Esimese tuletise geomeetriline ja mehaaniline tähendus. Tuletise mehaaniline tähendus Teise tuletise füüsiline või mehaaniline tähendus

Juhendkaart nr 20

Takyryby/Teema: « Teine tuletis ja selle füüsiline tähendus».

Maksaty/ Eesmärk:

Oskab leida puutuja võrrandit, samuti puutuja kaldenurga puutujat OX-telje suhtes. Oskab leida funktsiooni muutumise kiirust, aga ka kiirendust.

Luua tingimused õpitud faktide ja mõistete võrdlemise ja klassifitseerimise oskuste kujunemiseks.

Soodustada vastutustundlikku suhtumist kasvatustöösse, tahet ja sihikindlust saavutada lõpptulemusi puutujavõrrandi leidmisel, samuti funktsiooni muutumiskiiruse ja kiirenduse leidmisel.

Teoreetiline materjal:

(Tuletatud geomeetriline tähendus)

Funktsiooni graafiku puutuja võrrand on järgmine:

Näide 1: Leiame funktsiooni graafiku puutuja võrrandi punktis, kus on nilbus 2.

Vastus: y = 4x-7

Funktsiooni graafiku puutuja nurkkoefitsient k punktis, mille abstsiss on x o, on võrdne f / (x o) (k= f / (x o)). Funktsiooni graafiku puutuja kaldenurk antud punktis on võrdne

arctg k = arctg f / (x o), st. k = f / (x o) = tg

Näide 2: Millise nurga all on siinuslaine lõikub x-teljega lähtepunktis?

Nurk, mille all antud funktsiooni graafik lõikub x-teljega, on võrdne funktsiooni f(x) graafikule selles punktis tõmmatud puutuja kaldega a. Leiame tuletise: Võttes arvesse tuletise geomeetrilist tähendust, saame: ja a = 60°. Vastus: =60 0 .

Kui funktsioonil on selle definitsioonipiirkonna igas punktis tuletis, siis on selle tuletis funktsioon . Funktsioonil võib omakorda olla tuletis, mida nimetatakse teist järku tuletis funktsioonid (või teine ​​tuletis) ja on tähistatud sümboliga .

Näide 3: Leia funktsiooni teine ​​tuletis: f(x)=x 3 -4x 2 +2x-7.

Esiteks leiame selle funktsiooni esimese tuletise f"(x)=(x 3 -4x 2 +2x-7)'=3x 2 -8x+2,

Seejärel leiame saadud esimese tuletise teise tuletise

f""x)=(3x2 -8x+2)''=6x-8. Vastus: f""x) = 6x-8.

(Teise tuletise mehaaniline tähendus)

Kui punkt liigub sirgjooneliselt ja selle liikumise seadus on antud, siis on punkti kiirendus võrdne tee teise tuletisega aja suhtes:

Materiaalse keha kiirus on võrdne tee esimese tuletisega, see tähendab:

Materiaalse keha kiirendus on võrdne kiiruse esimese tuletisega, see tähendab:

Näide 4: Keha liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele s (t) = 3 + 2t + t 2 (m). Määrake selle kiirus ja kiirendus ajahetkel t = 3 s. (Kaugust mõõdetakse meetrites, aega sekundites).
Lahendus
v (t) = s΄ (t) =(3+2t+t 2)’= 2 + 2t
a (t) = v΄ (t) =(2+2t)'= 2 (m/s 2)
v(3) = 2 + 2,3 = 8 (m/s). Vastus: 8 m/s; 2 m/s 2 .

Praktiline osa:

1 variant	2. võimalus	3. võimalus	4. võimalus	5. võimalus
Leidke antud punkti M läbiva puutuja x-telje kaldenurga puutuja funktsiooni f graafik.
f(x)=x2, M(-3;9)	f(x)=x3, M(-1;-1)
Kirjutage funktsiooni f graafiku puutuja võrrand punktis, mille abstsiss on x 0.
f(x)=x3-1, x0 =2	f(x) = x 2 +1, x 0 = 1	f(x) = 2x-x 2, x 0 = -1	f(x)=3sinx, x 0 =	f(x)= x 0 = -1
Leidke funktsiooni f puutuja kalle punktis, mille abstsiss on x 0.
Leidke funktsiooni teine ​​tuletis:
			f(x)= 2cosx-x 2	f(x)= -2sinx+x3
Keha liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele x (t). Määrake selle kiirus ja kiirendus hetkel aeg t. (Nihet mõõdetakse meetrites, aega sekundites).
x(t)=t2-3t, t=4	x(t)=t3+2t, t=1	x(t)=2t3-t2, t=3	x(t)=t3-2t2+1,t=2	x(t)=t4-0,5t2=2, t=0,5

Kontrollküsimused:

Mida peate tuletise füüsiliseks tähenduseks – kas hetkekiirus või keskmine kiirus?

