Kuidas tähistada numbreid arvuringil pi-ga? Tund "Siinuse ja koosinuse defineerimine ühikringil" Kokkuvõte ja põhivalemid.

Tund ja ettekanne teemal: "Arvring koordinaattasandil"

Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, ülevaateid, soove! Kõik materjalid on viirusetõrjeprogrammiga kontrollitud.

Käsiraamatud ja simulaatorid veebipoes Integral 10. klassile alates 1C
Algebraülesanded parameetritega, klass 9–11
Lahendame ülesandeid geomeetrias. Interaktiivsed ehitusülesanded 7.-10. klassile

Mida me uurime:
1. Definitsioon.
2. Arvringi olulised koordinaadid.
3. Kuidas leida arvuringi koordinaati?
4. Arvringi põhikoordinaatide tabel.
5. Näiteid probleemide lahendamisest.

Arvringi definitsioon koordinaattasandil

Asetame arvuringi koordinaatide tasapinnale nii, et ringi keskpunkt langeks kokku koordinaatide alguspunktiga, ja võtame selle raadiuse ühikuliseks lõiguks. Arvringi A alguspunkt liidetakse punktiga (1;0).

Igal arvuringi punktil on koordinaattasandil oma x- ja y-koordinaadid ning:
1) $x > 0$, $y > 0$ puhul - I kvartalis;
2) $x 0$ eest - II kvartalis;
3) $x 4) $x puhul > 0 $, $y
Arvringi mis tahes punkti $M(x; y)$ korral on täidetud järgmised ebavõrdsused: $-1
Pidage meeles arvuringi võrrandit: $x^2 + y^2 = 1$.

Meie jaoks on oluline õppida, kuidas leida joonisel kujutatud arvuringi punktide koordinaate.

Leiame punkti $\frac(π)(4)$ koordinaadi

Punkt $M(\frac(π)(4))$ on esimese kvartali keskpaik. Kujutagem risti MR punktist M sirgele OA ja vaatleme kolmnurka OMP Kuna kaar AM on pool kaarest AB, siis $∠MOP=45°$.
Seega on kolmnurk OMP võrdhaarne täisnurkne kolmnurk ja $OP=MP$, st. punktis M on abstsiss ja ordinaat võrdsed: $x = y$.
Kuna punkti $M(x;y)$ koordinaadid rahuldavad arvuringi võrrandit, siis nende leidmiseks tuleb lahendada võrrandisüsteem:
$\begin (juhtumid) x^2 + y^2 = 1, \\ x = y. \end (juhtumid)$
Olles selle süsteemi lahendanud, saame: $y = x =\frac(\sqrt(2))(2)$.
See tähendab, et arvule $\frac(π)(4)$ vastava punkti M koordinaadid on $M(\frac(π)(4))=M(\frac(\sqrt(2))( 2);\frac (\sqrt(2))(2))$.
Eelmisel joonisel toodud punktide koordinaadid arvutatakse sarnaselt.

Arvringi punktide koordinaadid

Vaatame näiteid

Näide 1.
Leidke arvuringi punkti koordinaat: $P(45\frac(π)(4))$.

Lahendus:
45 $\frac(π)(4) = (10 + \frac(5)(4)) * π = 10π +5\frac(π)(4) = 5\frac(π)(4) + 2π*5 $.
See tähendab, et arv $45\frac(π)(4)$ vastab arvuringi samale punktile kui arv $\frac(5π)(4)$. Vaadates tabelis oleva punkti $\frac(5π)(4)$ väärtust, saame: $P(\frac(45π)(4))=P(-\frac(\sqrt(2))( 2);-\frac (\sqrt(2))(2))$.

Näide 2.
Leidke arvuringi punkti koordinaat: $P(-\frac(37π)(3))$.

