Tuletis 2 4. Kuidas tuletist leida? Näited lahendustest

Astumusfunktsiooni tuletise valemi tuletamine (x astmele a). Arvesse võetakse tuletisi x juurtest. Astmusfunktsiooni tuletise valem kõrgem järjekord. Näiteid tuletisinstrumentide arvutamisest.

Sisu

Vaata ka: Positiivne funktsioon ja juured, valemid ja graafik
Võimsusfunktsiooni graafikud

Põhivalemid

x tuletis a astmega võrdub x x astmega miinus üks:
(1) .

x-i n-nda juure tuletis m-ndast astmest on:
(2) .

Pädevusfunktsiooni tuletise valemi tuletamine

Juhtum x > 0

Vaatleme muutuja x astmefunktsiooni eksponendiga a:
(3) .
Siin a on meelevaldne tegelik arv. Esmalt kaalume juhtumit.

Funktsiooni (3) tuletise leidmiseks kasutame astmefunktsiooni omadusi ja teisendame selle järgmisele kujule:
.

Nüüd leiame tuletise, kasutades:
;
.
siin .

Vormel (1) on tõestatud.

Valemi tuletamine x-i n-astme juure astmeks m

Nüüd kaaluge funktsiooni, mis on järgmise vormi juur:
(4) .

Tuletise leidmiseks teisendame juure astmefunktsiooniks:
.
Võrreldes valemiga (3) näeme, et
.
Siis
.

Kasutades valemit (1) leiame tuletise:
(1) ;
;
(2) .

Praktikas ei ole vaja valemit (2) pähe õppida. Palju mugavam on esmalt teisendada juured astmefunktsioonideks ja seejärel leida nende tuletised valemi (1) abil (vt näiteid lehe lõpus).

Juhtum x = 0

Kui , siis on võimsusfunktsioon defineeritud muutuja x = väärtuse jaoks 0 . 0 Leiame funktsiooni (3) tuletise x =
.

. 0 :
.
Selleks kasutame tuletise määratlust:

Asendame x =
.
Sel juhul peame tuletise all silmas parempoolset limiiti, mille puhul .
Niisiis leidsime:
Niisiis leidsime:
Sellest on selge, et , .
(1) .
Kell , . 0 .

See tulemus saadakse ka valemist (1):< 0

Seetõttu kehtib valem (1) ka x = korral
(3) .
Juhtum x Mõelge uuesti funktsioonile (3): Konstandi a teatud väärtuste puhul on see määratletud ka muutuja x negatiivsete väärtuste jaoks.
,
Nimelt las olla

ratsionaalne arv 3 . Siis saab seda esitada taandamatu murdena: 1 kus m ja n on täisarvud, millel pole ühist jagajat.
.
Kui n on paaritu, on võimsusfunktsioon määratletud ka muutuja x negatiivsete väärtuste jaoks.

Leiame võimsusfunktsiooni (3) tuletise konstandi a ratsionaalsetele väärtustele, mille jaoks see on defineeritud. Selleks kujutlege x-i järgmisel kujul:
.
Siis ,
.
Leiame tuletise, asetades konstandi tuletise märgist väljapoole ja rakendades kompleksfunktsiooni eristamise reeglit:

.
siin . Aga
.
Sellest ajast peale
.
Siis
.
See tähendab, et valem (1) kehtib ka:
(1) .

Kõrgemat järku tuletisväärtpaberid

Nüüd leiame võimsusfunktsiooni kõrgema järgu tuletised
(3) .
Oleme juba leidnud esimest järku tuletise:
.

Võttes konstandi a väljaspool tuletise märki, leiame teist järku tuletise:
.
Samamoodi leiame kolmanda ja neljanda järgu tuletised:
;

.

Sellest on selge, et suvalise n-nda järku tuletis sellel on järgmine vorm:
.

Pange tähele, et kui a on naturaalarv , siis n-s tuletis on konstantne:
.
Siis on kõik järgnevad tuletised võrdsed nulliga:
,
aadressil .

Näiteid tuletisinstrumentide arvutamisest

Näide

Leia funktsiooni tuletis:
.

Teisendame juured astmeteks:
;
.
Seejärel võtab algfunktsioon järgmise kuju:
.

