Leidke alamruumi alus ja mõõde. Lineaarsed ruumid
Lineaarruumi V nimetatakse n-mõõtmeline, kui selles on n lineaarselt sõltumatust vektorist koosnev süsteem ja mis tahes rohkematest vektoritest koosnev süsteem on lineaarselt sõltuv. Numbrit n kutsutakse mõõde (mõõtmete arv) lineaarruum V ja on tähistatud \operaatorinimi(dim)V. Teisisõnu, ruumi mõõde on selle ruumi lineaarselt sõltumatute vektorite maksimaalne arv. Kui selline arv on olemas, siis nimetatakse ruumi lõplikuks mõõtmeliseks. Kui mis tahes naturaalarvu n korral on ruumis V süsteem, mis koosneb n lineaarselt sõltumatust vektorist, siis nimetatakse sellist ruumi lõpmatumõõtmeliseks (kirjutage: \operaatorinimi(dim)V=\infty). Kui pole öeldud teisiti, käsitletakse järgnevas lõplikke ruume.
Alus N-mõõtmeline lineaarruum on järjestatud kogum n lineaarselt sõltumatut vektorit ( baasvektorid).
Teoreem 8.1 vektori laienemisest baasi järgi. Kui on n-mõõtmelise lineaarruumi V alus, siis saab mis tahes vektorit \mathbf(v)\in V esitada baasvektorite lineaarse kombinatsioonina:
\mathbf(v)=\mathbf(v)_1\cdot \mathbf(e)_1+\mathbf(v)_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+\mathbf(v)_n\cdot \mathbf(e)_n
ja pealegi ainsal viisil, s.o. koefitsiendid \mathbf(v)_1, \mathbf(v)_2,\ldots, \mathbf(v)_n määratakse üheselt. Teisisõnu, mis tahes ruumivektorit saab laiendada baasiks ja pealegi ainulaadsel viisil.
Tõepoolest, ruumi V mõõde on võrdne n-ga. Vektorsüsteem \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n lineaarselt sõltumatu (see on alus). Pärast mis tahes vektori \mathbf(v) lisamist alusele saame lineaarselt sõltuva süsteemi \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n, \mathbf(v)(kuna see süsteem koosneb (n+1) n-mõõtmelise ruumi vektoritest). Kasutades 7 lineaarselt sõltuva ja lineaarselt sõltumatu vektori omadust, saame teoreemi järelduse.
Järeldus 1. Kui \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n on ruumi V alus, siis V=\operaatorinimi(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n), st. lineaarruum on baasvektorite lineaarne ulatus.
Tegelikult võrdsuse tõestamiseks V=\operaatorinimi(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_n) kaks komplekti, piisab, kui näidata, et kandmisel V\subset \operaatorinimi(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n) ja täidetakse samaaegselt. Tõepoolest, ühest küljest kuulub igasugune lineaarruumi vektorite lineaarne kombinatsioon lineaarruumi endasse, s.t. \operaatorinimi(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n)\subset V. Teisest küljest saab teoreemi 8.1 järgi mis tahes ruumivektorit esitada baasvektorite lineaarse kombinatsioonina, s.t. V\subset \operaatorinimi(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). See tähendab vaadeldavate kogumite võrdsust.
Järeldus 2. Kui \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n- lineaarselt sõltumatut lineaarruumi V vektorite süsteemi ja mis tahes vektorit \mathbf(v)\in V saab esitada lineaarse kombinatsioonina (8.4): \mathbf(v)=v_1\mathbf(e)_1+ v_2\mathbf(e)_2+\ldots+v_n\mathbf(e)_n, siis ruumi V mõõde on n ja süsteem \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n on selle aluseks.
Tõepoolest, ruumis V on süsteem n lineaarselt sõltumatust vektorist ja mis tahes süsteem \mathbf(u)_1,\mathbf(u)_2,\ldots,\mathbf(u)_n suurema arvu vektorite (k>n) väärtus on lineaarselt sõltuv, kuna iga selle süsteemi vektorit väljendatakse lineaarselt vektorites \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. Tähendab, \operaatorinimi(dim) V=n Ja \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n- alus V.
