Ratsionaal- ja irratsionaalarvud. Irratsionaalsed arvud: mis need on ja milleks neid kasutatakse? Kuidas tõestada, et väljend on irratsionaalne

Irratsionaalarvu definitsioon

Irratsionaalsed arvud on need arvud, mis kümnendsüsteemis tähistavad lõputuid mitteperioodilisi kümnendmurde.

Näiteks naturaalarvude ruutjuure võtmisel saadud arvud on irratsionaalsed ega ole naturaalarvude ruudud. Kuid mitte kõiki irratsionaalseid numbreid ei saada ruutjuurte võtmisega, sest ka jagamisel saadud arv pi on irratsionaalne ja tõenäoliselt ei saa te seda naturaalarvu ruutjuure eraldamisel.

Irratsionaalarvude omadused

Erinevalt arvudest, mis on kirjutatud lõpmatu kümnendkohana, kirjutatakse ainult irratsionaalsed arvud mitteperioodiliste lõpmatute kümnendkohtadena.
Kahe mittenegatiivse irratsionaalarvu summa võib lõpuks saada ratsionaalarvuks.
Irratsionaalarvud defineerivad Dedekindi kärpeid ratsionaalarvude hulgas, mille alumises klassis pole suurimat arvu ja ülemises klassis pole väiksemat.
Iga tõeline transtsendentaalne arv on irratsionaalne.
Kõik irratsionaalsed arvud on kas algebralised või transtsendentaalsed.
Irratsionaalarvude hulk sirgel paikneb tihedalt ja selle mis tahes kahe arvu vahel on kindlasti irratsionaalarv.
Irratsionaalarvude hulk on lõpmatu, loendamatu ja on 2. kategooria hulk.
Ratsionaalarvudega mis tahes aritmeetilise toimingu sooritamisel, välja arvatud 0-ga jagamine, on tulemuseks ratsionaalarv.
Lisades irratsionaalarvule ratsionaalarvu, on tulemuseks alati irratsionaalarv.
Irratsionaalarvude liitmisel võime saada ratsionaalarvu.
Irratsionaalarvude hulk pole paaris.

Numbrid ei ole irratsionaalsed

Mõnikord on üsna raske vastata küsimusele, kas arv on irratsionaalne, eriti juhtudel, kui arv on kümnendmurru kujul või arvavaldise, juure või logaritmi kujul.

Seetõttu ei ole üleliigne teada, millised arvud pole irratsionaalsed. Kui järgida irratsionaalarvude definitsiooni, siis me juba teame, et ratsionaalarvud ei saa olla irratsionaalsed.

Irratsionaalsed arvud ei ole:

Esiteks kõik naturaalarvud;
Teiseks täisarvud;
Kolmandaks harilikud murrud;
Neljandaks erinevad seganumbrid;
Viiendaks, need on lõpmatud perioodilised kümnendmurrud.

Lisaks kõigele eelnevale ei saa irratsionaalarv olla mistahes ratsionaalarvude kombinatsioon, mida sooritavad aritmeetiliste tehtete märgid, näiteks +, -, , :, kuna sel juhul on ka kahe ratsionaalarvu tulemus ratsionaalne arv.

Nüüd vaatame, millised arvud on irratsionaalsed:

Kas teate fänniklubi olemasolust, kus selle salapärase matemaatilise nähtuse fännid otsivad Pi kohta üha rohkem teavet, püüdes selle saladust lahti harutada? Selle klubi liikmeks võib saada igaüks, kes teab peast teatud arvu Pi-arve pärast koma;

Kas teadsite, et Saksamaal asub UNESCO kaitse all Castadel Monte palee, tänu mille proportsioonidele saab arvutada Pi. Kuningas Frederick II pühendas sellele numbrile kogu palee.

Selgub, et nad üritasid Paabeli torni ehitamisel kasutada numbrit Pi. Kuid kahjuks viis see projekti kokkuvarisemiseni, kuna sel ajal ei uuritud Pi väärtuse täpset arvutamist piisavalt.