Lahendus:

Sest numbrid $t$ ja $t+2π*k$, kus k on täisarv, vastavad arvuringi samale punktile, siis:
$-\frac(37π)(3) = -(12 + \frac(1)(3))*π = -12π –\frac(π)(3) = -\frac(π)(3) + 2π *(-6)$.
See tähendab, et arv $-\frac(37π)(3)$ vastab arvuringi samale punktile kui arv $–\frac(π)(3)$ ja arv –$\frac(π) (3)$ vastab samale punktile kui $\frac(5π)(3)$. Vaadates tabelis punkti $\frac(5π)(3)$ väärtust, saame:
$P(-\frac(37π)(3))=P(\frac((1))(2);-\frac(\sqrt(3))(2))$.

Näide 3.
Leia arvuringilt punktid ordinaadiga $y =\frac(1)(2)$ ja kirjuta üles, millistele numbritele $t$ need vastavad?

Lahendus:
Sirge $y =\frac(1)(2)$ lõikab arvuringi punktides M ja P. Punkt M vastab arvule $\frac(π)(6)$ (tabeli andmetest). See tähendab mis tahes arvu kujul: $\frac(π)(6)+2π*k$. Punkt P vastab arvule $\frac(5π)(6)$ ja seega mis tahes arvule kujul $\frac(5π)(6) +2 π*k$.
Nagu sellistel juhtudel sageli öeldakse, saime kaks väärtuste seeriat:
$\frac(π)(6) +2 π*k$ ja $\frac(5π)(6) +2π*k$.
Vastus: $t=\frac(π)(6) +2 π*k$ ja $t=\frac(5π)(6) +2π*k$.

Näide 4.
Leia arvuringilt punktid abstsissiga $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ ja kirjuta üles, millistele numbritele $t$ need vastavad.

Lahendus:

Sirge $x =-\frac(\sqrt(2))(2)$ lõikab arvuringi punktides M ja P. Võrratus $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ kaare PM punktidesse. Punkt M vastab arvule $3\frac(π)(4)$ (tabeliandmetest). See tähendab mis tahes arvu kujul $-\frac(3π)(4) +2π*k$. Punkt P vastab arvule $-\frac(3π)(4)$ ja seega mis tahes arvule kujul $-\frac(3π)(4) +2π*k$.

Siis saame $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.

Vastus: $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.

Iseseisvalt lahendatavad probleemid

1) Leidke arvuringi punkti koordinaat: $P(\frac(61π)(6))$.
2) Leidke arvuringi punkti koordinaat: $P(-\frac(52π)(3))$.
3) Leia arvuringilt punktid ordinaadiga $y = -\frac(1)(2)$ ja kirjuta üles, millistele numbritele $t$ need vastavad.
4) Leia arvuringilt punktid, mille ordinaat on $y ≥ -\frac(1)(2)$ ja kirjuta üles, millistele numbritele $t$ need vastavad.
5) Leidke arvuringilt punktid abstsissiga $x≥-\frac(\sqrt(3))(2)$ ja kirjutage üles, millistele numbritele $t$ need vastavad.

Koolis trigonomeetriat õppides seisab iga õpilane silmitsi väga huvitava “numbriringi” mõistega. Oskustest kooli õpetaja Mis see on ja milleks seda vaja on, oleneb sellest, kui hästi õpilane hiljem trigonomeetriaga hakkama saab. Kahjuks ei oska iga õpetaja seda materjali selgelt seletada. Seetõttu on paljud õpilased segaduses isegi märgistamise osas punktid numbriringil. Kui loete selle artikli lõpuni, saate teada, kuidas seda probleemideta teha.

Nii et alustame. Joonistame ringi, mille raadius on 1. Tähistame selle ringi “parempoolseima” punkti tähega O:

Õnnitleme, joonistasite just ühikuringi. Kuna selle ringi raadius on 1, on selle pikkus .

Kõigile tegelik arv saate viia trajektoori pikkuse piki arvuringi punktist alates O. Positiivseks suunaks loetakse liikumissuunda vastupäeva. Negatiivne – päripäeva:

Punktide asukoht arvuringil

Nagu me juba märkisime, on numbriringi (ühikringi) pikkus võrdne . Kus siis sellel ringil number asub? Ilmselgelt punktist O vastupäeva peame läbima poole ringi pikkusest ja leiame end soovitud punktist. Tähistame seda tähega B:

Pange tähele, et samasse punkti saab jõuda poolringi mööda negatiivses suunas kõndides. Seejärel joonistame numbri ühikuringile. See tähendab, et numbrid vastavad samale punktile.

