Diskreetse juhusliku suuruse binoomjaotus. Binoomjaotus Binoomjaotuse genereerimisfunktsioon

Selles ja järgmistes postitustes vaatleme juhuslike sündmuste matemaatilisi mudeleid. Matemaatiline mudel on matemaatiline avaldis, mis esindab juhuslikku muutujat. Diskreetsete juhuslike muutujate puhul nimetatakse seda matemaatilist avaldist jaotusfunktsiooniks.

Kui probleem võimaldab teil täpselt kirjutada juhuslikku muutujat esindava matemaatilise avaldise, saate arvutada selle mis tahes väärtuse täpse tõenäosuse. Sel juhul saate arvutada ja loetleda kõik jaotusfunktsiooni väärtused. Ettevõtluses, sotsioloogilistes ja meditsiinilistes rakendustes kohtab mitmesuguseid juhuslike muutujate jaotusi. Üks kasulikumaid jaotusi on binoom.

Binoomjaotus kasutatakse olukordade simuleerimiseks, mida iseloomustavad järgmised omadused.

• Valim koosneb kindlast arvust elementidest n, mis esindab teatud testi tulemusi.
• Iga näidiselement kuulub ühte kahest üksteist välistavast kategooriast, mis ammendavad kogu prooviruumi. Tavaliselt nimetatakse neid kahte kategooriat eduks ja ebaõnnestumiseks.
• Õnnestumise tõenäosus R on konstantne. Seetõttu on ebaõnnestumise tõenäosus 1 – lk.
• Ühegi katse tulemus (st edu või ebaõnnestumine) ei sõltu teise katse tulemusest. Tulemuste sõltumatuse tagamiseks saadakse valimielemendid tavaliselt kahe erineva meetodi abil. Iga näidiselement on juhuslikult võetud lõpmatust elanikkonnast ilma tagasitulekuta või piiratud populatsioonist koos tagasitulekuga.

Laadige märkus alla või vormingus, näited vormingus

Binoomjaotust kasutatakse õnnestumiste arvu hindamiseks valimis, mis koosneb n tähelepanekud. Võtame näiteks tellimise. Tellimuse esitamiseks saavad Saxon Company kliendid kasutada interaktiivset elektroonilist vormi ja saata see ettevõttele. Seejärel kontrollib infosüsteem tellimustes vigu, puudulikku või ebaõiget infot. Kõik kõnealused tellimused märgistatakse ja lisatakse igapäevasesse erandite aruandesse. Ettevõtte kogutud andmed näitavad, et tellimuste vigade tõenäosus on 0,1. Ettevõte soovib teada, kui suur on tõenäosus, et antud valimis leidub teatud arv ekslikke tellimusi. Oletame näiteks, et kliendid lõpetasid neli elektroonilised vormid. Kui suur on tõenäosus, et kõik tellimused on veatud? Kuidas seda tõenäosust arvutada? Edu all mõistame ankeedi täitmisel tehtud viga ja kõik muud tulemused loetakse ebaõnnestumiseks. Tuletame meelde, et meid huvitab antud proovi vigaste tellimuste arv.

Milliseid tulemusi saame näha? Kui valim koosneb neljast järjestusest, võib üks, kaks, kolm või kõik neli olla valed ja kõik need võivad olla õiged. Kas valesti täidetud vormide arvu kirjeldav juhuslik suurus võib omandada mõne muu väärtuse? See ei ole võimalik, kuna valede vormide arv ei tohi ületada valimi suurust n või olla negatiivne. Seega võtab juhuslik muutuja, mis järgib binoomjaotuse seadust, väärtused vahemikus 0 kuni n.

Oletame, et neljast järjestusest koosnevas valimis täheldatakse järgmisi tulemusi:

Kui suur on tõenäosus, et neljast tellimusest koosnevast valimist leiate määratud järjekorras kolm vigast tellimust? Kuna esialgsed uuringud on näidanud, et ankeedi täitmisel on vea tõenäosus 0,10, arvutatakse ülaltoodud tulemuste tõenäosus järgmiselt:

Kuna tulemused ei sõltu üksteisest, on määratud tulemuste jada tõenäosus võrdne: p*p*(1–p)*p = 0,1*0,1*0,9*0,1 = 0,0009. Kui peate arvutama valikute arvu X n elemendid, peaksite kasutama kombinatsiooni valemit (1):

kus n! = n * (n –1) * (n – 2) * … * 2 * 1 - arvu faktoriaal n ja 0! = 1 ja 1! = 1 definitsiooni järgi.

Seda väljendit nimetatakse sageli kui . Seega, kui n = 4 ja X = 3, määratakse kolmest elemendist koosnevate jadade arv, mis on eraldatud valimi suurusest 4, järgmise valemiga:

Seetõttu arvutatakse kolme vigase tellimuse tuvastamise tõenäosus järgmiselt:

(võimalike jadade arv) *
(teatud jada tõenäosus) = 4 * 0,0009 = 0,0036

Samamoodi saate arvutada tõenäosuse, et nelja tellimuse hulgas on üks või kaks viga, samuti tõenäosus, et kõik tellimused on vigased või kõik on õiged. Valimi suuruse suurenemisega aga n konkreetse tulemuste jada tõenäosuse kindlaksmääramine muutub keerulisemaks. Sel juhul peaksite rakendama sobivat matemaatilist mudelit, mis kirjeldab valikute arvu binoomjaotust X objektid valikust, mis sisaldab n elemendid.