Võimude tuletiste leidmine:
;
.
Konstandi tuletis on null:
.

Tuletis

Matemaatilise funktsiooni tuletise (diferentseerimise) arvutamine on kõrgema matemaatika lahendamisel väga levinud ülesanne. Lihtsate (elementaarsete) matemaatiliste funktsioonide puhul on see üsna lihtne asi, kuna elementaarfunktsioonide tuletiste tabeleid on pikka aega koostatud ja need on hõlpsasti juurdepääsetavad. Keerulise matemaatilise funktsiooni tuletise leidmine ei ole aga triviaalne ülesanne ja nõuab sageli märkimisväärset pingutust ja aega.

Otsige tuletisinstrumenti Internetist

Meie veebiteenus võimaldab teil vabaneda mõttetutest pikkadest arvutustest ja leia tuletis Internetistühe hetkega. Veelgi enam, kasutades meie veebisaidil asuvat teenust www.sait, saate arvutada Interneti-tuletis nii elementaarfunktsioonist kui ka väga keerulisest, millel puudub analüütiline lahendus. Meie saidi peamised eelised võrreldes teistega on järgmised: 1) tuletise arvutamise matemaatilise funktsiooni sisestamise meetodile ei kehti ranged nõuded (näiteks siinuse x funktsiooni sisestamisel saate selle sisestada sin x või sin (x) või sin[x] jne. d.); 2) Interneti-tuletise arvutamine toimub režiimis koheselt võrgus ja absoluutselt tasuta; 3) võimaldame leida funktsiooni tuletise mis tahes tellimus, tuletise järjekorra muutmine on väga lihtne ja arusaadav; 4) Võimaldame leida võrgust peaaegu kõigi matemaatiliste funktsioonide tuletise, isegi väga keerukate, mida teised teenused ei suuda lahendada. Esitatud vastus on alati täpne ega tohi sisaldada vigu.

Meie serveri kasutamine võimaldab teil 1) arvutada tuletise teie eest võrgus, välistades aeganõudvad ja tüütud arvutused, mille käigus võite teha vea või kirjavea; 2) kui arvutate ise matemaatilise funktsiooni tuletise, siis anname teile võimaluse võrrelda saadud tulemust meie teenuse arvutustega ja veenduda lahenduse õigsuses või leida sisse hiilinud vea; 3) kasutage meie teenust lihtsate funktsioonide tuletiste tabelite asemel, kus soovitud funktsiooni leidmine võtab sageli aega.

Kõik, mida pead tegema, on leia tuletis Internetist- on kasutada meie teenust

Väga lihtne meelde jätta.

Noh, ärme lähe kaugele, vaatame seda kohe pöördfunktsioon. Milline funktsioon on eksponentsiaalfunktsiooni pöördfunktsioon? Logaritm:

Meie puhul on aluseks number:

Sellist logaritmi (see tähendab logaritmi alusega) nimetatakse "loomulikuks" ja me kasutame selle jaoks spetsiaalset tähistust: kirjutame selle asemel.

Millega see on võrdne? Muidugi.

Naturaallogaritmi tuletis on samuti väga lihtne:

Näited:

1. Leia funktsiooni tuletis.
2. Mis on funktsiooni tuletis?

Vastused: Eksponent ja naturaallogaritm- funktsioonid on tuletiste poolest ainulaadselt lihtsad. Mis tahes muu alusega eksponentsiaalsetel ja logaritmilistel funktsioonidel on erinev tuletis, mida analüüsime hiljem, kui oleme läbinud diferentseerimisreeglid.

Eristamise reeglid

Mille reeglid? Jälle uus termin, jälle?!...

Eristumine on tuletise leidmise protsess.

See on kõik. Kuidas veel ühe sõnaga seda protsessi nimetada? Mitte tuletis... Matemaatikute diferentsiaal on sama funktsiooni juurdekasv at. See termin pärineb ladina sõnast differentia – erinevus. Siin.

Kõigi nende reeglite tuletamisel kasutame kahte funktsiooni, näiteks ja. Nende juurdekasvu jaoks vajame ka valemeid:

Kokku on 5 reeglit.

Konstant võetakse tuletismärgist välja.