Pealegi vastab see sama punkt ka arvudele , , , ja üldiselt lõpmatule arvude hulgale, mille saab kirjutada kujul , kus , see tähendab, kuulub täisarvude hulka. Seda kõike sellepärast, et punktist B saate teha "ümbermaailma" reisi igas suunas (liida või lahutada ümbermõõt) ja jõuda samasse punkti. Saame olulise järelduse, mida peate mõistma ja meeles pidama.

Iga number vastab numbriringi ühele punktile. Kuid igale arvuringi punktile vastab lõpmatu arv numbreid.

Jagame nüüd arvuringi ülemise poolringi punkti võrra võrdse pikkusega kaaredeks C. On lihtne näha, et kaare pikkus O.C. võrdne . Lükkame nüüd punktist edasi C sama pikkusega kaar vastupäeva. Selle tulemusena jõuame asja juurde B. Tulemus on üsna ootuspärane, kuna . Paneme selle kaare uuesti samas suunas, kuid nüüd punktist B. Selle tulemusena jõuame asja juurde D, mis vastab juba numbrile:

Pane veelkord tähele, et see punkt ei vasta mitte ainult numbrile, vaid ka näiteks arvule, sest sellesse punkti saab jõuda punktist eemaldudes O veerandring päripäeva (negatiivne suund).

Ja üldiselt märgime veel kord, et see punkt vastab lõputult paljudele arvudele, mida saab vormil kirjutada . Kuid neid saab kirjutada ka kujul . Või kui soovite, siis kujul . Kõik need kirjed on täiesti samaväärsed ja neid saab üksteiselt hankida.

Jagame nüüd kaare järgmiseks O.C. poolpunkt M. Nüüd mõelge välja, milline on kaare pikkus OM? Täpselt nii, pool kaarest O.C.. See on . Millistele numbritele punkt vastab? M numbriringil? Olen kindel, et nüüd mõistate, et neid numbreid saab kirjutada kujul .

Kuid seda saab teha erinevalt. Võtame . Siis me saame selle . See tähendab, et neid numbreid saab kirjutada kujul . Sama tulemuse võis saada numbriringi kasutades. Nagu ma juba ütlesin, on mõlemad plaadid samaväärsed ja neid saab üksteiselt hankida.

Nüüd saate lihtsalt tuua näite numbrite kohta, millele punktid vastavad N, P Ja K numbriringil. Näiteks numbrid ja:

Sageli kasutatakse arvuringi vastavate punktide tähistamiseks minimaalseid positiivseid numbreid. Kuigi see pole üldse vajalik, punkt N, nagu te juba teate, vastab lõpmatule hulgale teistele arvudele. Sealhulgas näiteks number.

Kui murrad kaare O.C. kolmeks võrdseks punktidega kaareks S Ja L, nii et see on asja mõte S jääb punktide vahele O Ja L, siis kaare pikkus OS on võrdne , ja kaare pikkusega OL on võrdne . Tunni eelmises osas saadud teadmisi kasutades saate hõlpsalt aru saada, kuidas numbriringi ülejäänud punktid välja kukkusid:

Arvud, mis ei ole arvuringi π kordsed

Esitagem nüüd endale küsimus: kuhu numbrireale peaksime märkima arvule 1 vastava punkti? Selleks tuleb alustada ühikuringi kõige “õigemast” punktist O joonistage kaar, mille pikkus oleks võrdne 1-ga. Soovitud punkti asukohta saame näidata vaid ligikaudselt. Jätkame järgmiselt.

Loodan, et olete arvuringi kohta juba lugenud ja teate, miks seda numbriringiks nimetatakse, kus on sellel koordinaatide alguspunkt ja kumb pool on positiivne suund. Kui ei, siis jookse! Kui te muidugi numbriringilt punkte ei leia.

