Newtoni interpolatsiooni valem. Interpolatsioonipolünoom Newtoni kujul Interpoleerimine Newtoni valemite abil kindlaksmääratud täpsusega

Newtoni esimene interpolatsioonivalem on praktiliselt ebamugav funktsiooni interpoleerimiseks tabeli sõlmede lähedal. Sel juhul kasutatakse seda tavaliselt .

Ülesande kirjeldus . Olgu meil funktsiooni väärtuste jada

võrdse vahemaa argumendi väärtuste korral, kus on interpolatsiooni samm. Koostame järgmise kujuga polünoomi:

või üldistatud võimsust kasutades saame:

Siis, kui võrdsus kehtib, saame

Asendame need väärtused valemiga (1). Siis lõpuks, Newtoni teine ​​interpolatsioonivalem on kujul:

Tutvustame valemi (2) jaoks mugavamat tähistust. Las siis olla

Asendades need väärtused valemisse (2), saame:

See on tavaline vaade Newtoni teine ​​interpolatsioonivalem. Funktsiooni väärtuste ligikaudseks arvutamiseks oletagem:

Nii Newtoni esimest kui ka teist interpolatsioonivalemit saab kasutada funktsiooni ekstrapoleerimiseks, st tabeliväliste argumentide väärtuste funktsiooni väärtuste leidmiseks.

Kui see on lähedane, siis on kasulik rakendada Newtoni esimest interpolatsioonivalemit ja siis. Kui see on lähedane, siis on mugavam kasutada ka Newtoni teist interpolatsiooni valemit.

Seega kasutatakse tavaliselt Newtoni esimest interpolatsiooni valemit ettepoole suunatud interpolatsioon Ja tagurpidi ekstrapoleerimine, ja Newtoni teine ​​interpolatsioonivalem, vastupidi, jaoks tagurpidi interpoleerimine Ja edasi-ekstrapoleerimine.

Pange tähele, et ekstrapoleerimisoperatsioon on üldiselt vähem täpne kui interpolatsioonitehing selle sõna kitsas tähenduses.

Näide. Astudes sammu, konstrueerige tabeliga antud funktsiooni jaoks Newtoni interpolatsioonipolünoom

Lahendus. Koostame erinevuste tabeli (tabel 1). Kuna kolmandat järku erinevused on praktiliselt konstantsed, eeldame valemis (3). Pärast nõustumist saame:

See on soovitud Newtoni interpolatsiooni polünoom.

Tabel 1

	0,875 0,7088 0,5361 0,3572 0,173 -0,0156 -0,20	-0,1662 -0,1727 -0,1789 -0,1842 -0,1886 -0,1925	-0,0065 -0,0062 -0,0053 -0,0044 -0,0039	0,0003 0,0009 0,0009 0,0005

Mõelgem kontseptsioonile lõplikud erinevused.

Olgu funktsioon antud y=f(x) lõigul [x 0 , x„], mis jaguneb P identsed segmendid (võrdkaugete argumentide väärtuste puhul): Ax=h = konst. Iga sõlme jaoks x 0, X, =x 0 + /G, ...,X" =x()+ n h funktsiooni väärtused on määratletud kujul

Tutvustame kontseptsiooni lõplikud erinevused.

Esimese järgu lõplikud erinevused

Teist järku lõplikud erinevused Kõrgemate järkude lõplikud erinevused määratletakse sarnaselt:

Funktsioonide lõplikke erinevusi on mugav paigutada tabelitesse, mis võivad olla diagonaalsed (tabel 5.1) või horisontaalsed (tabel 5.2).

Diagonaalne tabel

Tabel 5.1

Horisontaalne laud

Tabel 5.2

						5 a,
						A 5 Uo
					ja 4 a.

Newtoni esimene interpolatsioonivalem

Olgu funktsioonile y=/(x) antud väärtused y, =/(x), sõltumatute muutujate võrdsete väärtuste korral:

Kus h- interpolatsiooni samm.