Kui - mingi konstantne arv (konstant), siis.

Ilmselt töötab see reegel ka erinevuse jaoks: .

Tõestame seda. Las see olla või lihtsam.

Näited.

Leidke funktsioonide tuletised:

1. punktis;
2. punktis;
3. punktis;
4. punktis.

Lahendused:

1. (tuletis on kõigis punktides sama, kuna see lineaarne funktsioon, mäletad?);

Toote tuletis

Siin on kõik sarnane: tutvustame uut funktsiooni ja leiame selle juurdekasvu:

Tuletis:

Näited:

1. Leia funktsioonide ja tuletised;
2. Leia funktsiooni tuletis punktis.

Lahendused:

Eksponentfunktsiooni tuletis

Nüüd piisab teie teadmistest, et õppida leidma mis tahes eksponentsiaalfunktsiooni tuletist, mitte ainult eksponente (kas olete juba unustanud, mis see on?).

Niisiis, kus on mõni number.

Funktsiooni tuletist me juba teame, seega proovime oma funktsiooni viia uuele alusele:

Selleks kasutame lihtsat reeglit: . Seejärel:

Noh, see töötas. Proovige nüüd leida tuletis ja ärge unustage, et see funktsioon on keeruline.

Kas see töötas?

Siin kontrollige ennast:

Valem osutus väga sarnaseks eksponendi tuletisele: nii nagu see oli, jääb see samaks, ilmus ainult tegur, mis on vaid arv, kuid mitte muutuja.

Näited:
Leidke funktsioonide tuletised:

Vastused:

See on lihtsalt arv, mida ei saa ilma kalkulaatorita arvutada, st seda ei saa enam kirja panna lihtsal kujul. Seetõttu jätame selle vastusesse sellisel kujul.

Pange tähele, et siin on kahe funktsiooni jagatis, seega rakendame vastavat diferentseerimisreeglit:

Selles näites on kahe funktsiooni korrutis:

Logaritmilise funktsiooni tuletis

Siin on see sarnane: te juba teate naturaallogaritmi tuletist:

Seetõttu, et leida suvaline logaritm erineva alusega, näiteks:

Peame selle logaritmi taandada baasini. Kuidas muuta logaritmi alust? Loodan, et mäletate seda valemit:

Alles nüüd kirjutame selle asemel:

Nimetaja on lihtsalt konstant (konstantne arv, ilma muutujata). Tuletis saadakse väga lihtsalt:

Tuletised eksponentsiaalse ja logaritmilised funktsioonid peaaegu kunagi ei esine ühtsel riigieksamil, kuid nende tundmine ei teeks paha.

Kompleksfunktsiooni tuletis.

mis juhtus" keeruline funktsioon"? Ei, see ei ole logaritm ega arctangent. Nendest funktsioonidest võib olla raske aru saada (kuigi kui te peate logaritmi keeruliseks, lugege teemat "Logaritmid" ja kõik on korras), kuid matemaatilisest vaatenurgast ei tähenda sõna "keeruline" "keeruline".

Kujutage ette väikest konveieri: kaks inimest istuvad ja teevad mingeid toiminguid mõne esemega. Näiteks esimene mähib šokolaaditahvli ümbrisesse ja teine ​​seob selle paelaga. Tulemuseks on komposiitobjekt: paelaga mähitud ja seotud šokolaaditahvel. Šokolaaditahvli söömiseks peate tegema vastupidised toimingud vastupidises järjekorras.

Loome sarnase matemaatilise konveieri: kõigepealt leiame arvu koosinuse ja seejärel ruudustage saadud arv. Niisiis, meile antakse number (šokolaad), ma leian selle koosinuse (ümbris) ja siis ruudud, mis ma sain (seo see lindiga). Mis juhtus? Funktsioon. See on näide keerulisest funktsioonist: kui selle väärtuse leidmiseks sooritame esimese toimingu otse muutujaga ja seejärel teise toimingu esimese toiminguga.

Teisisõnu kompleksfunktsioon on funktsioon, mille argument on teine ​​funktsioon: .

Meie näiteks .