Teoreem 8.2 vektorite süsteemi liitmise kohta alusele. Mis tahes lineaarselt sõltumatu süsteem k vektorist n-mõõtmelise lineaarruumi (1\leqslant k Tõepoolest, olgu n-mõõtmelises ruumis lineaarselt sõltumatu vektorite süsteem V~(1\leqslant k Märkused 8.4 1. Lineaarruumi alus määratakse mitmetähenduslikult. Näiteks kui \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_n on ruumi V alus, siis vektorite süsteem \lambda \mathbf(e)_1,\lambda \mathbf(e)_2,\ldots,\lambda \mathbf(e)_n iga \lambda\ne0 on samuti V aluseks. Alusvektorite arv sama lõpliku mõõtmelise ruumi erinevates alustes on loomulikult sama, kuna see arv on võrdne ruumi mõõtmega. 2. Mõnes ruumis, mida rakendustes sageli kohtab, nimetatakse üht võimalikku, praktilisest seisukohast mugavaimat alust standardseks. 3. Teoreem 8.1 lubab väita, et alus on lineaarse ruumi elementide terviklik süsteem selles mõttes, et mis tahes ruumivektorit väljendatakse lineaarselt alusvektorite kaudu. 4. Kui hulk \mathbb(L) on lineaarne ulatus \operaatorinimi(Lin)(\mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_k), siis vektorid \mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_k nimetatakse hulga \mathbb(L) generaatoriteks. Teoreemi 8.1 1. järeldus võrdsuse tõttu V=\operaatorinimi(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n) võimaldab meil öelda, et alus on minimaalne generaatorisüsteem lineaarruum V, kuna generaatorite arvu on võimatu vähendada (eemaldage hulgast vähemalt üks vektor \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n) võrdsust rikkumata V=\operaatorinimi(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). 5. Teoreem 8.2 lubab väita, et alus on maksimaalne lineaarselt sõltumatu vektorite süsteem lineaarne ruum, kuna alus on lineaarselt sõltumatu vektorite süsteem ja seda ei saa täiendada ühegi vektoriga ilma lineaarset sõltumatust kaotamata. 6. Teoreemi 8.1 järeldust 2 on mugav kasutada lineaarruumi aluse ja mõõtme leidmiseks. Mõnes õpikus on ette nähtud aluse määratlemine, nimelt: lineaarselt sõltumatu süsteem \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n lineaarse ruumi vektorite väärtust nimetatakse baasiks, kui mis tahes ruumi vektorit väljendatakse lineaarselt vektorites \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. Alusvektorite arv määrab ruumi mõõtme. Loomulikult on need määratlused samaväärsed ülaltoodud määratlustega. Näidakem ülalpool käsitletud lineaarruumide näidete mõõdet ja alust. 1. Nulllineaarruum \(\mathbf(o)\) ei sisalda lineaarselt sõltumatuid vektoreid. Seetõttu eeldatakse, et selle ruumi mõõde on null: \dim\(\mathbf(o)\)=0. Sellel ruumil pole alust. 2. Tühikute V_1,\,V_2,\,V_3 mõõtmed on vastavalt 1, 2, 3. Tõepoolest, ruumi V_1 iga nullist erinev vektor moodustab lineaarselt sõltumatu süsteemi (vt märkuste 8.2 punkt 1) ja ruumi V_1 mis tahes kaks nullist erinevat vektorit on kollineaarsed, s.t. lineaarselt sõltuv (vt näide 8.1). Järelikult \dim(V_1)=1 ja ruumi V_1 aluseks on mis tahes nullist erinev vektor. Samamoodi on tõestatud, et \dim(V_2)=2 ja \dim(V_3)=3 . Ruumi V_2 aluseks on mis tahes kaks mittekollineaarset vektorit, mis on võetud teatud järjekorras (üks neist peetakse esimeseks alusvektoriks, teist - teiseks). Ruumi V_3 aluseks on mis tahes kolm mittetasatasandilist (ei asu samal ega paralleelsel tasapinnal) vektorit, mis on võetud kindlas järjekorras. V_1 standardbaas on ühikuvektor \vec(i) real. V_2 standardbaas on aluseks \vec(i),\,\vec(j), mis koosneb kahest tasandi vastastikku risti asetsevast ühikvektorist. Aluseks loetakse standardbaas ruumis V_3 \vec(i),\,\vec(j),\,\vec(k), koosneb kolmest ühikvektorist, paarikaupa risti, moodustades parempoolse kolmiku. 3. Ruum \mathbb(R)^n ei sisalda rohkem kui n lineaarselt sõltumatut vektorit. Tegelikult võtame \mathbb(R)^n-st k veergu ja moodustame nendest maatriksi, mille suurus on n\ korda k. Kui k>n, siis on veerud teoreemi 3.4 järgi lineaarselt sõltuvad maatriksi auastmest. Seega \dim(\mathbb(R)^n)\leqslant n. Ruumis \mathbb(R)^n ei ole raske leida n lineaarselt sõltumatut veergu. Näiteks identiteedimaatriksi veerud \mathbf(e)_1=\begin(pmatrix)1\\0\\\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0\\1\ \\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \ldots,\quad \mathbf(e)_n= \begin(pmatrix) 0\\0\\\vdots\\1 \end(pmatrix)\ !. lineaarselt sõltumatu. Seega \dim(\mathbb(R)^n)=n. Ruumi \mathbb(R)^n nimetatakse n-mõõtmeline reaalne aritmeetiline ruum. Määratud vektorite kogumit peetakse ruumi \mathbb(R)^n