3.1. Polaarkoordinaadid

Kasutatakse sageli lennukis polaarkoordinaatide süsteem . See on määratletud, kui punkt O on antud, kutsutud poolus, ja poolusest väljuv kiir (meie jaoks on see telg Ox) – polaartelg. Punkti M asukoht on fikseeritud kahe numbriga: raadius (või raadiuse vektor) ja nurk φ polaartelje ja vektori vahel. Nurka φ nimetatakse polaarnurk; mõõdetuna radiaanides ja loendatuna polaarteljest vastupäeva.

Punkti asukoha polaarkoordinaatide süsteemis annab järjestatud arvupaar (r; φ). Poola juures r = 0, ja φ ei ​​ole määratletud. Kõigi muude punktide jaoks r > 0, ja φ on defineeritud kuni liikmeni, mis on 2π kordne. Sel juhul on arvupaarid (r; φ) ja (r 1 ; φ 1) seotud sama punktiga, kui .

Ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi jaoks xOy Punkti ristkoordinaadid on kergesti väljendatavad selle polaarkoordinaatidena järgmiselt:

3.2. Geomeetriline tõlgendus kompleksarv

Vaatleme tasapinna Descartes'i ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi xOy.

Iga kompleksarv z=(a, b) on seotud punktiga tasapinnal koordinaatidega ( x, y), Kus koordinaat x = a, s.t. kompleksarvu reaalosa ja koordinaat y = bi on imaginaarne osa.

Tasand, mille punktid on kompleksarvud, on komplekstasand.

Joonisel kompleksarv z = (a, b) vastab punktile M(x, y).

Harjutus.Joonistage koordinaattasandile kompleksarvud:

3.3. Trigonomeetriline vorm kompleksarv

Kompleksarvul tasapinnal on punkti koordinaadid M(x;y). Sel juhul:

Kompleksarvu kirjutamine - kompleksarvu trigonomeetriline vorm.

Kutsutakse numbrit r moodul kompleksarv z ja on määratud . Moodul – mittenegatiivne tegelik arv. Sest .

Moodul on null siis ja ainult siis z = 0, st. a = b = 0.

Kutsutakse numbrit φ argument z ja on määratud. Argument z on määratletud mitmetähenduslikult, nagu polaarnurk polaarkoordinaatide süsteemis, nimelt kuni liikmeni, mis on 2π kordne.

Seejärel aktsepteerime: , kus φ on argumendi väikseim väärtus. See on ilmne

.

Teemat põhjalikumalt uurides tuuakse sisse abiargument φ*, nii et

Näide 1. Leidke kompleksarvu trigonomeetriline vorm.

Lahendus. 1) vaatleme moodulit: ;

2) otsin φ: ;

3) trigonomeetriline vorm:

Näide 2. Leidke kompleksarvu algebraline vorm .

Siin piisab väärtuste asendamisest trigonomeetrilised funktsioonid ja teisendage väljend:

Näide 3. Leia kompleksarvu moodul ja argument;

1) ;

2) ; φ – 4 kvartali jooksul:

3.4. Toimingud koos kompleksarvud trigonomeetrilisel kujul

· Liitmine ja lahutamine Seda on mugavam teha algebralisel kujul olevate kompleksarvudega:

· Korrutamine- lihtsa abiga trigonomeetrilised teisendused seda saab näidata Korrutamisel korrutatakse arvude moodulid ja lisatakse argumendid: ;

Tasapinnal asuva punkti asukoha määramiseks võite kasutada polaarkoordinaate [g, (r), Kus G on punkti kaugus lähtepunktist ja (lk- nurk, mis moodustab raadiuse - selle punkti vektor telje positiivse suunaga Oh. Nurga muutmise positiivne suund (lk Vaadeldav suund on vastupäeva. Descartes'i ja polaarkoordinaatide vahelise seose ärakasutamine: x = g cos avg,y = g sin (lk,

saame kompleksarvu kirjutamise trigonomeetrilise vormi

z - r(sin (p + i sin

Kus G

Xi + y2, (p on kompleksarvu argument, mis leitakse

l X . y a

valemid cos(p --, sin^9 ​​= - või tänu sellele, et tg(p --, (p-arctg

Pange tähele, et väärtuste valimisel kolmap viimasest võrrandist on vaja arvestada märkidega x ja y.