Binoomjaotus

Kus P(X)- tõenäosus X edu antud valimi suuruse puhul n ja edu tõenäosus R, X = 0, 1, … n.

Pange tähele, et valem (2) on intuitiivsete järelduste vormistamine. Juhuslik väärtus X, mis järgib binoomjaotust, võib võtta mis tahes täisarvu vahemikus 0 kuni n. Töö RX(1 – p)n – X tähistab tõenäosust, et konkreetne jada koosneb X edu valimi suuruses, mis on võrdne n. Väärtus määrab võimalike kombinatsioonide arvu, mis koosnevad X edu sisse n testid. Seega etteantud arvu testide jaoks n ja edu tõenäosus R jada tõenäosus, mis koosneb X edu, võrdne

P(X) = (võimalike jadade arv) * (konkreetse jada tõenäosus) =

Vaatleme valemi (2) rakendamist illustreerivaid näiteid.

1. Oletame, et ankeedi valesti täitmise tõenäosus on 0,1. Kui suur on tõenäosus, et nelja täidetud ankeedi hulgast on kolm vigased? Kasutades valemit (2) leiame, et tõenäosus tuvastada neljast järjestusest koosnevas valimis kolm vigast järjestust on võrdne

2. Oletame, et ankeedi valesti täitmise tõenäosus on 0,1. Kui suur on tõenäosus, et neljast täidetud ankeedist on vähemalt kolm vigased? Nagu eelmises näites näidatud, on tõenäosus, et nelja täidetud vormi hulgast kolm on valed, 0,0036. Arvutamaks tõenäosust, et neljast täidetud vormist on vähemalt kolm valed, tuleb lisada tõenäosus, et neljast täidetud vormist on kolm viga ja tõenäosus, et neljast täidetud vormist on kõik valed. Teise sündmuse tõenäosus on

Seega on tõenäosus, et nelja täidetud vormi hulgast on vähemalt kolm vale, võrdne

P(X > 3) = P(X = 3) + P(X = 4) = 0,0036 + 0,0001 = 0,0037

3. Oletame, et ankeedi valesti täitmise tõenäosus on 0,1. Kui suur on tõenäosus, et neljast täidetud vormist on vähem kui kolm vigased? Selle sündmuse tõenäosus

P(X< 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

Valemi (2) abil arvutame kõik järgmised tõenäosused:

Seetõttu P(X< 3) = 0,6561 + 0,2916 + 0,0486 = 0,9963.

Tõenäosus P(X< 3) можно вычислить иначе. Для этого воспользуемся тем, что событие X < 3 является дополнительным по отношению к событию Х>3. Seejärel P(X< 3) = 1 – Р(Х> 3) = 1 – 0,0037 = 0,9963.

Kui valimi suurus suureneb n näites 3 tehtud arvutuste tegemine muutub keeruliseks. Nende tüsistuste vältimiseks on paljud binoomtõenäosused eelnevalt tabelisse toodud. Mõned neist tõenäosustest on näidatud joonisel fig. 1. Näiteks selleks, et saada tõenäosus, et X= 2 kl n= 4 ja lk= 0,1, peaksite tabelist eraldama joone ristumiskohas oleva arvu X= 2 ja veerud R = 0,1.

Riis. 1. Binoomtõenäosus juures n = 4, X= 2 ja R = 0,1

Binoomjaotust saab arvutada Exceli funktsiooni =BINOM.DIST() abil (joonis 2), millel on 4 parameetrit: õnnestumiste arv - X, testide arv (või valimi suurus) – n, õnnestumise tõenäosus – R, parameeter lahutamatu, mis võtab väärtuse TRUE (sel juhul arvutatakse tõenäosus mitte vähem X sündmused) või FALSE (sel juhul arvutatakse tõenäosus). täpselt X sündmused).

Riis. 2. Funktsiooni parameetrid =BINOM.DIST()

Ülaltoodud kolme näite puhul on arvutused näidatud joonisel fig. 3 (vt ka Exceli faili). Iga veerg sisaldab ühte valemit. Numbrid näitavad vastuseid vastava numbri näidetele).

Riis. 3. Binoomjaotuse arvutamine Excelis n= 4 ja lk = 0,1

Binoomjaotuse omadused

Binoomjaotus sõltub parameetritest n Ja R. Binoomjaotus võib olla kas sümmeetriline või asümmeetriline. Kui p = 0,05, on binoomjaotus sümmeetriline sõltumata parameetri väärtusest n. Kui aga p ≠ 0,05, muutub jaotus viltu. Mida lähemal on parameetri väärtus R kuni 0,05 ja seda suurem on valimi suurus n, seda vähem väljendub jaotuse asümmeetria. Seega on valesti täidetud vormide arvu jaotus kallutatud paremale, sest lk= 0,1 (joonis 4).

Riis. 4. Binoomjaotuse histogramm at n= 4 ja lk = 0,1

Binoomjaotuse ootus võrdne valimi suuruse korrutisega n edu tõenäosuse kohta R:

(3) M = E(X) =n.p.

