Kui süsteemil on ainult üks lahendus. Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine

Nagu selgub Crameri teoreem, süsteemi lahendamisel lineaarvõrrandid Võib esineda kolm juhtumit:

Esimene juhtum: lineaarvõrrandisüsteemil on ainulaadne lahendus

(süsteem on järjekindel ja kindel)

Teine juhtum: lineaarvõrrandisüsteemil on lõpmatu arv lahendeid

(süsteem on järjekindel ja ebakindel)

** ,

need. tundmatute ja vabaliikmete koefitsiendid on võrdelised.

Kolmas juhtum: lineaarvõrrandisüsteemil pole lahendeid

(süsteem on ebaühtlane)

Seega süsteem m lineaarvõrrandid n nimetatakse muutujateks mitteliigeste, kui tal pole ühest lahendust ja liigend, kui sellel on vähemalt üks lahendus. Nimetatakse samaaegset võrrandisüsteemi, millel on ainult üks lahend kindel ja rohkem kui üks – ebakindel.

Näited lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisest Crameri meetodil

Süsteem olgu antud

.

Crameri teoreemi alusel

………….
,

Kus
-

süsteemi määraja. Ülejäänud determinandid saame, asendades veeru vastava muutuja (tundmatu) koefitsientidega vabade terminitega:

Näide 2.

.

Seetõttu on süsteem kindel. Selle lahenduse leidmiseks arvutame determinandid

Crameri valemeid kasutades leiame:

Seega on (1; 0; -1) süsteemi ainus lahendus.

Võrrandisüsteemide 3 X 3 ja 4 X 4 lahenduste kontrollimiseks võite kasutada veebikalkulaatorit, otsustav meetod Kramer.

Kui lineaarvõrrandisüsteemis ei ole ühes või mitmes võrrandis muutujaid, siis determinandis on vastavad elemendid võrdsed nulliga! See on järgmine näide.

Näide 3. Lahendage Crameri meetodil lineaarvõrrandisüsteem:

.

Lahendus. Leiame süsteemi determinandi:

Vaadake hoolikalt võrrandisüsteemi ja süsteemi determinanti ning korrake vastust küsimusele, millistel juhtudel on determinandi üks või mitu elementi võrdsed nulliga. Seega ei ole determinant võrdne nulliga, seega on süsteem kindel. Selle lahenduse leidmiseks arvutame tundmatute determinandid

Crameri valemeid kasutades leiame:

Seega on süsteemi lahendus (2; -1; 1).

6. Üldine lineaarne süsteem algebralised võrrandid. Gaussi meetod.

Nagu mäletame, ei sobi Crameri reegel ja maatriksmeetod juhtudel, kui süsteemil on lõpmata palju lahendusi või see on ebaühtlane. Gaussi meetod – võimsaim ja mitmekülgsem tööriist mis tahes lineaarvõrrandisüsteemi lahenduste leidmiseks, mis igal juhul viib meid vastuseni! Meetodi algoritm ise töötab kõigil kolmel juhul samamoodi. Kui Crameri ja maatriksmeetodid nõuavad determinantide tundmist, siis Gaussi meetodi rakendamiseks on vaja teadmisi vaid aritmeetiliste tehtetest, mis teeb selle kättesaadavaks ka koolilastele algklassid.

Esiteks süstematiseerime veidi teadmisi lineaarvõrrandisüsteemide kohta. Lineaarvõrrandisüsteem võib:

1) omage ainulaadset lahendust.
2) teil on lõpmatult palju lahendusi.
3) Sul pole lahendusi (ole mitteliigeste).

Gaussi meetod on kõige võimsam ja universaalsem vahend lahenduse leidmiseks ükskõik milline lineaarvõrrandisüsteemid. Nagu me mäletame, Crameri reegel ja maatriksmeetod ei sobi juhtudel, kui süsteemil on lõpmatult palju lahendusi või see on ebaühtlane. Ja tundmatute järjestikuse kõrvaldamise meetod Igatahes viib meid vastuseni! Selles õppetükis käsitleme taas Gaussi meetodit juhtumi nr 1 jaoks (süsteemi ainus lahendus), artikkel on pühendatud punktide nr 2-3 olukordadele. Märgin, et meetodi enda algoritm töötab kõigil kolmel juhul samamoodi.

Lähme tagasi kõige lihtsam süsteem klassist Kuidas lahendada lineaarvõrrandisüsteemi?
ja lahendage see Gaussi meetodil.

Esimene samm on üles kirjutada laiendatud süsteemimaatriks:
. Ma arvan, et igaüks näeb, mis põhimõttel koefitsiendid kirjutatakse. Maatriksi sees oleval vertikaalsel joonel ei ole matemaatilist tähendust – see on lihtsalt läbikriipsutus disaini hõlbustamiseks.

Viide:Soovitan meeles pidada tingimustele lineaaralgebra. Süsteemi maatriks on maatriks, mis koosneb ainult tundmatute kordajatest, selles näites on süsteemi maatriks: . Laiendatud süsteemimaatriks– see on sama süsteemi maatriks pluss vabade terminite veerg, antud juhul: . Lühiduse huvides võib mis tahes maatriksit nimetada lihtsalt maatriksiks.

Pärast laiendatud süsteemimaatriksi kirjutamist on vaja sellega teha mõned toimingud, mida nimetatakse ka elementaarsed teisendused.

On olemas järgmised elementaarsed teisendused:

1) Stringid maatriksid saab ümber korraldada mõnes kohas. Näiteks vaadeldavas maatriksis saate esimest ja teist rida valutult ümber korraldada:

2) Kui maatriksis on (või on ilmunud) proportsionaalseid (erijuhtumina - identseid) ridu, siis peaksite kustutada maatriksist kõik need read peale ühe. Mõelge näiteks maatriksile . Selles maatriksis on kolm viimast rida proportsionaalsed, nii et piisab, kui jätta neist ainult üks: .

3) Kui teisenduste käigus tekib maatriksisse nullrida, siis peaks see ka olema kustutada. Ma muidugi ei tõmba, nulljoon on joon, milles kõik nullid.

4) Maatriksi rida võib olla korrutama (jagama) mis tahes numbrile nullist erinev. Vaatleme näiteks maatriksit . Siin on soovitatav esimene rida jagada –3-ga ja teine ​​rida 2-ga korrutada: . See toiming on väga kasulik, kuna see lihtsustab maatriksi edasisi teisendusi.

5) See transformatsioon tekitab kõige rohkem raskusi, kuid tegelikult pole ka midagi keerulist. Maatriksi reale saate lisage veel üks string, mis on korrutatud arvuga, erineb nullist. Vaatame oma maatriksit praktilise näite põhjal: . Kõigepealt kirjeldan ümberkujundamist üksikasjalikult. Korrutage esimene rida -2-ga: , Ja teisele reale lisame esimese rea korrutatuna -2-ga: . Nüüd saab esimese rea “tagasi” jagada –2-ga: . Nagu näete, rida, mis on LISATUD LI – pole muutunud. Alati muutub rida, MILLELE LISATAKSE TÜ.

Praktikas nad seda muidugi nii üksikasjalikult ei kirjuta, vaid kirjutavad lühidalt:

Veel kord: teisele reale lisati esimese rea korrutis -2-ga. Rida korrutatakse tavaliselt suuliselt või mustandil, kusjuures peast arvutamise protsess kulgeb umbes järgmiselt:

"Kirjutan maatriksi ümber ja kirjutan esimese rea ümber: »

"Esimene veerg. Allosas pean saama nulli. Seetõttu korrutan ülaosaga –2: , ja liidan esimese teisele reale: 2 + (–2) = 0. Tulemuse kirjutan teisele reale: »

"Nüüd teine ​​veerg. Ülaosas korrutan -1 -2-ga: . Esimese lisan teisele reale: 1 + 2 = 3. Kirjutan tulemuse teisele reale: »

"Ja kolmas veerg. Ülaosas korrutan -5 -2-ga: . Teisele reale lisan esimese: –7 + 10 = 3. Tulemuse kirjutan teisele reale: »

Palun mõistke seda näidet hoolikalt ja mõistke järjestikuse arvutuse algoritmi, kui saate sellest aru, on Gaussi meetod praktiliselt teie taskus. Kuid loomulikult me ​​töötame selle ümberkujundamise kallal endiselt.

Elementaarteisendused võrrandisüsteemi lahendust ei muuda

! TÄHELEPANU: kaalutletud manipulatsioonid ei saa kasutada, kui teile pakutakse ülesannet, kus maatriksid antakse "iseenesest". Näiteks "klassikaline" tehted maatriksitega Mitte mingil juhul ei tohi maatriksite sees midagi ümber korraldada!

Tuleme tagasi oma süsteemi juurde. See on praktiliselt tükkideks võetud.

Kirjutame süsteemi ja kasutamise laiendatud maatriksi elementaarsed teisendused toome selle kohale astmeline vaade:

(1) Esimene rida liideti teisele reale, korrutatuna -2-ga. Ja veel: miks me korrutame esimese rea –2-ga? Selleks, et saada allosas null, mis tähendab teises reas ühest muutujast vabanemist.

(2) Jagage teine ​​rida 3-ga.

Elementaarteisenduste eesmärk – vähendage maatriksi astmelisele kujule: . Ülesande kujundamisel märgivad nad lihtsalt lihtsa pliiatsiga välja “trepid” ja ringlevad ka “astmetel” asuvad numbrid. Mõiste "astmeline vaade" ise ei ole täiesti teoreetiline, teaduslikus ja õppekirjandus seda sageli nimetatakse trapetsikujuline vaade või kolmnurkne vaade.

Elementaarsete teisenduste tulemusena saime samaväärne algne võrrandisüsteem:

Nüüd tuleb süsteem "lahti kerida" vastupidises suunas - seda protsessi nimetatakse alt üles Gaussi meetodi pöördvõrdeline.

Alumises võrrandis on meil juba valmis tulemus: .