standardaluseks. Samamoodi on tõestatud, et \dim(\mathbb(C)^n)=n, seetõttu nimetatakse ruumi \mathbb(C)^n n-mõõtmeline kompleksne aritmeetiline ruum. 4. Tuletame meelde, et mis tahes homogeense süsteemi Ax=o lahendit saab esitada kujul x=C_1\varphi_1+C_2\varphi_2+\ldots+C_(n-r)\varphi_(n-r), Kus r=\operaatorinimi(rg)A,a \varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)- fundamentaalne lahenduste süsteem. Seega \(Ax=o\)=\operaatorinimi(Lin) (\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)), st. homogeense süsteemi lahenduste ruumi \(Ax=0\) aluseks on selle põhilahenduste süsteem ja ruumi mõõde \dim\(Ax=o\)=n-r, kus n on tundmatute arv , ja r on süsteemimaatriksi aste. 5. Ruumis M_(2\time3) maatriksite suuruses 2\x3 saate valida 6 maatriksit: \begin(kogutud)\mathbf(e)_1= \begin(pmatrix)1&0&0\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0&1&0\\0&0&0\end( pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_3= \begin(pmatrix) 0&0&1\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\hfill\\ \mathbf(e)_4= \begin(pmatrix) 0&0&0\\ 1&0&0 \end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_5= \begin(pmatrix)0&0&0\\0&1&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)0&0&0 \\0&0&1\end(pmatrix)\!,\hfill \end(kogutud) \alpha_1\cdot \mathbf(e)_1+\alpha_2\cdot \mathbf(e)_2+\alpha_3\cdot \mathbf(e)_3+ \alpha_4\cdot \mathbf(e)_4+\alpha_5\cdot \mathbf+(te)_5+ \alpha_6\cdot \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\\ \alpha_4&\alpha_5&\alpha_6\end(pmaatriks) võrdne nullmaatriksiga ainult triviaalsel juhul \alpha_1=\alpha_2= \ldots= \alpha_6=0. Olles lugenud võrdsust (8.5) paremalt vasakule, järeldame, et mis tahes maatriks M_(2\time3)-st on lineaarselt väljendatud läbi valitud 6 maatriksi, st. M_(2\times)= \operaatorinimi(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6). Seega \dim(M_(2\times3))=2\cdot3=6 ja maatriksid \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6 on selle ruumi alus (standard). Samamoodi on tõestatud, et \dim(M_(m\times n))=m\cdot n. 6. Suvalise naturaalarvu n korral komplekskordajatega polünoomide ruumis P(\mathbb(C)) võib leida n lineaarselt sõltumatut elementi. Näiteks polünoomid \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=z, \mathbf(e)_3=z^2,\,\ldots, \mathbf(e)_n=z^(n-1) on lineaarselt sõltumatud, kuna nende lineaarne kombinatsioon a_1\cdot \mathbf(e)_1+a_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_n= a_1+a_2z+\ldots+a_nz^(n-1) võrdne nullpolünoomiga (o(z)\equiv0) ainult triviaalsel juhul a_1=a_2=\ldots=a_n=0. Kuna see polünoomide süsteem on iga naturaalarvu l korral lineaarselt sõltumatu, on ruum P(\mathbb(C)) lõpmatu mõõtmega. Samamoodi järeldame, et tegelike koefitsientidega polünoomide ruumil P(\mathbb(R)) on lõpmatu mõõde. N-st kõrgema astme polünoomide ruum P_n(\mathbb(R)) on lõplike mõõtmetega. Tõepoolest, vektorid \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=x, \mathbf(e)_3=x^2,\,\ldots, \mathbf(e)_(n+1)=x^n moodustavad selle ruumi (standardse) aluse, kuna need on lineaarselt sõltumatud ja mis tahes polünoomi P_n(\mathbb(R))-st saab esitada nende vektorite lineaarse kombinatsioonina: a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0=a_0\cdot \mathbf(e)_1+a_1 \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_(n+1)Lineaarruumide aluste näited
mis on lineaarselt sõltumatud. Tõepoolest, nende lineaarne kombinatsioon
7. Pidevate funktsioonide ruum C(\mathbb(R)) on lõpmata mõõtmetega. Tõepoolest, iga naturaalarvu n korral polünoomid 1,x,x^2,\ldots, x^(n-1), mida peetakse pidevateks funktsioonideks, moodustavad lineaarselt sõltumatud süsteemid (vt eelmist näidet).
Kosmoses T_(\omega)(\mathbb(R)) trigonomeetrilised binoomid (sagedusega \omega\ne0 ) reaalsete koefitsientide alusel moodustavad monoomi \mathbf(e)_1(t)=\sin\omega t,~\mathbf(e)_2(t)=\cos\omega t. Need on lineaarselt sõltumatud, kuna on identne võrdsus a\sin\omega t+b\cos\omega t\equiv0 võimalik ainult triviaalsel juhul (a=b=0) . Vormi mis tahes funktsioon f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t lineaarselt väljendatud põhiliste kaudu: f(t)=a\,\mathbf(e)_1(t)+b\,\mathbf(e)_2(t).
8. Hulgi X defineeritud reaalfunktsioonide ruum \mathbb(R)^X võib olenevalt X definitsioonipiirkonnast olla lõplik või lõpmatu mõõtmega. Kui X on lõplik hulk, siis ruum \mathbb(R)^X on lõpliku mõõtmega (näiteks X=\(1,2,\ldots,n\)). Kui X on lõpmatu hulk, siis ruum \mathbb(R)^X on lõpmatu mõõtmega (näiteks jadade ruum \mathbb(R)^N).
