingimustega määratud lõikepunktiks on puutuja läbimise punkt, mis läbib ka ülesandetingimustega määratud punkti. Läbi kahe teadaoleva punkti tõmmatakse puutuja.

Tõestamaks, et konstrueeritud sirge on puutuja, tuleks arvesse võtta nurka, mille moodustab ülesande tingimustega antud ringi raadius ja lõiku, mis ühendab ringide lõikepunkti tingimuste poolt antud punktiga. probleem. See nurk toetub poolringile (konstrueeritud ringi läbimõõt), mis tähendab, et see on sirge. See tähendab, et raadius on konstrueeritud joonega risti. Seetõttu on konstrueeritud joon puutuja.

Tunni eesmärgid

Hariduslik – teadmiste kordamine, üldistamine ja testimine teemal: “Ringi puutuja”; põhioskuste arendamine.
Arendav – arendada õpilaste tähelepanu, visadust, visadust, loogilist mõtlemist, matemaatilist kõnet.
Hariv - kasvatage tunni kaudu tähelepanelikku suhtumist üksteisesse, sisendage oskust kuulata kaaslasi, vastastikust abi ja iseseisvust.
Tutvustage puutuja, kokkupuutepunkti mõistet.
Mõelge puutuja ja selle märgi omadusele ning näidake nende rakendamist looduse ja tehnika probleemide lahendamisel.

Tunni eesmärgid

Arendage puutujate konstrueerimise oskusi skaalajoonlaua, nurgamõõturi ja kolmnurga joonistamise abil.
Testige õpilaste probleemide lahendamise oskusi.
Tagada põhiliste algoritmiliste tehnikate valdamine ringi puutuja koostamiseks.
Arendada oskust rakendada teoreetilisi teadmisi probleemide lahendamisel.
Arendada õpilaste mõtlemist ja kõnet.
Töötage vaatlemise, mustrite märkamise, üldistamise ja analoogia põhjal arutlemise oskuste arendamisega.
Huvi tekitamine matemaatika vastu.

Tunniplaan

Tangensi mõiste tekkimine.
Tangensi ajalugu.
Geomeetrilised määratlused.
Põhiteoreemid.
Ringjoone puutuja konstrueerimine.
Konsolideerimine.

Tangensi mõiste tekkimine

Puutuja mõiste on matemaatikas üks vanemaid. Geomeetrias on ringi puutuja defineeritud kui sirget, millel on selle ringiga täpselt üks lõikepunkt. Muistsed suutsid sirklite ja joonlaudade abil joonistada puutujaid ringile ja hiljem koonuslõikudele: ellipse, hüperbooli ja parabooli.

Tangensi ajalugu

Huvi puutujate vastu elavnes uusajal. Siis avastati kõverad, mida iidsed teadlased ei teadnud. Näiteks Galileo tutvustas tsükloidi ning Descartes ja Fermat konstrueerisid sellele puutuja. 17. sajandi esimesel kolmandikul. Nad hakkasid mõistma, et puutuja on sirgjoon, mis on antud punkti väikeses naabruses kõveraga kõige lähemal. Lihtne on ette kujutada olukorda, kus antud punktis (joonis) on võimatu konstrueerida kõvera puutujat.

Geomeetrilised määratlused

Ring- antud punktist võrdsel kaugusel asuvate punktide geomeetriline asukoht, mida nimetatakse selle keskpunktiks.

ring.

Seotud määratlused

Nimetatakse lõiku, mis ühendab ringi keskpunkti selle mis tahes punktiga (nagu ka selle lõigu pikkusega). raadius ringid.
Ringjoonega piiratud tasandi osa nimetatakse ümberringi.
Ringjoone kahte punkti ühendavat lõiku nimetatakse selle lõiguks akord. Ringjoone keskpunkti läbivat akordi nimetatakse läbimõõt.
Mis tahes kaks lahknevat punkti ringil jagavad selle kaheks osaks. Kõiki neid osi nimetatakse kaar ringid. Kaare mõõt võib olla sellele vastava kesknurga mõõt. Kaart nimetatakse poolringiks, kui selle otste ühendav segment on läbimõõduga.
Nimetatakse sirget, millel on täpselt üks ringjoonega ühine punkt puutuja ringile ning nende ühispunkti nimetatakse sirge ja ringi puutumispunktiks.
Nimetatakse sirget, mis läbib kahte ringi punkti sekant.
Ringjoone kesknurk on tasapinnaline nurk, mille keskmes on tipp.
Nimetatakse nurka, mille tipp asub ringjoonel ja mille küljed selle ringiga lõikuvad sisse kirjutatud nurk.
Nimetatakse kahte ringi, millel on ühine keskpunkt kontsentriline.