Laulja Kate Bush salvestas oma uuele plaadile laulu nimega "Pi", milles kõlas sada kakskümmend neli numbrit kuulsast numbrisarjast 3, 141….

Selle artikli materjal annab esialgse teabe selle kohta irratsionaalsed arvud. Kõigepealt anname irratsionaalarvude definitsiooni ja selgitame seda. Allpool toome näiteid irratsionaalsetest arvudest. Lõpuks vaatame mõningaid lähenemisviise, kuidas välja selgitada, kas antud arv on irratsionaalne või mitte.

Leheküljel navigeerimine.

Irratsionaalarvude definitsioon ja näited

Kümnendkohtade uurimisel käsitlesime eraldi lõpmatuid mitteperioodilisi kümnendkohti. Sellised murrud tekivad ühikulise segmendiga võrreldamatute segmentide kümnendkoha pikkuste mõõtmisel. Samuti märkisime, et lõpmatuid mitteperioodilisi kümnendmurde ei saa teisendada tavalisteks murdudeks (vt harilike murdude teisendamine kümnendmurdudeks ja vastupidi), seetõttu ei ole need arvud ratsionaalarvud, vaid kujutavad endast nn irratsionaalarvu.

Nii et me jõuame irratsionaalarvude määratlus.

Definitsioon.

Nimetatakse arve, mis esindavad kümnendsüsteemis lõpmatuid mitteperioodilisi kümnendmurde irratsionaalsed arvud.

Hääldatud määratlus võimaldab meil anda näiteid irratsionaalarvudest. Näiteks lõpmatu mitteperioodiline kümnendmurd 4,10110011100011110000... (ühte ja nullide arv suureneb iga kord ühe võrra) on irratsionaalne arv. Toome veel ühe näite irratsionaalarvust: −22,353335333335... (kaheksaid eraldavate kolmede arv suureneb iga kord kahe võrra).

Tuleb märkida, et irratsionaalseid numbreid leidub lõputute mitteperioodiliste kümnendmurdude kujul üsna harva. Tavaliselt leidub neid kujul , jne, aga ka spetsiaalselt sisestatud tähtede kujul. Tuntuimad näited irratsionaalarvudest selles tähistuses on kahe aritmeetiline ruutjuur, arv “pi” π=3,141592..., arv e=2,718281... ja kuldne arv.

Irratsionaalarvusid saab defineerida ka reaalarvude kaudu, mis ühendavad ratsionaal- ja irratsionaalarvud.

Definitsioon.

Irratsionaalsed arvud on reaalarvud, mis ei ole ratsionaalarvud.

Kas see arv on irratsionaalne?

Kui arv on antud mitte kümnendmurruna, vaid mingi juure, logaritmi vms kujul, siis küsimusele, kas see on irratsionaalne, on paljudel juhtudel üsna keeruline vastata.

Kahtlemata on püstitatud küsimusele vastates väga kasulik teada, millised arvud pole irratsionaalsed. Irratsionaalarvude definitsioonist järeldub, et irratsionaalarvud ei ole ratsionaalarvud. Seega irratsionaalsed arvud EI OLE:

• lõplikud ja lõpmatud perioodilised kümnendmurrud.

Samuti ei ole irratsionaalarv igasugune aritmeetiliste tehtemärkidega (+, −, ·, :) ühendatud ratsionaalarvude kompositsioon. Seda seetõttu, et kahe ratsionaalarvu summa, erinevus, korrutis ja jagatis on ratsionaalarv. Näiteks avaldiste ja väärtused on ratsionaalarvud. Siinkohal märgime, et kui sellised avaldised sisaldavad ratsionaalarvude hulgas ühte irratsionaalarvu, siis on kogu avaldise väärtus irratsionaalarv. Näiteks avaldises on arv irratsionaalne ja ülejäänud arvud on ratsionaalsed, seega on see irratsionaalne arv. Kui see oleks ratsionaalne arv, siis järgneks arvu ratsionaalsus, kuid see pole ratsionaalne.