Tähistame numbreid \(2π\), \(π\), \(\frac(π)(2)\), \(-\frac(π)(2)\), \(\frac(3π) (2)\)

Nagu eelmisest artiklist teate, on arvuringi raadius \(1\). See tähendab, et ümbermõõt on võrdne \(2π\) (arvutatakse valemiga \(l=2πR\)). Seda arvesse võttes märgime arvuringile \(2π\). Selle numbri märkimiseks peame liikuma \(0\)-st mööda arvuringi kauguseni, mis on võrdne \(2π\)-ga positiivses suunas ja kuna ringi pikkus on \(2π\), siis see pöördub. välja, mida me teeme täispööre. See tähendab, et arv \(2π\) ja \(0\) vastavad samale punktile. Ärge muretsege, arvuringi puhul on ühe punkti mitu väärtust normaalne.

Nüüd tähistame numbriringil arvu \(π\). \(π\) on pool \(2π\). Seega, selle numbri ja vastava punkti märkimiseks peate minema pool ringi alates \(0\) positiivses suunas.

Märgime punkti \(\frac(π)(2)\) . \(\frac(π)(2)\) on pool arvust \(π\), seetõttu peate selle numbri märkimiseks liikuma punktist \(0\) positiivses suunas vahemaa, mis on võrdne poolega \( π\), see on veerandring.

Tähistame ringi punktid \(-\)\(\frac(π)(2)\) . Liigume sama kaugele kui eelmisel korral, aga negatiivses suunas.

Paneme \(-π\). Selleks kõnnime negatiivses suunas poole ringiga võrdse vahemaa.

Vaatame nüüd keerulisemat näidet. Märgime ringile arvu \(\frac(3π)(2)\). Selleks tõlgime murdosa \(\frac(3)(2)\) \(\frac(3)(2)\) \(=1\)\(\frac(1)(2)\ ), st e. \(\frac(3π)(2)\) \(=π+\)\(\frac(π)(2)\) . See tähendab, et peate liikuma punktist \(0\) positiivses suunas pool ringi ja veel veerandi.

Ülesanne 1. Märkige arvuringile punktid \(-2π\),\(-\)\(\frac(3π)(2)\).

Tähistame numbreid \(\frac(π)(4)\), \(\frac(π)(3)\), \(\frac(π)(6)\)

Eespool leidsime väärtused arvuringi lõikepunktides telgedega \(x\) ja \(y\). Nüüd määrame vahepunktide asukoha. Kõigepealt joonistame punktid \(\frac(π)(4)\) , \(\frac(π)(3)\) ja \(\frac(π)(6)\) .
\(\frac(π)(4)\) on pool \(\frac(π)(2)\) (st \(\frac(π)(4)\) \(=\)\ ( \frac(π)(2)\) \(:2)\) , seega on kaugus \(\frac(π)(4)\) pool veerandringist.

\(\frac(π)(4)\) on kolmandik \(π\)-st (teisisõnu \(\frac(π)(3)\) \(=π:3\)), seega kaugus \ (\frac(π)(3)\) on kolmandik poolringist.

\(\frac(π)(6)\) on pool \(\frac(π)(3)\) (lõppude lõpuks, \(\frac(π)(6)\) \(=\)\( \frac (π)(3)\) \(:2\)), seega on kaugus \(\frac(π)(6)\) pool vahemaast \(\frac(π)(3)\) .

Need asuvad üksteise suhtes järgmiselt:

Kommentaar: Punktide asukoht väärtusega \(0\), \(\frac(π)(2)\) ,\(π\), \(\frac(3π)(2)\) , \(\frac(π) (4)\) , \(\frac(π)(3)\) , \(\frac(π)(6)\) on parem lihtsalt meeles pidada. Ilma nendeta tundub numbriring nagu ilma monitorita arvutigi kasulik asi, kuid äärmiselt ebamugav kasutada.

