Polünoomide jagamine. Polünoomi jagamine polünoomiga jäägiga Polünoomi jagamine binoomiga näited

Tõestatakse, et polünoomidest koosnevat vale murdu saab esitada polünoomi ja õige murru summana. Täpsemalt analüüsitakse näiteid polünoomide nurgaga jagamisest ja veeruga korrutamisest.

Sisu

Teoreem

Olgu P k (x),Qn (x) on polünoomid muutujas x astmetega k ja n, mille k ≥ n. (x) Siis polünoom P k
(1) saab esitada ainult järgmisel kujul: Pk,
(x) = S k-n (x) Q n (x) + U n-1 (x) (x) kus S k-n - polünoom astmega k-n, U n- 1(x) 1 - polünoom, mille aste ei ole kõrgem kui n-

, või null.

Tõestus
;
;
;
,
Polünoomi määratluse järgi:

kus p i, q i on teadaolevad koefitsiendid, s i, u i on tundmatud koefitsiendid.
.
Tutvustame tähistust: (1) :
;
(2) .
Asendame sisse 1 Esimene liige paremal pool on k-astme polünoom.
Teise ja kolmanda liikme summa on polünoom, mille aste ei ületa k -
.

Võrdlustame x k koefitsiendid: (2) :
.
p k = s k-n q n .
Seega s k-n = p k / q n. 1 Teisendame võrrandi
(3) .

Tutvustame tähistust: . (1) Kuna s k-n = p k / q n, siis on x k koefitsient võrdne nulliga. Seetõttu - see on polünoom, mille aste ei ole kõrgem kui k - 1 , . Seejärel saab eelmise võrrandi ümber kirjutada järgmiselt: Sellel võrrandil on sama kuju kui võrrandil, sai ainult k väärtus
,
vähem. Seda korrates - polünoom astmega k-n, U n-.

k-n protseduur 0 korda, saame võrrandi:

millest määrame polünoomi U n- koefitsiendid

Niisiis, oleme määranud kõik tundmatud koefitsiendid s i, ul. (1) Veelgi enam, s k-n ≠ (x).
(4) .
Lemma on tõestatud. (x) Polünoomide jagamine - polünoom astmega k-n, U n- Võrrandi mõlema poole jagamine

kohta Qn (4) , saame:

Analoogiliselt kümnendarvudega S k-n 10 mida nimetatakse murru või jagatise täisarvuks, U n-
.
- ülejäänud osa. Polünoomide murdosa, mille polünoomi aste lugejas on väiksem kui nimetaja polünoomi aste, nimetatakse õigeks murdeks. Polünoomide murdosa, mille polünoomi aste lugejas on suurem või võrdne nimetaja polünoomi astmega, nimetatakse valeks murdeks. 10 .

Arvud 2, 6, 5, 8, 4, 7 on arvu laiendamise koefitsiendid astmeteks 10.

Seetõttu saab jagamise reeglit (mõnikord nimetatakse pikaks jagamiseks), mis kehtib arvude jagamisel, rakendada polünoomidele. Ainus erinevus seisneb selles, et polünoomide jagamisel ei pea te üheksast suuremaid arve teisendama suurimateks numbriteks. Vaatleme konkreetsete näidete abil polünoomide nurgaga jagamise protsessi.

.

Näide polünoomide jagamisest nurgaga 4 ≥ 2 Siin sisaldab lugeja neljanda astme polünoomi. Nimetaja on teise astme polünoom. Sest

, siis on murd vale. Valime terve osa, eraldades polünoomid nurgaga (veerus): Annameüksikasjalik kirjeldus

1.1 jagamise protsess. Kirjutame algsed polünoomid vasakusse ja paremasse veergu. Nimetaja polünoomi alla parempoolsesse veergu tõmmake horisontaaljoon (nurk). Selle joone all, nurga all, jääb kogu murdosa osa.

1.2 Leiame kogu osa esimese liikme (nurga alt). Selleks jagage lugeja esiliige nimetaja esiliikmega: . Korrutada 2 x 2 x poolt:
2–3 x + 5

1.3 . Kirjutame tulemuse vasakpoolsesse veergu:

.

Võtame vasakpoolses veerus polünoomide erinevuse:
.

Niisiis, saime vahetulemuse: 3 Paremal pool olev murd on vale, kuna polünoomi aste lugejas ( 2 ) on suurem või võrdne nimetaja polünoomi astmega (
2.1 ). Kordame arvutusi. Alles nüüd on murru lugeja vasakpoolse veeru viimasel real.

2.2 Jagame lugeja juhtliikme nimetaja juhtliikmega: ;

2.3 Korrutage nimetajaga: ;


Ja lahutage vasakpoolse veeru viimaselt realt: ;
.

Vahetulemus:
3.1 ;
3.2 ;
3.3 ;


Kordame arvutusi uuesti, kuna paremal pool on vale murd.
.
Nii et saime: 1 < 2 Polünoomi aste parempoolse murru lugejas on väiksem kui nimetaja polünoomi aste,

;
. Seetõttu on murdosa õige.
2 x 2 - 4 x + 1 8 - see on terve osa;

x-

- jaotuse ülejäänud osa.
.

Näide 2

Valige kogu murdosa osa ja leidke jaotuse ülejäänud osa:
.

Teeme samu toiminguid, mis eelmises näites:

Siin on jaotuse ülejäänud osa null:

Polünoomide korrutamine veeruga

Sarnaselt täisarvude korrutamisega saab veerus ka polünoome korrutada. Vaatame konkreetseid näiteid.
.

1

2.1
.

2.2
.

2.3
.
Näide polünoomide korrutamisest veeruga

3
;
;
;
.

Leia polünoomide korrutis:

x-

Kirjutame tulemuse veergu, nivelleerides kraadid x.
.

Polünoomide korrutamisel veerus on oluline kirjutada muutuja x samad astmed üksteise alla. Kui mõned x astmed puuduvad, tuleb need kirjutada selgesõnaliselt, korrutada nulliga või jätta tühjaks.

Selles näites on mõned kraadid puudu. Seetõttu kirjutame need selgesõnaliselt, korrutatuna nulliga:
.
Polünoomide korrutamine veerus.

1 Kirjutame algsed polünoomid üksteise alla veergu ja tõmbame joone.

2.1 Korrutage teise polünoomi madalaim liige esimese polünoomiga:
.
Kirjutame tulemuse veergu.

2.2 Teise polünoomi järgmine liige on null. Seetõttu on selle korrutis esimese polünoomi järgi samuti null. Nullrida ei tohi kirjutada.

2.3 Korrutage teise polünoomi järgmine liige esimese polünoomiga:
.
Näide polünoomide korrutamisest veeruga

2.3 Korrutage teise polünoomi järgmine (kõrgeim) liige esimese polünoomiga:
.
Näide polünoomide korrutamisest veeruga

3 Kui teise polünoomi kõik liikmed on korrutatud esimesega, tõmmake joon ja lisage samade astmetega x:
.

Üldvaade monomiaalne

f(x)=ax n, Kus:

-a- koefitsient, mis võib kuuluda ükskõik millisesse komplekti N, Z, Q, R, C

-x- muutuv

-n astendaja, mis kuulub hulka N

Kaks monomi on sarnased, kui neil on sama muutuja ja sama astendaja.

Näited: 3x2 Ja -5x2; ½ x 4 Ja 2√3x4

Üksteisega mittesarnaste monomialide summat nimetatakse polünoomiks (või polünoomiks). Sel juhul on monomiaalid polünoomi liikmed. Kahte terminit sisaldavat polünoomi nimetatakse binoomseks (või binoomseks).
Näide: p(x)=3x2-5; h(x)=5x-1
Kolme liiget sisaldavat polünoomi nimetatakse trinoomiks.

Ühe muutujaga polünoomi üldvaade

Kus:

• a n,a n-1,a n-2,...,a 1,a 0- polünoomkoefitsiendid. Need võivad olla loomulikud, täisarvud, ratsionaal-, reaal- või kompleksarvud.
• a n- suurima eksponendiga liikme koefitsient (juhtkoefitsient)
• a 0- väikseima astendajaga liikme koefitsient (vaba liige või konstant)
• n- polünoomi aste

Näide 1
p(x)=5x3 -2x2 +7x-1

• kolmanda astme polünoom koefitsientidega 5, -2, 7 Ja -1
• 5 - juhtiv koefitsient
• -1 - tasuta liige
• x- muutuv

Näide 2
h(x)=-2√3x4 +½x-4

• neljanda astme polünoom koefitsientidega -2√3,½ Ja -4
• -2√3 - juhtiv koefitsient
• -4 - tasuta liige
• x- muutuv

Polünoomide jagamine

p(x) Ja q(x)- kaks polünoomi:
p(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x 1 +a 0
q(x)=a p x p +a p-1 x p-1 +...+a 1 x 1 +a 0

Jagatise jagatise ja jäägi leidmiseks p(x) sisse q(x), peate kasutama järgmist algoritmi:

1. Kraad p(x) peab olema suurem või võrdne q(x).
2. Peame mõlemad polünoomid kirjutama kahanevas järgus. Kui sisse p(x)ühegi astmega terminit pole, see tuleb lisada koefitsiendiga 0.
3. Juhtiv liige p(x) jagatud juhtterminiga q(x), ja tulemus kirjutatakse eraldusjoone alla (nimetajasse).
4. Korrutage tulemus kõigi liikmetega q(x) ja kirjutage termini alla vastandmärkidega tulemus p(x) vastavate kraadidega.
5. Lisage termini haaval samade võimetega terminid.
6. Ülejäänud terminid määrame tulemusele p(x).
7. Jagage saadud polünoomi juhtliige polünoomi esimese liikmega q(x) ja korrake samme 3-6.
8. Seda protseduuri korratakse seni, kuni äsja saadud polünoomi aste on väiksem kui q(x). See polünoom on jaotuse ülejäänud osa.
9. Jaotusjoone alla kirjutatud polünoom on jagamise (jagatise) tulemus.

Näide 1
Samm 1 ja 2) $p(x)=x^5-3x^4+2x^3+7x^2-3x+5 \\ q(x)=x^2-x+1$

3) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

4) x 5 -3x4 +2x3 +7x2 -3x+5

5) x 5 -3x4 +2x3 +7x2 -3x+5

6) x 5 -3x4 +2x3 +7x2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

7) x 5 -3x4 +2x3 +7x2 -3x+5

/ -2x 4 +x 3 +7x 2 -3x+5

2x4 -2x3 +2x2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

8) x 5 -3x4 +2x3 +7x2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

2x4 -2x3 +2x2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

/ 6x-3 STOP

x 3 -2x 2 -x+8 --> C(x) Privaatne

Vastus: p(x) = x 5 - 3x 4 + 2x 3 + 7x 2 - 3x + 5 = (x 2 - x + 1) (x 3 - 2x 2 - x + 8) + 6x - 3

Näide 2
p(x)=x 4 +3x 2 +2x-8
q(x)=x2-3x

X 4 +0x 3 +3x 2 +2x-8

/ 3x 3 +3x 2 +2x-8

/ 38x-8 r(x) STOP

x 2 +3x+12 --> C(x) jagatis

Vastus: x 4 + 3x 2 + 2x - 8 = (x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 12) + 38x - 8

Jagamine esimese astme polünoomiga

Seda jagamist saab teha ülaltoodud algoritmi kasutades või veelgi kiiremini Horneri meetodi abil.
Kui f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x+a 0, saab polünoomi ümber kirjutada kujul f(x)=a 0 +x(a 1 +x(a 2 +...+x(a n-1 +a n x)...))

q(x)- esimese astme polünoom ⇒ q(x)=mx+n
Siis jagatis oleval polünoomil on aste n-1.

Horneri meetodi järgi $x_0=-\frac(n)(m)$.
b n-1 =a n
b n-2 =x 0 .b n-1 +a n-1
b n-3 =x 0 .b n-2 +a n-2
...
b 1 = x 0 .b 2 + a 2
b 0 =x 0 .b 1 +a 1
r = x 0 .b 0 + a 0
Kus b n-1 x n-1 +b n-2 x n-2 +...+b 1 x+b 0- privaatne. Jääk on nullkraadi polünoom, kuna jäägi polünoomi aste peab olema väiksem kui jagaja aste.
Jagamine jäägiga ⇒ p(x)=q(x).c(x)+r ⇒ p(x)=(mx+n).c(x)+r kui $x_0=-\frac(n)(m)$
Pange tähele, et p(x 0)=0.c(x 0)+r ⇒ p(x 0)=r

Näide 3
p(x)=5x4-2x3 +4x2-6x-7
q(x)=x-3
p(x)=-7+x(-6+x(4+x(-2+5x)))
x 0 =3

b3 =5
b 2 = 3,5-2 = 13
b 1 =3,13+4=43 ⇒ c(x)=5x3 +13x2 +43x+123; r = 362
b 0 = 3,43-6 = 123
r = 3,123-7 = 362
5x4-2x3 +4x2-6x-7=(x-3)(5x3 +13x2 +43x+123)+362

Näide 4
p(x)=-2x5 +3x4 +x2-4x+1
q(x)=x+2
p(x)=-2x5 +3x4 +0x3 +x2-4x+1
q(x)=x+2
x 0 =-2
p(x)=1+x(-4+x(1+x(0+x(3-2x))))

b4 =-2          b 1 = (-2). (-14) + 1 = 29
b 3 =(-2).(-2)+3=7     b 0 =(-2).29-4=-62
b2 =(-2).7+0=-14     r=(-2).(-62)+1=125
⇒ c(x)=-2x4 +7x3 -14x2 +29x-62; r = 125
-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1=(x+2)(-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62)+125

Näide 5
p(x)=3x3 -5x2 +2x+3
q(x)=2x-1
$x_0=\frac(1)(2)$
p(x)=3+x(2+x(-5+3x))
b 2 = 3
$b_1=\frac(1)(2)\cdot 3-5=-\frac(7)(2)$
$b_0=\frac(1)(2)\cdot \left(-\frac(7)(2)\right)+2=-\frac(7)(4)+2=\frac(1)(4 )$
$r=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(4)+3=\frac(1)(8)+3=\frac(25)(8) \Paremnool c(x)= 3x^2-\frac(7)(2)x+\frac(1)(4)$
$\Paremnool 3x^3-5x^2+2x+3=(2x-1)(3x^2--\frac(7)(2)x+\frac(1)(4))+\frac(25) (8) $
Järeldus
Kui jagame polünoomiga, mille aste on suurem kui üks, peame jagatise ja jäägi leidmiseks kasutama algoritmi 1-9 .
Kui jagame esimese astme polünoomiga mx+n, siis jagatise ja jäägi leidmiseks tuleb kasutada Horneri meetodit $x_0=-\frac(n)(m)$.
Kui meid huvitab ainult jaotuse ülejäänud osa, piisab leidmisest p(x 0).
Näide 6
p(x)=-4x4 +3x3 +5x2-x+2
q(x)=x-1
x 0 =1
r=p(1)=-4,1+3,1+5,1-1+2=5
r = 5

Täna õpime polünoome üksteisega jagama ja teeme jagamise nurgaga analoogselt tavaarvudega. See on väga kasulik tehnika, mida enamikus koolides kahjuks ei õpetata. Seetõttu kuulake seda videotundi hoolikalt. Sellises jaotuses pole midagi keerulist.

Esiteks jagame kaks arvu üksteisega:

Kuidas seda teha? Kõigepealt lõikasime ära nii palju bitte, et saadud numbriline väärtus oli rohkem kui see, millega me jagame. Kui lõikame ühe numbri ära, saame viie. Ilmselgelt seitseteist viie sisse ei mahu, nii et sellest ei piisa. Võtame kaks numbrit - saame 59 - see on juba rohkem kui seitseteist, nii et saame toimingu teha. Nii et mitu korda mahub seitseteist 59-sse? Võtame kolm. Korrutame ja kirjutame tulemuse 59 alla. Kokku saame 51. Lahutage ja saame “kaheksa”. Nüüd võtame maha järgmise numbri - viis. Jagage 85 seitsmeteistkümnega. Võtame viis. Korrutage seitseteist viiega ja saame 85. Lahutage ja saame nulli.

Reaalsete näidete lahendamine

Ülesanne nr 1

Nüüd teeme samad sammud, kuid mitte numbritega, vaid polünoomidega. Näiteks võtame selle:

\[\frac(((x)^(2))+8x+15)(x+5)=x+3\]

Pange tähele, et kui arvude üksteisega jagamisel eeldasime, et dividend on alati suurem kui jagaja, siis polünoomide nurgaga jagamisel on vajalik, et dividendi aste oleks jagajast suurem. Meie puhul on kõik korras - töötame teise ja esimese astme konstruktsioonidega.

Niisiis, esimene samm: võrrelge esimesi elemente. Küsimus: Millega peaksite $x$ korrutama, et saada $((x)^(2))$? Ilmselgelt veel $x$ eest. Korrutage $x+5$ äsja leitud arvuga $x$. Meil on $((x)^(2))+5$, mille lahutame dividendist. See jätab $ 3x $. Nüüd võtame maha järgmise ametiaja – viisteist. Vaatame uuesti esimesi elemente: $3x$ ja $x$. Millega tuleks $x$ korrutada, et saada $3x$? Ilmselgelt kolm. Korrutame $x+5$ liikme kolmega. Kui lahutame, saame nulli.

Nagu näete, on kogu nurgaga jagamise operatsioon taandatud dividendi ja jagaja suurimate koefitsientide võrdlemisele. See on isegi lihtsam kui numbrite jagamine. Ei ole vaja valida teatud arvu numbreid – me lihtsalt võrdleme igas etapis kõige kõrgemaid elemente. See on kogu algoritm.

Probleem nr 2

Proovime uuesti:

\[\frac(((x)^(2))+x-2)(x-1)=x+2\]

Esimene samm: vaadake juhtivaid koefitsiente. Kui palju on vaja $x$ korrutada, et kirjutada $((x)^(2))$? Korrutame termini kaupa. Pange tähele, et lahutamisel saame täpselt $2x$, sest

Eemaldame -2 ja võrdleme uuesti saadud esimest koefitsienti jagaja kõrgeima elemendiga. Kokkuvõttes saime “ilusa” vastuse.

Liigume edasi teise näite juurde:

\[\frac(((x)^(3))+2((x)^(2))-9x-18)(x+3)=((x)^(2))-x-6\ ]

Seekord on dividendiks kolmanda astme polünoom. Võrdleme esimesi elemente omavahel. $((x)^(3))$ saamiseks on vaja $x$ korrutada $((x)^(2))$-ga. Pärast lahutamist võtame ära $9x$. Korrutage jagaja $-x$-ga ja lahutage. Selle tulemusena jagunes meie ilme täielikult. Kirjutame vastuse üles.

Probleem nr 3

Liigume edasi viimase ülesande juurde:

\[\frac(((x)^(3))+3((x)^(2))+50)(x+5)=((x)^(2))-2x+10\]

Võrdleme $((x)^(3))$ ja $x$. Ilmselt peate korrutama $((x)^(2))$-ga. Selle tulemusena näeme, et saime väga "ilusa" vastuse. Paneme selle kirja.

See on kogu algoritm. Siin on kaks põhipunkti:

1. Võrrelge alati dividendi ja jagaja esimest astmet – kordame seda igal sammul;
2. Kui algses avaldises puuduvad kraadid, tuleb need nurgaga jagamisel lisada, kuid nullkoefitsientidega, vastasel juhul on vastus vale.

Selles jaotuses pole enam tarkust ja nippe.

Tänase õppetunni materjali ei leidu kunagi kusagilt "puhtal kujul". Seda õpetatakse koolides harva. Polünoomide üksteisega jagamise võimalus aitab teid aga suuresti nii kõrgema astme võrrandite kui ka igasuguste "suurenenud raskusastmega" probleemide lahendamisel. Ilma selle tehnikata peate arvutama polünoomid, valima koefitsiendid - ja tulemus pole sugugi garanteeritud. Polünoome saab aga jagada ka nurgaga – täpselt nagu tavalisi numbreid! Kahjuks seda tehnikat koolides ei õpetata. Paljud õpetajad usuvad, et polünoomide nurgaga jagamine on midagi uskumatult keerukat kõrgema matemaatika valdkonnast. Kiirustan teile kinnitama: see pole nii. Tegelikult on polünoomide jagamine isegi lihtsam kui tavaarvude jagamine! Vaadake õppetundi ja veenduge ise :) Üldiselt võtke see tehnika kindlasti kasutusele. Võimalus jagada polünoome üksteisega on teile väga kasulik kõrgema astme võrrandite lahendamisel ja muudes mittestandardsetes ülesannetes.

Loodan, et see video aitab neid, kes töötavad polünoomidega, eriti kõrgemate kraadidega. See kehtib nii keskkooli- kui ka ülikooliõpilaste kohta. Ja see on minu jaoks kõik. Kohtumiseni!

Alustame mõne definitsiooniga. Polünoom n aste(või n-ndat järku) kutsume välja avaldise kujul $P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n )+ a_(1)x^(n-1)+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$. Näiteks avaldis $4x^(14)+87x^2+4x-11$ on polünoom, mille aste on $14$. Seda saab tähistada järgmiselt: $P_(14)(x)=4x^(14)+87x^2+4x-11$.

Koefitsienti $a_0$ nimetatakse polünoomi $P_n(x)$ juhtkoefitsiendiks. Näiteks polünoomi $4x^(14)+87x^2+4x-11$ puhul on juhtiv koefitsient $4$ (arv enne $x^(14)$). Arvu $a_n$ nimetatakse polünoomi $P_n(x)$ vabaliikmeks. Näiteks $4x^(14)+87x^2+4x-11$ puhul on tasuta termin $(-11)$. Nüüd pöördume selle teoreemi juurde, millel sellel lehel oleva materjali esitamine tegelikult põhineb.

Kahe polünoomi $P_n(x)$ ja $G_m(x)$ jaoks võib leida polünoomid $Q_p(x)$ ja $R_k(x)$ nii, et võrdsus

\begin(võrrand) P_n(x)=G_m(x)\cdot Q_p(x)+R_k(x) \end(võrrand)

ja $k< m$.

Fraas "jagage polünoomi $P_n(x)$ polünoomiga $G_m(x)$" tähendab "esindama polünoomi $P_n(x)$ kujul (1)." Polünoomi $P_n(x)$ nimetame jagatavaks, polünoomi $G_m(x)$ jagajaks, polünoomi $Q_p(x)$ jagatiseks $P_n(x)$ jagamiseks $G_m(x)$ , ja polünoom $ R_k(x)$ – jäägid väärtuse $P_n(x)$ jagamisest $G_m(x)$-ga. Näiteks polünoomide $P_6(x)=12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1$ ja $G_4(x)=3x^4+4x^2 +2 $ saate järgmise võrdsuse:

$ 12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1=(3x^4+4x^2+2)(4x^2+x)+2x^3+1 $$

Siin on polünoom $P_6(x)$ jagatav, polünoom $G_4(x)$ jagaja, polünoom $Q_2(x)=4x^2+x$ on $P_6(x)$ jagatis $G_4(x) $ ja polünoom $R_3(x)=2x^3+1$ on $P_6(x)$ jagamise jääk $G_4(x)$-ga. Pange tähele, et jäägi aste (st 3) on väiksem kui jagaja aste (st 4), seega on võrdsuse tingimus täidetud.

Kui $R_k(x)\equiv 0$, siis öeldakse, et polünoomi $P_n(x)$ jagub polünoomiga $G_m(x)$ ilma jäägita. Näiteks polünoom $21x^6+6x^5+105x^2+30x$ jagub ilma jäägita polünoomiga $3x^4+15$, kuna võrdsus on täidetud:

$ 21x^6+6x^5+105x^2+30x=(3x^4+15)\cdot(7x^2+2x) $$

Siin on polünoom $P_6(x)=21x^6+6x^5+105x^2+30x$ jagatav; polünoom $G_4(x)=3x^4+15$ - jagaja; ja polünoom $Q_2(x)=7x^2+2x$ on $P_6(x)$ jagatis $G_4(x)$-ga. Ülejäänud osa on null.

Polünoomi polünoomiks jagamiseks kasutatakse sageli jagamist "veeruga" või, nagu seda nimetatakse ka "nurgaks". Vaatame selle meetodi rakendamist näidete abil.

Enne näidete juurde asumist tutvustan veel üht terminit. Ta ei ole üldiselt aktsepteeritud, ja kasutame seda ainult materjali esitamise mugavuse huvides. Selle lehe ülejäänud osas nimetame polünoomi $P_n(x)$ kõrgeimaks elemendiks avaldist $a_(0)x^(n)$. Näiteks polünoomi $4x^(14)+87x^2+4x-11$ puhul on juhtiv element $4x^(14)$.

Näide nr 1

Jagage $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ $5x^2-x+2$-ga, kasutades pikka jagamist.

Seega on meil kaks polünoomi, $P_5(x)=10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ ja $G_2(x)=5x^2-x+2$. Esimese aste on 5 dollarit ja teise aste on 2 dollarit. Polünoom $P_5(x)$ on dividend ja polünoom $G_2(x)$ on jagaja. Meie ülesanne on leida jagatis ja jääk. Lahendame probleemi samm-sammult. Kasutame sama tähistust nagu arvude jagamisel:

Esimene samm

Jagame polünoomi $P_5(x)$ kõrgeima elemendi (st $10x^5$) polünoomi $Q_2(x)$ kõrgeima elemendiga (st $5x^2$):

$$ \frac(10x^5)(5x^2)=2x^(5-2)=2x^3. $$

Saadud avaldis $2x^3$ on jagatise esimene element:

Korrutage polünoom $5x^2-x+2$ väärtusega $2x^3$, saades:

$$ 2x^3\cdot (5x^2-x+2)=10x^5-2x^4+4x^3 $$

Paneme tulemuse kirja:

Nüüd lahutage polünoomist $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ polünoom $10x^5-2x^4+4x^3$:

$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5-(10x^5-2x^4+4x^3)=5x^4-16x^3+25x^2-2x+ 5 $$

Sellega on esimene samm lõpetatud. Saadud tulemuse saab kirjutada laiendatud kujul:

$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot 2x^3+5x^4-16x^3+25x^2-2x +5 $$

Kuna polünoomi $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ (st 4) aste on suurem kui polünoomi $5x^2-x+2$ (st 2) aste, siis protsessijaotusi tuleb jätkata. Liigume edasi teise sammu juurde.

Teine samm

Nüüd töötame polünoomidega $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ ja $5x^2-x+2$. Täpselt samamoodi nagu esimeses etapis, jagame esimese polünoomi kõrgeima elemendi (st $5x^4$) teise polünoomi kõrgeima elemendiga (st $5x^2$):

$$ \frac(5x^4)(5x^2)=x^(4-2)=x^2. $$

Saadud avaldis $x^2$ on jagatise teine ​​element. Lisame jagatisele $x^2$

Korrutage polünoom $5x^2-x+2$ väärtusega $x^2$, saades:

$$ x^2\cdot (5x^2-x+2)=5x^4-x^3+2x^2 $$

Paneme tulemuse kirja:

Nüüd lahutage polünoom $5x^4-x^3+2x^2$ polünoomist $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$:

$ 5x^4-16x^3+25x^2-2x+5-(5x^4-x^3+2x^2)=-15x^3+23x^2-2x+5 $$

Lisame selle polünoomi rea alla:

See lõpetab teise etapi. Saadud tulemuse saab kirjutada laiendatud kujul:

$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2)-15x^3+23x^2 -2x+5 $$

Kuna polünoomi $-15x^3+23x^2-2x+5$ (st 3) aste on suurem kui polünoomi $5x^2-x+2$ (st 2) aste, jätkame jagamist protsessi. Liigume edasi kolmanda sammu juurde.

Kolmas samm

Nüüd töötame polünoomidega $-15x^3+23x^2-2x+5$ ja $5x^2-x+2$. Täpselt samamoodi nagu eelmistes sammudes, jagame esimese polünoomi kõrgeima elemendi (st $-15x^3$) teise polünoomi kõrgeima elemendiga (st $5x^2$):

$$ \frac(-15x^3)(5x^2)=-3x^(2-1)=-3x^1=-3x. $$

Saadud avaldis $(-3x)$ on jagatise kolmas element. Lisame jagatisele $-3x$

Korrutage polünoom $5x^2-x+2$ väärtusega $(-3x)$, saades:

$$ -3x\cdot (5x^2-x+2)=-15x^3+3x^2-6x $$

Paneme tulemuse kirja:

Nüüd lahutage polünoom $-15x^3+3x^2-6x$ polünoomist $-15x^3+23x^2-2x+5$:

$$ -15x^3+23x^2-2x+5-(-15x^3+3x^2-6x)=20x^2+4x+5 $$

Lisame selle polünoomi rea alla:

See lõpetab kolmanda etapi. Saadud tulemuse saab kirjutada laiendatud kujul:

$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2-3x)+20x^2+4x +5 $$

Kuna polünoomi $20x^2+4x+5$ (st 2) aste on võrdne polünoomi $5x^2-x+2$ (st 2) astmega, jätkame jagamisprotsessi. Liigume edasi neljanda sammu juurde.

Neljas samm

Nüüd töötame polünoomidega $20x^2+4x+5$ ja $5x^2-x+2$. Täpselt samamoodi nagu eelmistes sammudes, jagame esimese polünoomi kõrgeima elemendi (st $20x^2$) teise polünoomi kõrgeima elemendiga (st $5x^2$):

$$ \frac(20x^2)(5x^2)=4x^(2-2)=4x^0=4. $$

Saadud arv $4$ on jagatise neljas element. Lisame jagatisele $4$

Korrutage polünoom $5x^2-x+2$ $4$-ga, saades:

$4 \cdot (5x^2-x+2)=20x^2-4x+8 $$

Paneme tulemuse kirja:

Nüüd lahutame polünoomi $20x^2-4x+8$ polünoomist $20x^2+4x+5$.