Peame leidma polünoomi P„(x) kraadi ns kõrgem P, vastuvõtmine punktides (sõlmedes) x, väärtused:

Interpoleerivat polünoomi otsitakse järgmisel kujul:

Polünoomi konstrueerimise probleem taandub koefitsientide määramisele A, tingimustest:

Eeldame, et (5.13) x = x 0, kuna teine, kolmas ja teised liikmed on 0, siis

Leiame koefitsiendi A (.

Pries=X1 saame:

Määramiseks a 2 Teeme teise järgu lõpliku erinevuse. Kell x=x 2 saame:

Sarnaselt võib leida ka teisi koefitsiente. Üldvalem on järgmine:

Asendades need avaldised valemiga (5.13), saame:

kus x„ y x- interpolatsioonisõlmed; X- voolu muutuja; h- kahe interpolatsioonisõlme erinevus; h- väärtus on konstantne, st interpolatsioonisõlmed on üksteisest võrdsel kaugusel.

Seda polünoomi nimetatakse Newtoni interpolatsiooni polünoom interpoleerida tabeli alguses (edasi-interpolatsioon) või Newtoni esimene polünoom.

Praktiliseks kasutamiseks kirjutatakse see polünoom teisendatud kujul, lisades tähistusele t=(x - x 0)/h, Siis

See valem on rakendatav funktsiooni väärtuste arvutamiseks argumendi väärtuste jaoks, mis on interpolatsiooniintervalli alguse lähedal.

Edasisuunalise interpolatsiooni Newtoni meetodi algoritmi plokkskeem on näidatud joonisel fig. 5.3, programm - lisas.

Näide 5.3. Tabel on toodud aine soojusmahtuvuse kohta sõltuvalt temperatuurist C p =f(T)(Tabel 5.3).

Tabel 5.3

Kasutame valemit (5.16):

Riis. 5.3.

Pärast teisenduste sooritamist saame interpolatsioonipolünoomi kujul:

Polünoomil on kolmas aste ja see võimaldab leitud valemi abil arvutada väärtuse juures tundmatu jaoks X.

Näide 5.4. Tabelis 5.3.1 näitab soojusmahtuvuse väärtusi sõltuvalt temperatuurist. Määrake soojusmahtuvuse väärtus punktis Г=450 K.

Kasutame Newtoni esimest interpolatsiooni valemit. Lõplikud erinevused arvutati eelmises näites (tabel 5.3.2), interpolatsioonipolünoomi kirjutame x=450 K juures:

Seega on soojusmahtuvus temperatuuril 450 K

Soojusmahtuvuse väärtus Г=450 K juures oli sama, mis arvutati Lagrange'i valemiga.

Newtoni teine ​​interpolatsioonivalem

Funktsioonide väärtuste leidmiseks interpolatsiooniintervalli lõpus asuvates punktides kasutatakse Newtoni teist interpolatsioonipolünoomi. Kirjutame interpolatsioonipolünoomi kujule

Koefitsiendid a 0, a b..., A" määratud tingimusest:

Eeldame, et (5.18) x=x„, Siis

Meie usume X=x„_|, seega

Kui x = x n - 2 i See

Samamoodi võite leida polünoomi (5.18) teisi koefitsiente:

Asendades need avaldised valemiga (5.18), saame Newtoni teine ​​interpolatsiooni valem, või Newtoni polünoom "tagasi" interpolatsiooni jaoks:

Tutvustame järgmist tähistust:

Kui teha asendus punktis (5.19), saame:

See on Newtoni teine ​​​​tagurpidi interpolatsiooni valem.

Näide 5.5. Arvutage soojusmahtuvus (vt tabel 5.3) temperatuuril Г=550 K.

Kasutame Newtoni teist valemit (5.19) ja vastavaid lõplikke erinevusi (vt tabel 5.4):

Seetõttu on soojusmahtuvuse väärtus temperatuuril 550 K

Newtoni interpolatsioonivalemite hankimisel, mida kasutatakse samadel eesmärkidel nagu Lagrange'i valemit, teeme täiendava eelduse, et argumendi võrdsed väärtused võetakse arvesse. Seega olgu funktsiooni väärtused y = f(x) määratud võrdse vahemaa väärtuste jaoks x 0, x 1 = x 0 + h, …, x n = x 0 + nh. Need argumendi väärtused vastavad funktsiooni väärtustele: y 0 =f(x 0),y 1 =f(x 1), …, y n = f(x n).

Kirjutame vormile nõutud polünoomi

F( x) = a 0 + a 1 (x- x 0) + a 2 (x- x 0)(x- x 1) + a 3 (x- x 0)(x- x 1)(x- x 2) + …

…+ a n( x- x 0)(x- x 1)…(x- x n -1) (3.9)

Koefitsientide määramiseks a 0, a 1,..., a n pane sisse (3.9) x = x 0 . Siis juures 0 = F(x 0)=a 0 . Edasi, eeldades x=x 1 , saame juures 1 =F(x 1) = a 0 + a 1 h , kus

a 1 =

Jätkates koefitsientide arvutamist, paneme X =x 2. Siis

y 2 = y 0 + 2h + a 2 2hh, y 2–2Δ y 0 = a 2 2h 2 ;

y 2 – 2y 1 + 2y 0 – y 0 = y 2 – 2y 1 + y 0 = a 2 2h 2 .

Lähtudes (3.8), saame y 2 – 2y 1 + y 0 = Δ 2 y 0.

Täpselt samamoodi saame

Sarnased edasised arvutused võimaldavad meil kirjutada mis tahes koefitsiendi üldvalemi A k:

Asendades koefitsientide leitud avaldised valemiga (3.9), saame

Saadud valemit nimetatakse Newtoni esimeseks interpolatsiooni valemiks.

Praktiliseks kasutamiseks kirjutatakse Newtoni valem (3.10) tavaliselt teisendatud kujul. Selleks tutvustame tähistust

siit x = x 0 + ht.

Väljendagem seda läbi t valemis (3.10) sisalduvad tegurid:

………………………..

Asendades saadud avaldised valemiga (3.10), saame lõpuks

Avaldis (3.11) esindab Newtoni esimese interpolatsioonivalemi lõppkuju.

Näide. Astudes sammu h = 0,05, konstrueerige segmendi funktsiooni jaoks Newtoni interpolatsioonipolünoom y = e x , täpsustatud tabelis. 3.3.

Tabel 3.3

Pange tähele, et erinevuste veergudes ei eralda me tavapraktika kohaselt kümnendkohti komadega, mis on funktsiooni väärtuste veerust selge.

Kuna kolmandat järku erinevused on praktiliselt konstantsed, paneme valemisse (3.11). n = 3. Olles vastu võtnud X 0 = 3,50 Ja juures 0 = 33,115, saab:

Newtoni esimene interpolatsioonivalem on ebamugav funktsiooni interpoleerimiseks tabeli lõpus, kus erinevuste väärtuste arv on väike. Sel juhul rakendatakse Newtoni teist interpolatsiooni valemit, mida me nüüd kaalume.

Kirjutame vormile nõutud interpolatsioonipolünoomi

Nagu varemgi, koefitsiendid A 0 , A 1 ,… An määratakse seisundi järgi F(x i) = y i. Paneme sisse (3.12) X = X n. Siis a 0 = y n.

Samamoodi, eeldades x = x n -1, saame y n -1 = y n+ a 1 (x n -1 - x n),

ja sellest ajast peale x n -1 - x n = - h, See

Viimase avaldise lugejat saab esitada järgmiselt:

yn –yn -1 – (yn -1 -yn-2)= Δ yn -1 -Δ yn -2 =Δ 2 yn -2.

Sarnaseid arvutusi jätkates saame koefitsientide üldvalemi

Pärast kõigi koefitsientide väärtuste asendamist (3.12) saab see valem kuju

See on Newtoni teine ​​interpolatsiooni valem. Kasutamise hõlbustamiseks muudetakse see, nagu ka esimene, tähistusega

= t või x= xn+th.

Väljendagem seda nüüd läbi t tegurid valemis (3.13):

……………………………………………..

Pärast selle asendamist saame lõpuks:

Näide. Tabeli järgi Seitsmekohaliste logaritmide 3,5 väärtused numbritele alates 1000 sammuga 10, leidke log 1044.

Tabel 3.5

x	y	Δ y	Δ2 y	Δ3 y
	3,0000000 3,0043214 3,0086002 3,0128372 3,0170333 3,0211893		-426 -418 -409 -401

Võtame vastu xn= 1050,yn= 3,0211893;Δ yn-1 = 0,0041560;

Δ2 yn -2 = - 0,0000401;Δ 3 y n-3 = 0,0000008. Siis jaoks x= 1044 saame

Nii esimest kui ka teist Newtoni interpolatsiooni valemit saab kasutada funktsioonide ekstrapoleerimiseks, see tähendab funktsioonide väärtuste leidmiseks argumentide väärtuste jaoks X , lebab väljaspool lauda. Ifvalue x< x 0 ja tähendus x lähedal x 0 , siis on kasulik kasutada Newtoni esimest interpolatsiooni valemit ja

Kui x > x 0 Ja x lähedal X P , siis on mugavam kasutada Newtoni teist interpolatsiooni valemit ja

Seega kasutatakse Newtoni esimest interpolatsioonivalemit tavaliselt ettepoole ja tagurpidi ekstrapoleerimiseks ning Newtoni teist interpolatsiooni valemit, vastupidi, tagurpidi interpoleerimiseks ja ettepoole ekstrapoleerimiseks.

Näide. Laua omamine 3,6 väärtused ja erinevused,y = patt X: ulatudes alates X= 15° enne X = 55° astmeliselt h= 5° , leia patt 14 ° ja patt 56 ° .

Tabel 3.6

x(0 C)	y	Δ y	Δ2 y	Δ3 y
	0,2588 0,3420 0,4226 0,5000 0,5736 0,6428 0,7071 0,7660 0,8192	832 532	-26 -32 -38 -44 -49 -54 -57	-6 -6 -6 -5 -5 -3

Lahendus. Sin14 arvutamiseks 0 võtame vastu x 0 = 15 0 Ja x= 14 0 , siit t = (14–15)/5 = – 0,2.

Siin peame ekstrapoleerima tagurpidi, nii et rakendame Newtoni esimest interpolatsiooni valemit ja piiratud erinevusi, mis on alla joonitud ühe reaga:

sin14 0 = 0,2588 + (– 0,2)0,0832+ (– 0,0026) +

+ (–0,0006) = 0,242.

Sin56 leidmiseks 0 võtame vastu xn= 55 0 Ja x= 56 0 , siit t= .

Rakendades Newtoni teist interpolatsiooni valemit (3.14) ja kasutades topelt allajoonitud erinevusi, saame:

patt56 0 = 0,8192+ 0,2·0,0532 + (- 0,0057)+ (- 0,0003)= 0,83.

Üsna levinud interpolatsioonimeetod on Newtoni meetod. Selle meetodi interpolatsioonipolünoomil on järgmine kuju:

P n (x) = a 0 + a 1 (x-x 0) + a 2 (x-x 0) (x-x 1) + ... + a n (x-x 0) (x-x 1)...(x-x n-1).

Ülesandeks on leida polünoomi P n (x) koefitsiendid a i. Koefitsiendid leitakse võrrandist:

P n (x i) = y i , i = 0, 1, ..., n,

võimaldab teil kirjutada süsteemi:

a 0 + a 1 (x 1 - x 0) = y1;

a 0 + a 1 (x 2 - x 0) + a 2 (x 2 - x 0) (x 2 - x 1) = y 2;

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

a 0 +... + a n (x n - x 0) (x n - x 1) ... (x n - x n-1) = y n;

Kasutame lõplike erinevuste meetodit. Kui sõlmed x i on antud võrdsete intervallidega h, s.o.

x i+1 – x i = h,

siis üldjuhul x i = x 0 + i×h, kus i = 1, 2, ..., n. Viimane avaldis võimaldab meil taandada lahendatava võrrandi vormile

y 1 = a 0 + a 1 × h;

y2 = a 0 + a 1 (2 h) + a 2 (2 h) h;

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

y i = a 0 + a 1 × i × h + a 2 × i × h [(i-1) h] + ... + a i × i! × h i ,

kust me koefitsientide jaoks saame

kus Dу 0 on esimene lõplik erinevus.

Arvutamist jätkates saame:

kus D 2 y 0 on teine ​​lõplik erinevus, mis on erinevuste erinevus. Koefitsienti a i võib esitada järgmiselt:

Pannes koefitsientide a i leitud väärtused P n (x) väärtustesse, saame Newtoni interpolatsioonipolünoomi:

Teisendame valemit, mille jaoks võtame kasutusele uue muutuja, kus q on sammude arv, mis on vajalik punkti x jõudmiseks, liikudes punktist x 0. Pärast teisendusi saame:

Saadud valemit tuntakse Newtoni esimese interpolatsiooni valemina või Newtoni edasisuunalise interpolatsiooni valemina. Seda on kasulik kasutada funktsiooni y = f(x) interpoleerimiseks algväärtuse x – x 0 läheduses, kus q on absoluutväärtuselt väike.

Kui kirjutame interpolatsioonipolünoomi kujul:

siis saab sarnasel viisil saada Newtoni teise interpolatsiooni valemi või Newtoni valemi "tagurpidi" interpoleerimiseks:

Tavaliselt kasutatakse seda funktsiooni interpoleerimiseks tabeli lõpus.

Seda teemat uurides tuleb meeles pidada, et interpolatsioonipolünoomid langevad interpolatsiooni sõlmedes kokku antud funktsiooniga f(x) ja muudes punktides üldiselt erinevad. See viga annab meile meetodi vea. Interpolatsioonimeetodi viga määratakse jääkliikmega, mis on Lagrange'i ja Newtoni valemite puhul sama ja mis võimaldab saada absoluutvea kohta järgmise hinnangu:

Kui interpoleerimine viiakse läbi sama sammuga, muudetakse ülejäänud liikme valemit. Täpsemalt, kui interpoleerida "edasi" ja "tagasi", kasutades Newtoni valemit, on R(x) avaldised üksteisest veidi erinevad.

Saadud valemit analüüsides on selge, et viga R(x) on kuni konstandini kahe teguri korrutis, millest üks, f (n+1) (x), kus x asub sees , sõltub funktsiooni f(x) omadusi ja seda ei saa reguleerida, kuid teise suurust,

määratakse ainult interpolatsioonisõlmede valikuga.

Kui nende sõlmede asukoht ei õnnestu, siis mooduli ülemine piir |R(x)| võib olla päris suur. Seetõttu tekib probleem interpolatsioonisõlmede x i kõige ratsionaalsema valikuga (antud arvu sõlmede n korral), et polünoomil П n+1 (x) oleks väikseim väärtus.

2. Newtoni interpolatsioon

Arvestades tabeli funktsiooni:

i
0
1
2
..	..	..
n

Koordinaatidega punkte nimetatakse sõlmepunktideks või sõlmedeks.

Tabelifunktsiooni sõlmede arv on N=n+1.

Selle funktsiooni väärtus on vaja leida vahepealsest punktist, näiteks , ja . Ülesande lahendamiseks kasutatakse interpolatsioonipolünoomi.

Interpolatsioonipolünoomil on Newtoni valemi järgi järgmine kuju:

kus n on polünoomi aste,

Newtoni interpolatsioonivalem võimaldab teil interpolatsioonipolünoomi väljendada ühe sõlme väärtuse ja sõlmedes konstrueeritud funktsiooni jagatud erinevuste kaudu.

Esiteks anname vajaliku teabe eraldatud erinevuste kohta.

Laske sõlmed sisse

funktsiooni väärtused on teada. Oletame, et punktide , , hulgas pole ühtki kokkulangevat. Esimest järku jagatud erinevusi nimetatakse suheteks

, ,.

Vaatleme jagatud erinevusi, mis koosnevad naabersõlmedest, st avaldistest

Nendest esimest järku eraldatud erinevustest saame konstrueerida teist järku eraldatud erinevused:

,

,

Seega saab jaotise järgu eraldatud erinevuse määrata järgu eraldatud erinevuste kaudu, kasutades korduvat valemit:

kus , , on polünoomi aste.

Maksimaalne väärtus on. Siis on lõigul n-ndat järku jagatud erinevus võrdne

need. võrdub järgu jagatud erinevuste vahe jagatuna lõigu pikkusega .

Jagatud erinevused

on täpselt määratletud arvud, seetõttu on avaldis (1) tegelikult th astme algebraline polünoom. Pealegi on polünoomi (1) kõik jagatud erinevused defineeritud lõikude jaoks , .

Jagatud erinevuste arvutamisel on tavaks need kirjutada tabeli kujul

■

Järjekorra jagatud erinevust väljendatakse funktsiooni väärtuste kaudu sõlmedes järgmiselt:

. (1)

Seda valemit saab tõestada induktsiooniga. Vajame valemi (1) erijuhtu:

Newtoni interpolatsioonipolünoomi nimetatakse polünoomiks

Newtoni polünoomi vaadeldavat vormi nimetatakse Newtoni esimeseks interpolatsioonivalemiks ja seda kasutatakse tavaliselt tabeli alguses interpoleerimisel.

Pange tähele, et Newtoni interpolatsiooniülesande lahendamisel on mõned eelised võrreldes Lagrange'i interpolatsiooniülesande lahendamisega. Lagrange'i interpolatsioonipolünoomi iga liige sõltub tabelifunktsiooni y i kõikidest väärtustest, i=0,1,…n. Seega, kui sõlmepunktide arv N ja polünoomi n aste (n=N-1) muutuvad, tuleb Lagrange'i interpolatsioonipolünoom uuesti konstrueerida. Newtoni polünoomi puhul tuleb sõlmepunktide N arvu ja polünoomi n astme muutmisel lisada või kõrvale jätta vaid vastav arv standardliikmeid Newtoni valemis (2). See on praktikas mugav ja kiirendab arvutusprotsessi.

Newtoni valemi funktsiooni programmeerimine

Newtoni polünoomi konstrueerimiseks valemi (1) abil korraldame tsüklilise arvutusprotsessi vastavalt . Sel juhul leiame igal otsinguetapil k-nda järgu erinevused. Jagatud erinevused paigutame igas etapis Y massiivi.

Siis näeb korduv valem (3) välja järgmine:

Newtoni valem (2) kasutab eraldatud järgu erinevusi, mis on arvutatud ainult lõikude jaoks, s.o. eraldatud erinevused . Tähistame need eraldatud k-nda järgu erinevused kui . Jagatud erinevusi, mis on arvutatud , kasutatakse suurema järgu jagatud erinevuste arvutamiseks.

Kasutades (4), ahendame valemi (2). Selle tulemusena saame

(5)

– tabelifunktsiooni (1) väärtus .

– jagatud järgu vahe jaotisele .