Saame hõlpsasti teha samu samme vastupidises järjekorras: kõigepealt ruudud ja siis otsin saadud arvu koosinust: . Lihtne on arvata, et tulemus on peaaegu alati erinev. Keeruliste funktsioonide oluline tunnus: toimingute järjekorra muutumisel muutub funktsioon.

Teine näide: (sama asi). .

Tegevust, mida me viimati teeme, nimetatakse "väline" funktsioon, ja esmalt sooritatud toiming – vastavalt "sisemine" funktsioon(need on mitteametlikud nimed, kasutan neid ainult materjali lihtsas keeles selgitamiseks).

Proovige ise kindlaks teha, milline funktsioon on väline ja milline sisemine:

Vastused: Sise- ja välisfunktsioonide eraldamine on väga sarnane muutujate muutmisega: näiteks funktsioonis

1. Millise toimingu me kõigepealt teeme? Kõigepealt arvutame siinuse ja alles siis kuubime. See tähendab, et see on sisemine, kuid väline funktsioon.
   Ja algne funktsioon on nende koostis: .
2. Sisemine: ; väline: .
   Eksam: .
3. Sisemine: ; väline: .
   Eksam: .
4. Sisemine: ; väline: .
   Eksam: .
5. Sisemine: ; väline: .
   Eksam: .

Muudame muutujaid ja saame funktsiooni.

Noh, nüüd eraldame oma šokolaaditahvli ja otsime tuletise. Protseduur on alati vastupidine: kõigepealt otsime välisfunktsiooni tuletist, seejärel korrutame tulemuse sisemise funktsiooni tuletisega. Seoses algse näitega näeb see välja järgmine:

Teine näide:

Niisiis, sõnastame lõpuks ametliku reegli:

Algoritm kompleksfunktsiooni tuletise leidmiseks:

Tundub lihtne, eks?

Kontrollime näidetega:

Lahendused:

1) Sisemine: ;

Väline: ;

2) Sisemine: ;

(Ära proovi seda praegu lõigata! Koosinuse alt ei tule midagi välja, mäletad?)

3) Sisemine: ;

Väline: ;

Kohe on selge, et tegemist on kolmetasandilise kompleksfunktsiooniga: see on ju juba iseenesest keerukas funktsioon ja me võtame sealt ka juure välja ehk sooritame kolmanda toimingu (paneme šokolaadi ümbrisesse ja lindiga kohvris). Kuid karta pole põhjust: selle funktsiooni “pakkime” ikka lahti samas järjekorras nagu tavaliselt: lõpust.

See tähendab, et kõigepealt eristame juurt, seejärel koosinust ja alles seejärel sulgudes olevat avaldist. Ja siis me korrutame selle kõik.

Sellistel juhtudel on mugav toiminguid nummerdada. See tähendab, kujutame ette, mida me teame. Millises järjekorras teeme selle avaldise väärtuse arvutamiseks toiminguid? Vaatame näidet:

Mida hiljem toiming sooritatakse, seda “välisem” on vastav funktsioon. Toimingute jada on sama, mis varem:

Siin on pesitsus üldiselt 4-tasandiline. Määrame tegevuste järjekorra.

1. Radikaalne väljendus. .

2. Juur. .

3. Siinus. .

4. Ruut. .

5. Pane kõik kokku:

DERIVAAT. LÜHIDALT PEAMISEST

Funktsiooni tuletis- funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhe argumendi lõpmatu väikese juurdekasvu korral:

Põhilised tuletised:

Eristamise reeglid:

Konstant võetakse tuletismärgist välja:

Summa tuletis:

Toote tuletis:

Jagatise tuletis:

Kompleksfunktsiooni tuletis:

Algoritm kompleksfunktsiooni tuletise leidmiseks:

1. Defineerime "sisemise" funktsiooni ja leiame selle tuletise.
2. Defineerime "välise" funktsiooni ja leiame selle tuletise.
3. Korrutame esimese ja teise punkti tulemused.

Eksponentsiaali (e astmele x) ja eksponentsiaalfunktsiooni (a astmele x) tuletise valemite tõestamine ja tuletamine. Näited e^2x, e^3x ja e^nx tuletiste arvutamiseks. Kõrgema järgu tuletisinstrumentide valemid.

