Väljade määratlemise superpositsiooni põhimõte. Elektrivälja tugevuse ja potentsiaali superpositsiooni põhimõte

Üheks ülesandeks, mille elektrostaatika endale seab, on välja parameetrite hindamine laengute antud statsionaarse jaotuse korral ruumis. Ja superpositsiooni põhimõte on üks sellise probleemi lahendamise võimalusi.

Superpositsiooni põhimõte

Oletame kolme üksteisega interakteeruva punktlaengu olemasolu. Eksperimendi abil on võimalik mõõta igale laengule mõjuvaid jõude. Et leida kogujõud, millega kaks teist laengut ühel laengul mõjutavad, peate liitma nende kahe jõud vastavalt rööpkülikureeglile. Sel juhul on loogiline küsimus: kas igale laengule mõjuv mõõdetud jõud ja kahe teise laengu jõudude kogusumma on üksteisega võrdsed, kui jõud arvutatakse Coulombi seaduse järgi. Uurimistulemused näitavad sellele küsimusele positiivset vastust: tõepoolest, mõõdetud jõud on võrdne Coulombi seaduse järgi arvutatud jõudude summaga muudele laengutele. See järeldus on kirjutatud väidete kogumi kujul ja seda nimetatakse superpositsiooni põhimõtteks.

Definitsioon 1

Superpositsiooni põhimõte:

• kahe punktlaengu vastastikmõju jõud teiste laengute olemasolul ei muutu;
• jõud, mis mõjub punktlaengule kahest teisest punktlaengust, on võrdne jõudude summaga, mis mõjuvad sellele mõlemast punktlaengust teise puudumisel.

Laenguväljade superpositsiooni põhimõte on sellise nähtuse nagu elekter uurimise üks aluseid: selle olulisus on võrreldav Coulombi seaduse tähtsusega.

Juhul, kui me räägime laengute komplektist N (st mitmest väljaallikast), siis testlaengu poolt kogetav kogujõud q, saab määrata järgmise valemiga:

F → = ∑ i = 1 N F i a → ,

kus F i a → on jõud, millega see laengut mõjutab q tasu q i kui muud N - 1 laengut pole.

Kasutades superpositsiooni põhimõtet, kasutades punktlaengute vastastikmõju seadust, on võimalik määrata lõplike mõõtmetega kehal esinevate laengute vastastikmõju jõud. Selleks jagatakse iga laeng väikesteks laenguteks d q (me käsitleme neid punktlaengutena), mis seejärel võetakse paarikaupa; arvutatakse vastasmõju jõud ja lõpuks teostatakse saadud jõudude vektorliitmine.

Superpositsiooniprintsiibi väljatõlgendus

2. definitsioon

Väljatõlgendus: Kahe punktlaengu väljatugevus on intensiivsuse summa, mille iga laengu tekitab teise puudumisel.

Üldjuhul on pingete suhtes superpositsiooni põhimõttel järgmine märge:

E → = ∑ E i → ,

kus E i → = 1 4 π ε 0 q i ε r i 3 r i → on i-nda punktlaengu intensiivsus, r i → on i-ndast laengust teatud ruumipunkti tõmmatud vektori raadius. See valem ütleb meile, et suvalise arvu punktlaengute väljatugevus on kõigi punktlaengute väljatugevuste summa, kui teisi ei ole.

Inseneripraktika kinnitab superpositsiooni põhimõtte järgimist isegi väga suure väljatugevuse korral.

Aatomite ja tuumade väljad on olulise tugevusega (suurusjärgus 10 11 - 10 17 V m), kuid ka sel juhul kasutati energiatasemete arvutamiseks superpositsiooni printsiipi. Sel juhul langesid arvutuste tulemused suure täpsusega kokku katseandmetega.

Samas tuleb ka tähele panna, et väga väikeste vahemaade (suurusjärgus ~ 10 - 15 m) ja ülitugevate väljade puhul superpositsiooniprintsiip ilmselt ei ole täidetud.