Kui arvu määrav avaldis sisaldab mitmeid irratsionaalarvu, juurmärke, logaritme, trigonomeetrilisi funktsioone, arve π, e jne, siis on igal konkreetsel juhul vaja tõestada antud arvu irratsionaalsust või ratsionaalsust. Siiski on mitmeid juba saadud tulemusi, mida saab kasutada. Loetleme peamised.

On tõestatud, et täisarvu k-s juur on ratsionaalarv ainult siis, kui juure all olev arv on muu täisarvu k-s järg, muul juhul määrab selline juur irratsionaalarvu. Näiteks arvud ja on irratsionaalsed, kuna pole olemas täisarvu, mille ruut oleks 7, ja pole täisarvu, mille viienda astmeni tõstmine annaks arvu 15. Ja numbrid ei ole irratsionaalsed, kuna ja .

Mis puutub logaritmidesse, siis mõnikord on võimalik nende irratsionaalsust tõestada ka vastuolu meetodil. Näitena tõestame, et log 2 3 on irratsionaalne arv.

Oletame, et log 2 3 on ratsionaalne arv, mitte irratsionaalne, st seda saab esitada hariliku murruna m/n. ja lubage meil kirjutada järgmine võrdsuste ahel: . Viimane võrdsus on võimatu, kuna selle vasakul küljel paaritu arv, ja paremal pool – isegi. Nii jõudsime vastuoluni, mis tähendab, et meie eeldus osutus valeks ja see tõestas, et log 2 3 on irratsionaalne arv.

Pange tähele, et lna iga positiivse ja mitteühe ratsionaalse a korral on irratsionaalne arv. Näiteks ja on irratsionaalsed arvud.

Samuti on tõestatud, et arv e a iga nullist erineva ratsionaalse a korral on irratsionaalne ja arv π z iga nullist erineva täisarvu z korral on irratsionaalne. Näiteks numbrid on irratsionaalsed.

Irratsionaalarvud on ka trigonomeetrilised funktsioonid sin, cos, tg ja ctg argumendi mis tahes ratsionaalse ja nullist erineva väärtuse korral. Näiteks sin1 , tan(−4) , cos5,7 on irratsionaalarvud.

On ka teisi tõestatud tulemusi, kuid piirdume juba loetletud tulemustega. Samuti tuleb öelda, et ülaltoodud tulemuste tõestamisel on teooria seotud algebralised arvud Ja transtsendentaalsed numbrid.

Kokkuvõtteks märgime, et antud arvude irratsionaalsuse osas ei tasu teha rutakaid järeldusi. Näiteks näib ilmne, et irratsionaalne arv on irratsionaalne arv. See ei ole aga alati nii. Väidetava fakti kinnitamiseks esitame kraadi. On teada, et - on irratsionaalne arv, ja on ka tõestatud, et - on irratsionaalne arv, kuid on ratsionaalne arv. Näiteid võib tuua ka irratsionaalarvude kohta, mille summa, vahe, korrutis ja jagatis on ratsionaalarvud. Pealegi pole veel tõestatud arvude π+e, π−e, π·e, π π, π e ja paljude teiste ratsionaalsus või irratsionaalsus.

Viited.

• matemaatika. 6. klass: hariv. üldhariduse jaoks institutsioonid / [N. Ja Vilenkin ja teised]. - 22. väljaanne, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 lk.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra:õpik 8. klassi jaoks. üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toimetanud S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M.: Haridus, 2008. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumidesse kandideerijatele): Proc. abiraha.- M.; Kõrgem kool, 1984.-351 lk, ill.

Näide:
\(4\) on ratsionaalarv, kuna selle saab kirjutada kujul \(\frac(4)(1)\) ;
\(0,0157304\) on ka ratsionaalne, sest seda saab kirjutada kujul \(\frac(157304)(10000000)\) ;
\(0,333(3)...\) - ja see on ratsionaalne arv: saab esitada kujul \(\frac(1)(3)\) ;
\(\sqrt(\frac(3)(12))\) on ratsionaalne, kuna seda saab esitada kujul \(\frac(1)(2)\) . Tõepoolest, saame läbi viia teisenduste ahela \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(= \) \ (\frac(1)(2)\)

Irratsionaalne arv on arv, mida ei saa kirjutada täisarvulise lugeja ja nimetajaga murruna.