Puutejoon- sirgjoon, mis läbib kõvera punkti ja kattub sellega selles punktis kuni esimese järguni.

Ringi puutuja on sirgjoon, millel on ringjoonega üks ühine punkt.

Sirge, mis läbib ringi punkti samal tasapinnal, mis on risti selle punkti raadiusega nimetatakse puutujaks. Sel juhul nimetatakse seda ringi punkti puutepunktiks.

Kui meie juhtudel on "a" sirgjoon, mis puutub antud ringiga, siis punkt "A" on puutepunkt. Sel juhul a⊥OA (sirge a on raadiusega OA risti).

Nad ütlevad seda kaks ringi puudutavad, kui neil on üks ühine punkt. Seda punkti nimetatakse ringide kokkupuutepunkt. Puutepunkti kaudu saab ühele ringile tõmmata puutuja, mis on ühtlasi ka teise ringi puutuja. Puudutavad ringid võivad olla sisemised või välised.

Puutujat nimetatakse sisemiseks, kui ringide keskpunktid asuvad puutujaga samal küljel.

Puutujat nimetatakse väliseks, kui ringide keskpunktid asuvad puutuja vastaskülgedel

a on kahe ringi ühine puutuja, K on puutepunkt.

Põhiteoreemid

Teoreem puutuja ja sekanti kohta

Kui väljaspool ringi asuvast punktist tõmmatakse puutuja ja sekant, siis on puutuja pikkuse ruut võrdne sekandi ja selle välisosa korrutisega: MC 2 = MA MB.

Teoreem. Ringjoone puutepunktini tõmmatud raadius on puutujaga risti.

Teoreem. Kui raadius on risti joonega punktis, kus see lõikub ringiga, on see sirge selle ringi puutuja.

Tõestus.

Nende teoreemide tõestamiseks peame meeles pidama, mis on risti punktist sirgele. See on lühim vahemaa sellest punktist selle jooneni. Oletame, et OA ei ole puutujaga risti, vaid puutujaga on risti OS. Pikkus OS sisaldab raadiuse pikkust ja teatud lõiku BC, mis on kindlasti suurem kui raadius. Seega saab seda tõestada mis tahes rea jaoks. Järeldame, et raadius, kokkupuutepunkti tõmmatud raadius, on punktist O puutujani lühim kaugus, s.o. OS on puutujaga risti. Pöördteoreemi tõestuses lähtume sellest, et puutujal on ringjoonega vaid üks ühine punkt. Olgu sellel sirgel ringiga veel üks ühine punkt B. Kolmnurk AOB on ristkülikukujuline ja selle kaks külge on raadiusega võrdsed, mis ei saa nii olla. Seega leiame, et sellel sirgel pole ringiga rohkem ühispunkte peale punkti A, s.t. on puutuja.

Teoreem. Ringjoone ühest punktist tõmmatud puutujalõigud on võrdsed ja seda punkti ringi keskpunktiga ühendav sirgjoon jagab puutujate vahelise nurga.

Tõestus.

Tõestus on väga lihtne. Kasutades eelmist teoreemi, kinnitame, et OB on risti AB-ga ja OS on risti AC-ga. Täisnurksed kolmnurgad ABO ja ACO on jala ja hüpotenuusiga võrdsed (OB=OS - raadiused, AO - summaarsed). Seetõttu on nende küljed AB=AC ja nurgad OAC ja OAB võrdsed.

