Mis on p a tõenäosusteoorias. Tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika alused

Ema pesi raami ära

Pika lõpus suvepuhkus on aeg aeglaselt naasta kõrgema matemaatika juurde ja avada pidulikult tühi Verdovi fail, et alustada uue jaotise loomist - . Tunnistan, et esimesed read pole lihtsad, kuid esimene samm on poolel teel, seega soovitan kõigil tutvuda hoolikalt sissejuhatava artikliga, pärast mida on teema valdamine 2 korda lihtsam! Ma ei liialda üldse. …Järgmise 1. septembri eel meenub mulle esimene klass ja aabits…. Tähed moodustavad silpe, silbid moodustavad sõnu, sõnad moodustavad lühikesi lauseid - Ema pesi raami. Pöörde- ja matemaatikastatistika valdamine on sama lihtne kui lugema õppimine! Kuid selleks peate teadma põhitermineid, mõisteid ja nimetusi ning mõningaid konkreetseid reegleid, mida selles õppetunnis käsitletakse.

Kuid kõigepealt võtke vastu minu õnnitlused alguse puhul (jätkamine, lõpetamine, vajadusel märkus) õppeaastal ja võta kingitus vastu. Parim kingitus on raamat ja selle eest iseseisev töö Soovitan järgmist kirjandust:

1) Gmurman V.E. Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika

Legendaarne õpetus, mis läbis üle kümne kordustrükki. Seda eristab arusaadavus ja materjali äärmiselt lihtne esitus ning esimesed peatükid on täiesti kättesaadavad, ma arvan, et juba 6.-7.klassi õpilastele.

2) Gmurman V.E. Juhend tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika probleemide lahendamiseks

Sellesama Vladimir Efimovitši lahendusraamat koos üksikasjalike näidete ja probleemidega.

VAJALIKULT laadige mõlemad raamatud alla Internetist või hankige nende paberkandjal originaalid! Töötab ka 60ndate ja 70ndate versioon, mis on mannekeenide jaoks veelgi parem. Kuigi fraas "mannekeenide tõenäosusteooria" kõlab üsna naeruväärselt, kuna peaaegu kõik piirdub elementaarsega aritmeetilised tehted. Kohati jätavad nad siiski vahele derivaadid Ja integraalid, kuid seda ainult kohati.

Püüan saavutada sama esitusselguse, kuid pean hoiatama, et minu kursus on suunatud probleemi lahendamine ja teoreetilised arvutused on viidud miinimumini. Seega, kui vajate üksikasjalikku teooriat, teoreemide tõestusi (teoreemid-teoreemid!), siis vaadake õpikut. No kes tahab õppida probleeme lahendama tõenäosusteoorias ja matemaatilises statistikas võimalikult lühikese aja jooksul, järgne mulle!

Alustuseks piisab =)

Artikleid lugedes on soovitatav tutvuda (vähemalt põgusalt) vaadeldavate tüüpide lisaülesannetega. Lehel Valmislahendused kõrgema matemaatika jaoks Postitatakse vastavad pdf-id koos lahendusnäidetega. Samuti osutatakse märkimisväärset abi IDZ 18.1 Ryabushko(lihtsam) ja lahendas IDZ Tšudesenko kogu järgi(keerulisem).

1) Summa kaks sündmust ja sündmust nimetatakse, mis tähendab, et see juhtub või sündmus või sündmus või mõlemad sündmused korraga. Juhul, kui sündmused Sobimatu, viimane valik kaob, see tähendab, et see võib tekkida või sündmus või sündmus .

Reegel kehtib ka suurema hulga terminite, näiteks sündmuse kohta on see, mis juhtub vähemalt üks sündmustest , A kui sündmused ei sobi kokku – siis üks asi ja ainult üks asi sündmus sellest summast: või sündmus, või sündmus, või sündmus, või sündmus, või sündmus .

Näiteid on palju:

Sündmused (täringu viskamisel 5 punkti ei ilmu) on see, mis välja tuleb või 1, või 2, või 3, või 4, või 6 punkti.

Sündmus (langeb mitte rohkem kaks punkti) on see, et kuvatakse 1 või 2punktid.

Sündmus (punkte on paarisarv) on see, mis ilmub või 2 või 4 või 6 punkti.

Sündmus seisneb selles, et kaardipakist tõmmatakse punane kaart (süda). või tamburiin) ja sündmus – et "pilt" ekstraheeritakse (jack või daam või kuningas võiäss).

Veidi huvitavam on lugu ühisüritustega:

Sündmus on see, et tekilt loositakse klubi või seitse või seitse klubi Vastavalt ülaltoodud määratlusele, vähemalt midagi- või mis tahes klubi või mis tahes seitse või nende "ristmik" - seitse klubi. Lihtne on arvutada, et see sündmus vastab 12 põhitulemusele (9 klubikaarti + 3 ülejäänud seitset).

Sündmus on see, et homme kell 12.00 tuleb VÄHEMALT ÜKS kokkuvõttev ühisüritus, nimelt:

– või on ainult vihm / ainult äike / ainult päike;
– või toimub ainult mõni sündmustepaar (vihm + äike / vihm + päike / äike + päike);
– või kõik kolm sündmust ilmuvad korraga.

See tähendab, et sündmus sisaldab 7 võimalikku tulemust.

Sündmuste algebra teine sammas:

2) Töö kaks sündmust ja nimetada sündmuseks, mis seisneb nende sündmuste ühises esinemises, teisisõnu tähendab korrutamine, et teatud asjaoludel toimub Ja sündmus, Ja sündmus . Sarnane väide kehtib ka suurema hulga sündmuste kohta, näiteks annab teos mõista, et teatud tingimustel see juhtub Ja sündmus, Ja sündmus, Ja sündmus, …, Ja sündmus .

Mõelge testile, mille käigus visatakse kaks münti ja järgmised sündmused:

– 1. mündil ilmuvad pead;
– 1. münt maandab päid;
– 2. mündile ilmuvad pead;
– 2. münt maandab pead.

Seejärel:
Ja 2.) ilmuvad pead;
– sündmus on see, et mõlemal mündil (1 Ja 2.) see on pead;
– sündmus on see, et 1. münt maandub päid Ja 2. münt on sabad;
– sündmus on see, et 1. münt maandub päid Ja 2. mündil on kotkas.