Sisu

Vaata ka: Eksponentfunktsioon – omadused, valemid, graafik
Eksponent, e x astmele - omadused, valemid, graafik

Põhivalemid

Eksponendi tuletis on võrdne eksponendi endaga (e tuletis x astmega võrdub e astmega x):
(1) (e x )′ = e x.

Alusega a eksponentsiaalfunktsiooni tuletis võrdub funktsiooni endaga, mis on korrutatud a naturaallogaritmiga:
(2) .

Eksponentsiaalne on eksponentsiaalne funktsioon, mille alus on võrdne arvuga e, mis on järgmine piir:
.
Siin võib see olla kas naturaalarv või reaalarv. Järgmisena tuletame eksponentsiaali tuletise valemi (1).

Eksponenttuletise valemi tuletamine

Vaatleme eksponentsiaali, e x astmega:
y = e x .
See funktsioon on määratletud kõigile.
(3) .

Teisendame selle avaldise, et taandada see teadaolevateks matemaatilised omadused ja reeglid. Selleks vajame järgmisi fakte:
A) Eksponent omadus:
(4) ;
B) Logaritmi omadus:
(5) ;
IN) Logaritmi pidevus ja pideva funktsiooni piirväärtuste omadus:
(6) .
Siin on funktsioon, millel on piirang ja see piir on positiivne.
G) Teise tähelepanuväärse piiri tähendus:
(7) .

Rakendame neid fakte oma piirile (3). Kasutame kinnisvara (4):
;
.

Teeme asendus.
Siis ; .
.
Eksponentsiaalse järjepidevuse tõttu
.

Seega, kui ,.
.

Selle tulemusena saame:
Teeme asendus.
.

Siis . Kell , . Ja meil on:
.
Rakendame logaritmi omadust (5): . Siis
.

Rakendame omadust (6). Kuna on positiivne piir ja logaritm on pidev, siis:

Siin kasutasime ka teist

tähelepanuväärne piir
(8)
(7). Siis

Nii saime eksponentsiaali tuletise valemi (1).
;
.
Eksponentfunktsiooni tuletise valemi tuletamine
.

Nüüd tuletame valemi (2) eksponentsiaalfunktsiooni tuletise jaoks astme a baasiga.

Usume, et ja.
(14) .
(1) .

Siis eksponentsiaalfunktsioon
;
.

Määratletud kõigile.
.

Teisendame valemi (8). Selleks kasutame eksponentsiaalfunktsiooni ja logaritmi omadusi.

Seega teisendasime valemi (8) järgmisele kujule:
.
Kõrgemat järku tuletised e-st x astmega
(15) .

Nüüd leiame kõrgema järgu tuletised. Vaatame kõigepealt eksponenti:
;
.

Näeme, et funktsiooni (14) tuletis võrdub funktsiooniga (14) endaga. Diferentseerides (1), saame teist ja kolmandat järku tuletised:
.

See näitab, et n-ndat järku tuletis on samuti võrdne algfunktsiooniga:

Eksponentfunktsiooni kõrgemat järku tuletised Nüüd kaaluge eksponentsiaalfunktsiooni astme a baasiga: Leidsime selle esimest järku tuletise: Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised::

Näeme, et iga diferentseerimine viib algfunktsiooni korrutamiseni . Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm:(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 2 + (2Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: Vaata ka: Kui järgite definitsiooni, on funktsiooni tuletis punktis funktsiooni Δ juurdekasvu suhte piir. Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: y Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: argumendi juurdekasvule Δ

Alustuseks märgime, et kogu funktsioonide hulgast saame eristada nn elementaarfunktsioone. Tegemist on suhteliselt lihtsate avaldistega, mille tuletisi on juba ammu arvutatud ja tabeldatud. Selliseid funktsioone on üsna lihtne meeles pidada – koos nende tuletistega.

Elementaarfunktsioonide tuletised

Elementaarsed funktsioonid on kõik allpool loetletud. Nende funktsioonide tuletised peavad olema peast teada. Pealegi pole neid üldse raske pähe õppida - sellepärast on need elementaarsed.