9. Ruumis \mathbb(R)^(+) võib aluseks võtta iga positiivse arvu \mathbf(e)_1, mis ei võrdu ühega. Võtame näiteks arvu \mathbf(e)_1=2 . Iga positiivset arvu r saab väljendada \mathbf(e)_1 kaudu, st. esindavad kujul \alpha\cdot \mathbf(e)_1\koolon r=2^(\log_2r)=\log_2r\ast2=\alpha_1\ast \mathbf(e)_1, kus \alpha_1=\log_2r . Seetõttu on selle ruumi mõõde 1 ja arv \mathbf(e)_1=2 on aluseks.
10. Lase \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n on reaalse lineaarruumi V alus. Määratleme V lineaarsed skalaarfunktsioonid, seades:
\mathcal(E)_i(\mathbf(e)_j)=\begin(cases)1,&i=j,\\ 0,&i\ne j.\end(juhtumid)
Sel juhul saame funktsiooni \mathcal(E)_i lineaarsuse tõttu suvalise vektori korral \mathcal(E)(\mathbf(v))=\sum_(j=1)^(n)v_j \mathcal(E)(\mathbf(e)_j)=v_i.
Seega on määratletud n elementi (kovektorit). \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2, \ldots, \mathcal(E)_n konjugaatruum V^(\ast) . Tõestame seda \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n- alus V^(\ast) .
Esiteks näitame, et süsteem \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n lineaarselt sõltumatu. Tõepoolest, võtame nende kovektorite lineaarse kombinatsiooni (\alpha_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n)(\mathbf(v))= ja võrdsusta see nullfunktsiooniga
\mathbf(o)(\mathbf(v))~~ (\mathbf(o)(\mathbf(v))=0~ \forall \mathbf(v)\in V)\colon~ \alpha_1\mathcal(E )_1(\mathbf(v))+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n(\mathbf(v))= \mathbf(o)(\mathbf(v))=0~~\forall \mathbf(v )\V-s.
Selle võrdsuse asendamine \mathbf(v)=\mathbf(e)_i,~ i=1,\ldots,n, saame \alpha_1=\alpha_2\cdot= \alpha_n=0. Seega elementide süsteem \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots,\mathcal(E)_n ruum V^(\ast) on lineaarselt sõltumatu, kuna võrdsus \alpha_1\mathcal(E)_1+\ldots+ \alpha_n\mathcal(E)_n =\mathbf(o) võimalik ainult triviaalsel juhul.
Teiseks tõestame, et mis tahes lineaarset funktsiooni f\in V^(\ast) saab esitada kovektorite lineaarse kombinatsioonina \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n. Tõepoolest, iga vektori jaoks \mathbf(v)=v_1 \mathbf(e)_1+v_2 \mathbf(e)_2+\ldots+v_n \mathbf(e)_n funktsiooni f lineaarsuse tõttu saame:
\begin(joonatud)f(\mathbf(v))&= f(v_1 \mathbf(e)_1+\ldots+v_n \mathbf(e)_n)= v_1 f(\mathbf(e)_1)+\ldots+ v_n f(\mathbf(e)_n)= f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1(\mathbf(v))+ \ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E) _n (\mathbf(v))=\\ &=(f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1+\ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E)_n)(\mathbf ( v))= (\beta_1\mathcal(E)_1+ \ldots+\beta_n\mathcal(E)_n) (\mathbf(v)),\end(joondatud)
need. funktsioon f on esitatud lineaarse kombinatsioonina f=\beta_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\beta_n\mathcal(E)_n funktsioonid \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n(numbrid \beta_i=f(\mathbf(e)_i)- lineaarsed kombinatsiooni koefitsiendid). Seetõttu kovektorisüsteem \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n on duaalruumi V^(\ast) alus ja \dim(V^(\ast))=\dim(V)(lõplikumõõtmelise ruumi V jaoks).
Kui märkate viga, kirjavigu või teil on ettepanekuid, kirjutage kommentaaridesse.
Kui uurisime n-mõõtmelise vektori mõisteid ja tutvustasime vektoritega tehteid, saime teada, et kõigi n-mõõtmeliste vektorite hulk genereerib lineaarse ruumi. Selles artiklis räägime kõige olulisematest seotud mõistetest - vektorruumi mõõtmest ja alusest. Vaatleme ka teoreemi suvalise vektori alusteks laiendamise ja n-mõõtmelise ruumi erinevate aluste vahelise seose kohta. Uurime üksikasjalikult tüüpiliste näidete lahendusi.
Leheküljel navigeerimine.
Vektorruumi ja aluse dimensiooni mõiste.
Vektorruumi mõõtme ja aluse mõisted on otseselt seotud lineaarselt sõltumatu vektorite süsteemi mõistega, seega soovitame vajadusel viidata artiklile vektorite süsteemi lineaarne sõltuvus, lineaarse sõltuvuse ja sõltumatuse omadused. .