Näide 47. Kirjutage kompleksarv trigonomeetrilisel kujul 2 = -1 + l/Z/.

Lahendus. Leiame kompleksarvu mooduli ja argumendi:

= yj 1 + 3 = 2 . Nurk kolmap leiame suhetest cos (lk = -, sin(p = - . Siis

saame cos(p = -,suup

u/z g~

• - -. Ilmselgelt asub punkt z = -1 + V3-/
• 2 To 3

teisel veerandil: (lk= 120°

Asendamine

2 k.. cos — h; patt

valemis (1) leiti 27Г L

Kommenteeri. Kompleksarvu argument ei ole üheselt määratletud, vaid termini piires, mis on arvu kordne 2p. Siis läbi sp^g tähistama

argumendi väärtus sees (lk 0 %2 Siis

A)^r = + 2kk.

Kasutades kuulsat Euleri valemit e, saame kompleksarvu kirjutamise eksponentsiaalse vormi.

Meil on r = g(co^(p + i?,p(p)=ge,

Tehted kompleksarvudega

• 1. Kahe kompleksarvu summa r, = X] + y x/ ja g 2 - x 2 +y 2 / määratakse valemi r järgi! +2 2 = (x, +^2) + (^1 + ^2)' r
• 2. Kompleksarvude lahutamise tehte on defineeritud liitmise pöördtehetena. Kompleksnumber g = g x - g 2, Kui g 2 + g = g x,

on kompleksarvude 2 erinevus ja g 2. Siis r = (x, - x 2) + (y, - juures 2) /.

• 3. Kahe kompleksarvu korrutis g x= x, +y, -z ja 2 2 = x 2+ U2‘r määratakse valemiga
• *1*2 =(* +U"0(X 2+ T 2 -0 = X 1 X 2 Y 1 2 -1 +x Y2 " * + U1 U2 " ^ =

= (хх 2 ~УУ 2)+(Х У2 + Х 2У)-"-

Eelkõige y-y= (x + y-y)(x-y /)= x 2 + y 2.

Saate hankida valemeid kompleksarvude korrutamiseks eksponentsiaalses ja trigonomeetrilises vormis. Meil on:

• 1^2 – G x e 1 = )G 2 e > = G]G 2 cOs((P + keskmine 2) + isin
• 4. Kompleksarvude jagamine on defineeritud kui pöördtehte

korrutamine, s.o. number G-- mida nimetatakse jaotuse r jagatiseks! g 2 peal,

Kui g x -1 2 ? 2 . Siis

X + Ti _ (*і + RÜ 2 ~ 1 U2 ) x 2 + ІУ2 ( 2 + ^У 2)( 2 ~ 1 У 2)

x,x 2 + /y,x 2 - ix x y 2 - i 2 y x y 2 (x x x 2 + y x y 2)+ /(- x,y 2 + X 2 Y])

2 2 x 2 + Y 2

1 e

i(r g

• - 1U e "(1 Fg) - I.сОї((Р -ср 1)+ І- (lk-,)] >2 >2
• 5. Kompleksarvu tõstmine positiivse täisarvu astmeni on kõige parem, kui arv on kirjutatud eksponentsiaalses või trigonomeetrilises vormis.

Tõepoolest, kui g = ge 1 siis

=(ge,) = g p e t = G"(co8 psr+іт gkr).

valem g" =r n (cosn(p+on n(p) nimetatakse Moivre valemiks.

