Lihtsaim 2. tüüpi murd on kujuga. Lihtmurdude integreerimine

Antud teemas esitatav materjal põhineb teemas "Ratsionaalmurrud. Ratsionaalmurdude lagundamine elementaar(liht)murdudeks" toodud infol. Soovitan tungivalt enne selle materjali lugemise juurde asumist see teema vähemalt läbi sirvida. Lisaks vajame määramata integraalide tabelit.

Lubage mul teile meelde tuletada paar terminit. Neid käsitleti vastavas teemas, seega piirdun siinkohal lühikese sõnastusega.

Kahe polünoomi suhet $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ nimetatakse ratsionaalfunktsiooniks või ratsionaalseks murdeks. Ratsionaalmurdu nimetatakse õige, kui $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется vale.

Elementaarsed (lihtsad) ratsionaalsed murrud on nelja tüüpi ratsionaalsed murrud:

$\frac(A)(x-a)$;
$\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
$\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
$\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Märkus (soovitav teksti täielikumaks mõistmiseks): näita\peida

Miks on vaja tingimust $p^2-4q?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим ruutvõrrand$x^2+px+q=0$. Selle võrrandi diskriminant on $D=p^2-4q$. Sisuliselt tingimus $p^2-4q< 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Näiteks avaldise $x^2+5x+10$ jaoks saame: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Kuna $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Muide, selle kontrolli jaoks pole üldse vajalik, et koefitsient $x^2$ oleks võrdne 1-ga. Näiteks $5x^2+7x-3=0$ korral saame: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3) = 109 $. Kuna $D > 0$, on avaldis $5x^2+7x-3$ faktoriseeritav.

Võib leida näiteid ratsionaalsetest murdudest (õigest ja ebaõigest), samuti näiteid ratsionaalse murru lagunemisest elementaarmurdudeks. Siin huvitavad meid ainult nende integreerimise küsimused. Alustame elementaarmurdude integreerimisega. Seega on kõiki nelja ülaltoodud elementaarmurdu tüüpi lihtne integreerida allolevate valemite abil. Tuletan meelde, et tüüpide (2) ja (4) murdude integreerimisel eeldatakse $n=2,3,4,\ldots$. Valemid (3) ja (4) nõuavad tingimuse $p^2-4q täitmist< 0$.

\begin(võrrand) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(võrrand) \begin(võrrand) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(võrrand) \begin(võrrand) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(võrrand)

$\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ jaoks tehakse asendus $t=x+\frac(p)(2)$, mille järel saadakse saadud intervall jagatud kaheks. Esimene arvutatakse diferentsiaalmärgi alla sisestades ja teine on kujul $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. See integraal võetakse kordusseost kasutades

\begin(võrrand) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\in N\end(võrrand)

Sellise integraali arvutamist käsitletakse näites nr 7 (vt kolmas osa).

Ratsionaalfunktsioonide integraalide (ratsionaalmurrud) arvutamise skeem:

Kui integrand on elementaarne, rakendage valemeid (1)-(4).
Kui integrand ei ole elementaarne, siis esitage see elementaarmurdude summana ja seejärel integreerige valemite (1)-(4) abil.

Ülaltoodud algoritmil ratsionaalsete murdude integreerimiseks on vaieldamatu eelis - see on universaalne. Need. selle algoritmi abil saate integreerida ükskõik milline ratsionaalne murd. Seetõttu tehakse peaaegu kõik muutujate muudatused määramata integraalis (Euler, Tšebõšev, universaalne trigonomeetriline asendus) nii, et pärast seda muutust saame intervalli all oleva ratsionaalse murdosa. Ja seejärel rakendage sellele algoritm. Pärast väikese märkuse tegemist analüüsime selle algoritmi otsest rakendamist näidete abil.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

Põhimõtteliselt on seda integraali lihtne saada ilma valemi mehaanilise rakendamiseta. Kui võtame integraalimärgist välja konstantse $7$ ja võtame arvesse, et $dx=d(x+9)$, saame:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Täpsema teabe saamiseks soovitan vaadata teemat. See selgitab üksikasjalikult, kuidas selliseid integraale lahendatakse. Muide, valemit tõestavad samad teisendused, mida rakendati selles lõigus selle "käsitsi" lahendamisel.