See on võimatu, sest see on lõputu murrud ja isegi mitteperioodilised. Seetõttu pole täisarve, mis üksteisega jagamisel annaksid irratsionaalarvu.

Näide:
\(\sqrt(2)≈1,414213562…\) on irratsionaalne arv;
\(π≈3,1415926… \) on irratsionaalne arv;
\(\log_(2)(5)≈2,321928…\) on irratsionaalne arv.

Näide (Ülesanne OGE-lt). Millise avaldise tähendus on ratsionaalarv?
1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
2)\((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))\);
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).

Lahendus:

1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) – \(14\) juurt ei saa võtta, mis tähendab, et arvu on võimatu esitada täisarvudega murdosana, seetõttu on arv irratsionaalne.

2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5\) – juure ei jää, arvu saab lihtsalt murdena esitada, näiteks \(\frac(-5)(1)\), mis tähendab, et see on ratsionaalne.

3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11)\) – juurt ei saa välja tõmmata – arv on irratsionaalne.

4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)\) on samuti irratsionaalne.

Mis on irratsionaalsed arvud? Miks neid nii kutsutakse? Kus neid kasutatakse ja mis need on? Vähesed inimesed suudavad neile küsimustele mõtlemata vastata. Kuid tegelikult on vastused neile üsna lihtsad, kuigi kõik ei vaja neid ja väga harvadel juhtudel

Olemus ja tähistus

Irratsionaalarvud on lõpmatud mitteperioodilised arvud. Selle mõiste kasutuselevõtu vajadus tuleneb asjaolust, et tekkivate uute probleemide lahendamiseks ei piisanud enam varem eksisteerinud reaal- või reaalarvude, naturaal- ja ratsionaalarvude mõistetest. Näiteks selleks, et arvutada, milline suurus on 2 ruut, peate kasutama mitteperioodilisi lõpmatuid kümnendkohti. Lisaks pole paljudel lihtsatel võrranditel lahendust ka irratsionaalarvu kontseptsiooni tutvustamata.

Seda komplekti tähistatakse kui I. Ja nagu juba selge, ei saa neid väärtusi esitada lihtmurruna, mille lugeja on täisarv ja nimetaja on

Esimest korda puutusid India matemaatikud selle nähtusega ühel või teisel viisil kokku 7. sajandil, kui avastati, et mõne suuruse ruutjuuri ei saa selgesõnaliselt näidata. Ja esimene tõend selliste arvude olemasolu kohta omistatakse Pythagorase Hippasusele, kes tegi seda võrdhaarse täisnurkse kolmnurga uurimisel. Mõned teised enne meie ajastut elanud teadlased andsid selle komplekti uurimisele tõsise panuse. Irratsionaalsete arvude kontseptsiooni kasutuselevõtt tõi kaasa olemasoleva matemaatilise süsteemi revideerimise, mistõttu on need nii olulised.

Nime päritolu

Kui ladina keelest tõlgitud suhe on "murd", "suhe", siis eesliide "ir"
annab sellele sõnale vastupidise tähenduse. Seega näitab nende arvude hulga nimi, et neid ei saa korreleerida täisarvu või murdosaga ja neil on eraldi koht. See tuleneb nende olemusest.

Koht üldarvestuses

Irratsionaalarvud koos ratsionaalsete arvudega kuuluvad reaal- või reaalarvude rühma, mis omakorda kuuluvad kompleksarvude hulka. Alamhulka pole, kuid on algebralisi ja transtsendentaalseid variante, mida arutatakse allpool.

Omadused

Kuna irratsionaalarvud on osa reaalarvude hulgast, kehtivad nende kohta kõik nende omadused, mida aritmeetikas uuritakse (neid nimetatakse ka algebralisteks põhiseadusteks).

a + b = b + a (kommutatiivsus);

(a + b) + c = a + (b + c) (assotsiatiivsus);

a + (-a) = 0 (vastandarvu olemasolu);

ab = ba (kommutatiivne seadus);

(ab)c = a(bc) (jaotus);

a(b+c) = ab + ac (jaotusseadus);

a x 1/a = 1 (retsiprookarvu olemasolu);

Võrdlus toimub ka üldiste seaduste ja põhimõtete kohaselt:

Kui a > b ja b > c, siis a > c (seose transitiivsus) ja. jne.

