Ruutarvuks taandavate eksponentsiaalvõrrandite lahendamine. Eksponentvõrrandite lahendamine

1º. Eksponentvõrrandid nimetatakse võrranditeks, mis sisaldavad muutujat eksponendis.

Eksponentvõrrandite lahendamine põhineb astmete omadusel: kaks sama baasiga astet on võrdsed siis ja ainult siis, kui nende eksponendid on võrdsed.

2º. Põhilised eksponentsiaalvõrrandite lahendamise meetodid:

1) kõige lihtsamal võrrandil on lahendus;

2) aluse suhtes logaritmilise vormi võrrand a taandada vormiks;

3) vormi võrrand on samaväärne võrrandiga ;

4) vormi võrrand on võrdne võrrandiga.

5) vormi võrrand taandatakse võrrandiga asendamise teel ja seejärel lahendatakse lihtsate eksponentsiaalvõrrandite hulk;

6) võrrand pöördarvudega asendamise teel taandavad nad võrrandiks ja lahendavad seejärel võrrandikogumi;

7) suhtes homogeensed võrrandid a g(x) Ja b g(x) arvestades seda tüüp asendamise kaudu taandatakse need võrrandiks ja seejärel lahendatakse võrrandite kogum.

Eksponentvõrrandite klassifikatsioon.

1. Võrrandid lahendatakse ühele alusele minnes.

Näide 18. Lahenda võrrand .

Lahendus: Kasutame ära asjaolu, et kõik astmete alused on arvu 5 astmed: .

2. Võrrandid lahendatakse ühele eksponendile üleminekuga.

Need võrrandid lahendatakse, teisendades algse võrrandi vormiks , mis taandatakse kõige lihtsamaks, kasutades proportsiooni omadust.

Näide 19. Lahenda võrrand:

3. Võrrandid lahendatakse, võttes sulgudest välja ühisteguri.

Kui võrrandis erineb iga astendaja teisest teatud arvu võrra, siis lahendatakse võrrandid, jättes sulgudest välja väikseima astendaja.

Näide 20. Lahenda võrrand.

Lahendus: võtame võrrandi vasakpoolses servas olevatest sulgudest välja vähima eksponendiga kraadi:

Näide 21. Lahenda võrrand

Lahendus: Rühmitame võrrandi vasakusse serva eraldi astmeid sisaldavad terminid alusega 4, paremal pool - alusega 3, seejärel paneme väikseima eksponendiga astmed sulgudest välja:

4. Võrrandid, mis taandavad ruutvõrranditeks (või kuupvõrranditeks)..

Järgmised võrrandid taandatakse uue muutuja y ruutvõrrandiks:

a) käesoleval juhul asendamise tüüp;

b) asendamise tüüp ja .

Näide 22. Lahenda võrrand .

Lahendus: Muudame muutujat ja lahendame ruutvõrrandi:

Vastus: 0; 1.

5. Võrrandid, mis on eksponentsiaalfunktsioonide suhtes homogeensed.

Vormirõrrand on teise astme homogeenne võrrand tundmatute suhtes a x Ja b x. Selliseid võrrandeid vähendatakse, jagades esmalt mõlemad pooled ja seejärel asendades need ruutvõrranditega.

Näide 23. Lahenda võrrand.

Lahendus: jagage võrrandi mõlemad pooled järgmisega:

Pannes saame ruutvõrrandi juurtega .

Nüüd taandub probleem võrrandite komplekti lahendamisele . Esimesest võrrandist leiame, et . Teisel võrrandil pole juuri, kuna mis tahes väärtuse korral x.

Vastus: -1/2.

6. Ratsionaalvõrrandid eksponentsiaalfunktsioonide suhtes.

Näide 24. Lahenda võrrand.

Lahendus: jagage murdosa lugeja ja nimetaja arvuga 3 x ja kahe asemel saame ühe eksponentsiaalfunktsiooni:

7. Vormi võrrandid .

Sellised võrrandid koos tingimusega määratud lubatud väärtuste komplektiga (APV), võttes võrrandi mõlema poole logaritmi, taandatakse samaväärseks võrrandiks, mis omakorda on samaväärsed kahe võrrandi komplektiga või.

Näide 25. Lahenda võrrand: .

Didaktiline materjal.

Lahendage võrrandid:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

9. ; 10. ; 11. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. Leia võrrandi juurte korrutis .

27. Leia võrrandi juurte summa .

Leidke väljendi tähendus:

28. , kus x 0– võrrandi juur;

29. , kus x 0– võrrandi terve juur .

Lahendage võrrand:

31. ; 32. .

Vastused: 1. 0; 2. -2/9; 3. 1/36; 4,0, 0,5; 5,0; 6,0; 7. -2; 8,2; 9. 1, 3; 10. 8; 11,5; 12,1; 13. ¼; 14,2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17,0; 18,1; 19,0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23,4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0,3; 27,3; 28.11; 29,54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .

Teema nr 8.

Eksponentsiaalne ebavõrdsus.

1º. Nimetatakse võrratust, mis sisaldab astendajas muutujat eksponentsiaalne ebavõrdsus.

2º. Vormi eksponentsiaalse ebavõrdsuse lahendus põhineb järgmistel väidetel:

kui , siis ebavõrdsus on samaväärne ;

kui , siis ebavõrdsus on samaväärne .