Vaatleme süsteemi esimest võrrandit ja asendame sellega juba teadaoleva väärtuse “y”:

Vaatleme kõige levinumat olukorda, kus Gaussi meetod nõuab kolme tundmatuga lineaarvõrrandi süsteemi lahendamist.

Näide 1

Lahendage võrrandisüsteem Gaussi meetodi abil:

Kirjutame süsteemi laiendatud maatriksi:

Nüüd joonistan kohe tulemuse, milleni lahenduse käigus jõuame:

Ja ma kordan, meie eesmärk on viia maatriks astmelisele kujule, kasutades elementaarseid teisendusi. Kust alustada?

Esiteks vaadake ülemist vasakpoolset numbrit:

Peaks peaaegu alati siin olema üksus. Üldiselt sobib –1 (ja vahel ka teised numbrid), aga millegipärast on traditsiooniliselt juhtunud, et sinna pannakse tavaliselt üks. Kuidas üksust organiseerida? Vaatame esimest veergu - meil on valmis üksus! Esimene teisendus: vahetage esimene ja kolmas rida:

Nüüd jääb esimene rida muutumatuks kuni lahenduse lõpuni. See on juba lihtsam.

Vasakpoolses ülanurgas asuv üksus on organiseeritud. Nüüd peate nendes kohtades saama nullid:

Nullid saame "keerulise" teisenduse abil. Kõigepealt tegeleme teise reaga (2, –1, 3, 13). Mida tuleb teha, et esikohale null saada? Vaja teisele reale lisage esimene rida, mis on korrutatud -2-ga. Korrutage esimene rida mõtteliselt või mustandi põhjal -2-ga: (-2, -4, 2, -18). Ja me teostame järjekindlalt (taas vaimselt või mustandi alusel) lisamist, teisele reale lisame esimese rea, mis on juba korrutatud -2-ga:

Kirjutame tulemuse teisele reale:

Kolmanda reaga tegeleme samamoodi (3, 2, –5, –1). Esimeses positsioonis nulli saamiseks peate kolmandale reale lisage esimene rida, mis on korrutatud -3-ga. Korrutage esimene rida mõtteliselt või mustandi põhjal -3-ga: (-3, -6, 3, -27). JA kolmandale reale lisame esimese rea korrutatuna -3-ga:

Kirjutame tulemuse kolmandale reale:

Praktikas tehakse need toimingud tavaliselt suuliselt ja pannakse kirja ühes etapis:

Pole vaja kõike korraga ja samal ajal lugeda. Arvutuste järjekord ja tulemuste “sissekirjutamine”. järjekindel ja tavaliselt on see nii: kõigepealt kirjutame esimese rea ümber ja pahvime aeglaselt enda peale - Järjepidevalt ja TÄHELEPANU:


Ja arvutuste enda vaimset protsessi olen juba eespool käsitlenud.

Selles näites on seda lihtne teha, jagame teise rea –5-ga (kuna kõik seal olevad arvud jaguvad 5-ga ilma jäägita). Samal ajal jagame kolmanda rea ​​–2-ga, sest mida väiksem on arv, seda lihtsam lahendus:

Sees viimane etapp elementaarsete teisenduste jaoks peate siin saama teise nulli:

Selle eest kolmandale reale lisame teise rea korrutatuna -2-ga:


Proovige see toiming ise välja mõelda - korrutage teine ​​rida mõtteliselt –2-ga ja tehke liitmine.

Viimane toiming on tulemuse soeng, jagage kolmas rida 3-ga.

Elementaarteisenduste tulemusena saadi ekvivalentne lineaarvõrrandisüsteem:

Lahe.

Nüüd tuleb mängu Gaussi meetodi vastupidine variant. Võrrandid "kerivad lahti" alt üles.

Kolmandas võrrandis on meil juba valmis tulemus:

Vaatame teist võrrandit: . Sõna "zet" tähendus on juba teada, seega:

Ja lõpuks esimene võrrand: . "Igrek" ja "zet" on teada, see on lihtsalt pisiasjade küsimus:

Vastus:

Nagu korduvalt märgitud, on iga võrrandisüsteemi puhul võimalik ja vajalik leitud lahendust kontrollida, õnneks on see lihtne ja kiire.

Näide 2

See on näide iseseisva lahenduse jaoks, lõpliku kavandi näidis ja vastus õppetunni lõpus.

Tuleb märkida, et teie otsuse edenemist ei pruugi kattuda minu otsustusprotsessiga, ja see on Gaussi meetodi tunnusjoon. Aga vastused peavad olema samad!

Näide 3

Lahendage Gaussi meetodil lineaarvõrrandisüsteem

Kirjutame üles süsteemi laiendatud maatriksi ja viime selle elementaarteisenduste abil astmelisele kujule:

Vaatame vasakpoolset ülemist "sammu". Meil peaks üks seal olema. Probleem on selles, et esimeses veerus pole ühikuid üldse, nii et ridade ümberpaigutamine ei lahenda midagi. Sellistel juhtudel tuleb üksus organiseerida elementaarse teisenduse abil. Tavaliselt saab seda teha mitmel viisil. Ma tegin seda:
(1) Esimesele reale lisame teise rea, korrutatuna -1-ga. See tähendab, et me korrutasime mõtteliselt teise rea -1-ga ja lisasime esimese ja teise rea, samas kui teine ​​rida ei muutunud.

Nüüd on üleval vasakul “miinus üks”, mis sobib meile päris hästi. Kõik, kes soovivad saada +1, võivad sooritada lisaliigutuse: korrutage esimene rida –1-ga (muutke selle märki).

(2) Esimene rida, mis on korrutatud 5-ga, lisati teisele reale. Esimene rida korrutati 3-ga.

(3) Esimene rida korrutati –1-ga, põhimõtteliselt on see ilu pärast. Samuti muudeti kolmanda rea ​​märki ja viidi see teisele kohale, nii et teisel “sammul” oli meil vajalik ühik.

(4) Teine rida lisati kolmandale reale, korrutatuna 2-ga.

(5) Kolmas rida jagati 3-ga.

Halb märk, mis näitab viga arvutustes (harvemini kirjaviga), on "halb" lõpptulemus. See tähendab, et kui me saame midagi sellist nagu , allpool ja vastavalt , siis võime suure tõenäosusega väita, et elementaarteisenduste käigus tehti viga.

Maksame vastupidi, näidete kujundamisel ei kirjuta nad sageli süsteemi ennast ümber, vaid võrrandid on "võetud otse antud maatriksist". Tuletan teile meelde, et vastupidine löök töötab alt üles. Jah, siin on kingitus:

Vastus: .

Näide 4

Lahendage Gaussi meetodil lineaarvõrrandisüsteem

See on näide, mida saate ise lahendada, see on mõnevõrra keerulisem. Pole hullu, kui keegi segadusse läheb. Täislahendus ja näidiskujundus tunni lõpus. Teie lahendus võib minu lahendusest erineda.

Viimases osas vaatleme mõningaid Gaussi algoritmi omadusi.
Esimene omadus on see, et mõnikord puuduvad süsteemivõrranditest mõned muutujad, näiteks:

Kuidas laiendatud süsteemimaatriksit õigesti kirjutada? Ma rääkisin sellest punktist juba tunnis. Crameri reegel. Maatriksmeetod. Süsteemi laiendatud maatriksis paneme puuduvate muutujate asemele nullid:

Muide, see on üsna lihtne näide, kuna esimeses veerus on juba üks null ja elementaarseid teisendusi tuleb teha vähem.

Teine omadus on see. Kõigis vaadeldavates näidetes panime “astmetele” kas –1 või +1. Kas seal võib olla muid numbreid? Mõnel juhul saavad nad. Mõelge süsteemile: .

Siin üleval vasakus "sammul" on meil kaks. Kuid märkame tõsiasja, et kõik esimeses veerus olevad arvud jaguvad 2-ga ilma jäägita - ja teine ​​​​on kaks ja kuus. Ja need kaks üleval vasakul sobivad meile! Esimese sammuna tuleb sooritada järgmised teisendused: lisada teisele reale esimene rida korrutatuna –1-ga; kolmandale reale lisage esimene rida, mis on korrutatud -3-ga. Nii saame esimesse veergu vajalikud nullid.

Või mõni muu tavapärane näide: . Siin sobivad meile ka kolm teisel “astmel”, kuna 12 (koht, kus peame saama nulli) jagub 3-ga ilma jäägita. On vaja läbi viia järgmine teisendus: lisage teine ​​rida kolmandale reale, korrutatuna -4-ga, mille tulemusena saadakse vajalik null.

Gaussi meetod on universaalne, kuid sellel on üks eripära. Võite julgelt õppida lahendama süsteeme, kasutades muid meetodeid (Crameri meetod, maatriksmeetod) sõna otseses mõttes esimest korda - neil on väga range algoritm. Kuid selleks, et tunda end Gaussi meetodis enesekindlalt, peate selle hästi tundma ja lahendama vähemalt 5-10 süsteemi. Seetõttu võib alguses esineda segadust ja arvutusvigu ning selles pole midagi ebatavalist ega traagilist.

Vihmane sügisilm akna taga.... Seega kõigile, kes tahavad rohkem keeruline näide sõltumatu lahenduse jaoks:

Näide 5

Lahendage Gaussi meetodil neljast lineaarsest võrrandist koosnev süsteem nelja tundmatuga.

Selline ülesanne pole praktikas nii haruldane. Arvan, et isegi teekann, kes on seda lehte põhjalikult uurinud, saab sellise süsteemi intuitiivse lahendamise algoritmist aru. Põhimõtteliselt on kõik sama – toiminguid on lihtsalt rohkem.

Õppetunnis käsitletakse juhtumeid, kui süsteemil pole lahendusi (ebajärjekindlad) või on lõpmatult palju lahendusi Ühildumatud süsteemid ja ühise lahendusega süsteemid. Seal saate parandada Gaussi meetodi vaadeldud algoritmi.

Soovin teile edu!

Lahendused ja vastused:

Näide 2: Lahendus: Kirjutame üles süsteemi laiendatud maatriksi ja viime elementaarteisenduste abil astmelisele kujule.