Näide 1

Näiteks raskete tuumade pinnal, mille tugevus on suurusjärgus ~ 10 22 V m, on superpositsiooniprintsiip täidetud ja tugevusel 10 20 V m tekivad interaktsiooni kvantmehaanilised mittelineaarsused.

Kui laengu jaotus on pidev (st diskreetsust pole vaja arvestada), saadakse koguväljatugevus valemiga:

E → = ∫ d E → .

Selles kirjes toimub integreerimine laengu jaotuspiirkonnas:

• kui laengud jaotuvad piki joont (τ = d q d l - laengu lineaarne jaotustihedus), toimub integreerimine piki joont;
• laengute jaotamisel üle pinna (σ = d q d S - pinnatihedus distributsioonid) integreerimine toimub üle pinna;
• mahulise laengujaotusega (ρ = d q d V - mahulise jaotuse tihedus) toimub integreerimine ruumala ulatuses.

Superpositsiooni põhimõte võimaldab teadaolevat tüüpi ruumilaengujaotuse korral leida E → mis tahes ruumipunkti jaoks.

Näide 2

Antud on identsed punktlaengud q, mis asuvad ruudu a küljega tippudes. On vaja kindlaks teha, millist jõudu avaldavad ülejäänud kolm laengut igale laengule.

Lahendus

Joonisel 1 illustreerime jõude, mis mõjutavad mis tahes antud laenguid ruudu tippudes. Kuna tingimuses on kirjas, et laengud on identsed, siis on võimalik illustreerimiseks valida ükskõik milline neist. Paneme kirja laengut q 1 mõjutava summeeriva jõu:

F → = F 12 → + F 14 → + F 13 → .

Jõud F 12 → ja F 14 → on suuruselt võrdsed, defineerime need järgmiselt:

F 13 → = k q 2 2 a 2 .

Joonistamine 1

Nüüd paneme paika O X telje suuna (joonis 1), koostame võrrandi F → = F 12 → + F 14 → + F 13 →, asendame sellega ülaltoodud jõumoodulid ja seejärel:

F = 2 k q 2 a 2 · 2 2 + k q 2 2 a 2 = k q 2 a 2 2 2 + 1 2 .

Vastus: jõud, mis avaldab igale antud laengule, mis asub ruudu tippudes, on võrdne F = k q 2 a 2 2 2 + 1 2.

Näide 3

Antakse elektrilaeng, mis jaotub ühtlaselt piki õhukest niiti (lineaartihedusega τ). On vaja üles kirjutada avaldis, mis määrab väljatugevuse kaugusel a keerme lõpust piki selle jätkumist. Keerme pikkus – l .

Joonistamine 2

Lahendus

Meie esimene samm on niidi punktlaengu esiletõstmine d q. Koostagem selle jaoks vastavalt Coulombi seadusele elektrostaatilise välja tugevust väljendav rekord:

d E → = k d q r 3 r → .

Antud punktis on kõigil pingevektoritel piki OX-telge sama suund, siis:

d E x = k d q r 2 = d E .

Probleemi tingimus on, et laengu jaotus piki keerme on etteantud tihedusega ühtlane ja kirjutame järgmise:

Asendame selle kirje varem kirjutatud elektrostaatilise väljatugevuse avaldises, integreerime ja saame:

E = k ∫ a l + a τ d r r 2 = k τ - 1 r a l + a = k τ l a (l + a) .

Vastus: Väljatugevus näidatud punktis määratakse valemiga E = k τ l a (l + a) .

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Väljad. Dipoolväli

Vaatleme meetodit intensiivsusvektori E mooduli ja suuna määramiseks statsionaarsete laengute süsteemi Q 1, Q 2,..., Q n poolt tekitatud elektrostaatilise välja igas punktis.

Kogemus näitab, et mehaanikas käsitletav jõu mõju sõltumatuse põhimõte on rakendatav Coulombi jõududele (vt § 6), s.t katselaengule Q 0 väljalt mõjuv jõud F on võrdne jõudude F i vektorsummaga. kantakse sellele iga laengu Q külgedega ;.

