Joonte paralleelsus ruumis. (2019)

Selles õppetükis anname põhimääratlused ja teoreemid paralleelsete joonte teemal ruumis.
Tunni alguses käsitleme paralleelsete joonte definitsiooni ruumis ja tõestame teoreemi, et läbi mis tahes ruumipunkti on võimalik tõmmata ainult üks sirge, mis on paralleelne antud ühega. Järgmisena tõestame lemma kahe paralleelse tasapinnaga lõikuva sirge kohta. Ja selle abil tõestame teoreemi kahe kolmanda sirgega paralleelse sirge kohta.

Teema: Sirgete ja tasandite paralleelsus

Õppetund: Rööpjooned ruumis. Kolme joone paralleelsus

Planimeetrias oleme paralleelseid sirgeid juba uurinud. Nüüd peame defineerima paralleelsed sirged ruumis ja tõestama vastavad teoreemid.

Definitsioon: Kahte ruumis olevat sirget nimetatakse paralleelseks, kui nad asuvad samal tasapinnal ega ristu (joonis 1.).

Paralleelsete joonte tähistus: a || b.

1. Milliseid sirgeid nimetatakse paralleelseteks?

2. Tõesta, et kõik sirged, mis ristuvad kahte antud paralleelset sirget, asuvad samal tasapinnal.

3. Sirge lõikab sirgeid AB Ja B.C. täisnurga all. Kas jooned on paralleelsed? AB Ja B.C.?

4. Geomeetria. 10.-11. klass: õpik õpilastele õppeasutused(põhi- ja profiili tasemed) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. trükk, parandatud ja täiendatud - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 lk. : haige.

Selles artiklis mõistame sirgjoone kontseptsiooni kolmemõõtmelises ruumis, kaalume võimalusi suhteline positsioon sirgjooned ja peatume peamistel meetoditel sirge defineerimiseks ruumis. Parema mõistmise huvides pakume graafilisi illustratsioone.

Leheküljel navigeerimine.

Sirge joon ruumis on kontseptsioon.

Pärast seda, kui oleme andnud ruumis paralleelsete sirgete definitsiooni, peaksime rääkima sirge suuna vektoritest nende tähtsuse tõttu. Iga nullist erinevat vektorit, mis asub sellel sirgel või sellega paralleelsel sirgel, nimetatakse sirge suunavektoriks. Sirge suunavektorit kasutatakse väga sageli ruumisirget puudutavate ülesannete lahendamisel.

Lõpuks võivad kaks joont kolmemõõtmelises ruumis ristuda. Kahte ruumijoont nimetatakse viltuseks, kui nad ei asu samal tasapinnal. See kahe sirge suhteline asend ruumis viib meid ristumisjoonte vahelise nurga mõisteni.

Meetodid sirge defineerimiseks ruumis.

Ruumis sirgjoone ainulaadseks määramiseks on mitu võimalust. Loetleme peamised.

Aksioomist teame, et sirge läbib kahte punkti ja ainult ühte. Seega, kui märgime ruumis kaks punkti, võimaldab see meil üheselt määrata neid läbiva sirge.

Kui ruumilises ruumis tuuakse sisse ristkülikukujuline koordinaatsüsteem ja sirge täpsustatakse selle kahe punkti koordinaatide märkimisega, siis on meil võimalus luua võrrand kahte etteantud punkti läbivale sirgele.

Teine meetod sirge defineerimiseks ruumis põhineb teoreemil: läbi mis tahes ruumipunkti, mis ei asu antud sirgel, läbib antud sirgega paralleelne sirge ja ainult üks.

Seega, kui määrame sirge (või selle sirge lõigu) ja punkti, mis sellel ei asu, siis defineerime üheselt antud punktiga paralleelse ja antud punkti läbiva sirge.

Saate määrata punkti, mida joon läbib, ja selle suunavektori. See võimaldab teil ka sirgjoone üheselt määrata.

Kui sirge on niimoodi määratud fikseeritud ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi suhtes, siis saame kohe kirja panna selle kanoonilised sirge võrrandid ruumis ja sirge parameetrilised võrrandid ruumis.

Järgnev meetod sirge defineerimiseks ruumis põhineb stereomeetria aksioomil: kui kahel tasapinnal on ühine punkt, siis on neil ühine sirge, millel asuvad kõik nende tasandite ühised punktid.

Seega, määratledes kaks ristuvat tasapinda, määratleme üheselt ruumis sirge.

Teoreemist (selle tõestuse leiate artikli lõpus loetletud raamatutest) tuleneb veel üks viis joone määratlemiseks ruumis: kui on antud tasapind ja punkt, mis selles ei asu, siis läbib üks sirge. läbi selle punkti ja sellega risti antud lennuk.

Seega saate sirge määramiseks määrata tasapinna, millega soovitud sirge on risti, ja punkti, mida see sirge läbib.

