Polünoomi laiendamine üle reaalarvude välja. Kompleksarvude algebra fundamentaalteoreem

Polünoomide taandatavus oleneb väljast, mille üle neid vaadeldakse. Polünoom on taandamatu (polünoom, mida ei saa faktoreerida madalama astme teguriteks) väljal Q ja taandatav väljal R.

Redutseerimata polünoomide omadused:

1. Nullkraadi polünoom on taandatav mis tahes välja ulatuses
2. Kui polünoom f(x) ei ole üle põllu vähendatav R, siis polünoom a f(x) ei ole samuti üle põllu vähendatav R.
3. Olgu polünoomid f (x) Ja p(x) üle põllu R, ja p(x) – põllu kohal taandamatu R, siis on juhtumid võimalikud

1) polünoomid f (x) Ja p(x) on suhteliselt parimad

2) f(x):(täiesti) p(x)

Välja on algebraliselt suletud, kui sellel väljal oleval polünoomil, mis ei võrdu konstandiga, on vähemalt üks juur. Bezouti teoreemist järeldub kohe, et sellise välja kohal saab iga mittekonstantse polünoomi lagundada lineaarsete tegurite korrutiseks. Selles mõttes on algebraliselt suletud väljad struktuurilt lihtsamad kui mittealgebraliselt suletud väljad. Teame, et reaalarvude väljal ei ole igal ruutkolminoomil juurt, seega ei ole väli ℝ algebraliselt suletud. Selgub, et algebralisest suletusest jääb tal napilt puudu. Teisisõnu: lahendades näiliselt erilise võrrandi ülesande, lahendasime samaaegselt ka kõik teised polünoomvõrrandid.

ALGEBRA PÕHITEOREEM. Igal polünoomil väljal ℂ, mis ei võrdu konstandiga, on vähemalt üks kompleksjuur.

UURIMINE. Saame laiendada mis tahes polünoomi, mis ei ole võrdne konstandiga, kompleksarvude väljal lineaarsete tegurite korrutiseks:

Siin on polünoomi juhtiv koefitsient, kõik polünoomi erinevad kompleksjuured ja nende kordused. Võrdsus tuleb rahuldada

Järelduse tõestuseks on polünoomi astme lihtne induktsioon.

Teiste väljade ees pole olukord polünoomide lagundatavuse osas nii hea. Polünoomi nimetatakse taandamatuks, kui esiteks ei ole see konstant ja teiseks ei saa seda lagundada madalama astme polünoomide korrutiseks. On selge, et iga lineaarne polünoom (mis tahes välja kohal) on taandamatu. Järelduse saab ümber sõnastada järgmiselt: taandamatud polünoomid kompleksarvude väljal, millel on juhtiv ühikkordaja (teisisõnu: unitaar), ammendavad polünoomid kujul ().

Ruuttrinoomi lagunevus on võrdne vähemalt ühe juure olemasoluga. Teisendades võrrandi vormiks, järeldame, et ruuttrinoomi juur eksisteerib siis ja ainult siis, kui diskriminant on välja K mõne elemendi ruut (siin eeldame, et väljal K on 2≠ 0). Siit saame

PAKKUMINE. Ruuttrinoom väljal K, milles 2≠ 0 on taandamatu siis ja ainult siis, kui sellel ei ole juure väljas K. See on samaväärne asjaoluga, et diskriminant ei ole välja K ühegi elemendi ruut. , reaalarvude välja kohal ruuttrinoom Redutseerimata siis ja ainult siis.

Seega on reaalarvude väljal vähemalt kahte tüüpi taandamatuid polünoome: lineaarne ja ruut- ning negatiivne diskriminant. Selgub, et need kaks juhtumit ammendavad taandamatute polünoomide hulga üle ℝ.

TEOREEM. Saame lagundada mis tahes polünoomi reaalarvude väljal lineaarsete tegurite ja ruuttegurite korrutiseks negatiivsete diskrimineerijatega:

Siin on kõik polünoomi erinevad reaaljuured, nende kordused, kõik diskriminandid on väiksemad kui null ja ruuttrinoomid on kõik erinevad.

Kõigepealt tõestame lemmat

LEMMA. Kui mõne puhul, siis on konjugeeritud arv ka polünoomi juur.