Keskmiselt võib neljast järjestusest koosnevas valimis piisavalt pika testide seeria korral esineda p = E(X) = 4 x 0,1 = 0,4 valesti täidetud vorme.

Binoomjaotuse standardhälve

Näiteks raamatupidamises valesti täidetud vormide arvu standardhälve infosüsteem võrdub:

Kasutatakse materjale raamatust Levin et al. – M.: Williams, 2004. – Lk. 307–313

Kõiki nähtusi ei mõõdeta kvantitatiivsel skaalal nagu 1, 2, 3... 100500... Nähtus ei saa alati omandada lõpmatut või suurt hulka erinevaid olekuid. Näiteks võib inimese sugu olla kas M või F. Laskur kas tabab märklauda või läheb mööda. Hääletada saab kas poolt või vastu jne. ja nii edasi. Teisisõnu peegeldavad sellised andmed alternatiivse atribuudi olekut - kas "jah" (sündmus toimus) või "ei" (sündmust ei toimunud). Toimuvat sündmust (positiivset tulemust) nimetatakse ka eduks.

Selliste andmetega katseid nimetatakse Bernoulli skeem, kuulsa Šveitsi matemaatiku auks, kes tegi kindlaks, et millal suured hulgad testid, positiivsete tulemuste suhe ja testide koguarv kaldub selle sündmuse esinemise tõenäosusele.

Alternatiivne tunnusmuutuja

Selleks, et analüüsis kasutada matemaatilist aparatuuri, tuleks selliste vaatluste tulemused kirja panna numbriline vorm. Selleks omistatakse positiivsele tulemusele number 1, negatiivsele tulemusele - 0. Teisisõnu on tegu muutujaga, mis võib võtta ainult kaks väärtust: 0 või 1.

Mis kasu sellest saab? Tegelikult mitte vähem kui tavaandmetest. Seega on positiivsete tulemuste arvu lihtne välja arvutada – lihtsalt liita kõik väärtused, s.t. kõik 1 (õnnestus). Võite minna kaugemale, kuid selleks peate sisestama paar tähistust.

Esimene asi, mida tuleb märkida, on see, et positiivsetel tulemustel (mis võrdub 1) on teatav tõenäosus. Näiteks mündi viskamisel peade saamine on ½ või 0,5. Seda tõenäosust tähistatakse traditsiooniliselt ladina tähega lk. Seetõttu on alternatiivse sündmuse toimumise tõenäosus võrdne 1 - lk, mida tähistatakse ka tähisega q, see on q = 1 – p. Neid tähistusi saab selgelt süstematiseerida muutujate jaotustabeli kujul X.

Saime nimekirja võimalikest väärtustest ja nende tõenäosustest. Saab arvutada oodatud väärtus Ja dispersioon. Ootus on kõigi võimalike väärtuste ja neile vastavate tõenäosuste korrutiste summa:

Arvutame ootuse ülaltoodud tabelite tähiste abil.

Selgub, et alternatiivse märgi matemaatiline ootus on võrdne selle sündmuse tõenäosusega - lk.

Nüüd määratleme, milline on alternatiivse atribuudi dispersioon. Dispersioon on matemaatilisest ootusest kõrvalekallete keskmine ruut. Üldvalem(diskreetsete andmete jaoks) on kujul:

Siit ka alternatiivse atribuudi dispersioon:

On lihtne näha, et selle dispersiooni maksimaalne väärtus on 0,25 (koos p=0,5).

Standardhälve on dispersiooni juur:

Maksimaalne väärtus ei ületa 0,5.

Nagu näete, on nii matemaatiline ootus kui ka alternatiivse atribuudi dispersioon väga kompaktse kujuga.

Juhusliku suuruse binoomjaotus

Vaatame olukorda teise nurga alt. Tõepoolest, keda huvitab, et keskmine peade kaotus ühe viske kohta on 0,5? Seda on võimatu isegi ette kujutada. Huvitavam on esitada küsimus peade arvu kohta, mis etteantud arvu visete korral ette tuleb.

Teisisõnu huvitab teadlast sageli teatud arvu edukate sündmuste toimumise tõenäosus. See võib olla testitud partii defektsete toodete arv (1 - defektne, 0 - hea) või taastumiste arv (1 - terve, 0 - haige) jne. Selliste "edukate" arv on võrdne muutuja kõigi väärtuste summaga X, st. üksikute tulemuste arv.

Juhuslik väärtus B nimetatakse binoomseks ja see võtab väärtused 0 kuni n(at B= 0 – kõik osad sobivad, koos B = n– kõik osad on defektsed). Eeldatakse, et kõik väärtused xüksteisest sõltumatud. Vaatleme binoommuutuja põhiomadusi, st määrame kindlaks selle matemaatilise ootuse, dispersiooni ja jaotuse.

Binoommuutuja ootust on väga lihtne saada. Koguste summa matemaatiline ootus on iga lisatud suuruse matemaatiliste ootuste summa ja see on kõigi jaoks sama, seega:

Näiteks 100 viskega langenud peade arvu matemaatiline ootus on 100 × 0,5 = 50.