Niisiis, elementaarfunktsioonide tuletised:

Nimi	Funktsioon	Tuletis
Püsiv	Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm:(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = C, C ∈ R	0 (jah, null!)
Võimsus ratsionaalse astendajaga	Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm:(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: n	n · Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: n − 1
Sinus	Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm:(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = patt Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:	cos Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:
Koosinus	Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm:(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = cos Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:	− patt Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:(miinus siinus)
Tangent	Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm:(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = tg Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:	1/cos 2 Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:
Kotangent	Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm:(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = ctg Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:	− 1 / patt 2 Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:
Naturaalne logaritm	Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm:(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = log Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:	1/Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:
Suvaline logaritm	Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm:(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = log a Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:	1/(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: ln a)
Eksponentfunktsioon	Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm:(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = Kui järgite definitsiooni, on funktsiooni tuletis punktis funktsiooni Δ juurdekasvu suhte piir. Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:	Kui järgite definitsiooni, on funktsiooni tuletis punktis funktsiooni Δ juurdekasvu suhte piir. Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:(midagi pole muutunud)

Kui elementaarfunktsiooni korrutada suvalise konstandiga, on ka uue funktsiooni tuletis kergesti arvutatav:

(C · Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm:)’ = C · Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm: ’.

Üldjuhul saab konstandid tuletise märgist välja võtta. Näiteks:

(2Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 3)' = 2 · ( Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 3) = 2 3 Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 2 = 6Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 2 .

Ilmselgelt saab elementaarseid funktsioone omavahel liita, korrutada, jagada – ja palju muud. Nii tekivad uued funktsioonid, mis pole enam eriti elementaarsed, vaid ka teatud reeglite järgi diferentseeritud. Neid reegleid käsitletakse allpool.

Summa ja vahe tuletis

Olgu funktsioonid antud Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm:(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) Ja g(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:), mille tuletised on meile teada. Näiteks võite võtta ülalpool käsitletud elementaarfunktsioonid. Seejärel leiate nende funktsioonide summa ja erinevuse tuletise:

1. (Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm: + g)’ = Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm: ’ + g ’
2. (Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm: − g)’ = Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm: ’ − g ’

Seega on kahe funktsiooni summa (erinevus) tuletis võrdne tuletiste summaga (erinevus). Tingimusi võib olla rohkem. Näiteks ( Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm: + g + h)’ = Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm: ’ + g ’ + h ’.

Rangelt võttes pole algebras "lahutamise" mõistet. On olemas mõiste "negatiivne element". Seetõttu erinevus Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm: − g saab summaks ümber kirjutada Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm:+ (-1) g, ja siis jääb järele ainult üks valem - summa tuletis.

Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm:(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 2 + sin x; g(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 4 + 2Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 2 − 3.

Funktsioon Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm:(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) on kahe elementaarfunktsiooni summa, seega:

Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm: ’(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = (Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 2 + patt Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:)’ = (Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 2)’ + (patt Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:)’ = 2Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:+ cos x;

Sarnaselt põhjendame seda funktsiooni g(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:). Ainult seal on juba kolm terminit (algebra seisukohalt):

g ’(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = (Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 4 + 2Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 2 − 3)’ = (Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 4 + 2Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 2 + (−3))’ = (Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 4)’ + (2Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 2)’ + (−3)’ = 4Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 3 + 4Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: + 0 = 4Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: · ( Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 2 + 1).

Vastus:
Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm: ’(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = 2Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:+ cos x;
g ’(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = 4Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: · ( Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 2 + 1).

Toote tuletis

Matemaatika on loogikateadus, nii et paljud inimesed usuvad, et kui summa tuletis on võrdne tuletiste summaga, siis korrutise tuletis streikima">võrdne tuletisinstrumentide korrutisega. Aga perse! Toote tuletis arvutatakse täiesti erineva valemiga. Nimelt:

(Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm: · g) ’ = Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm: ’ · g + Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm: · g ’

Valem on lihtne, kuid sageli unustatakse. Ja mitte ainult kooliõpilased, vaid ka üliõpilased. Tulemuseks on valesti lahendatud probleemid.

Ülesanne. Leia funktsioonide tuletised: Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm:(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 3 cos x; g(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = (Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 2 + 7Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:– 7) · Kui järgite definitsiooni, on funktsiooni tuletis punktis funktsiooni Δ juurdekasvu suhte piir. Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: .