6. Juure eraldamine p- kompleksarvu astmet defineeritakse kui astmeni tõstmise pöördoperatsiooni p, p- 1,2,3,... st. kompleksarv = y[g nimetatakse juureks p- kompleksarvu astmes

g, kui G = g x. Sellest määratlusest järeldub, et g - g", A g x= l/g. (r-psr x, A sr^-sr/n, mis tuleneb Moivre'i valemist, mis on kirjutatud arvule = r/*+ іьіпп(р).

Nagu eespool märgitud, ei ole kompleksarvu argument üheselt määratletud, vaid kuni termini, mis on 2 kordne. ja. Sellepärast = (p + 2pk, ja arvu r argument, olenevalt sellest Kellele, tähistame (r k ja puh

dem arvutada valemi abil (r k= - +. On selge, et on n com-

kompleksarvud, n mille aste on võrdne arvuga 2. Nendel arvudel on üks

ja sama moodul on võrdne y[g, ja nende arvude argumendid saadakse To = 0, 1, p - 1. Seega trigonomeetrilisel kujul juur i-th kraadid arvutatakse järgmise valemi abil:

(p + 2 kp . . K + 2 kp

, To = 0, 1, 77-1,

.(p+2ktg

ja eksponentsiaalsel kujul - valemi järgi l[g - y[ge p

Näide 48. Tehke kompleksarvudega algebralises vormis tehteid:

a) (1-/H/2) 3 (3 + /)

• (1 - /l/2) 3 (z + /) = (1 - zl/2/ + 6/2 - 2 l/2 / ? 3) (3 + /) =
• (1 – Zl/2/ – 6 + 2l/2/DZ + /) = (- 5 – l/2/DZ + /) =

15-Zl/2/-5/-l/2/2 = -15 - Zl/2/-5/+ l/2 = (-15 +l/2)-(5 +Zl/2)/;

Näide 49. Tõstke arv r = Uz - / viienda astmeni.

Lahendus. Saame arvu r kirjutamise trigonomeetrilise vormi.

G = l/3 + 1 =2, C08 (p --, 5ІІ7 (lk =

• (1–2/X2 + /)
• (z-,)

O - 2.-X2 + o

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (z-O" (z-O

Z/ 2 12-51 + 3 15 - 5/

• (3-i) 'з+/
• 9 + 1 z_±.
• 5 2 1 "

Siit O--, A r = 2

Saame Moivre'i: mina -2

/ ^ _ 7G, . ?G

• -SS-- ІБІП -

• --b / -

= -(l/w + g) = -2.

Näide 50: leidke kõik väärtused

Lahendus, r = 2, a kolmap leiame võrrandist sob(p = -,zt--.

See punkt 1 - /d/z asub neljandas kvartalis, s.o. f =--. Siis

• 1 - 2
• ( ( UG L

Leiame avaldisest juurväärtused

V1 - /l/z = l/2

• --+ 2А:/г ---ь 2 kk
• 3 . . 3

S08--1- ja 81P-

Kell Kellele - 0 meil on 2 0 = l/2

Arvu 2 juure väärtused leiate, esitades numbrit ekraanil

-* TO/ 3 + 2 cl

Kell To= 1, meil on veel üks juurväärtus:

• 7G. 7G_
• ---ь27г ---ь2;г
• 3. . h

7G . . 7G L-С05- + 181П - 6 6

• --N-

co? - 7G + /5SH - I"

l/3__t_

teliaalne vorm. Sest r= 2, a kolmap= , siis g = 2е 3 , а y[g = y/2e 2

Tehted algebralisel kujul kirjutatud kompleksarvudega

Kompleksarvu algebraline vorm z =(a,b).nimetatakse vormi algebraliseks avaldiseks

z = a + bi.

Aritmeetilised tehted kompleksarvudega z 1 = a 1 + b 1 i Ja z 2 = a 2 + b 2 i, mis on kirjutatud algebralises vormis, viiakse läbi järgmiselt.

1. Kompleksarvude summa (vahe).

z 1 ± z 2 = (a 1 ±a 2) + (b 1 ±b 2)∙ mina,

need. liitmine (lahutamine) toimub vastavalt polünoomide liitmise reeglile sarnaste liikmete redutseerimisega.