Teoreem. Ringjoonel ühise punktiga puutuja ja kõõlu moodustatud nurga suurus võrdub poolega selle külgede vahele jääva kaare nurga suurusest.

Tõestus.

Vaatleme puutuja ja kõõlu moodustatud nurka NAB. Joonistame vahelduvvoolu läbimõõdu. Puutuja on risti puutepunkti tõmmatud läbimõõduga, seega ∠CAN=90 o. Teades teoreemi, näeme, et nurk alfa (a) võrdub poolega kaare BC nurga väärtusest või poolega nurgast BOS. ∠NAB=90 o -a, siit saame ∠NAB=1/2(180 o -∠BOC)=1/2∠AOB ehk = pool kaare BA nurga väärtusest. jne.

Teoreem. Kui punktist ringile tõmmatakse puutuja ja sekant, siis antud punktist puutujapunkti puutuja lõigu ruut võrdub antud punktist punktideni kulgevate lõikude pikkuste korrutisega. selle ristumisest ringiga.

Tõestus.

Joonisel näeb see teoreem välja selline: MA 2 = MV * MC. Tõestame seda. Eelmise teoreemi kohaselt on nurk MAC võrdne poolega kaare AC nurga väärtusest, aga ka nurk ABC on teoreemi järgi võrdne poole kaare AC nurga väärtusest, seega on need nurgad võrdsed muud. Võttes arvesse asjaolu, et kolmnurkadel AMC ja BMA on tipus M ühine nurk, esitame nende kolmnurkade sarnasuse kahe nurga all (teine märk). Sarnasusest saame: MA/MB=MC/MA, millest saame MA 2 =MB*MC

Ringjoone puutujate konstrueerimine

Proovime nüüd selle välja mõelda ja välja selgitada, mida tuleb teha ringi puutuja konstrueerimiseks.

Sel juhul annab ülesanne reeglina ringi ja punkti. Ja teie ja mina peame konstrueerima ringi puutuja, nii et see puutuja läbiks antud punkti.

Juhul, kui me ei tea punkti asukohta, siis vaatleme punktide võimalike asukohtade juhtumeid.

Esiteks võib punkt olla ringi sees, mis on piiratud antud ringiga. Sel juhul ei ole võimalik selle ringi kaudu puutujat konstrueerida.

Teisel juhul asub punkt ringil ja puutuja saame konstrueerida, tõmmates raadiusega risti, mis tõmmatakse meile teadaoleva punktini.

Kolmandaks oletame, et punkt asub väljaspool ringi, mis on ringiga piiratud. Sel juhul tuleb enne puutuja konstrueerimist leida ringjoonel punkt, mida puutuja peab läbima.

Esimesel juhul loodan, et kõik on teile selge, kuid teise variandi lahendamiseks peame konstrueerima lõigu sirgjoonele, millel raadius asub. See segment peab olema võrdne raadiuse ja segmendiga, mis asub ringi vastasküljel.

Siin näeme, et ringi punkt on lõigu keskpunkt, mis on võrdne kahekordse raadiusega. Järgmine samm on kahe ringi ehitamine. Nende ringide raadiused on võrdsed kahekordse algse ringi raadiusega, kusjuures lõigu otstes on keskpunktid, mis võrdub kahekordse raadiusega. Nüüd saame tõmmata sirge läbi mis tahes nende ringide ja antud punkti lõikepunkti. Selline sirgjoon on algselt tõmmatud ringi raadiusega risti olev mediaan. Seega näeme, et see sirge on ringiga risti ja sellest järeldub, et see on ringi puutuja.

Kolmandas variandis on meil punkt, mis asub väljaspool ringi, mis on piiratud ringiga. Sel juhul konstrueerime esmalt segmendi, mis ühendab etteantud ringi keskpunkti ja antud punkti. Ja siis leiame selle keskpaiga. Kuid selleks on vaja konstrueerida risti poolitaja. Ja sa juba tead, kuidas seda ehitada. Seejärel peame joonistama ringi või vähemalt osa sellest. Nüüd näeme, et antud ringi ja vastloodud ringi lõikepunkt on punkt, mida puutuja läbib. See läbib ka punkti, mis oli määratud vastavalt probleemi tingimustele. Ja lõpuks saate läbi kahe teile teada oleva punkti tõmmata puutujajoone.