2) Jällegi on kaks võimalust: kasutage valmis valemit või tehke ilma selleta. Kui rakendate valemit, peaksite arvestama, et koefitsient $x$ (number 4) ees tuleb eemaldada. Selleks võtame need neli sulgudest välja:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$

Nüüd on aeg rakendada valemit:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4) ^8))((8-1)\vasak(x+\frac(19)(4) \parem)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Saate teha ilma valemit kasutamata. Ja isegi ilma pidevat 4 dollarit sulgudest välja võtmata. Kui võtta arvesse, et $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, saame:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Täpsemad selgitused selliste integraalide leidmiseks on antud teemas “Integreerimine asendusega (asendamine diferentsiaalmärgi all)”.

3) Peame integreerima murdosa $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Selle murdosa struktuur on $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, kus $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Kuid veendumaks, et see on tõesti kolmanda tüübi elementaarmurd, peate kontrollima, kas tingimus $p^2-4q on täidetud< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Lahendame sama näite, kuid ilma valmis valemit kasutamata. Proovime eraldada lugejas nimetaja tuletist. Mida see tähendab? Teame, et $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Lugejas peame isoleerima avaldise $2x+10$. Seni sisaldab lugeja ainult $4x+7$, kuid see ei kesta kaua. Rakendame lugejale järgmise teisenduse:

$ 4x+7=2\cpunkt 2x+7=2\cpunkt (2x+10-10)+7=2\cpunkt(2x+10)-2\cpunkt 10+7=2\cpunkt(2x+10) -13. $$

Nüüd ilmub lugejasse vajalik avaldis $2x+10$. Ja meie integraali saab ümber kirjutada järgmiselt:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Jagame integrandi kaheks. Noh, ja vastavalt sellele on ka integraal ise "kaheharuline":

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \parem)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Räägime esmalt esimesest integraalist, s.o. umbes $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Kuna $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, siis integrandi lugeja sisaldab nimetaja diferentsiaali. Lühidalt, selle asemel avaldisest $( 2x+10)dx$ kirjutame $d(x^2+10x+34)$.

Nüüd ütleme paar sõna teise integraali kohta. Valime nimetajas terve ruudu: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Lisaks võtame arvesse $dx=d(x+5)$. Nüüd saab varem saadud integraalide summa veidi teistsugusel kujul ümber kirjutada:

$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Kui teeme asendus $u=x^2+10x+34$ esimeses integraalis, siis on see kuju $\int\frac(du)(u)$ ja selle saab lihtsalt rakendada teist valemit . Mis puutub teise integraali, siis selle jaoks on muudatus $u=x+5$ teostatav, misjärel saab see kuju $\int\frac(du)(u^2+9)$. See on puhtaim üheteistkümnes valem määramata integraalide tabelist. Niisiis, naastes integraalide summa juurde, on meil:

$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5) )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Saime sama vastuse nagu valemi rakendamisel, mis rangelt võttes pole üllatav. Üldiselt tõestatakse valemit samade meetoditega, mida kasutasime selle integraali leidmiseks. Usun, et tähelepanelikul lugejal võib siin tekkida üks küsimus, seega sõnastan selle:

Küsimus nr 1

Kui rakendada teist valemit määramata integraalide tabelist integraalile $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, siis saame järgmise:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Miks lahenduses moodulit polnud?

Vastus küsimusele nr 1

Küsimus on täiesti loomulik. Moodul puudus ainult seetõttu, et mis tahes $x\in R$ avaldis $x^2+10x+34$ on suurem kui null. Seda on üsna lihtne mitmel viisil näidata. Näiteks kuna $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ ja $(x+5)^2 ≥ 0$, siis $(x+5)^2+9 > 0$ . Võite mõelda teisiti, ilma terve ruudu valikut kasutamata. Alates $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ mis tahes $x\in R$ (kui see loogiline ahel on üllatav, soovitan teil vaadata ruutvõrratuste lahendamise graafilist meetodit). Igal juhul kuna $x^2+10x+34 > 0$, siis $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, s.o. Mooduli asemel võite kasutada tavalisi sulgusid.

Kõik näite nr 1 punktid on lahendatud, jääb üle vaid vastus kirja panna.

Vastus:

$\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
$\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
$\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x) +5)(3)+C$.

Näide nr 2

Leidke integraal $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

Integrandi murd $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ on esmapilgul väga sarnane kolmanda tüübi elementaarmurdule, s.t. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ järgi. Tundub, et ainus erinevus on $x^2$ ees olev koefitsient $3$, kuid koefitsiendi eemaldamine (sulgudest välja panemine) ei võta kaua aega. See sarnasus on aga ilmne. Murru $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ puhul on tingimus $p^2-4q kohustuslik< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Meie koefitsient enne $x^2$ ei ole võrdne ühega, seetõttu kontrollige tingimust $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, seetõttu saab avaldist $3x^2-5x-2$ faktoriseerida. See tähendab, et murd $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ ei ole kolmanda tüübi elementaarmurd ja rakendatakse $\int\frac(7x+12)(3x^2- ) integraali 5x-2)dx$ valemiga pole võimalik.