Tehtud elementaarsed teisendused:
(1) Esimene rida liideti teisele reale, korrutatuna -2-ga. Esimene rida lisati kolmandale reale, korrutatuna -1-ga. Tähelepanu! Siin võib tekkida kiusatus lahutada esimene kolmandast reast. Soovitan tungivalt seda mitte lahutada – vea oht suureneb oluliselt. Lihtsalt voldi see kokku!
(2) Teise rea märk muudeti (korrutatud -1-ga). Teine ja kolmas rida on vahetatud. Pange tähele, et “sammudel” oleme rahul mitte ainult ühega, vaid ka –1-ga, mis on veelgi mugavam.
(3) Teine rida lisati kolmandale reale, korrutatuna 5-ga.
(4) Teise rea märk muudeti (korrutatud -1-ga). Kolmas rida jagati 14-ga.

Tagurpidi:

Vastus: .

Näide 4: Lahendus: Kirjutame üles süsteemi laiendatud maatriksi ja viime selle elementaarteisenduste abil astmelisele kujule:

Teostatud konversioonid:
(1) Esimesele reale lisati teine ​​rida. Seega on soovitud üksus korraldatud vasakpoolses ülanurgas.
(2) Esimene rida, mis on korrutatud 7-ga, lisati teisele reale. Esimene rida korrutati 6-ga.

Teise "sammuga" läheb kõik hullemaks, on selle “kandidaadid” numbrid 17 ja 23 ning vajame kas ühte või –1. Teisendused (3) ja (4) on suunatud soovitud ühiku saamiseks

(3) Teine rida lisati kolmandale reale, korrutatuna -1-ga.
(4) Teisele reale liideti kolmas rida, korrutatuna -3-ga.
Teises etapis nõutav kaup on kätte saadud. .
(5) Teine rida lisati kolmandale reale, korrutatuna 6-ga.

Osana õppetundidest Gaussi meetod Ja Ühise lahendusega ühildumatud süsteemid/süsteemid kaalusime ebahomogeensed lineaarvõrrandisüsteemid, Kus vaba liige(mis on tavaliselt paremal) vähemalt üks võrranditest erines nullist.
Ja nüüd, pärast head soojendust maatriksi auaste, jätkame tehnika lihvimist elementaarsed teisendused sisse homogeenne lineaarvõrrandisüsteem.
Esimeste lõikude põhjal võib materjal tunduda igav ja keskpärane, kuid selline mulje on petlik. Lisaks tehniliste võtete edasiarendamisele tuleb neid palju uut teavet, seega proovige mitte unustada selle artikli näiteid.

Lahendus. A= . Leiame r(A). Sest maatriks Ja siis on tellimus 3x4 kõrgeim järjekord alaealised on võrdne 3-ga. Pealegi on kõik kolmandat järku alaealised võrdsed nulliga (kontrollige ise). Tähendab, r(A)< 3. Возьмем главный põhimoll = -5-4 = -9 ≠ 0. Seetõttu r(A) =2.

Mõelgem maatriks KOOS = .

Väike kolmas tellida ≠ 0. Seega r(C) = 3.

Kuna r(A) ≠ r(C) , siis on süsteem ebajärjekindel.

Näide 2. Määrake võrrandisüsteemi ühilduvus

Lahendage see süsteem, kui see osutub järjepidevaks.

Lahendus.

A = , C = . On ilmne, et r(A) ≤ 3, r(C) ≤ 4. Kuna detC = 0, siis r(C)< 4. Mõelgem alaealine kolmandaks tellida, mis asub maatriksi A ja C ülemises vasakus nurgas: = -23 ≠ 0. Seega r(A) = r(C) = 3.

Number teadmata süsteemis n=3. See tähendab, et süsteemil on ainulaadne lahendus. Sel juhul esindab neljas võrrand esimese kolme summat ja seda võib ignoreerida.

Crameri valemite järgi saame x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23.

2.4. Maatriksmeetod. Gaussi meetod

süsteem n lineaarvõrrandid Koos n tundmatuid saab lahendada maatriks meetod vastavalt valemile X = A -1 B (at Δ ≠ 0), mis saadakse punktist (2), korrutades mõlemad osad A -1-ga.

Näide 1. Lahenda võrrandisüsteem

maatriksmeetod (punktis 2.2 lahendati see süsteem Crameri valemite abil)

Lahendus. Δ = 10 ≠ 0 A = - mittedegenereerunud maatriks.

= (kontrollige seda ise, tehes vajalikud arvutused).

A -1 = (1/Δ)х= .

X = A -1 V = x= .

Vastus: .

Praktilisest vaatenurgast maatriksmeetod ja valemid Kramer on seotud suure arvutusmahuga, seega eelistatakse Gaussi meetod, mis seisneb tundmatute järjestikuses kõrvaldamises. Selleks taandatakse võrrandisüsteem samaväärseks kolmnurkse laiendatud maatriksiga süsteemiks (kõik põhidiagonaalist allpool olevad elemendid on võrdsed nulliga). Neid toiminguid nimetatakse edasiliikumiseks. Saadud kolmnurksüsteemist leitakse muutujad järjestikuste asenduste abil (tagurpidi).

Näide 2. Lahendage süsteem Gaussi meetodil

(Eespool on see süsteem lahendatud Crameri valemi ja maatriksmeetodi abil).

Lahendus.

Otsene liikumine. Kirjutame üles laiendatud maatriksi ja taandame elementaarteisenduste abil kolmnurkseks:

~ ~ ~ ~ .

Me saame süsteem

Tagurpidi liikumine. Viimasest võrrandist leiame X 3 = -6 ja asendage see väärtus teise võrrandiga:

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

Vastus: .

2.5. Lineaarvõrrandisüsteemi üldlahendus

Olgu antud lineaarvõrrandisüsteem = b i(i=). Olgu r(A) = r(C) = r, s.t. süsteem on koostööpõhine. Iga r-järgu molli, mis ei ole null, on põhimoll.Üldisust kaotamata eeldame, et põhimoll asub maatriksi A esimestes r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) ridades ja veergudes. Viimasest loobumine m-r võrrandid süsteemid, kirjutame lühendatud süsteemi:

mis on samaväärne originaaliga. Nimetagem tundmatuid x 1,….x r põhiline ja x r +1 ,…, x r vabaks ja nihutage vabu tundmatuid sisaldavad liikmed kärbitud süsteemi võrranditest paremale. Saame põhiliste tundmatute suhtes süsteemi:

mis iga vabade tundmatute väärtuste komplekti jaoks x r +1 = С 1 ,…, x n = С n-r on ainult üks lahendus x 1 (C1,…, Cn-r),…, xr (C1,…, Cn-r), leitud Crameri reegli järgi.

Vastav lahendus lühendatud ja seetõttu on algsel süsteemil vorm:

X(C1,…, Cn-r) = - süsteemi üldine lahendus.

Kui üldlahenduses anname mõned vabad tundmatud arvväärtusi, siis saame lineaarsüsteemi lahendi, mida nimetatakse osaliseks.

Näide.

Lahendus Looge ühilduvus ja leidke süsteemi üldine lahendus . A = .

, C = Niisiis Kuidas= r(C) = 2 (vaata seda ise), siis on algne süsteem järjekindel ja sellel on lõpmatu arv lahendeid (kuna r< 4).

Lineaaralgebra võrrandite süsteemide lahendamine on lineaaralgebra üks põhiprobleeme. Sellel ülesandel on oluline rakendatud väärtus teaduslike ja tehniliste probleemide lahendamisel on lisaks abistav paljude arvutusmatemaatika, matemaatilise füüsika algoritmide rakendamisel ning eksperimentaaluuringute tulemuste töötlemisel.

Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem nimetatakse võrrandisüsteemiks järgmisel kujul: (1)

Kus – tundmatu; - tasuta liikmed.

Võrrandisüsteemi lahendamine(1) helistada igale numbrikogule, mis süsteemi (1) paigutatuna tundmatute asemele teisendab kõik süsteemi võrrandid õigeteks arvulisteks võrranditeks.

Võrrandisüsteemi nimetatakse liigend, kui sellel on vähemalt üks lahendus ja mitteliigeste, kui sellel pole lahendusi.

Samaaegset võrrandisüsteemi nimetatakse kindel, kui sellel on üks unikaalne lahendus ja ebakindel, kui sellel on vähemalt kaks erinevat lahendust.

Neid kahte võrrandisüsteemi nimetatakse samaväärne või samaväärne, kui neil on sama lahenduskomplekt.

Süsteem (1) kutsutakse homogeenne, kui tasuta tingimused on null:

Homogeenne süsteem on alati järjepidev – sellel on lahendus (võib-olla mitte ainuke).

Kui süsteemis (1), siis meil on süsteem olemas n lineaarvõrrandid n teadmata: Kus – tundmatu; - tundmatute koefitsiendid, - tasuta liikmed.

Lineaarsüsteemil võib olla üks lahendus, lõpmatult palju lahendusi või üldse mitte.

Vaatleme kahe tundmatuga lineaarvõrrandi süsteemi

Kui siis süsteemil on unikaalne lahendus;

Kui siis pole süsteemil lahendusi;

Kui siis on süsteemil lõpmatu arv lahendusi.

Näide. Süsteemil on unikaalne lahendus numbripaarile

Süsteemil on lõpmatu arv lahendusi. Näiteks antud süsteemi lahendid on arvupaarid jne.

Süsteemil pole lahendusi, kuna kahe arvu erinevus ei saa võtta kahte erinevat väärtust.

Definitsioon. Teist järku determinant nimetatakse vormi väljenduseks:

.

Determinant on tähistatud sümboliga D.

Numbrid A 11, …, A 22 nimetatakse determinandi elementideks.

Elementidest moodustatud diagonaal A 11 ; A 22 kutsutakse peamine elementidest moodustatud diagonaal A 12 ; A 21 − pool

Seega on teist järku determinant võrdne põhi- ja sekundaardiagonaalide elementide korrutistega.