Vastavalt (79.1) F = Q 0 E ja F 1 = Q 0 E 1, kus E on tekkiva välja tugevus ja E 1 on laengu Q 1 tekitatud välja tugevus . Asendades viimased avaldised (80.1), saame

(80.2)

Valem (80.2) väljendab elektrostaatiliste väljade superpositsiooni (rakendamise) põhimõtet, mille kohaselt laengute süsteemi poolt tekitatava välja tugevus E on võrdne geomeetriline summa väljatugevused, mis on loodud antud punktis iga laengu poolt eraldi.

Superpositsiooni põhimõte on rakendatav elektridipooli elektrostaatilise välja arvutamiseks. Elektriline dipool - süsteem, mille suurus on kaks võrdset vastassuunalist punktlaengut (+Q, - Q), kaugus l mille vahel on oluliselt väiksem kaugus välja vaadeldavate punktideni. Vektorit, mis on suunatud piki dipooltelge (mõlemat laengut läbiv sirgjoon) negatiivsest laengust positiivsele laengule ja võrdub nendevahelise kaugusega, nimetatakse dipooli käeks l. Vektor

(80.3)

mis ühtib suunaliselt dipoolharuga ja võrdub laengu |Q| korrutisega haruga 1, nimetatakse dipool- ehk dipoolmomendi elektrimomendiks (joonis 122).

kus E + ja E_ on vastavalt positiivsete ja negatiivsete laengute tekitatud väljatugevused. Selle valemi abil arvutame välja tugevuse suvalises punktis piki dipooltelje pikendust ja risti selle telje keskkohaga.

Nagu jooniselt näha, dipoolvälja tugevus punktis A on suunatud piki dipooltelge ja on suuruselt võrdne

Kauguse märkimine punktist A dipooltelje keskele läbi r, saame vaakumi valemi (79.2) alusel kirjutada

Dipooli määratluse kohaselt l/2 ≪ g, seega

2. Välja tugevus telgede suhtes tõstetud ristil selle keskelt, punktist IN(joonis 123). Punkt IN seega võrdsel kaugusel laengutest

kus r" on kaugus punktist IN dipooli käe keskele. Võrdhaarsete kolmnurkade sarnasusest, mis toetuvad dipoolharule ja vektorile E sisse, saame

(80.5)

Asendades väärtuse (80.4) avaldisesse (80.S), saame

Vektoril E g on dipooli elektrimomendi vektorile vastupidine suund (vektor p on suunatud negatiivselt laengult positiivsele).

Gaussi teoreem elektrostaatika kohta

Väljad vaakumis

Elektrilaengute süsteemi väljatugevuse arvutamist elektrostaatiliste väljade superpositsiooni põhimõttel saab oluliselt lihtsustada, kasutades saksa teadlase K. Gaussi (1777-1855) tuletatud teoreemi, mis määrab intensiivsusvektori voolu. elektriväli läbi suvalise suletud pinna.

Valemi (79.3) kohaselt intensiivsusvektori voog läbi raadiusega r sfäärilise pinna , katab punktlaengu Q , asub selle keskel (joonis 124), on võrdne

See tulemus kehtib mis tahes kujuga suletud pinna puhul. Tõepoolest, kui ümbritseda kera (joonis 124) suvalise suletud pinnaga, siis läbib seda pinda ka iga sfääri tungiv pingeliin.

Kui suvalise kujuga suletud pind ümbritseb laengut (joonis 125), siis kui mis tahes valitud pingejoon pinnaga lõikub, siis see kas siseneb või väljub sellest.

Paaritu arv lõikepunkte voo arvutamisel taandub lõpuks üheks ristumiskohaks, kuna voogu peetakse pinnalt väljuvate pingejoonte puhul positiivseks ja pinnale sisenevate joonte puhul negatiivseks. Kui suletud pind ei võta vastu laengut, siis on seda läbiv voog null, kuna pinnale sisenevate tõmbejoonte arv on võrdne sellelt väljuvate tõmbejoonte arvuga.

Seega mis tahes kujuga pinna puhul, kui see on suletud ja sisaldab punktlaengu Q , vektori E voog on võrdne Q/e 0-ga , st.

(81.1)

Voolu märk langeb kokku laengu Q märgiga .