Eksponentvõrratuste lahendamisel kasutada samu võtteid nagu eksponentsiaalvõrrandite lahendamisel.

Näide 26. Lahenda ebavõrdsus (ühele alusele ülemineku meetod).

Lahendus: Sest , siis saab antud ebavõrdsuse kirjutada järgmiselt: . Kuna , siis on see ebavõrdsus samaväärne ebavõrdsusega .

Lahendades viimase ebavõrdsuse, saame .

Näide 27. Lahenda ebavõrdsus: ( võttes ühisteguri sulgudest välja).

Lahendus: võtame välja sulud ebavõrdsuse vasakul küljel, võrratuse paremal küljel ja jagame võrratuse mõlemad pooled (-2), muutes võrratuse märgi vastupidiseks:

Kuna , siis indikaatorite ebavõrdsusele liikudes muutub ebavõrdsuse märk jällegi vastupidiseks. Me saame. Seega on selle võrratuse kõigi lahendite hulk intervall.

Näide 28. Lahenda ebavõrdsus ( uue muutuja sisseviimisega).

Lahendus: Laske. Siis on see ebavõrdsus järgmine: või , mille lahendus on intervall .

Siit. Kuna funktsioon suureneb, siis .

Didaktiline materjal.

Määrake ebavõrdsuse lahenduste komplekt:

1. ; 2. ; 3. ;

6. Millistel väärtustel x Kas funktsioonigraafiku punktid asuvad sirge all?

7. Millistel väärtustel x Kas funktsiooni graafiku punktid asuvad vähemalt sama madalal kui sirgjoon?

Lahendage ebavõrdsus:

8. ; 9. ; 10. ;

13. Määrake võrratuse suurim täisarvlahend .

14. Leia võrratuse suurima täisarvu ja väikseima täisarvu lahendite korrutis .

Lahendage ebavõrdsus:

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

Leidke funktsiooni domeen:

27. ; 28. .

29. Leidke argumentide väärtuste komplekt, mille iga funktsiooni väärtused on suuremad kui 3:

Ja .

Vastused: 11,3; 12,3; 13. -3; 14,1; 15. (0; 0,5); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3,5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28.

Mõned neist võivad teile tunduda keerulisemad, samas kui teised, vastupidi, on liiga lihtsad. Kuid neil kõigil on üks oluline ühine tunnus: nende tähistus sisaldab eksponentsiaalset funktsiooni $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Seega tutvustame määratlust:

Eksponentvõrrand on mis tahes võrrand, mis sisaldab eksponentsiaalfunktsiooni, s.t. vormi $((a)^(x))$ avaldis. Lisaks määratud funktsioonile võivad sellised võrrandid sisaldada mis tahes muid algebralisi konstruktsioone - polünoomid, juured, trigonomeetria, logaritmid jne.

OK siis. Oleme määratluse välja selgitanud. Nüüd on küsimus: kuidas kogu seda jama lahendada? Vastus on ühtaegu lihtne ja keeruline.

Alustame headest uudistest: paljude õpilaste õpetamise kogemuse põhjal võin öelda, et enamik neist leiab eksponentsiaalvõrrandid palju lihtsamalt kui samad logaritmid ja veelgi enam trigonomeetria.

Kuid on ka halb uudis: mõnikord tabab kõikvõimalike õpikute ja eksamite ülesannete koostajaid "inspiratsioon" ja nende uimastipõletiku aju hakkab tootma nii jõhkraid võrrandeid, et nende lahendamine muutub problemaatiliseks mitte ainult õpilastele - isegi paljudele õpetajatele. takerduda sellistesse probleemidesse.

Siiski, ärme räägi kurbadest asjadest. Ja tuleme tagasi nende kolme võrrandi juurde, mis olid antud loo alguses. Proovime igaüks neist lahendada.

Esimene võrrand: $((2)^(x))=4$. Noh, millise võimsuseni on vaja tõsta arvu 2, et saada number 4? Tõenäoliselt teine? $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - ja saime õige arvulise võrdsuse, st. tõepoolest $x=2$. Tänan, Cap, aga see võrrand oli nii lihtne, et isegi minu kass sai selle lahendada :)

Vaatame järgmist võrrandit:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Kuid siin on see veidi keerulisem. Paljud õpilased teavad, et $((5)^(2))=25$ on korrutustabel. Mõned kahtlustavad ka, et $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ on sisuliselt negatiivsete jõudude määratlus (sarnaselt valemiga $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Lõpuks mõistavad vaid vähesed, et neid fakte saab kombineerida ja anda järgmise tulemuse:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Seega kirjutatakse meie algne võrrand ümber järgmiselt:

\[(5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Paremnool ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Aga see on juba täiesti lahendatav! Võrrandis vasakul on eksponentsiaalfunktsioon, võrrandis paremal on eksponentsiaalfunktsioon, peale nende pole kuskil midagi muud. Seetõttu võime alused "ära visata" ja näitajad rumalalt võrdsustada:

Oleme saanud lihtsaima lineaarvõrrandi, mida iga õpilane saab lahendada vaid paari reaga. Olgu, neljas reas:

\[\begin(joona)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(joonda)\]

Kui te ei saa aru, mis viimasel neljal real juhtus, pöörduge kindlasti tagasi teema juurde "lineaarvõrrandid" ja korrake seda. Sest ilma selle teema selge mõistmiseta on teil liiga vara eksponentsiaalvõrrandeid võtta.