Erinevad kaugused ringil on selgelt näidatud:

Tähistame numbreid \(\frac(7π)(6)\), \(-\frac(4π)(3)\), \(\frac(7π)(4)\)

Tähistame punkti ringil \(\frac(7π)(6)\) , selleks teostame järgmised teisendused: \(\frac(7π)(6)\) \(=\)\(\ frac(6π + π)( 6)\) \(=\)\(\frac(6π)(6)\) \(+\)\(\frac(π)(6)\) \(=π+ \)\(\frac( π)(6)\) . Sellest näeme, et nullist positiivses suunas peame läbima vahemaa \(π\) ja seejärel teise \(\frac(π)(6)\) .

Märgime ringile punkti \(-\)\(\frac(4π)(3)\). Teisendus: \(-\)\(\frac(4π)(3)\) \(=-\)\(\frac(3π)(3)\) \(-\)\(\frac(π)( 3)\) \(=-π-\)\(\frac(π)(3)\) . See tähendab, et punktist \(0\) peame liikuma negatiivses suunas vahemaa \(π\) ja ka \(\frac(π)(3)\) .

Joonistame punkti \(\frac(7π)(4)\) , selleks teisendame \(\frac(7π)(4)\) \(=\)\(\frac(8π-π)(4 )\) \ (=\)\(\frac(8π)(4)\) \(-\)\(\frac(π)(4)\) \(=2π-\)\(\frac(π) )(4) \) . See tähendab, et punkti väärtusega \(\frac(7π)(4)\) paigutamiseks peate minema punktist väärtusega \(2π\) negatiivsele poolele kaugusel \(\ frac(π)(4)\) .

2. ülesanne. Märgi punktid \(-\)\(\frac(π)(6)\) ,\(-\)\(\frac(π)(4)\) ,\(-\)\(\frac) arvuring (π)(3)\) ,\(\frac(5π)(4)\) ,\(-\)\(\frac(7π)(6)\) ,\(\frac(11π) (6) \) , \(\frac(2π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(3π)(4)\) .

Tähistame numbreid \(10π\), \(-3π\), \(\frac(7π)(2)\) ,\(\frac(16π)(3)\), \(-\frac(21π) )( 2)\), \(-\frac(29π)(6)\)

Kirjutame \(10π\) kujul \(5 \cdot 2π\). Tuletage meelde, et \(2π\) on kaugus pikkusega võrdne ringid, nii et punkti \(10π\) märkimiseks peate minema nullist kauguseni, mis võrdub \(5\) ringidega. Pole raske arvata, et leiame end uuesti punktist \(0\), tehke lihtsalt viis pööret.

Sellest näitest võime järeldada:

Arvud erinevusega \(2πn\), kus \(n∈Z\) (st \(n\) on mis tahes täisarv) vastavad samale punktile.

See tähendab, et arvu lisamiseks, mille väärtus on suurem kui \(2π\) (või väiksem kui \(-2π\)), peate sellest eraldama paarisarvu \(π\) (\(2π\), \(8π\), \(-10π\)…) ja visake ära. Seega eemaldame numbritelt “tühjad pöörded”, mis punkti asukohta ei mõjuta.

Teine järeldus:

Punkt, millele \(0\) vastab, vastab ka kõikidele paarissuurustele \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)…).

Nüüd rakendame ringile \(-3π\). \(-3π=-π-2π\), mis tähendab, et \(-3π\) ja \(–π\) on ringil samas kohas (kuna need erinevad "tühja pöörde" poolest \(-2π) \)).

Muide, seal on ka kõik paaritu \(π\).

Punkt, millele \(π\) vastab, vastab ka kõikidele paaritutele suurustele \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)…).

Nüüd tähistame arvu \(\frac(7π)(2)\) . Nagu tavaliselt, teisendame: \(\frac(7π)(2)\) \(=\)\(\frac(6π)(2)\) \(+\)\(\frac(π)(2) \ ) \(=3π+\)\(\frac(π)(2)\) \(=2π+π+\)\(\frac(π)(2)\) . Loobume kaks pi-d ja selgub, et arvu \(\frac(7π)(2)\) määramiseks peate minema nullist positiivses suunas kaugusele, mis on võrdne \(π+\)\(\ frac(π)(2)\ ) (st pool ringi ja teine ​​veerand).