Nüüd tuletame binoommuutuja dispersiooni valemi. Sõltumatute juhuslike suuruste summa dispersioon on dispersioonide summa. Siit

Standardhälve vastavalt

100 mündiviske puhul on peade arvu standardhälve

Lõpetuseks vaatleme binoomväärtuse jaotust, s.t. tõenäosus, et juhuslik suurus B omandavad erinevad väärtused k, Kus 0≤k≤n. Mündi puhul võib see probleem välja näha järgmine: kui suur on tõenäosus saada 100 viskega 40 pead?

Arvutusmeetodi mõistmiseks kujutage ette, et münti visatakse ainult 4 korda. Kumbki pool võib iga kord välja kukkuda. Küsime endalt: kui suur on tõenäosus saada 4 viskest 2 pead. Iga vise on üksteisest sõltumatu. See tähendab, et suvalise kombinatsiooni saamise tõenäosus võrdub iga üksiku viske korral antud tulemuse tõenäosuste korrutisega. Olgu O pead ja P sabad. Siis võib näiteks üks meile sobivatest kombinatsioonidest välja näha OOPP, see tähendab:

Sellise kombinatsiooni tõenäosus on võrdne kahe pea saamise tõenäosuse ja veel kahe pea mittesaamise tõenäosuse korrutisega (vastupidine sündmus, arvutatuna 1 - lk), st. 0,5 × 0,5 × (1–0,5) × (1–0,5) = 0,0625. See on ühe meile sobiva kombinatsiooni tõenäosus. Aga küsimus oli kotkaste koguarvus, mitte mõnes kindlas järjekorras. Seejärel peate liitma kõigi kombinatsioonide tõenäosused, milles on täpselt 2 pead. On selge, et need on kõik ühesugused (toode ei muutu tegurite muutmisel). Seetõttu peate arvutama nende arvu ja seejärel korrutama sellise kombinatsiooni tõenäosusega. Loeme kokku kõik 4 2 peaga viske kombinatsioonid: RROO, RORO, ROOR, ORRO, OROR, OORR. Kokku on 6 võimalust.

Seetõttu on soovitav tõenäosus saada 4 viske peale 2 pead 6×0,0625=0,375.

Sel viisil loendamine on aga tüütu. Juba 10 mündi puhul on toore jõuga valikute koguarvu hankimine väga keeruline. Seetõttu leiutasid targad inimesed ammu valemi, mille abil nad arvutavad erinevate kombinatsioonide arvu n elemendid poolt k, Kus n– elementide koguarv, k– elementide arv, mille paigutusvõimalusi loetakse. Kombineeritud valem n elemendid poolt k Kas see on:

Sarnased asjad juhtuvad kombinatoorika rubriigis. Saadan kõik, kes soovivad oma teadmisi sinna täiendada. Sellest, muide, ka binoomjaotuse nimi (ülaltoodud valem on Newtoni binoomjaotuse laienduskoefitsient).

Tõenäosuse määramise valemit saab kergesti üldistada mis tahes suurusele n Ja k. Selle tulemusena on binoomjaotuse valem järgmine.

Tingimusele vastavate kombinatsioonide arv korrutatakse ühe neist tõenäosusega.

Praktiliseks kasutamiseks piisab binoomjaotuse valemi teadmisest. Või te ei pruugi isegi teada - allpool näitame, kuidas Exceli abil tõenäosust määrata. Aga parem on teada.

Selle valemi abil arvutame tõenäosuse saada 100 viskega 40 pead:

Või ainult 1,08%. Võrdluseks, selle katse matemaatilise ootuse tõenäosus, st 50 pead, on 7,96%. Binoomväärtuse maksimaalne tõenäosus kuulub matemaatilisele ootusele vastavale väärtusele.

Binoomjaotuse tõenäosuse arvutamine Excelis

Kui kasutate ainult paberit ja kalkulaatorit, on binoomjaotuse valemi abil arvutamine hoolimata integraalide puudumisest üsna keeruline. Näiteks väärtus on 100! - sisaldab rohkem kui 150 tähemärki. Varem ja ka praegu kasutati selliste koguste arvutamiseks ligikaudseid valemeid. Hetkel on soovitav kasutada spetsiaalset tarkvara, näiteks MS Excelit. Seega saab iga kasutaja (isegi koolituselt humanist) hõlpsasti arvutada binoomjaotuse tõenäosuse juhuslik muutuja.

Materjali koondamiseks kasutame Excelit esialgu tavalise kalkulaatorina, st. Teeme samm-sammult arvutuse, kasutades binoomjaotuse valemit. Arvutame näiteks 50 pea saamise tõenäosuse. Allpool on pilt arvutuse sammude ja lõpptulemusega.

Nagu näete, on vahetulemused sellise mastaabiga, et ei mahu lahtrisse, kuigi neid kasutatakse kõikjal lihtsad funktsioonid tüübid: TEGUR (faktoriaali arvutamine), VÕIMSUS (arvu tõstmine astmeni), samuti korrutamis- ja jagamisoperaatorid. Pealegi on see arvutus igal juhul üsna tülikas, kuna see pole kompaktne kaasatud on palju rakke. Jah, ja seda on natuke raske kohe aru saada.

Üldiselt pakub Excel binoomjaotuse tõenäosuste arvutamiseks valmis funktsiooni. Funktsiooni kutsutakse BINOM.DIST.

Õnnestumiste arv – edukate testide arv. Meil on neid 50.

Testide arv – visete arv: 100 korda.

Õnnestumise tõenäosus – ühe viskega peade saamise tõenäosus on 0,5.