Funktsioon Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm:(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) on kahe elementaarfunktsiooni korrutis, seega on kõik lihtne:

Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm: ’(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = (Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 3 cos Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:)’ = (Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 3)' cos Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: + Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 3 (maks Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:)’ = 3Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 2 cos Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: + Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 3 (-sin Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 2 (3 cos Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: − Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: patt Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:)

Funktsioon g(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) esimene kordaja on veidi keerulisem, kuid üldine skeem ei muutu. Ilmselgelt funktsiooni esimene tegur g(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) on polünoom ja selle tuletis on summa tuletis. Meil on:

g ’(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = ((Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 2 + 7Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:– 7) · Kui järgite definitsiooni, on funktsiooni tuletis punktis funktsiooni Δ juurdekasvu suhte piir. Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:)’ = (Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 2 + 7Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:– 7)" · Kui järgite definitsiooni, on funktsiooni tuletis punktis funktsiooni Δ juurdekasvu suhte piir. Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: + (Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 2 + 7Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:– 7) ( Kui järgite definitsiooni, on funktsiooni tuletis punktis funktsiooni Δ juurdekasvu suhte piir. Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:)’ = (2Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:+ 7) · Kui järgite definitsiooni, on funktsiooni tuletis punktis funktsiooni Δ juurdekasvu suhte piir. Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: + (Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 2 + 7Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:– 7) · Kui järgite definitsiooni, on funktsiooni tuletis punktis funktsiooni Δ juurdekasvu suhte piir. Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: = Kui järgite definitsiooni, on funktsiooni tuletis punktis funktsiooni Δ juurdekasvu suhte piir. Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:· (2 Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: + 7 + Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 2 + 7Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: −7) = (Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 2 + 9Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) · Kui järgite definitsiooni, on funktsiooni tuletis punktis funktsiooni Δ juurdekasvu suhte piir. Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: = Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:+ 9) · Kui järgite definitsiooni, on funktsiooni tuletis punktis funktsiooni Δ juurdekasvu suhte piir. Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: .

Vastus:
Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm: ’(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 2 (3 cos Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: − Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: patt Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:);
g ’(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:+ 9) · Kui järgite definitsiooni, on funktsiooni tuletis punktis funktsiooni Δ juurdekasvu suhte piir. Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: .

Pange tähele, et viimases etapis on tuletis faktoriseeritud. Formaalselt pole seda vaja teha, kuid enamik tuletisi ei arvutata iseseisvalt, vaid funktsiooni uurimiseks. See tähendab, et edaspidi võrdsustatakse tuletis nulliga, määratakse selle märgid ja nii edasi. Sellisel juhul on parem avaldis faktoriseerida.

Kui on kaks funktsiooni Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm:(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) Ja g(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) ja g(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) ≠ 0 meid huvitaval hulgal, saame defineerida uue funktsiooni h(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm:(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:)/g(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:). Sellise funktsiooni jaoks leiate ka tuletise:

Pole nõrk, eks? Kust tuli miinus? Miks g 2? Ja nii! See on üks keerulisemaid valemeid - ilma pudelita ei saa te sellest aru. Seetõttu on parem seda uurida konkreetsete näidete abil.

Ülesanne. Leia funktsioonide tuletised:

Iga murru lugeja ja nimetaja sisaldavad elementaarfunktsioone, seega vajame ainult jagatise tuletise valemit:

Traditsiooni kohaselt faktoreerime lugeja - see lihtsustab vastust oluliselt:

Keeruline funktsioon ei pruugi olla poole kilomeetri pikkune valem. Näiteks piisab funktsiooni võtmisest Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm:(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = patt Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: ja asendada muutuja Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:, ütleme, edasi Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 2 + ln Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:. See saab korda Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm:(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = patt ( Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 2 + ln Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) – see on keeruline funktsioon. Sellel on ka tuletis, kuid seda ei ole võimalik ülalkirjeldatud reeglite abil leida.

Mida ma peaksin tegema? Sellistel juhtudel aitab kompleksfunktsiooni tuletise muutuja ja valemi asendamine:

Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm: ’(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm: ’(t) · t', Kui Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: asendatakse t(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:).

Reeglina on olukord selle valemi mõistmisega veelgi kurvem kui jagatise tuletisega. Seetõttu on parem seda ka konkreetsete näidetega selgitada, koos üksikasjalik kirjeldus igal sammul.