Noh, kui antud ratsionaalne murd ei ole elementaarmurd, siis tuleb see esitada elementaarmurdude summana ja seejärel integreerida. Ühesõnaga, kasutage rada ära. Kuidas ratsionaalne murd elementaarseteks lagundada, on üksikasjalikult kirjutatud. Alustuseks arvutame nimetaja:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(joondatud) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(joondatud)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$

Esitame subinterkaalse fraktsiooni järgmisel kujul:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Jagame nüüd murdosa $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ elementaarseteks:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+) \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\paremal). $$

Koefitsientide $A$ ja $B$ leidmiseks on kaks standardset viisi: määramata koefitsientide meetod ja osaväärtuste asendamise meetod. Rakendame osalise väärtuse asendusmeetodit, asendades $x=2$ ja seejärel $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Kuna koefitsiendid on leitud, jääb üle vaid valmis laiendus üles kirjutada:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3)+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

Põhimõtteliselt võite selle kirje jätta, kuid mulle meeldib täpsem variant:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3)+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Naastes algse integraali juurde, asendame sellega saadud laienduse. Seejärel jagame integraali kaheks ja rakendame mõlemale valemit. Eelistan paigutada konstandid kohe integraalimärgist väljapoole:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3)+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3)+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2) )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Vastus: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Näide nr 3

Leidke integraal $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Peame integreerima murdosa $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Lugeja sisaldab teise astme polünoomi ja nimetaja kolmanda astme polünoomi. Kuna polünoomi aste lugejas on väiksem kui nimetaja polünoomi aste, s.o. 2 dollarit< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x) +4)-\frac(1)(x-9). $$

Peame vaid jagama antud integraali kolmeks ja rakendama igaühele valemi. Eelistan paigutada konstandid kohe integraalimärgist väljapoole:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Vastus: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Selle teema näidete analüüsi jätk asub teises osas.

Nagu ma juba märkisin, pole integraalarvutuses murru integreerimiseks mugavat valemit. Ja seetõttu on kurb trend: mida keerukam on murd, seda keerulisem on selle integraali leida. Sellega seoses peate kasutama erinevaid nippe, millest ma teile nüüd räägin. Ettevalmistatud lugejad saavad kohe ära kasutada sisukord:

Lihtmurdude diferentsiaalmärgi liitmise meetod

Kunstliku lugeja teisendusmeetod

Näide 1

Muide, vaadeldava integraali saab lahendada ka muutujameetodi muutmisega, märkides , kuid lahenduse kirjutamine venib palju pikemaks.

Näide 2

Otsi määramatu integraal. Tehke kontroll.

See on näide sõltumatu otsus. Tuleb märkida, et muutuja asendusmeetod siin enam ei tööta.

Tähelepanu, oluline! Näited nr 1, 2 on tüüpilised ja esinevad sageli. Eelkõige tekivad sellised integraalid sageli teiste integraalide lahendamisel, eriti irratsionaalsete funktsioonide (juurte) integreerimisel.

Kaalutud tehnika töötab ka korpuses kui lugeja kõrgeim aste on suurem kui nimetaja kõrgeim aste.

Näide 3

Leidke määramatu integraal. Tehke kontroll.

Hakkame valima lugejat.

Lugeja valimise algoritm on umbes selline:

1) Lugejas pean korraldama , aga seal . Mida teha? Panen selle sulgudesse ja korrutan järgmisega: .

2) Nüüd proovin neid sulgusid avada, mis juhtub? . Hmm... see on parem, aga alguses pole lugejas kahte. Mida teha? Peate korrutama järgmisega:

3) Avan uuesti sulud: . Ja siin on esimene edu! See osutus täpselt õigeks! Kuid probleem on selles, et on ilmunud lisatermin. Mida teha? Väljendi muutumise vältimiseks pean selle oma konstruktsiooni lisama:
. Elu on muutunud lihtsamaks. Kas lugejas saab uuesti korraldada?

4) See on võimalik. Proovime: . Avage teise termini sulud:
. Vabandust, aga eelmises etapis oli mul tegelikult , mitte . Mida teha? Peate teise liikme korrutama järgmisega:

5) Jällegi, kontrollimiseks avan sulgud teisel ametiajal:
. Nüüd on see normaalne: tuletatud punkti 3 lõplikust konstruktsioonist! Kuid jälle on väike “aga”, ilmunud on lisatermin, mis tähendab, et pean oma väljendile lisama:

Kui kõik on õigesti tehtud, siis kõigi sulgude avamisel peaksime saama integrandi algse lugeja. Kontrollime:
Kapuuts.