\[((9)^(x))=-3\]

Niisiis, kuidas me saame selle lahendada? Esimene mõte: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, seega saab algse võrrandi ümber kirjutada järgmiselt:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

Siis me mäletame, et astme tõstmisel astmeks korrutatakse eksponendid:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Paremnool ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(joona)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(joonda)\]

Ja sellise otsuse eest saame ausalt ära teenitud kahe. Sest Pokemoni meelekindlusega saatsime kolme ees oleva miinusmärgi just selle kolme võimsuseks. Kuid te ei saa seda teha. Ja siin on põhjus. Vaadake kolme erinevat võimsust:

\[\begin(maatriks) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(maatriks)\]

Seda tahvelarvutit koostades ei moonutanud ma midagi: vaatasin positiivseid jõude ja negatiivseid ja isegi murdosa... no kus on siin vähemalt üks negatiivne arv? Ta on läinud! Ja see ei saa olla, sest eksponentsiaalne funktsioon $y=((a)^(x))$ võtab esiteks alati ainult positiivseid väärtusi (ükskõik kui palju üks korrutatakse või jagatakse kahega, on see ikkagi positiivne arv) ja teiseks on sellise funktsiooni alus - arv $a$ - definitsiooni järgi positiivne arv!

Kuidas siis lahendada võrrand $((9)^(x))=-3$? Kuid mitte mingil juhul: juuri pole. Ja selles mõttes on eksponentsiaalvõrrandid väga sarnased ruutvõrranditega – juured võivad samuti puududa. Aga kui ruutvõrrandites määrab juurte arvu diskriminant (positiivne diskriminant - 2 juurt, negatiivne - juurteta), siis eksponentsiaalvõrrandites sõltub kõik sellest, mis on võrdusmärgist paremal.

Seega sõnastame peamise järelduse: lihtsaimal eksponentsiaalvõrrandil kujul $((a)^(x))=b$ on juur siis ja ainult siis, kui $b \gt 0$. Seda lihtsat fakti teades saate hõlpsalt kindlaks teha, kas teile pakutud võrrandil on juured või mitte. Need. Kas tasub seda üldse lahendada või kohe kirja panna, et juuri pole.

Need teadmised aitavad meid palju kordi, kui peame lahendama keerulisemaid probleeme. Praeguseks on laulusõnadest piisavalt - on aeg uurida eksponentsiaalvõrrandite lahendamise põhialgoritmi.

Kuidas lahendada eksponentsiaalvõrrandeid

Niisiis, sõnastame probleemi. On vaja lahendada eksponentsiaalvõrrand:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b \gt 0\]

Varem kasutatud “naiivse” algoritmi kohaselt tuleb arv $b$ esitada arvu $a$ astmena:

Lisaks, kui muutuja $x$ asemel on mingi avaldis, saame uue võrrandi, mida saab juba lahendada. Näiteks:

\[\begin(joona)& ((2)^(x))=8\Paremnool ((2)^(x))=((2)^(3))\Paremnool x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Paremnool ((3)^(-x))=((3)^(4))\Paremnool -x=4\Paremnool x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Paremnool ((5)^(2x))=((5)^(3))\Paremnool 2x=3\Paremnool x=\frac(3)( 2). \\\lõpp(joonda)\]

Kummalisel kombel töötab see skeem umbes 90% juhtudest. Aga ülejäänud 10%? Ülejäänud 10% on kergelt "skisofreenilised" eksponentsiaalvõrrandid järgmisel kujul:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Noh, millise võimsusega peate 2 tõstma, et saada 3? Esiteks? Aga ei: $((2)^(1))=2$ ei piisa. Teiseks? Ei ka: $((2)^(2))=4$ on liiga palju. Kumba siis?

Teadlikud õpilased on ilmselt juba aimanud: sellistel puhkudel, kui seda pole võimalik “ilusalt” lahendada, tuleb mängu “raskekahurvägi” - logaritmid. Lubage mul teile meelde tuletada, et logaritme kasutades saab iga positiivse arvu esitada mis tahes muu positiivse arvu astmena (välja arvatud üks):

Kas mäletate seda valemit? Kui ma oma õpilastele logaritmidest räägin, hoiatan alati: see valem (see on ka peamine logaritmiline identiteet või, kui soovite, logaritmi definitsioon) jääb teid kummitama väga pikka aega ja "poppab" kõige rohkem üles. ootamatud kohad. Noh, ta kerkis pinnale. Vaatame oma võrrandit ja seda valemit:

\[\begin(joona)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(joonda) \]

Kui eeldame, et $a=3$ on meie algarv paremal ja $b=2$ on eksponentsiaalfunktsiooni alus, mille võrra tahame paremat poolt taandada, saame järgmise:

\[\begin(joona)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Paremnool 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Paremnool ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Paremnool x=( (\log )_(2))3. \\\lõpp(joonda)\]

Saime veidi kummalise vastuse: $x=((\log )_(2))3$. Mõnes muus ülesandes kahtleksid paljud sellise vastusega ja hakkaksid oma lahendust üle kontrollima: mis siis, kui kuskilt oleks sisse hiilinud viga? Kiirustan teile meeldima: siin pole viga ja logaritmid eksponentsiaalvõrrandite juurtes on täiesti tüüpiline olukord. Nii et harjuge ära :)

Nüüd lahendame ülejäänud kaks võrrandit analoogia põhjal:

\[\begin(joona)& ((5)^(x))=15\Paremnool ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Paremnool x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Paremnool ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Paremnool 2x=( (\log )_(4))11\Paremnool x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\lõpp(joonda)\]

See on kõik! Muide, viimase vastuse saab kirjutada erinevalt:

Võtsime logaritmi argumenti sisse teguri. Kuid keegi ei takista meil seda tegurit baasi lisamast:

Pealegi on kõik kolm võimalust õiged – need on lihtsalt sama numbri kirjutamise erinevad vormid. Milline neist valida ja sellesse lahendusse kirja panna, on teie enda otsustada.

