Sirge püramiidi külgpind on võrdne. Erinevate püramiidide külgpindala

Millist kuju me nimetame püramiidiks? Esiteks on see hulktahukas. Teiseks on selle hulktahuka põhjas suvaline hulknurk ja püramiidi külgedel (külgpindadel) on tingimata kolmnurkade kuju, mis koonduvad ühte ühisesse tippu. Nüüd, olles mõistest aru saanud, uurime välja, kuidas leida püramiidi pindala.

On selge, et sellise geomeetrilise keha pindala koosneb aluse ja kogu selle külgpinna pindalade summast.

Püramiidi aluse pindala arvutamine

Arvutusvalemi valik sõltub meie püramiidi aluseks oleva hulknurga kujust. See võib olla korrapärane, st sama pikkusega külgedega või ebakorrapärane. Mõelgem mõlemale võimalusele.

Alus on tavaline hulknurk

Koolikursusest teame:

ruudu pindala on võrdne selle külje ruudu pikkusega;
Võrdkülgse kolmnurga pindala võrdub selle külje ruuduga, mis on jagatud 4-ga ja korrutatud ruutjuurega kolmest.

Kuid on ka üldine valem, mis tahes korrapärase hulknurga pindala (Sn) arvutamiseks: peate korrutama selle hulknurga ümbermõõdu (P) sellesse kirjutatud ringi raadiusega (r) ja jagama tulemuse kahega: Sn= 1/2P*r.

Alusel on ebakorrapärane hulknurk

Selle pindala leidmise skeem on kõigepealt jagada kogu hulknurk kolmnurkadeks, arvutada nende pindala valemiga: 1/2a*h (kus a on kolmnurga alus, h on kõrgus, mis on langetatud see alus), liitke kõik tulemused.

Püramiidi külgpindala

Nüüd arvutame välja püramiidi külgpinna pindala, s.o. selle kõigi külgmiste külgede pindalade summa. Siin on ka 2 võimalust.

Olgu meil suvaline püramiid, st. üks, mille põhjas on ebakorrapärane hulknurk. Seejärel peaksite arvutama iga näo pindala eraldi ja lisama tulemused. Kuna püramiidi küljed võivad definitsiooni järgi olla ainult kolmnurgad, tehakse arvutus ülalmainitud valemiga: S=1/2a*h.
Olgu meie püramiid õige, s.t. selle põhjas asub korrapärane hulknurk ja püramiidi tipu projektsioon on selle keskel. Seejärel piisab külgpinna (Sb) pindala arvutamiseks sellest, et leida pool aluse hulknurga perimeetri (P) ja külgmise külje kõrguse (h) korrutisest (sama kõigi tahkude puhul). ): Sb = 1/2 P*h. Hulknurga ümbermõõt määratakse selle kõigi külgede pikkuste liitmise teel.

Tavalise püramiidi kogupindala leitakse selle aluse pindala liitmisel kogu külgpinna pindalaga.

Näited

Näiteks arvutame algebraliselt mitme püramiidi pindalad.

Kolmnurkse püramiidi pindala

Sellise püramiidi põhjas on kolmnurk. Valemi So=1/2a*h abil leiame aluse pindala. Kasutame sama valemit, et leida püramiidi iga külje pindala, millel on ka kolmnurkne kuju, ja saame 3 piirkonda: S1, S2 ja S3. Püramiidi külgpinna pindala on kõigi pindalade summa: Sb = S1+ S2+ S3. Külgede ja aluse pindalade liitmisel saame soovitud püramiidi kogupindala: Sp = So+ Sb.

Nelinurkse püramiidi pindala

Külgpinna pindala on 4 liikme summa: Sb = S1+ S2+ S3+ S4, millest igaüks arvutatakse kolmnurga pindala valemi abil. Ja aluse pindala tuleb otsida sõltuvalt nelinurga kujust - korrapärane või ebakorrapärane. Püramiidi kogupind saadakse jällegi, kui liidetakse antud püramiidi aluse pindala ja kogupindala.

on mitmetahuline kujund, mille alus on hulknurk ja ülejäänud tahud on kujutatud ühise tipuga kolmnurkadega.

Kui alus on ruut, siis nimetatakse püramiidi nelinurkne, kui kolmnurk – siis kolmnurkne. Püramiidi kõrgus tõmmatakse selle tipust risti alusega. Kasutatakse ka pindala arvutamiseks apoteem– külgpinna kõrgus, ülaosast allapoole langetatud.
Püramiidi külgpinna pindala valem on selle külgpindade pindalade summa, mis on üksteisega võrdsed. Seda arvutusmeetodit kasutatakse aga väga harva. Põhimõtteliselt arvutatakse püramiidi pindala läbi aluse ja apoteemi perimeetri:

Vaatleme näidet püramiidi külgpinna pindala arvutamisest.

Olgu antud püramiid, mille alus on ABCDE ja ülaosa F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm. Apoteem a = 5 cm. Leidke püramiidi külgpinna pindala.
Leiame perimeetri. Kuna aluse kõik servad on võrdsed, on viisnurga ümbermõõt võrdne:
Nüüd leiate püramiidi külgmise ala:

Korrapärase kolmnurkse püramiidi pindala

Tavaline kolmnurkne püramiid koosneb alusest, milles asub korrapärane kolmnurk ja kolm külgpinda, mille pindala on võrdne.
Tavalise kolmnurkse püramiidi külgpinna valemit saab arvutada erineval viisil. Võite rakendada tavalist arvutusvalemit perimeetri ja apoteemi abil või leida ühe näo pindala ja korrutada see kolmega. Kuna püramiidi tahk on kolmnurk, rakendame kolmnurga pindala valemit. See nõuab apoteemi ja aluse pikkust. Vaatleme näidet tavalise kolmnurkse püramiidi külgpinna arvutamiseks.

Antud püramiid, mille apoteem a = 4 cm ja aluspind b = 2 cm. Leidke püramiidi külgpinna pindala.
Esiteks leidke ühe külgpinna ala. Sel juhul on see:
Asendage väärtused valemisse:
Kuna tavalises püramiidis on kõik küljed ühesugused, on püramiidi külgpinna pindala võrdne kolme tahu pindalade summaga. Vastavalt:

Tüvipüramiidi pindala

Kärbitud Püramiid on hulktahukas, mille moodustab püramiid ja mille ristlõige on paralleelne alusega.
Kärbitud püramiidi külgpinna valem on väga lihtne. Pindala on võrdne poole aluste perimeetrite ja apoteemi summa korrutisega:

Enne selle geomeetrilise kujundi ja selle omadustega seotud küsimuste uurimist peaksite mõistma mõnda terminit. Kui inimene kuuleb püramiidist, kujutab ta ette tohutuid ehitisi Egiptuses. Sellised näevad välja kõige lihtsamad. Aga need juhtuvad erinevad tüübid ja kujundid, mis tähendab, et geomeetriliste kujundite arvutusvalem on erinev.

Figuuri tüübid

püramiid - geomeetriline kujund , mis tähistab ja esindab mitut nägu. Sisuliselt on see sama hulktahukas, mille põhjas asub hulknurk ja külgedel on kolmnurgad, mis ühendavad ühes punktis - tipus. Joonist on kahte peamist tüüpi:

õige;
kärbitud.

Esimesel juhul on aluseks tavaline hulknurk. Siin on kõik külgpinnad võrdsed enda ja figuuri enda vahel meeldivad perfektsionistile.

Teisel juhul on kaks alust - suur allosas ja väike ülaosas, mis kordab peamise kuju. Teisisõnu on kärbitud püramiid hulktahukas, mille ristlõige on moodustatud paralleelselt alusega.

Tingimused ja sümbolid

Võtmesõnad:

Korrapärane (võrdkülgne) kolmnurk- kolme võrdse nurga ja võrdsete külgedega kujund. Sel juhul on kõik nurgad 60 kraadi. Joonis on tavalistest hulktahukatest lihtsaim. Kui see arv asub aluses, nimetatakse sellist hulktahukat tavaliseks kolmnurkseks. Kui alus on ruut, nimetatakse püramiidi tavaliseks nelinurkseks püramiidiks.
Tipp– kõrgeim punkt, kus servad kokku puutuvad. Tipu kõrguse moodustab sirgjoon, mis ulatub tipust püramiidi põhjani.
Edge– üks hulknurga tasapindadest. See võib olla kolmnurkse püramiidi puhul kolmnurga kujul või kärbitud püramiidi puhul trapetsi kujul.
jaotis – lame figuur, mis on tekkinud dissektsiooni tulemusena. Seda ei tohiks segi ajada lõiguga, kuna jaotis näitab ka seda, mis on jaotise taga.
Apoteem- segment, mis on tõmmatud püramiidi tipust selle põhjani. See on ka näo kõrgus, kus asub teine kõrguspunkt. See määratlus kehtib ainult tavalise hulktahuka puhul. Näiteks kui see pole kärbitud püramiid, on nägu kolmnurk. Sel juhul saab apoteemiks selle kolmnurga kõrgus.

Pindala valemid

Leidke püramiidi külgpindala mis tahes tüüpi saab teha mitmel viisil. Kui joonis ei ole sümmeetriline ja kujutab endast erinevate külgedega hulknurka, siis on sel juhul lihtsam arvutada kogupindala läbi kõikide pindade summa. Teisisõnu peate arvutama iga näo pindala ja liitma need kokku.

Sõltuvalt teadaolevatest parameetritest võib vaja minna ruudu, trapetsi, suvalise nelinurga jne arvutamise valemeid. Valemid ise erinevatel juhtudel on ka erinevusi.

Tavafiguuri puhul on ala leidmine palju lihtsam. Piisab vaid mõne põhiparameetri teadmisest. Enamikul juhtudel on selliste arvude jaoks vaja spetsiaalselt arvutusi. Seetõttu esitatakse allpool vastavad valemid. Vastasel juhul peaksite kõik mitme lehekülje peale välja kirjutama, mis teid ainult segaks ja segaks.

Arvutamise põhivalem Tavalise püramiidi külgpinnal on järgmine kuju:

S = ½ Pa (P on aluse ümbermõõt ja apoteem)

Vaatame ühte näidet. Polühedril on alus segmentidega A1, A2, A3, A4, A5 ja kõik need on võrdsed 10 cm Olgu apoteem võrdne 5 cm Esmalt tuleb leida ümbermõõt. Kuna aluse kõik viis külge on ühesugused, saate selle leida järgmiselt: P = 5 * 10 = 50 cm Järgmiseks rakendame põhivalemit: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm ruudus.

Tavalise kolmnurkse püramiidi külgpindala kõige lihtsam arvutada. Valem näeb välja selline:

S =½* ab *3, kus a on apoteem, b on aluse tahk. Tegur kolm tähendab siin aluse pindade arvu ja esimene osa on külgpinna pindala. Vaatame näidet. Antud joonis, mille apoteem on 5 cm ja aluse serv 8 cm Arvutame: S = 1/2*5*8*3=60 cm ruudus.

Tüvipüramiidi külgpindala Seda on veidi keerulisem arvutada. Valem näeb välja selline: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, kus p_01 ja p_02 on aluste perimeetrid ja on apoteem. Vaatame näidet. Oletame, et nelinurkse kujundi korral on aluste külgede mõõtmed 3 ja 6 cm ning apoteemi mõõtmed on 4 cm.

Siin tuleb kõigepealt leida aluste ümbermõõdud: р_01 =3*4=12 cm; р_02=6*4=24 cm Jääb üle põhivalemisse väärtused asendada ja saame: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm ruudus.

Seega võite leida mis tahes keerukusega tavalise püramiidi külgpinna. Peaksite olema ettevaatlik ja mitte segadusse ajada need arvutused kogu hulktahuka kogupindalaga. Ja kui teil on seda siiski vaja teha, arvutage lihtsalt hulktahuka suurima aluse pindala ja lisage see hulktahuka külgpinna pindalale.

Video

See video aitab teil koondada teavet selle kohta, kuidas leida erinevate püramiidide külgpindala.

Korrapärases kolmnurkses püramiidis SABC R- ribi keskosa AB, S- ülemine.
On teada, et SR = 6, ja külgpind on võrdne 36 .
Leidke lõigu pikkus B.C..

Teeme joonise. Tavalises püramiidis on külgpinnad võrdhaarsed kolmnurgad.

Joonelõik S.R.- mediaan on langetatud alusele ja seega ka külgpinna kõrgus.

Tavalise kolmnurkse püramiidi külgpindala on võrdne pindalade summaga
kolm võrdset külgpinda S pool = 3 S ABS. Siit S ABS = 36: 3 = 12- näo piirkond.

Kolmnurga pindala on võrdne poolega selle aluse ja kõrguse korrutisest
S ABS = 0,5 AB SR. Teades pindala ja kõrgust, leiame aluse külje AB = BC.
12 = 0,5 AB 6
12 = 3 AB
AB = 4

Vastus: 4

Saate probleemile läheneda teisest otsast. Laske põhi pool AB = BC = a.
Seejärel näo piirkond S ABS = 0,5 AB SR = 0,5 a 6 = 3a.

Iga kolme näo pindala on võrdne 3a, on kolme tahu pindala võrdne 9a.
Vastavalt probleemi tingimustele on püramiidi külgpinna pindala 36.
S pool = 9a = 36.
Siit a = 4.

Definitsioon. Külgserv- see on kolmnurk, mille üks nurk asub püramiidi ülaosas ja vastaskülg langeb kokku aluse (hulknurga) küljega.

Definitsioon. Külgmised ribid- need on külgpindade ühised küljed. Püramiidil on sama palju servi kui hulknurga nurki.

Definitsioon. Püramiidi kõrgus- see on risti, mis on langetatud püramiidi tipust põhja.

Definitsioon. Apoteem- see on risti püramiidi külgpinnaga, mis on langetatud püramiidi tipust aluse küljele.

Definitsioon. Diagonaalne lõige- see on püramiidi osa tasapinnast, mis läbib püramiidi tippu ja aluse diagonaali.

Definitsioon. Õige püramiid on püramiid, mille alus on korrapärane hulknurk ja kõrgus langeb aluse keskele.

Püramiidi ruumala ja pindala

Valem. Püramiidi ruumala läbi aluse pindala ja kõrgus:

Püramiidi omadused

Kui kõik külgservad on võrdsed, saab püramiidi aluse ümber tõmmata ringi, mille aluse keskpunkt ühtib ringi keskpunktiga. Samuti läbib aluse (ringi) keskpunkti ülevalt alla lastud risti.

Kui kõik külgmised servad on võrdsed, on need aluse tasapinna suhtes samade nurkade all.

Külgmised ribid on võrdsed, kui need moodustuvad aluse tasapinnaga võrdsed nurgad või kui saab kirjeldada ringi ümber püramiidi aluse.

Kui külgpinnad on aluse tasapinna suhtes sama nurga all, saab püramiidi põhja kirjutada ringi ja püramiidi ülaosa projitseeritakse selle keskmesse.

Kui külgpinnad on aluse tasapinna suhtes sama nurga all, siis on külgpindade apoteemid võrdsed.

Tavalise püramiidi omadused

1. Püramiidi tipp on aluse kõigist nurkadest võrdsel kaugusel.

2. Kõik külgmised servad on võrdsed.

3. Kõik külgmised ribid on aluse suhtes kallutatud võrdse nurga all.

4. Kõikide külgtahkude apoteemid on võrdsed.

5. Kõikide külgpindade pindalad on võrdsed.

6. Kõigil tahkudel on samad kahetahulised (tasapinnalised) nurgad.

7. Püramiidi ümber saab kirjeldada kera. Piiratud sfääri keskpunkt on servade keskosa läbivate perpendikulaaride lõikepunkt.

8. Püramiidi saad sobitada kera. Sissekirjutatud sfääri keskpunkt on serva ja aluse vahelisest nurgast lähtuvate poolitajate lõikepunkt.

9. Kui sissekirjutatud sfääri keskpunkt ühtib piiritletud sfääri keskpunktiga, siis tasandi nurkade summa tipus on võrdne π-ga või vastupidi, üks nurk võrdub π/n, kus n on arv nurgad püramiidi põhjas.

Seos püramiidi ja sfääri vahel

Püramiidi ümber olevat kera saab kirjeldada siis, kui püramiidi põhjas on hulktahukas, mille ümber saab kirjeldada ringjoont (vajalik ja piisav tingimus). Sfääri keskpunkt on püramiidi külgmiste servade keskpunkte risti läbivate tasapindade lõikepunkt.

Alati on võimalik kirjeldada sfääri mis tahes kolmnurkse või korrapärase püramiidi ümber.

Kera saab püramiidi sisse kirjutada, kui püramiidi sisemiste kahetahuliste nurkade poolitustasandid ristuvad ühes punktis (vajalik ja piisav tingimus). Sellest punktist saab sfääri keskpunkt.

Püramiidi ühendus koonusega

Koonust nimetatakse püramiidi sisse kantuks, kui nende tipud langevad kokku ja koonuse põhi on kantud püramiidi põhja.

Püramiidi saab kirjutada koonuse, kui püramiidi apoteemid on üksteisega võrdsed.

Koonust nimetatakse ümber püramiidi, kui nende tipud langevad kokku ja koonuse põhi on ümbritsetud ümber püramiidi aluse.

Püramiidi ümber olevat koonust saab kirjeldada, kui kõik püramiidi külgservad on üksteisega võrdsed.

Püramiidi ja silindri suhe

Püramiidi nimetatakse silindrisse kantuks, kui püramiidi tipp asub silindri ühel alusel ja püramiidi põhi on kantud silindri teisele alusele.

Silindrit saab kirjeldada ümber püramiidi, kui saab kirjeldada ringi ümber püramiidi aluse.

Definitsioon. Kärbitud püramiid (püramiidprisma) on hulktahukas, mis asub püramiidi aluse ja alusega paralleelse lõiketasandi vahel. Seega on püramiidil suurem alus ja väiksem alus, mis sarnaneb suuremaga. Külgpinnad on trapetsikujulised.

Definitsioon. Kolmnurkne püramiid (tetraeeder) on püramiid, mille kolm tahku ja põhi on suvalised kolmnurgad.

Tetraeedril on neli tahku ja neli tippu ja kuus serva, kus kahel serval ei ole ühiseid tippe, kuid need ei puutu kokku.

Iga tipp koosneb kolmest tahust ja servast, mis moodustavad kolmnurkne nurk.

Nimetatakse lõiku, mis ühendab tetraeedri tippu vastaskülje keskpunktiga tetraeedri mediaan(GM).

Bimediaan nimetatakse lõiguks, mis ühendab vastasservade keskpunkte, mis ei puutu kokku (KL).

Kõik tetraeedri bimediaanid ja mediaanid lõikuvad ühes punktis (S). Sel juhul jagatakse bimediaanid pooleks ja mediaanid suhtega 3:1, alustades tipust.

Definitsioon. Kaldus püramiid on püramiid, mille üks servadest moodustab põhjaga nürinurga (β).

Definitsioon. Ristkülikukujuline püramiid on püramiid, mille üks külgpindadest on aluse suhtes risti.

Definitsioon. Teravnurkne püramiid- püramiid, mille apoteem on üle poole aluse külje pikkusest.

Definitsioon. Nürakujuline püramiid- püramiid, mille apoteem on alla poole aluse külje pikkusest.

Definitsioon. Regulaarne tetraeeder- tetraeeder, mille kõik neli tahku on võrdkülgsed kolmnurgad. See on üks viiest korrapärasest hulknurgast. Tavalises tetraeedris on kõik kahetahulised nurgad (tahkude vahel) ja kolmnurksed nurgad (tipu juures) võrdsed.

Definitsioon. Ristkülikukujuline tetraeeder nimetatakse tetraeedriks, mille tipus on kolme serva vahel täisnurk (servad on risti). Moodustuvad kolm nägu ristkülikukujuline kolmnurkne nurk ja tahud on täisnurksed kolmnurgad ja alus on suvaline kolmnurk. Mis tahes näo apoteem on võrdne poole aluse küljega, millele apoteem langeb.

Definitsioon. Isoeedriline tetraeeder nimetatakse tetraeedriks, mille külgpinnad on üksteisega võrdsed ja mille alus on korrapärane kolmnurk. Sellisel tetraeedril on tahud, mis on võrdhaarsed kolmnurgad.

Definitsioon. Ortotsentriline tetraeeder nimetatakse tetraeedriks, milles kõik kõrgused (perpendikulaarid), mis on langetatud ülalt vastasküljele, ristuvad ühes punktis.

Definitsioon. Tähepüramiid nimetatakse hulktahukaks, mille alus on täht.

Definitsioon. Bipüramiid- kahest erinevast püramiidist (püramiide võib ka ära lõigata) koosnev hulktahukas, millel on ühisosa, ja tipud asuvad põhitasandi vastaskülgedel.