Ja lõpuks, selleks, et tõestada, et meie konstrueeritud sirge on puutuja, peame pöörama tähelepanu nurgale, mille moodustasid ringi raadius ja lõigu, mis on tuntud tingimusega ja ühendab ringide lõikepunkti. punktiga, mille annab probleemi tingimus. Nüüd näeme, et saadud nurk toetub poolringile. Ja sellest järeldub, et see nurk on õige. Järelikult on raadius risti uue konstrueeritud sirgega ja see sirge on puutuja.

Puutuja konstrueerimine.

Puutejoonte konstrueerimine on üks neist probleemidest, mis viis diferentsiaalarvutuse sünnini. Leibnizi esimene avaldatud diferentsiaalarvutustega seotud töö kandis pealkirja "Uus maksimumide ja miinimumide, samuti puutujate meetod, mille jaoks ei ole takistuseks murdarvud ega irratsionaalsuurused ega eriline arvutus".

Vanade egiptlaste geomeetrilised teadmised.

Kui mitte arvestada Tigrise ja Eufrati ning Väike-Aasia vahelise oru muistsete elanike väga tagasihoidlikku panust, siis geomeetria tekkis Vana-Egiptuses juba enne 1700. aastat eKr. Troopilisel vihmaperioodil täiendas Niilus oma veevarusid ja ajas üle. Vesi kattis haritavaid maa-alasid ja maksustamise eesmärgil tuli kindlaks teha, kui palju maad kaotati. Maamõõtjad kasutasid mõõtmisvahendina tihedalt venitatud köit. Teine stiimul egiptlaste geomeetriliste teadmiste kogumiseks oli nende tegevus, näiteks püramiidide ehitamine ja kujutav kunst.

Geomeetriliste teadmiste taset saab hinnata iidsete käsikirjade järgi, mis on pühendatud spetsiaalselt matemaatikale ja on midagi õpikute, õigemini probleemraamatute sarnast, kus antakse lahendusi erinevatele praktilistele probleemidele.

Egiptlaste vanima matemaatilise käsikirja kopeeris üks õpilane aastatel 1800–1600. eKr. vanemast tekstist. Papüüruse leidis Vene egüptoloog Vladimir Semenovitš Goleništšev. Seda hoitakse Moskvas - A.S.i nimelises kaunite kunstide muuseumis. Puškin ja seda nimetatakse Moskva papüüruseks.

Londonis hoitakse teist matemaatilist papüürust, mis on kirjutatud kaks kuni kolmsada aastat hiljem kui Moskva oma. Seda nimetatakse: “Õpetus, kuidas saavutada teadmine kõigist tumedatest asjadest, kõigist saladustest, mida asjad endas peidavad... Vanade mälestusmärkide järgi kirjutas selle kirjatundja Ahmes.” Käsikirja nimetatakse “Ahmesi papüüruseks”, või Rhindi papüürus – selle inglase nime järgi, kes selle papüüruse Egiptuses leidis ja ostis. Ahmesi papüürus pakub lahendusi 84 probleemile, mis hõlmavad erinevaid arvutusi, mida praktikas vaja võib minna.

Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

Kogutud isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta unikaalsete pakkumiste, tutvustuste ja muude sündmuste ning eelseisvate sündmustega.
Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Teabe avaldamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, kohtumenetluses ja/või Venemaa Föderatsiooni valitsusasutuste avalike taotluste või taotluste alusel - avaldada oma isikuandmeid. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.

Isikuandmete kaitse

Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.