Mis seos on funktsiooni graafikule mis tahes punkti kaudu tõmmatud puutuja ja tuletise mõiste vahel?

Mis on funktsiooni graafiku puutuja definitsioon punktis M(x 0 ;f(x 0))?

Mis on teise tuletise mehaaniline tähendus?

Tuletis(funktsioonid punktis) - diferentsiaalarvutuse põhimõiste, mis iseloomustab funktsiooni muutumise kiirust (antud punktis). See on määratletud kui funktsiooni juurdekasvu ja selle argumendi juurdekasvu suhte piir, kuna argumendi juurdekasv kipub olema null, kui selline piir on olemas. Funktsiooni, millel on (mingil hetkel) lõplik tuletis, nimetatakse diferentseeruvaks (sellel hetkel).

Tuletis. Vaatleme mõnda funktsiooni y = f (x ) kahes punktis x 0 ja x 0 + : f (x 0) ja f (x 0+). Siin tähistab läbi mõnd väikest muudatust argumendis, mida nimetatakse argumentide juurdekasv; vastavalt kahe funktsiooni väärtuse erinevus: f (x 0 + )  f (x 0 ) kutsutakse funktsiooni juurdekasv.Tuletis funktsioonid y = f (x ) punktis x 0 nimetatakse piiriks:

Kui see piir on olemas, siis funktsioon f (x ) kutsutakse eristatav punktis x 0 . Funktsiooni tuletis f (x ) on tähistatud järgmiselt:

Tuletise geomeetriline tähendus. Vaatleme funktsiooni graafikut y = f (x ):

Jooniselt 1 on selge, et funktsiooni graafiku mis tahes kahe punkti A ja B korral:

kus on sekandi AB kaldenurk.

Seega on vahesuhe võrdne sekandi kaldega. Kui fikseerida punkt A ja nihutada punkti B selle poole, siis see väheneb piiramatult ja läheneb 0-le ning sekant AB läheneb puutujale AC. Seetõttu on erinevuse suhte piir võrdne puutuja kaldega punktis A. Sellest järeldub: Funktsiooni tuletis punktis on selle funktsiooni graafiku puutuja tõus selles punktis. See on mis geomeetriline tähendus tuletis.

Tangensi võrrand. Tuletame funktsiooni graafiku puutuja võrrandi punktis A ( x 0 , f (x 0 )). Üldiselt sirge võrrand kaldeteguriga f ’(x 0 ) on kujul:

y = f ’(x 0 ) · x + b .

Leidma b, Kasutame ära asjaolu, et puutuja läbib punkti A:

f (x 0 ) = f ’(x 0 ) · x 0 +b ,

siit, b = f (x 0 ) – f ’(x 0 ) · x 0 , ja asendades selle avaldise asemel b, me saame puutuja võrrand:

y =f (x 0 ) + f ’(x 0 ) · ( x – x 0 ) .

Tuletise mehaaniline tähendus. Vaatleme lihtsaimat juhtumit: materiaalse punkti liikumine mööda koordinaattelge ja on antud liikumisseadus: koordinaat x liikuv punkt – tuntud funktsioon x (t) aeg t. Ajaintervalli jooksul alates t 0 kuni t 0 + punkt liigub kaugusele: x (t 0 + )  x (t 0) = , ja tema keskmine kiirus on võrdne: v a =  . 0 korral kaldub keskmine kiirus teatud väärtuseni, mida nimetatakse hetkeline kiirus v ( t 0 ) oluline punkt ajahetkel t 0 . Kuid tuletise määratluse järgi on meil:

siit, v (t 0 ) = x' (t 0 ), s.t. kiirus on koordinaadi tuletis Kõrval aega. See on mis mehaaniline tunne tuletis . Samamoodi kiirendus on kiiruse tuletis aja suhtes: a = v' (t).

8. Tuletiste ja diferentseerimisreeglite tabel

Sellest, mis on tuletis, rääkisime artiklis "Tuletise geomeetriline tähendus". Kui funktsioon on antud graafikuga, on selle tuletis igas punktis võrdne funktsiooni graafiku puutuja puutujaga. Ja kui funktsioon on antud valemiga, siis on abiks tuletiste tabel ja diferentseerimisreeglid ehk tuletise leidmise reeglid.

Olgu antud materiaalne punkt tasapinnal. Selle piki koordinaattelge liikumise seadust kirjeldab seadus $ x(t) $, kus $ t $ määrab aja. Siis aja jooksul $ t_0 $ kuni $ t_0 + \Delta t $ läbib punkt tee $ \Delta x = x(t_0+\Delta t) - x(t_0) $. Selgub, et keskmine kiirus selline punkt leitakse valemiga: $$ v_(cp) = \frac(\Delta x)(\Delta t) $$

Kui $ \Delta t $ kipub olema null, siis keskmise kiiruse väärtus kaldub väärtusele nn. hetkeline kiirus punktis $t_0$:

$$ \lim_(\Delta t \to 0) \frac(\Delta x)(\Delta t) = v(t_0) $$

Defineerides tuletise piiri kaudu, saame seose kiiruse ja materiaalse punkti teekonna liikumisseaduse vahel:

$$ v(t_0) = \lim_(\Delta \to 0) \frac(\Delta x)(\Delta t) = x"(t_0) $$

Näited lahendustest

Näide 1

Arvuta materiaalse punkti hetkkiirus ajahetkel $ t_0 = 1 $, liikudes vastavalt seadusele $ x(t) = t^2+3t-1 $

Lahendus

Defineerides tuletise mehaanilise tähenduse, saame materiaalse punkti kiiruse seaduse: $$ v(t) = x"(t) = (t^2+3t-1)" = 2t + 3 $$ Teades probleemitingimustest ajahetke $ t_0 = 1 $, leiame kiiruse sellel ajahetkel: $$ v(t_0) = 2\cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5 $$ Leidsime, et punkti hetkekiirus hetkel $ t_0 = 1 $ võrdub $ v = 5 $ Kui te ei saa oma probleemi lahendada, saatke see meile. Pakume üksikasjalikku lahendust. Saate vaadata arvutuse edenemist ja saada teavet. See aitab teil õpetajalt hinde õigeaegselt kätte saada!

Vastus

$$ v(t_0) = 5 $$

Näide 2

Materiaalse punkti liikumine on antud seadusega $ x(t)=t^2-t+3 $. Leidke, millisel ajahetkel $ t_0 $ on selle punkti kiirus null.

Lahendus

Kuna kiirus on liikumistee seaduse tuletis:

Tuletise mehaaniline tähendus

Tuletise mehaanilise tõlgenduse andis esimesena I. Newton. See on järgmine: materiaalse punkti liikumiskiirus antud ajahetkel on võrdne tee tuletisega aja suhtes, s.o. Seega, kui materiaalse punkti liikumisseadus on antud võrrandiga, siis punkti hetkekiiruse leidmiseks igal konkreetsel ajahetkel tuleb leida tuletis ja asendada sellega vastav väärtus t.

Teist järku tuletis ja selle mehaaniline tähendus

Saame (võrrandi õpikus Lisichkin V.T. Soloveichik I.L. “matemaatika” lk 240 tehtust):

Seega keha sirgjoonelise liikumise kiirendus antud hetkel on võrdne teekonna teise tuletisega aja suhtes, mis on arvutatud antud hetkel. See on teise tuletise mehaaniline tähendus.

Diferentsiaali definitsioon ja geomeetriline tähendus

4. definitsioon. Funktsiooni juurdekasvu põhiosa, mis on lineaarne funktsiooni juurdekasvu suhtes, lineaarne sõltumatu muutuja juurdekasvu suhtes, nimetatakse diferentsiaal funktsioon ja seda tähistatakse d-ga, st. .

Funktsiooni diferentsiaal on geomeetriliselt esitatud punktis M (x; y) tõmmatud puutuja ordinaadi juurdekasvuga antud väärtuste x ja?x korral.

Arvutus diferentsiaal - .

Diferentsiaali rakendamine ligikaudsetes arvutustes - , funktsiooni juurdekasvu ligikaudne väärtus langeb kokku selle diferentsiaaliga.

1. teoreem.Kui diferentseeruv funktsioon antud intervallis suureneb (väheneb), siis ei ole selle funktsiooni tuletis selles intervallis negatiivne (pole positiivne).

2. teoreem.Kui tuletisfunktsioon on teatud intervallis positiivne (negatiivne), siis funktsioon selles intervallis monotoonselt suureneb (monotooniliselt väheneb).

Sõnastame nüüd funktsiooni monotoonsuse intervallide leidmise reegli

1. Arvutage selle funktsiooni tuletis.

2. Leidke punktid, kus see on null või seda pole olemas. Neid punkte nimetatakse kriitiline funktsiooni jaoks

3. Leitud punkte kasutades jagatakse funktsiooni definitsioonipiirkond intervallideks, millest igaühe juures säilitab tuletis oma märgi. Need intervallid on monotoonsuse intervallid.

4. Uurige igal leitud intervallil olevat märki. Kui vaadeldaval intervallil, siis sellel intervallil see suureneb; kui, siis sellisel intervallil see väheneb.

Sõltuvalt ülesande tingimustest saab monotoonsuse intervallide leidmise reeglit lihtsustada.

Definitsioon 5. Punkti nimetatakse funktsiooni maksimaalseks (minimaalseks) punktiks, kui ebavõrdsus kehtib mis tahes punkti mõnes naabruses asuva x kohta.

Kui on funktsiooni maksimaalne (minimaalne) punkt, siis nad ütlevad seda (minimaalne) punktis. Maksimaalne ja minimaalne funktsioon ühendab nime äärmus funktsioonid ning kutsutakse maksimum- ja miinimumpunkte äärmuspunktid (äärmuspunktid).

3. teoreem.(vajalik ekstreemumi märk). Kui on funktsiooni äärmuspunkt ja tuletis on selles punktis olemas, siis on see võrdne nulliga: .

4. teoreem.(piisav märk ekstreemumist). Kui tuletis muudab märki, kui x läbib a, siis on a funktsiooni äärmuspunkt.

Tuletisuuringute põhipunktid:

1. Leia tuletis.

2. Leia funktsiooni definitsioonipiirkonnast kõik kriitilised punktid.

3. Seadke kriitiliste punktide läbimisel funktsiooni tuletise märgid ja kirjutage üles ekstreemumipunktid.

4. Arvutage funktsiooni väärtused igas äärmises punktis.

Las materjal osutab M liigub seaduse järgi sirgjooneliselt S = f(t). Nagu juba teada, tuletis S t' võrdne punkti kiirusega antud ajahetkel: S t ’= V.

Laske ajahetkel t punkti kiirus on võrdne V-ga ja hetkel t + Dt – kiirus on V+DV st teatud aja jooksul Dt kiirus muudetud summa võrra D.V..

Suhe väljendab punkti liikumise keskmist kiirendust ajas Dt. Selle suhte piir on Dt®0 nimetatakse punkti kiirenduseks M Hetkel t ja on tähistatud tähega V: Niisiis, teekonna teine ​​tuletis aja suhtes on punkti sirgjoonelise liikumise kiirenduse suurus, st. .

Kõrgema järgu diferentsiaalid

Lase y=f(x) diferentseeritav funktsioon ja selle argument X- sõltumatu muutuja. Siis on selle esimene diferentsiaal ka funktsioon X, leiate selle funktsiooni diferentsiaali.

Funktsiooni diferentsiaali diferentsiaali nimetatakse selle teiseks diferentsiaaliks (või teist järku diferentsiaaliks) ja seda tähistatakse: .

Antud funktsiooni teist järku diferentsiaal võrdub selle funktsiooni teist järku korrutisega sõltumatu muutuja diferentsiaali ruudu võrra: .

Diferentsiaalarvutuse rakendamine

Funktsiooni kutsutakse suurenemine (vähenemine)) intervalli kohta ( a; b), kui kahe punkti puhulx 1 Jax 2 alates määratud intervallist, mis rahuldab ebavõrdsust, on ebavõrdsus täidetud ().

Vajalik tingimus suurendamiseks (kahanemiseks): kui funktsioon tuleb intervallil eristada ( a, b) suureneb (väheneb), siis on selle funktsiooni tuletis selles intervallis mittenegatiivne (mittepositiivne)() .

Piisav tingimus suurendamiseks (vähendamiseks):Kui diferentseeruva funktsiooni tuletis on teatud intervalli piires positiivne (negatiivne), siis funktsioon selle intervalli ulatuses suureneb (väheneb).

Funktsioon f(x) punktis x 1 Sellel on maksimaalselt, kui üldse X f(x 1)>f(x), kell x ¹ x 1 .

Funktsioon f(x) punktis x 1 Sellel on miinimum, kui üldse X mõnest punkti lähedusest kehtib järgmine ebavõrdsus: f(x 1) , kell x ¹ x 1 .

Funktsiooni ekstreemumit nimetatakse lokaalseks ekstreemumiks, kuna ekstreemumi mõiste on seotud ainult punkti x 1 piisavalt väikese ümbrusega. Seega võib ühel intervallil funktsioonil olla mitu äärmust ja võib juhtuda, et miinimum ühes punktis on suurem kui maksimum teises. Maksimumi või miinimumi olemasolu teatud intervalli punktis ei tähenda, et selles punktis funktsioon toimib f(x) võtab selle intervalli suurima või väikseima väärtuse.

Ekstreemumi vajalik tingimus: Diferentseeruva funktsiooni ekstreemumipunktis on selle tuletis võrdne nulliga.

Ekstreemumi piisav tingimus: Kui diferentseeruva funktsiooni tuletis mingil punktil x 0 on võrdne nulliga ja muudab selle väärtuse läbimisel oma märki, siis on arv f (x 0) funktsiooni ekstreemum ja kui märk muutub plussist miinusseks, siis maksimum, kui miinusest plussiks, siis miinimum.

Punkte, kus pideva funktsiooni tuletis on võrdne nulliga või seda ei eksisteeri, nimetatakse kriitilisteks.

Ekstreemumi funktsiooni uurimine tähendab kõigi selle ekstreemumite leidmist. Ekstreemumi funktsiooni uurimise reegel:

1). Leia funktsiooni kriitilised punktid y = f(x) ja valige nende hulgast ainult need, mis on funktsiooni määratluspiirkonna sisepunktid;

2). Uurige tuletise märki f"(x) igast valitud kriitilisest punktist vasakul ja paremal;

3). Ekstreemumi piisava tingimuse põhjal kirjutage üles ekstreemumipunktid (kui neid on) ja arvutage nende juures funktsiooni väärtused.

Selleks, et leida kõrgeim ja madalaim väärtus segmendi funktsiooniks on vaja läbida mitu etappi:

1). Leia funktsiooni kriitilised voolud, lahendades võrrandi f’(x)=0.

2). Kui kriitilised punktid langevad segmendile, siis on vaja leida väärtused kriitilistes punktides ja intervalli piiridel. Kui kriitilised punktid ei lange segmendile (või neid pole olemas), leitakse funktsiooni väärtused ainult segmendi piiridel.

3). Saadud funktsiooni väärtuste hulgast valige suurim ja väikseim ning kirjutage vastus näiteks kujul: ; .

Probleemi lahendamine

Näide 2.1. Leidke funktsiooni diferentsiaal: .

Lahendus. Funktsiooni diferentsiaali omaduse 2 ja diferentsiaali definitsiooni põhjal saame:

Näide 2.2. Leidke funktsiooni diferentsiaal:

Lahendus. Funktsiooni saab kirjutada järgmiselt: , . Siis on meil:

Näide 2.3. Leidke funktsiooni teine ​​tuletis:

Lahendus. Teisendame funktsiooni.

Leiame esimese tuletise:

leiame teise tuletise:

.

Näide 2.4. Leia funktsiooni teist järku diferentsiaal .

Lahendus. Leiame arvutamise avaldise põhjal teist järku diferentsiaali:

Leiame esmalt esimese tuletise:

; leiame teise tuletise: .

Näide 2.5. Leidke abstsissiga punktis tõmmatud kõvera puutuja nurgategur x=2 .

Lahendus. Tuletise geomeetrilise tähenduse põhjal saame, et kalle on võrdne funktsiooni tuletisega punktis, mille abstsiss on võrdne X . Me leiame .

Arvutame funktsiooni graafiku puutuja nurkkoefitsiendi.

Näide 2.6. Bakterite populatsioon teatud ajahetkel t (t mõõdetuna tundides) summad üksikisikud. Leia bakterite kasvukiirus. Leia bakterite kasvukiirus antud ajahetkel t = 5 tundi.

Lahendus. Bakteripopulatsiooni kasvukiirus on aja suhtes esimene tuletis t: .

Kui t = 5 tundi, siis. Seetõttu on bakterite kasvukiirus 1000 isendit tunnis.

Näide 2.7. Organismi reaktsioon manustatud ravimile võib väljenduda vererõhu tõusus, kehatemperatuuri languses, pulsisageduse muutuses või muudes füsioloogilistes näitajates. Reaktsiooni aste sõltub ettenähtud ravimi annusest. Kui X näitab määratud ravimi annust ja reaktsiooni astet juures mida kirjeldab funktsioon . Mis väärtuses X Kas reaktsioon on maksimaalne?

Lahendus. Leiame tuletise .

Leiame kriitilised punktid: ⇒ . ⇒ Järelikult on meil kaks kriitilist punkti: . Väärtus ei vasta ülesande tingimustele.

Leiame teise tuletise . Arvutame teise tuletise väärtuse . . See tähendab – maksimaalset reaktsiooni andvat doosi.

Näited iselahenduseks

Leidke funktsiooni diferentsiaal:

1. .

2. .

3. .

4.

Leidke järgmiste funktsioonide teised tuletised:

6. .

Leidke teist järku tuletised ja kirjutage teist järku diferentsiaalid järgmiste funktsioonide jaoks:

9. .

11. Uurige ekstreemumi funktsiooni.

12. Leia funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused segmendil.

13. Leia funktsiooni suurenemise ja kahanemise intervallid, maksimum- ja miinimumpunktid ning lõikepunktid telgedega:

14. Punkti liikumisseadusel on vorm . Määrake selle punkti kiiruse ja kiirenduse seadus.

15. Punkti liikumisvõrrand on kujul (m). Leia 1) punkti asukoht ajahetkedel s ja s; 2) nende ajapunktide vahel möödunud aja keskmine kiirus; 3) hetkekiirused kindlaksmääratud aegadel; 4) keskmine kiirendus teatud aja jooksul; 5) hetkkiirendused kindlaksmääratud aegadel.

Kodutöö ülesanne.

Harjuta:

Leidke funktsiooni diferentsiaal:

1. ;

2. ;

Leia funktsiooni teist järku tuletised:

4.

5.

Leidke teist järku diferentsiaalid

6. .

7. Punkt liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele. Arvutage kiirus ja kiirendus kohati ja .

Leidke funktsioonide suurenemise ja kahanemise intervallid:

9. .

10. Glükoosi infundeerimisel selle sisaldus inimveres, väljendatuna vastavates ühikutes, pärast t tundi saab olema . Leia vere glükoosisisalduse muutumise kiirus punktis a) t = 1 h; b) t = 2 h.

teooria.

1. Loeng teemal „Mitme argumendi funktsioonide tuletised ja diferentsiaalid. Mitme argumendi diferentsiaalfunktsiooni rakendamine."

2. Selle juhendi 3. õppetund.

3. Pavluškov I.V. ja teised lk ​​101-113, 118-121.

Õppetund 3. Mitme argumendi funktsiooni tuletised ja diferentsiaalid

Teema asjakohasus: seda matemaatika osa kasutatakse laialdaselt paljude rakendusülesannete lahendamisel, kuna paljusid füüsikalisi, bioloogilisi ja keemilisi nähtusi iseloomustab sõltuvus mitte ühest, vaid mitmest muutujast (tegurist).

Tunni eesmärk: õppida leidma mitme muutuja funktsioonide osatuletisi ja diferentsiaale.

Sihtülesanded:

teadma: kahe muutuja funktsiooni mõistet; kahe muutuja funktsiooni osatuletisi mõiste; mitme muutuja funktsiooni täielike ja osaliste diferentsiaalide mõiste;

oskama: leida mitme muutuja funktsioonide tuletisi ja diferentsiaale.

Lühiteave teoreetilisest kursusest

Põhimõisted

Muutujat z nimetatakse kahe argumendi x ja y funktsiooniks, kui mõnele väärtuspaarile omistatakse mingi reegli või seaduse järgi teatud väärtus z. Kahe argumendi funktsiooni tähistab .

Funktsioon on määratud pinnana ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis ruumis. Kahe muutuja funktsiooni graafik on punktide kogum kolmemõõtmelises ruumis x

Töö on nn osaline diferentsiaal funktsioon z=f(x,y)by X ja on määratud.

Täielik diferentsiaalfunktsioon

Funktsiooni diferentsiaal on selle funktsiooni osatuletiste korrutiste ja vastavate sõltumatute muutujate juurdekasvu summa, s.o. . Sest Ja siis võime kirjutada: või .