Tõestus. Olgu ja on polünoomi kompleksjuur. Siis

kus kasutasime mate omadusi. Seega,. Seega on see polünoomi juur. □

Teoreemi tõestus. Piisab tõestada, et iga reaalarvude väljas olev taandamatu polünoom on negatiivse diskriminandiga lineaarne või ruutkeskne. Laskma olla taandamatu polünoom ühiku juhtivate koefitsientidega. Juhul, kui saame kohe mõne tõelise. Teeskleme seda. Tähistame selle polünoomi mis tahes kompleksjuurega, mis eksisteerib kompleksarvude algebra põhiteoreemi järgi. Kuna see on taandamatu, siis (vt Bezouti teoreem). Siis on lemma järgi polünoomi teine ​​juur, mis erineb.

Polünoomil on reaalkoefitsiendid. Lisaks jagab Bezouti teoreemi järgi. Kuna see on taandamatu ja sellel on ühikuline juhtkoefitsient, saame võrdsuse. Selle polünoomi diskriminant on negatiivne, kuna vastasel juhul oleks sellel reaalsed juured.□

NÄITED. A. Jagame polünoomi taandamatuteks teguriteks. Konstandiliikme 6 jagajate hulgast otsime polünoomi juuri. Veendume, et 1 ja 2 on juured. Seega jagatakse polünoom arvuga. Olles jaganud, leiame

Lõplik laiendus üle välja, kuna ruuttrinoomi diskriminant on negatiivne ja seetõttu ei saa seda reaalarvude väljale edasi laiendada. Saame sama polünoomi laienduse kompleksarvude väljale, kui leiame ruuttrinoomi kompleksjuured. Need on põhiolemus. Siis

Selle polünoomi laiendus

B. Laiendame reaal- ja kompleksarvude väljasid. Kuna sellel polünoomil pole pärisjuuri, saab selle negatiivsete diskriminantidega lagundada kaheks ruuttrinoomiks

Kuna see polünoomiga asendamisel ei muutu, siis sellise asendusega peab ruuttrinoom sisse minema ja vastupidi. Siit. Võrdsustades koefitsiente saame Eelkõige . Seejärel eraldame seosest (saadud asendusega ja lõpuks . Niisiis,

Reaalarvude välja laiendamine.

Selle polünoomi laiendamiseks kompleksarvude peale lahendame võrrandi või. On selge, et juured tulevad. Me saame kõik erinevad juured. Seega

Kompleksarvude laiendamine. Lihtne arvutada

ja saame teise lahenduse polünoomi laiendamise ülesandele üle reaalarvude välja.

Töö lõpp -

See teema kuulub jaotisesse:

Fundamentaal- ja arvutialgebra

Sissejuhatus.. kursuse fundamentaal- ja arvutialgebra on mõeldud rakendusmatemaatika eriala üliõpilastele..

Kui vajate sellel teemal lisamaterjali või te ei leidnud seda, mida otsisite, soovitame kasutada otsingut meie tööde andmebaasis:

Mida teeme saadud materjaliga:

Kui see materjal oli teile kasulik, saate selle oma sotsiaalvõrgustike lehele salvestada:

Kõik selle jaotise teemad:

N. I. Dubrovin
Spasski asula 2012 Sisukord Sissejuhatus. 4 Sümbolite ja terminite loend. 5 1 Natuke BASICist. 6 2 Naiivne hulgateooria. 9

Natuke BASICist
Matemaatikas käsitletakse selliseid objekte nagu erineva iseloomuga arvud (looduslikud, täisarv, ratsionaalne, reaalne, kompleksne), ühe ja mitme muutuja polünoomid, maatriksid

Naiivne hulgateooria
Matemaatiline tekst koosneb definitsioonidest ja väidetest. Mõnda väidet, olenevalt nende tähtsusest ja seosest teiste väidetega, nimetatakse üheks järgmistest terminitest:

Descartes'i tooted
Järjestatud paar või lihtsalt elementide paar on matemaatika üks põhikonstruktsioone. Võite seda ette kujutada kahe kohaga riiulina – esimene ja teine. Väga sageli matemaatikas seda ei ole

Täisarvud
Arve (1,2,3,...), mida saab liitmise teel saada ühest, nimetatakse naturaalarvudeks ja neid tähistatakse ℕ-ga. Naturaalarvude aksiomaatiline kirjeldus võib olla selline (vt.