Vene Föderatsiooni haridus- ja teadusministeerium

Valla eelarveline õppeasutus

Novosibirski linn "Gümnaasium nr 4"

Sektsioon: matemaatika

UURIMUS

sellel teemal:

KAHE PUUTUMIRINGI OMADUSED

10. klassi õpilased:

Khaziakhmetov Radik Ildarovitš

Zubarev Jevgeni Vladimirovitš

Juhendaja:

L.L. Barinova

Matemaatika õpetaja

Kõrgeim kvalifikatsioonikategooria

§ 1. Sissejuhatus………..………………………….………………………………………………………3

§ 1.1 Kahe ringi suhteline asukoht………………………………………………………3

§ 2 Omadused ja nende tõendid……………………………………………………………..…………………………….…4

§ 2.1 Kinnistu 1………………………………………………………..………………………….…4

§ 2.2 Kinnistu 2………………………………………………………..…………………………………5

§ 2.3 Kinnistu 3…………………………………………………………..………………………………6

§ 2.4 Vara 4…………………………………………………………..…………………………………6

§ 2.5 Vara 5………………………………………………………………………………………8

§ 2.6 Kinnistu 6………………………………………………………..………………………………………9

§ 3 Ülesanded…………………………………………………..……………………………………..…11

Viited…………………………………………………………………………………….………….13

§ 1. Sissejuhatus

Paljusid kahte puutujaringi puudutavaid probleeme saab lahendada lühidalt ja lihtsalt, teades mõningaid järgmisena esitatavaid omadusi.

Kahe ringi suhteline asukoht

Alustuseks määrame kindlaks kahe ringi võimaliku suhtelise asukoha. Võib olla 4 erinevat juhtumit.

1. Ringid ei tohi ristuda.

2. Lõikuvad.

3. Puudutage välisküljel ühte punkti.

4. Puudutage ühes punktis sees.

§ 2. Omadused ja nende tõendid

Liigume otse omaduste tõestamise juurde.

§ 2.1 Vara 1

Ringjoontega puutujate lõikepunktide vahelised lõigud on üksteisega võrdsed ja võrdsed antud ringide kahe geomeetrilise keskmise raadiusega.

Tõestus 1. O 1 A 1 ja O 2 B 1 – kokkupuutepunktidesse tõmmatud raadiused.

2. О 1 А 1 ┴ А 1 В 1, О2В1 ┴ А 1 В 1 → О 1 А 1 ║ О 2 В 1. (vastavalt punktile 1)

▲O 1 O 2 D – ristkülikukujuline, sest О 2 D ┴ О 2 В 1
O 1 O 2 = R + r, O 2 D = R – r

Pythagorase teoreemi kohaselt A 1 B 1 = 2√Rr

(O1D2 =(R+r)2-(R-r)2 =R2 +2Rr+r2-R2 +2Rr-r2 =√4Rr=2√Rr)

A 2 B 2 = 2√Rr (tõestatud sarnaselt)

1) Joonestame puutujate ja ringjoonte ristumispunktidesse raadiused.

2) Need raadiused on puutujatega risti ja üksteisega paralleelsed.

3) Alandame risti väiksema ringi keskpunktist suurema ringi raadiuse suunas.

4) Saadud täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on võrdne ringide raadiuste summaga. Jalg on võrdne nende erinevusega.

5) Pythagorase teoreemi abil saame vajaliku seose.

§ 2.2 Vara 2

Ringjoonte puutujapunktiga lõikuva sirge lõikepunktid, mis ei asu üheski neist puutujatega, jagavad puutepunktidega piiratud väliste puutujate lõigud pooleks osadeks, millest igaüks on võrdne nende ringide raadiuste geomeetrilise keskmisega.

Tõestus 1.PRL= MA 1 (puutujate segmentidena)

2.MC = MV 1 (puutujate segmentidena)

3.A 1 M = MV 1 = √Rr, A 2 N = NB 2 = √Rr (vastavalt punktidele 1 ja 2 )

Tõestuses kasutatud väited Ühest punktist teatud ringile tõmmatud puutujalõigud on võrdsed. Kasutame seda omadust mõlema antud ringi jaoks.

§ 2.3 Vara 3

Väliste puutujate vahele jääva sisepuutuja lõigu pikkus on võrdne kokkupuutepunktide vahelise välispuutuja segmendi pikkusega ja võrdub antud ringide kahe geomeetrilise keskmise raadiusega.

Tõestus See järeldus tuleneb eelmisest omadusest.

MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B 1 = 2√Rr

§ 2.4 Vara 4

Puuteringide keskpunktidest ja puutepunktidele tõmmatud raadiuste vahelise puutuja lõigu keskpunktist moodustatud kolmnurk on ristkülikukujuline. Selle jalgade suhe on võrdne nende ringide raadiuste juurte jagatisega.

Tõestus 1.MO 1 on nurga A 1 MS poolitaja, MO 2 on nurga B 1 MS poolitaja, sest Nurga sisse kirjutatud ringi keskpunkt asub selle nurga poolitajal.

2. Vastavalt punktile 1 РО 1 MS + РСМО 2 = 0,5 (РА1МС + РСМВ 1) = 0,5 p = p/2

3.РО 1 MO 2 – otsene. MC on kolmnurga O 1 MO 2 kõrgus, sest puutuja MN on risti puutepunktidele tõmmatud raadiustega → kolmnurgad O 1 MC ja MO 2 C on sarnased.

4.O 1 M / MO 2 = O 1 C / MC = r / √Rr = √r / R (sarnane)

Tõestuses kasutatud väited 1) Nurga sisse kirjutatud ringi keskpunkt asub selle nurga poolitajal. Kolmnurga jalad on nurkade poolitajad.

2) Kasutades seda, et sel viisil moodustatud nurgad on võrdsed, leiame, et otsitav nurk on täisnurk. Me järeldame, et see kolmnurk on tõepoolest täisnurkne.

3) Tõestame nende kolmnurkade sarnasuse, mille kõrgus (kuna puutuja on risti puutepunktidele tõmmatud raadiustega) jagab täisnurkse kolmnurga ja sarnasuse abil saame vajaliku suhte.

§ 2.5 Vara 5

Kolmnurk, mille moodustavad ringjoonte kokkupuutepunkt üksteisega ja ringide lõikepunktid puutujaga, on ristkülikukujuline. Selle jalgade suhe on võrdne nende ringide raadiuste juurte jagatisega.

Tõestus

▲A 1 MC ja ▲SMV 1 on võrdhaarsed → ÐMA 1 C = ÐMSA 1 = α, ÐMV 1 C = ÐMSV 1 = β.

2α + 2β + RA 1 MC + RSMV 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (RA 1 MC + RSMV 1) = 2p - p = p, α + β = p/2

Kuid RA 1 SV 1 = α + β → RA 1 SV 1 – otsene → RA 1 CO 2 = RS 1 O 2 = p/2 – β = α

▲A 1 MC ja ▲CO 2 B 1 on sarnased → A 1 C / SV 1 = MC / O 2 B 1 = √Rr / R = √r / R

Tõestuses kasutatud väited 1) Paneme kirja kolmnurkade nurkade summa, kasutades ära asjaolu, et need on võrdhaarsed. Kolmnurkade võrdhaarsed on tõestatud puutujalõikude võrdsuse omaduse abil.

2) Sel viisil nurkade summa kirja pannes leiame, et kõnealune kolmnurk on täisnurgaga, seega ristkülikukujuline. Väite esimene osa on tõestatud.

3) Kasutades kolmnurkade sarnasust (selle põhjendamiseks kasutame kahe nurga all sarnasuse märki) leiame täisnurkse kolmnurga jalgade suhte.

§ 2.6 Vara 6

Ringjoonte lõikepunktidest puutujaga moodustatud nelinurk on trapets, millesse saab kirjutada ringjoone.

Tõestus 1.▲A 1 RA 2 ja ▲B 1 PB 2 on võrdhaarsed, sest A 1 P = RA 2 ja B 1 P = PB 2 puutujate segmentidena → ▲A 1 RA 2 ja ▲B 1 PB 2 – sarnased.

2.A 1 A 2 ║ B 1 B 2, sest sekandi A 1 B 1 ristumiskohas moodustatud vastavad nurgad on võrdsed.