Definitsioon.
Vektorruumi mõõde on arv, mis on võrdne selles ruumis olevate lineaarselt sõltumatute vektorite maksimaalse arvuga.
Definitsioon.
Vektorruumi alus on selle ruumi lineaarselt sõltumatute vektorite järjestatud kogum, mille arv on võrdne ruumi mõõtmega.
Toome nende definitsioonide põhjal mõned põhjendused.
Vaatleme n-mõõtmeliste vektorite ruumi.
Näitame, et selle ruumi mõõde on n.
Võtame n vormi ühikuvektori süsteemi
Võtame need vektorid maatriksi A ridadena. Sel juhul on maatriks A identsusmaatriks mõõtmetega n x n. Selle maatriksi auaste on n (vajadusel vaadake artiklit). Seetõttu vektorite süsteem 
on lineaarselt sõltumatu ja sellesse süsteemi ei saa lisada ühtegi vektorit ilma selle lineaarset sõltumatust rikkumata. Kuna vektorite arv süsteemis võrdub siis n-ga n-mõõtmeliste vektorite ruumi mõõde on n ja ühikvektorid on selle ruumi aluseks.
Viimasest väitest ja aluse määratlusest võime järeldada, et mis tahes n-mõõtmeliste vektorite süsteem, mille vektorite arv on väiksem kui n, ei ole aluseks.
Nüüd vahetame süsteemi esimese ja teise vektori . Lihtne on näidata, et saadud vektorite süsteem 
on ka n-mõõtmelise vektorruumi aluseks. Loome maatriksi, võttes selle süsteemi ridadeks vektorid. Selle maatriksi saab identiteedimaatriksist esimest ja teist rida vahetades, seega on selle auaste n. Seega n vektori süsteem on lineaarselt sõltumatu ja on n-mõõtmelise vektorruumi aluseks.
Kui paigutame ümber süsteemi teised vektorid , siis saame teise aluse.
Kui võtta lineaarselt sõltumatu mitteühikvektorite süsteem, siis on see ka n-mõõtmelise vektorruumi aluseks.
Seega n-mõõtmelisel vektorruumil on nii palju aluseid, kui on lineaarselt sõltumatuid süsteeme n n-mõõtmelisest vektorist.
Kui me räägime kahemõõtmelisest vektorruumist (st tasapinnast), siis on selle aluseks suvalised kaks mittekollineaarset vektorit. Kolmemõõtmelise ruumi aluseks on mis tahes kolm mittetasatasandilist vektorit.
Vaatame mõnda näidet.
Näide.
Kas vektorid on kolmemõõtmelise vektorruumi aluseks?
Lahendus.
Uurime seda vektorite süsteemi lineaarse sõltuvuse jaoks. Selleks loome maatriksi, mille ridadeks on vektorite koordinaadid, ja leiame selle järjestuse: 
Seega on vektorid a, b ja c lineaarselt sõltumatud ja nende arv on võrdne vektorruumi mõõtmega, seega on nad selle ruumi aluseks.
Vastus:
Jah nad on.
Näide.
Kas vektorite süsteem võib olla vektorruumi aluseks?
Lahendus.
See vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv, kuna lineaarselt sõltumatute kolmemõõtmeliste vektorite maksimaalne arv on kolm. Järelikult ei saa see vektorite süsteem olla kolmemõõtmelise vektorruumi aluseks (kuigi aluseks on algse vektorite süsteemi alamsüsteem).
Vastus:
Ei ta ei saa.
Näide.
Veenduge, et vektorid 
võib olla neljamõõtmelise vektorruumi aluseks.
Lahendus.
Loome maatriksi, võttes selle ridadeks algsed vektorid: 
Leiame: 
Seega on vektorite süsteem a, b, c, d lineaarselt sõltumatu ja nende arv on võrdne vektorruumi mõõtmega, seetõttu on selle aluseks a, b, c, d.
Vastus:
Algsed vektorid on tõepoolest neljamõõtmelise ruumi aluseks.
Näide.
Kas vektorid moodustavad 4-mõõtmelise vektorruumi aluse?
Lahendus.
Isegi kui algne vektorite süsteem on lineaarselt sõltumatu, ei piisa selles olevate vektorite arvust, et olla neljamõõtmelise ruumi aluseks (sellise ruumi alus koosneb 4 vektorist).
Vastus:
Ei, ei ole.
Vektori lagunemine vektoriruumi aluse järgi.
Olgu suvalised vektorid on n-mõõtmelise vektorruumi aluseks. Kui lisada neile mingi n-mõõtmeline vektor x, siis on saadud vektorite süsteem lineaarselt sõltuv. Lineaarse sõltuvuse omadustest teame, et vähemalt üks lineaarselt sõltuva süsteemi vektor väljendub lineaarselt teiste kaudu. Teisisõnu, vähemalt üks lineaarselt sõltuva süsteemi vektoritest laiendatakse ülejäänud vektoriteks.
