Võrrandisüsteemide lahendamine asendusmeetodil. Asendusmeetod võrrandisüsteemide lahendamisel Kuidas lahendada võrrandisüsteemi asendusmeetodiga

Võrrandisüsteemide lahendamine asendusmeetodil

Tuletagem meelde, mis on võrrandisüsteem.

Kahest kahe muutujaga võrrandist koosnev süsteem on kaks üksteise alla kirjutatud võrrandit, mis on ühendatud lokkis suludega. Süsteemi lahendamine tähendab arvupaari leidmist, mis lahendab korraga nii esimese kui ka teise võrrandi.

Selles õppetükis tutvume sellise süsteemide lahendamise meetodiga nagu asendusmeetod.

Vaatame võrrandisüsteemi:

Saate selle süsteemi graafiliselt lahendada. Selleks peame koostama iga võrrandi graafikud ühes koordinaatsüsteemis, teisendades need järgmisele kujule:

Seejärel leidke graafikute lõikepunkti koordinaadid, millest saab süsteemi lahendus. Kuid graafiline meetod pole alati mugav, sest erineb madala täpsuse või isegi ligipääsmatuse poolest. Proovime oma süsteemi lähemalt vaadata. Nüüd näeb see välja selline:

Võite märgata, et võrrandite vasakpoolsed küljed on võrdsed, mis tähendab, et ka paremad küljed peavad olema võrdsed. Siis saame võrrandi:

See on tuttav võrrand ühe muutujaga, mida saame lahendada. Liigutame tundmatud terminid vasakule ja teadaolevad paremale, unustamata ülekandmisel muuta + ja - märke. Saame:

Nüüd asendame leitud väärtuse x süsteemi mis tahes võrrandiga ja leiame y väärtuse. Meie süsteemis on mugavam kasutada teist võrrandit y = 3 - x, pärast asendamist saame y = 2. Nüüd analüüsime tehtud tööd. Esiteks väljendasime esimeses võrrandis y muutujat muutuja x kaudu. Seejärel asendati saadud avaldis - 2x + 4 muutuja y asemel teise võrrandiga. Seejärel lahendasime saadud võrrandi ühe muutujaga x ja leidsime selle väärtuse. Ja lõpuks kasutasime leitud väärtust x, et leida veel üks muutuja y. Siin tekib küsimus: kas oli vaja väljendada muutujat y mõlemast võrrandist korraga? Muidugi mitte. Võiksime väljendada üht muutujat teise mõistes ainult ühes süsteemi võrrandis ja kasutada seda vastava muutuja asemel teises. Lisaks saate väljendada mis tahes muutujat mis tahes võrrandist. Siin sõltub valik ainult konto mugavusest. Matemaatikud nimetasid seda protseduuri algoritmiks kahe muutujaga kahe võrrandi süsteemide lahendamiseks asendusmeetodi abil.Nii näeb see välja.

1. Väljendage süsteemi ühes võrrandis üks muutujatest teise kaudu.

2.Asendage saadud avaldis vastava muutuja asemel süsteemi mõne teise võrrandiga.

3.Lahendage saadud võrrand ühe muutujaga.

4.Asendage muutuja leitud väärtus esimeses etapis saadud avaldisega ja leidke teise muutuja väärtus.

5.Kirjutage vastus kolmandas ja neljandas etapis leitud numbripaari kujul.

Vaatame teist näidet. Lahendage võrrandisüsteem:

Siin on mugavam väljendada muutujat y esimesest võrrandist. Saame y = 8 - 2x. Saadud avaldis tuleb teises võrrandis asendada y-ga. Saame:

Kirjutame selle võrrandi eraldi ja lahendame selle. Kõigepealt avame sulgud. Saame võrrandi 3x - 16 + 4x = 5. Kogume võrrandi vasakule küljele tundmatud ja paremale tuntud liikmed ning esitame sarnased terminid. Saame võrrandi 7x = 21, seega x = 3.

Nüüd, kasutades leitud x väärtust, leiate:

Vastus: numbripaar (3; 2).

Seega õppisime selles tunnis analüütiliselt ja täpselt lahendama kahe tundmatuga võrrandisüsteeme, kasutamata kahtlaseid graafilisi meetodeid.