Pange tähele, et vastus on arv.

Näide. Arvutame determinandid:

Vaatleme kahe tundmatuga lineaarse võrrandi süsteemi: Kus X 1, X 2 – tundmatu; A 11 , …, A 22 – tundmatute koefitsiendid, b 1 ,b 2 – vabaliikmed.

Kui kahe tundmatuga võrrandisüsteemil on kordumatu lahendus, siis saab selle leida teist järku determinantide abil.

Definitsioon. Nimetatakse determinanti, mis koosneb tundmatute koefitsientidest süsteemi määraja: D=.

Determinandi D veerud sisaldavad vastavalt koefitsiente X 1 ja kl , X 2. Tutvustame kahte täiendav kvalifikaator, mis saadakse süsteemi determinandist asendades ühe veergu vabade liikmete veeruga: D 1 = D 2 = .

14. teoreem(Kramer, juhul n=2). Kui süsteemi determinant D erineb nullist (D¹0), siis on süsteemil ainulaadne lahendus, mis leitakse valemite abil:

Neid valemeid nimetatakse Crameri valemid.

Näide. Lahendame süsteemi Crameri reegli abil:

Lahendus. Leiame numbrid

Vastus.

Definitsioon. Kolmandat järku determinant nimetatakse vormi väljenduseks:

Elemendid A 11; A 22 ; A 33 – moodustab põhidiagonaali.

Numbrid A 13; A 22 ; A 31 – moodustada külgdiagonaal.

Plussiga kirje sisaldab: põhidiagonaalil olevate elementide korrutis, ülejäänud kaks liiget on põhidiagonaaliga paralleelsete alustega kolmnurkade tippudes paiknevate elementide korrutis. Miinusliikmed moodustatakse sekundaarse diagonaali suhtes sama skeemi järgi.

Näide. Arvutame determinandid:

Kus – tundmatu; - tundmatute koefitsiendid, - tasuta liikmed.

Unikaalse lahenduse korral saab 3. järku determinantide abil lahendada 3 lineaarvõrrandi süsteemi kolme tundmatuga.

Süsteemi D determinandil on järgmine kuju:

Tutvustame veel kolme determinanti:

15. teoreem(Kramer, juhul n=3). Kui süsteemi determinant D erineb nullist, siis on süsteemil ainulaadne lahendus, mis leitakse Crameri valemite abil:

Näide. Lahendame süsteemi Crameri reegli järgi.

Lahendus. Leiame numbrid

Kasutame Crameri valemeid ja leiame algse süsteemi lahenduse:

Vastus.

Pange tähele, et Crameri teoreem on rakendatav, kui võrrandite arv on võrdne tundmatute arvuga ja kui süsteemi D determinant on nullist erinev.

Kui süsteemi determinant on võrdne nulliga, siis sel juhul võib süsteemil olla lahendeid või olla lõpmatu arv lahendeid. Neid juhtumeid uuritakse eraldi.

Märgime ainult ühte juhtumit. Kui süsteemi determinant on võrdne nulliga (D=0) ja vähemalt üks lisadeterminantidest erineb nullist, siis pole süsteemil lahendusi, see tähendab, et see on ebajärjekindel.

Crameri teoreemi saab süsteemile üldistada n lineaarvõrrandid n teadmata: Kus – tundmatu; - tundmatute koefitsiendid, - tasuta liikmed.

Kui tundmatutega lineaarvõrrandisüsteemi determinant siis leitakse süsteemile ainus lahendus Crameri valemite abil:

Täiendav kvalifikaator saadakse determinandist D, kui see sisaldab tundmatu koefitsientide veergu x i asendada vabaliikmete veeruga.

Pange tähele, et determinandid D, D 1 , … , D n omama korda n.

Gaussi meetod lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks

Üks levinumaid meetodeid lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks on tundmatute järjestikuse kõrvaldamise meetod. − Gaussi meetod. See meetod on asendusmeetodi üldistus ja seisneb tundmatute järjestikuses elimineerimises, kuni jääb alles üks võrrand ühe tundmatuga.

Meetod põhineb lineaarvõrrandisüsteemi mõningatel teisendustel, mille tulemusena saadakse algsüsteemiga samaväärne süsteem. Meetodi algoritm koosneb kahest etapist.

Esimest etappi nimetatakse otse edasi Gaussi meetod. See koosneb tundmatute järjestikusest eemaldamisest võrranditest. Selleks jagage esimeses etapis süsteemi esimene võrrand arvuga (vastasel juhul korraldage süsteemi võrrandid ümber). Need tähistavad saadud redutseeritud võrrandi koefitsiente, korrutavad selle koefitsiendiga ja lahutavad selle süsteemi teisest võrrandist, kõrvaldades selle seega teisest võrrandist (nullides koefitsiendi).

Tehke sama ülejäänud võrranditega ja hankige uus süsteem, mille kõigis võrrandites, alates teisest, on koefitsiendid jaoks ainult nullid. Ilmselgelt on saadud uus süsteem algse süsteemiga samaväärne.

Kui uued koefitsiendid , ei ole kõik nulliga võrdsed, saab need kolmandast ja järgnevatest võrranditest samal viisil välja jätta. Jätkates seda toimingut järgmiste tundmatute jaoks, viiakse süsteem nn kolmnurksele kujule:

Siin tähistavad sümbolid teisenduste tulemusena muutunud arvulisi koefitsiente ja vabaliikmeid.

Süsteemi viimasest võrrandist määratakse ülejäänud tundmatud ainulaadsel viisil ja seejärel järjestikuse asendamise teel.

Kommenteeri. Mõnikord muutuvad mõnes võrrandis teisenduste tulemusena kõik koefitsiendid ja parempoolne külg nulliks, st võrrand muutub identiteediks 0=0. Sellise võrrandi süsteemist kõrvaldamisega väheneb võrrandite arv võrreldes tundmatute arvuga. Sellisel süsteemil ei saa olla ühte lahendust.

Kui Gaussi meetodi rakendamisel muutub mis tahes võrrand võrduseks kujul 0=1 (tundmatute koefitsiendid muutuvad 0-ks ja parem pool saab nullist erineva väärtuse), siis algsel süsteemil pole lahendust, kuna selline võrdsus on vale mis tahes tundmatu väärtuse korral.

Vaatleme kolmest lineaarsest võrrandist koosnevat süsteemi kolme tundmatuga:

(2)

Kus – tundmatu; - tundmatute koefitsiendid, - tasuta liikmed.

Võrrandisüsteeme kasutatakse majandussektoris laialdaselt erinevate protsesside matemaatiliseks modelleerimiseks. Näiteks tootmise juhtimise ja planeerimise, logistikamarsruutide (transpordiprobleem) või seadmete paigutuse probleemide lahendamisel.

Võrrandisüsteeme ei kasutata mitte ainult matemaatikas, vaid ka füüsikas, keemias ja bioloogias populatsiooni suuruse leidmise ülesannete lahendamisel.

Lineaarvõrrandisüsteem on kaks või enam mitme muutujaga võrrandit, millele on vaja leida ühine lahendus. Selline arvujada, mille puhul kõik võrrandid muutuvad tõelisteks võrdusteks või tõestavad, et jada ei eksisteeri.

Lineaarvõrrand

Võrrandeid kujul ax+by=c nimetatakse lineaarseteks. Tähised x, y on tundmatud, mille väärtus tuleb leida, b, a on muutujate koefitsiendid, c on võrrandi vaba liige.
Võrrandi lahendamine joonestamise teel näeb välja nagu sirgjoon, mille kõik punktid on polünoomi lahendid.

Lineaarvõrrandisüsteemide tüübid

Lihtsaimateks näideteks peetakse kahe muutujaga X ja Y lineaarvõrrandisüsteeme.

F1(x, y) = 0 ja F2(x, y) = 0, kus F1,2 on funktsioonid ja (x, y) on funktsiooni muutujad.

Lahenda võrrandisüsteem - see tähendab väärtuste (x, y) leidmist, mille juures süsteem muutub tõeliseks võrduseks, või tuvastamist, et x ja y sobivaid väärtusi ei eksisteeri.

Väärtuste paari (x, y), mis on kirjutatud punkti koordinaatidena, nimetatakse lineaarvõrrandisüsteemi lahenduseks.

Kui süsteemidel on üks ühine lahendus või lahendus puudub, nimetatakse neid ekvivalentseteks.

Homogeensed lineaarvõrrandisüsteemid on süsteemid, mille parempoolne külg on võrdne nulliga. Kui võrdusmärgi järel oleval parempoolsel osal on väärtus või seda väljendatakse funktsiooniga, on selline süsteem heterogeenne.

Muutujate arv võib olla palju suurem kui kaks, siis tuleks rääkida kolme või enama muutujaga lineaarvõrrandisüsteemi näitest.

Süsteemidega silmitsi seistes eeldavad koolilapsed, et võrrandite arv peab tingimata ühtima tundmatute arvuga, kuid see pole nii. Võrrandite arv süsteemis ei sõltu muutujatest, neid võib olla nii palju kui soovitakse.

Lihtsad ja keerulised meetodid võrrandisüsteemide lahendamiseks

Selliste süsteemide lahendamiseks puudub üldine analüütiline meetod, kõik meetodid põhinevad numbrilistel lahendustel. Kooli matemaatikakursus kirjeldab üksikasjalikult selliseid meetodeid nagu permutatsioon, algebraline liitmine, asendamine, samuti graafilised ja maatriksmeetodid, lahendamine Gaussi meetodil.

Lahendusmeetodite õpetamisel on põhiülesanne õpetada süsteemi õigesti analüüsima ja iga näite jaoks optimaalse lahendusalgoritmi leidmiseks. Peaasi ei ole iga meetodi reeglite ja toimingute süsteemi meeldejätmine, vaid konkreetse meetodi kasutamise põhimõtete mõistmine.