Vaatleme n laengut ümbritseva suvalise pinna üldist juhtumit. Vastavalt superpositsiooni põhimõttele (80.2) on kõigi laengute tekitatud väljatugevus E võrdne iga laengu poolt eraldi tekitatud väljatugevuste E summaga: . Sellepärast

Vastavalt (81.1) on iga summamärgi all olev integraal võrdne Q i /e 0 . Seega

(81.2)

Valem (81.2) väljendab Gaussi teoreemi elektrostaatilise välja kohta vaakumis: elektrostaatilise väljatugevuse vektori voog vaakumis läbi suvalise suletud pinna on võrdne selle pinna sees olevate laengute algebralise summaga, jagatud e 0-ga. Selle teoreemi tuletas matemaatiliselt mis tahes laadi vektorvälja jaoks vene matemaatik M. V. Ostrogradsky (1801-1862) ja seejärel temast sõltumatult elektrostaatilise välja suhtes K. Gauss.

Üldiselt elektrilaengud saab “määrida” teatud mahutihedusega p = dQ/dV , erinevad ruumi erinevates kohtades. Seejärel sisaldub kogulaeng suletud pinnas S, mis katab teatud ruumala V ,

(81.3)

Kasutades valemit (81.3), saab Gaussi teoreemi (81.2) kirjutada järgmiselt:

See on säte, mida kohaldatakse mitmel juhul. See on üks üldisi füüsikaseadusi, millele füüsika kui teadus on üles ehitatud. See teebki selle tähelepanuväärseks teadlaste jaoks, kes seda erinevates olukordades kasutavad.

Kui vaadelda superpositsiooni põhimõtet kõige üldisemas tähenduses, siis selle järgi on osakesele mõjuvate välisjõudude mõju summa nende igaühe individuaalsete väärtuste summa.

See põhimõte kehtib erinevate lineaarsete süsteemide, s.t. süsteemid, mille käitumist saab kirjeldada lineaarsete seostega. Näitena võiks tuua lihtsa olukorra, kus lineaarlaine levib kindlas keskkonnas ning sel juhul säilivad selle omadused ka lainest endast tulenevate häirete mõjul. Need omadused on määratletud kui iga harmoonilise komponendi mõjude konkreetne summa.

Kasutusvaldkonnad

Nagu juba mainitud, on superpositsiooni põhimõttel üsna lai kasutusala. Selle mõju on kõige selgemini näha elektrodünaamikas. Siiski on oluline meeles pidada, et superpositsiooniprintsiipi käsitledes ei pea füüsika seda konkreetseks postulaadiks, vaid pigem elektrodünaamika teooria tagajärjeks.

Näiteks elektrostaatikas toimib see põhimõte siis, kui konkreetses punktis laengute süsteemi uurimine loob pinge, mis on iga laengu väljatugevuste summa. Seda järeldust kasutatakse praktikas, kuna seda saab kasutada elektrostaatilise interaktsiooni potentsiaalse energia arvutamiseks. Sel juhul on vaja arvutada iga üksiku laengu potentsiaalne energia.

Seda kinnitab Maxwelli võrrand, mis on vaakumis lineaarne. See viitab ka asjaolule, et valgus ei haju, vaid levib lineaarselt, mistõttu üksikud kiired ei interakteeru üksteisega. Füüsikas nimetatakse seda nähtust sageli optika superpositsiooni põhimõtteks.

Samuti väärib märkimist, et klassikalises füüsikas tuleneb superpositsiooni põhimõte individuaalse liikumise võrrandite lineaarsusest. lineaarsed süsteemid, seega on see ligikaudne. See põhineb sügavatel dünaamilistel põhimõtetel, kuid selle lähedus ei muuda seda universaalseks ega fundamentaalseks.

Eelkõige kirjeldatakse tugevat teiste võrranditega, mittelineaarsete ja seetõttu ei saa põhimõtet nendes olukordades rakendada. Ka makroskoopiline ei järgi seda põhimõtet, kuna see sõltub väliste väljade mõjust.