Kui antud ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi suhtes on sirge sel viisil ette nähtud, siis on kasulik teada artikli materjali, mis käsitleb antud punkti läbiva sirge võrrandit, mis on risti antud tasapinnaga.

Bibliograafia.

Atanasjan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geomeetria. 7. – 9. klass: õpik üldharidusasutustele.
Atanasjan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geomeetria. Õpik keskkooli 10-11 klassile.
Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Kõrgem matemaatika. Esimene köide: elemendid Lineaaralgebra ja analüütiline geomeetria.
Iljin V.A., Poznyak E.G. Analüütiline geomeetria.

Autoriõigus nutikatele õpilastele

Kõik õigused kaitstud.
Autoriõiguse seadusega kaitstud. Ühtegi saidi osa, sealhulgas sisemisi materjale ja välimust, ei tohi mingil kujul reprodutseerida ega kasutada ilma autoriõiguste omaniku eelneva kirjaliku loata.

Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi Meil jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsetest pakkumistest, tutvustustest ja muudest sündmustest ning eelseisvatest sündmustest.
Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Teabe avaldamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, kohtumenetlusele ja/või avalike taotluste või taotluste alusel valitsusagentuurid Vene Föderatsiooni territooriumil - avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.

Isikuandmete kaitse

Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.

Kaks joont ruumis võivad paikneda erineval viisil. Esiteks võib juhtuda, et kahel sirgel on ühine punkt. Siis asuvad nad ilmselgelt samas tasapinnas. Tõepoolest, sellise tasandi ehitamiseks piisab, kui joonistada see läbi kolme punkti: näidatud sirgete lõikepunkti A (joonis 323) ning punktide C ja B, mis on vastavalt võetud joontele. Kui iga joonega on kaks ühist punkti, sisaldab tasapind mõlemat joont.

Las neil joontel pole nüüd ühiseid punkte. See ei tähenda, et need oleksid paralleelsed, kuna paralleelsuse definitsioon näeb ette, et sirged kuuluvad samale tasapinnale. Meie sirgete asukoha küsimuse lahendamiseks joonestame läbi ühe neist näiteks tasapind K ja teisele sirgele meelevaldselt võetud punkt A. Võimalikud on kaks juhtumit:

1) Konstrueeritud tasapind sisaldab kogu teist sirget (joonis 324). Sel juhul kuuluvad sirged samale tasapinnale ega ristu ning on seetõttu paralleelsed.

2) Tasapind X lõikab sirget punktis A. Siis ei asu mõlemad sirged samal tasapinnal. Selliseid jooni nimetatakse ristumisjoonteks (joonis 325).

Seega on kahe joone suhtelise asukoha kolm peamist võimalikku juhtumit.

1. Sirged asuvad samal tasapinnal ja lõikuvad.

2. Sirged asuvad samal tasapinnal ja on paralleelsed.

3. Sirged jooned lõikuvad, see tähendab, et nad ei asu samal tasapinnal.

Näide. Kuubi 12 servast saab moodustada sirgjoonte paare. Neist 24 paari on ristuvad, 24 lõikuvad ja 18 paari paralleelsed sirged. Selle õigsust kontrollib lugeja mudeli või joonise järgi.

Pange tähele, et ruumis jääb kehtima paralleelsete joonte postulaat:

Läbi sirgest väljaspool asuva punkti kulgeb sellega paralleelselt ainult üks sirge.

Tegelikult määrab sirge ja sellest väljaspool antud punkt tasandi, millel soovitud sirge, paralleelne antud sirge peab asuma, selle unikaalsus tuleneb paralleelide postulaadist.

Pange tähele, et kaks hästituntud planimeetria ettepanekut, mis on seotud paralleelsete joonte omadustega, nõuavad ruumi puhul erilist põhjendust (vt punkt 232).

Kui kaks sirget on paralleelsed kolmandaga, siis on nad üksteisega paralleelsed; kaks nurka, mille küljed on vastavalt paralleelsed ja identsed, on võrdsed.

Seoses teise ettepanekuga märgime, et ristumisjoonte vahelise nurga määratlus põhineb sellel: kahe ristumisjoone vaheline nurk on nurk kahe nendega paralleelse ja läbi suvalise punkti M tõmmatud sirge vahel. määratlus põhineb eeldusel, et nurk ei sõltu punkti M valikust (vt punkt 232).

Antud punktist joonele langetatud risti all mõistetakse sirget, mis on tõmmatud antud punktist antud sirgega täisnurga all ja lõikub sellega. Läbi punkti, mis ei asu sirgel, saab joonistada selle ühe risti.

Tõepoolest, nõutav perpendikulaar peab asuma antud sirge ja punktiga määratletud tasapinnal ja seetõttu kehtivad selle suhtes planimeetria sätted. Kuid joonel asuvast punktist saab sellele tõmmata lõpmatu arvu ristisid: üks igale selle sirge kaudu tõmmatud tasapinnale.