Rekursioon
Alates aksioomidest N1-N3 kuni algkoolist kõigile tuttavate naturaalarvude liitmise ja korrutamise operatsioonideni, naturaalarvude omavaheliste võrdlemiseni ja vormi omadustega “terminite kohtade ümberpööramisest summa ei

Järjekord naturaalarvude hulgal
Komplektil on lineaarne järjestusseos. Ütleme nii, et n

Naturaalarvude jaguvus
Naturaalarvude valdkonnas ei ole jagamistehte alati võimalik. See annab meile õiguse juurutada jaguvusseos: oletame, et arv n jagab arvu m, kui m=nk mõne sobiva k∈ korral

Täisarvude jagatavus
Tähistame täisarvude ringiga --. Mõiste "rõngas" tähendab, et tegemist on hulga R-ga, millele on antud kaks tehet - liitmine ja korrutamine, järgides teadaolevaid seadusi.

Eukleidese algoritm
Antud on täisarvude paar (m,n). Me loeme n jäägiks arvuga 1. Eukleidilise algoritmi esimene samm on jagada m n-ga jäägiga ja seejärel jagada jääk äsja saadud jäägiga, kuni see äsja saadud

Eukleidilise algoritmi maatrikstõlgendus
Anname eukleidilisele algoritmile maatriksitõlgenduse (maatriksite kohta vaata järgmist lõiku). Kirjutame jagamiste jada jäägiga ümber maatriksi kujul: Asendamine igas

Loogika elemendid
Matemaatikud tegelevad objektidega, nagu näiteks arvud, funktsioonid, maatriksid, tasapinna sirged jne, ning tegelevad ka väidetega. Lause on mingi narratiiv

Ekspressiivsed vormid
Kas väljend on väide? Ei, see kirje on ühe muutuja väljendusvorm. Kui asendame muutuja asemel kehtivad väärtused, saame erinevaid väiteid

Maatriksalgebra
Maatriksalgebra rõnga R kohal (R on täisarvude ring, ratsionaalarvude väli, reaalarvude väli) on kõige laialdasemalt kasutatav algebraline süsteem koos tehtekogumiga

Determinandid
Ruutmaatriksi A determinant on selle numbriline karakteristik, mida tähistatakse või. Alustame väikesemõõtmeliste maatriksite 1,2,3 determinantidega: MÄÄRATLUS. Pu

Lineaartasandi teisendused
On teada, et tasandi ϕ mis tahes teisendus, säilitades kaugusi, on kas paralleelne translatsioon vektoriks või pööramine ümber punkti O nurga α võrra või sümmeetria sirge suhtes.

Keerulised numbrid
Selles jaotises uurime ainult ühte välja - kompleksarvude välja ℂ. Geomeetrilisest vaatenurgast on see tasapind ja algebralisest vaatenurgast on see

Kompleksarvude välja konstrueerimine
Tegelikult oleme kompleksarvude välja juba eelmises lõigus konstrueerinud. Seoses kompleksarvude valdkonna erakordse tähtsusega esitame selle otsese konstruktsiooni. Kaaluge ruumi koos

Kompleksarvude konjugeerimine
Kompleksarvude väli annab meile uue omaduse - mitteidentse pideva automorfismi olemasolu (isomorfism iseendale). Kompleksarvu nimetatakse konjugaadiks ja kaardiks

Kompleksarvude kirjutamise trigonomeetriline vorm
Esitame kompleksarvu vektorina. Selle vektori pikkus, s.o. suurust nimetatakse kompleksarvu mooduliks ja seda tähistatakse. Kogust nimetame numbri normiks, vahel on mugavam kasutada e

Kompleksne eksponent
Lõike reegel (2) annab meile õiguse määrata puhtalt imaginaarse arvu astendaja: Sel viisil defineeritud funktsioonil on tõepoolest järgmised omadused: &

Ruutvõrrandite lahendamine
Lineaarsel polünoomil on alati juur. Ruuttrinoomil ei ole enam alati juured üle reaalarvude välja. Laskma olema ruuttrinomiaal üle valdkonnas kompleksarvud (). Konvoi

Ekvivalentsuseose teoreem
Olgu “ ” ekvivalentsuhe hulgal M. Elemendi puhul tähistame seda ekvivalentsusklassiga. Seejärel jagatakse hulk M ekvivalentklasside liiduks; iga element alates M at

Täisarvude ringi kohal asuvat polünoomi nimetatakse primitiivne, kui selle kordajate suurim ühisjagaja on 1. Ratsionaalkoefitsientidega polünoom esitatakse üheselt positiivse ratsionaalarvu korrutisena, nn. sisu polünoom ja primitiivne polünoom. Primitiivsete polünoomide korrutis on primitiivne polünoom. Sellest faktist järeldub, et kui täisarvu koefitsientidega polünoom on taandatav üle ratsionaalarvude välja, siis on see taandatav üle täisarvude ringi. Seega taandub probleem polünoomi faktoriseerimisega taandamatuteks teguriteks ratsionaalarvude väljal sarnaseks täisarvude rõnga probleemiks.