7. klassi programmi lineaarvõrrandisüsteemide näidete lahendamine keskkooliüsna lihtne ja üksikasjalikult lahti seletatud. Igas matemaatikaõpikus pööratakse sellele jaotisele piisavalt tähelepanu. Lineaarvõrrandisüsteemide näidete lahendamist Gaussi ja Crameri meetodil õpitakse põhjalikumalt kõrghariduse esimestel aastatel.

Süsteemide lahendamine asendusmeetodil

Asendusmeetodi tegevused on suunatud ühe muutuja väärtuse väljendamisele teise järgi. Avaldis asendatakse ülejäänud võrrandiga, seejärel taandatakse see ühe muutujaga vormiks. Toimingut korratakse olenevalt tundmatute arvust süsteemis

Anname 7. klassi lineaarvõrrandisüsteemi näitele lahenduse asendusmeetodil:

Nagu näitest näha, väljendati muutujat x läbi F(X) = 7 + Y. Saadud avaldis, mis asendati süsteemi 2. võrrandiga X asemel, aitas saada 2. võrrandis ühe muutuja Y . Selle näite lahendamine on lihtne ja võimaldab saada Y-väärtust. Viimaseks sammuks on saadud väärtuste kontrollimine.

Lineaarvõrrandisüsteemi näidet ei ole alati võimalik asendamise teel lahendada. Võrrandid võivad olla keerulised ja muutuja väljendamine teise tundmatu kujul on edasiste arvutuste jaoks liiga tülikas. Kui süsteemis on rohkem kui 3 tundmatut, pole ka asendamise teel lahendamine asjakohane.

Lineaarsete mittehomogeensete võrrandite süsteemi näite lahendus:

Lahendus algebralise liitmise abil

Süsteemidele liitmismeetodil lahendusi otsides liidetakse võrrandid termini haaval ja korrutatakse erinevate arvudega. Lõppeesmärk matemaatilised tehted on ühe muutujaga võrrand.

Rakenduste jaoks seda meetodit on vaja harjutada ja jälgida. Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine liitmismeetodiga, kui muutujaid on 3 või enam, ei ole lihtne. Algebralist liitmist on mugav kasutada, kui võrrandid sisaldavad murd- ja kümnendkohti.

Lahenduse algoritm:

1. Korrutage võrrandi mõlemad pooled teatud arvuga. Selle tulemusena aritmeetiline tegevus muutuja üks koefitsientidest peab saama võrdseks 1-ga.
2. Lisage saadud avaldis termini haaval ja leidke üks tundmatutest.
3. Ülejäänud muutuja leidmiseks asendage saadud väärtus süsteemi 2. võrrandiga.

Lahendusmeetod uue muutuja sisseviimisega

Uue muutuja saab kasutusele võtta, kui süsteem nõuab lahenduse leidmist mitte rohkem kui kahele võrrandile, samuti ei tohiks tundmatute arv olla suurem kui kaks.

Meetodit kasutatakse ühe võrrandi lihtsustamiseks uue muutuja sisseviimisega. Uus võrrand lahendatakse sisestatud tundmatu jaoks ja saadud väärtust kasutatakse algse muutuja määramiseks.

Näites on näha, et uue muutuja t sisseviimisega oli võimalik süsteemi 1. võrrand taandada standardseks ruuttrinoomiks. Polünoomi saate lahendada diskriminandi leidmisega.

Diskriminandi väärtus on vaja leida tuntud valemi abil: D = b2 - 4*a*c, kus D on soovitav diskriminant, b, a, c polünoomi tegurid. Antud näites a=1, b=16, c=39, seega D=100. Kui diskriminant on suurem kui null, siis on kaks lahendit: t = -b±√D / 2*a, kui diskriminant on väiksem kui null, siis on üks lahend: x = -b / 2*a.

Saadud süsteemide lahendus leitakse liitmismeetodi abil.

Visuaalne meetod süsteemide lahendamiseks

Sobib 3 võrrandisüsteemi jaoks. Meetod seisneb iga süsteemis sisalduva võrrandi graafikute koostamises koordinaatteljel. Süsteemi üldlahenduseks saab kõverate lõikepunktide koordinaadid.

Graafilisel meetodil on mitmeid nüansse. Vaatame mitmeid näiteid lineaarvõrrandisüsteemide visuaalsest lahendamisest.

Nagu näitest näha, konstrueeriti iga rea ​​jaoks kaks punkti, muutuja x väärtused valiti meelevaldselt: 0 ja 3. x väärtuste põhjal leiti y väärtused: 3 ja 0. Punktid koordinaatidega (0, 3) ja (3, 0) märgiti graafikule ja ühendati joonega.

Teise võrrandi jaoks tuleb samme korrata. Sirgete lõikepunkt on süsteemi lahendus.

Järgmine näide nõuab graafilise lahenduse leidmist lineaarvõrrandisüsteemile: 0,5x-y+2=0 ja 0,5x-y-1=0.

Nagu näitest näha, pole süsteemil lahendust, kuna graafikud on paralleelsed ega ristu kogu pikkuses.

Näidete 2 ja 3 süsteemid on sarnased, kuid konstrueerimisel selgub, et nende lahendused on erinevad. Tuleb meeles pidada, et alati ei ole võimalik öelda, kas süsteemil on lahendus või mitte, alati on vaja koostada graafik.

Maatriks ja selle sordid

Lineaarvõrrandisüsteemi kokkuvõtlikuks kirjutamiseks kasutatakse maatrikseid. Maatriks on spetsiaalne numbritega täidetud tabel. n*m sisaldab n - rida ja m - veerge.

Maatriks on ruut, kui veergude ja ridade arv on võrdne. Maatriksvektor on ühest veerust koosnev maatriks, millel on lõpmatult võimalik arv ridu. Maatriksit, mille diagonaalis on ühed ja teised nullelemendid, nimetatakse identiteediks.

Pöördmaatriks on maatriks, mille korrutamisel algne maatriks muutub ühikmaatriksiks, selline maatriks eksisteerib ainult algse ruutmaatriksi jaoks.

Reeglid võrrandisüsteemi maatriksiks teisendamiseks

Võrrandisüsteemide puhul kirjutatakse võrrandite koefitsiendid ja vabaliikmed maatriksarvudena, üks võrrand on maatriksi üks rida.

Maatriksirida nimetatakse nullist erinevaks, kui vähemalt üks rea element ei ole null. Seega, kui mõnes võrrandis erineb muutujate arv, siis tuleb puuduva tundmatu asemele sisestada null.

Maatriksi veerud peavad rangelt vastama muutujatele. See tähendab, et muutuja x koefitsiendid saab kirjutada ainult ühte veergu, näiteks esimene, tundmatu y koefitsient - ainult teise.

Maatriksi korrutamisel korrutatakse kõik maatriksi elemendid järjestikku arvuga.

Pöördmaatriksi leidmise võimalused

Pöördmaatriksi leidmise valem on üsna lihtne: K -1 = 1 / |K|, kus K -1 on pöördmaatriks ja |K| on maatriksi determinant. |K| ei tohi olla võrdne nulliga, siis on süsteemil lahendus.

Determinant on kergesti arvutatav kaks korda kaks maatriksi jaoks, peate lihtsalt korrutama diagonaalelemendid üksteisega. "Kolm korda kolme" valiku jaoks on valem |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Võite kasutada valemit või meeles pidada, et igast reast ja veerust tuleb võtta üks element, et veergude ja elementide ridade arv töös ei korduks.

Lineaarvõrrandisüsteemide näidete lahendamine maatriksmeetodil

Lahenduse leidmise maatriksmeetod võimaldab suure hulga muutujate ja võrranditega süsteemide lahendamisel vähendada tülikaid kirjeid.

Näites on a nm võrrandite koefitsiendid, maatriks on vektor, x n on muutujad ja b n on vabad liikmed.

Süsteemide lahendamine Gaussi meetodil

Kõrgemas matemaatikas uuritakse Gaussi meetodit koos Crameri meetodiga ning süsteemidele lahenduste leidmise protsessi nimetatakse Gauss-Crameri lahendusmeetodiks. Neid meetodeid kasutatakse suure hulga lineaarvõrranditega süsteemide muutujate leidmiseks.

Gaussi meetod on väga sarnane asendus- ja algebralise liitmise lahendustele, kuid on süstemaatilisem. Koolikursuses kasutatakse Gaussi meetodil lahendust 3 ja 4 võrrandisüsteemide puhul. Meetodi eesmärk on taandada süsteem ümberpööratud trapetsi kujule. Algebraliste teisenduste ja asenduste abil leitakse süsteemi ühest võrrandist ühe muutuja väärtus. Teine võrrand on avaldis 2 tundmatuga, samas kui 3 ja 4 on vastavalt 3 ja 4 muutujaga.

Pärast süsteemi viimist kirjeldatud kujule taandatakse edasine lahendus teadaolevate muutujate järjestikusele asendamisele süsteemi võrrandites.

7. klassi kooliõpikutes kirjeldatakse Gaussi meetodi lahenduse näidet järgmiselt:

Nagu näitest näha, saadi etapis (3) kaks võrrandit: 3x 3 -2x 4 =11 ja 3x 3 +2x 4 =7. Mis tahes võrrandi lahendamine võimaldab teil välja selgitada ühe muutuja x n.

Tekstis mainitud teoreem 5 väidab, et kui süsteemi üks võrranditest asendada samaväärsega, on tulemuseks olev süsteem samaväärne ka algse võrrandiga.

Gaussi meetodit on õpilastel raske mõista keskkooli, kuid see on üks huvitavamaid viise matemaatika- ja füüsikatundide edasijõudnute õppeprogrammides osalevate laste leidlikkuse arendamiseks.

Salvestamise hõlbustamiseks tehakse arvutused tavaliselt järgmiselt:

Võrrandite ja vabaliikmete koefitsiendid kirjutatakse maatriksi kujul, kus iga maatriksi rida vastab süsteemi ühele võrrandile. eraldab võrrandi vasaku külje paremast. Rooma numbrid näitavad võrrandite numbreid süsteemis.