Kasutatud kirjanduse loetelu:

Mordkovich A.G., Algebra 7. klass 2 osas, 1. osa, Õpik üldharidusasutustele / A.G. Mordkovitš. – 10. väljaanne, parandatud – Moskva, “Mnemosyne”, 2007.
Mordkovich A.G., Algebra 7. klass 2 osas, 2. osa, Probleemiraamat õppeasutustele / [A.G. Mordkovitš ja teised]; toimetanud A.G. Mordkovitš - 10. väljaanne, muudetud - Moskva, “Mnemosyne”, 2007.
TEMA. Tultšinskaja, Algebra 7. klass. Blitz-uuring: käsiraamat üldharidusasutuste õpilastele, 4. trükk, parandatud ja täiendatud, Moskva, Mnemosyne, 2008.
Alexandrova L.A., Algebra 7. klass. Temaatilised kontrolltööd uuel kujul üldharidusasutuste õpilastele, toimetanud A.G. Mordkovitš, Moskva, "Mnemosyne", 2011.
Alexandrova L.A. Algebra 7. klass. Iseseisvad teosed üldharidusasutuste õpilastele, toimetanud A.G. Mordkovitš - 6. väljaanne, stereotüüpne, Moskva, “Mnemosyne”, 2010.

Tavaliselt kirjutatakse süsteemi võrrandid üksteise alla veergu ja kombineeritakse lokkis suludega

Seda tüüpi võrrandisüsteem, kus a, b, c- numbrid ja x, y- kutsutakse muutujaid lineaarvõrrandi süsteem.

Võrrandisüsteemi lahendamisel kasutatakse omadusi, mis kehtivad võrrandite lahendamisel.

Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine asendusmeetodil

Vaatame näidet

1) Avaldage muutuja ühes võrrandis. Näiteks väljendame y esimeses võrrandis saame süsteemi:

2) Asendage selle asemel süsteemi teise võrrandiga y väljendus 3x-7:

3) Lahendage saadud teine võrrand:

4) Asendame saadud lahenduse süsteemi esimese võrrandiga:

Võrrandisüsteemil on ainulaadne lahendus: arvupaar x = 1, y = -4. Vastus: (1; -4) , kirjutatud sulgudes, esimeses positsioonis väärtus x, teisel - y.

Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine liitmise teel

Lahendame võrrandisüsteemi eelmisest näitest lisamise meetod.

1) Teisendage süsteem nii, et ühe muutuja koefitsiendid muutuvad vastupidiseks. Korrutame süsteemi esimese võrrandi "3-ga".

2) Lisage süsteemi võrrandid liikme kaupa. Kirjutame süsteemi teise võrrandi (mis tahes) ümber ilma muudatusteta.

3) Asendame saadud lahenduse süsteemi esimese võrrandiga:

Lineaarvõrrandisüsteemi graafiline lahendamine

Kahe muutujaga võrrandisüsteemi graafiline lahendus taandub võrrandite graafikute ühispunktide koordinaatide leidmisele.

Lineaarfunktsiooni graafik on sirgjoon. Kaks tasapinna sirget võivad ristuda ühes punktis, olla paralleelsed või kokku langeda. Vastavalt sellele võib võrrandisüsteemil: a) olla kordumatu lahendus; b) puuduvad lahendused; c) neil on lõpmatu arv lahendeid.

2) Võrrandisüsteemi lahendiks on graafikute lõikepunkti punkt (kui võrrandid on lineaarsed).

Süsteemi graafiline lahendus

Uute muutujate sisseviimise meetod

Muutujate muutmine võib viia algsest lihtsama võrrandisüsteemi lahendamiseni.

Mõelge süsteemi lahendusele

Tutvustame siis asendust

Liigume edasi esialgsete muutujate juurde

Erijuhtumid

Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamata saate vastavate muutujate koefitsientide põhjal määrata selle lahenduste arvu.

1 . TÄISNIMI. õpetajad: ____Tkatšuk Natalja Petrovna __________________________________________________________________________________________________________

2. Tund: _8 Kuupäev: .11.03____________Aine_-matemaatika, tund nr 71 vastavalt tunniplaanile:

3. Tunni teema Süsteemide lahendamine asendamise teel 4 . Tunni koht ja roll õpitavas teemas :. Õppetund teadmiste kinnistamiseks. Tunni eesmärk :

Hariduslik: arendada teadmisi võrrandisüsteemide lahendamisest asendusmeetodil. Tea/mõista: kui graafikutel on ühised punktid, siis on süsteemil lahendused; kui graafikutel pole ühiseid punkte, siis pole süsteemil ka lahendusi; võrrandisüsteemide lahendamise algoritm.Suuda lahendada süsteeme asendamise teel Soodustada oskuste kujunemist omandatud teadmiste rakendamiseks mittestandardsetes (standardsetes) tingimustesArenguline: Soodustada õpilaste oskuste kujunemist omandatud teadmisi üldistada, analüüsida, sünteesida, võrrelda ja teha vajalikke järeldusi. Soodustada oskuste kujunemist rakendada omandatud teadmisi mittestandardsetes ja standardsetes tingimustes.Hariduslik: Soodustada loova suhtumise kujunemist õppetegevustesse

Tunni etappide omadused

Tegevus

õpilased

Enesemääramine.