See viib meid väga olulise teoreemi juurde.
Teoreem.
Iga n-mõõtmelise vektorruumi vektori saab unikaalselt lagundada baasiks.
Tõestus.
Lase - n-mõõtmelise vektorruumi alus. Lisame nendele vektoritele n-mõõtmelise vektori x. Siis on saadud vektorite süsteem lineaarselt sõltuv ja vektorit x saab lineaarselt väljendada vektorites : , kus on mõned numbrid. Nii saime vektori x laienduse aluse suhtes. Jääb veel tõestada, et see lagunemine on ainulaadne.
Oletame, et on veel üks lagunemine, kus 
- mõned numbrid. Viimase võrrandi vasakust ja paremast küljest lahutame vastavalt võrdsuse vasak ja parem pool:
Kuna baasvektorite süsteem on lineaarselt sõltumatu, siis vektorite süsteemi lineaarse sõltumatuse definitsiooni järgi on saadud võrdsus võimalik ainult siis, kui kõik koefitsiendid on võrdsed nulliga. Seetõttu , mis tõestab vektori lagunemise unikaalsust aluse suhtes.
Definitsioon.
Koefitsiente nimetatakse vektori x koordinaadid baasis .
Olles tutvunud teoreemiga vektori baasiks lagunemise kohta, hakkame mõistma avaldise "meile on antud n-mõõtmeline vektor" olemust. 
" See avaldis tähendab, et me käsitleme x n -mõõtmelise vektorruumi vektorit, mille koordinaadid on määratletud mingil alusel. Samal ajal saame aru, et n-mõõtmelise vektorruumi teises aluses oleva sama vektori x koordinaadid erinevad .
Vaatleme järgmist probleemi.
Olgu meile antud n lineaarselt sõltumatust vektorist koosnev süsteem n-mõõtmelise vektorruumi mõnel alusel 
ja vektor . Siis vektorid on ka selle vektorruumi aluseks.
Peame leidma baasist vektori x koordinaadid . Tähistame need koordinaadid kui .
Vektor x baasis on idee. Kirjutame selle võrdsuse koordinaatide kujul:
See võrdsus on samaväärne n lineaarse algebralise võrrandi süsteemiga n tundmatu muutujaga :
Selle süsteemi põhimaatriksil on vorm 
Tähistame seda tähega A. Maatriksi A veerud tähistavad lineaarselt sõltumatu vektorisüsteemi vektoreid , seega on selle maatriksi auaste n, seega on selle determinant nullist erinev. See asjaolu näitab, et võrrandisüsteemil on ainulaadne lahendus, mille saab leida mis tahes meetodiga, näiteks või.
Nii leitakse vajalikud koordinaadid vektor x baasis .
Vaatame teooriat näidete abil.
Näide.
Mõnes kolmemõõtmelise vektorruumi aluses vektorid 
Veendu, et vektorite süsteem on ühtlasi selle ruumi aluseks ja leia sellest baasist vektori x koordinaadid.
Lahendus.
Et vektorite süsteem oleks kolmemõõtmelise vektorruumi aluseks, peab see olema lineaarselt sõltumatu. Selgitame selle välja maatriksi A astme määramisega, mille read on vektorid. Leiame auastme Gaussi meetodil 
seega Rank(A) = 3, mis näitab vektorite süsteemi lineaarset sõltumatust.
Niisiis, vektorid on aluseks. Olgu vektoril x selles baasis koordinaadid. Seejärel, nagu eespool näitasime, annab selle vektori koordinaatide vahelise seose võrrandisüsteem 
Asendades sellesse tingimusest teada olevad väärtused, saame 
Lahendame selle Crameri meetodil: 
Seega on vektoril x baasis koordinaadid 
.
Vastus:
Näide.
Mingil alusel 
neljamõõtmelisest vektorruumist on antud lineaarselt sõltumatu vektorite süsteem 
On teada, et 
. Leia baasist vektori x koordinaadid .
Lahendus.
Kuna vektorite süsteem 
tingimuselt lineaarselt sõltumatu, siis on see neljamõõtmelise ruumi alus. Siis võrdsus tähendab, et vektor x baasis on koordinaadid. Tähistame vektori x koordinaadid baasis Kuidas .
Võrrandisüsteem, mis määratleb vektori x koordinaatide vahelise seose alustes Ja paistab nagu 
Asendame sellesse teadaolevad väärtused ja leiame vajalikud koordinaadid: 
Vastus:
.
Aluste vaheline seos.
Olgu kaks lineaarselt sõltumatut vektorisüsteemi antud mingis n-mõõtmelise vektorruumi aluses 
Ja
ehk need on ka selle ruumi alused.
Kui 
- vektori koordinaadid baasis , siis koordinaatide ühendus 
Ja on antud lineaarsete võrrandite süsteemiga (me rääkisime sellest eelmises lõigus): 
, mille maatrikskujul saab kirjutada kui 
Samamoodi saame kirjutada vektori kohta 
Eelmised maatriksvõrdused saab ühendada üheks, mis sisuliselt määratleb kahe erineva aluse vektorite vahelise seose 
Samamoodi saame väljendada kõiki baasvektoreid aluse kaudu 
:
Definitsioon.
Maatriks 
helistas üleminekumaatriks aluselt alusele , siis on võrdsus tõsi 
Korrutades selle võrdsuse mõlemad pooled paremalt poolt
saame 
Leiame üleminekumaatriksi, kuid me ei peatu üksikasjalikult pöördmaatriksi leidmisel ja maatriksite korrutamisel (vt artikleid ja vajadusel): 
Jääb välja selgitada vektori x koordinaatide seos antud alustes.
Olgu siis vektoril x koordinaadid baasis 
ja aluses on vektoril x koordinaadid , siis 
Kuna kahe viimase võrdsuse vasakpoolsed küljed on samad, saame paremad pooled võrdsustada: 
Kui me korrutame mõlemad parempoolsed küljed arvuga
siis saame 
Teisel pool 
(leia pöördmaatriks ise).
Kaks viimast võrdsust annavad meile vajaliku seose vektori x koordinaatide vahel alustes ja .
Vastus:
Üleminekumaatriksil baasilt alusele on vorm 
;
vektori x koordinaadid alustes ja on seotud suhetega 
või .
Uurisime vektorruumi dimensiooni ja baasi mõisteid, õppisime vektorit baasiks lammutama ning avastasime üleminekumaatriksi kaudu seose n-mõõtmelise vektorruumi erinevate aluste vahel.
P Ja A– alamhulk L. Kui A ise moodustab lineaarse ruumi üle välja P samade toimingute kohta nagu L, See A nimetatakse ruumi alamruumiks L.Lineaarruumi definitsiooni järgi nii et A oli alamruum, mille teostatavust on vaja kontrollida A toimingud:
1) : 
;
2) 
: 
;
ja kontrollige, kas toimingud on tehtud A alluvad kaheksale aksioomile. Viimane jääb aga üleliigseks (tänu sellele, et need aksioomid kehtivad L-s), st. järgnev on tõsi
Teoreem. Olgu L lineaarruum üle välja P ja 
. Hulk A on L alamruum siis ja ainult siis, kui on täidetud järgmised nõuded:
avaldus. Kui L – n-mõõtmeline lineaarruum ja A selle alamruum siis A on ka lõpliku mõõtmega lineaarruum ja selle mõõde ei ületa n.
P 
näide 1.
Kas lõiguvektorite V 2 ruumi alamruum on kõigi tasapinnaliste vektorite hulk S, millest igaüks asub ühel koordinaatteljel 0x või 0y?
Lahendus: Lase 
, 
Ja 
, 
. Siis 
. Seetõttu ei ole S alamruum 
.
Näide 2. On lineaarse ruumi lineaarne alamruum V 2 tasapinnaliste segmentide vektoreid on palju S kõik tasapinnalised vektorid, mille algus ja lõpp asuvad antud sirgel l see lennuk?
Lahendus.
E 
sli vektor 
korrutada reaalarvuga k, siis saame vektori 
, mis kuulub ka S. If 
Ja 
on kaks vektorit S-st, siis 
(vastavalt sirgjoonel vektorite liitmise reeglile). Seetõttu on S alamruum 
.
Näide 3. On lineaarse ruumi lineaarne alamruum V 2 trobikond A kõik tasapinnalised vektorid, mille otsad asuvad antud sirgel l, (oletame, et mis tahes vektori alguspunkt langeb kokku koordinaatide alguspunktiga)?
R 
otsus.
Juhul, kui sirgjoon l komplekt ei läbi päritolu A ruumi lineaarne alamruum V 2
ei ole, sest 
.
Juhul, kui sirgjoon l
läbib päritolu, seatud A on ruumi lineaarne alamruum V 2
,
sest 
ja mis tahes vektori korrutamisel 
reaalarvuni α
põllult R saame 
. Seega lineaarse ruumi nõuded komplektile A lõpetatud.
Näide 4. Olgu vektorite süsteem antud 
lineaarruumist Lüle põllu P. Tõesta, et kõigi võimalike lineaarsete kombinatsioonide hulk 
koefitsientidega 
alates P on alamruum L(see on alamruum A nimetatakse alamruumiks, mille genereerib vektorite süsteem või lineaarne kest see vektorsüsteem, ja tähistatakse järgmiselt: 
või 
).
Lahendus. Tõepoolest, alates , siis mis tahes elementide puhul x,
y
A meil on: 
, 
, Kus 
, 
. Siis
Sellest ajast 
, Sellepärast 
.
Kontrollime, kas teoreemi teine tingimus on täidetud. Kui x– mis tahes vektor alates A Ja t– mis tahes number alates P, See. Kuna 
Ja 
,, See 
, , Sellepärast 
. Seega vastavalt teoreemile hulk A– lineaarruumi alamruum L.
Lõpliku mõõtmega lineaarruumide puhul kehtib ka vastupidi.
