Fibonacci teooria. Kuldne suhe – mis see on? Mis on Fibonacci numbrid? Mis on ühist DNA-spiraalil, kestal, galaktikas ja Egiptuse püramiididel? Fibonacci numbriseerial on oma huvitavad mustrid

Fibonacci numbrid – Forexis – on matemaatiline seos ja alus Forexis erinevatele tehnilise analüüsi meetoditele ja strateegiatele. Need numbrid on aluseks paljudele teistele Forexi turustrateegiatele.

Tema auks nimetati veidi hiljem selliste numbrite jadad asutaja enda järgi - “ Fibonacci seeria».

Selle raamatu abil õppisid eurooplased indoaraabia numbrijada, misjärel rooma numbrid matemaatikas ja geomeetrias kasutusest loobuti. Kõik Leonardo Fibonacci teosed, tõi tohutult kasu füüsika, matemaatika, astronoomia ja. Unikaalne Fibonacci valem ise on üllatavalt lihtne: 1, 2, 3, 5, 8 (ja nii edasi lõpmatuseni).

Fibonacci numbriseeria on väga ebatavaliste omadustega, nimelt on iga number seotud eelmisega. Kahe kõrvuti asetseva Fibonacci arvu liitmisel saadakse kahele esimesele järgnev arv. Näitena saame tuua järgmise: 2 + 2 = 4. Suvalise arvu ja eelmise arvu suhte väärtus on kuldsele keskmisele lähedane 1,618 Näiteks: 13: 8 = 1,625; või 21: 13 = 1,615; ja nii edasi.
Vaatleme ka teist näidet Leonardo Fibonacci jadast:

Pane tähele, kuidas arvude suhe kõigub väärtuse 0,618 ümber!

Tegelikult ei peeta Leonardo Fibonacci ennast selle esmaavastajaks numbriseeria. Sest selle matemaatilise seose jälgi on leitud muusikast, bioloogiast ja arhitektuurist. Isegi planeetide ja kogu päikesesüsteemi paigutus põhineb neil reeglitel.

Fibonacci numbreid kasutasid ehituses Parthenoni ehitamise ajal kreeklased ja Giza kuulsa püramiidi ehitamisel egiptlased. "Arvkeskmise" ainulaadsed omadused olid teada ka antiikaja suurimatele teadlastele, nagu Platon, Pythagoras, Archimedes ja Leonardo da Vinci.

Hämmastav Fibonacci numbrimuster

Leonardo Fibonacci arvusuhe ja parandustaseme % suhe.

Reeglina koosneb parandus alati 3 hüppest...

Tavapärane korrektsioon jaguneb kahte tüüpi:

• see on siksak 5, 3, 5,
• ja lennuki laine 3, 3, 5.

Neljandal moodustuvad tavaliselt kolmnurgad, mis eelnevad pidevalt viimasele moodustunud lainele. See moodustis võib olla ka korrigeeriv laine B.

Iga laine on jagatud väiksemateks ja on pikema laine komponent.

Juhtub, et üks impulsslaine on venitatud ja ülejäänud kaks peaksid reeglina olema sama suuruse ja moodustumise aja poolest.

Leidmiseks kasutatakse Fibonacci koefitsiente ja nende arvude abil tuletatud parandussuuruste suhteid.

Korrektsiooni suuruse ja eelmise trendi liikumise suhe on tavaliselt võrdne: 62, 50, 38 protsenti.

Vaheldumismeetod ütleb: te ei tohiks oodata 2 korda järjest sama hinnadünaamika avaldumist.

Aktiivne pulliturg ei saa langeda madalamale kui eelmise 4 laine algus.

Lisaks ei tohiks laine 4 ristuda esimesega.

Elioti teooria peamised kriteeriumid on:

1) lainekuju;
2) nende pikkuste suhe;
3) nende kujunemise periood.

Lisaks, nagu me juba mainisime, põhinevad paljud teised Leonardo Fibonacci tuletatud järjestustel, mida selle saidi materjalides kindlasti käsitletakse.

• Tõlge

Sissejuhatus

Programmeerijatel peaks Fibonacci numbritest nüüdseks kõrini saama. Nende arvutamise näiteid kasutatakse läbivalt. Kõik sõltub sellest, mida need numbrid pakuvad lihtsaim näide rekursioon. Need on ka hea näide dünaamilise programmeerimise kohta. Kuid kas reaalses projektis on vaja neid niimoodi arvutada? Pole tarvis. Rekursioon ega dünaamiline programmeerimine pole ideaalsed võimalused. Ja mitte suletud valem, mis kasutab ujukoma numbreid. Nüüd ütlen teile, kuidas seda õigesti teha. Aga kõigepealt käime läbi kõik teadaolevad lahendusvariandid.

Kood on mõeldud Python 3 jaoks, kuigi see peaks töötama ka Python 2-ga.

Alustuseks tuletan teile meelde määratlust:

F n = F n-1 + F n-2

Ja F 1 = F 2 = 1.

Suletud valem

Jätame üksikasjad vahele, kuid huvilised saavad tutvuda valemi tuletamisega. Idee on eeldada, et on mingi x, mille jaoks F n = x n, ja seejärel leida x.

Mida see tähendab

Vähenda x n-2

Ruutvõrrandi lahendamine:

Siin kasvab “kuldne suhe” ϕ=(1+√5)/2. Asendades algväärtused ja tehes veel mõned arvutused, saame:

Mida me kasutame Fn arvutamiseks.

Alates __tuleviku__ impordi jaotusest impordi matemaatika def fib(n): SQRT5 = math.sqrt(5) PHI = (SQRT5 + 1) / 2 tagasi int(PHI ** n / SQRT5 + 0,5)

Hea:
Kiire ja lihtne väikestele n
Halb:
Ujukomatehted on vajalikud. Suur n nõuab suuremat täpsust.
Kurjus:
Kasutamine kompleksarvud arvutada F n on matemaatilisest vaatenurgast ilus, arvuti seisukohast aga kole.

Rekursioon

Kõige ilmsem lahendus on see, mida olete korduvalt varem näinud, tõenäoliselt näitena, mis on rekursioon. Täielikkuse huvides kordan seda uuesti. Pythonis saab selle kirjutada ühele reale:

Fib = lambda n: fib(n - 1) + fib (n - 2), kui n > 2 muu 1

Hea:
Väga lihtne teostus, mis järgib matemaatilist määratlust
Halb:
Eksponentsiaalne täitmisaeg. Suurte n puhul on see väga aeglane
Kurjus:
Stack Overflow

Meeldejätmine

Rekursioonilahendusel on suur probleem: arvutuste kattumine. Kui kutsutakse fib(n), loetakse fib(n-1) ja fib(n-2). Aga kui fib(n-1) loetakse, loeb see fib(n-2) uuesti iseseisvalt – see tähendab, et fib(n-2) loetakse kaks korda. Kui jätkame argumenti, näeme, et fib(n-3) loendatakse kolm korda jne. Liiga palju ristmikke.

Seetõttu peate lihtsalt tulemusi meeles pidama, et neid uuesti mitte arvestada. See lahendus kulutab aega ja mälu lineaarselt. Kasutan oma lahenduses sõnastikku, kuid võib kasutada ka lihtsat massiivi.

M = (0: 0, 1: 1) def fib(n): kui n in M: tagastab M[n] M[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2) tagastab M[n]

(Pythonis saab seda teha ka dekoraatori functools.lru_cache abil.)

Hea:
Lihtsalt muutke rekursioon mälulahenduseks. Teisendab eksponentsiaalse täitmisaja lineaarseks täitmiseks, mis kulutab rohkem mälu.
Halb:
Raiskab palju mälu
Kurjus:
Võimalik virna ületäitumine, täpselt nagu rekursioon

Dünaamiline programmeerimine

Pärast päheõppimisega lahendamist selgub, et meil pole vaja kõiki eelnevaid tulemusi, vaid ainult kahte viimast. Samuti võite selle asemel, et alustada fib(n)-st ja minna tagasi, alustada fib(0)-st ja minna edasi. Järgmisel koodil on lineaarne täitmisaeg ja fikseeritud mälukasutus. Praktikas on lahenduse kiirus veelgi suurem, kuna puuduvad rekursiivsed funktsioonikutsed ja nendega seotud töö. Ja kood tundub lihtsam.

Seda lahendust tuuakse sageli dünaamilise programmeerimise näitena.