Gümnaasiumiõpilased ei tea kunagi, millal neil võib õppimisega probleeme tekkida. Raskusi võib tekitada iga koolis õpitav aine vene keelest eluohutuseni. Üks neist akadeemilised distsipliinid Aine, mis koolilapsi regulaarselt higistama ajab, on algebra. Algebrateadus hakkab seitsmendast klassist alates terroriseerima laste meeli ning jätkab seda tegevust kümnendal ja üheteistkümnendal õppeaastal. Teismelised saavad oma elu lihtsamaks muuta, kasutades erinevaid vahendeid, mille hulka kuuluvad alati ka lahendajad.

GDZ kogumik algebra 10.–11. klassi jaoks (Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva) on suurepärane täiendus põhiraamatule. Läbi viiteteaveõpilane on valmis lahendama mis tahes harjutust. Ülesanded hõlmavad järgmiste teemade analüüsi:

• trigonomeetrilised funktsioonid ja võrrandid;
• logaritmid;
• kraadid.

Esitatud vastustes ja kommentaarides on vajalikud autorimärkused, mis on lapsele kindlasti abiks.

Miks vajate lahendajat?

Väljaanne annab kõigile kooliõpilastele võimaluse materjal iseseisvalt läbi töötada ning arusaamatuse või teemast puudujäämise korral ise kvaliteedis järeleandmisi tegemata läbi teha. Samuti võimaldavad võrdlusandmed tõhusalt valmistuda tulevaseks iseseisvaks ja testid. Kõige uudishimulikumad õpilased saavad järgida õppekava edasi, millel on tulevikus positiivne mõju teadmiste assimilatsioonile ja keskmise hinde tõusule.

Lisaks kümnenda ja üheteistkümnenda klassi õpilased Alimovi algebra käsiraamat 10.-11. klassile Lapsevanemad ja õpetajad saavad seda hõlpsasti kasutada: esimeste jaoks saab sellest tööriist lapse teadmiste jälgimiseks, teisele aga oma materjalide ja materjalide väljatöötamise aluseks. testülesanded klassiruumi tegevuste jaoks.

Kuidas kogumine on korraldatud

Allikas järgib täielikult õpiku ülesehitust. Sees on kasutajal võimalus vaadata kolmeteistkümnesse peatükki jaotatud 1624 ülesande vastuseid, aga ka rubriigi “Pane ennast proovile” ülesannete kohta. Võtmed on saadaval 24 tundi ööpäevas, numbri leiate läbi otsinguvälja või mugava navigeerimise.

5. Mistahes ARGUENDI TRIGONOMEETRILISED FUNKTSIOONID

§ 20. ÜKSUSING

948. Milline on ühikringi kaarepikkuse ja selle radiaani mõõtmise suhe?

949. Ühikuringil konstrueerige punktid, mis vastavad arvudele: 0; 1; 2; 3; 4; 5; .... Kas mõni neist punktidest võiks kokku langeda? Miks?

950. Arvud on antud valemiga α = 1/2 k, Kus k= 0; ±1; ±2; ....
Ehitage arvujoonele ja ühikringile punktid, mis vastavad neile arvudele. Mitu sellist punkti saab olema arvujoonel ja kui palju ühikringil?

951. Märgistage ühikuringil ja arvuteljel punktid, mis vastavad numbritele:
1) α = π k, k= 0; ±1, ±2, ...;
2) α = π / 2 (2k + 1), k= 0; ± 1; ±2; ...;
3) α = π k / 6 , k= 0; ±1; ±2; ... .
Mitu sellist punkti on arvujoonel ja kui palju ühikringil?

952. Kuidas paiknevad arvuteljel ja ühikuringil arvudele vastavad punktid:
1) A Ja - A; 2) A Ja A±π; 3) A+ π ja A- π; 4) A Ja A+ 2π k, k= 0; ±1; ±2; ...?

953. Mis põhimõtteline erinevus on arvude esitamisel arvutelje punktide ja ühikuringi punktidega?

954. 1) Leia väikseimad mittenegatiivsed arvud, mis vastavad ühikringi lõikepunktidele: a) koordinaattelgedega; b) koordinaatnurkade poolitajatega.