Integraalne – näidatakse kas 1 või 0 Kui 0, siis arvutatakse tõenäosus P(B=k); kui 1, siis arvutatakse binoomjaotusfunktsioon, st. kõigi tõenäosuste summa alates B = 0 enne B=k kaasa arvatud.

Klõpsake nuppu OK ja saate sama tulemuse nagu ülal, ainult kõik arvutati ühe funktsiooniga.

Väga mugav. Katsetamise huvides paneme viimase parameetri 0 asemele 1. Saame 0,5398. See tähendab, et 100 mündiviske korral on tõenäosus saada pead vahemikus 0 kuni 50 peaaegu 54%. Aga alguses tundus, et peaks olema 50%. Üldiselt tehakse arvutused kiiresti ja lihtsalt.

Tõeline analüütik peab mõistma, kuidas funktsioon käitub (milline on selle jaotus), nii et arvutame kõigi väärtuste tõenäosused vahemikus 0 kuni 100. See tähendab, et esitame küsimuse: kui suur on tõenäosus, et mitte ükski pea ilmub, et ilmub 1 kotkas, 2, 3 , 50, 90 või 100. Arvutus on näidatud järgmisel pildil. Sinine joon on binoomjaotus ise, punane punkt on teatud arvu õnnestumiste tõenäosus k.

Keegi võib küsida, kas binoomjaotus on sarnane... Jah, väga sarnane. Isegi Moivre (1733) ütles, et binoomjaotus suurte valimitega läheneb (ma ei tea, kuidas seda siis nimetati), kuid keegi ei kuulanud teda. Taasavastati ja uuriti hoolikalt ainult Gauss ja 60–70 aastat hiljem Laplace tavaline seadus distributsioonid. Ülaltoodud graafik näitab selgelt, et maksimaalne tõenäosus langeb matemaatilisele ootusele ja sellest kõrvalekaldudes väheneb see järsult. Täpselt nagu tavaline seadus.

Binoomjaotusel on suur praktiline tähtsus ja seda esineb üsna sageli. Exceli abil tehakse arvutused kiiresti ja lihtsalt.

Binoomjaotus on diskreetselt muutuva juhusliku suuruse üks olulisemaid tõenäosusjaotusi. Binoomjaotus on arvu tõenäosusjaotus m sündmuse toimumine A V nüksteisest sõltumatud vaatlused. Sageli sündmus A nimetatakse vaatluse eduks ja vastupidist sündmust "ebaõnnestumiseks", kuid see määratlus on väga tingimuslik.

Binoomjaotustingimused:

• kokku läbi viidud n katsed, milles sündmus A võib tekkida või mitte;
• sündmus A igas katses võib juhtuda sama tõenäosusega lk;
• testid on üksteisest sõltumatud.

Tõenäosus, et sisse n testimisüritus A see tuleb täpselt m korda, saab arvutada Bernoulli valemi abil:

Kus lk- sündmuse toimumise tõenäosus A;

q = 1 - lk- vastupidise sündmuse toimumise tõenäosus.

Selgitame välja miks on binoomjaotus seotud Bernoulli valemiga ülalkirjeldatud viisil? . Sündmus – kordaminekute arv kell n testid on jagatud mitmeks valikuks, millest igaühes saavutatakse edu m testid ja ebaõnnestumine - sisse n - m testid. Mõelgem ühele neist võimalustest - B1 . Kasutades tõenäosuste liitmise reeglit, korrutame vastupidiste sündmuste tõenäosused:

,

ja kui me tähistame q = 1 - lk, See

.

Mis tahes muu variant, milles m edu ja n - m ebaõnnestumisi. Selliste valikute arv on võrdne võimaluste arvuga n proovi saada m edu.

Kõigi tõenäosuste summa m sündmuste esinemisnumbrid A(numbrid 0 kuni n) on võrdne ühega:

kus iga liige tähistab üht liiget Newtoni binoomis. Seetõttu nimetatakse vaadeldavat jaotust binoomjaotuseks.

Praktikas on sageli vaja arvutada tõenäosusi "mitte rohkem kui m edu sisse n testid" või "vähemalt m edu sisse n testid". Selleks kasutatakse järgmisi valemeid.

Integraalfunktsioon, see tähendab tõenäosus F(m) mis sees on n vaatlusüritus A rohkem ei tule müks kord, saab arvutada järgmise valemi abil:

Omakorda tõenäosus F(≥m) mis sees on n vaatlusüritus A ei tule vähem müks kord, arvutatakse järgmise valemiga:

Mõnikord on mugavam arvutada selle tõenäosus n vaatlusüritus A rohkem ei tule m korda, vastupidise sündmuse tõenäosuse kaudu:

.

Millist valemit kasutada, sõltub sellest, kummal neist on vähem termineid sisaldav summa.

Binoomjaotuse karakteristikud arvutatakse järgmiste valemite abil .

Oodatud väärtus: .

Dispersioon:.

Standardhälve: .

Binoomjaotus ja arvutused MS Excelis

Binoomtõenäosus P n ( m) ja integraalfunktsiooni väärtused F(m) saab arvutada MS Exceli funktsiooni BINOM.DIST abil. Vastava arvutuse aken on näidatud allpool (suurendamiseks klõpsake vasakut nuppu).