Määratud fib(n): a = 0 b = 1 __ jaoks vahemikus (n): a, b = b, a + b tagastab a

Hea:
Töötab kiiresti väikese n, lihtsa koodi puhul
Halb:
Ikka lineaarne täitmisaeg
Kurjus:
Ei midagi erilist.

Maatriksalgebra

Ja lõpuks kõige vähem valgustatud, kuid kõige õigem lahendus, kasutades targalt nii aega kui mälu. Seda saab laiendada ka mis tahes homogeensele lineaarsele järjestusele. Idee on kasutada maatriksit. Piisab ainult selle nägemisest

Ja selle üldistus ütleb seda

Kaks x väärtust, mille saime varem, millest üks oli kuldne suhe, on omaväärtused maatriksid. Seetõttu on suletud valemi tuletamiseks veel üks viis maatriksvõrrandi ja lineaaralgebra kasutamine.

Miks on see koostis kasulik? Kuna eksponentsi saab teha logaritmilises ajas. Seda tehakse kvadratuuri abil. Asi on selles

Kui esimest avaldist kasutatakse paaris A jaoks, teist avaldist paaritu jaoks. Jääb vaid korraldada maatrikskorrutised ja kõik on valmis. Selle tulemuseks on järgmine kood. Lõin pow rekursiivse teostuse, sest seda on lihtsam mõista. Vaata iteratiivset versiooni siit.

Def pow(x, n, I, mult): """ Tagastab x astme n. Eeldab, et I on identiteedimaatriks, mida korrutatakse arvuga mult ja n on positiivne täisarv """, kui n == 0: tagastab I elif n == 1: tagastab x else: y = pow(x, n // 2, I, mult) y = mult(y, y) if n % 2: y = mult(x, y) return y def identiteedi_maatriks (n): """Tagastab n x n identiteedimaatriksi""" r = loend(vahemik(n)) tagastab [ j jaoks r] def maatriks_korrutis(A, B): BT = loend(zip(*B) ) return [ rea_a jaoks A-s] def fib(n): F = pow([, ], n, identiteedi_maatriks(2), maatriksi_korrutis) return F

Hea:
Fikseeritud mälumaht, logaritmiline aeg
Halb:
Kood on keerulisem
Kurjus:
Peate töötama maatriksitega, kuigi need pole nii halvad

Toimivuse võrdlus

Võrrelda tasub ainult dünaamilise programmeerimise varianti ja maatriksit. Kui võrrelda neid märkide arvu järgi arvus n, siis selgub, et maatrikslahendus on lineaarne ja dünaamilise programmeerimisega lahendus eksponentsiaalne. Praktiline näide on fib(10 ** 6) arvutamine, mis koosneb rohkem kui kahesajast tuhandest numbrist.

N=10**6
Fib_maatriksi arvutamine: fib(n) on ainult 208988 numbrit, arvutamiseks kulus 0,24993 sekundit.
Fib_dynamic arvutamine: fib(n) on ainult 208988 numbrit, arvutamiseks kulus 11,83377 sekundit.

Teoreetilised märkused

Kuigi see märkus pole ülaltoodud koodiga otseselt seotud, pakub see siiski huvi. Mõelge järgmisele graafikule:

Loendame n pikkusega radade arvu punktist A punkti B. Näiteks n = 1 korral on meil üks tee, 1. Kui n = 2 on meil jälle üks tee, 01. Kui n = 3 on meil kaks teed, 001 ja 101 Täiesti lihtsalt saab näidata, et n pikkusega radade arv punktist A punkti B on täpselt võrdne Fn-ga. Olles graafiku jaoks üles kirjutanud naabrusmaatriksi, saame sama maatriksi, mida kirjeldati eespool. See teadaolev tulemus graafiteooriast, et naabrusmaatriksi A korral on esinemised A n-s n pikkuste radade arv graafikus (üks probleemidest, mida mainiti filmis Good Will Hunting).

Miks on ribidel sellised märgid? Selgub, et kui võtta arvesse lõpmatut sümbolite jada graafiku edasi-tagasi lõpmatul teekonnal, saadakse midagi, mida nimetatakse "lõpliku tüüpi alamnihketeks", mis on sümboolse dünaamika süsteemi tüüp. Seda piiratud tüüpi alamnihet nimetatakse "kuldse suhte nihkeks" ja seda täpsustab "keelatud sõnade" komplekt (11). Teisisõnu saame binaarsed jadad, mis on mõlemas suunas lõpmatud ja ükski nende paar ei asu kõrvuti. Selle dünaamilise süsteemi topoloogiline entroopia on võrdne kuldse suhtega ϕ. Huvitav, kuidas see arv matemaatika erinevates valdkondades perioodiliselt ilmub.

Sildid: lisa sildid

Kas olete kunagi kuulnud, et matemaatikat nimetatakse "kõikide teaduste kuningannaks"? Kas olete selle väitega nõus? Kuni matemaatika jääb teie jaoks õpikusse igavate ülesannete kogumiks, on ebatõenäoline, et kogete selle teaduse ilu, mitmekülgsust ja isegi huumorit.

Kuid matemaatikas on teemasid, mis aitavad teha huvitavaid tähelepanekuid meile tavaliste asjade ja nähtuste kohta. Ja isegi proovige tungida läbi meie universumi loomise saladuse loori. Maailmas on huvitavaid mustreid, mida saab kirjeldada matemaatika abil.

Tutvustame Fibonacci numbreid

Fibonacci numbrid nimeta numbrijada elemente. Selles saadakse jada iga järgmine arv kahe eelneva arvu liitmisel.

Näidisjada: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…

Võite selle kirjutada nii:

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2

Saate alustada negatiivsete väärtustega Fibonacci numbrite seeriat n. Veelgi enam, jada on sel juhul kahesuunaline (see tähendab, et see hõlmab negatiivseid ja positiivseid numbreid) ja kipub mõlemas suunas lõpmatuseni.

Sellise jada näide: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.

Sel juhul näeb valem välja selline:

F n = F n+1 – F n+2 või muidu saate seda teha: F -n = (-1) n+1 Fn.

Seda, mida me praegu tunneme kui "Fibonacci numbreid", teadsid iidsed India matemaatikud juba ammu enne, kui neid Euroopas kasutama hakati. Ja see nimi on üldiselt üks pidev ajalooline anekdoot. Alustame sellest, et Fibonacci ise ei nimetanud end oma eluajal kordagi Fibonacciks – seda nime hakati Pisa Leonardo kohta kandma alles mitu sajandit pärast tema surma. Aga räägime kõigest järjekorras.

Leonardo Pisast ehk Fibonacci

Kaupmehe poeg, kellest sai matemaatik ja kes pälvis seejärel järelpõlvede tunnustuse keskajal Euroopa esimese suurema matemaatikuna. Mitte vähemasti tänu Fibonacci numbritele (mida, meenutagem, veel nii ei kutsutud). Mida ta kirjeldas 13. sajandi alguses oma teoses "Liber abaci" ("Abakuse raamat", 1202).

Reisin koos isaga itta, Leonardo õppis araabia õpetajate juures matemaatikat (ja neil päevil olid nad selles küsimuses ja paljudes teistes teadustes ühed parimad spetsialistid). Antiikaja matemaatikute tööd ja Vana-India ta luges araabiakeelsetes tõlgetes.

Saanud põhjalikult aru kõigest, mida ta oli lugenud, ja kasutades oma uudishimulikku meelt, kirjutas Fibonacci matemaatikast mitu teaduslikku traktaati, sealhulgas ülalmainitud "Abakuse raamatu". Lisaks sellele lõin:

• "Practica geometriae" ("Geomeetria praktika", 1220);
• "Flos" ("Flower", 1225 - uurimus kuupvõrranditest);
• "Liber quadratorum" ("Ruutide raamat", 1225 - ülesanded määramatute ruutvõrrandite kohta).

Ta oli suur matemaatikaturniiride fänn, mistõttu pööras ta oma traktaatides palju tähelepanu erinevate matemaatikaülesannete analüüsile.

Leonardo elu kohta on jäänud väga vähe biograafilisi andmeid. Mis puutub nime Fibonacci, mille all ta matemaatika ajalukku astus, siis see omistati talle alles 19. sajandil.

Fibonacci ja tema probleemid

Pärast Fibonacci jäi alles suur hulk probleeme, mis olid järgnevatel sajanditel matemaatikute seas väga populaarsed. Vaatleme küülikuprobleemi, mis lahendatakse Fibonacci numbrite abil.

Küülikud pole mitte ainult väärtuslik karusnahk

Fibonacci seadis järgmised tingimused: vastsündinud küülikupaar (isane ja emane) on nii huvitavat tõugu, et nad annavad regulaarselt (alates teisest kuust) järglasi - alati ühe uue paari küülikuid. Samuti, nagu võite arvata, isane ja naine.

Need tingimuslikud küülikud paigutatakse kinnisesse ruumi ja paljunevad entusiastlikult. Samuti on sätestatud, et ükski küülik ei sure mingisse salapärasesse küülikuhaigusesse.

Peame arvutama, mitu küülikut me aasta jooksul saame.

• 1 kuu alguses on meil 1 paar küülikuid. Kuu lõpus nad paarituvad.
• Teine kuu - meil on juba 2 paari küülikuid (paaril on vanemad + 1 paar on nende järglased).
• Kolmas kuu: Esimesel paaril sünnib uus paar, teine ​​paar paaritub. Kokku - 3 paari küülikuid.
• Neljas kuu: Esimene paar toob ilmale uue paari, teine ​​paar ei raiska aega ja sünnitab ka uue paari, kolmas paar alles paaritab. Kokku - 5 paari küülikuid.

Küülikute arv n kuu = eelmise kuu küülikupaaride arv + vastsündinud paaride arv (küülikupaare on sama palju kui 2 kuud varem). Ja seda kõike kirjeldab valem, mille oleme juba eespool esitanud: F n = F n-1 + F n-2.

Seega saame korduva (selgituse umbes rekursioon– allpool) numbrijada. Milles iga järgmine arv on võrdne kahe eelmise summaga:

1. 1 + 1 = 2
2. 2 + 1 = 3
3. 3 + 2 = 5
4. 5 + 3 = 8
5. 8 + 5 = 13
6. 13 + 8 = 21
7. 21 + 13 = 34
8. 34 + 21 = 55
9. 55 + 34 = 89
10. 89 + 55 = 144
11. 144 + 89 = 233
12. 233+ 144 = 377 <…>

Saate järjestust pikka aega jätkata: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. Aga kuna oleme määranud kindla perioodi - aasta, siis huvitab meid 12. “käigul” saadud tulemus. Need. Jada 13. liige: 377.

Vastus probleemile: kui kõik märgitud tingimused on täidetud, saadakse 377 jänest.

Üks Fibonacci numbrijada omadusi on väga huvitav. Kui võtta seeriast kaks järjestikust paari ja jagada suurem arv väiksema arvuga, läheneb tulemus järk-järgult kuldne suhe(selle kohta saate artiklist hiljem rohkem lugeda).

Matemaatilises mõttes "suhete piir a n+1 To a n võrdne kuldlõikega".

Veel arvuteooria probleeme

1. Leidke arv, mida saab jagada 7-ga. Samuti, kui jagate selle 2, 3, 4, 5, 6-ga, on jääk üks.
2. Leidke ruudu number. On teada, et kui liidad sellele 5 või lahutad 5, saad jälle ruutarvu.

Soovitame nendele probleemidele ise vastuseid otsida. Võite jätta meile oma valikud selle artikli kommentaaridesse. Ja siis me ütleme teile, kas teie arvutused olid õiged.

Rekursiooni seletus

Rekursioon– objekti või protsessi definitsioon, kirjeldus, kujutis, mis sisaldab seda objekti või protsessi ennast. See tähendab, et sisuliselt on objekt või protsess osa iseendast.

Rekursiooni kasutatakse laialdaselt matemaatikas ja arvutiteaduses ning isegi kunstis ja populaarkultuuris.

Fibonacci arvud määratakse kordusrelatsiooni abil. Numbri jaoks n>2 n- e arv on võrdne (n – 1) + (n – 2).

Kuldse lõike seletus

Kuldne suhe- terviku (näiteks segmendi) jagamine osadeks, mis on omavahel seotud järgmisel põhimõttel: suurem osa on seotud väiksemaga samamoodi nagu kogu väärtus (näiteks kahe segmendi summa) suuremale osale.

Kuldse lõike esimese mainimise võib leida Eukleidese traktaadis "Elements" (umbes 300 eKr). Korrapärase ristküliku konstrueerimise kontekstis.

Meile tuttava termini tõi 1835. aastal käibele saksa matemaatik Martin Ohm.

Kui kirjeldame kuldset lõiku ligikaudu, siis see on proportsionaalne jagunemine kaheks ebavõrdseks osaks: ligikaudu 62% ja 38%. Numbrilises mõttes on kuldne suhe arv 1,6180339887 .

Kuldlõige leiab praktiline kasutamine V kaunid kunstid(Leonardo da Vinci ja teiste renessansi maalikunstnike maalid), arhitektuur, kino (S. Esensteini "Lahingulaev Potjomkin") ja muud valdkonnad. Pikka aega arvati, et kuldlõige on kõige esteetilisem proportsioon. See arvamus on populaarne tänapäevalgi. Kuigi uuringutulemuste kohaselt ei taju enamik inimesi visuaalselt seda proportsiooni kõige edukama variandina ja peavad seda liiga piklikuks (ebaproportsionaalseks).

• Sektsiooni pikkus Koos = 1, A = 0,618, b = 0,382.
• Suhtumine Koos To A = 1, 618.
• Suhtumine Koos To b = 2,618

Nüüd pöördume tagasi Fibonacci numbrite juurde. Võtame selle jadast kaks järjestikust liiget. Jagage suurem arv väiksema arvuga ja saate ligikaudu 1,618. Ja nüüd kasutame sama suuremat numbrit ja seeria järgmist liiget (st veelgi suuremat arvu) - nende suhe on varajane 0,618.

Siin on näide: 144, 233, 377.

233/144 = 1,618 ja 233/377 = 0,618

Muide, kui proovite sama katset teha numbritega jada algusest (näiteks 2, 3, 5), ei tööta midagi. Peaaegu. Kuldse lõike reeglit jada alguse puhul vaevalt järgitakse. Kuid sarjas edasi liikudes ja numbrid suurenevad, töötab see suurepäraselt.

Ja selleks, et arvutada kogu Fibonacci arvude seeria, piisab, kui teada jada kolme terminit, mis tulevad üksteise järel. Seda näete ise!

Kuldne ristkülik ja Fibonacci spiraal

Veel üks huvitav paralleel Fibonacci arvude ja kuldse lõike vahel on nn "kuldne ristkülik": selle küljed on proportsioonis 1,618:1. Aga me teame juba, mis on arv 1,618, eks?

Näiteks võtame Fibonacci seeria kaks järjestikust liiget – 8 ja 13 – ning konstrueerime ristküliku järgmiste parameetritega: laius = 8, pikkus = 13.

Ja siis jagame suure ristküliku väiksemateks. Nõutav tingimus: Ristkülikute külgede pikkused peavad vastama Fibonacci numbritele. Need. Suurema ristküliku külje pikkus peab olema võrdne kahe väiksema ristküliku külgede summaga.

Sellel joonisel tehtud viis (mugavuse huvides on arvud allkirjastatud ladina tähtedega).

Muide, saate ristkülikuid ehitada vastupidises järjekorras. Need. alustage ehitamist ruutudest, mille külg on 1. Sellele, juhindudes ülaltoodud põhimõttest, lõpetatakse Fibonacci arvudega võrdsete külgedega joonised. Teoreetiliselt võib seda jätkata lõputult – Fibonacci seeria on ju formaalselt lõpmatu.

Kui ühendada joonisel saadud ristkülikute nurgad sileda joonega, saame logaritmilise spiraali. Õigemini, selle erijuhtum on Fibonacci spiraal. Seda iseloomustab eelkõige asjaolu, et sellel pole piire ja see ei muuda kuju.

Sarnast spiraali leidub sageli looduses. Karbid on üks silmatorkavamaid näiteid. Veelgi enam, mõned galaktikad, mida Maalt näha saab, on spiraalse kujuga. Kui pöörate tähelepanu telesaadete ilmateadetele, olete ehk märganud, et tsüklonitel on satelliitidelt pildistamisel sarnane spiraalikuju.

Kurioosne on see, et DNA spiraal allub ka kuldlõike reeglile – vastavat mustrit on näha selle painde intervallidest.

Sellised hämmastavad "kokkusattumused" ei saa muud kui meeli erutada ja tekitada rääkimist mingist üksikust algoritmist, millele alluvad kõik universumi elus esinevad nähtused. Kas saate nüüd aru, miks seda artiklit nii nimetatakse? Ja milliseid hämmastavaid maailmu võib matemaatika teile avada?

Fibonacci numbrid looduses

Seos Fibonacci numbrite ja kuldse lõike vahel viitab huvitavatele mustritele. Nii uudishimulik, et on kiusatus püüda leida Fibonacci numbritega sarnaseid jadasid looduses ja isegi ajal ajaloolised sündmused. Ja loodus tõesti annab alust sellisteks oletusteks. Kuid kas kõike meie elus saab seletada ja kirjeldada matemaatika abil?

Näited elusolenditest, mida saab kirjeldada Fibonacci jada abil:

• lehtede (ja okste) paigutus taimedes - nendevahelised kaugused on korrelatsioonis Fibonacci arvudega (phyllotaxis);

• päevalilleseemnete paigutus (seemned on paigutatud kahte ritta eri suunda keeratud spiraalidesse: üks rida päripäeva, teine ​​vastupäeva);

• männikäbide soomuste paigutus;
• lille kroonlehed;
• ananassi rakud;
• sõrmede falangenide pikkuste suhe inimese käel (ligikaudne) jne.

Kombinatoorika probleemid

Fibonacci numbreid kasutatakse laialdaselt kombinatoorikaülesannete lahendamisel.

Kombinatoorika on matemaatika haru, mis uurib teatud hulga elementide valikut määratud hulgast, loendust jne.

Vaatame näiteid gümnaasiumiastme jaoks mõeldud kombinatoorika probleemidest (allikas - http://www.problems.ru/).

Ülesanne nr 1:

Lesha ronib mööda 10 astmelist treppi. Korraga hüppab ta kas ühe või kahe astme võrra üles. Kui mitmel viisil saab Lesha trepist üles ronida?

Võimaluste arv, millelt Lesha saab trepist üles ronida n sammud, tähistame ja n. Sellest järeldub a 1 = 1, a 2= 2 (Lesha hüppab ju kas ühe või kaks sammu).

Samuti lepitakse kokku, et Lesha hüppab trepist üles n> 2 sammud. Oletame, et ta hüppas esimesel korral kaks sammu. See tähendab, et vastavalt probleemi tingimustele peab ta hüppama teise n-2 sammud. Seejärel kirjeldatakse ronimise lõpetamise viiside arvu järgmiselt a n–2. Ja kui eeldame, et Lesha hüppas esimest korda ainult ühe sammu, siis kirjeldame tõusu lõpetamise viiside arvu järgmiselt. a n-1.

Siit saame järgmise võrdsuse: a n = a n–1 + a n–2(näeb tuttav välja, kas pole?).

Kuna me teame a 1 Ja a 2 ja pidage meeles, et vastavalt ülesande tingimustele on 10 sammu, arvutage kõik järjekorras ja n: a 3 = 3, a 4 = 5, a 5 = 8, a 6 = 13, a 7 = 21, a 8 = 34, a 9 = 55, a 10 = 89.

Vastus: 89 viisi.

Ülesanne nr 2:

Peate leidma 10 tähe pikkuste sõnade arvu, mis koosnevad ainult tähtedest "a" ja "b" ning ei tohi sisaldada kahte tähte "b" järjest.

Tähistagem a n sõnade arv pikkus n tähed, mis koosnevad ainult tähtedest “a” ja “b” ega sisalda järjest kahte tähte “b”. Tähendab, a 1= 2, a 2= 3.

Järjest a 1, a 2, <…>, a n väljendame iga selle järgmist liiget eelmiste kaudu. Seetõttu on pikkuste sõnade arv n tähed, mis samuti ei sisalda topelttähte “b” ja algavad tähega “a”, on a n-1. Ja kui sõna on pikk n tähed algavad tähega “b”, on loogiline, et sellise sõna järgmine täht on “a” (ka “b” ei saa ju ülesande tingimuste kohaselt olla). Seetõttu on pikkuste sõnade arv n sel juhul tähistame tähti kui a n–2. Nii esimesel kui ka teisel juhul suvaline sõna (pikkus n-1 Ja n-2 vastavalt tähed) ilma topelttäheta b.

Saime põhjendada, miks a n = a n–1 + a n–2.

Nüüd arvutame a 3= a 2+ a 1= 3 + 2 = 5, a 4= a 3+ a 2= 5 + 3 = 8, <…>, a 10= a 9+ a 8= 144. Ja saame tuttava Fibonacci jada.

Vastus: 144.

Ülesanne nr 3:

Kujutage ette, et seal on rakkudeks jagatud lint. See läheb paremale ja kestab lõputult. Asetage lindi esimesele ruudule rohutirts. Ükskõik, millises lindi lahtris ta on, saab ta liikuda ainult paremale: kas üks lahter või kaks. Kui mitmel viisil saab rohutirts lindi algusest hüpata n-rakud?

Tähistagem, mitu võimalust rohutirtsu mööda vööd liigutada n-th rakud nagu a n. Sel juhul a 1 = a 2= 1. Samuti sisse n+1 Rohutirts saab siseneda -ndasse lahtrisse kas alates n-th rakk või hüpates sellest üle. Siit a n + 1 = a n – 1 + a n. Kus a n = Fn – 1.

Vastus: Fn – 1.

Saate ise sarnaseid ülesandeid luua ja proovida neid matemaatikatundides koos klassikaaslastega lahendada.

Fibonacci numbrid populaarkultuuris

Muidugi on ebatavaline nähtus, nagu Fibonacci numbrid, ei saa tähelepanu äratada. Selles rangelt kontrollitud mustris on endiselt midagi atraktiivset ja isegi salapärast. Pole üllatav, et Fibonacci jada on paljudes eri žanrites moodsa populaarkultuuri teostes kuidagi “süttinud”.

Me räägime teile mõnest neist. Ja proovite uuesti ennast otsida. Kui leiate, jagage seda meiega kommentaarides – ka meie oleme uudishimulikud!

• Fibonacci numbreid mainitakse Dan Browni bestselleris Da Vinci kood: Fibonacci jada toimib koodina, mida raamatu peategelased kasutavad seifi avamiseks.
• 2009. aasta Ameerika filmis "Härra eikeegi" on ühes osas maja aadress osa Fibonacci jadast – 12358. Lisaks teises osas peategelane peab helistama telefoninumbrile, mis on sisuliselt sama, kuid veidi moonutatud (lisanumber pärast 5) jada: 123-581-1321.
• 2012. aasta sarjas “Ühendus” suudab peategelane, autistlik poiss, eristada maailmas toimuvate sündmuste mustreid. Sealhulgas Fibonacci numbrite kaudu. Ja hallata neid sündmusi ka numbrite kaudu.
• Java mängude arendajad Mobiiltelefonid Doom RPG paigutas ühele tasemele salaukse. Kood, mis selle avab, on Fibonacci jada.
• 2012. aastal andis Venemaa rokkbänd Splin välja ideealbumi “Optical Deception”. Kaheksas lugu kannab nime "Fibonacci". Rühmajuhi Aleksandr Vassiljevi salmid mängivad Fibonacci numbrite jadale. Iga üheksa järjestikuse termini jaoks on vastav arv ridu (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 Rong läks teele

1 Üks liigend purunes

1 Üks varrukas värises

2 See on kõik, hankige asjad

See on kõik, hankige asjad

3 Nõud keeva vee järele

Rong läheb jõe äärde

Rong sõidab läbi taiga<…>.

• Limerick ( lühike luuletus teatud vorm - tavaliselt viis rida, kindla riimiskeemiga, sisult humoorikas, milles esimene ja viimane rida korduvad või osaliselt dubleerivad) James Lyndon kasutab humoorika motiivina ka viidet Fibonacci jadale:

Fibonacci naiste tihe toit

See oli ainult neile kasulik, mitte midagi muud.

Naised kaalusid kuulujuttude järgi

Igaüks neist on nagu kaks eelmist.

Võtame selle kokku

Loodame, et saime teile täna rääkida palju huvitavat ja kasulikku. Näiteks võid nüüd otsida enda ümber olevast loodusest Fibonacci spiraali. Võib-olla olete teie see, kes suudab lahti harutada "elu, universumi ja üldse saladuse".

Kasutage kombinatoorikaülesannete lahendamisel Fibonacci arvude valemit. Võite tugineda selles artiklis kirjeldatud näidetele.

veebisaidil, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vajalik link allikale.

B. Biggsi raamatu “Udust tõusis hekk” materjalide põhjal

Fibonacci numbrid

Fibonacci elas eriti oma aja kohta pika elu, mille ta pühendas mitmete matemaatiliste probleemide lahendamisele, sõnastades need oma mahukas teoses “Abakuse raamat” (13. sajandi algus). Teda huvitas alati arvude müstika – ilmselt polnud ta vähem särav kui Archimedes või Eukleides. Seotud ülesanded ruutvõrrandid, poseerisid ja osaliselt lahendasid enne Fibonaccit näiteks kuulus teadlane ja luuletaja Omar Khayyam; Fibonacci sõnastas aga jäneste paljunemise probleemi, millest tehtud järeldused ei lasknud tema nime sajandite jooksul kaduda.

Lühidalt on ülesanne järgmine. Küülikupaar paigutati igast küljest müüriga piiratud kohta ja iga küülikupaar sünnitab iga kuu teise paari, alates nende olemasolu teisest kuust. Küülikute paljunemist aja jooksul kirjeldatakse järjestusega: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 jne. Matemaatilisest vaatenurgast osutus jada lihtsalt ainulaadseks, kuna sellel oli mitmeid silmapaistvaid omadusi:

• kahe järjestikuse arvu summa on jada järgmine arv;

• jada iga numbri suhe, alates viiendast, eelmisega on 1,618;

• mis tahes arvu ruudu ja kahe vasakul asuva numbri ruudu vahe on Fibonacci arv;

• külgnevate arvude ruutude summa on Fibonacci arv, mis on kaks kohta pärast suurimat ruudukujulist arvu

Nendest leidudest on teine ​​kõige huvitavam, kuna see kasutab arvu 1,618, mida tuntakse kui "kuldset suhet". Seda numbrit teadsid iidsed kreeklased, kes kasutasid seda Parthenoni ehitamise ajal (muide, mõne allika kohaselt teenis keskpank kreeklasi). Vähem huvitav pole ka see, et arvu 1.618 võib looduses leida nii mikro- kui ka makroskaalal – alates teokarbi spiraalipööretest kuni kosmiliste galaktikate suurte spiraalideni.

Muistsete egiptlaste loodud Giza püramiidid sisaldasid ehitamise ajal ka mitmeid Fibonacci seeria parameetreid. Kõige meeldivam tundub silmale ristkülik, mille üks külg on teisest 1,618 korda suurem - seda suhet kasutas Leonardo da Vinci oma maalide puhul ja igapäevasemas mõttes akende või ukseavade loomisel. Isegi lainet, nagu artikli alguses oleval joonisel, saab kujutada Fibonacci spiraalina.

Eluslooduses esineb Fibonacci järjestust mitte harvemini - seda võib leida küünistest, hammastest, päevalilledest, ämblikuvõrkudest ja isegi bakterite kasvust. Soovi korral leitakse järjepidevust peaaegu kõiges, ka inimese näol ja kehal. Ja veel, paljud väited, mis leiavad Fibonacci numbreid loodus- ja ajaloonähtustes, on ilmselgelt valed – see on levinud müüt, mis osutub ebatäpseks sobivuseks soovitud tulemusega.

Fibonacci numbrid finantsturgudel

Üks esimesi, kes oli kõige tihedamalt seotud Fibonacci numbrite rakendamisega finantsturul, oli R. Elliot. Tema töö ei olnud asjatu selles mõttes, et Fibonacci teooriat kasutavaid turukirjeldusi nimetatakse sageli "Elliotti laineteks". Siinne turgude areng põhines inimarengu mudelil supertsüklitest kolm sammu edasi ja kaks tagasi.

See, et inimkond areneb mittelineaarselt, on ilmselge peaaegu kõigile – teadmised Iidne Egiptus ja Demokritose atomistlik õpetus läks keskajal täiesti kaduma, s.o. umbes 2000 aasta pärast. Kuid isegi kui me aktsepteerime sammude teooriat ja nende arvu tõena, jääb iga sammu suurus ebaselgeks, mis muudab Elliotti lained võrreldavaks peade ja sabade ennustamisjõuga. Lähtekoht ja lainete arvu õige arvutamine oli ja ilmselt jääbki teooria peamiseks nõrkuseks.

Sellest hoolimata oli teoorial kohalik edu. Bob Pretcher, keda võib pidada Ellioti õpilaseks, ennustas õigesti 1980. aastate alguse härjaturgu ja nägi pöördepunktina 1987. aastat. See tegelikult juhtus, pärast mida tundis Bob end ilmselgelt geeniusena – vähemalt teiste silmis sai temast kindlasti investeerimisguru.

Prechteri Elliott Wave Theoristi tellimus kasvas sel aastal 20 000-ni.1990. aastate alguses see aga kahanes, kuna Ameerika turu edasine ennustatud "hukk ja süngus" otsustas veidi tagasi hoida. Jaapani turu jaoks see aga töötas ja mitmed teooria pooldajad, kes jäid sinna ühe lainega "hilja", jäid ilma kas oma kapitalist või oma firma klientide kapitalist. Samamoodi ja sama eduga püütakse sageli teooriat rakendada ka valuutaturul kauplemisel.

Elliotti lained hõlmavad erinevaid kauplemisperioode – alates iganädalastest, mis teeb selle sarnaseks standardsete tehnilise analüüsi strateegiatega kuni aastakümnete arvutusteni, s.o. satub fundamentaalsete ennustuste territooriumile. See on võimalik lainete arvu muutmisega. Eespool mainitud teooria nõrkused võimaldavad selle järgijatel rääkida mitte lainete ebaühtlusest, vaid nende endi valearvestustest ja lähtepositsiooni ebaõigest määratlusest. See on nagu labürint – isegi kui sul on õige kaart, saad seda jälgida vaid siis, kui saad täpselt aru, kus sa oled. Muidu pole kaardist kasu. Elliotti lainete puhul on iga märk sellest, et kahtlete mitte ainult oma asukoha õigsuses, vaid ka kaardi kui sellise täpsuses.

järeldused

Inimkonna lainearengul on reaalne alus – keskajal vaheldusid inflatsiooni- ja deflatsioonilained omavahel, mil sõjad andsid teed suhteliselt rahulikule rahulikule elule. Kahtlust ei tekita ka Fibonacci jada looduses jälgimine, vähemalt mõnel juhul. Seetõttu on igaühel õigus anda oma vastus küsimusele, kes on Jumal: matemaatik või juhuslike arvude generaator. Minu isiklik arvamus: kuigi lainekontseptsioonis saab esindada kogu inimkonna ajalugu ja turge, ei saa iga laine kõrgust ja kestust keegi ennustada.

Töö tekst postitatakse ilma piltide ja valemiteta.
Täisversioon töö on PDF-vormingus saadaval vahekaardil "Tööfailid".

Sissejuhatus

MATEMAATIKA KÕRGEIM EESMÄRK ON LEIDA MEID ÜMBRIVAS KAOSES VARJATUD KORD.

Viner N.

Inimene püüdleb kogu elu teadmiste poole, püüdes uurida ümbritsevat maailma. Ja vaatluse käigus tekivad küsimused, mis nõuavad vastuseid. Vastused leitakse, kuid tekivad uued küsimused. Arheoloogilistes leidudes, tsivilisatsiooni jälgedes, üksteisest ajas ja ruumis kaugel, leitakse üks ja sama element - spiraalikujuline muster. Mõned peavad seda päikese sümboliks ja seostavad seda legendaarse Atlantisega, kuid selle tegelik tähendus on teadmata. Mis on ühist galaktika ja atmosfääritsükloni kujudel, lehtede paigutusel varrel ja seemnete paigutusel päevalillel? Need mustrid taanduvad niinimetatud "kuldsele" spiraalile, hämmastavale Fibonacci jadale, mille avastas 13. sajandi suur Itaalia matemaatik.

Fibonacci numbrite ajalugu

Esimest korda kuulsin matemaatikaõpetajalt, mis on Fibonacci numbrid. Kuid pealegi ei teadnud ma, kuidas nende numbrite jada kokku sai. Selle poolest on see jada tegelikult kuulus, kuidas see inimesele mõjub, tahan teile öelda. Leonardo Fibonacci kohta on vähe teada. Isegi täpset sünnikuupäeva pole. On teada, et ta sündis 1170. aastal Itaalias Pisa linna kaupmehe perekonnas. Fibonacci isa külastas sageli Alžeeriat kaubandusküsimustes ja Leonardo õppis seal araabia õpetajate käe all matemaatikat. Seejärel kirjutas ta mitu matemaatilist teost, millest kuulsaim on "Abakuse raamat", mis sisaldab peaaegu kogu tolleaegset aritmeetikat ja algebralist teavet. 2

Fibonacci numbrid on arvude jada, millel on mitmeid omadusi. Fibonacci avastas selle numbrijada juhuslikult, kui ta üritas aastal 1202 lahendada praktilist ülesannet küülikute kohta. “Keegi pani küülikupaari kindlasse, igast küljest müüriga piiratud kohta, et teada saada, mitu paari küülikuid aasta jooksul sünnib, kui küülikute olemus on selline, et kuu aja pärast on paar küülikut. küülikutest sünnib teine ​​paar ja küülikud sünnivad teist kuud pärast teie sündi." Probleemi lahendamisel arvestas ta sellega, et iga küülikupaar toob elu jooksul ilmale veel kaks paari ja siis sureb. Nii tekkis numbrijada: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... Selles jadas on iga järgmine arv võrdne kahe eelmise summaga. Seda nimetati Fibonacci jadaks. Matemaatilised omadused järjestused

Tahtsin seda järjestust uurida ja avastasin mõned selle omadused. Sellel mustril on suur tähtsus. Jada läheneb aeglaselt teatud konstantsele suhtele ligikaudu 1,618 ja mis tahes arvu suhe järgmisesse on ligikaudu 0,618.

Fibonacci arvude puhul võib märgata mitmeid huvitavaid omadusi: kaks naaberarvu on suhteliselt algarvud; iga kolmas arv on paaris; iga viieteistkümnes lõpeb nulliga; iga neljas on kolme kordne. Kui valite Fibonacci jadast suvalise 10 kõrvuti asuvat arvu ja liidate need kokku, saate alati arvu, mis on 11-kordne. Kuid see pole veel kõik. Iga summa on võrdne arvuga 11, mis on korrutatud antud jada seitsmenda liikmega. Siin on veel üks huvitav funktsioon. Iga n korral on jada esimeste liikmete summa alati võrdne jada (n+ 2)-nda ja esimese liikme vahega. Seda fakti saab väljendada valemiga: 1+1+2+3+5+…+an=a n+2 - 1. Nüüd on meie käsutuses järgmine nipp: leida kõigi liikmete summa

jada kahe etteantud liikme vahel, piisab vastavate (n+2)-x terminite erinevuse leidmisest. Näiteks 26 +…+a 40 = 42 - 27. Nüüd otsime seost Fibonacci, Pythagorase ja “kuldse lõike” vahel. Kõige kuulsam tõend inimkonna matemaatilise geeniuse kohta on Pythagorase teoreem: mis tahes täisnurkses kolmnurgas võrdub hüpotenuusi ruut selle jalgade ruutude summaga: c 2 =b 2 +a 2. Geomeetrilisest vaatenurgast võime vaadelda kõiki külgi täisnurkne kolmnurk, nagu neile ehitatud kolme ruudu küljed. Pythagorase teoreem ütleb, et täisnurkse kolmnurga külgedele ehitatud ruutude kogupindala on võrdne hüpotenuusile ehitatud ruudu pindalaga. Kui täisnurkse kolmnurga külgede pikkused on täisarvud, moodustavad need kolmest arvust koosneva rühma, mida nimetatakse Pythagorase kolmikuteks. Fibonacci jada abil saate selliseid kolmikuid leida. Võtame jadast suvalised neli järjestikust arvu, näiteks 2, 3, 5 ja 8, ning konstrueerime veel kolm arvu järgmiselt: 1) kahe äärmise arvu korrutis: 2*8=16; 2) topeltkorrutis. kahest keskel olevast arvust: 2* (3*5)=30;3) kahe keskmise arvu ruutude summa: 3 2 +5 2 =34; 34 2 = 30 2 +16 2. See meetod töötab mis tahes nelja järjestikuse Fibonacci numbri puhul. Mis tahes kolm järjestikust numbrit Fibonacci seerias käituvad prognoositaval viisil. Kui korrutada kaks äärmist ja võrrelda tulemust keskmise arvu ruuduga, erineb tulemus alati ühe võrra. Näiteks arvude 5, 8 ja 13 puhul saame: 5*13=8 2 +1. Kui vaatate seda kinnisvara geomeetrilisest vaatenurgast, märkate midagi kummalist. Jagage ruut

8x8 suuruses (kokku 64 väikest ruutu) neljaks osaks, mille külgede pikkused on võrdsed Fibonacci numbritega. Nüüd ehitame nendest osadest ristküliku mõõtmetega 5x13. Selle pindala on 65 väikest ruutu. Kust tuleb lisaruut? Asi on selles, et ideaalset ristkülikut ei teki, vaid jäävad pisikesed vahed, mis kokku annavad selle pindalaühiku lisa. Pascali kolmnurgal on seos ka Fibonacci jadaga. Peate lihtsalt kirjutama Pascali kolmnurga read üksteise alla ja seejärel lisama elemendid diagonaalselt. Tulemuseks on Fibonacci jada.

Mõelge nüüd kuldsele ristkülikule, mille üks külg on teisest 1,618 korda pikem. Esmapilgul võib see meile tunduda tavalise ristkülikuna. Teeme aga lihtsa katse kahe tavalise pangakaardiga. Asetame ühe neist horisontaalselt ja teise vertikaalselt nii, et nende alumised küljed oleksid samal joonel. Kui joonistame horisontaalkaardile diagonaaljoone ja pikendame seda, siis näeme, et see läbib täpselt vertikaalse kaardi parema ülanurga – meeldiv üllatus. Võib-olla on see õnnetus või võib-olla need ristkülikud ja teised geomeetrilised kujundid, kasutades “kuldset lõike”, on silmale eriti meeldivad. Kas Leonardo da Vinci mõtles oma meistriteose kallal töötades kuldlõikele? See tundub ebatõenäoline. Siiski võib väita, et ta pidas väga tähtsaks esteetika ja matemaatika seost.

Fibonacci numbrid looduses

Kuldse lõike seos iluga ei ole ainult inimese taju küsimus. Näib, et loodus ise on F-le erilise rolli omistanud. Kui sisestate ruudud järjestikku "kuldseks" ristkülikuks, seejärel joonistate igasse ruutu kaare, saate elegantse kõvera, mida nimetatakse logaritmiliseks spiraaliks. See pole üldse matemaatiline uudishimu. 5

Vastupidi, seda tähelepanuväärset rida leidub sageli füüsiline maailm: nautiluse kestast galaktikate käteni ja õitsva roosi kroonlehtede elegantses spiraalis. Seosed kuldlõike ja Fibonacci numbrite vahel on arvukad ja üllatavad. Vaatleme lille, mis näeb välja väga erinev roosist – päevalille seemnetega. Esimese asjana näeme, et seemned on paigutatud kahte tüüpi spiraalidesse: päripäeva ja vastupäeva. Kui loendame päripäeva spiraale, saame kaks pealtnäha tavalist arvu: 21 ja 34. See pole ainus näide, kus taimede struktuuris võib leida Fibonacci numbreid.

Loodus annab meile arvukalt näiteid Fibonacci numbritega kirjeldatud homogeensete objektide paigutusest. Väikeste taimeosade erinevates spiraalsetes paigutustes võib tavaliselt eristada kahte spiraalide perekonda. Ühes nendest perekondadest kõverduvad spiraalid päripäeva, teises aga vastupäeva. Ühte ja teist tüüpi spiraalide numbrid osutuvad sageli kõrvuti asetsevateks Fibonacci numbriteks. Nii on noort männioksa võttes lihtne märgata, et nõelad moodustavad kaks spiraali, mis lähevad alt vasakult üles paremale. Paljudel käbidel paiknevad seemned kolme spiraalina, keerdudes õrnalt ümber käbi varre. Need paiknevad viies spiraalis, keerdudes järsult sisse vastassuunas. Suurtes koonustes on võimalik jälgida 5 ja 8 ning isegi 8 ja 13 spiraali. Fibonacci spiraale on hästi näha ka ananassil: tavaliselt on neid 8 ja 13.

Sigurivõrs teeb tugeva väljapaiskumise kosmosesse, peatub, laseb välja lehe, kuid see aeg on lühem kui esimene, teeb jälle paisku kosmosesse, kuid väiksema jõuga, laseb välja veelgi väiksema suurusega lehe ja väljub uuesti . Selle kasvu impulsid vähenevad järk-järgult proportsionaalselt "kuldse" lõiguga. Fibonacci numbrite tohutu rolli mõistmiseks peate lihtsalt vaatama meid ümbritseva looduse ilu. Fibonacci numbreid võib leida kogustes

oksad iga kasvava taime varrel ja kroonlehtede arvus.

Loeme kokku mõne lille kroonlehed - iiris oma 3 kroonlehega, priimula 5 kroonlehega, ambroosia 13 kroonlehega, rukkilill 34 kroonlehega, aster 55 kroonlehega jne. Kas see on kokkusattumus või on see loodusseadus? Vaadake raudrohi varsi ja õisi. Seega saab kogu Fibonacci jada hõlpsasti tõlgendada looduses leiduvate "kuldsete" numbrite ilmingu mustrit. Need seadused toimivad sõltumata meie teadvusest ja soovist neid aktsepteerida või mitte. “Kuldse” sümmeetria mustrid avalduvad energia üleminekutes elementaarosakesed, mõne struktuuris keemilised ühendid, planetaarsetes ja kosmilistes süsteemides, elusorganismide geenistruktuurides, üksikute inimorganite ja keha kui terviku ehituses ning avalduvad ka biorütmides ning aju toimimises ja visuaalses tajumises.

Fibonacci numbrid arhitektuuris

"Kuldne suhe" ilmneb ka paljudes tähelepanuväärsetes arhitektuurilistes loomingutes läbi inimkonna ajaloo. Selgub, et Vana-Kreeka ja Vana-Egiptuse matemaatikud teadsid neid koefitsiente ammu enne Fibonaccit ja nimetasid neid "kuldseks suhteks". Kreeklased kasutasid Parthenoni ehitamisel “kuldse lõike” põhimõtet ja egiptlased Giza suurt püramiidi. Ehitustehnoloogia edusammud ja uute materjalide väljatöötamine avasid 20. sajandi arhitektidele uusi võimalusi. Ameeriklane Frank Lloyd Wright oli üks orgaanilise arhitektuuri peamisi pooldajaid. Vahetult enne oma surma kujundas ta New Yorgis Solomon Guggenheimi muuseumi, mis on ümberpööratud spiraal ja muuseumi sisemus meenutab nautiluse kesta. Poola-Iisraeli arhitekt Zvi Hecker kasutas 1995. aastal valminud Berliini Heinz Galinski kooli projekteerimisel ka spiraalkonstruktsioone. Hecker sai alguse keskse ringiga päevalille ideest, kust

Kõik arhitektuurilised elemendid on erinevad. Hoone on kombinatsioon

ortogonaalsed ja kontsentrilised spiraalid, mis sümboliseerivad piiratud inimteadmiste ja looduse kontrollitud kaose koosmõju. Selle arhitektuur jäljendab taime, mis järgib Päikese liikumist, nii et klassiruumid on kogu päeva valgustatud.

Massachusettsi osariigis Cambridge'is (USA) asuvas Quincy pargis võib sageli leida "kuldset" spiraali. Parki kujundas 1997. aastal kunstnik David Phillips ja see asub selle lähedal Matemaatika Instituut Savi. See asutus on tuntud matemaatiliste uuringute keskus. Quincy pargis saab jalutada “kuldsete” spiraalide ja metallkõverate, kahest kestadest koosnevate reljeefide ja ruutjuure sümboliga kivi vahel. Märk sisaldab teavet "kuldse" suhte kohta. Isegi jalgratta parkimine kasutab sümbolit F.

Fibonacci numbrid psühholoogias

Psühholoogias on täheldatud pöördepunkte, kriise ja revolutsioone, mis tähistavad muutusi inimese eluteel hinge struktuuris ja funktsioonides. Kui inimene saab neist kriisidest edukalt üle, on ta võimeline lahendama uue klassi probleeme, millele ta varem isegi ei mõelnud.

Põhimõtteliste muutuste olemasolu annab põhjust pidada eluaega vaimsete omaduste kujunemisel otsustavaks teguriks. Lõppude lõpuks ei mõõda loodus meie jaoks aega heldelt, "ükskõik kui palju seda saab, nii palju saab", vaid täpselt nii palju, et arendusprotsess realiseeruks:

keha struktuurides;

tunnetes, mõtlemises ja psühhomotoorsetes oskustes – kuni omandamiseni harmooniat vajalik mehhanismi tekkimiseks ja käivitamiseks

loovus;

inimese energiapotentsiaali struktuuris.

Keha arengut ei saa peatada: lapsest saab täiskasvanu. Loovuse mehhanismiga pole kõik nii lihtne. Selle arengut saab peatada ja selle suunda muuta.

Kas on võimalus ajaga järele jõuda? Kahtlemata. Kuid selleks peate endaga palju tööd tegema. See, mis areneb vabalt, loomulikult erilisi pingutusi ei nõua: laps areneb vabalt ega märka seda tohutut tööd, sest vaba arengu protsess luuakse ilma vägivallata enda vastu.

Kuidas mõistetakse igapäevateadvuses elurännaku tähendust? Tavainimene näeb seda nii: põhjas on sünd, tipus on elu tippaeg ja siis läheb kõik allamäge.

Tark ütleb: kõik on palju keerulisem. Ta jagab tõusu etappideks: lapsepõlv, teismeiga, noorus... Miks see nii on? Vähesed suudavad vastata, kuigi kõik on kindlad, et need on suletud, lahutamatud eluetapid.

Et teada saada, kuidas loovuse mehhanism areneb, V.V. Klimenko kasutas matemaatikat, nimelt Fibonacci arvude seadusi ja “kuldse lõigu” osakaalu - loodus- ja inimelu seadusi.

Fibonacci numbrid jagavad meie elud etappideks vastavalt elatud aastate arvule: 0 - loenduse algus - laps sünnib. Tal puuduvad endiselt mitte ainult psühhomotoorsed oskused, mõtlemine, tunded, kujutlusvõime, vaid ka operatiivne energiapotentsiaal. Ta on uue elu, uue harmoonia algus;

1 - laps on õppinud kõndima ja valdab oma lähikeskkonda;

2 - saab aru kõnest ja tegudest, kasutades suulisi juhiseid;

3 - tegutseb sõnade kaudu, esitab küsimusi;

5 - "armuaeg" - psühhomotoorse, mälu, kujutlusvõime ja tunnete harmoonia, mis juba võimaldab lapsel maailma omaks võtta kogu selle terviklikkuses;

8 - tunded tulevad esiplaanile. Neid teenib kujutlusvõime ja mõtlemine on oma kriitilisuse kaudu suunatud elu sisemise ja välise harmoonia toetamisele;

13 - hakkab tööle ande mehhanism, mille eesmärk on pärimisprotsessis omandatud materjali ümberkujundamine, oma ande arendamine;

21 - loovuse mehhanism on lähenenud harmooniaseisundile ja püütakse teha andekat tööd;

34 – mõtlemise, tunnete, kujutlusvõime ja psühhomotoorsete oskuste harmoonia: sünnib oskus töötada leidlikult;

55 - selles vanuses, kui hinge ja keha harmoonia säilib, on inimene valmis saama loojaks. Ja nii edasi…

Mis on Fibonacci numbrite serifid? Neid võib võrrelda elutee ääres asuvate tammidega. Need tammid ootavad meid kõiki. Kõigepealt tuleb neist igaühest üle saada ja seejärel kannatlikult oma arengutaset tõsta, kuni see ühel ilusal päeval laguneb, avades tee järgmisele vabale voolule.

Nüüd, kui me mõistame nende vanusega seotud arengu võtmepunktide tähendust, proovime lahti mõtestada, kuidas see kõik juhtub.

B1 aasta laps valdab kõndimist. Enne seda koges ta maailma oma pea ees. Nüüd õpib ta maailma oma kätega tundma – erakordne inimlik privileeg. Loom liigub ruumis ja ta valdab õppides ruumi ja valdab territooriumi, kus ta elab.

2 aastat- saab sõnast aru ja käitub vastavalt sellele. See tähendab et:

laps õpib minimaalne kogus sõnad – tähendused ja tegevusviisid;

pole endast veel eraldunud keskkond ja sulandub terviklikkusesse ümbritsevaga,

seetõttu tegutseb ta kellegi teise juhiste järgi. Selles vanuses on ta oma vanematele kõige kuulekam ja meeldivam. Sensuaalsest inimesest saab laps tunnetuslikuks inimeseks.

3 aastat- tegevus oma sõna kasutades. Selle inimese eraldumine keskkonnast on juba toimunud – ja ta õpib olema iseseisvalt tegutsev inimene. Siit ta:

vastandub teadlikult keskkonnale ja lapsevanematele, lasteaiaõpetajatele jne;

realiseerib oma suveräänsust ja võitleb iseseisvuse eest;

püüab lähedasi ja tuntud inimesi oma tahtele allutada.

Nüüd on lapse jaoks sõna tegu. Siit algab aktiivne inimene.

5 aastat- "armuaeg". Ta on harmoonia personifikatsioon. Mängud, tantsimine, osavad liigutused - kõik on küllastunud harmooniast, mida inimene püüab oma jõuga omandada. Harmooniline psühhomotoorne käitumine aitab esile kutsuda uue seisundi. Seetõttu on laps keskendunud psühhomotoorsele tegevusele ja püüdleb kõige aktiivsemate tegude poole.

Tundlikkustöö produktide materialiseerimine toimub järgmiselt:

oskus kuvada keskkonda ja iseennast osana sellest maailmast (kuuleme, näeme, katsume, haistame jne – kõik meeled töötavad selle protsessi jaoks);

võime kujundada välismaailma, sealhulgas iseennast

(teise olemuse loomine, hüpoteesid - tee homme seda ja teist, ehita uus masin, lahenda probleem), kriitilise mõtlemise, tunnete ja kujutlusvõime jõududega;

võime luua teist, inimese loodud loodust, tegevusprodukte (plaanide elluviimine, konkreetsed vaimsed või psühhomotoorsed tegevused konkreetsete objektide ja protsessidega).

5 aasta pärast kerkib kujutlusmehhanism esile ja hakkab teiste üle domineerima. Laps teeb tohutult palju tööd, luues fantastilisi pilte ning elab muinasjuttude ja müütide maailmas. Lapse hüpertrofeerunud kujutlusvõime tekitab täiskasvanutes üllatust, sest kujutlusvõime ei vasta tegelikkusele.

8 aastat— tunded tulevad esiplaanile ja oma tunnete standardid (kognitiivsed, moraalsed, esteetilised) tekivad siis, kui laps eksimatult:

hindab teadaolevat ja tundmatut;

eristab moraali ebamoraalsest, moraali ebamoraalsest;

ilu sellest, mis elu ohustab, harmoonia kaosest.

13 aastat— loovuse mehhanism hakkab tööle. Kuid see ei tähenda, et see töötab täisvõimsusel. Mehhanismi üks elementidest tuleb esiplaanile ja kõik teised aitavad selle tööle kaasa. Kui ka sellel arenguajastul säilib harmoonia, mis peaaegu pidevalt oma struktuuri uuesti üles ehitab, siis jõuab noorus valutult järgmise tammini, saab sellest märkamatult üle ja elab revolutsionääri eas. Revolutsionäärieas noor peab astuma uue sammu edasi: eralduma lähimast ühiskonnast ning elama selles harmoonilist elu ja tegevust. Mitte igaüks ei saa seda probleemi, mis meist igaühe ees esile kerkib, lahendada.

21 aastat vana. Kui revolutsionäär on edukalt ületanud elu esimese harmoonilise tipu, siis on tema andemehhanism võimeline andekalt esinema.

tööd. Tunded (kognitiivsed, moraalsed või esteetilised) varjutavad mõnikord mõtlemise, kuid üldiselt töötavad kõik elemendid harmooniliselt: tunded on maailmale avatud ning loogiline mõtlemine suudab sellest tipust asjadele nimesid anda ja mõõte leida.

Normaalselt arenev loovuse mehhanism jõuab olekusse, mis võimaldab tal saada teatud puuvilju. Ta hakkab tööle. Selles vanuses tuleb tunnete mehhanism ette. Kuna kujutlusvõimet ja selle tooteid hindavad meeled ja mõistus, tekib nende vahel antagonism. Tunded võidavad. See võime saab järk-järgult võimu ja poiss hakkab seda kasutama.

34 aastat- tasakaal ja harmoonia, talentide produktiivne efektiivsus. Mõtlemise, tunnete ja kujutlusvõime, psühhomotoorsete oskuste harmoonia, mis on täidetud optimaalse energiapotentsiaaliga, ja mehhanism tervikuna - sünnib võimalus teha hiilgavaid töid.

55 aastat- inimesest võib saada looja. Elu kolmas harmooniline tipp: mõtlemine allutab tunnete jõu.

Fibonacci numbrid viitavad inimarengu etappidele. See, kas inimene selle tee peatumata läbib, sõltub vanematest ja õpetajatest, haridussüsteemist ja seejärel endast ja sellest, kuidas inimene õpib ja ennast ületab.

Inimene avastab eluteel 7 suhteobjekti:

Sünnipäevast 2 aastani - lähikeskkonna füüsilise ja objektiivse maailma avastamine.

2–3 aastat - eneseleidmine: "Ma olen mina ise."

3 kuni 5 aastat - kõne, aktiivne sõnamaailm, harmoonia ja süsteem "mina - sina".

5–8 aastat - teiste inimeste mõtete, tunnete ja piltide maailma avastamine - süsteem “mina – meie”.

8–13 aastat - inimkonna geeniuste ja annete lahendatud ülesannete ja probleemide maailma avastamine - süsteem "Mina - vaimsus".

13–21 aastat - tuntud probleemide iseseisva lahendamise oskuse avastamine, kui mõtted, tunded ja kujutlusvõime hakkavad aktiivselt tööle, tekib süsteem “I - Noosphere”.

21-34 aastat vana - loomisvõime avastamine uus Maailm või selle killud - teadlikkus enesekontseptsioonist “Mina olen Looja”.

Eluteel on aegruumiline struktuur. See koosneb vanusest ja üksikutest faasidest, mis on määratud paljude eluparameetritega. Inimene valdab teatud määral oma eluolusid, temast saab oma ajaloo looja ja ühiskonna ajaloo looja. Tõeliselt loov ellusuhtumine ei ilmne aga kohe ja isegi mitte igas inimeses. Elutee faaside vahel on geneetilised seosed ja see määrab selle loomuliku iseloomu. Sellest järeldub, et põhimõtteliselt on võimalik ennustada edasist arengut selle algfaaside teadmiste põhjal.

Fibonacci numbrid astronoomias

Astronoomia ajaloost on teada, et 18. sajandi saksa astronoom I. Titius leidis Fibonacci seeria abil planeetide vahemaades mustri ja korra. Päikesesüsteem. Kuid üks juhtum näis olevat seadusega vastuolus: Marsi ja Jupiteri vahel polnud planeeti. Kuid pärast Titiuse surma 19. sajandi alguses. selle taevaosa kontsentreeritud vaatlus viis asteroidivöö avastamiseni.

Järeldus

Uurimistöö käigus sain teada, et Fibonacci numbreid kasutatakse laialdaselt aktsiahindade tehnilises analüüsis. Üks lihtsamaid viise Fibonacci numbrite praktikas kasutamiseks on määrata ajavahemikud, mille möödudes konkreetne sündmus toimub, näiteks hinnamuutus. Analüütik loeb eelmisest sarnasest sündmusest kokku teatud arvu Fibonacci päevi või nädalaid (13,21,34,55 jne) ja teeb prognoosi. Aga seda on mul siiski liiga raske aru saada. Kuigi Fibonacci oli keskaja suurim matemaatik, on ainsad Fibonacci mälestusmärgid Pisa torni ees olev kuju ja kaks tema nime kandvat tänavat: üks Pisas ja teine ​​Firenzes. Ja ometi tekivad seoses kõige nähtu ja loetuga üsna loomulikud küsimused. Kust need numbrid tulid? Kes on see universumi arhitekt, kes püüdis seda ideaalseks muuta? Mis saab järgmiseks? Kui olete leidnud vastuse ühele küsimusele, saate järgmise. Kui lahendate selle, saate kaks uut. Kui olete nendega tegelenud, ilmub veel kolm. Kui olete ka need lahendanud, on teil viis lahendamata. Siis kaheksa, kolmteist jne. Ärge unustage, et kahel käel on viis sõrme, millest kaks koosneb kahest falangest ja kaheksa kolmest.

Kirjandus:

Vološinov A.V. “Matemaatika ja kunst”, M., Haridus, 1992.

Vorobjov N.N. "Fibonacci numbrid", M., Nauka, 1984.

Stakhov A.P. “Da Vinci kood ja Fibonacci sari”, Peterburi formaat, 2006

F. Corvalan „Kuldne suhe. Ilu matemaatiline keel", M., De Agostini, 2014.

Maksimenko S.D. "Tundlikud eluperioodid ja nende koodid."

"Fibonacci numbrid". Vikipeedia