MN – keskjoon vastavalt omadusele 2 → A 1 A 2 + B 1 B 2 = 2MN = 4√Rr

A 1 B 1 + A 2 B 2 = 2√Rr + 2√Rr = 4√Rr = A 1 A 2 + B 1 B 2 → trapetsis A 2 A 1 B 1 B 2 on aluste summa võrdne külgede summale ja see on sissekirjutatud ringi olemasolu vajalik ja piisav tingimus.

Tõestuses kasutatud väited 1) Kasutame taas puutujate segmentide omadust. Tema abiga tõestame puutujate ja puutepunktide lõikepunktide moodustatud kolmnurkade võrdkülgseid külgi.

2) Sellest järeldub, et need kolmnurgad on sarnased ja nende alused on paralleelsed. Selle põhjal järeldame, et see nelinurk on trapets.

3) Kasutades varem tõestatud omadust (2), leiame trapetsi keskjoone. See võrdub kahe ringide geomeetrilise keskmise raadiusega. Saadud trapetsis on aluste summa võrdne külgede summaga ja see on sissekirjutatud ringi olemasoluks vajalik ja piisav tingimus.

§ 3. Probleemid

Vaatame praktilist näidet selle kohta, kuidas saate ülaltoodud omaduste abil ülesande lahendamist lihtsustada.

Probleem 1

Kolmnurga ABC külje AC = 15 cm Kolmnurka on sisse kirjutatud ringjoon. Teine ring puudutab esimest ja külgi AB ja BC. Küljel AB on valitud punkt F ja küljel BC punkt M nii, et lõik FM on ringjoonte ühine puutuja. Leidke kolmnurga BFM ja nelinurga AFMC pindalade suhe, kui FM on 4 cm ja punkt M asub ühe ringi keskpunktist kaks korda kaugemal kui teise ringi keskpunktist.

Arvestades: FM-kogu puutuja AC=15cm FM=4cm O 2 M=2О 1 M

Leidke S BFM / S AFMC

Lahendus:

1) FM = 2√Rr, O 1 M/O 2 M = √r/R

2) 2√Rr=4, √r/R=0,5 →r=1, R=4; PQ=FM=4

3) ▲BO 1 P ja ▲BO 2 Q on sarnased → BP/BQ=O 1 P/O 2 Q, BP/(BP+PQ)=r/R, BP/(BP+4)=0,25; BP = 4/3

4) FM+BP = 16/3, S FBM = r*P FBM = 1 * (16/3) = 16/3; AC+BQ=15+4/3+4=61/3

5) S ABC = R*P ABC = 4* (61/3) = 244/3 → S BFM / S AFMC = (16/3): (244/3) = 4/61

Probleem 2

Võrdhaarsesse kolmnurka ABC on kantud kaks puutujaringi, mille ühine punkt D ja ühine puutuja FK, mis läbivad seda punkti. Leidke nende ringide keskpunktide vaheline kaugus, kui kolmnurga alus AC = 9 cm ja ringide puutepunktide vahele jääva kolmnurga külje lõik on 4 cm.

Arvestades: ABC – võrdhaarne kolmnurk; FK – sissekirjutatud ringide ühine puutuja. AC = 9 cm; NE = 4 cm

Lahendus:

Olgu sirged AB ja CD lõikuvad punktis O. Siis OA = OD, OB = OC, seega CD = = AB = 2√Rr

Punktid O 1 ja O 2 asuvad nurga AOD poolitajal. Võrdhaarse kolmnurga AOD poolitaja on selle kõrgus, seega AD ┴ O 1 O 2 ja BC ┴ O 1 O 2, mis tähendab

AD ║ BC ja ABCD – võrdhaarne trapets.

Segment MN on selle keskjoon, seega AD + BC = 2MN = 2AB = AB + CD

Seetõttu saab sellesse trapetsi sisse kirjutada ringi.

Olgu AP trapetsi kõrgus, täisnurksed kolmnurgad ARB ja O 1 FO 2 on sarnased, seega AP/O 1 F = AB/O 1 O 2 .

Siit leiame selle

Bibliograafia

Ajalehe “Esimene september” lisa “Matemaatika” nr 43, 2003
Ühtne riigieksam 2010. Matemaatika. Ülesanne C4. Gordin R.K.