MS Excel nõuab järgmiste andmete sisestamist:

• õnnestumiste arv;
• testide arv;
• õnnestumise tõenäosus;
• integraal - loogiline väärtus: 0 - kui teil on vaja arvutada tõenäosus P n ( m) ja 1 – kui tõenäosus F(m).

Näide 1. Firmajuht võttis kokku info viimase 100 päeva müüdud kaamerate arvu kohta. Tabelis on kokku võetud teave ja arvutatud tõenäosus, et teatud arv kaameraid müüakse päevas.

Päev lõpeb kasumiga, kui müüakse 13 või enam kaamerat. Tõenäosus, et päev kulgeb kasumlikult:

Tõenäosus, et päev töötatakse tulutult:

Olgu tõenäosus, et päev töötatakse kasumiga, konstantne ja võrdne 0,61-ga ning päevas müüdavate kaamerate arv ei sõltu päevast. Siis saame kasutada binoomjaotust, kus sündmus A- päev töötatakse kasumiga, - tulutult.

Tõenäosus, et kõik 6 päeva töötatakse kasumiga:

.

Sama tulemuse saame MS Exceli funktsiooni BINOM.DIST abil (integraali väärtuseks on 0):

P 6 (6 ) = BINOM.DIST(6; 6; 0,61; 0) = 0,052.

Tõenäosus, et 6 päevast töötatakse kasumiga 4 või enam päeva:

Kus ,

,

Kasutades MS Exceli funktsiooni BINOM.DIST, arvutame tõenäosuse, et 6 päevast saab kasumiga mitte rohkem kui 3 päeva (integraalväärtuse väärtus on 1):

P 6 (≤3 ) = BINOM.DIST(3; 6; 0,61; 1) = 0,435.

Tõenäosus, et kõik 6 päeva mööduvad kahjumiga:

,

Sama näitaja saame arvutada MS Exceli funktsiooni BINOM.DIST abil:

P 6 (0 ) = BINOM.DIST(0; 6; 0,61; 0) = 0,0035.

Lahendage probleem ise ja seejärel vaadake lahendust

Näide 2. Urnis on 2 valget ja 3 musta palli. Urnist võetakse pall välja, värvitakse ja pannakse tagasi. Katset korratakse 5 korda. Valgete pallide esinemiste arv on diskreetne juhuslik suurus X, jaotatud binoomseaduse järgi. Koostage juhusliku suuruse jaotusseadus. Määratlege režiim, matemaatiline ootus ja dispersioon.

Jätkame koos probleemide lahendamist

Näide 3. Kulleriteenistusest läksime objektidele n= 5 kullerit. Iga kuller on tõenäoline lk= 0,3, olenemata teistest, jääb objektile hiljaks. Diskreetne juhuslik suurus X- hilinenud kullerite arv. Koostage selle juhusliku muutuja jaotusseeria. Leidke selle matemaatiline ootus, dispersioon, standardhälve. Leidke tõenäosus, et vähemalt kaks kullerit jäävad objektidele hiljaks.

7. peatükk.

Juhuslike suuruste jaotuse spetsiifilised seadused

Diskreetsete juhuslike suuruste jaotusseaduste tüübid

Olgu väärtused diskreetne juhuslik suurus X 1 , X 2 , …, x n,…. Nende väärtuste tõenäosusi saab arvutada erinevate valemite abil, kasutades näiteks tõenäosusteooria põhiteoreeme, Bernoulli valemit või mõnda muud valemit. Mõne sellise valemi puhul on jaotusseadusel oma nimi.

Diskreetse juhusliku suuruse levinumad jaotuse seadused on binoomne, geomeetriline, hüpergeomeetriline ja Poissoni jaotuse seadus.

Binoomjaotuse seadus

Las toodetakse n sõltumatud katsed, millest igaühes võib sündmus esineda või mitte A. Selle sündmuse toimumise tõenäosus igas üksikus katses on konstantne, ei sõltu katse numbrist ja on võrdne R=R(A). Sellest tuleneb ka tõenäosus, et sündmust ei toimu A igas testis on samuti konstantne ja võrdne q=1–R. Mõelge juhuslikule muutujale X võrdne sündmuse esinemiste arvuga A V n testid. Ilmselt on selle koguse väärtused võrdsed

X 1 =0 – sündmus A V n teste ei ilmunud;

X 2 =1 – sündmus A V n esines kord katsetel;

X 3 =2 – sündmus A V n testid ilmusid kaks korda;

…………………………………………………………..

x n +1 = n- sündmus A V n kõik ilmnes katsete käigus nüks kord.

Nende väärtuste tõenäosusi saab arvutada Bernoulli valemi (4.1) abil:

Kus To=0, 1, 2, …,n .

Binoomjaotuse seadus X, võrdub õnnestumiste arvuga aastal n Bernoulli testid, edu tõenäosusega R.

Seega on diskreetsel juhuslikul muutujal binoomjaotus (või jaotatakse vastavalt binoomseadusele), kui selle võimalikud väärtused on 0, 1, 2, ..., n, ja vastavad tõenäosused arvutatakse valemi (7.1) abil.

Binoomjaotus sõltub kahest parameetrid R Ja n.