Seega:

Valmis. Viimasel terminil kasutasin funktsiooni diferentsiaali alla liitmise meetodit.

Kui leiame vastuse tuletise ja taandame avaldise ühiseks nimetajaks, siis saame täpselt algse integrandi funktsiooni. Vaadeldav summaks lagundamise meetod pole midagi muud kui avaldise ühisnimetajasse viimise vastupidine tegevus.

Lugeja valimise algoritm sellistes näidetes on kõige parem teha mustandis. Teatud oskuste korral töötab see vaimselt. Mäletan rekordilist juhtumit, kui tegin 11. astme valikut ja lugeja laiendamine võttis ligi kaks rida Verdi.

Näide 4

Leidke määramatu integraal. Tehke kontroll.

See on näide, mille saate ise lahendada.

Lihtmurdude diferentsiaalmärgi liitmise meetod

Vaatleme järgmist tüüpi murde.
, , , (koefitsiendid ja ei ole nulliga võrdsed).

Õigupoolest on õppetükis juba mainitud paari arksiinuse ja arktangensi juhtumit Muutuja muutmise meetod määramata integraalis. Sellised näited lahendatakse funktsiooni diferentsiaalmärgi alla liitmisega ja täiendava integreerimisega tabeli abil. Siin on tüüpilisemad pika ja kõrge logaritmiga näited:

Näide 5

Näide 6

Siin on soovitav võtta integraalide tabel ja vaadata, millised valemid ja Kuidas toimub transformatsioon. Pange tähele kuidas ja miks Nende näidete ruudud on esile tõstetud. Täpsemalt, näites 6 peame esmalt esitama nimetaja kujul , seejärel viige see diferentsiaalmärgi alla. Ja kõik see tuleb teha, et kasutada standardset tabelivalemit .

Miks vaadata, proovige näiteid nr 7, 8 ise lahendada, seda enam, et need on üsna lühikesed:

Näide 7

Näide 8

Leidke määramata integraal:

Kui teil õnnestub ka neid näiteid kontrollida, siis suur lugupidamine - teie eristusoskus on suurepärane.

Täisruudu valiku meetod

Vormi integraalid (koefitsiendid ja ei ole võrdsed nulliga) on lahendatud täielik ruudu ekstraheerimise meetod, mis on juba õppetükis ilmunud Graafikute geomeetrilised teisendused.

Tegelikult taanduvad sellised integraalid üheks neljast tabeliintegraalist, mida just vaatlesime. Ja see saavutatakse tuttavate lühendatud korrutusvalemite abil:

Valemid rakendatakse täpselt selles suunas, see tähendab, et meetodi mõte on avaldised kunstlikult korraldada nimetajasse ja seejärel teisendada need vastavalt kummalegi.

Näide 9

Leidke määramatu integraal

See lihtsaim näide, milles mõistega – ühikukoefitsient(ja mitte mingi number või miinus).

Vaatame nimetajat, siin taandub kogu asi selgelt juhusele. Alustame nimetaja teisendamist:

Ilmselgelt peate lisama 4. Ja selleks, et avaldis ei muutuks, lahutage sama neli:

Nüüd saate rakendada valemit:

Pärast konversiooni lõppu ALATI Soovitav on teha vastupidine liigutus: kõik on korras, vigu pole.

Kõnealuse näite lõplik kujundus peaks välja nägema umbes selline:

Valmis. “Tasuta” kompleksfunktsiooni lisamine diferentsiaalmärgi alla: , võiks põhimõtteliselt jätta tähelepanuta

Näide 10

Leidke määramata integraal:

See on näide, mille saate ise lahendada, vastus on tunni lõpus

Näide 11

Leidke määramata integraal:

Mida teha, kui ees on miinus? Sel juhul peame miinuse sulgudest välja võtma ja korraldama terminid vajalikus järjekorras: . Püsiv(antud juhul "kaks") ära puutu!

Nüüd lisame sulgudesse ühe. Avaldist analüüsides jõuame järeldusele, et peame lisama ühe sulgudest väljapoole:

Siit saame valemi, rakendame:

ALATI Kontrollime mustandit:
, mida oli vaja kontrollida.

Puhas näide näeb välja umbes selline:

Ülesande raskemaks muutmine

Näide 12

Leidke määramata integraal:

Siin pole termin enam ühikkoefitsient, vaid "viis".

(1) Kui on konstant at, siis võtame selle kohe sulgudest välja.