2) Kirjutage igal juhul üldine valemühikuringi näidatud punktidele vastavad numbrid.

955. Teades seda A on üks numbritest, mis vastab ühikuringi antud punktile, leidke:
1) kõik antud punktile vastavad numbrid;
2) kõik arvud, mis vastavad antud punktiga sümmeetrilisele ühikringi punktile:
a) x-telje suhtes; b) ordinaattelje suhtes; c) päritolu suhtes.
Lahendage probleem nõustudes A = 0; π / 2 ; 1 ; 2 ; π / 6; - π / 4 .

956. Leidke tingimus, mida arvud vastavad A, vastab:
1) ühikuringi 1. veerandi punktid;
2) ühikuringi 2. veerandi punktid;
3) ühikuringi 3. veerandi punktid;
4) ühikuringi 4. veerandi punktid.

957. Ühikringi kantud korrapärase kaheksanurga ABCDEFKL tipul A on koordinaadid (1; 0) (joonis 39).

1) Määrake kaheksanurga ülejäänud tippude koordinaadid.
2) Koostage ühikulise ringi lõpu kaare üldvalem:
a) punktides A, C, E ja K; b) punktides B, D, F ja L; c) punktides A, B, C, D, E, F, K ja L.

958. 1) Koostage ühikringkonnale punkt, mille ordinaat on 0,5. Mitmel ühikuringi punktil on antud ordinaat? Kuidas need punktid paiknevad ordinaattelje suhtes?

2) Mõõtke nurgamõõturiga (täpsusega 1°) absoluutväärtuses väikseimat kaaret, mille ordinaat on 0,5-ga, ja koostage üldvalem ordinaadiga punktides lõppevate ühikulise ringi kaare jaoks. 0,5-st.

959. Lahenda ülesanne 958, võttes ordinaat juures võrdne:

1) - 0,5; 2) 0 4; 3) 0,5√3 .

960. 1) Koostage ühikringjoonele punkt, mille abstsiss on 0,5. Mitmel ühikuringi punktil on antud abstsiss? Kuidas need punktid x-telje suhtes paiknevad?

2) Mõõtke protraktoriga (täpsusega 1°) väikseim positiivne kaar, mille otsa abstsiss on 0,5, ja koostage üldvalem ühikuliste ringikaarte jaoks, mis lõpevad punktides, mille abstsiss on 0,5.

961. Lahendage ülesanne 960, võttes abstsissil X võrdne:

1) - 2 / 3 ; 2) 0,4; 3) 0,5√2 .

962. Määrake ühikuringi kaare otste koordinaadid, antud valemiga (k= 0; ±1; ±2; ...):

1) α = 30° (2 k+ 1); 2) α = π k / 3 .

963. Väljendage järgmist nurkade seeriat ( k= 0; ±1; ±2; ...):

1) α1 = 180° k+ 120° ja α 2 = 180° k+ 30°;

2) α 1 = π k + π / 6 ja α 2 = π k - π / 3 ;

3) α1 = 90° k ja α 2 = 45° (2 k + 1);

4) α 1 = π k ja α 2 = π / 3 (3k± 1);

5) α1 = 120° k± 15° ja α 2 = 120° k± 45°;

6) α 1 = π k; α2 = 2π k ± π / 3 ja α 3 = 2l k± 2π / 3 ;

7) α1 = 180° k+ 140°; α2 = 180° k+ 80° ja α 3 = 180° k+ 20°;

8) α1 = 180° k + (-1)k 60° ja α2 = 180° k - (-1)k 60°.

964. Kõrvaldage topeltnurgad järgmistes valemites ( k= 0-±1; ±2; ...):

1) α1 = 90° k ja α2 = 60° k+ 30°;

2) α 1 = π k / 2 ja α 2 = π k / 5 ;

3) α 1 = 1/4 π k ja α2 = 1/2 π k± 1/4 π;

4) α 1 = π (2 k+ 1) - π / 6 ja α 2 = 2/5 π k+ 1/30 π;

5) α1 = 72° k+ 36° ja α 2 = 120° k+ 60°.