Kuid jõudude superpositsiooni põhimõte on selles põhiline kvantfüüsika. Kui teistes jaotistes kasutatakse seda mõne veaga, siis sisse kvanttase töötab üsna täpselt. Kõik kvantmehaanilised süsteemid on kujutatud vektoritest lineaarne ruum ja kui ta kuuletub lineaarsed funktsioonid, siis on selle olek määratud superpositsiooni põhimõttega, s.t. koosneb iga oleku ja lainefunktsiooni superpositsioonist.

Kasutuspiirangud on üsna tinglikud. Klassikalise elektrodünaamika võrrandid on lineaarsed, kuid see ei ole põhireegel. Enamik põhilisi füüsikateooriaid põhinevad mittelineaarsed võrrandid. See tähendab, et nendes ei täitu superpositsiooni põhimõte, see hõlmab üldine teooria relatiivsusteooria, kvantkromodünaamika ja Yang-Millsi teooria.

Mõnes süsteemis, kus lineaarsuse printsiibid on rakendatavad vaid osaliselt, saab tinglikult rakendada ka superpositsiooni printsiipi, näiteks nõrkade gravitatsiooniliste vastasmõjude korral. Lisaks ei säili aatomite ja molekulide vastastikmõju käsitlemisel ka superpositsiooni põhimõte, see seletab füüsikaliste ja molekulide mitmekesisust. keemilised omadused materjalid.

Vaatleme meetodit pingevektori väärtuse ja suuna määramiseks E statsionaarsete laengute süsteemi poolt loodud elektrostaatilise välja igas punktis q 1 , q 2 , ..., K n .

Kogemus näitab, et mehaanikas käsitletud jõudude toime sõltumatuse põhimõte (vt §6) on kohaldatav Coulombi jõududele, s.t. tulenev jõud F, tegutsedes väljalt testlaengu peal K 0, võrdne jõudude vektorsummaga F rakendasin seda iga laengu Q i küljelt:

Vastavalt (79.1) F=Q 0 E Ja F i = Q 0 E mina, kus E on saadud välja tugevus ja E i on laengu tekitatud väljatugevus K i. Asendades viimased avaldised (80.1), saame

Valem (80.2) väljendab elektrostaatiliste väljade superpositsiooni (surumise) põhimõte, mille järgi pinge E laengute süsteemi poolt loodud saadud väli on võrdne geomeetriline summa väljatugevused, mis on loodud antud punktis iga laengu poolt eraldi.

Superpositsiooni põhimõte on rakendatav elektridipooli elektrostaatilise välja arvutamiseks. Elektriline dipool- süsteem kahest mooduli poolest võrdsest vastassuunalisest punktlaengust (+ Q, - K), kaugus l mille vahel on oluliselt väiksem kaugus välja vaadeldavate punktideni. Vektorit, mis on suunatud piki dipooltelge (mõlemat laengut läbiv sirgjoon) negatiivsest laengust positiivsele laengule ja võrdub nendevahelise kaugusega. dipoolkäsil . Vektor

mis langeb suunalt kokku dipooli haruga ja võrdub laengu korrutisega

| K| õlal l , kutsus elektriline dipoolmoment p või dipoolmoment(joonis 122).

Superpositsiooniprintsiibi (80.2) järgi pinge E dipoolväljad suvalises punktis

E=E + + E - ,

Kus E+ ja E- - vastavalt positiivsete ja negatiivsete laengute tekitatud väljatugevused. Selle valemi abil arvutame välja tugevuse piki dipooltelje pikendust ja selle telje keskkohaga risti.

1. Väljatugevus piki dipooltelje pikendust punktis A(joonis 123). Nagu jooniselt näha, dipoolvälja tugevus punktis A on suunatud piki dipooltelge ja on suuruselt võrdne

E A =E + -E - .

Kauguse märkimine punktist A dipooltelje keskele läbi l, saame vaakumi valemi (79.2) alusel kirjutada

Dipooli määratluse kohaselt l/2<

2. Välja tugevus selle keskelt teljega risti tõstetud punktis IN(joonis 123). Punkt IN seega võrdsel kaugusel laengutest

Kus r" - kaugus punktist IN dipooli käe keskele. Võrdhaarsete sarnasusest-

antud kolmnurkade dipoolõla ja vektori еv põhjal saame

E B =E + l/ r". (80.5)

Asendades väärtuse (80.4) avaldisega (80.5), saame

Vektor E B on dipooli elektrimomendile vastupidises suunas (vektor R suunatud negatiivsest laengust positiivsele).