(2) Üldiselt on alati parem seda konstanti integraalist väljapoole nihutada, et see teele ei jääks.

(3) Ilmselgelt taandub kõik valemile. Peame mõistet mõistma, nimelt saama "kaks"

(4) Jah, . See tähendab, et liidame avaldisele ja lahutame sama murru.

(5) Nüüd vali terve ruut. Üldjuhul peame arvutama ka , kuid siin on pika logaritmi valem , ja toimingut pole mõtet sooritada, selgub allpool.

(6) Tegelikult saame valemit rakendada , ainult “X” asemel on meil , mis ei muuda tabeli integraali kehtivust. Rangelt võttes jäi üks samm vahele – enne integreerimist oleks funktsioon pidanud diferentsiaalmärgi alla koondama: , kuid nagu olen korduvalt märkinud, jäetakse see sageli tähelepanuta.

(7) Juure all olevas vastuses on soovitatav kõik sulud tagasi laiendada:

Raske? See ei ole integraalarvutuse kõige keerulisem osa. Kuigi vaadeldavad näited pole niivõrd keerulised, kuivõrd nõuavad head arvutustehnikat.

Näide 13

Leidke määramata integraal:

See on näide, mille saate ise lahendada. Vastus on õppetunni lõpus.

Nimetajas on juurtega integraalid, mis asendust kasutades taandatakse seda tüüpi integraalideks, mille kohta saate lugeda artiklist Komplekssed integraalid, kuid see on mõeldud väga ettevalmistatud õpilastele.

Lugeja liitmine diferentsiaalmärgi alla

See on tunni viimane osa, kuid seda tüüpi integraalid on üsna tavalised! Kui oled väsinud, on ehk homme parem lugeda? ;)

Integraalid, mida me käsitleme, on sarnased eelmise lõigu integraalidega, neil on vorm: või (koefitsiendid , ja ei ole võrdsed nulliga).

See tähendab, et lugejas, mis meil on lineaarne funktsioon. Kuidas selliseid integraale lahendada?

Tuletame teile seda meelde murdosa-ratsionaalne nimetatakse funktsioonideks kujul $$ f(x) = \frac(P_n(x))(Q_m(x)), $$ on üldjuhul kahe polünoomi %%P_n(x)%% ja % suhe. %Q_m(x)% %.

Kui %%m > n \geq 0%%, siis kutsutakse ratsionaalne murd õige, muidu - vale. Kasutades polünoomide jagamise reeglit, saab ebaõiget ratsionaalset murdu esitada polünoomi %%P_(n - m)%% astmest %%n - m%% ja mõne korraliku murru summana, st. $$ \frac(P_n(x))(Q_m(x)) = P_(n-m)(x) + \frac(P_l(x))(Q_n(x)), $$ kus kraad %%l%% polünoomist %%P_l(x)%% on väiksem kui polünoomi %%Q_n(x)%% aste %%n%%.

Seega saab ratsionaalfunktsiooni määramatut integraali esitada polünoomi ja õige ratsionaalmurru määramatute integraalide summana.

Integraalid lihtratsionaalmurdudest

Õigete ratsionaalsete murdude hulgas on neli tüüpi, mida liigitatakse järgmiselt lihtsad ratsionaalsed murrud:

%%\displaystyle \frac(A)(x - a)%%,
%%\displaystyle \frac(A)((x - a)^k)%%,
%%\displaystyle \frac(Ax + B)(x^2 + px + q)%%,
%%\displaystyle \frac(Ax + B)((x^2 + px + q)^k)%%,

kus %%k > 1%% on täisarv ja %%p^2 – 4q< 0%%, т.е. квадратные уравнения не имеют действительных корней.

Kahe esimese tüübi murdude määramatute integraalide arvutamine

Kahe esimese tüübi murdude määramatute integraalide arvutamine ei tekita raskusi: $$ \begin(array)(ll) \int \frac(A)(x - a) \mathrm(d)x &= A\int \frac (\mathrm (d)(x - a))(x - a) = A \ln |x - a| + C, \\ \\ \int \frac(A)((x - a)^k) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\mathrm(d)(x - a))(( x - a)^k) = A \frac((x-a)^(-k + 1))(-k + 1) + C = \\ &= -\frac(A)((k-1)(x-a )^(k-1)) + C. \end(massiiv) $$