Ülesanne. Leia funktsioonide tuletised: Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm:(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = Kui järgite definitsiooni, on funktsiooni tuletis punktis funktsiooni Δ juurdekasvu suhte piir. 2Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: + 3 ; g(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = patt ( Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 2 + ln Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:)

Pange tähele, et kui funktsioonis Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm:(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) avaldise 2 asemel Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:+3 saab olema lihtne Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:, siis saame elementaarfunktsiooni Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm:(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = Kui järgite definitsiooni, on funktsiooni tuletis punktis funktsiooni Δ juurdekasvu suhte piir. Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:. Seetõttu teeme asendused: laske 2 Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: + 3 = t, Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm:(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm:(t) = Kui järgite definitsiooni, on funktsiooni tuletis punktis funktsiooni Δ juurdekasvu suhte piir. t. Otsime kompleksfunktsiooni tuletist, kasutades valemit:

Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm: ’(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm: ’(t) · t ’ = (Kui järgite definitsiooni, on funktsiooni tuletis punktis funktsiooni Δ juurdekasvu suhte piir. t)’ · t ’ = Kui järgite definitsiooni, on funktsiooni tuletis punktis funktsiooni Δ juurdekasvu suhte piir. t · t ’

Ja nüüd - tähelepanu! Teostame vastupidise asendamise: t = 2Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:+ 3. Saame:

Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm: ’(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = Kui järgite definitsiooni, on funktsiooni tuletis punktis funktsiooni Δ juurdekasvu suhte piir. t · t ’ = Kui järgite definitsiooni, on funktsiooni tuletis punktis funktsiooni Δ juurdekasvu suhte piir. 2Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:+ 3 (2 Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: + 3)’ = Kui järgite definitsiooni, on funktsiooni tuletis punktis funktsiooni Δ juurdekasvu suhte piir. 2Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:+ 3 2 = 2 Kui järgite definitsiooni, on funktsiooni tuletis punktis funktsiooni Δ juurdekasvu suhte piir. 2Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: + 3

Nüüd vaatame funktsiooni g(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:). Ilmselgelt tuleb see välja vahetada Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 2 + ln Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: = t. Meil on:

g ’(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = g ’(t) · t’ = (patt t)’ · t' = cos t · t ’

Vastupidine asendamine: t = Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 2 + ln Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:. Seejärel:

g ’(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = cos ( Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 2 + ln Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) · ( Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 2 + ln Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:)' = cos ( Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 2 + ln Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) · (2 Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: + 1/Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:).

See on kõik! Nagu viimasest avaldisest näha, on kogu probleem taandatud tuletissumma arvutamisele.

Vastus:
Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm: ’(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = 2 · Kui järgite definitsiooni, on funktsiooni tuletis punktis funktsiooni Δ juurdekasvu suhte piir. 2Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: + 3 ;
g ’(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = (2Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: + 1/Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) cos ( Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 2 + ln Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:).

Väga sageli kasutan ma oma tundides termini "tuletis" asemel sõna "alim". Näiteks summa löök on võrdne löökide summaga. Kas see on selgem? No see on hea.

Seega taandub tuletise arvutamine samadest löökidest vabanemisele vastavalt ülalkirjeldatud reeglitele. Viimase näitena pöördume tagasi ratsionaalse astendajaga tuletusastme juurde:

(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: n)’ = n · Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: n − 1

Vähesed inimesed teavad seda rollis n võib olla murdarv. Näiteks juur on Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 0.5. Mis siis, kui juure all on midagi uhket? Jällegi on tulemuseks keeruline funktsioon - neile meeldib selliseid konstruktsioone anda testid ja eksamid.

Ülesanne. Leia funktsiooni tuletis:

Esmalt kirjutame juure ümber ratsionaalse astendajaga astmeks:

Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm:(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = (Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 2 + 8Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: − 7) 0,5 .

Nüüd teeme asendus: lase Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 2 + 8Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: − 7 = t. Leiame tuletise valemi abil:

Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm: ’(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm: ’(t) · t ’ = (t 0,5)" t' = 0,5 · t–0,5 · t ’.

Teeme vastupidise asendamise: t = Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 2 + 8Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:− 7. Meil ​​on:

Seetõttu on n-ndat järku tuletis järgmine vorm: ’(Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:) = 0,5 · ( Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 2 + 8Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:– 7) –0,5 · ( Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 2 + 8Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:− 7)' = 0,5 (2 Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:+ 8) ( Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: 2 + 8Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised: − 7) −0,5 .

Lõpuks tagasi juurte juurde: