Mõnede elementaarfunktsioonide tuletised. Mõnede elementaarfunktsioonide tuletised

Diferentseerimise reeglid TEOREEM 1. Summa, korrutise ja jagatise diferentseerimine. Kui funktsioonid f ja g on punktis x diferentseeruvad, siis f + g, f g, f /g on selles punktis diferentseeruvad (kui g(x) 0) ja olgu y = f g. 1) (f(x) + g(x))" = f "(x) + g "(x); 2) (f(x) g(x))" = f "(x)g(x) + f(x)g "(x); Tõestus. Anname tõestuse omadusele 2. f = f (x + x) – f(x) f (x + x) = f(x) + f ; g = g (x + x) – g(x) g(x + x)= g(x)+ g. g "(x) f "(x) 0 x 0 juures (mittepideva diferentsiaalfunktsiooni tõttu.)

TEOREEM 2. Kompleksfunktsiooni diferentseerimine Olgu funktsioon y = f(u) diferentseeruv punktis u 0, y 0 = f(u 0) ja funktsioon u = (x) diferentseeruv punktis x 0, u 0 = (x 0). Siis on kompleksfunktsioon y = f ((x)) diferentseeruv punktis x 0 ja f " ((x 0)) = f " (u 0)· " (x 0) või MÄRKUS: tuletise arvutamise reegel kompleksfunktsiooni funktsioon ulatub mis tahes lõpliku arvu funktsioonide koosseisu. Näiteks: (f ((g(x)))" = f "((g(x))) "(g(x)) g"(. x) punktis x ja C = const, siis (C f(x))" = C f "(x)" = f "(x)/C.

Näide 1. y = cosx, x R. (cosx) = (sin(/2 – x)) = cos(/2 – x)·(/2 – x) = – sinx. y = tgx, x /2 + k, k Z. Teoreemide 1 ja 2 abil leiame trigonomeetriliste funktsioonide y = ctgx, x + k, k Z tuletised.

TEOREEM 3. Pöördfunktsiooni diferentseerimine. Kui y = f(x) on intervallil pidev ja rangelt monotoonne ning tal on tuletis f "(x 0), siis on selle pöördfunktsioon x = g(y) diferentseeruv punktis y 0 = f(x 0), ja g "( y 0) = 1/ f "(x0x0 x 0 - x 0 + y0y0 x y x y y = f(x) x = g(y) Olgu y selline, et y 0 + y (,). Tähistame x = g(y 0 + y) – g(y 0) Tõestage, et f(x) suureneb = f(x) võrra. x 0 +). Seetõttu on meil õigus kirjutada identiteeti Kui y, siis x, kuna x = g(y) on pidev punktis y 0.

Näide 2. Leia pöördtrigonomeetriliste funktsioonide tuletised

0; (x n)' = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)' = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 " title=" elementaarfunktsioonide tuletiste tabel 1)(С)´= 0, C = const; 2) (x)' = x -1, R, x > 0; (x n)' = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)' = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7) (tg x) = 1/ cos 2" class="link_thumb"> 8 !} Elementaarfunktsioonide tuletiste tabel 1)(С)´= 0, C = const; 2) (x)' = x -1, R, x > 0; (x n)' = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)' = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7) (tg x) = 1/ cos 2 x, x π/2 + πn, n; 8)(ctg x) = - 1/ sin 2 x, x πn, n; 9) 10) 11) 12) 0; (x n)' = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)' = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7) (tg x) = 1/ cos 2 > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3) (a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R (e x)´ = e x, x R 5) (sin x) = cos x, x π/2 + πn, n ; , x πn, n ; (x n)' = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)' = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 " title=" elementaarfunktsioonide tuletiste tabel 1)(С)´= 0, C = const; 2) (x)' = x -1, R, x > 0; (x n)' = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)' = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7) (tg x) = 1/ cos 2"> title="Elementaarfunktsioonide tuletiste tabel 1)(С)´= 0, C = const; 2) (x)' = x -1, R, x > 0; (x n)' = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)' = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7) (tg x) = 1/ cos 2"> !}

N-ndat järku tuletis DEFINITSIOON. Olgu f(x) defineeritud väärtuses U (x 0) ja sellel on selle intervalli igas punktis tuletis f (x). Kui punktis x 0 on tuletis f (x), siis nimetatakse seda selles punktis funktsiooni f (x) teiseks tuletiseks ja tähistatakse mis tahes järku n tuletist f (n) (x). = 1, 2, ... Kui U (x 0)-s on f (n-1) (x) (sel juhul tähendab nulljärku tuletis funktsiooni ennast), siis n = 1, 2, 3 , …. Funktsiooni, millel on hulga X igas punktis tuletised kuni n-ndat järku (kaasa arvatud), nimetatakse hulga X diferentseeruvaks n korda.

Olgu funktsioonidel f(x) ja g(x) punktis x n-ndat järku tuletised. Siis on funktsioonil Аf(x) + Вg(x), kus А ja В on konstantsed, samuti tuletis punktis x ja (Аf(x) + Вg(x)) (n) = Аf (n) ( x) + Вg (n)(x). Mis tahes järjestust tuletiste arvutamisel kasutatakse sageli järgmisi põhivalemeid. y = x; y (n) = (-1)... (- (n-1)) x - n. y = x -1, y = (-1)x -2, y = (-1) (-2) x -3 ... Täpsemalt, kui = m N, siis y = a x ; y (n) = a x (lna) n. y = a x lna, y = a x (lna) 2, y = a x (lna) 3, ... Eelkõige (e x) (n) = e x. y " = ((x + a) - 1)" = - (x+a) - 2, y "" = 2 (x + a) - 3, y """ = (x + a) - 4, …

Y = ln(x+a); y (n) = (–1) n–1 (n–1)!(x+a) –n. y = (x +a) –1, y = – (x +a) –2, y = 2(x +a) –3, y (4) = – 2 3(x +a) – 4, … y = sin αx; y (n) = α n sin(αx+n· /2) y = α cos αx = α sin(αx+ /2), y = α 2 cos(αx+ /2) = α 2 sin(αx+2· / 2), y = α 3 cos(αx + 2· /2) = α 3 sin(αx+3· /2), ... y = cos αx; y (n) = α n cos(αx+n· /2) y = – α sin αx = α cos(αx+ /2), y = – α 2 sin(αx+ /2) = α 2 cos(αx + 2) · /2), y = – α 3 sin(αx+2· /2) = α 3 cos(αx + 3· /2),...

Kahe funktsiooni (Leibnizi valem) korrutise N tuletis kus Seda valemit nimetatakse Leibnizi valemiks. Selle saab kirjutada kujul, kus Olgu funktsioonidel f(x) ja g(x) punktis x n-ndat järku tuletised. Induktsiooni abil saame tõestada, et (f(x) g(x)) (n) = ?
Näide 5. y = (x 2 +3x+5) sin x, y (13) = ? = sin(x +13π /2) (x 2 +3x+5) + 13 sin (x +12π /2) (2x+3) + 78 sin (x +11π /2) 2 = = cos x (x 2) +3x+5) + 13 sin x (2x+3) + 78 (- cos x) 2 = = (x 2 +3x -151) cos x + 13 (2x+3) sin x. Rakendame Leibnizi valemit, pannes sellesse f(x) = sin x, g(x) = (x 2 +3x+5). Siis

Slaid 1

Funktsiooni tuletis Tuletise definitsioon Tuletise geomeetriline tähendus Järjepidevuse ja diferentseeritavuse seos Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised Diferentseerimise reeglid Kompleksfunktsiooni tuletis Implitsiitse funktsiooni tuletis Logaritmiline diferentseerimine

Slaid 2

Tuletise definitsioon Olgu funktsioon y = f(x) defineeritud mingis intervallis (a; b). Anname argumendile x mingi juurdekasvu: x f(x) x+Δx f(x+ Δx) Leiame vastava funktsiooni juurdekasvu: Kui on piir, siis nimetatakse seda funktsiooni y = f(x) tuletiseks. ja seda tähistatakse ühe sümboliga:

Slaid 3

Tuletise definitsioon Seega definitsiooni järgi: Funktsiooni y = f(x), millel on intervalli (a; b) igas punktis tuletis, nimetatakse selles intervallis diferentseeruvaks; funktsiooni tuletise leidmise operatsiooni nimetatakse diferentseerimiseks. Funktsiooni y = f(x) tuletise väärtust punktis x0 tähistatakse ühe sümboliga: Kui funktsioon y = f(x) kirjeldab mis tahes füüsilist protsessi, siis f '(x) on see protsess - tuletise füüsikaline tähendus.

Slaid 4

Tuletise geomeetriline tähendus Võtame pideval kõveral L kaks punkti M ja M1: x f(x) x+Δx M M1 f(x+ Δx) Joonistame läbi punktide M ja M1 sekanti ja tähistame kaldenurka φ-ga. sekantist.

Slaid 5

Tuletise geomeetriline tähendus Tuletis f ’(x) on võrdne funktsiooni y = f(x) graafiku puutuja kaldega punktis, mille abstsiss on x. Kui puutujapunktil M on koordinaadid (x0; y0), on puutuja kalle k = f ’(x0). Kaldega sirge võrrand: puutepunkti puutujaga risti olevat sirget nimetatakse kõvera normaaljooneks. Tangensvõrrand Normaalvõrrand

Slaid 6

Funktsiooni pidevuse ja diferentseeritavuse seos Kui funktsioon f(x) on teatud punktis diferentseeruv, siis on ta selles punktis pidev. Teoreem Olgu funktsioon y = f(x) diferentseeruv mingis punktis x, seepärast on piirang: Tõestus: kus at Vastavalt teoreemile funktsiooni, selle piiri ja lõpmata väikese funktsiooni seose kohta on funktsioon y = f (x) on pidev. Vastupidine pole tõsi: pideval funktsioonil ei pruugi olla tuletist.

Slaid 7

Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised 1 Newtoni binoomvalem: astmefunktsioon: K – faktoriaal

Slaid 8

Peamiste elementaarfunktsioonide tuletised Newtoni binoomvalemi järgi on meil: Siis:

Slaid 9

Põhielementaarfunktsioonide tuletised 2 Logaritmiline funktsioon: Sarnaselt tuletatakse ka teiste elementaarfunktsioonide eristamise reeglid.

Slaid 10

Diferentseerimise reeglid Olgu u(x), v(x) ja w(x) teatud intervallis (a; b) diferentseeruvad funktsioonid, C on konstant.

Slaid 11

Kompleksfunktsiooni tuletis Olgu y = f(u) ja u = φ(x), siis y = f(φ(x)) on kompleksfunktsioon vahepealse argumendiga u ja sõltumatu argumendiga x. Teoreem See reegel jääb kehtima, kui on mitu vahepealset argumenti:

Slaid 12

Slaid 13

DERIVAAT

Munitsipaalharidusasutus Srednesantimirskaya keskkool

Lõpetanud matemaatikaõpetaja

Singatullova G.Sh.

• Tuletise definitsioon.
• Tuletise füüsiline tähendus.
• .

• Eristamise põhireeglid.
• Kompleksfunktsiooni tuletis.
• Näiteid ülesannete lahendamisest teema tuletis.

Tuletise definitsioon

Olgu funktsioon y= defineeritud mingil intervallil (a, b) f(x). Võtame sellest intervallist suvalise punkti x 0 ja anname argumendile x punktis x 0 suvaline juurdekasv ∆ x nii, et punkt x 0 + ∆ x kuulub sellesse intervalli. Funktsiooni suurendatakse

Tuletis funktsioonid y= f(x) punktis x =x 0 nimetatakse selles punktis funktsiooni ∆y ja argumendi ∆x juurdekasvu suhte piiriks, kui argumendi juurdekasv kipub olema null.

Tuletise geomeetriline tähendus

Olgu funktsioon y= f(x) on defineeritud mingil intervallil (a, b). Seejärel funktsiooni graafiku lõikenurga MR kaldenurga puutuja.

Kus  on puutujafunktsiooni kaldenurk f(x) punktis (x 0 , f(x 0)).

Kõverate vahelist nurka saab määratleda kui nurka nendele kõveratele tõmmatud puutujate vahel mis tahes punktis.

Kõvera puutuja võrrand:

Tuletise füüsiline tähendus 1. Materjaliosakese liikumiskiiruse määramise probleem

Punkt liikugu mööda kindlat sirget vastavalt seadusele s= s(t), kus s on läbitud vahemaa, t on aeg ja on vaja leida punkti kiirus hetkel t 0 .

Ajahetke t 0 järgi on läbitud teekond võrdne s 0 = s(t 0) ja momendiks (t 0 + ∆t) - teekond s 0 + ∆s=s(t 0 + ∆t ).

Siis üle intervalli ∆t on keskmine kiirus

Mida väiksem ∆t, seda paremini iseloomustab keskmine kiirus punkti liikumist hetkel t 0. Seetõttu all punkti kiirus ajahetkel t 0 tuleb mõista keskmise kiiruse piirina ajavahemikul t 0 kuni t 0 +∆t, kui ∆t⇾0, s.o.

2. PROBLEEM KEMIKAALI MÄÄRUSE KOHTA REAKTSIOONID

Laske mõnel ainel keemilises reaktsioonis osaleda. Selle aine Q kogus muutub reaktsiooni käigus sõltuvalt ajast t ja on aja funktsioon. Laske aine kogusel muutuda ∆Q võrra aja ∆t jooksul, siis suhe väljendab keemilise reaktsiooni keskmist kiirust aja ∆t jooksul ja selle suhte piiri

Praegune keemilise reaktsiooni kiirus

aeg t.

3. ÜLESANNE RADIOAKTIIVSE LADUMISKIIRUSE MÄÄRAMINE

Kui m on radioaktiivse aine mass ja t on aeg, siis radioaktiivse lagunemise nähtust ajahetkel t, eeldusel, et radioaktiivse aine mass aja jooksul väheneb, iseloomustab funktsioon m = m(t).

Keskmist sumbumiskiirust ajas ∆t väljendatakse suhtega

ja hetkeline sumbumiskiirus ajahetkel t

ALGORITM tuletise arvutamiseks

Funktsiooni y= f(x) tuletise saab leida järgmise skeemi abil:

1. Anname argumendile x juurdekasvu ∆x≠0 ja leiame funktsiooni y+∆y= f(x+∆x) suurendatud väärtuse.

2. Leia funktsiooni ∆y= f(x+∆x) - f(x) inkrement.

3. Loo suhe

4. Leidke selle suhte piir ∆x⇾0, s.o.

(kui see piir on olemas).

Eristamise põhireeglid

Lase u=u(x) Ja v=v(x) – diferentseeruvad funktsioonid punktis x.

1) (u  v)  = u   v 

2) (uv)  = u  v +uv 

(cu)  =cu 

3) , Kui v  0

Kompleksfunktsiooni tuletis

Teoreem. Kui funktsioon on punktis x diferentseeruv, ja funktsioon

on diferentseeruv vastavas punktis, siis kompleksfunktsioon on diferentseeruv punktis x ja:

need. kompleksfunktsiooni tuletis võrdub funktsiooni tuletise korrutisega vaheargumendi ja vaheargumendi tuletisega x suhtes.

Ülesanne 1.

Probleem 2 .

Probleem 3 .

Probleem 4 .

Probleem 5 .

Probleem 6 .

Probleem 7 .

Probleem 8 .

Sarnased dokumendid

Kahe muutuja funktsiooni mõiste, piir ja pidevus. Esimest järku osatuletised, kogudiferentsiaali leidmine. Mitme muutuja funktsiooni kõrgema järgu osatuletised ja ekstreemum. Ekstreemumi olemasoluks vajalikud tingimused.

test, lisatud 02.02.2014


Nurgad ja nende mõõtmine. Nurkade ja arvuridade vastavus. Trigonomeetriliste funktsioonide geomeetriline tähendus. Trigonomeetriliste funktsioonide omadused. Põhiline trigonomeetriline identiteet ja tagajärjed sellest. Universaalne trigonomeetriline asendus.

õpetus, lisatud 18.04.2012


Mõiste "tuletis" olemus. Kiirendus kui keha liikumist kirjeldava funktsiooni teine ​​tuletis. Punkti hetkkiiruse määramise ülesande lahendamine ajahetkel. Tuletis reaktsioonides, selle roll ja koht. Valemi üldvaade.

esitlus, lisatud 22.12.2013


Nurgad ja nende mõõtmine, teravnurga trigonomeetrilised funktsioonid. Trigonomeetriliste funktsioonide omadused ja tunnused. Paaris- ja paaritu funktsioonid. Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid. Lihtsate trigonomeetriliste võrrandite ja võrratuste lahendamine valemite abil.

õpetus, lisatud 30.12.2009


Interpolatsiooni teostamine Newtoni polünoomi abil. Juurväärtuse täpsustamine antud intervallil kolmes iteratsioonis ja arvutusvea leidmine. Newtoni, Sampsoni ja Euleri meetodite rakendamine ülesannete lahendamisel. Funktsiooni tuletise arvutamine.

test, lisatud 06.02.2011


Tuletise mõiste, selle geomeetriline ja füüsikaline tähendus, diferentsiaal. Funktsioonide uurimine ja graafikute koostamine. Faktoriseerimine, väljendite lihtsustamine. Võrratuste lahendamine, võrrandisüsteemid ja identiteetide tõestamine. Funktsioonide piiride arvutamine.

test, lisatud 16.11.2010


Funktsiooni tuletise definitsioon, selle juurdekasvu geomeetriline tähendus. Antud seose geomeetriline tähendus. Funktsiooni tuletise füüsikaline tähendus antud punktis. Arv, milleni antud suhe kaldub. Tuletisarvutuste näidete analüüs.

esitlus, lisatud 18.12.2014


Elementaarfunktsioonide tuletiste tabeli ülevaade. Vaheargumendi mõiste. Keeruliste funktsioonide eristamise reeglid. Meetod punkti trajektoori kujutamiseks selle projektsioonide muutuste kujul piki telge. Parameetriliselt määratud funktsiooni eristamine.

test, lisatud 11.08.2009


Ajalooline ülevaade trigonomeetria kui teaduse kujunemisest antiigist tänapäevani. Trigonomeetriliste funktsioonide kontseptsiooni tutvustamine algebratundides ja õpikute analüüsimise algus A.G. Mordkovitš, M.I. Bašmakova. Lineaarsete diferentsiaalvõrrandite lahendused.

lõputöö, lisatud 07.02.2011


Ajalooline ülevaade trigonomeetria kui teaduse kujunemisest. Erinevad võimalused trigonomeetriliste funktsioonide mõiste tutvustamiseks. Kooliõpikute analüüs M.I. Bashmakov ja A.G. Mordkovich sel teemal. Materjali õppetöös kasutamise väljavaated.