Kolmanda tüübi murdude määramatute integraalide arvutamine

Esmalt teisendame kolmandat tüüpi murdu, tõstes nimetajas esile täiusliku ruudu: $$ \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) = \frac(Ax + B)((x + p/2 )^2 + q - p^2/4), $$ alates %%p^2 - 4q< 0%%, то %%q - p^2/4 >0%%, mida tähistame kui %%a^2%%. Asendades ka %%t = x + p/2, \mathrm(d)t = \mathrm(d)x%%, teisendame nimetaja ja kirjutame kolmandat tüüpi murru integraali kujul $$ \begin(massiiv )(ll) \ int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x &= \int \frac(Ax + B)((x + p/2)^2 + q - p^2 /4) \mathrm(d)x = \\ &= \int \frac(A(t - p/2) + B)(t^2 + a^2) \mathrm(d)t = \int \frac (At + (B - A p/2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t. \end(massiiv) $$

Kasutades määramatu integraali lineaarsust, esitame viimase integraali kahe summana ja esimeses sisestame diferentsiaalmärgi alla %%t%%: $$ \begin(array)(ll) \int \frac (At + (B - A p /2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t &= A\int \frac(t \mathrm(d)t)(t^2 + a^ 2) + \left(B - \frac(pA)(2)\right)\int \frac(\mathrm(d)t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A) (2) \int \frac( \mathrm(d)\left(t^2 + a^2\right))(t^2 + a^2) + - \frac(2B - pA)(2)\int \frac(\mathrm(d) t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A)(2) \ln \left| t^2 + a^2\paremale| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(t)(a) + C. \end(massiivi) $$

Naastes algse muutuja %%x%% juurde, saame kolmanda tüübi murdosa jaoks $$ \int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x = \frac(A)( 2) \ln \left| x^2 + px + q\right| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(x + p/2)(a) + C, $$ kus %%a^2 = q - p^2 / 4 > 0% %.

4. tüüpi integraali arvutamine on keeruline ja seetõttu seda käesolevas kursuses ei käsitleta.

Vaadeldakse näiteid ratsionaalsete funktsioonide (murdude) integreerimisest detailsete lahendustega.

Sisu

Vaata ka: Ruutvõrrandi juured

Siin pakume üksikasjalikke lahendusi kolmele näitele järgmiste ratsionaalsete murdude integreerimisest:
, , .

Näide 1

Arvutage integraal:
.

Siin on integraalimärgi all ratsionaalne funktsioon, kuna integrand on murdosa polünoomidest. Nimetaja polünoomi aste ( 3 ) on väiksem kui lugejapolünoomi ( 4 ). Seetõttu peate kõigepealt valima kogu murdosa.

1. Valime kogu murdosa. Jaga x 4 x poolt 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

Siit
.

2. Faktoriseerime murdosa nimetaja. Selleks peate lahendama kuupvõrrandi:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Asendame x = 1 :
.

1 . 1 :

Siit
.
jaga x-ga -
.
Ruutvõrrandi lahendamine.
Võrrandi juured on: , .
.

3. Siis

.

Jagame murdosa selle lihtsaimaks vormiks.
.
Niisiis leidsime:

Integreerime.

Arvutage integraal:
.

Näide 2 Siin on murru lugejaks nullkraadiga polünoom ( 1 = x 0 0 < 3 ). Nimetaja on kolmanda astme polünoom. Sest

1. , siis on murd õige. Jagame selle lihtmurdudeks.
.
Oletame, et sellel on vähemalt üks terve juur. Siis on see arvu jagaja 3 (liige ilma x-ita). See tähendab, et kogu juur võib olla üks arvudest:
1, 3, -1, -3 .
Asendame x = 1 :
.

Niisiis, oleme leidnud ühe juure x = 1 . Jaga x 3 + 2 x - 3 1 :

kohta x -
.

Niisiis,
Ruutvõrrandi lahendamine: x.
2 + x + 3 = 0 Leidke diskriminant: D = 1 2 - 4 3 = -11< 0 .
.

2.
.
Kuna D:
(2.1) .
Asendame x = 1 , siis pole võrrandil tegelikke juuri. Seega saime nimetaja faktoriseerimise: 1 = 0 ,
.

(x - 1) (x 2 + x + 3) (2.1) . 0 :
Siis x -;
.

Asendame sisse (2.1) x = 2 :
;
1 = 3 A - C;
.

3. Niisiis leidsime:
(2.2) .
Võrdustame sellega

;
;
.

koefitsiendid x jaoks 2 .

.
0 = A + B x Teise integraali arvutamiseks eraldame nimetaja tuletise lugejas ja taandame nimetaja ruutude summaks. Arvutage I Kuna võrrand x

ei oma tegelikke juuri, siis x (2.2) :
.

2 + x + 3 > 0

Arvutage integraal:
.

. 3 Seetõttu võib mooduli märgi ära jätta. 4 Tarnime kohale 3 < 4 Näide 3

1. Siin on integraalimärgi all murdosa polünoomidest. Seetõttu on integrand ratsionaalne funktsioon. Polünoomi aste lugejas on võrdne
.
Oletame, et sellel on vähemalt üks terve juur. Siis on see arvu jagaja 2 (liige ilma x-ita). See tähendab, et kogu juur võib olla üks arvudest:
1, 2, -1, -2 .
Asendame x = -1 :
.

Niisiis, oleme leidnud ühe juure x = -1 . .:

kohta x -
.

Murru nimetaja polünoomi aste on võrdne
.
. 2 (liige ilma x-ita). See tähendab, et kogu juur võib olla üks arvudest:
1, 2, -1, -2 .
Asendame x = -1 :
.

Sest -1 , siis on murd õige. Seetõttu saab selle lagundada lihtfraktsioonideks. Kuid selleks peate nimetaja faktoriseerima.
.

Faktoriseerime murdosa nimetaja. Selleks peate lahendama neljanda astme võrrandi: 2 + 2 = 0 (-1) = x + 1
.

2. Nüüd peame lahendama kolmanda astme võrrandi:
.
Kui eeldame, et sellel võrrandil on täisarvu juur, siis on see arvu jagaja Niisiis, leidsime veel ühe juure x =:
(3.1) .
Asendame x = -1 . 1 = 0 ,
.

Nagu eelmisel juhul, oleks võimalik polünoomi jagada arvuga , kuid rühmitame terminid: (3.1) :

;

.
Asendame x = -1 Kuna võrrand x 1 = 0 :
;
; .

(x - 1) (x 2 + x + 3) (3.1) . 0 :
millel pole tegelikke juuri, siis saame nimetaja faktoriseerimise:;
.

Asendame sisse (3.1) x = 3 :
;
Jaotame murdosa selle lihtsaimaks vormiks. Otsime laiendust kujul:;
.

Vabaneme murdosa nimetajast, korrutame sellega
.

3. Niisiis leidsime:

.

(x + 1) 2 (x 2 + 2)

Näide 1

Siis x +

Teeme vahet

ja võta arvesse, et x +

Seetõttu 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x. Saime õige ratsionaalse murru - 2 x + 3 x 3 + x, mille nüüd jagame lihtmurrudeks - 2 x + 3 x 3 + x = 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1. Seega

∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = ∫ 2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 ln x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x

Saime integraali lihtsaim murd kolmas tüüp. Saate selle võtta, asetades selle diferentsiaalmärgi alla.

Kuna d x 2 + 1 = 2 x d x, siis 3 x d x = 3 2 d x 2 + 1. Sellepärast
∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 3 x x 2 + 1 d x + ∫ 2 x 2 + 1 = 3 2 ∫ d x 2 + 1 x 2 + 1 + 2 d x x 2 + 1 = 3 2 ln + 1 + 2 a r c t g x + C 1

Seega
∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = 2 x + 3 ln x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 ln x - 3 2 ln x 2 + 1 - 2 a r c tan x + C , kus C = - C 1

Kirjeldame meetodeid kõigi nelja tüübi lihtmurdude integreerimiseks.

Esimese tüübi lihtmurdude integreerimine A x - a

Selle probleemi lahendamiseks kasutame otsese integreerimise meetodit:

∫ A x - a d x = A ∫ d x x - a = A ln x - a + C

Näide 2

Leia funktsiooni y = 3 2 x - 1 antiderivaatide hulk.

Teeme vahet

Kasutades integreerimisreeglit, antituletise omadusi ja antiderivatiivide tabelit, leiame määramata integraali ∫ 3 d x 2 x - 1: ∫ f k · x + b d x = 1 k · F k · x + b + C

∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 ∫ d x 2 x - 1 2 = 3 2 ∫ d x x - 1 2 = 3 2 ln x - 1 2 + C

Vastus: ∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 2 ln x - 1 2 + C

Teist tüüpi A x - a n lihtmurdude integreerimine

Siin on rakendatav ka otsene integreerimise meetod: ∫ A x - a n d x = A ∫ x - a - n d x = A - n + 1 x - a - n + 1 + C = A 1 - n x - a n - 1 + C

Näide 3

On vaja leida määramatu integraal ∫ d x 2 x - 3 7 .