Binoomseaduse järgi jaotatud juhusliku suuruse jaotusrida on järgmisel kujul:

X			…	k	…	n
R			…		…

Näide 7.1 . Sihtmärki tehakse kolm iseseisvat lasku. Iga lasu tabamise tõenäosus on 0,4. Juhuslik väärtus X– sihtmärgi tabamuste arv. Koostage selle jaotusseeria.

Lahendus. Juhusliku suuruse võimalikud väärtused X on X 1 =0; X 2 =1; X 3 =2; X 4 =3. Leiame Bernoulli valemi abil vastavad tõenäosused. Pole raske näidata, et selle valemi kasutamine siin on täiesti õigustatud. Pange tähele, et tõenäosus, et ühe lasuga sihtmärki ei taba, on 1-0,4=0,6. Saame

Jaotussarja vorm on järgmine:

X
R	0,216	0,432	0,288	0,064

Lihtne on kontrollida, kas kõigi tõenäosuste summa on võrdne 1-ga. Juhuslik suurus ise X jagatud binoomseaduse järgi. ■

Leiame binoomseaduse järgi jaotatud juhusliku suuruse matemaatilise ootuse ja dispersiooni.

Näite 6.5 lahendamisel näidati, et sündmuse esinemiste arvu matemaatiline ootus A V n sõltumatud katsed, kui esinemise tõenäosus A igas testis on konstantne ja võrdne R, võrdub n· R

Selles näites kasutati juhuslikku muutujat, mis on jaotatud binoomseaduse järgi. Seetõttu on näite 6.5 lahendus sisuliselt järgmise teoreemi tõestus.

Teoreem 7.1. Binoomseaduse järgi jaotatud diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus on võrdne katsete arvu ja “edukuse” tõenäosuse korrutisega, s.o. M(X)=n· R.

Teoreem 7.2. Binoomseaduse järgi jaotatud diskreetse juhusliku suuruse dispersioon on võrdne katsete arvu korrutisega “edu” tõenäosusega ja “ebaõnnestumise” tõenäosusega, s.o. D(X)=nрq.

Binoomseaduse järgi jaotatud juhusliku suuruse asümmeetria ja kurtoos määratakse valemitega

Neid valemeid saab saada alg- ja keskmomendi mõistet kasutades.

Binoomjaotuse seadus on paljude tegelike olukordade aluseks. Suurte väärtuste jaoks n Binoomjaotust saab ligikaudselt hinnata teiste jaotuste, eriti Poissoni jaotuse abil.

Poissoni jaotus

Las olla n Bernoulli testid koos testide arvuga n piisavalt suur. Varem näidati, et sel juhul (kui pealegi on tõenäosus R sündmused A väga väike), et leida tõenäosus, et sündmus A ilmuma T Testides saate kasutada Poissoni valemit (4.9). Kui juhuslik suurus X tähendab sündmuse esinemiste arvu A V n Bernoulli testid, siis tõenäosus, et X võtab väärtuse k saab arvutada valemi abil

, (7.2)

Kus λ = nr.

Poissoni jaotamise seadus nimetatakse diskreetse juhusliku suuruse jaotuseks X, mille võimalikud väärtused on mittenegatiivsed täisarvud ja tõenäosused r t need väärtused leitakse valemi (7.2) abil.

Suurusjärk λ = nr helistas parameeter Poissoni jaotused.

Poissoni seaduse järgi jaotatud juhuslik suurus võib omandada lõpmatu arvu väärtusi. Kuna selle jaotuse korral on tõenäosus R Sündmuse esinemine igas katses on väike, siis nimetatakse seda jaotust mõnikord haruldaste sündmuste seaduseks.

Poissoni seaduse järgi jaotatud juhusliku suuruse jaotusridadel on vorm

X					…	T	…
R					…		…

Lihtne on kontrollida, kas teise rea tõenäosuste summa on võrdne 1-ga. Selleks peate meeles pidama, et funktsiooni saab laiendada Maclaurini seeriaks, mis koondub mis tahes X. Sel juhul on meil

. (7.3)

Nagu märgitud, asendab Poissoni seadus teatud piiravatel juhtudel binoomseadust. Näiteks on juhuslik muutuja X, mille väärtused on võrdsed rikete arvuga teatud aja jooksul tehnilise seadme korduval kasutamisel. Eeldatakse, et tegemist on ülimalt töökindla seadmega, s.t. Ühe rakenduse ebaõnnestumise tõenäosus on väga väike.

Lisaks sellistele piiravatele juhtudele on praktikas Poissoni seaduse järgi jaotatud juhuslikud muutujad, mida binoomjaotusega ei seostata. Näiteks kasutatakse Poissoni jaotust sageli, kui käsitletakse teatud ajaperioodi sündmuste arvu (telefonikeskjaama saabunud kõnede arv tunni jooksul, autopesulasse saabunud autode arv päeva jooksul, masina peatumiste arv nädalas jne). Kõik need sündmused peaksid moodustama nn sündmuste voo, mis on järjekorrateooria üks põhimõisteid. Parameeter λ iseloomustab sündmuste voo keskmist intensiivsust.

Näide 7.2 . Teaduskonnas on 500 üliõpilast. Kui suur on tõenäosus, et 1. september on selle osakonna kolme õpilase sünnipäev?