Olgu polünoom täisarvu koefitsientide ja sisuga 1 ning olgu selle ratsionaalne juur. Kujutleme polünoomi juurt taandamatu murruna. Polünoom f(x) on esitatud primitiivsete polünoomide korrutisena. Seega

A. lugeja on jagaja,

B. nimetaja – jagaja

C. mis tahes täisarvu jaoks k tähenduses f(k) – täisarv, mis jagub ilma jäägita arvuga ( bk-a).

Loetletud omadused võimaldavad meil taandada polünoomi ratsionaalsete juurte leidmise probleemi lõplikule otsingule. Sarnast lähenemist kasutatakse polünoomi laiendamisel f taandamatutele teguritele üle ratsionaalarvude välja, kasutades Kroneckeri meetodit. Kui polünoom f(x) kraadi n on antud, siis ühe teguri aste ei ole kõrgem kui n/2. Tähistame seda tegurit tähega g(x). Kuna kõik polünoomide koefitsiendid on täisarvud, siis iga täisarvu puhul a tähenduses f(a) jagub ilma jäägita arvuga g(a). Valime m= 1+n/2 erinevat täisarvu a mina, i=1,…,m. Numbrite jaoks g(a i) võimalusi on lõplik arv (igasuguse nullist erineva arvu jagajate arv on lõplik), seetõttu on olemas lõplik arv polünoome, mis võivad olla jagajad f(x). Pärast täielikku otsingut näitame polünoomi taandamatust või laiendame selle kahe polünoomi korrutiseks. Rakendame näidatud skeemi igale tegurile, kuni kõik tegurid muutuvad taandamatuteks polünoomideks.

Mõnede polünoomide taandamatust ratsionaalarvude väljas saab kindlaks teha lihtsa Eisensteini kriteeriumi abil.

Lase f(x) on täisarvude ringi kohal olev polünoom. Kui on olemas algarv lk, Mida

I. Kõik polünoomi koefitsiendid f(x), lisaks kõrgeima astme koefitsiendile jagunevad lk

II. Kõrgeima astme koefitsient ei ole jagatav lk

III. Vabaliige ei jagune

Siis polünoom f(x) on ratsionaalarvude väljal taandamatu.

Tuleb märkida, et Eisensteini kriteerium annab küllaldased tingimused polünoomide taandatamatuseks, kuid mitte vajalikeks. Seega on polünoom ratsionaalarvude väljal taandamatu, kuid ei täida Eisensteini kriteeriumi.

Polünoom on Eisensteini kriteeriumi järgi taandamatu. Järelikult on ratsionaalarvude väljal taandamatu astmepolünoom n, Kus n mis tahes naturaalarv, mis on suurem kui 1.

Väidetakse, et väli F on algebraliselt suletud, kui mis tahes polünoomil, mis on positiivse astmega üle F, on juur F-s.

Teoreem 5.1 (polünoomialgebra põhiteoreem). Kompleksarvude väli on algebraliselt suletud.

Tagajärg 5 .1.1. Eespool KOOS On ainult esimese astme taandamatud polünoomid.

Järeldus 5.1.2. Polünoom n- kõrgem aste KOOS Sellel on n keerulised juured.

Teoreem 5.2. If on polünoomi kompleksjuur f reaalkoefitsientidega, siis on ka komplekskonjugaatarv juur f.

Tagajärg 5 .2.1. Eespool R On ainult esimese või teise astme taandamatuid polünoome.

Järeldus 5.2.2. Polünoomi üle kujuteldavad juured R lagunevad komplekssete konjugaatide paarideks.

Näide 5.1. Tegur taandamatuteks teguriteks üle KOOS ja üleval R polünoom x 4 + 4.

Lahendus. Meil on

x 4 + 4 =x 4 + 4X 2 + 4 – 4X 2 = (x 2 + 2) 2 – 4X 2 = (x 2 – 2X+ 2)(x 2 + 2X+ 2) –

laienemine üle R. Olles tavapärasel viisil leidnud sulgudest teise astme polünoomide kompleksjuured, saame laienduse üle KOOS:

x 4 + 4 = (x – 1 – i) (x – 1 + i) (x + 1 – i) (x + 1 + i).

Näide 5.2. Koostage väikseima astme polünoom reaalkoefitsientidega, mille juured on 2 ja 1 + i.

Lahendus. Järeldus 5.2.2 kohaselt peavad polünoomi juured olema 2, 1 – i ja 1+ i. Selle koefitsiendid saab leida Vieta valemite abil:

 1 = 2 + (1 – i) + (1 +i) = 4;

 2 = 2 (1 – i) + 2(1 + i) + (1 – i)(1 + i) = 6;

 3 = 2 (1 – i)(1 + i) = 4.

Siit f =x 3 – 4x 2 + 6x– 4.

Harjutused.

5.1. Tegur taandamatuteks teguriteks üle KOOS ja üleval R polünoomid:

A) X 3 – 6X 2 + 11X – 6;

b) X 4 – 10X 2 + 1.

5.2. Koostage väikseima astme polünoom reaalkoefitsientidega, mille topeltjuur on 1 ja lihtjuur 1–2 i.

6. Polünoomid üle ratsionaalarvude välja

Teoreem 6.1 (Eisensteini kriteerium). Lase f = a 0 + a 1 x + ...+ a n x n– täisarvu koefitsientidega polünoom. Kui on selline algarv lk, Mida a 0 , a 1 , … , a n-1 on jagatud lk, a n ei jagatav lk,a 0 ei jagu arvuga lk 2, siis f ei ole taandatav üle ratsionaalarvude välja.

Harjutus 6.1. Tõesta taandamatus läbi K polünoomid:

A) f= 2X 5 + 3X 4 – 9X 3 – 6X+ 3;b) f= 5X 4 + 6X 3 – 18X 2 – 12X + 54.

Teoreem 6.2. Lase – taandumatu murd, mis on polünoomi juur f = a 0 + a 1 x + … + a n x n täisarvu koefitsientidega. Siis

a 0  lk, a n  q;

f(1)  p–q,f(–1)  p+q.

See teoreem võimaldab meil lahendada täisarvuliste kordajatega polünoomi ratsionaalsete juurte leidmise probleemi. Selleks määrame kõik vabaliikme ja juhtkoefitsiendi jagajad ning konstrueerime neist kõikvõimalikke taandamatuid murde. Kõik ratsionaalsed juured sisalduvad nendes fraktsioonides. Nende määramiseks võite kasutada Horneri skeemi. Et vältida selles tarbetuid arvutusi, kasutame teoreemi 6.2 väidet 2).

Näide 6.1. Leia polünoomi ratsionaalsed juured

f = 2X 4 + 7X 3 + 3X 2 – 15X– 18.

Lahendus. Kirjutame üles kõik murrud, mille lugejad on lk – jagajad on 18 ja nimetajad q– jaoturid 2:

1, –1, 2, –2, 3, –3, 6, –6, 9, –9, 18, –18,
,
,
.

Kontrollime neid Horneri skeemi järgi:

Juure leidmine X 1 = –2 ja jagades polünoomi arvuga X+ 2, saame polünoomi uue vaba liikmega –9 (selle koefitsiendid on alla joonitud). Ülejäänud juurte lugejad peavad olema selle arvu jagajad ja murdu, mis sellele tingimusele ei vasta, võib loendist välja jätta. Ülejäänud täisarvud jäetakse välja, kuna need ei vasta tingimusele f(1)lk – q või f(–1)lk + q. Näiteks 3 jaoks on meil lk = 3, q= 1 ja tingimus ei ole täidetud f(1) = –21lk – q(sama, mis teine ​​tingimus).

Samamoodi juure leidmine X 2 = 3/2, saime polünoomi uue vaba liikmega 3 ja juhtkoefitsiendiga 1 (kui juur on murdosa, tuleks saadud polünoomi kordajaid vähendada). Ükski loendist allesjäänud arv ei saa enam olla selle juur ja ratsionaalsete juurte loend on ammendatud.

Leitud juurte paljusust tuleks kontrollida.

Kui lahendamise käigus jõudsime teise astme polünoomini ja murdude loend pole veel ammendatud, siis ülejäänud juured saab leida tavaliste valemite abil ruuttrinoomi juurtena.

Harjutus 6.2. Leia polünoomi ratsionaalsed juured

A) X 3 – 6X 2 + 15X– 14;

b) X 5 – 7X 3 – 12X 2 + 6X+ 36;

kell 2 X 4 – 11X 3 + 23X 2 – 24X+ 12;

d) 4 X 4 – 7X 2 – 5X– 1.