Seega oleme õppinud lahendama mis tahes eksponentsiaalvõrrandeid kujul $((a)^(x))=b$, kus arvud $a$ ja $b$ on rangelt positiivsed. Meie maailma karm reaalsus on aga see, et nii lihtsaid ülesandeid tuleb ette väga-väga harva. Enamasti kohtate midagi sellist:

\[\begin(joona)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(joonda)\]

Niisiis, kuidas me saame selle lahendada? Kas seda saab üldse lahendada? Ja kui jah, siis kuidas?

Ära paanitse. Kõik need võrrandid taanduvad kiiresti ja lihtsalt lihtsateks valemiteks, mida oleme juba kaalunud. Peate lihtsalt meeles pidama paar nippi algebra kursusest. Ja loomulikult pole kraadidega töötamiseks reegleid. Ma räägin teile sellest kõigest nüüd :)

Eksponentvõrrandite teisendamine

Esimene asi, mida meeles pidada: iga eksponentsiaalvõrrand, ükskõik kui keeruline see ka poleks, tuleb ühel või teisel viisil taandada kõige lihtsamateks võrranditeks - nendeks, mida oleme juba kaalunud ja mida me teame lahendada. Teisisõnu näeb mis tahes eksponentsiaalvõrrandi lahendamise skeem välja järgmine:

Kirjutage üles algne võrrand. Näiteks: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Tehke imelikku jama. Või isegi mingi jama nimega "teisenda võrrand";
Väljundis saad lihtsaimad avaldised kujul $((4)^(x))=4$ või midagi muud taolist. Pealegi võib üks algvõrrand anda mitu sellist avaldist korraga.

Esimese punktiga on kõik selge – isegi minu kass oskab võrrandi paberile kirjutada. Kolmas punkt näib ka enam-vähem selge olevat – eespool oleme juba terve hunniku selliseid võrrandeid lahendanud.

Aga kuidas on lood teise punktiga? Milliseid transformatsioone? Mis milleks teisendada? Ja kuidas?

Noh, uurime välja. Kõigepealt tahaksin märkida järgmist. Kõik eksponentsiaalvõrrandid jagunevad kahte tüüpi:

Võrrand koosneb sama alusega eksponentsiaalfunktsioonidest. Näide: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Valem sisaldab erinevate alustega eksponentsiaalfunktsioone. Näited: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ ja $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09 $.

Alustame esimest tüüpi võrranditest – neid on kõige lihtsam lahendada. Ja nende lahendamisel aitab meid selline tehnika nagu stabiilsete väljendite esiletõstmine.

Stabiilse väljendi eraldamine

Vaatame seda võrrandit uuesti:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Mida me näeme? Neli on tõstetud erineval määral. Kuid kõik need astmed on muutuja $x$ lihtsad summad teiste arvudega. Seetõttu on vaja meeles pidada kraadidega töötamise reegleid:

\[\begin(joona)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\lõpp(joonda)\]

Lihtsamalt öeldes saab liitmise teisendada astmete korrutiseks ja lahutamise saab hõlpsasti teisendada jagamiseks. Proovime rakendada neid valemeid meie võrrandi kraadidele:

\[\begin(joona)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cpunkt 4. \ \\lõpp(joonda)\]

Kirjutame seda asjaolu arvesse võttes algse võrrandi ümber ja kogume seejärel kõik vasakul olevad terminid:

\[\begin(joona)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -11; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cpunkt \frac(1)(4)-((4)^(x))\cpunkt 4+11=0. \\\lõpp(joonda)\]

Esimesed neli terminit sisaldavad elementi $((4)^(x))$ – võtame selle sulust välja:

\[\begin(joona)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\lõpp(joonda)\]

Jääb üle jagada võrrandi mõlemad pooled murdosaga $-\frac(11)(4)$, s.o. sisuliselt korrutada pöördmurruga - $-\frac(4)(11)$. Saame:

\[\begin(joona)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\lõpp(joonda)\]

See on kõik! Oleme taandanud algse võrrandi selle lihtsaimale kujule ja saanud lõpliku vastuse.

Samal ajal avastasime (ja võtsime selle isegi sulgudest välja) ühise teguri $((4)^(x))$ - see on stabiilne avaldis. Selle saab määrata uueks muutujaks või lihtsalt väljendada seda hoolikalt ja saada vastuse. Igal juhul on lahenduse põhiprintsiip järgmine:

Leidke algses võrrandis stabiilne avaldis, mis sisaldab muutujat, mis on kergesti eristatav kõigist eksponentsiaalfunktsioonidest.

Hea uudis on see, et peaaegu iga eksponentsiaalvõrrand võimaldab teil sellist stabiilset avaldist eraldada.

Kuid halb uudis on see, et need väljendid võivad olla üsna keerulised ja neid võib olla üsna raske tuvastada. Vaatame siis veel ühte probleemi:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Võib-olla on kellelgi nüüd küsimus: “Paša, kas sa oled kividega loobitud? Siin on erinevad alused – 5 ja 0,2. Kuid proovime teisendada võimsuse baasiks 0,2. Näiteks vabaneme kümnendmurdust, taandades selle tavaliseks:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \parem))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Nagu näha, ilmus ikkagi number 5, kuigi nimetajas. Samal ajal kirjutati näitaja ümber negatiivseks. Nüüd meenutagem üht kõige olulisemat kraadiga töötamise reeglit:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Paremnool ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Siin ma muidugi natuke valetasin. Sest täielikuks mõistmiseks tuli negatiivsetest näitajatest vabanemise valem kirjutada järgmiselt:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Paremnool ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ paremal))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Teisest küljest ei takistanud miski meil töötamast ainult murdarvudega:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ parem))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Kuid sel juhul peate suutma tõsta võimsuse teisele võimsusele (tuletan meelde: sel juhul liidetakse näitajad kokku). Kuid ma ei pidanud murde ümber pöörama - võib-olla on see mõne jaoks lihtsam :)

Igal juhul kirjutatakse algne eksponentsiaalvõrrand ümber järgmiselt:

\[\begin(joona)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\lõpp(joonda)\]

Selgub, et algse võrrandi saab lahendada veelgi lihtsamalt kui eelnevalt käsitletu: siin pole vaja isegi stabiilset avaldist valida - kõik on iseenesest redutseeritud. Jääb vaid meeles pidada, et $1=((5)^(0))$, millest saame:

\[\begin(joona)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\lõpp(joonda)\]

See on lahendus! Saime lõpliku vastuse: $x=-2$. Samal ajal tahaksin märkida ühte tehnikat, mis lihtsustas meie jaoks oluliselt kõiki arvutusi:

Eksponentvõrrandites loobuge kindlasti kümnendmurdudest ja teisendage need tavalisteks. See võimaldab teil näha samu kraadide aluseid ja oluliselt lihtsustada lahendust.

Liigume nüüd edasi keerukamate võrrandite juurde, milles on erinevad alused, mida ei saa astmete abil üksteiseks üldse taandada.

Atribuudi Degrees kasutamine

Lubage mul teile meelde tuletada, et meil on kaks eriti karmimat võrrandit:

\[\begin(joona)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\lõpp(joonda)\]

Peamine raskus seisneb siin selles, et pole selge, mida ja mille alusel kinkida. Kus on stabiilsed väljendid? Kus on samad põhjused? Sellest pole midagi.

Kuid proovime minna teistmoodi. Kui valmis identseid aluseid pole, võite proovida neid leida olemasolevate aluste faktooreerimise teel.

Alustame esimese võrrandiga:

\[\begin(joona)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\lõpp(joonda)\]

Kuid võite teha ka vastupidi - tehke numbritest 7 ja 3 number 21. Seda on eriti lihtne teha vasakul, kuna mõlema kraadi näitajad on samad:

\[\begin(joona)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6) ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\lõpp(joonda)\]

See on kõik! Võtsid astendaja korrutisest välja ja said kohe ilusa võrrandi, mida saab paari reaga lahendada.

Vaatame nüüd teist võrrandit. Siin on kõik palju keerulisem:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

Sel juhul osutusid murrud taandamatuteks, aga kui midagi vähemaks sai, siis vähenda kindlasti. Sageli ilmnevad huvitavad põhjused, millega saate juba töötada.

Kahjuks meie jaoks midagi erilist ei paistnud. Kuid näeme, et toote vasakpoolsed eksponendid on vastupidised:

Tuletan teile meelde: indikaatori miinusmärgist vabanemiseks peate lihtsalt murdosa ümber pöörama. Noh, kirjutame algse võrrandi ümber:

\[\begin(joona)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\lõpp(joonda)\]

Teisel real võtsime lihtsalt summaarse astendaja korrutisest sulust välja vastavalt reeglile $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a) \cdot b \right))^ (x))$ ja viimases korrutasid nad arvu 100 lihtsalt murdosaga.

Pange tähele, et numbrid vasakul (alusel) ja paremal on mõnevõrra sarnased. Kuidas? Jah, see on ilmne: need on sama arvu võimsused! Meil on:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \parem))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10)) \paremal))^(2)). \\\lõpp(joonda)\]

Seega kirjutatakse meie võrrand ümber järgmiselt:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \parem))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\paremal))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \parem))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

Sel juhul saab paremalt ka sama alusega kraadi, mille jaoks piisab murdosa lihtsalt “ümber keeramisest”:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Meie võrrand saab lõpuks järgmise kuju:

\[\begin(joona)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\lõpp(joonda)\]

See on lahendus. Tema põhiidee taandub tõsiasjale, et isegi erinevate alustega püüame, kas konksu või võhmaga, taandada need alused samaks. Selles aitavad meid võrrandite elementaarsed teisendused ja võimsustega töötamise reeglid.

Aga milliseid reegleid ja millal kasutada? Kuidas aru saada, et ühes võrrandis peate mõlemad pooled millegagi jagama, teises aga eksponentsiaalfunktsiooni baasi?

Vastus sellele küsimusele tuleb kogemusega. Proovige esmalt kätt lihtsate võrranditega ja seejärel muutke probleemid järk-järgult keerulisemaks – ja varsti piisab teie oskustest, et lahendada kõik sama ühtse riigieksami eksponentsiaalvõrrandid või mis tahes sõltumatud/testitööd.

Ja et teid selles keerulises ülesandes aidata, soovitan oma veebisaidilt alla laadida võrrandite komplekti, et see ise lahendada. Kõigil võrranditel on vastused, nii et saate end alati proovile panna.

Üldiselt soovin teile edukat koolitust. Ja kohtumiseni järgmises õppetükis - seal analüüsime tõeliselt keerulisi eksponentsiaalvõrrandeid, kus ülalkirjeldatud meetoditest enam ei piisa. Ja lihtsast koolitusest ka ei piisa :)

Näited:

$4^x=32$
$5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8$
$(\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0$

Kuidas lahendada eksponentsiaalvõrrandeid

Mis tahes eksponentsiaalvõrrandi lahendamisel püüame viia selle kujule $a^(f(x))=a^(g(x))$ ja seejärel minna üle eksponentide võrdsusele, see tähendab:

$a^(f(x))=a^(g(x))$ $⇔$ $f(x)=g(x)$

Näiteks:$2^(x+1)=2^2$ $⇔$ $x+1=2$

Tähtis! Samast loogikast lähtub sellise ülemineku jaoks kaks nõuet:
- number sisse vasak ja parem peaks olema samad;
- kraadid vasakul ja paremal peavad olema "puhtad", see tähendab, et ei tohiks olla korrutamist, jagamist jne.

Näiteks:

Võrrandi taandamiseks kujule $a^(f(x))=a^(g(x))$ ja kasutatakse.

Näide . Lahendage eksponentsiaalvõrrand $\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)$
Lahendus:

$\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)$

Teame, et $27 = 3^3$. Seda arvesse võttes teisendame võrrandi.

$\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)$

Juure omadusega $\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))$ saame, et $\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))$. Järgmiseks, kasutades astme omadust $(a^b)^c=a^(bc)\, saame \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))$.

$3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)$

Teame ka, et $a^b·a^c=a^(b+c)$. Rakendades seda vasakule küljele, saame: $3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^ (x+0,5)$.

$3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)$

Nüüd pidage meeles, et: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$. Seda valemit saab kasutada ka vastupidises suunas: $\frac(1)(a^n) =a^(-n)$. Seejärel $\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)$.

$3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)$

Rakendades atribuuti $(a^b)^c=a^(bc)$ paremale poole, saame: $(3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)$.

$3^(x+0,5)=3^(-2x)$

Ja nüüd on meie baasid võrdsed ja ei ole segavaid koefitsiente jne. Nii et saame ülemineku teha.

Näide . Lahendage eksponentsiaalvõrrand $4^(x+0,5)-5 2^x+2=0$
Lahendus:

$4^(x+0,5)-5 2^x+2=0$		Jällegi kasutame võimsusomadust $a^b \cdot a^c=a^(b+c)$ vastupidises suunas.
$4^x4^(0,5)-5 2^x+2=0$		Nüüd pidage meeles, et $4=2^2$.
$(2^2)^x·(2^2)^(0,5)-5·2^x+2=0$		Kasutades kraadide omadusi, teisendame: $(2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2$ $(2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.$
$2·(2^x)^2-5·2^x+2=0$		Vaatame võrrandit hoolikalt ja näeme, et asendus $t=2^x$ viitab iseendale.

$t_1=2$ $t_2=\frac(1)(2)$		Siiski leidsime $t$ väärtused ja vajame $x$. Pöördume tagasi X-ide juurde, tehes tagurpidi asendus.
$2^x=2$ $2^x=\frac(1)(2)$		Teisendame teise võrrandi negatiivse võimsuse omaduse abil...
$2^x=2^1$ $2^x=2^(-1)$		...ja me lõpetame vastuse.
$x_1=1$ $x_2=-1$

Vastus : $-1; 1$.

Jääb küsimus – kuidas aru saada, millal millist meetodit kasutada? See tuleb kogemusega. Kuni olete selle välja töötanud, kasutage keeruliste probleemide lahendamiseks üldist soovitust - "kui te ei tea, mida teha, tehke seda, mida saate." See tähendab, otsige, kuidas saate võrrandit põhimõtteliselt teisendada, ja proovige seda teha – mis siis, kui mis juhtub? Peaasi on teha ainult matemaatilisi teisendusi.

Lahendusteta eksponentsiaalvõrrandid

Vaatame veel kahte olukorda, mis õpilasi sageli segadusse ajavad:
- astme positiivne arv on võrdne nulliga, näiteks $2^x=0$;
- positiivne arv võrdub negatiivse arvu astmega, näiteks $2^x=-4$.

Proovime lahendada toore jõuga. Kui x on positiivne arv, siis x-i kasvades kogu võimsus $2^x$ ainult suureneb:

$x=1$; $2^1=2$
$x=2$; $2^2=4$
$x=3$; $2^3=8$.

$x=0$; $2^0=1$

Samuti poolt. Negatiivne X jääb alles. Jättes meelde atribuudi $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$, kontrollime:

$x=-1$; $2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)$
$x=-2$; $2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)$
$x=-3$; $2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)$

Vaatamata asjaolule, et arv muutub iga sammuga väiksemaks, ei jõua see kunagi nullini. Nii et negatiivne kraad meid ei päästnud. Jõuame loogilisele järeldusele:

Positiivne arv mis tahes määral jääb positiivseks arvuks.

Seega pole mõlemal ülaltoodud võrrandil lahendusi.

Erinevate alustega eksponentsiaalvõrrandid

Praktikas kohtame mõnikord erinevate alustega eksponentsiaalvõrrandeid, mis ei ole üksteisele taandatavad, ja samal ajal samade astendajatega. Need näevad välja sellised: $a^(f(x))=b^(f(x))$, kus $a$ ja $b$ on positiivsed arvud.

Näiteks:

$7^(x)=11^(x)$
$5^(x+2)=3^(x+2)$
$15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)$

Selliseid võrrandeid saab hõlpsasti lahendada võrrandi mis tahes poolega jagamisel (tavaliselt jagatud parema poolega, st $b^(f(x))$. Nii saab jagada, kuna positiivne arv on positiivne mis tahes astme suhtes (see tähendab, et me ei jaga nulliga).

$\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))$ $=1$

Näide . Lahendage eksponentsiaalvõrrand $5^(x+7)=3^(x+7)$
Lahendus:

$5^(x+7)=3^(x+7)$		Siin ei saa me muuta viit kolmeks ega vastupidi (vähemalt ilma ). See tähendab, et me ei saa jõuda vormini $a^(f(x))=a^(g(x))$. Näitajad on aga samad. Jagame võrrandi parema poolega, st $3^(x+7)$-ga (saame seda teha, sest teame, et kolm ei ole mingil määral null).
$\frac(5^(x+7))(3^(x+7))$ $=$$\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )$		Nüüd pidage meeles atribuuti $(\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)$ ja kasutage seda vasakul pool vastupidises suunas. Paremal vähendame lihtsalt murdosa.
$(\frac(5)(3))^(x+7)$ $=1$		Näib, et asjad ei läinud paremaks. Kuid pidage meeles veel ühte võimsuse omadust: $a^0=1$, teisisõnu: "mis tahes arv nullastmeni on võrdne \(1\"). Tõsi on ka vastupidine: "üht võib esitada mis tahes arvuna nullastmeni." Kasutame seda ära, tehes parempoolse aluse samasuguseks kui vasakul.
$(\frac(5)(3))^(x+7)$ $=$ $(\frac(5)(3))^0$		Voila! Vabaneme alustest.
		Kirjutame vastust.

Vastus : $-7$.

Mõnikord ei ole eksponentide “samadus” ilmne, kuid eksponentide omaduste oskuslik kasutamine lahendab selle probleemi.

Näide . Lahendage eksponentsiaalvõrrand $7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$
Lahendus:

$7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		Võrrand näeb väga kurb välja... Mitte ainult ei saa aluseid taandada samale arvule (seitse ei võrdu mingil juhul $\frac(1)(3)$), vaid ka eksponendid on erinevad. .. Kasutame siiski vasakpoolset astendajat kaheks.
$7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		Jättes meelde atribuudi $(a^b)^c=a^(b·c)$ , teisendame vasakult: $7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)$.
$49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		Nüüd, pidades meeles negatiivse astme omadust $a^(-n)=\frac(1)(a)^n\, teisendame paremalt: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)$
$49^(x-2)=3^(x-2)$		Halleluuja! Näitajad on samad! Meile juba tuttava skeemi järgi tegutsedes lahendame enne vastust.

Vastus : $2$.

Minge meie veebisaidi YouTube'i kanalile, et olla kursis kõigi uute videotundidega.

Kõigepealt meenutagem võimsuste põhivalemeid ja nende omadusi.

Arvu korrutis a esineb enda peal n korda, saame selle avaldise kirjutada kujul a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Võimsuse või eksponentsiaalvõrrandid– need on võrrandid, milles muutujad on astmetes (või astendajates) ja alus on arv.

Näited eksponentsiaalvõrranditest:

Selles näites on number 6 alus, see on alati allosas ja muutuja x aste või näitaja.

Toome rohkem näiteid eksponentsiaalvõrrandite kohta.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6 = 0

Vaatame nüüd, kuidas eksponentsiaalvõrrandid lahendatakse?

Võtame lihtsa võrrandi:

2 x = 2 3

Selle näite saab lahendada isegi teie peas. On näha, et x=3. Lõppude lõpuks, selleks, et vasak ja parem külg oleksid võrdsed, peate x asemel panema numbri 3.
Nüüd vaatame, kuidas seda otsust vormistada:

2 x = 2 3
x = 3

Sellise võrrandi lahendamiseks eemaldasime identsed põhjused(ehk kahekesi) ja pani kirja, mis alles jäi, need on kraadid. Saime vastuse, mida otsisime.

Nüüd teeme oma otsuse kokkuvõtte.

Algoritm eksponentsiaalvõrrandi lahendamiseks:
1. Vaja kontrollida identsed kas võrrandil on alused paremal ja vasakul. Kui põhjused pole samad, otsime selle näite lahendamise võimalusi.
2. Kui alused muutuvad samaks, võrdsustama kraadi ja lahendage saadud uus võrrand.