Lahendus . Alates õpilaste arvust n=500 on üsna suur ja R– ühelgi õpilasel on tõenäosus sündida esimesel septembril , s.o. on piisavalt väike, siis võime eeldada, et juhuslik suurus X– 1. septembril sündinud õpilaste arv jaotatakse Poissoni seaduse järgi parameetriga λ = n.p.= =1,36986. Seejärel saame valemi (7.2) järgi

Teoreem 7.3. Olgu juhuslik suurus X jaotatud vastavalt Poissoni seadusele. Siis on selle matemaatiline ootus ja dispersioon üksteisega võrdsed ja parameetri väärtusega λ , st. M(X) = D(X) = λ = n.p..

Tõestus. Matemaatilise ootuse definitsiooni järgi, kasutades valemit (7.3) ja Poissoni seaduse järgi jaotunud juhusliku suuruse jaotusrida, saame

Enne dispersiooni leidmist leiame esmalt vaadeldava juhusliku suuruse ruudu matemaatilise ootuse. Saame

Siit saame dispersiooni definitsiooni järgi

Teoreem on tõestatud.

Kasutades alg- ja keskmomendi mõisteid, saab näidata, et Poissoni seaduse järgi jaotatud juhusliku suuruse korral määratakse kaldsuse ja kurtoosi koefitsiendid valemitega

Seda pole raske mõista, kuna parameetri semantiline sisu λ = n.p. on positiivne, siis Poissoni seaduse järgi jaotatud juhuslikul muutujal on alati positiivne kalduvus ja kurtoos.

- (binoomjaotus) Jaotus, mis võimaldab arvutada mitmete sõltumatute sündmuste vaatluse tulemusel saadud mis tahes juhusliku sündmuse toimumise tõenäosust, kui selle elementaarkomponentide esinemise tõenäosus ... ... Majandussõnastik

- (Bernoulli jaotus) teatud sündmuse esinemiste arvu tõenäosusjaotus korduvate sõltumatute katsete käigus, kui selle sündmuse toimumise tõenäosus igas katses on võrdne p(0 p 1). Täpselt, number? selle sündmuse juhtumid on ...... Suur entsüklopeediline sõnaraamat

binoomjaotus- - Telekommunikatsiooni teemad, põhimõisted EN binoomjaotus ...

- (Bernoulli jaotus), teatud sündmuse esinemiste arvu tõenäosusjaotus korduvate sõltumatute katsete käigus, kui selle sündmuse toimumise tõenäosus igas katses on võrdne p (0≤p≤1). Nimelt selle sündmuse esinemiste arv μ... ... entsüklopeediline sõnaraamat

binoomjaotus- 1.49. binoomjaotus Diskreetse juhusliku suuruse X tõenäosusjaotus, võttes mis tahes täisarvu väärtused vahemikus 0 kuni n, nii et x = 0, 1, 2, ..., n ja parameetrite n = 1, 2, ... ja 0< p < 1, где Источник … Normatiivse ja tehnilise dokumentatsiooni terminite sõnastik-teatmik

Bernoulli jaotus, juhusliku suuruse X tõenäosusjaotus, võttes vastavalt täisarvude väärtusi tõenäosustega (binoomkoefitsient; B. r. parameeter p, mida nimetatakse positiivse tulemuse tõenäosuseks, võttes väärtusi ... Matemaatiline entsüklopeedia

Teatud sündmuse esinemiste arvu tõenäosusjaotus korduvate sõltumatute katsete käigus. Kui iga katse ajal on sündmuse toimumise tõenäosus võrdne p, 0 ≤ p ≤ 1, siis selle sündmuse esinemiste arv μ n sõltumatu... ... Suur Nõukogude entsüklopeedia

- (Bernoulli jaotus), teatud sündmuse esinemiste arvu tõenäosusjaotus korduvate sõltumatute katsete ajal, kui selle sündmuse toimumise tõenäosus igas katses on võrdne p (0<или = p < или = 1). Именно, число м появлений … Loodusteadus. entsüklopeediline sõnaraamat

Binoomne tõenäosusjaotus- (binoomjaotus) Jaotus, mida täheldatakse juhtudel, kui iga sõltumatu katse (statistilise vaatluse) tulemuseks on üks kahest võimalikust väärtusest: võit või lüüasaamine, kaasamine või väljajätmine, pluss või ... Majanduslik-matemaatika sõnastik

binoomne tõenäosusjaotus- Jaotus, mida jälgitakse juhtudel, kui iga sõltumatu katse (statistilise vaatluse) tulemuseks on üks kahest võimalikust väärtusest: võit või lüüasaamine, kaasamine või väljajätmine, pluss või miinus, 0 või 1. See tähendab... ... Tehniline tõlkija juhend

Raamatud

• Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika ülesannetes. Rohkem kui 360 probleemi ja harjutust, D. A. Borzykh. Kavandatav käsiraamat sisaldab erineva keerukusega ülesandeid. Põhirõhk on siiski keskmise keerukusega ülesannetel. Seda tehakse tahtlikult, et julgustada õpilasi...
• Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika ülesannetes Rohkem kui 360 ülesannet ja harjutust, D. Borzykh Kavandatav käsiraamat sisaldab erineva keerukusega probleeme. Põhirõhk on siiski keskmise keerukusega ülesannetel. Seda tehakse tahtlikult, et julgustada õpilasi...