Muidugi saab kõiki irratsionaalseid numbreid põhiaritmeetika abil teisendada. Spetsiaalseid reegleid selleks ei ole.

Lisaks kehtib Archimedese aksioom irratsionaalarvude kohta. See väidab, et iga kahe suuruse a ja b puhul on tõsi, et kui võtta a-d piisavalt korda, võite b-st võita.

Kasutamine

Vaatamata asjaolule, et te ei kohta neid igapäevaelus väga sageli, ei saa irratsionaalseid numbreid üles lugeda. Neid on tohutult palju, kuid nad on peaaegu nähtamatud. Irratsionaalsed arvud on kõikjal meie ümber. Kõigile tuttavad näited on arv pi, mis on võrdne 3,1415926... või e, mis on sisuliselt naturaallogaritmi alus, 2,718281828... Algebras, trigonomeetrias ja geomeetrias tuleb neid pidevalt kasutada. Muide, ka "kuldse suhte" kuulus tähendus, st nii suurema osa ja väiksema osa suhe kui ka vastupidi

kuulub sellesse komplekti. Vähem tuntud “hõbedane” ka.

Arvjoonel asuvad need väga tihedalt, nii et mis tahes kahe ratsionaalseks liigitatud suuruse vahel tekib kindlasti üks irratsionaalne.

Selle komplektiga on seotud veel palju lahendamata probleeme. On olemas sellised kriteeriumid nagu irratsionaalsuse mõõt ja arvu normaalsus. Matemaatikud jätkavad kõige olulisemate näidete uurimist, et teha kindlaks, kas need kuuluvad ühte või teise rühma. Näiteks arvatakse, et e on tavaline arv, st erinevate numbrite esinemise tõenäosus selle tähistuses on sama. Mis puutub pi-sse, siis selle kohta uuringud alles käivad. Irratsionaalsuse mõõt on väärtus, mis näitab, kui hästi saab antud arvu ratsionaalsete arvude abil lähendada.

Algebraline ja transtsendentaalne

Nagu juba mainitud, jagatakse irratsionaalarvud tinglikult algebralisteks ja transtsendentaalseteks. Tinglikult, kuna rangelt võttes kasutatakse seda klassifikatsiooni hulga C jagamiseks.

See tähistus peidab kompleksarvud, mis sisaldavad reaal- või reaalarve.

Niisiis, algebraline on väärtus, mis on polünoomi juur, mis ei ole identselt võrdne nulliga. Näiteks 2 ruutjuur kuuluks sellesse kategooriasse, kuna see on võrrandi x 2 lahendus – 2 = 0.

Kõiki teisi reaalarve, mis sellele tingimusele ei vasta, nimetatakse transtsendentaalseteks. Sellesse sorti kuuluvad kõige kuulsamad ja juba mainitud näited - arv pi ja naturaallogaritmi alus e.

Huvitaval kombel ei olnud matemaatikud algselt välja töötanud üht ega teist nende irratsionaalsust ja transtsendentsust palju aastaid pärast nende avastamist. Pi jaoks esitati tõestus 1882. aastal ja lihtsustati 1894. aastal, lõpetades 2500 aastat kestnud debati ringi ruudu ruudustamise probleemi üle. Seda pole ikka veel täielikult uuritud, nii et kaasaegsetel matemaatikutel on, mille kallal töötada. Muide, selle väärtuse esimese üsna täpse arvutuse viis läbi Archimedes. Enne teda olid kõik arvutused liiga ligikaudsed.

e jaoks (Euleri või Napieri arv) leiti 1873. aastal tõend selle ületamisest. Seda kasutatakse logaritmiliste võrrandite lahendamisel.

Muud näited hõlmavad siinuse, koosinuse ja tangensi väärtusi mis tahes algebralise nullist erineva väärtuse jaoks.