Elektrostaatika üks peamisi probleeme on välja parameetrite hindamine antud, statsionaarse, ruumis laengute jaotumise korral. Üks selliste probleemide lahendamise viise põhineb superpositsiooni põhimõte . Selle olemus on järgmine.

Kui välja tekitavad mitmed punktlaengud, siis katselaengule q mõjub laeng qk sama jõuga nagu teisi laenguid ei olekski. Saadud jõud määratakse avaldisega:

– See on jõudude superpositsiooni või sõltumatuse põhimõte.

Sest , siis on ka saadud väljatugevus punktis, kus testlaeng asub järgib superpositsiooni põhimõtet :

(1.4.1)

See suhe väljendab superpositsiooni printsiipi või elektriväljade superpositsioon ja kujutab endast elektrivälja olulist omadust. Saadud välja, punktlaengute süsteemi tugevus on võrdne igaühe poolt antud punktis eraldi loodud väljatugevuste vektorsummaga.

Vaatleme superpositsiooniprintsiibi rakendamist kahe laenguga elektrisüsteemi poolt tekitatava välja puhul, mille laengute vaheline kaugus on võrdne l(joonis 1.2).

Riis. 1.2

Erinevate laengute tekitatud väljad ei mõjuta üksteist, seetõttu saab mitme laengu tulemuseks oleva välja vektori leida kasutades vektorite liitmise reeglit (parallelogrammreegel)

.

, ja , kuna probleem on sümmeetriline.

Sel juhul

Ja

Seega

(1.4.2)

Vaatame teist näidet. Leiame elektrostaatilise välja tugevuse E loodud kahe positiivse laenguga q 1 Ja q 2 punktis A, mis asub eemal r 1 esimesest ja r 2 teisest laadimisest (joon. 1.3).

Riis. 1.3

; .

Kasutame koosinusteoreemi:

(1.4.3)

Kus .

Kui väli luuakse mitte punktitasusid, siis kasutage sellistel juhtudel tavalist tehnikat. Keha jagatakse lõpmata väikesteks elementideks ja määratakse iga elemendi poolt tekitatav väljatugevus, mis seejärel integreeritakse üle kogu keha:

(1.4.4)

Kus on laetud elemendist tingitud väljatugevus. Integraal võib olenevalt keha kujust olla lineaarne, üle pindala või mahuga. Selliste probleemide lahendamiseks kasutage vastavaid laengutiheduse väärtusi:
– lineaarne laengutihedus, mõõdetuna C/m;
– pinnalaengu tihedus, mõõdetuna C/m2;
– mahuline laengutihedus, mõõdetuna C/m3.

Kui välja tekitavad keeruka kujuga ja ebaühtlaselt laetud laetud kehad, siis superpositsiooni printsiipi kasutades on tekkinud välja raske leida.

valemist (1.4.4) näeme, et see on vektorsuurus:

(1.4.5)

Nii et integreerimine ei pruugi olla lihtne. Seetõttu kasutatakse arvutusteks sageli muid meetodeid, millest räägime järgmistes teemades. Mõnel suhteliselt lihtsal juhul võimaldavad need valemid aga analüütiliselt arvutada.

Näitena võime kaaluda lineaarne laengujaotus või ringlaengujaotus.

Määrame elektrivälja tugevuse punktis A(joon. 1.4) kaugusel x lõpmata pikast lineaarsest ühtlaselt jaotunud laengust. Olgu λ laeng pikkuseühiku kohta.

Riis. 1.4

Eeldame, et x on juhi pikkusega võrreldes väike. Valime koordinaatsüsteemi nii, et y-telg langeb kokku juhiga. Pikkuse element dy, kannab laengut Selle elemendi poolt punktis tekitatud elektrivälja tugevus A.