Vaatame nüüd mõnda näidet:

Alustame millestki lihtsast.

Vasakul ja paremal küljel olevad alused on võrdsed arvuga 2, mis tähendab, et saame aluse kõrvale jätta ja nende kraadid võrdsustada.

x+2=4 Saadakse kõige lihtsam võrrand.
x=4–2
x=2
Vastus: x=2

Järgmises näites näete, et alused on erinevad: 3 ja 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Esiteks liigutage üheksa paremale, saame:

Nüüd peate tegema samad alused. Teame, et 9=3 2. Kasutame astmevalemit (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Saame 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Nüüd on selge, et vasakul ja paremal küljel on alused samad ja võrdsed kolmega, mis tähendab, et saame need kõrvale jätta ja kraadid võrdsustada.

3x=2x+16 saame lihtsaima võrrandi
3x - 2x = 16
x=16
Vastus: x=16.

Vaatame järgmist näidet:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Kõigepealt vaatame aluseid, aluseid kaks ja neli. Ja me vajame, et need oleksid ühesugused. Teisendame neli, kasutades valemit (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Ja me kasutame ka ühte valemit a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Lisa võrrandile:

2 2 x 2 4 – 10 2 2 x = 24

Samadel põhjustel tõime näite. Aga teised numbrid 10 ja 24 häirivad. Mida nendega peale hakata? Kui vaatate tähelepanelikult, näete, et vasakul küljel on meil 2 2x kordamine, siin on vastus - saame sulgudest välja panna 2 2x:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Arvutame sulgudes oleva avaldise:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Jagame kogu võrrandi 6-ga:

Kujutame ette 4 = 2 2:

2 2x = 2 2 alust on samad, jätame need kõrvale ja võrdsustame kraadid.
2x = 2 on kõige lihtsam võrrand. Jagage see 2-ga ja saame
x = 1
Vastus: x = 1.

Lahendame võrrandi:

9 x – 12*3 x +27= 0

Muutame:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Saame võrrandi:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Meie alused on samad, võrdsed kolmega. Selles näites näete, et esimesel kolmel on kraad kaks korda (2x) kui teisel (ainult x). Sel juhul saate lahendada asendusmeetod. Asendame arvu väikseima astmega:

Siis 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Asendame võrrandis kõik x astmed t-ga:

t 2 – 12t+27 = 0
Saame ruutvõrrandi. Diskriminandi kaudu lahendades saame:
D = 144-108 = 36
t 1 = 9
t2 = 3

Tulles tagasi muutuja juurde x.

Võtke t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Seetõttu

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Leiti üks juur. Otsime teist alates t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Vastus: x 1 = 2; x 2 = 1.

Kodulehel saate esitada huvipakkuvaid küsimusi rubriigis ABI OTSUSTADA, vastame teile kindlasti.

Liituge grupiga

See on nimetus võrranditele kujul, kus tundmatu on nii astme eksponendis kui ka aluses.

Vormi võrrandi lahendamiseks saate määrata täiesti selge algoritmi. Selleks tuleb tähelepanu pöörata sellele, et millal Oh) ei ole võrdne nulli, ühe ja miinus ühega, astmete võrdsus samade alustega (olgu see positiivne või negatiivne) on võimalik ainult siis, kui astendajad on võrdsed. See tähendab, et võrrandi juurteks on kõik võrrandi juured f(x) = g(x) Vastupidine väide ei vasta tõele, millal Oh)< 0 ja murdarvud f(x) Ja g(x) väljendid Oh) f(x) Ja

Oh) g(x) kaotavad oma tähenduse. See tähendab, kui liigute kohast kuni f(x) = g(x)(võivad ilmuda kõrvaljuured, mis tuleb algvõrrandiga võrreldes välistada. Ja juhtumid a = 0, a = 1, a = -1 tuleb käsitleda eraldi.

Seega kaalume võrrandi täielikuks lahendamiseks järgmisi juhtumeid:

a(x) = O f(x) Ja g(x) on positiivsed arvud, siis on see lahendus. Muidu ei

a(x) = 1. Selle võrrandi juured on ka algvõrrandi juured.

a(x) = -1. Kui seda võrrandit rahuldava x väärtuse korral, f(x) Ja g(x) on sama paarsusega täisarvud (mõlemad paaris või mõlemad paaritud), siis see on lahendus. Muidu ei

Millal ja me lahendame võrrandi f(x)= g(x) ja asendades saadud tulemused algsesse võrrandisse, lõikame ära kõrvalised juured.

Näited eksponentsiaal-võimsusvõrrandite lahendamisest.

Näide nr 1.

1) x - 3 = 0, x = 3. sest 3 > 0 ja 3 2 > 0, siis on lahendus x 1 = 3.

2) x - 3 = 1, x 2 = 4.

3) x - 3 = -1, x = 2. Mõlemad näitajad on paaris. See lahendus on x 3 = 1.

4) x - 3? 0 ja x? ± 1. x = x 2, x = 0 või x = 1. Kui x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 - see lahendus on õige: x 4 = 0. Kui x = 1, (- 2) 1 = (-2) 1 - see lahendus on õige x 5 = 1.

Vastus: 0, 1, 2, 3, 4.