2. Kompleksarvude korrutis

z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 -b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 +a 2 ∙b 1)∙ mina,

need. korrutamine toimub polünoomide korrutamise tavapärase reegli järgi, võttes arvesse asjaolu, et i 2 = 1.

3. Kahe kompleksarvu jagamine toimub järgmise reegli järgi:

, (z 2 ≠ 0),

need. jagamine toimub dividendi ja jagaja korrutamisel jagaja konjugaatarvuga.

Kompleksarvude astendamine on defineeritud järgmiselt:

Seda on lihtne näidata

Näited.

1. Leidke kompleksarvude summa z 1 = 2 – i Ja z 2 = – 4 + 3i.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙ mina)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Leidke kompleksarvude korrutis z 1 = 2 – 3i Ja z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3ma∙ 5i = 7+22i.

3. Leidke jagatis z divisjonist z 1 = 3 – 2na z 2 = 3 – i.

z = .

4. Lahendage võrrand: , x Ja y Î R.

(2x+y) + (x+y)i = 2 + 3i.

Kompleksarvude võrdsuse tõttu on meil:

kus x =–1 , y= 4.

5. Arvutage: i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i -1 , i -2 .

6. Arvutage, kui .

.

7. Arvutage arvu pöördväärtus z=3-i.

Kompleksarvud trigonomeetrilisel kujul

Keeruline tasapind nimetatakse tasapinnaks ristkoordinaatidega ( x, y), kui iga punkt koordinaatidega ( a, b) on seotud kompleksarvuga z = a + bi. Sel juhul nimetatakse abstsisstelge tegelik telg, ja ordinaattelg on kujuteldav. Siis iga kompleksarv a+bi geomeetriliselt kujutatud tasapinnal punktina A (a, b) või vektor.

Seega punkti asukoht A(ja seega kompleksarv z) saab määrata vektori | pikkusega | = r ja nurk j, mille moodustab vektor | | reaaltelje positiivse suunaga. Vektori pikkust nimetatakse kompleksarvu moodul ja seda tähistatakse | z |=r ja nurk j helistas kompleksarvu argument ja on määratud j = arg z.

On selge, et | z| ³ 0 ja | z | = 0 Û z = 0.

Jooniselt fig. 2 on selge, et.

Kompleksarvu argument määratakse mitmetähenduslikult, kuid täpsusega 2 pk, kÎ Z.

Jooniselt fig. 2 on ka selge, et kui z=a+bi Ja j=arg z, See

cos j =, patt j =, tg j = .

Kui zÎR Ja z> 0, siis arg z = 0 +2pk;

Kui z ОR Ja z< 0, siis arg z = p + 2pk;

Kui z = 0,arg z määratlemata.

Argumendi põhiväärtus määratakse intervallil 0 £ arg z 2 naela p,

või -lk£ arg z £ p.

Näited:

1. Leidke kompleksarvude moodul z 1 = 4 – 3i Ja z 2 = –2–2i.

2. Määratlege komplekstasandil järgmiste tingimustega määratletud alad:

1) | z | = 5; 2) | z| 6 naela; 3) | z – (2+i) | 3 naela; 4) £6 | z – i| 7 naela.

Lahendused ja vastused:

1) | z| = 5 Û Û - ringjoone võrrand raadiusega 5 ja keskpunktiga alguspunktis.

2) Ringjoon raadiusega 6, mille keskpunkt on alguspunktis.

3) Ring raadiusega 3, mille keskpunkt on punktis z 0 = 2 + i.

4) Ring, mis on piiratud raadiusega 6 ja 7, mille keskpunkt on punktis z 0 = i.

3. Leia arvude moodul ja argument: 1) ; 2) .

1) ; A = 1, b = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2i; a =–2, b =-2 Þ ,

.

Vihje: peamise argumendi määramisel kasutage komplekstasandit.

Seega: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 = , .

4) , r 4 = 1, j 4 = , .