Aktiveerige kognitiivne tegevus

Lahendage süsteem

verbaalne

Frontaalne

Õpilaste tervitamine. läbiviimine. Tunniks valmisoleku olukorra loomine, edu eelseisvas tunnis.

Kontrollige tunniks valmisolekut.

2. Teadmiste uuendamine.

Tehke kindlaks eelmistes teematundides omandatud teadmiste ja oskuste kvaliteet ja tase

Uurige, kas numbripaar on süsteemi lahendus. x = 5 y = 9

Milliseid tehteid saab võrranditega teha?

(korrutage võrrandi mõlemad pooled sama arvuga, jagage arvuga, mis ei ole võrdne nulliga...)

Rühmatöö

Frontaalne. Guppovaya - probleemide lahendamise algoritmide analüüs;

Vajadusel esitab suunavaid küsimusi.

Nad vastavad esitatud küsimustele.

3. Õppeülesande püstitus, tunni eesmärgid.

Moodustamine

ja oskuste arendamine

määratleda ja sõnastada

probleem, eesmärk ja teema

ridu uurima

Kuidas lahendada võrrandisüsteemi liitmise, asendamise teel.

Millist meetodit on otstarbekas kasutada lahendamisel. see süsteem?

Rühmatöö.

Individuaalne.

Frontaalne.

Milliseid samme tegime ostuhinna väljaselgitamiseks?

Mis teemat uurime?

Nad räägivad välja.

4. Teemakohaste teadmiste täiendamise etapp

Soodustada joonte eristamise ja võrdlemise oskuste arengut. Luua tingimused oskuste arendamiseks oma mõtteid asjatundlikult, selgelt ja täpselt väljendada.

№ 621

Uurige joonte suhtelisi asukohti

2x+0,5y= 1,2 ja x-4y=0

Kas nende koefitsientide järgi on võimalik kindlaks teha, kas sirged lõikuvad või mitte?

2. luua üksteisega paralleelsete sirgete võrrandid.

Töö õpilasega

Töötage paaris enesetestiga

Frontaalne, individuaalne. probleemide lahendamise töötuba

Vajadusel esitab suunavaid küsimusi. Tõmbab paralleele varem uuritud materjaliga.

Annab motivatsiooni pakutud ülesannete täitmiseks.

Juhib õpilased järeldusele valemite olemasolu kohta.

Lahendage ülesandeid, vastake vajadusel õpetaja küsimustele Tehke harjutus vihikusse.

Kommenteerige, analüüsige, leidke põhjuseid ja lahendusi kordamööda.

5.Töö iseseisvalt

omandatud teadmiste rakendamine. Probleemide lahendamise teadmiste ja oskuste täiendamine.

Numbrilugemisoskuse kujunemine ja arendamine.Oma tegevuste planeerimine etteantud probleemi lahendamiseks, saadud tulemuse jälgimine, saadud tulemuse korrigeerimine, eneseregulatsioon

1 vari –

2 var

Iseseisev töö. Naabri kontrollimine.

"ajurünnak",

Jälgib tööde teostamist.

Pakub: individuaalset kontrolli; valikuline kontroll.

Julgustab oma arvamust avaldama.

Probleeme lahendama. Viia läbi: enesehindamine, vastastikune kontroll; anda eelhinnang.

6. Tunni hindamine, enesehindamine.

Oma saavutuste analüüsimise ja mõistmise võime kujunemine ja arendamine.

Oskus määrata õppematerjali meisterlikkuse taset.

Vahetulemuste hindamine ja eneseregulatsioon õppetegevuse motivatsiooni tõstmiseks

Hindamine igal etapil

1. Kas sa suudad lineaarvõrrandeid joonistada?

2. Kas saate kindlaks teha, kas need ristuvad või mitte?

3. Kas tead võrrandisüsteemide lahendamise algoritmi?

4. milliseid võrrandisüsteemide lahendamise meetodeid tead?

Rühmatöö.

Grupp ja individuaalne...

Julgustab oma arvamust avaldama.

Vii läbi: enesehinnang ja sõbra hinnang.

7. Tunni kokkuvõte. Kodutöö.

Oskus seostada oma tegevuse eesmärke ja tulemusi. Tervisliku võistlusvaimu säilitamine õppetegevuse motivatsiooni säilitamiseks; osalemine probleemide kollektiivses arutelus.

lk 4.4 nr 623

Rühmatöö.

Frontaalne – kognitiivse eesmärgi tuvastamine ja sõnastamine, tegevusmeetodite ja -tingimuste üle mõtisklemine

Objektide analüüs ja süntees

Julgustab oma arvamust avaldama.