Kõigepealt kirjutage üles maatriks, millega töötate, seejärel kõik toimingud, mida ühe reaga tehakse. Saadud maatriks kirjutatakse pärast märki "nool" ja jätkab vajalike toimingute tegemist algebralised tehted kuni tulemuse saavutamiseni.

Tulemuseks peaks olema maatriks, milles üks diagonaalidest on võrdne 1-ga ja kõik muud koefitsiendid on võrdsed nulliga, see tähendab, et maatriks taandatakse ühikuvormiks. Me ei tohi unustada arvutuste tegemist võrrandi mõlemal poolel olevate numbritega.

See salvestusmeetod on vähem tülikas ja võimaldab teil mitte lasta end segada paljude tundmatute loetlemisest.

Mis tahes lahendusmeetodi tasuta kasutamine nõuab hoolt ja teatavat kogemust. Kõik meetodid ei ole rakendusliku iseloomuga. Mõned lahenduste leidmise meetodid on konkreetses inimtegevuse valdkonnas eelistatavamad, teised aga hariduslikel eesmärkidel.

Lahenduste leidmine lineaarsele süsteemile
Kaasaskantavad Windowsi rakendused saidil Bodrenko.com

§2. Lahenduste leidmine lineaarsele süsteemile

Kroneckeri-Capelli teoreem kehtestab vajaliku ja piisava tingimuse lineaarse süsteemi ühilduvuseks, kuid ei anna võimalust sellele süsteemile lahendusi leida.
Sellest osast leiame lahendused lineaarsüsteemile (3.1). Esmalt vaatleme põhimaatriksi nullist erineva determinandiga lineaarvõrrandisüsteemi lihtsaimat juhust ja seejärel liigume edasi vormi (3.1) üldise lineaarsüsteemi kõigi lahendite hulga leidmise juurde.
1. Lineaarvõrrandi ruutsüsteem põhimaatriksi nullist erineva determinandiga. Olgu antud ruutvõrrandisüsteem

põhimaatriksi nullist erineva determinandiga Δ

Tõestame, et sellisel süsteemil on ainulaadne lahendus ja me leiame selle lahenduse. Esiteks tõestame, et süsteemil (3.10) saab olla ainult üks lahendus (st me tõestame lahenduse unikaalsust süsteemile (3.10) selle olemasolu eeldusel).
Oletame, et on olemas suvalised n arvud x 1, x 2,..., x n, nii et nende arvude asendamisel süsteemi (3.10) muutuvad kõik selle süsteemi võrrandid identiteedideks (st süsteemil on mingi lahendus (s.t. 3.10) x 1, x 2,..., x n). Seejärel korrutades identiteedid (3.10) vastavalt maatriksi (3.11) determinandi Δ j-ro veeru algebraliste komplementidega A 1j , A 2j ,..., A nj ja seejärel liites saadud identiteedid, saada (mis tahes arvu j korral 1, 2,..., n)

Arvestades, et i-nda veeru elementide korrutiste summa j-ro veeru elementide vastavate algebraliste täienditega on i ≠ j korral võrdne nulliga ja maatriksi (3.11) determinandiga Δ i = j (vt atribuut 4° peatüki 1 §2 lõikest 4), saame viimasest võrdsusest

x j Δ = b 1 A 1j + b 2 A 2j + ... + b n A nj . (3.12)

Tähistame sümboligaΔ j (b i ) (või lühidalt sümbolitΔ j ) determinandist saadud determinantΔ põhimaatriksi (3.11), asendades selle j-nda veeru vabade liikmete veeruga b 1 ,b 2 ,...,b n (jättes kõik muud veerud muutmata Δ ).
Pange tähele, et (3.12) paremal küljel on täpselt determinant Δ j (b i) (selle kontrollimiseks piisab, kui kirjutada determinandi Δ j (b i) laiend üle i-nda veeru elementide) , ja see võrdsus võtab kuju

Δ x j = Δ j (3,13)

Kuna maatriksi (3.11) determinant Δ on nullist erinev, on võrrandid (3.13) samaväärsed seostega

Seega oleme seda tõestanud kui lahendus x 1 , x 2 ,...,X n süsteem (3.10) determinandigaΔ nullist erinev põhimaatriks (3.11) on olemas, siis on see lahendus üheselt määratud valemitega (3.14).
Valemeid (3.14) nimetatakse Crameri valemid.
Rõhutame veel kord, et Crameri valemid on seni saadud lahenduse olemasolu eeldusel ja tõestavad selle unikaalsust.
Jääb veel tõestada süsteemi (3.10) lahenduse olemasolu. Selleks piisab Kroneckeri-Capelli teoreemi alusel tõestada, et põhimaatriksi aste (3.11) on võrdne laiendatud maatriksi astmega (on veel üks võimalus tõestada lahenduse olemasolu süsteem (3.10), mis seisneb selles, et Crameri valemitega (3.14) määratletud arvud x 1, x 2, ..,x n muudavad kõik süsteemi (3.10) võrrandid identiteetideks.

kuid see on ilmne, sest seose Δ ≠ 0 tõttu võrdub põhimaatriksi auaste n-ga ja n rida sisaldava laiendatud maatriksi (3.15) auaste ei saa olla suurem kui arv n ja seetõttu on see võrdne põhimaatriksi auastmega.
See tõestab seda täielikult lineaarvõrrandite (3.10) ruutvõrrandisüsteemil, mille põhimaatriksi determinant on nullist erinev, on Crameri valemitega (3.14) määratud ainulaadne lahend.

Meie tõestatud väidet saab maatriksmeetodi abil veelgi lihtsamalt püstitada. Selleks asendame (nagu § 1 lõikes 1) süsteemi (3.10) selle ekvivalentmaatriksvõrrandiga

AX = B, (3,16)

kus A on süsteemi (3.11) põhimaatriks ning X ja B on veerud,

millest esimene tuleb kindlaks määrata ja teine ​​antakse.
Kuna maatriksi A determinant Δ on nullist erinev, on olemas pöördmaatriks A -1 (vt 1. peatüki lõik 7, §2).
Oletame, et süsteemile (3.10) on lahendus, s.t. on veerg X, mis muudab maatriksvõrrandi (3.16) identiteediks. Korrutades vasakul näidatud identiteedi pöördmaatriksiga A -1 saame

A -1 (AX) = A -1 V. (3,17)

Võtame nüüd arvesse, et kolme maatriksi korrutise kombinatoorse omaduse tõttu (vt lõik 2, § 1, ptk 1) ja seosest A -1 A = E, kus E on identsusmaatriks (vt lõiku 7, §2, 1. peatükk ), A -1 (AX) = (A -1 A)X = EX = X, seega saame (3.17)

X = A -1 V. (3,18)

Võrdsuse laiendamine (3.18) ja pöördmaatriksi kuju (vt valem A.41) arvestamine peatüki §2 lõikest 7. 1), saame veeru X elementide jaoks Crameri valemid.
Seega oleme tõestanud, et kui maatriksvõrrandi (3.16) lahendus on olemas, siis on see üheselt määratud seosega (3.18), mis on samaväärne Crameri valemitega.
Lihtne on kontrollida, kas seosega (3.18) defineeritud veerg X on tegelikult maatriksvõrrandi (3.16) lahendus,
st kui sellesse võrrandisse asendada, muudab see selle identiteediks. Tegelikult, kui veerg X on määratud võrrandiga (3.18), siis AX = A(A -1 B) = (AA -1)B = EB = B.
Seega, kui maatriksi A determinant Δ erineb nullist (st kui see maatriks pole ainsuses), on maatriksvõrrandil (3.16) ainulaadne lahendus, mis on määratletud seosega (3.18), samaväärne. Crameri valemitele.
Näide. Leiame lahenduse ruutvõrrandisüsteemile

põhimaatriksi nullist erineva determinandiga

Sest

siis Crameri valemite kohaselt on vaadeldava süsteemi ainus lahendus kujul x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, x 4 = 4.
Crameri valemite peamine tähtsus seisneb selles, et need annavad selgesõnalise avaldise lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks (nullist erineva determinandiga) võrrandite koefitsientide ja vabaliikmete kaudu. Crameri valemite praktiline kasutamine hõlmab üsna tülikaid arvutusi (n võrrandisüsteemi lahendamiseks n tundmatuga tuleb arvutada (n + 1) n-ndat järku determinant). Sellele tuleb lisada, et kui võrrandite ja vabaliikmete koefitsiendid on ainult mõõdetud füüsikaliste suuruste ligikaudsed väärtused või ümardatakse arvutusprotsessi käigus, siis võib Crameri valemite kasutamine põhjustada suuri vigu ja mõnel juhul on sobimatu.
4. peatüki §4 esitatakse A.N. Tihhonov ja võimaldab leida lineaarsele süsteemile lahenduse täpsusega, mis vastab võrrandikoefitsientide maatriksi ja vabaliikmete veeru täpsustamise täpsusele ning ptk. 6 annab aimu nn iteratiivsetest lahendusmeetoditest lineaarsed süsteemid, mis võimaldab neid süsteeme lahendada tundmatute järjestikuste lähenduste abil.
Kokkuvõtteks märgime, et selles osas jätsime vaatlusest välja juhtumi, mil süsteemi (3.10) põhimaatriksi determinant Δ kaob. See juhtum sisaldub üldine teooria n tundmatuga lineaarvõrrandi süsteemid, mis on esitatud järgmises lõigus.
2. Üldise lineaarsüsteemi kõikide lahenduste leidmine. Vaatleme nüüd üldist m lineaarvõrrandi süsteemi n tundmatuga (3.1). Oletame, et see süsteem on järjekindel ning selle põhi- ja laiendatud maatriksite järk on võrdne arvuga r. Üldisust kaotamata võib eeldada, et põhimaatriksi (3.2) alusmoll asub selle maatriksi ülemises vasakus nurgas (üldjuhu taandatakse selleks juhtumiks süsteemis (3.1) olevate võrrandite ja tundmatute ümberpaigutamisega.
Siis on nii põhimaatriksi (3.2) kui ka laiendatud maatriksi (3.8) esimesed r ridad nende maatriksite baasridadeks (kuna põhi- ja laiendatud maatriksi auastmed on mõlemad võrdsed r-ga, põhimaatriksi alusminoll on samaaegselt laiendatud maatriksi alus-moll) ja teoreemi 1.6 kohaselt on laiendatud maatriksi (1.8) iga rida, alustades (r + 1)-ndast reast, lineaarne kombinatsioon selle maatriksi esimesed r rida.
Süsteemi (3.1) mõistes tähendab see, et kõik selle süsteemi võrrandid, alustades (r + 1) võrrandist, on selle süsteemi esimeste r võrrandite lineaarne kombinatsioon (st tagajärg) ( st süsteemi (3.1) esimese r võrrandi mis tahes lahendus muudab identiteediks kõik selle süsteemi järgnevad võrrandid).
Seega piisab, kui leida süsteemi (3.1) esimese r võrrandi kõik lahendid. Vaatleme süsteemi (3.1) esimesi r võrrandeid, kirjutades need vormile

Kui anname tundmatutele x r+1 ,...,x n täiesti suvalised väärtused c r+1 ,...,c n , muutub süsteem (1.19) r lineaarvõrrandi ruutsüsteemiks r tundmatu x jaoks. 1 , x 2 , ..., x r ja selle süsteemi põhimaatriksi determinandiks on maatriksi (3.2) nullist erinev alusmoll. Eelmise lõigu tulemustest tulenevalt on sellel süsteemil (3.19) unikaalne Crameri valemitega määratud lahendus, st suvaliselt valitud c r+1 ,...,c n jaoks on unikaalne r arvude kogum c 1 ,.. .,c r , muutes kõik süsteemi (3.19) võrrandid identiteetideks ja defineeritud Crameri valemitega.
Selle unikaalse lahenduse üleskirjutamiseks nõustume tähistama sümboliga M j (d i) maatriksi (3.2) põhimollist M saadud determinanti, asendades selle j-ro veeru numbrite veeruga d 1, d 2, ...,d i,..., d r (kõik muud M veerud säilitatakse muutmata). Seejärel kirjutades Crameri valemite abil lahenduse süsteemi (3.19) ja kasutades determinandi lineaarset omadust, saame

Valemid (3.20) väljendavad tundmatute väärtusi x j = c j (j = 1, 2,......, r) tundmatute koefitsientide, vabade liikmete ja suvaliselt määratud parameetrite kaudu r+1,. ..., koos n.
Tõestame seda valemid (3.20) sisaldavad süsteemi (3.1) mis tahes lahendust. Tõepoolest, olgu c (0) 1 , c (0) 2 ,...,c (0) r , c (0) r+1 , ...,c (0) n määratud süsteemi suvaline lahendus . Siis on see lahendus süsteemile (3.19). Kuid süsteemist (3.19) määratakse suurused c (0) 1, c (0) 2,...,c (0) r üheselt suuruste c (0) r+1, ...,c (0) kaudu ) n ja täpselt Crameri valemite (3.20) järgi. Seega koos r+1 = c (0) r+1 , ..., Koos n = c (0) n valemid (3.20) annavad meile täpselt vaadeldava lahendi c (0) 1 , c (0) 2 ,...,c (0) r , c (0) r+1 , ...,c (0) n .
Kommenteeri. Kui süsteemi (3.1) põhi- ja laiendatud maatriksite aste r on võrdne tundmatute arvuga n, siis sel juhul muutuvad seosed (3.20) valemiteks

süsteemi (3.1) unikaalse lahenduse määratlemine. Seega on süsteemil (3.1) ainulaadne lahend (st see on kindel) eeldusel, et selle põhi- ja laiendatud maatriksi aste r on võrdne tundmatute arvuga n (ja väiksem või võrdne võrrandite arvuga m).
Näide. Leiame kõik lineaarsüsteemi lahendused

Lihtne on kontrollida, kas selle süsteemi nii põhi- kui ka laiendatud maatriksite auaste on võrdne kahega (st süsteem on ühilduv) ja võib eeldada, et põhi-moll M asub põhimaatriksi ülemises vasakus nurgas. , st. . Kuid siis, kui jätta kõrvale kaks viimast võrrandit ja määrata suvaliselt 3 ja 4, saame süsteemi

x 1 - x 2 = 4 - c 3 + c 4,

x 1 + x 2 = 8 - 2c 3 - 3c 4,

millest Crameri valemite abil saame väärtused

x 1 = c 1 = 6 - 3/2 c 3 - c 4, x 2 = c 2 = 2 - 1/2 c 3 - 2 c 4. (3.22)

Nii et neli numbrit

(6 - 3/2 c 3 - c 4,2 - 1/2 c 3 - 2 c 4, c 3, c 4) (3,23)

suvaliselt antud väärtuste c 3 ja c 4 korral moodustavad nad süsteemi (3.21) lahenduse ja rida (3.23) sisaldab kõiki selle süsteemi lahendusi.

3. Lahenduste komplekti omadused homogeenne süsteem. Vaatleme nüüd homogeenset m lineaarvõrrandi süsteemi n tundmatuga (3.7), eeldades, nagu ülalpool, et maatriksi (3.2) auaste on võrdne r-ga ja et alusmoll M asub selle vasakus ülanurgas. maatriks. Kuna seekord on kõik b i võrdsed nulliga, saame valemite (3.20) asemel järgmised valemid:

tundmatute väärtuste x j = c j (j = 1, 2,..., r) väljendamine tundmatute koefitsientide ja suvaliselt antud väärtuste c r+1 ,...,c n kaudu. Eelmises lõigus tõestatu tõttu valemid (3.24) sisaldavad mis tahes homogeense süsteemi (3.7) lahust.
Teeme nüüd kindlaks, et komplekt kõigist homogeense süsteemi (3.7) lahenditest moodustab lineaarruumi.
Olgu X 1 = (x (1) 1, x (1) 2,...,x (1) n) ja X 2 = (x (2) 1, x (2) 2,...,x ( 2) n) - kaks meelevaldsed otsused homogeenne süsteem (3.7) ja λ on ükskõik milline tegelik arv. Kuna homogeense süsteemi (3.7) iga lahendus on kõigi n arvu järjestatud kogumite lineaarruumi A n element, piisab, kui tõestada, et iga kahest kogust

X 1 + X 2 = (x (1) 1 + x (2) 1,..., x (1) n + x (2) n)

λ X 1 = (λ x (1) 1,..., λ x (1) n)

on ka lahendus homogeensele süsteemile (3.7).
Vaatleme süsteemi (3.7) mis tahes võrrandit, näiteks i-ndat võrrandit, ja asendame selle võrrandiga tundmatute asemel näidatud hulkade elemendid. Arvestades, et X 1 ja X 2 on homogeense süsteemi lahendused, saame

ja see tähendab, et hulgad X 1 + X 2 ja λ X 1 on homogeense süsteemi (3.7) lahendused.
Seega moodustab homogeense süsteemi (3.7) kõigi lahendite hulk lineaarruumi, mida tähistame sümboliga R.
Leiame selle ruumi R mõõtme ja konstrueerime selles baasi.
Tõestame, et eeldusel, et homogeense süsteemi maatriksi aste (3.7) on võrdne r-ga, homogeense süsteemi (3.7) kõigi lahendite lineaarruum R on isomorfne lineaarruumiga A n-r kõik järjestatud (n - r) numbrite kogud(Tühik A m võeti kasutusele näite 3 jaotises 1, jaotises 1, peatükis 2).

Seostame homogeense süsteemi (3.7) iga lahendi (c 1 ,...,c r , c r+1 ,...,c n) süsteemi elemendiga (c r+1 ,...,c n). ruumi A n-r Kuna arve c r+1 ,...,c n saab valida suvaliselt ja iga valikuga, kasutades valemeid (3.24), määravad need üheselt süsteemi (3.7) lahendi, siis meie poolt loodud vastavus on üks-ühele. Järgmisena märgime, et kui ruumi elemendid c (1) r+1 ,...,c (1) n ja c (2) r+1 ,...,c (2) n A n-r vastavad elementidele (c (1) 1 ,...,c (1) r , c (1) r+1 ,...,c (1) n) ja (c (2) 1 ,... ,c (2) r , c (2) r+1 ,...,c (2) n) ruumi R, siis valemitest (3.24) järeldub kohe, et element (c (1) r+1 + c (2 ) r+1 ,...,c (1) n +c (2) n) vastab elemendile (c (1) 1 + c (2) 1 ,...,c (1) r + c (2) r , c (1) r+1 + c (2) r+1 ,...,c (1) n +c (2) n) ja element (λ c (1) r+1 ,... ,λ c (1) n) iga reaalse λ korral vastab elemendile (λ c (1) 1 ,..., λ c (1) r , λ c (1) r+1, ...,λ c (1 ) n). See tõestab, et meie loodud vastavus on isomorfism.
Seega on homogeense süsteemi (3.7) kõigi lahendite lineaarruum R, milles on n tundmatut ja põhimaatriksi auaste, mis on võrdne r-ga, ruumiga isomorfne. A n-r ja seetõttu on selle mõõtmed n - r.
Iga homogeense süsteemi (3.7) lineaarselt sõltumatute lahendite hulk (n - r) moodustab (teoreemi 2.5 alusel) kõigi lahendite ruumis R aluse ja seda nimetatakse homogeense süsteemi (3.7) põhilahendihulgaks. .
Põhilahenduste komplekti koostamiseks võite alustada mis tahes ruumi alustest A n-r. Sellele alusele vastav süsteemi (3.7) lahenduste hulk on isomorfismi tõttu lineaarselt sõltumatu ja seega põhilahenduste hulk.
Erilist tähelepanu pööratakse süsteemi (3.7) põhilahenduste hulgale, mis vastab kõige lihtsamale alusele e 1 = (1, 0, 0,..., 0), e 2 = (1, 1, 0,. .., 0), ... , e n-r = (0, 0, 0,..., 1) tühikud A n-r ja nimetatakse homogeense süsteemi (3.7) normaalseks põhilahendite hulgaks.
Eespool alusmolli auastme ja asukoha kohta tehtud eelduste kohaselt on homogeense süsteemi (3.7) tavaline põhilahenduste hulk valemite (3.24) alusel järgmine:

Aluse definitsiooni järgi võib homogeense süsteemi (3.7) mis tahes lahendit X esitada kujul

X= C 1 X 1 + C 2 X 2 + ... + C n-r X n-r , (3.26)

kus C 1, C 2, ..., C n-r on mingid konstandid. Kuna valem (3.26) sisaldab mis tahes homogeense süsteemi (3.7) lahendust, annab see valem vaadeldava homogeense süsteemi üldlahenduse.
Näide. Vaatleme homogeenset võrrandisüsteemi:

mis vastab ebahomogeensele süsteemile (3.21), mida on analüüsitud eelmise lõigu lõpus olevas näites. Seal saime teada, et selle süsteemi maatriksi aste r on võrdne kahega ja võtsime aluseks määratud maatriksi vasakus ülanurgas oleva molli.
Korrates eelmise lõigu lõpus läbiviidud arutluskäiku, saame valemite (3.22) asemel seosed

c 1 = - 3/2 c 3 - c 4, c 2 = - 1/2 c 3 - 2 c 4,

kehtib suvaliselt valitud c 3 ja c 4 korral. Neid seoseid kasutades (eeldusel, et kõigepealt c 3 =1,c 4 =0 ja seejärel c 3 = 0,c 4 = 1) saame süsteemi (3.27) kahest lahendist koosneva normaalse põhihulga:

X 1 = (-3/2, -1/2, 1,0), X 2 = (-1, -2, 0,1). (3.28)

kus C 1 ja C 2 on suvalised konstandid.
Selle lõigu lõpetuseks loome seose mittehomogeense lineaarsüsteemi (3.1) ja vastava homogeense süsteemi (3.7) lahendite vahel (tundmatute puhul samade koefitsientidega). Tõestame kahte järgmist väidet.
1°. Mittehomogeense süsteemi (3.1) mis tahes lahenduse summa vastava homogeense süsteemi (3.7) mis tahes lahendusega on süsteemi (3.1) lahendus.
Tegelikult, kui c 1 ,...,c n on lahendus süsteemile (3.1), a d 1 ,...,d n on lahendus vastavale homogeensele süsteemile (3.7), siis asendades mis tahes (näiteks, i-ndas ) saame tundmatute arvude c 1 + d 1 ,...,c n + d n asemel süsteemi (3.1) võrrandi

Q.E.D.
2°. Mittehomogeense süsteemi (3.1) kahe suvalise lahendi erinevus on vastava homogeense süsteemi (3.7) lahend.
Tegelikult, kui c" 1 ,...,c" n ja c" 1 ,...,c" n on süsteemi (3.1) kaks suvalist lahendit, siis asendades mis tahes (näiteks i- th) süsteemi võrrand (3.7) tundmatute arvude c" 1 - c" 1 ,...,c" n - c" n asemel saame

Q.E.D.
Tõestatud väidetest järeldub, et Olles leidnud ebahomogeense süsteemi (3.1) ühe lahenduse ja liites selle vastava homogeense süsteemi (3.7) iga lahusega, saame kõik mittehomogeense süsteemi (3.1) lahendused.
Teisisõnu mittehomogeense süsteemi erilahenduse (3.1) ja vastava homogeense süsteemi üldlahenduse (3.7) summa annab ebahomogeense süsteemi (3.1) üldlahenduse.
Ebahomogeense süsteemi (3.1) erilahendusena on loomulik võtta see lahendus (nagu ülalpool eeldatakse, et süsteemi (3.1) põhi- ja laiendatud maatriksite järgud on võrdsed r-ga ja et põhi moll on nende maatriksite vasakus ülanurgas)

mis saadakse, kui valemites (3.20) seame kõik arvud c r+1 ,...,c n võrdseks nulliga. Lisades selle konkreetse lahenduse vastava homogeense süsteemi üldlahendusele (3.26), saame mittehomogeense süsteemi (3.1) üldlahenduse kohta järgmise avaldise:

X= X 0 + C 1 X 1 + C 2 X 2 + ... + C n-r X n-r . (3.30)

Selles avaldises tähistab X 0 konkreetset lahendust (3.29), C 1 , C 2 , ... , C n-r on suvalised konstandid ja X 1 , X 2 ,... , X n-r on normaalse põhihulga elemendid lahustest (3.25) vastavad homogeensed süsteemid.
Seega on eelmise lõigu lõpus vaadeldud mittehomogeense süsteemi (3.21) puhul vormi (3.29) konkreetne lahend võrdne X 0 = (6,2,0, 0).
Lisades selle konkreetse lahenduse vastava homogeense süsteemi (3.27) üldlahusele (3.28), saame ebahomogeense süsteemi (3.21) üldlahenduse järgmise:

X = (6,2,0, 0) + C1 (-3/2, -1/2,1,0) + C2 (-1,-2, 0,1). (3,31)

Siin on C 1 ja C 2 suvalised konstandid.
4. Lõppmärkused lineaarsüsteemide lahendamise kohta. Eelmistes lõikudes välja töötatud lineaarsete süsteemide lahendamise meetodid
põhineb vajadusel arvutada maatriksi auaste ja leida selle alus väike. Kui põhimoll on leitud, taandub lahendus determinantide arvutamise tehnikale ja Crameri valemite kasutamisele.
Maatriksi auastme arvutamiseks võite kasutada järgmist reeglit: maatriksi auastme arvutamisel tuleks liikuda madalama järgu alaealistelt kõrgema järgu alaealiste juurde; Veelgi enam, kui nullist erinev järgu k moll M on juba leitud, siis ainult piirnevad järgu mollid (k + 1)(see tähendab, et nad sisaldavad enda sees alatähte M) see alaealine on M; kui kõik piirnevad järgu mollid (k + 1) on võrdsed nulliga, on maatriksi auaste võrdne k-ga(tegelikult kuuluvad näidatud juhul kõik maatriksi read (veerud) selle k rea (veeru) lineaarsesse korpusesse, mille ristumiskohas on alatähtis M ja näidatud lineaarse kere mõõde on võrdne k).
Toome välja ka teise reegli maatriksi järgu arvutamiseks. Pange tähele, et maatriksi ridade (veerudega) saab sooritada kolm elementaarset operatsiooni, mis ei muuda selle maatriksi järjestust: 1) kahe rea (või kahe veeru) permutatsioon, 2) rea (või veeru) korrutamine mis tahes nullist erineva teguriga, 3) ühe rea (veeru) liitmine muude ridade (veergude) suvaline lineaarne kombinatsioon (need kolm toimingut ei muuda maatriksi järjestust, kuna toimingud 1) ja 2 ei muuda maatriksi lineaarselt sõltumatute ridade (veergude) maksimaalset arvu, ja toimingul 3) on omadus, et kõigi enne selle toimingu sooritamist eksisteerinud ridade (veergude) joonulatus langeb kokku pärast selle toimingu sooritamist saadud kõigi ridade (veergude) lineaarse mähisega).
Me ütleme, et maatriksil ||a ij ||, mis sisaldab m rida ja n veergu, on diagonaal vorm, kui kõik selle elemendid peale a 11, a 22,..., a rr on võrdsed nulliga, kus r = min(m, n). Sellise maatriksi auaste on ilmselgelt võrdne r-ga.
Teeme selle kindlaks kasutades kolme elementaartehtet mis tahes maatriksit

saab taandada diagonaalsele kujule(mis võimaldab meil arvutada selle auastme).

Tegelikult, kui kõik maatriksi (3.31) elemendid on võrdsed nulliga, siis on see maatriks juba taandatud diagonaalkujule. Kui ema
ribidel (3.31) on nullist erinevad elemendid, siis kahe rea ja kahe veeru ümberkorraldamisega on võimalik tagada, et element a 11 on nullist erinev. Pärast maatriksi esimese rea korrutamist 11 -1-ga muudame elemendi a 11 üheks. Lahutades maatriksi j-ro veerust (j = 2, 3,..., n) esimese veeru, mis on korrutatud i1-ga, ja lahutades seejärel i-s rida(i = 2, 3,..., n korral) esimene rida korrutades i1-ga, saame (3.31) asemel järgmise kujuga maatriksi:

Sooritades juba kirjeldatud tehteid kaadrisse võetud maatriksiga ja jätkates samamoodi toimimist, saame pärast lõplikku arvu samme diagonaalmaatriksi.
Eelmistes lõikudes kirjeldatud lineaarsete süsteemide lahendamise meetodid, mis lõppkokkuvõttes kasutavad Crameri valemite aparatuuri, võivad põhjustada suuri vigu, kui võrrandite ja vabaliikmete koefitsientide väärtused on antud ligikaudu või kui need väärtused arvutusprotsessi käigus ümardatakse.
Eelkõige kehtib see juhul, kui põhideterminandile (ehk põhideterminandile) vastav maatriks on halvasti konditsioneeritud(st kui "väikesed" muutused selle maatriksi elementides vastavad "suurtele" muutustele pöördmaatriksi elementides). Loomulikult on sel juhul lineaarse süsteemi lahendus ebastabiilne(st "väikesed" muudatused võrrandite ja vabaliikmete koefitsientide väärtustes vastavad "suurtele" muudatustele lahenduses).
Märgitud asjaolud tingivad vajaduse töötada välja nii muud (Crameri valemitest erinevad) teoreetilised algoritmid lahenduste leidmiseks kui ka numbrilised meetodid lineaarsete süsteemide lahendamiseks.
§4 4. peatükis tutvume reguleerimismeetod A.N. Tihhonova leides nn normaalne(st algpunktile lähim) lineaarsüsteemi lahendus.
6. peatükis saab põhiteavet nn iteratiivsed meetodid lineaarsete süsteemide lahendused, mis võimaldavad neid süsteeme lahendada tundmatute järjestikuste lähenduste abil.