Neid sündmusi on lihtne näha Sobimatu (sest see ei saa olla näiteks 2 pead ja 2 saba korraga) ja vorm täisgrupp (alates arvesse võetud Kõik kahe mündi viskamise võimalikud tagajärjed). Võtame need sündmused kokku: . Kuidas seda kirjet tõlgendada? Väga lihtne – korrutamine tähendab loogilist sidet JA ja lisaks – VÕI. Seega on summa arusaadavas inimkeeles hästi loetav: “tekkib kaks pead või kaks pead või 1. münt maandub päid Ja 2. saba peal või 1. münt maandub päid Ja 2. mündil on kotkas"

See oli näide, kui ühes testis kaasatud on mitu eset, antud juhul kaks münti. Teine levinud skeem praktilistes probleemides on uuesti testimine , kui näiteks sama täringut veeretatakse 3 korda järjest. Näitena kaaluge järgmisi sündmusi:

– 1. viskega saad 4 punkti;
– 2. viskega saad 5 punkti;
– 3. viskega saad 6 punkti.

Siis üritus on see, et 1. viskega saad 4 punkti Ja 2. viskega saad 5 punkti Ja 3. veeretamisel saad 6 punkti. Ilmselgelt tuleb kuubiku puhul kombinatsioone (tulemusi) oluliselt rohkem kui mündi viskamisel.

...Ma saan aru, et võib-olla nad ei saa väga hästi aru huvitavaid näiteid, kuid need on asjad, millega probleemides sageli kokku puututakse ja millest pole pääsu. Lisaks mündile, kuubik ja kaardipakk, ootavad Sind mitmevärviliste kuulidega urnid, mitmed anonüümsed märklauda tulistavad ja väsimatu töömees, kes pidevalt mingeid detaile välja lihvib =)

Sündmuse tõenäosus

Sündmuse tõenäosus on tõenäosusteooria keskne mõiste. ...Tapjalik loogiline asi, aga kuskilt tuli alustada =) Selle definitsioonile on mitu lähenemist:

;
Tõenäosuse geomeetriline määratlus ;
Tõenäosuse statistiline määratlus .

Käesolevas artiklis keskendun tõenäosuse klassikalisele definitsioonile, mida kasutatakse õppeülesannetes kõige laiemalt.

Nimetused. Teatud sündmuse tõenäosust tähistab suur ladina täht ja sündmus ise on võetud sulgudes, toimides omamoodi argumendina. Näiteks:

Samuti kasutatakse väikest tähte laialdaselt tõenäosuse tähistamiseks. Eelkõige võite loobuda sündmuste ja nende tõenäosuste tülikatest määratlustest järgmise stiili kasuks::

– tõenäosus, et mündiviske tulemuseks on pead;
– tõenäosus, et täringuvise annab 5 punkti;
– tõenäosus, et kaardipakist tõmmatakse klubi masti kaart.

See valik on praktiliste probleemide lahendamisel populaarne, kuna võimaldab oluliselt vähendada lahenduse salvestamist. Nagu esimesel juhul, on siingi mugav kasutada “rääkivaid” ala-/üleindekseid.

Kõik on juba ammu arvanud numbreid, mille ma just ülal kirjutasin, ja nüüd saame teada, kuidas need välja kukkusid:

Klassikaline tõenäosuse määratlus:

Teatud testis sündmuse toimumise tõenäosust nimetatakse suhteks, kus:

– koguarv kõik võrdselt võimalik, elementaarne selle testi tulemused kogu ürituste grupp;

- kogus elementaarne tulemused, soodne sündmus.

Mündi viskamisel võivad välja kukkuda kas pead või sabad – need sündmused kujunevad täisgrupp, seega tulemuste koguarv; samal ajal igaüks neist elementaarne Ja võrdselt võimalik. Sündmust soosib tulemus (pead). Klassikalise tõenäosuse määratluse kohaselt: .

Samamoodi võivad täringu viskamise tulemusena ilmneda elementaarsed võrdselt võimalikud tulemused, mis moodustavad tervikliku rühma ja sündmust soosib üks tulemus (viie viskamine). Sellepärast: SEDA EI OLE AKTSEPTEERITUD TEHA (kuigi protsente oma peas hinnata pole keelatud).

Tavapärane on kasutada ühiku murde, ja ilmselgelt võib tõenäosus piires varieeruda. Pealegi, kui , siis sündmus on võimatu, kui - usaldusväärne, ja kui , siis me räägime juhuslik sündmus.

! Kui saate mõne probleemi lahendamisel mõne muu tõenäosuse väärtuse, otsige viga!

Tõenäosuse määramise klassikalises lähenemisviisis saadakse äärmuslikud väärtused (null ja üks) täpselt sama arutluskäigu kaudu. Teatud urnist, milles on 10 punast palli, tõmmatakse juhuslikult 1 pall. Mõelge järgmistele sündmustele:

ühe katsega ei juhtu vähese tõenäosusega sündmust.

Seetõttu ei võida sa loteriis jackpotti, kui selle sündmuse tõenäosus on näiteks 0,00000001. Jah, jah, see oled sina – ainsa piletiga konkreetses tiraažis. Suurem arv pileteid ja suurem arv joonistusi teid aga palju ei aita. ...Kui ma sellest teistele räägin, kuulen peaaegu alati vastuseks: "aga keegi võidab." Olgu, teeme siis järgmise katse: palun ostke täna või homme suvalise loterii pilet (ärge viivitage!). Ja kui võidad... noh, vähemalt üle 10 kilorublase, siis pane kindlasti kirja – ma selgitan, miks see juhtus. Protsendi eest muidugi =) =)

Aga kurvastada pole vaja, sest on vastupidine põhimõte: kui mõne sündmuse tõenäosus on väga lähedane ühele, siis ühel katsel peaaegu kindel juhtub. Seetõttu pole enne langevarjuga hüppamist vaja karta, vastupidi, naerata! Mõlema langevarju ebaõnnestumiseks peavad ju tekkima täiesti mõeldamatud ja fantastilised asjaolud.

Kuigi see kõik on lüürika, sest olenevalt sündmuse sisust võib esimene põhimõte osutuda rõõmsaks, teine aga kurvaks; või isegi mõlemad paralleelsed.

Võib-olla sellest praegu klassis piisab Klassikalised tõenäosusprobleemid saame valemist maksimumi. Selle artikli viimases osas käsitleme ühte olulist teoreemi:

Täieliku rühma moodustavate sündmuste tõenäosuste summa on võrdne ühega. Jämedalt öeldes, kui sündmused moodustavad tervikliku rühma, siis 100% tõenäosusega juhtub üks neist. Lihtsamal juhul moodustavad tervikliku rühma vastupidised sündmused, näiteks:

– mündiviske tulemusena tekivad pead;
– mündiviske tulemuseks on pead.

Vastavalt teoreemile:

On täiesti selge, et need sündmused on võrdselt võimalikud ja nende tõenäosus on sama .