Teeme vahet

∫ d x 2 x - 3 7 = ∫ d x 2 x - 3 2 7 = 1 2 7 ∫ x - 3 2 - 7 d x = = 1 2 7 1 - 7 + 1 x - 3 2 - 7 + 1 + C = 1 2 7 · - 6 · x - 3 2 6 + C = = 1 2 · - 6 · 2 6 · x - 3 2 6 + C = - 1 12 · 1 2 x - 3 6 + C

Vastus:∫ d x 2 x - 3 7 = - 1 12 · 1 2 x - 3 6 + C

Kolmanda tüübi kõige lihtsamate murdude integreerimine M x + N x 2 + p x + q, D = p 2 - 4 q< 0

Esimene samm on esitada määramatu integraal ∫ M x + N x 2 + p x + q summana:

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q

Esimese integraali võtmiseks kasutame diferentsiaalmärgi liitmise meetodit:

∫ M x x 2 + p x + q d x = d x 2 + p x + q = 2 x + p d x = 2 x d x + p d x ⇒ 2 x d x = d x 2 + p x + q - p d x ⇒ M x x d x = M 2 d x q - + p M 2 d x = = ∫ M 2 d x 2 + p x + q - p M 2 d x x 2 + p x + q = = M 2 ∫ d x 2 + p x + q x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

Sellepärast,
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

Saime integraali ∫ d x x 2 + p x + q . Teisendame selle nimetaja:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = = ∫ d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = ∫ d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = 2 4 q - p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

Seega

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 · 2 4 q - p 2 · a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

Kolmanda tüübi lihtmurdude integreerimise valem on järgmine:
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 4 q - p 2 · a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C

Näide 4

On vaja leida määramatu integraal ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x .

Teeme vahet

Rakendame valemit:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 p x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = M = 2, N = 1, p = 2, q = 10 = = 1 3 2 2 ln x 2 + 2 x + 10 + 2 1 - 2 2 4 10 - 2 2 a r c t g 2 x + 2 2 4 10 - 2 2 + C = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Teine lahendus näeb välja selline:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = d (x 2 + 2 x + 10 = (2 x + 2) d x = = 1 3 ∫ 2 x + 2 - 1 x 2 + 2 x + 10 d x = 1 3 ∫ d (x 2 + 2 x + 10) x 2 + 2 x + 10 = 1 3 ∫ d x x 2 + 2 x + 10 = = konverteeritav väärtus = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 3 ∫ d (x) x + 1 2 + 9 = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Vastus: ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Neljanda tüübi kõige lihtsamate murdude integreerimine M x + N (x 2 + p x + q) n, D = p 2 - 4 q< 0

Kõigepealt lahutame diferentsiaalmärgi:

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = d (x 2 + p x + q) = (2 x + p) d x = = M 2 ∫ d (x 2 + p x + q) (x 2 + p x + q) ) n + N - p M 2 ∫ d x (x 2 + p x + q) n = = M 2 (- n + 1) 1 (x 2 + p x + q) n - 1 + N - p M 2 ∫ d x ( x 2 + p x + q) n

Seejärel leiame kordusvalemite abil integraali kujul J n = ∫ d x (x 2 + p x + q) n. Teavet kordusvalemite kohta leiate teemast "Integreerimine kordusvalemite abil".

Meie ülesande lahendamiseks kasutatakse korduvvalemit kujul J n = 2 x + p (n - 1) (4 q - p 2) (x 2 + p x + q) n - 1 + 2 n - 3 n - 1 2 4 q sobib - p 2 · J n - 1 .

Näide 5

On vaja leida määramatu integraal ∫ d x x 5 x 2 - 1 .

Teeme vahet

∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x

Seda tüüpi integrandi jaoks kasutame asendusmeetodit. Võtame kasutusele uue muutuja x 2 - 1 = z 2 x = (z 2 + 1) 1 2 d x = z (z 2 + 1) - 1 2 d x

Saame:

∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x = = ∫ (z 2 + 1) - 5 2 z - 1 z (z 2 + 1) - 1 2 d z = ∫ d z (z 2 + 1) 3

Jõudsime neljanda tüübi murdosa integraali leidmiseni. Meie puhul on meil koefitsiendid M = 0, p = 0, q = 1, N = 1 ja n = 3. Kasutame korduvat valemit:

J 3 = ∫ dz (z 2 + 1) 3 = 2 z + 0 (3 - 1) (4 1 - 0) z 2 + 1 3 - 1 + 2 3 - 3 3 - 1 2 4 · 1 - 0 · ∫ d z (z 2 + 1) 2 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 4 2 z (2 - 1) · (4 · 1 - 0) · (z 2 + 1) 2 - 1 + 2 2 - 3 2 - 11 2 4 1 - 0 ∫ d z z 2 + 1 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 8 z z 2 + 1 + 3 8 a r c t g (z) +C

Pärast vastupidist asendust z = x 2 - 1 saame tulemuse:
∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

Vastus:∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter