Hulknurgad. Visuaalne juhend (2019)

Hulknurga tipud ja segmendid on hulknurga küljed. Hulknurga tipud - lk nr 1/1

Geomeetria 8. klass K.K.Kurginyan Part-1* (tärniga).
Hulknurk.

Definitsioon: Hulknurk on geomeetriline kujund, mis koosneb tasasest suletud katkendjoonest, millel puuduvad iselõikused. Katkendjoone tippe nimetatakse tipud hulknurk ja lõigud on peod hulknurk.

Hulknurga tippe nimetatakse naaber, kui need on selle ühe külje otsad. Nimetatakse joonelõike, mis ühendavad hulknurga mittekülgnevaid tippe diagonaalid .

Väline nurk kumera hulknurga antud tipus on nurk, mis külgneb selles tipus oleva hulknurga sisenurgaga. Üldiselt on välisnurk erinevus 180° ja sisenurga vahel; see võib võtta väärtusi vahemikus -180° kuni 180°. Hulknurga välisnurkade summa on 360°.

Kumer hulknurk.
Hulknurknimetatakse kumeraks, kui:
DefinitsioonI - mis tahes kahe punkti sees paikneb neid ühendav segment täielikult selles.

DefinitsioonII - iga sisenurk on väiksem kui 180°.

DefinitsioonIII - kõik selle diagonaalid asuvad täielikult selle sees.

DefinitsioonIV – see asub iga sirge ühel küljel, mis läbib selle kahte naabertippu.
Nurkade summa n -gon.
Kumera n-nurga nurkade summa on (n-2)∙180°.
Mittekumera n-nurga nurkade summa on samuti võrdne (n-2)∙180°. (Tõestus on sarnane, kuid kasutab lisaks lemmat, et iga hulknurga saab lõigata diagonaalselt kolmnurkadeks).
Diagonaalide arv n -gon.*

Teoreem: Iga n-nurga diagonaalide arv on n(n-3)2.

Tõestus: Olgu n hulknurga tippude arv, arvutame p võimalike erinevate diagonaalide arvu. Iga tipp on diagonaalide kaudu ühendatud kõigi teiste tippudega, välja arvatud kaks naabertippu ja loomulikult ka ise. Seega saab ühest tipust tõmmata n-3 diagonaali; Korrutame selle tippude arvuga (n-3)∙n, kuid me lugesime iga diagonaali kaks korda (üks kord mõlema otsa jaoks, seega peame jagama 2-ga) - seega p= n(n-3)2.

Probleem*: millisel kumeral hulknurgal on 25 diagonaali rohkem kui külgi?

25+n = nn-32

50 + 2n = n 2 - 3n

n 2 - 5n - 50 = 0

Tegutseme

n 2 -25-5n -25 = 0

n=-5 ei rahulda,

sest seda pole olemas

selline hulknurk

n = 10 rahuldab

Vastus: Kümmenurk.

Võrdsete diagonaalidega kujundid.*

Pinnal on kaks regulaarset hulknurka kõik diagonaalid on võrdsed omavahel – see ruut Ja tavaline viisnurk (viisnurk). Ruudul on kaks identset diagonaali, mis lõikuvad keskel täisnurga all. Tavalisel viisnurgal on viis identset diagonaali, mis koos moodustavad viieharulise tähe (pentagrammi) mustri.

Kosmoses on ainult üks õige hulktahukas (mitte hulknurk), milline kõik diagonaalid on võrdsed omavahel – see tavaline oktaeeder (oktaeeder). Oktaeedri juures kolm diagonaali, mis lõikuvad paarikaupa keskel risti. Kõik oktaeedri diagonaalid on ruumilised (oktaeedril pole tahkude diagonaale, kuna sellel on kolmnurksed tahud).

Lisaks oktaeedrile on veel üks korrapärane hulktahukas, mis kõik ruumidiagonaalid on võrdsed omavahel – see kuubik (kuueeder), lisaks ruumilistele on kuubil tahkude diagonaalid. Kuubil on neli identset ruumidiagonaali, mis ristuvad keskel. Kuubi diagonaalide vaheline nurk on kas kaar (1/3) ≈ 70,5° (külgnevate tippude külge tõmmatud diagonaalide paari puhul) või kaar (–1/3) ≈ 109,5° (mittesuunas tõmmatud diagonaalide paari puhul) -külgnevad tipud).

Nelinurgad.
Igal nelinurgal on neli tippu, neli külge ja kaks diagonaali.

Kahte mittekülgnevat külge nimetatakse vastaskülgedeks.

Kahte mittekülgnevat tippu nimetatakse vastandlikuks.
1.Parallelogramm on nelinurk, mille vastasküljed on paarikaupa paralleelsed.
Rööpküliku omadused:
1) Rööpküliku vastasküljed on võrdsed. AB = DC, AD = BC.

2) Rööpküliku vastasnurgad on võrdsed. A=C, B=D.

3) Rööpküliku diagonaalid lõikuvad ja jagatakse lõikepunktiga pooleks. AO=OC, BO=OD.

4) Ühe küljega külgnevate nurkade summa on 180°. A+D=180, A+B=180, B+C=180, D+C=180.

5) Kõikide nurkade summa on 360°. A+B+C+D=360°.

6)* Rööpküliku diagonaalide ruutude summa on võrdne kahe kõrvutise külje ruutude summaga: AC 2 +BD 2 =2∙(AB 2 +AD 2).

Probleem 1*: Leidke rööpküliku diagonaal, kui on teada, et ühe diagonaali pikkus on AC = 9 cm ja küljed AD = 7 cm ja AB = 4 cm.

Lahendus: Asendades väärtused valemisse, saame:

81+BD 2 =2∙(49+16),

BD 2 =49, seega teine ​​diagonaal on BD = 7 cm. Vastus: 7 cm.
Ülesanne 2*: Leidke rööpküliku diagonaal, kui on teada, et ühe diagonaali pikkus on BD=10 cm ning küljed AD=8 cm ja AB=2 cm.

Lahendus:Ülesande tingimused ei vasta tõele, kuna kolmnurga kahe külje summa on alati suurem kui kolmas külg. Vastus: probleemil pole lahendusi (tähendus).

Ülesanne 3*: a) Leidke rööpküliku külg, kui on teada, et diagonaalide pikkus on BD = 6 cm, AC = 8 ja üks külg AB = 5 cm b) Mis on selle rööpküliku nimi?
Ülesanne 4**: Rööpküliku diagonaalide pikkuste summa on 12 cm ja korrutis 32, leidke selle kõigi külgede ruutude summa väärtus.
Ülesanne 5**: Leidke rööpküliku suurim ümbermõõt, mille diagonaalid on 6 cm ja 8 cm.

Lahendus: Tõestame seda kõigist etteantud diagonaalipikkusega rööpkülikutest on rombil suurim ümbermõõt .

Tõepoolest, las a Ja b on rööpküliku külgnevate külgede pikkused ja ja on selle diagonaalide pikkused (vt joonis 2). Siis on rööpküliku ümbermõõt: P = 2(a + b).

Rööpküliku diagonaalide ruutude summa teoreemi väljendavast võrdsusest järeldub, et kõikide antud diagonaalidega rööpkülikute puhul on külgede ruutude summa konstantne väärtus.

Vastavalt aritmeetilise keskmise ja keskmise ruudu ebavõrdsusele:  ja võrdsus saavutatakse t. ja t. t., kui a = b. See tähendab, et suurima ümbermõõduga rööpkülik on romb. Leidke selle rombi külg: =5(cm). Vastus: 20 cm.

2.Ristkülik on rööpkülik, mille kõik nurgad on täisnurgad.
Definitsioon 2: see on nelinurk, millel on kõik täisnurgad.

Definitsioon 3: see on ühe täisnurgaga rööpkülik.

Definitsioon 4: see on rööpkülik, mille nurgad on võrdsed.
Ristküliku omadused: +
1) Ristküliku diagonaalid on võrdsed.

2)* Diagonaali ruut võrdub külgede ruutude summaga. AC 2 = AB 2 + DC 2

Ülesanne 1: Ristküliku lühim külg on 5cm, diagonaalid lõikuvad 60° nurga all. Leidke ristküliku diagonaalid.
Ülesanne 2: Ristküliku lühim külg on 24, diagonaalid lõikuvad 120° nurga all. Leidke ristküliku diagonaalid ja pikim külg.
Ülesanne 3*: Ristküliku külg on 3 cm, diagonaal 5 cm Leia ristküliku teine ​​külg.
Ülesanne 4*: Ristküliku külg on 6 cm, diagonaal 10 cm. Leidke ristküliku pindala.

3.Romb on rööpkülik, mille kõik küljed on võrdsed.
Definitsioon 2: see on nelinurk, mille kõik küljed on võrdsed.
Rombi omadused: samad omadused nagu rööpkülikul +
1) Rombi diagonaalid on üksteisega risti (AC ⊥ BD).

2) Rombi diagonaalid jagavad selle nurgad pooleks (st rombi diagonaalid on tema nurkade poolitajad - ∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD, ∠BAC = ∠DAC, ∠ADB = CDB).

3)*Diagonaalide ruutude summa võrdub külje ruuduga, mis on korrutatud 4-ga (rööpküliku identiteedi tagajärg). AC 2 + BD 2 = 4 AB 2
Ülesanne 1: Rombi diagonaalid on 6 ja 8 cm Leia rombi külg.
Ülesanne 2: Rombi külg on 10 cm, üks nurkadest on 60. Leidke rombi väike diagonaal.
4.Ruut on rööpkülik, mille kõik nurgad on võrdsed 90 ja kõik küljed on võrdsed.
Definitsioon 2: see on rööpkülik, mille kõik nurgad ja küljed on üksteisega võrdsed.

Definitsioon 3: see on nelinurk, mille kõik nurgad ja küljed on üksteisega võrdsed.

Definitsioon 4: see on ühe täisnurgaga romb.

Definitsioon 5: see on romb, mille nurgad on võrdsed.

Definitsioon 6: see on ristkülik, mille kõik küljed on võrdsed.
Ruudu omadused: samad omadused nagu rööpkülikul +
1) Ruudu diagonaalid on võrdsed.

2) Ruudu diagonaalid on üksteisega risti (AC ⊥ BD).

3) Ruudu diagonaalid jagavad selle nurgad pooleks (st ruudu diagonaalid on selle nurkade poolitajad - ∠DCA = ∠BCA= ∠ABD = ∠CBD= ∠BAC = ∠DAC= ∠ADB = ∠ CDB=45).

4)* Diagonaali ruut võrdub kahekordse külje ruuduga. AC 2 = 2 AB 2

5.Trapets on nelinurk, mille kaks külge on paralleelsed ja ülejäänud kaks ei ole paralleelsed.
Paralleelseid külgi nimetatakse alusteks ja ülejäänud kahte külgmisteks külgedeks.

Trapetsi nimetatakse võrdhaarseks, kui selle küljed on võrdsed.

Trapetsi nimetatakse ristkülikukujuliseks, kui üks selle nurkadest on õige.
Ülesanne: Tõesta, et trapets ei saa olla nii ristkülikukujuline kui ka võrdhaarne.

Hulknurkade omadused

Hulknurk on geomeetriline kujund, mida tavaliselt defineeritakse kui suletud katkendjoont, millel pole iselõike (lihtne hulknurk (joon. 1a)), kuid mõnikord on lubatud ka iselõikused (siis pole hulknurk lihtne).

Hulknurga tippe nimetatakse hulknurga tippudeks ja lõikeid hulknurga külgedeks. Hulknurga tippe nimetatakse külgnevateks, kui need on selle ühe külje otsad. Lõike, mis ühendavad hulknurga mittekülgnevaid tippe, nimetatakse diagonaalideks.

Kumera hulknurga nurk (või sisenurk) antud tipus on nurk, mille moodustavad selle küljed koonduvad selles tipus ja nurk arvutatakse hulknurga külje järgi. Eelkõige võib nurk ületada 180°, kui hulknurk ei ole kumer.

Kumera hulknurga välisnurk antud tipus on nurk, mis külgneb selles tipus oleva hulknurga sisenurgaga. Üldiselt on välisnurk erinevus 180° ja sisenurga vahel. Kui > 3, on -gon igal tipul 3 diagonaali, seega on -gon diagonaalide koguarv võrdne.

Kolme tipuga hulknurka nimetatakse kolmnurgaks, neljaga - nelinurgaks, viiega - viisnurgaks jne.

Hulknurk koos n nimetatakse tippudeks n- ruut.

Tasane hulknurk on kujund, mis koosneb hulknurgast ja sellega piiratud ala lõplikust osast.

Hulknurka nimetatakse kumeraks, kui on täidetud üks järgmistest (võrdväärsetest) tingimustest:

• 1. see asub ühel pool mis tahes sirget, mis ühendab selle naabertippe. (st hulknurga külgede pikendused ei ristu selle teisi külgi);
• 2. see on mitme pooltasandi ristumiskoht (s.o. ühisosa);
• 3. iga lõik, mille otsad on hulknurgale kuuluvates punktides, kuulub täielikult sellele.

Kumerat hulknurka nimetatakse korrapäraseks, kui kõik küljed on võrdsed ja kõik nurgad on võrdsed, näiteks võrdkülgne kolmnurk, ruut ja viisnurk.

Kumer hulknurka nimetatakse ringi ümber piiratuks, kui selle kõik küljed puudutavad mõnda ringi

Tavaline hulknurk on hulknurk, mille kõik nurgad ja küljed on võrdsed.

Hulknurkade omadused:

1 Kumera -nurga iga diagonaal, kus >3, jagab selle kaheks kumeraks hulknurgaks.

2 Kumera kolmnurga kõigi nurkade summa on võrdne.

D-vo: Tõestame teoreemi matemaatilise induktsiooni meetodil. Kui = 3, on see ilmne. Oletame, et teoreem on tõene -gon, kus <, ja tõestage seda -gon.

Laskma olla antud hulknurk. Joonistame selle hulknurga diagonaali. Teoreemi 3 kohaselt jagatakse hulknurk kolmnurgaks ja kumeraks kolmnurgaks (joon. 5). Induktsiooni hüpoteesi järgi. Teisel pool, . Nende võrdsuste lisamine ja sellega arvestamine (- sisemine nurgatala ) Ja (- sisemine nurgatala ), saame.Kui saame: .

3 Iga korrapärase hulknurga ümber saab kirjeldada ringi ja ainult ühte.

D-vo: olgu see korrapärane hulknurk ja ja nurkade ja poolitajad (joonis 150). Seetõttu on * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке KOHTA. Tõestame seda O = OA 2 = KOHTA =… = OA P . Kolmnurk KOHTA võrdhaarne, seega KOHTA= KOHTA. Kolmnurkade võrdsuse teise kriteeriumi kohaselt on seega KOHTA = KOHTA. Samamoodi on tõestatud, et KOHTA = KOHTA jne. Nii et point KOHTA on võrdsel kaugusel hulknurga kõigist tippudest, seega ringjoone keskpunkt KOHTA raadius KOHTA on hulknurga ümber piiratud.

Tõestame nüüd, et on ainult üks piiratud ring. Vaatleme näiteks hulknurga kolme tippu, A 2 , . Kuna neid punkte läbib ainult üks ring, siis ümber hulknurga … Te ei saa kirjeldada rohkem kui ühte suhtlusringi.

• 4 Ringi saab kirjutada igasse tavalisse hulknurka ja ainult ühte.
• 5 Korrapärasesse hulknurka kantud ringjoon puudutab hulknurga külgi nende keskpunktides.
• 6 Korrapärase hulknurga ümber piiritletud ringi keskpunkt langeb kokku samasse hulknurka kantud ringi keskpunktiga.
• 7 Sümmeetria:

Nad ütlevad, et figuuril on sümmeetria (sümmeetriline), kui on selline liikumine (mitte identne), mis muudab selle kujundi iseendaks.

• 7.1. Üldkolmnurgal ei ole telgi ega sümmeetriakeskmeid, see on asümmeetriline. Võrdhaarsel (kuid mitte võrdkülgsel) kolmnurgal on üks sümmeetriatelg: poolitaja aluse suhtes risti.
• 7.2. Võrdkülgsel kolmnurgal on kolm sümmeetriatelge (külgedega risti poolitajad) ja pöördesümmeetria keskpunkti suhtes pöördenurgaga 120°.

7.3 Igal korrapärasel n-nurgal on n sümmeetriatelge, mis kõik läbivad selle keskpunkti. Sellel on ka pöördenurgaga pöördesümmeetria keskpunkti suhtes.

Kui isegi n Mõned sümmeetriateljed läbivad vastassuunalisi tippe, teised aga vastaskülgede keskpunkte.

Imelikuks n iga telg läbib vastaskülje üla- ja keskosa.

Paarisarvu külgedega korrapärase hulknurga keskpunkt on selle sümmeetriakese. Tavalisel paaritu arvu külgedega hulknurgal ei ole sümmeetriakeset.

8 Sarnasus:

Sarnasusega ja -gon läheb -gonisse, pooltasapind pooltasandiks, seega kumer n-nurk muutub kumeraks n-gon.

Teoreem: Kui kumerate hulknurkade küljed ja nurgad vastavad võrdsustele:

kus on poodiumikoefitsient

siis on need hulknurgad sarnased.

• 8.1 Kahe sarnase hulknurga ümbermõõtude suhe on võrdne sarnasuskoefitsiendiga.
• 8.2. Kahe kumera sarnase hulknurga pindalade suhe on võrdne sarnasuskordaja ruuduga.

hulknurga kolmnurga perimeetri teoreem

Teema: hulknurgad - 8. klass:

Nimetatakse rida külgnevaid segmente, mis ei asu samal sirgel katkendlik joon.

Segmentide otsad on tipud.

Iga segment on link.

Ja kõik segmentide pikkuste summad moodustavad kogusumma pikkus katkendlik joon Näiteks AM + ME + EK + KO = katkendjoone pikkus

Kui segmendid on suletud, siis see hulknurk(vt eespool) .

Hulknurga linke nimetatakse peod.

Külgede pikkuste summa - ümbermõõt hulknurk.

Ühel küljel asuvad tipud on naaber.

Nimetatakse lõiku, mis ühendab mittekülgnevaid tippe diagonaalselt.

Hulknurgad helistas külgede arvu järgi: viisnurk, kuusnurk jne.

Kõik hulknurga sees on lennuki sisemine osa ja kõik, mis on väljas - lennuki välimine osa.

Märge! Alloleval pildil- see EI OLE hulknurk, kuna mittekülgnevate lõikude jaoks on ühel sirgel täiendavad ühised punktid.

Kumer hulknurk asub iga sirgjoone ühel küljel. Selle vaimseks (või joonisega) määramiseks jätkame mõlemat poolt.

Hulknurgas nii palju nurki kui külgi.

Kumeras hulknurgas kõigi sisenurkade summa võrdne (n-2)*180°. n on nurkade arv.

Hulknurka nimetatakse õige, kui selle kõik küljed ja nurgad on võrdsed. Seega arvutatakse selle sisenurgad valemi abil (kus n on nurkade arv): 180°* (n-2)/n

Allpool on hulknurgad, nende nurkade summa ja üks nurk.

Kumerate hulknurkade välisnurgad arvutatakse järgmiselt:

​​​​​​​

Hulknurgaks peetava kohta on erinevaid seisukohti. Kooli geomeetria kursusel kasutatakse ühte järgmistest definitsioonidest.

Definitsioon 1

Hulknurk

on segmentidest koosnev kujund

nii et külgnevad segmendid(st ühise tipuga külgnevad segmendid, näiteks A1A2 ja A2A3) ei asu samal joonel ja mittekülgnevatel segmentidel pole ühiseid punkte.

2. definitsioon

Lihtsat suletud hulknurka nimetatakse hulknurgaks.

Punktid

kutsutakse hulknurga tipud, segmendid

— hulknurga küljed.

Kõigi külgede pikkuste summat nimetatakse hulknurga ümbermõõt.

Kutsutakse hulknurka, millel on n tippu (ja seega n külge). n - ruut.

Hulknurka, mis asub samal tasapinnal, nimetatakse tasane. Kui inimesed räägivad hulknurgast, peavad nad silmas tasast hulknurka, kui pole öeldud teisiti.

Nimetatakse kahte tippu, mis kuuluvad hulknurga samale küljele naaber. Näiteks A1 ja A2, A5 ja A6 on naabertipud.

Nimetatakse segmenti, mis ühendab kahte mittekülgnevat tippu hulknurga diagonaal.

Uurime, mitu diagonaali on hulknurgal.

Hulknurga igast n tipust on n-3 diagonaali

(kokku on n tippu. Me ei arvesta tippu ennast ja kahte naabertippu, mis ei moodusta selle tipuga diagonaali. Näiteks tipu A1 puhul ei arvesta me A1 ennast ja naabertippe A2 ja A3).

Seega vastab iga n tipp n-3 diagonaalile. Kuna üks diagonaal viitab korraga kahele tipule, siis hulknurga diagonaalide arvu leidmiseks tuleb korrutis n(n-3) jagada pooleks.

Seetõttu on n - kolmnurgal

diagonaalid.

Iga hulknurk jagab tasapinna kaheks osaks – hulknurga sise- ja välispiirkonnaks. Hulknurgast ja selle sisepiirkonnast koosnevat kujundit nimetatakse ka hulknurgaks.

Definitsioon

Ülemine nurk

Nurga tipp on punkt, kust kaks kiirt pärinevad.

Nurga tipp on punkt, kust kaks kiirt pärinevad; kus kaks segmenti kohtuvad; kus kaks sirget ristuvad; kus on mis tahes kombinatsioon kiirtest, lõikudest ja joontest, mis moodustavad kaks (sirge) "külge", mis koonduvad ühes punktis.

Hulknurga hulktahuka tipp

Hulknurgas nimetatakse tippu "kumeraks", kui hulknurga sisenurk on väiksem kui π radiaani (180° on kaks täisnurka). Muidu nimetatakse tippu "nõgusaks".

Üldisemalt on hulktahuka tipp kumer, kui hulktahuka ja piisavalt väikese sfääri lõikekoht, mille tipp on selle keskpunkt, on kumer; muidu on tipp nõgus.

Hulktahuka tipud on seotud graafi tippudega, kuna hulktahukas on graaf, mille tipud vastavad hulktahuka tippudele ja seetõttu võib hulktahuka graafi vaadelda kui ühemõõtmelist lihtkompleksi, mille tipud on graafiku tipud. Kuid graafiteoorias võib tippudel olla vähem kui kaks langevat serva, mis ei ole geomeetriliste tippude puhul tavaliselt lubatud. Samuti on seos geomeetriliste tippude ja kõvera tippude, selle kõveruse äärmuspunktide vahel - hulknurga tipud on mingis mõttes lõpmatu kõverusega punktid ja kui hulknurka lähendatakse sujuva kõveraga, siis punktid äärmise kõverusega asub hulknurga tippude lähedal. Hulknurga lähendamine sujuva kõvera abil annab aga täiendavaid tippe minimaalse kõveruse punktides.

Lamedate mosaiikide tipud

"Kõrvad"

"Suud"

Peamine tipp x i (\displaystyle x_(i)) lihtne hulknurk P (\displaystyle P) nimetatakse "suuks", kui diagonaal [x i − 1, x i + 1] (\displaystyle) asub väljas P (\displaystyle P).

Hulktahuka tippude arv

Kolmemõõtmelise kumera hulktahuka mis tahes pinnal on Euleri tunnus:

V − E + F = 2, (\displaystyle V-E+F=2,)

Kus V (\displaystyle V)- tippude arv, E (\displaystyle E)- servade arv ja F (\displaystyle F)- nägude arv. Seda võrdsust nimetatakse Euleri võrrandiks. Näiteks kuubil on 12 serva ja 6 tahku ning seega 8 tippu: 8–12 + 6 = 2 (\kuvastiil 8–12+6=2) .

Arvutigraafika tipud

Arvutigraafikas kujutatakse objekte sageli kolmnurksete hulktahukatena, milles objekti tipud on seotud mitte ainult kolme ruumilise koordinaadiga, vaid ka muu graafilise teabega, mis on vajalik objekti kujutise õigeks konstrueerimiseks, näiteks värviga, peegeldusvõime, tekstuuri ja tipunormaalid. Neid omadusi kasutatakse pildi koostamisel kasutades