Tõenäosuste võrdsuse tõttu nimetatakse sageli võrdselt võimalikke sündmusi sama tõenäoline . Ja siin on keeleväänaja joobeastme määramiseks =)

Näide kuubikuga: sündmused on seega vastupidised .

Vaadeldav teoreem on mugav selle poolest, et võimaldab kiiresti leida vastupidise sündmuse tõenäosuse. Seega, kui viie veeremise tõenäosus on teada, on lihtne arvutada tõenäosus, et seda ei veereta:

See on palju lihtsam kui viie elementaarse tulemuse tõenäosuste kokkuvõtmine. Muide, elementaarsete tulemuste puhul kehtib ka see teoreem:
. Näiteks kui on tõenäosus, et laskur tabab sihtmärki, siis on tõenäosus, et ta tabab märki.

! Tõenäosusteoorias on tähtede kasutamine muudel eesmärkidel ebasoovitav.

Teadmiste päeva auks ma ei küsi kodutöö=), kuid on väga oluline, et saaksite vastata järgmistele küsimustele:

- Mis tüüpi üritusi eksisteerib?
– Mis on sündmuse juhus ja võrdne võimalus?
– Kuidas te mõistate mõisteid sündmuste ühilduvus/ühildamatus?
– Mis on täielik sündmuste rühm, vastandlikud sündmused?
– Mida tähendab sündmuste liitmine ja korrutamine?
– Mis on tõenäosuse klassikalise definitsiooni olemus?
– Miks on tervikliku rühma moodustavate sündmuste tõenäosuste liitmise teoreem kasulik?

Ei, te ei pea midagi kokku toppima, need on lihtsalt tõenäosusteooria põhitõed - omamoodi aabits, mis mahub kiiresti teie pähe. Ja et see juhtuks võimalikult kiiresti, soovitan teil tundidega tutvuda

Sündmused, mis juhtuvad tegelikkuses või meie kujutluses, võib jagada 3 rühma. Need on teatud sündmused, mis kindlasti juhtuvad, võimatud sündmused ja juhuslikud sündmused. Tõenäosusteooria uurib juhuslikke sündmusi, s.t. sündmused, mis võivad juhtuda või mitte. See artikkel esitatakse aastal põgusalt tõenäosusteooria valemid ja näited tõenäosusteooria ülesannete lahendamisest, mis on matemaatika ühtse riigieksami ülesandes 4 (profiilitasand).

Miks me vajame tõenäosusteooriat?

Ajalooliselt tekkis nende probleemide uurimise vajadus 17. sajandil seoses hasartmängude arengu ja professionaalsemaks muutumisega ning kasiinode tekkega. See oli tõeline nähtus, mis nõudis omaette uurimist ja uurimistööd.

Mängukaardid, täringud ja rulett tekitasid olukordi, kus võib juhtuda ükskõik milline piiratud arvust võrdselt võimalikest sündmustest. Tekkis vajadus anda numbrilised hinnangud konkreetse sündmuse toimumise võimalikkusele.

20. sajandil sai selgeks, et see pealtnäha kergemeelne teadus mängib olulist rolli mikrokosmoses toimuvate fundamentaalsete protsesside mõistmisel. Loodi kaasaegne teooria tõenäosused.

Tõenäosusteooria põhimõisted

Tõenäosusteooria uurimisobjektiks on sündmused ja nende tõenäosused. Kui sündmus on keeruline, saab selle jagada lihtsateks komponentideks, mille tõenäosusi on lihtne leida.

Sündmuste A ja B summat nimetatakse sündmuseks C, mis seisneb selles, et kas sündmus A või sündmus B või sündmused A ja B toimusid samaaegselt.

Sündmuste A ja B korrutis on sündmus C, mis tähendab, et toimusid nii sündmus A kui ka sündmus B.

Sündmusi A ja B nimetatakse kokkusobimatuteks, kui need ei saa toimuda samaaegselt.

Sündmust A nimetatakse võimatuks, kui see ei saa toimuda. Sellist sündmust tähistab sümbol.

Sündmust A nimetatakse kindlaks, kui see kindlasti juhtub. Sellist sündmust tähistab sümbol.

Olgu iga sündmus A seotud arvuga P(A). Seda arvu P(A) nimetatakse sündmuse A tõenäosuseks, kui selle vastavusega on täidetud järgmised tingimused.

Oluliseks erijuhtumiks on olukord, kus elementaartulemused on võrdselt tõenäolised ja suvalised neist tulemustest moodustavad sündmused A. Sel juhul saab tõenäosuse sisestada valemi abil. Sel viisil sisestatud tõenäosust nimetatakse klassikaliseks tõenäosuseks. Võib tõestada, et sel juhul on omadused 1-4 täidetud.

Matemaatika ühtsel riigieksamil esinevad tõenäosusteooria probleemid on peamiselt seotud klassikalise tõenäosusega. Sellised ülesanded võivad olla väga lihtsad. Eriti lihtsad on tõenäosusteooria probleemid demo valikud. Soodsate tulemuste arvu on lihtne välja arvutada, kõigi tulemuste arv kirjutatakse otse tingimusesse.

Vastuse saame valemi abil.

Näide matemaatika ühtse riigieksami probleemist tõenäosuse määramise kohta

Laual on 20 pirukat - 5 kapsaga, 7 õuntega ja 8 riisiga. Marina tahab pirukat võtta. Kui suur on tõenäosus, et ta võtab riisikoogi?

Lahendus.

On 20 võrdselt tõenäolist elementaarset tulemust, see tähendab, et Marina võib võtta ükskõik millise 20 pirukast. Kuid me peame hindama tõenäosust, et Marina võtab riisipiruka, st kus A on riisipiruka valik. See tähendab, et soodsate tulemuste (riisiga pirukate valikud) arv on ainult 8. Seejärel määratakse tõenäosus valemiga:

Sõltumatud, vastandlikud ja meelevaldsed sündmused

Siiski sisse avatud purk Hakkas tulema keerulisemaid ülesandeid. Seetõttu juhime lugeja tähelepanu teistele tõenäosusteoorias uuritud probleemidele.

Sündmusi A ja B nimetatakse sõltumatuks, kui kummagi tõenäosus ei sõltu sellest, kas teine sündmus aset leiab.

Sündmus B on see, et sündmust A ei toimunud, s.t. sündmus B on vastupidine sündmusele A. Vastupidise sündmuse tõenäosus on võrdne ühega miinus otsese sündmuse tõenäosus, s.o. .

Tõenäosuste liitmise ja korrutamise teoreemid, valemid

Suvaliste sündmuste A ja B korral on nende sündmuste summa tõenäosus võrdne nende tõenäosuste summaga ilma nende ühise sündmuse tõenäosuseta, s.t. .

Sõltumatute sündmuste A ja B puhul on nende sündmuste toimumise tõenäosus võrdne nende tõenäosuste korrutisega, s.o. sel juhul .

2 viimast väidet nimetatakse tõenäosuste liitmise ja korrutamise teoreemideks.

Tulemuste arvu arvestamine pole alati nii lihtne. Mõnel juhul on vaja kasutada kombinatoorika valemeid. Kõige tähtsam on loendada sündmuste arv, mis vastavad teatud tingimustele. Mõnikord võivad sellised arvutused muutuda iseseisvateks ülesanneteks.

Kui mitmel viisil saab 6 õpilast kuuele tühjale kohale istuda? Esimene õpilane võtab ühe 6 kohast. Kõik need valikud vastavad viiele võimalusele, kuidas teine õpilane koht võtab. Kolmandale õpilasele on jäänud 4 vaba kohta, neljandale 3, viiendale 2 ning kuues saab ainsa allesjäänud koha. Kõigi valikute arvu leidmiseks tuleb leida toode, mis on tähistatud sümboliga 6! ja kõlab "kuus faktoriaal".

Üldjuhul annab sellele küsimusele vastuse n elemendi permutatsioonide arvu valem.Meie puhul.

Vaatleme nüüd oma õpilastega teist juhtumit. Kui mitmel viisil saab 2 õpilast kuuele tühjale kohale istuda? Esimene õpilane võtab ühe 6 kohast. Kõik need valikud vastavad viiele võimalusele, kuidas teine õpilane koht võtab. Kõigi valikute arvu leidmiseks peate leidma toote.

Üldiselt annab sellele küsimusele vastuse valem n elemendi paigutuste arvu kohta k elemendi kohal

Meie puhul.

Ja viimane juhtum selles sarjas. Kui mitmel viisil saate valida kolm õpilast 6-st? Esimest õpilast saab valida 6 viisil, teist - 5 viisil, kolmandat - neljal viisil. Kuid nende valikute hulgas ilmuvad samad kolm õpilast 6 korda. Kõigi valikute arvu leidmiseks peate arvutama väärtuse: . Üldiselt annab sellele küsimusele vastuse elementide kombinatsioonide arvu valem elementide kaupa:

Meie puhul.

Näited matemaatika ühtse riigieksami ülesannete lahendamisest tõenäosuse määramiseks

Ülesanne 1. Kogumikust toimetanud. Jaštšenko.

Taldrikul on 30 pirukat: 3 lihaga, 18 kapsaga ja 9 kirssidega. Sasha valib juhuslikult ühe piruka. Leidke tõenäosus, et ta lõpetab kirsiga.

Vastus: 0,3.

Ülesanne 2. Kogumikust toimetanud. Jaštšenko.

Igas 1000 lambipirni partiis on keskmiselt 20 defektset. Leidke tõenäosus, et partiist juhuslikult võetud lambipirn hakkab tööle.

Lahendus: Töötavate lambipirnide arv on 1000-20=980. Siis tõenäosus, et partiist juhuslikult võetud lambipirn töötab:

Vastus: 0,98.

Tõenäosus, et õpilane U lahendab matemaatika testi jooksul õigesti rohkem kui 9 ülesannet, on 0,67. Tõenäosus, et U. lahendab õigesti rohkem kui 8 ülesannet, on 0,73. Leia tõenäosus, et U lahendab täpselt 9 ülesannet õigesti.

Kui kujutame ette arvurida ja märgime sellele punktid 8 ja 9, siis näeme, et tingimus „U. lahendab õigesti täpselt 9 ülesannet” sisaldub tingimuses „U. lahendab õigesti rohkem kui 8 ülesannet”, kuid ei kehti tingimuse „U. lahendab õigesti rohkem kui 9 probleemi.

Kuid tingimus „U. lahendab õigesti rohkem kui 9 ülesannet” sisaldub tingimuses „U. lahendab õigesti rohkem kui 8 probleemi. Seega, kui tähistame sündmusi: „U. lahendab õigesti täpselt 9 ülesannet" - läbi A, "U. lahendab õigesti rohkem kui 8 ülesannet" - läbi B, "U. lahendab õigesti rohkem kui 9 ülesannet” kuni C. Lahendus näeb välja järgmine:

Vastus: 0,06.

Geomeetria eksamil vastab õpilane ühele küsimusele eksamiküsimuste loendist. Tõenäosus, et see on trigonomeetria küsimus, on 0,2. Tõenäosus, et see on välisnurkade küsimus, on 0,15. Nende kahe teemaga samaaegselt seotud küsimusi pole. Leidke tõenäosus, et õpilane saab eksamil küsimuse ühel neist kahest teemast.

Mõelgem, mis üritused meil on. Meile antakse kaks kokkusobimatut sündmust. See tähendab, et küsimus on seotud teemaga "Trigonomeetria" või teemaga "Välisnurgad". Tõenäosusteoreemi kohaselt on kokkusobimatute sündmuste tõenäosus võrdne iga sündmuse tõenäosuste summaga, peame leidma nende sündmuste tõenäosuste summa, see tähendab:

Vastus: 0,35.

Ruumi valgustab kolme lambiga latern. Ühe lambi põlemise tõenäosus aasta jooksul on 0,29. Leia tõenäosus, et aasta jooksul ei põle vähemalt üks lamp läbi.

Vaatleme võimalikke sündmusi. Meil on kolm lambipirni, millest igaüks võib, kuid ei pruugi läbi põleda sõltumata teisest lambipirnist. Need on iseseisvad sündmused.

Seejärel näitame selliste sündmuste võimalusi. Kasutame järgmisi tähiseid: - pirn põleb, - pirn on läbi põlenud. Ja kohe selle kõrval arvutame sündmuse tõenäosuse. Näiteks kolme sõltumatu sündmuse tõenäosus, mille puhul "pirn põleb läbi", "pirn põleb", "pirn põleb" toimus: , kus sündmuse "pirn põleb" tõenäosus. põleb” arvutatakse sündmusele „pirn ei põle” vastupidise sündmuse tõenäosusena, nimelt: .

SISSEJUHATUS

Paljud asjad on meile arusaamatud mitte sellepärast, et meie kontseptsioonid on nõrgad;
kuid kuna need asjad ei kuulu meie mõistete hulka.
Kozma Prutkov

Põhieesmärk on õppida matemaatikat keskkoolis õppeasutused on anda õpilastele matemaatiliste teadmiste ja oskuste kogum, mis on vajalik teiste matemaatikat ühel või teisel määral kasutavate programmivaldkondade õppimiseks, praktiliste arvutuste tegemiseks, loogilise mõtlemise kujundamiseks ja arendamiseks.

Selles töös on kõik matemaatika sektsiooni "Tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika alused" põhikontseptsioonid, mis on sätestatud programmis ja keskerihariduse riiklikus haridusstandardis (Vene Föderatsiooni haridusministeerium. M., 2002). ), tutvustatakse järjepidevalt, sõnastatakse peamised teoreemid, millest enamik ei ole tõestatud . Käsitletakse peamisi probleeme ja nende lahendamise meetodeid ning tehnoloogiaid nende meetodite rakendamiseks praktiliste probleemide lahendamisel. Ettekandele on lisatud üksikasjalikud kommentaarid ja arvukad näited.

Metoodilisi juhendeid saab kasutada õpitava materjaliga esmasel tutvumisel, loengutes märkmete tegemisel, praktilisteks tundideks valmistumisel, omandatud teadmiste, oskuste ja vilumuste kinnistamiseks. Lisaks on käsiraamat kasulik ka bakalaureuseõppe üliõpilastele võrdlusvahendina, mis võimaldab neil varem õpitut kiiresti meelde tuletada.

Töö lõpus on näited ja ülesanded, mida õpilased saavad sooritada enesekontrolli režiimis.

Juhend on mõeldud osa- ja täiskoormusega õppijatele.

PÕHIMÕISTED

Tõenäosusteooria uurib massiliste juhuslike sündmuste objektiivseid mustreid. See on matemaatilise statistika teoreetiline alus, mis tegeleb vaatlustulemuste kogumise, kirjeldamise ja töötlemise meetodite väljatöötamisega. Vaatluste (testide, katsete) kaudu, s.o. kogemus selle sõna laiemas tähenduses, tekib teadmine reaalse maailma nähtustest.

Tema omas praktiline tegevus Tihti kohtame nähtusi, mille tulemust ei ole võimalik ennustada, mille tulemus sõltub juhusest.

Juhuslikku nähtust saab iseloomustada selle esinemiste arvu ja katsete arvu suhtega, millest igaühes võib see kõigi katsete samadel tingimustel esineda või mitte esineda.

Tõenäosusteooria on matemaatika haru, milles uuritakse juhuslikke nähtusi (sündmusi) ja tuvastatakse mustreid, kui neid massiliselt korratakse.

Matemaatiline statistika on matemaatika haru, mis tegeleb statistiliste andmete kogumise, süstematiseerimise, töötlemise ja kasutamise meetodite uurimisega teaduspõhiste järelduste tegemiseks ja otsuste tegemiseks.

Sel juhul mõistetakse statistiliste andmete all arvude kogumit, mis esindavad meid huvitavate uuritavate objektide omaduste kvantitatiivseid omadusi. Statistilised andmed saadakse spetsiaalselt kavandatud katsete ja vaatluste tulemusena.

Statistilised andmed sõltuvad oma olemuselt paljudest juhuslikest teguritest, mistõttu on matemaatiline statistika tihedalt seotud tõenäosusteooriaga, mis on selle teoreetiline alus.

I. TÕENÄOSUS. TÕENÄOSUSTE LIIDEMIS- JA KORRUMISTEOREEMID

1.1. Kombinatoorika põhimõisted

Matemaatika harus, mida nimetatakse kombinatoorikaks, lahendatakse mõningaid probleeme, mis on seotud hulkade arvestamise ja nende hulkade elementide erinevate kombinatsioonide koostisega. Näiteks kui võtame 10 erinevat arvu 0, 1, 2, 3,: , 9 ja teeme neist kombinatsioonid, saame erinevad arvud, näiteks 143, 431, 5671, 1207, 43 jne.

Näeme, et mõned neist kombinatsioonidest erinevad ainult numbrite järjestuse poolest (näiteks 143 ja 431), teised - nendes sisalduvate numbrite poolest (näiteks 5671 ja 1207) ja teised erinevad ka numbrite arvu poolest. (näiteks 143 ja 43).

Seega vastavad saadud kombinatsioonid erinevatele tingimustele.

Sõltuvalt kompositsioonireeglitest saab eristada kolme tüüpi kombinatsioone: permutatsioonid, paigutused, kombinatsioonid.

Kõigepealt tutvume kontseptsiooniga faktoriaalne.

Kõikide toode naturaalarvud 1 kuni n (kaasa arvatud). n-faktoriaalne ja kirjutada.

Arvutage: a) ; b) ; V) .

Lahendus. A) .

b) Alates , siis saame selle sulgudest välja jätta

Siis saame

V) .

Ümberkorraldused.

Kombinatsiooni n elemendist, mis erinevad üksteisest ainult elementide järjestuse poolest, nimetatakse permutatsiooniks.

Permutatsioonid on tähistatud sümboliga P n , kus n on igas permutatsioonis sisalduvate elementide arv. ( R- prantsuskeelse sõna esimene täht permutatsioon- ümberkorraldamine).

Permutatsioonide arvu saab arvutada valemi abil

või kasutades faktoriaali:

Pidagem seda meeles 0!=1 ja 1!=1.

Näide 2. Mitmel viisil saab kuut erinevat raamatut ühele riiulile paigutada?

Lahendus. Vajalik arv viise võrdub 6 elemendi permutatsioonide arvuga, st.

Paigutused.

Postitused alates m elemendid sisse n igaühes nimetatakse selliseid ühendeid, mis erinevad üksteisest kas elementide endi (vähemalt ühe) või nende paigutuse järje poolest.

Paigutused on tähistatud sümboliga, kus m- kõigi saadaolevate elementide arv, n- elementide arv igas kombinatsioonis. ( A- prantsuskeelse sõna esimene täht kokkulepe, mis tähendab "paigutust, korda seadmist").

Samas arvatakse, et nm.

Paigutuste arvu saab arvutada valemi abil

need. kõigi võimalike paigutuste arv alates m elemendid poolt n võrdub tootega n järjestikused täisarvud, millest suurim on m.

Kirjutame selle valemi faktoriaalses vormis:

Näide 3. Mitu võimalust saab viie taotleja kohta koostada kolme vautšeri jagamiseks erineva profiiliga sanatooriumidele?

Lahendus. Vajalik valikute arv võrdub 3 elemendi 5 elemendi paigutuste arvuga, st.

Kombinatsioonid.

Kombinatsioonid on kõik võimalikud kombinatsioonid m elemendid poolt n, mis erinevad üksteisest vähemalt ühe elemendi poolest (siin m Ja n- naturaalarvud ja n m).

Kombinatsioonide arv m elemendid poolt n on tähistatud ( KOOS- prantsuskeelse sõna esimene täht kombinatsioon- kombinatsioon).

Üldiselt arv m elemendid poolt n võrdne paigutuste arvuga alates m elemendid poolt n, jagatud permutatsioonide arvuga alates n elemendid:

Kasutades paigutuste ja permutatsioonide arvu faktoriaalvalemeid, saame:

Näide 4. 25-liikmelises meeskonnas peate eraldama neli teatud piirkonnas töötamiseks. Kui mitmel viisil saab seda teha?

Lahendus. Kuna valitud nelja inimese järjekord ei oma tähtsust, on selleks võimalusi.

Leiame esimese valemi abil

Lisaks kasutatakse ülesannete lahendamisel järgmisi valemeid, mis väljendavad kombinatsioonide põhiomadusi:

(definitsiooni järgi eeldavad nad ja);

1.2. Kombinatoorsete ülesannete lahendamine

Ülesanne 1. Teaduskonnas õpitakse 16 ainet. Esmaspäevaks peate oma ajakavasse panema 3 ainet. Kui mitmel viisil saab seda teha?

Lahendus. Kolme üksuse 16-st ajastamiseks on sama palju võimalusi kui saate korraldada 16 üksuse paigutust 3 kaupa.

Ülesanne 2. 15 objekti hulgast tuleb valida 10 objekti. Kui mitmel viisil saab seda teha?

Ülesanne 3. Võistlusest võttis osa neli võistkonda. Mitu võimalust on nende vahel istekohtade jaotamiseks?

Ülesanne 4. Mitmel viisil saab moodustada kolmest sõdurist ja ühest ohvitserist koosneva patrulli, kui seal on 80 sõdurit ja 3 ohvitseri?

Lahendus. Patrullis saab valida sõduri

viisidel ja ohvitserid viisidel. Kuna iga ohvitser võib minna iga sõdurite meeskonnaga, on võimalusi ainult nii palju.

Ülesanne 5. Leia , kui on teada, et .

Alates , saame

Kombinatsiooni määratlusest järeldub, et . See. .

1.3. Juhusliku sündmuse mõiste. Sündmuste tüübid. Sündmuse tõenäosus

Nimetatakse mis tahes tegevus, nähtus, vaatlus, millel on mitu erinevat tulemust ja mis on teostatud teatud tingimustel test.

Selle tegevuse või vaatluse tulemust nimetatakse sündmus .

Kui sündmus antud tingimustel võib juhtuda või mitte juhtuda, siis seda nimetatakse juhuslik . Kui sündmus on kindel, siis seda nimetatakse usaldusväärne ja juhul, kui see ilmselgelt juhtuda ei saa, - võimatu.

Sündmused on nn Sobimatu , kui iga kord on võimalik ilmuda ainult üks neist.

Sündmused on nn liigend , kui teatud tingimustel ei välista ühe neist sündmustest teise esinemist sama katse ajal.

Sündmused on nn vastupidine , kui need katsetingimustes on ainsad tulemused kokkusobimatud.

Sündmused on tavaliselt tähistatud ladina tähestiku suurtähtedega: A, B, C, D, : .

Täielik sündmuste süsteem A 1 , A 2 , A 3 , : , A n on kokkusobimatute sündmuste kogum, millest vähemalt ühe esinemine on antud testi käigus kohustuslik.

Kui terviklik süsteem koosneb kahest kokkusobimatust sündmusest, nimetatakse selliseid sündmusi vastupidiseks ja tähistatakse A ja .

Näide. Karbis on 30 nummerdatud palli. Tehke kindlaks, millised järgmistest sündmustest on võimatud, usaldusväärsed või vastupidised:

võttis välja nummerdatud palli (A);

sai paarisarvuga palli (IN);

sai paaritu numbriga palli (KOOS);

sai palli ilma numbrita (D).

Millised neist moodustavad tervikliku rühma?

Lahendus . A- usaldusväärne üritus; D- võimatu sündmus;

Aastal ja KOOS- vastupidised sündmused.

Kogu sündmuste rühm koosneb A Ja D, V Ja KOOS.

Sündmuse tõenäosust peetakse juhusliku sündmuse toimumise objektiivse võimalikkuse mõõdupuuks.

1.4. Klassikaline tõenäosuse määratlus

Nimetatakse arvu, mis väljendab sündmuse toimumise objektiivse võimalikkuse mõõtu tõenäosus seda sündmust ja seda tähistab sümbol R(A).

Definitsioon. Sündmuse tõenäosus A on antud sündmuse toimumist soodustavate tulemuste m suhe A, numbrile n kõik tulemused (ebajärjekindlad, ainult võimalikud ja võrdselt võimalikud), st. .

Seetõttu on sündmuse tõenäosuse leidmiseks vaja, võttes arvesse testi erinevaid tulemusi, arvutada kõik võimalikud vastuolulised tulemused n, valige meid huvitavate tulemuste arv m ja arvutage suhe m To n.

Sellest määratlusest tulenevad järgmised omadused:

Iga testi tõenäosus on mittenegatiivne arv, mis ei ületa ühte.

Tõepoolest, nõutavate sündmuste arv m on vahemikus . Mõlema osa jagamine n, saame

2. Usaldusväärse sündmuse tõenäosus on võrdne ühega, sest .

3. Võimatu sündmuse tõenäosus on null, kuna .

Ülesanne 1. 1000 piletiga loteriis on 200 võitu. Üks pilet võetakse välja juhuslikult. Kui suur on tõenäosus, et see pilet võidab?

Lahendus. Erinevate tulemuste koguarv on n=1000. Võitmiseks soodsate tulemuste arv on m=200. Valemi järgi saame

Ülesanne 2. 18 osast koosnevas partiis on 4 defektset. 5 osa valitakse juhuslikult. Leidke tõenäosus, et kaks neist viiest osast on defektsed.

Lahendus. Kõigi võrdselt võimalike sõltumatute tulemuste arv n võrdne kombinatsioonide arvuga 18 korda 5 s.o.

Loendame arv m, mis soosib sündmust A. 5 juhuslikult võetud osa hulgas peaks olema 3 head ja 2 defektset. Kahe defektse osa valimise võimaluste arv neljast olemasolevast defektsest on võrdne kombinatsioonide arvuga 4 korda 2:

14 saadaoleva kvaliteetse osa hulgast kolme kvaliteetse osa valimise võimaluste arv on võrdne

Mis tahes heade osade rühma saab kombineerida mis tahes defektsete osade rühmaga, seega on kombinatsioonide koguarv m ulatub

Sündmuse A nõutav tõenäosus võrdub sellele sündmusele soodsate tulemuste m arvu ja kõigi võrdselt võimalike sõltumatute tulemuste arvu n suhtega:

Lõpliku arvu sündmuste summa on sündmus, mis koosneb neist vähemalt ühe toimumisest.

Kahe sündmuse summat tähistatakse sümboliga A+B ja summa n sündmused sümboliga A 1 +A 2 + : +A n.

Tõenäosuste liitmise teoreem.

Kahe kokkusobimatu sündmuse summa tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga.

Järeldus 1. Kui sündmused A 1, A 2, :,A n moodustavad tervikliku süsteemi, siis on nende sündmuste tõenäosuste summa võrdne ühega.

Järeldus 2. Vastandlike sündmuste tõenäosuste summa ja on võrdne ühega.

Ülesanne 1. Loteriipileteid on 100. Teatavasti võidab 5 piletit igaüks 20 000 rubla, 10 piletit 15 000 rubla, 15 piletit 10 000 rubla, 25 piletit 2000 rubla. ja ülejäänu jaoks ei midagi. Leidke tõenäosus, et ostetud pilet saab vähemalt 10 000 rubla võidu.

Lahendus. Olgu A, B ja C sündmused, mis seisnevad selles, et ostetud pilet saab võidu vastavalt 20 000, 15 000 ja 10 000 rubla. kuna sündmused A, B ja C ei ühildu, siis

Ülesanne 2. Sees ekstramuraalne tehnikum saab matemaatika kontrolltöid linnadest A, B Ja KOOS. Linnalt testi saamise tõenäosus A võrdub 0,6, linnast IN- 0,1. Leidke tõenäosus, et järgmine test tuleb linnast KOOS.

Lihtsaim näide kahe sündmuse seosest on põhjuslik seos, kui ühe sündmuse toimumine viib tingimata teise toimumiseni või vastupidi, kui ühe toimumine välistab teise toimumise võimaluse.

Iseloomustamaks ühtede sündmuste sõltuvust teistest, võetakse kasutusele mõiste tingimuslik tõenäosus.

Definitsioon. Lase A Ja IN- sama testi kaks juhuslikku sündmust. Seejärel sündmuse tingimuslik tõenäosus A või sündmuse A tõenäosust, eeldusel, et sündmus B toimub, nimetatakse arvuks.

Tingimuslikku tõenäosust tähistades saame valemi

, .

Ülesanne 1. Arvuta tõenäosus, et perre, kus on üks laps, sünnib poiss, teine poiss.

Lahendus. Las sündmus A on see, et peres on kaks poissi ja sündmus IN- see üks poiss.

Kaaluge kõiki võimalikke tulemusi: poiss ja poiss; poiss ja tüdruk; tüdruk ja poiss; tüdruk ja tüdruk.

Siis ja kasutades leiame valemit

Sündmus A helistas sõltumatu ürituselt IN, kui sündmuse toimumine IN ei mõjuta sündmuse toimumise tõenäosust A.

Tõenäosuse korrutamise teoreem

Kahe sõltumatu sündmuse samaaegse toimumise tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste korrutisega:

Mitme koondväärtuses sõltumatu sündmuse toimumise tõenäosus arvutatakse valemiga

Ülesanne 2. Esimeses urnis on 6 musta ja 4 valget palli, teises urnis on 5 musta ja 7 valget palli. Igast urnist tõmmatakse üks pall. Kui suur on tõenäosus, et mõlemad pallid on valged?

A ja IN on üritus AB. Seega

b) Kui esimene element töötab, siis toimub sündmus (vastupidine sündmusele A- selle elemendi rike); kui teine element töötab - sündmus IN. Leiame sündmuste tõenäosused ja:

Siis on sündmus, et mõlemad elemendid töötavad, ja seega

Tõenäosuse klassikaline määratlus põhineb mõistel tõenäosuslik kogemus, või tõenäosuskatse. Selle tulemus on üks mitmest võimalikust tulemusest, nn elementaarsed tulemused, ja pole põhjust eeldada, et tõenäosusliku katse kordamisel ilmneb mõni elementaarne tulemus sagedamini kui teised. Näiteks kaaluge tõenäosuslikku katset, mis hõlmab täringu viskamist. Selle katse tulemuseks on ühe kuubi külgedele tõmmatud 6 punkti kaotus.

Seega on selles katses 6 elementaarset tulemust:

ja igaüks neist on võrdselt oodatud.

Sündmus klassikalises tõenäosuseksperimendis on elementaarsete tulemuste hulga suvaline alamhulk. Vaadeldavas täringu viskamise näites on sündmuseks näiteks paarisarv punktide kaotus, mis koosneb elementaarsetest tulemustest.

Sündmuse tõenäosus on arv:

kus on sündmuse moodustavate elementaarsete tulemuste arv (mõnikord öeldakse, et see on sündmuse toimumist soodustavate elementaarsete tulemuste arv) ja kõigi elementaarsete tulemuste arv.

Meie näites:

Kombinatoorika elemendid.

Paljude tõenäosuskatsete kirjeldamisel saab elementaarseid tulemusi identifitseerida ühega järgmistest kombinatoorika (lõplike hulkade teadus) objektidest.

Ümberkorraldamine numbrid on nende arvude suvaline järjestatud esitus ilma kordusteta. Näiteks kolmest numbrist koosneva komplekti jaoks on 6 erinevat permutatsiooni:

, , , , , .

Suvalise arvu permutatsioonide jaoks on võrdne

(naturaalrea järjestikuste arvude korrutis, alates 1).

Kombinatsioon on hulga mis tahes elementide suvaline järjestamata hulk. Näiteks kolmest numbrist koosneva komplekti jaoks on 3 erinevat kombinatsiooni 3 x 2:

Suvalise paari , korral on kombinatsioonide arv võrdne

Näiteks,

Hüpergeomeetriline jaotus.

Vaatleme järgmist tõenäosuslikku katset. Seal on must kast, mis sisaldab valgeid ja musti palle. Pallid on ühesuurused ja katsudes eristamatud. Katse seisneb juhuslike pallide tõmbamises. Sündmus, mille tõenäosus tuleb leida, on see, et osa neist kuulidest on valged ja ülejäänud mustad.

Nummerdame kõik pallid ümber numbritega 1 kuni . Olgu numbrid 1, ¼ vastavad valgetele pallidele ja numbrid , ¼ vastavad mustadele pallidele. Selle katse elementaarne tulemus on komplekti järjestamata elementide kogum, st kombinatsioon by. Järelikult on kõik elementaarsed tulemused.

Leiame sündmuse toimumisele soodsate elementaarsete tulemuste arvu. Vastavad komplektid koosnevad “valgetest” ja “mustast” numbritest. Saate valida "valgete" numbrite hulgast numbreid kolmel viisil ja numbreid "mustade" numbrite hulgast ¾ viisil. Valge ja musta komplekti saab suvaliselt ühendada, seega on sündmuse jaoks ainult elementaarsed tulemused.

Sündmuse tõenäosus on

Saadud valemit nimetatakse hüpergeomeetriliseks jaotuseks.

Probleem 5.1. Karbis on 55 standardset ja 6 sama tüüpi defektset osa. Kui suur on tõenäosus, et kolmest juhuslikult valitud osast on vähemalt üks defektne?

Lahendus. Kokku on 61 osa, võtame 3. Elementaartulemus on kombinatsioon 61 korda 3. Kõikide elementaartulemuste arv on võrdne . Soodsad tulemused jagunevad kolme rühma: 1) need on tulemused, mille puhul 1 osa on defektne ja 2 on head; 2) 2 osa on defektsed ja 1 on hea; 3) kõik 3 osa on defektsed. Esimest tüüpi hulkade arv on võrdne , teist tüüpi kogumite arv on võrdne ja kolmanda tüübi komplektide arv on võrdne . Järelikult soosivad sündmuse toimumist elementaarsed tulemused. Sündmuse tõenäosus on

Sündmuste algebra

Elementaarsete sündmuste ruum on kõigi antud kogemusega seotud elementaarsete tulemuste kogum.

Summa kahte sündmust nimetatakse sündmuseks, mis koosneb sündmuse või sündmuse juurde kuuluvatest elementaarsetest tulemustest.

Töö kahte sündmust nimetatakse sündmuseks, mis koosneb elementaarsetest tulemustest, mis kuuluvad samaaegselt sündmuste ja .

Sündmusi ja nimetatakse ühildumatuteks, kui .

Üritus on nn vastupidine sündmus, kui sündmust soosivad kõik need elementaarsed tulemused, mis sündmuse juurde ei kuulu. Eriti, , .

SUMMATEOREEM.

Eriti, .

Tinglik tõenäosus sündmust, eeldusel, et sündmus leidis aset, nimetatakse ristumiskohale kuuluvate elementaartulemite arvu suhteks rühma kuuluvate elementaartulemuste arvuga. Teisisõnu, tingimuslik tõenäosus sündmus määratakse klassikalise tõenäosuse valemiga, milles uus tõenäosusruum on . Sündmuse tingimuslikku tõenäosust tähistatakse .

Toote TEOREEM. .

Sündmused on nn sõltumatu, Kui. Sõltumatute sündmuste korral annab korrutiteoreem seose .

Summa- ja korrutisteoreemide tagajärg on kaks järgmist valemit.

Kogu tõenäosuse valem. Täielik hüpoteeside rühm on suvaline kokkusobimatute sündmuste kogum , , ¼, , mis koos moodustavad kogu tõenäosusruumi:

Sellises olukorras kehtib suvalise sündmuse korral valem, mida nimetatakse kogu tõenäosuse valemiks,

kus on funktsioon Laplace... Laplace'i funktsioon on tabelina ja selle väärtused, kui antud väärtus on antud, leiate igast tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika õpikust.

Probleem 5.3. Teadaolevalt on suures partiides osade defekte 11%. Testimiseks valitakse 100 osa. Kui suur on tõenäosus, et nende hulgas ei ole rohkem kui 14 defektset? Hinnake vastust Moivre-Laplace'i teoreemi abil.

Lahendus. Tegeleme testiga Bernoulli, Kus , , . Eduks loetakse defektse osa avastamist ja õnnestumiste arv rahuldab ebavõrdsust. Seega

Otsene arvutus annab:

, , , , , , , , , , , , , , .

Seega,. Nüüd rakendame Moivre-Laplace'i integraaliteoreemi. Saame:

Funktsiooni väärtuste tabeli abil, võttes arvesse funktsiooni veidrust, saame

Ligikaudse arvutuse viga ei ületa .

Juhuslikud muutujad

Juhuslik suurus on tõenäosusliku katse arvuline karakteristik, mis on elementaarsete tulemuste funktsioon. Kui , , ¼ on elementaarsete tulemuste hulk, siis on juhuslik muutuja funktsioon . Mugavam on aga juhuslikku muutujat iseloomustada, loetledes kõik selle võimalikud väärtused ja tõenäosused, millega ta selle väärtuse võtab.

Sellist tabelit nimetatakse juhusliku suuruse jaotusseaduseks. Kuna sündmused moodustavad tervikliku rühma, on tõenäosusliku normaliseerimise seadus täidetud

Juhusliku suuruse matemaatiline ootus ehk keskmine väärtus on arv, mis võrdub juhusliku suuruse väärtuste ja vastavate tõenäosuste korrutistega.

Juhusliku muutuja dispersioon (väärtuste hajumise määr ümber matemaatilise ootuse) on oodatud väärtus juhuslik muutuja,

Seda saab näidata

Suurusjärk

nimetatakse juhusliku suuruse keskmiseks ruuthälbeks.

Juhusliku muutuja jaotusfunktsioon on hulka sattumise tõenäosus, st

See on mittenegatiivne, mitte-kahanev funktsioon, mis võtab väärtusi 0-st 1-ni. Juhusliku muutuja puhul, millel on lõplik väärtuste hulk, on see tükkhaaval konstantne funktsioon, millel on olekupunktides teist tüüpi katkestused. Veelgi enam, ja on pidev vasakul.

Probleem 5.4. Visatakse kaks täringut järjest. Kui ühele täringule ilmub üks, kolm või viis punkti, kaotab mängija 5 rubla. Kui visatakse kaks või neli punkti, saab mängija 7 rubla. Kuue punkti viskamisel kaotab mängija 12 rubla. Juhuslik väärtus x on mängija tasu kahe täringuviske eest. Leidke levitamise seadus x, joonistage jaotusfunktsioon, leidke matemaatiline ootus ja dispersioon x.

Lahendus. Mõelgem esmalt sellele, millega võrdub mängija võidud täringu viskamisel. Olgu sündmus nii, et visatakse 1, 3 või 5 punkti. Siis on võidud rublad. Olgu sündmus nii, et visatakse 2 või 4 punkti. Siis on võidud rublad. Lõpuks tähendagu sündmus 6 viskamist. Siis võrdub võidud rubladega.

Nüüd kaalume kõiki võimalikke sündmuste kombinatsioone ja kahe täringuheitega ning määrame iga sellise kombinatsiooni võiduväärtused.

Kui sündmus toimus, siis samal ajal.

Samamoodi, kui saame , .

Kirjutame kõik leitud olekud ja nende olekute kogutõenäosused tabelisse:

Kontrollime tõenäosusliku normaliseerimise seaduse täitmist: reaaljoonel peate suutma määrata tõenäosuse, et juhuslik suurus langeb sellesse intervalli 1) ja väheneb kiiresti ¼,