Annab kommentaare kodutööde kohta; ülesanne otsida tekstist funktsioone...

Lapsed osalevad arutelus, analüüsivad, räägivad. Mõelge ja registreerige nende saavutusi.

Täna tunnis õppisin...

Sel juhul on mugav x väljendada y-ga süsteemi teisest võrrandist ja asendada saadud avaldis esimeses võrrandis x asemel:

Esimene võrrand on ühe muutujaga y võrrand. Lahendame selle:

5(7-3y)-2y = -16

Asendame saadud y väärtuse avaldisesse x:

Vastus: (-2; 3).

Selles süsteemis on lihtsam väljendada y-d x-ga esimesest võrrandist ja asendada saadud avaldis y-i asemel teises võrrandis:

Teine võrrand on ühe muutujaga x võrrand. Lahendame selle:

3x-4 (-1,5-3,5x) = 23

Avaldises y asendame x asemel x=1 ja leiame y:

Vastus: (1; -5).

Siin on mugavam väljendada y-d x-ga teisest võrrandist (kuna 10-ga jagamine on lihtsam kui 4, -9 või 3-ga jagamine):

Lahendame esimese võrrandi:

4x-9 (1,6-0,3x) = -1

4x-14,4+2,7x= -1

Asendage x=2 ja leidke y:

Vastus: (2; 1).

Enne asendusmeetodi rakendamist tuleks seda süsteemi lihtsustada. Esimese võrrandi mõlemad pooled saab korrutada väikseima ühisnimetajaga, teises võrrandis avame sulud ja esitame sarnased terminid:

Saime kahe muutujaga lineaarsete võrrandite süsteemi. Nüüd rakendame asendust. Teisest võrrandist on mugav väljendada a kuni b:

Lahendame süsteemi esimese võrrandi:

3 (21,5 + 2,5 b) – 7b = 63

Jääb üle leida a väärtus:

Vormindusreeglite kohaselt kirjutame vastuse tähestikulises järjekorras semikooloniga eraldatuna sulgudesse.

Vastus: (14; -3).

Ühte muutujat teise kaudu väljendades on mõnikord mugavam jätta see teatud koefitsiendiga.

Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi süsteem on kaks või enam lineaarvõrrandit, mille jaoks on vaja leida kõik nende ühised lahendused. Vaatleme kahe lineaarvõrrandi süsteeme kahes tundmatus. Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi süsteemi üldvaade on toodud alloleval joonisel:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Siin on x ja y tundmatud muutujad, a1, a2, b1, b2, c1, c2 on mõned reaalarvud. Kahest tundmatust lineaarsest võrrandist koosneva süsteemi lahenduseks on arvupaar (x,y), nii et kui asendada need arvud süsteemi võrranditega, muutub süsteemi iga võrrand tõeliseks võrrandiks. Mõelge ühele lineaarvõrrandisüsteemi lahendamise võimalusele, nimelt asendusmeetodile.

Lahendusalgoritm asendusmeetodil

Algoritm lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks asendusmeetodi abil:

1. Valige üks võrrand (parem on valida see, kus arvud on väiksemad) ja väljendage sellest üks muutuja teisega, näiteks x y-ga. (võite kasutada ka y kuni x).

2. Asendage saadud avaldis vastava muutuja asemel teise võrrandiga. Seega saame lineaarvõrrandi ühe tundmatuga.

3. Lahendage saadud lineaarvõrrand ja saage lahendus.

4. Asendame saadud lahenduse esimeses lõigus saadud avaldisega ja saame lahendusest teise tundmatu.

5. Kontrollige saadud lahust.

Näide

Et asi selgem oleks, lahendame väikese näite.

Näide 1. Lahendage võrrandisüsteem:

(x+2*y =12
(2*x-3*a=-18

Lahendus:

1. Selle süsteemi esimesest võrrandist väljendame muutuja x. Meil on x= (12 -2*y);

2. Asenda see avaldis teise võrrandiga, saame 2*x-3*y=-18; 2*(12 -2*y) - 3*y = -18; 24 - 4y - 3*y = -18;

3. Lahendage saadud lineaarvõrrand: 24 - 4y - 3*y = -18; 24-7*y = -18; -7*y = -42; y = 6;

4. Asendage saadud tulemus esimeses lõigus saadud avaldisega. x= (12-2*y); x = 12-2*6 = 0; x=0;

5. Kontrollime saadud lahendust, selleks asendame leitud arvud algsesse süsteemi.

(x+2*y =12;
(2*x-3*y=-18;

{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;

{12 =12;
{-18=-18;

Saime õiged võrdsused, seega leidsime lahenduse õigesti.