Teoreem. Mis tahes alamruum A lineaarne ruum Lüle põllu 
on mõne vektorisüsteemi lineaarne ulatus.
Lineaarse kesta aluse ja mõõtme leidmise ülesande lahendamisel kasutatakse järgmist teoreemi.
Teoreem. Lineaarne kesta alus 
langeb kokku vektorsüsteemi alusega. Lineaarse kesta mõõde langeb kokku vektorite süsteemi astmega.
Näide 4. Leidke alamruumi alus ja mõõde 
lineaarne ruum R 3
[
x]
, Kui 
, 
, 
, 
.
Lahendus. On teada, et vektoritel ja nende koordinaadiridadel (veerudel) on samad omadused (lineaarse sõltuvuse suhtes). Maatriksi tegemine A=
vektorite koordinaatide veergudest 
alusel 
.
Leiame maatriksi auaste A.
. M 3
=
. 
.
Seetõttu auaste r(A)=
3. Seega on vektorite süsteemi aste 3. See tähendab, et alamruumi S mõõde on 3 ja selle alus koosneb kolmest vektorist 
(kuna põhi-moll 
kaasatakse ainult nende vektorite koordinaadid).
Näide 5. Tõesta, et komplekt H aritmeetilised ruumivektorid 
, mille esimene ja viimane koordinaat on 0, moodustab lineaarse alamruumi. Leidke selle alus ja mõõde.
Lahendus. Lase 
.
Siis ja . Seega 
iga . Kui 
, 
, See. Seega lineaarse alamruumi teoreemi järgi hulk H on ruumi lineaarne alamruum. Leiame aluse H. Vaatleme järgmisi vektoreid alates H: 
, 
, . See vektorite süsteem on lineaarselt sõltumatu. Tõepoolest, las olla.
Lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemid
Probleemi sõnastamine. Leidke mingi alus ja määrake süsteemi lineaarse lahendusruumi mõõde
Lahendusplaan.
1. Kirjutage üles süsteemimaatriks:
ja elementaarteisendusi kasutades teisendame maatriksi kolmnurkseks, s.t. sellisele kujule, kui kõik põhidiagonaalist allpool olevad elemendid on võrdsed nulliga. Süsteemi maatriksi järjestus võrdub lineaarselt sõltumatute ridade arvuga, st meie puhul nende ridade arvuga, millesse jäävad nullist erinevad elemendid:
Lahendusruumi mõõde on . Kui , siis on homogeensel süsteemil üks nulllahendus, kui , siis on süsteemil lõpmatu arv lahendeid.
2. Valige põhi- ja vabamuutujad. Vabad muutujad on tähistatud . Seejärel väljendame põhimuutujaid vabadena, saades nii homogeense lineaarvõrrandisüsteemi üldlahenduse.
3. Kirjutame süsteemi lahendusruumi aluse, määrates järjest ühe vaba muutuja võrdseks ühega ja ülejäänud võrdseks nulliga. Süsteemi lineaarse lahendusruumi mõõde on võrdne baasvektorite arvuga.
Märge. Elementaarsed maatriksiteisendused hõlmavad järgmist:
1. stringi korrutamine (jagamine) nullist erineva teguriga;
2. mis tahes reale teise rea lisamine, mis on korrutatud mis tahes arvuga;
3. liinide ümberpaigutamine;
4. veergude teisendused 1–3 (lineaarvõrrandisüsteemide lahendamise puhul veergude elementaarteisendusi ei kasutata).
3. ülesanne. Leidke mingi alus ja määrake süsteemi lineaarse lahendusruumi mõõde.
Kirjutame välja süsteemi maatriksi ja taandame elementaarsete teisenduste abil kolmnurkseks:
Oletame siis
1. Laske alamruum L = L(A 1 , A 2 , …, ja m) , see on L– süsteemi lineaarne kest A 1 , A 2 , …, ja m; vektorid A 1 , A 2 , …, ja m– selle alamruumi generaatorite süsteem. Siis alus L on vektorite süsteemi aluseks A 1 , A 2 , …, ja m, see tähendab generaatorite süsteemi alust. Mõõtmed L võrdne generaatorite süsteemi astmega.
2. Laske alamruum L on alamruumide summa L 1 ja L 2. Summa jaoks alamruumide genereerimise süsteemi saab saada alamruumide genereerimise süsteemide kombineerimisel, mille järel leitakse summa alus. Summa suurus määratakse järgmise valemiga:
hämar(L 1 + L 2) = dimL 1 + dimL 2 – hämar(L 1 Ç L 2).
3. Olgu alamruumide summa L 1 ja L 2 on sirge, see tähendab L = L 1 Å L 2. Kus L 1 Ç L 2 = {O) Ja hämar(L 1 Ç L 2) = 0. Otsesumma alus võrdub liikmete aluste ühendusega. Otsese summa mõõde on võrdne terminite mõõtmete summaga.
4. Toome olulise näite alamruumist ja lineaarsest kollektorist.
Mõelge homogeensele süsteemile m lineaarvõrrandid n teadmata. Palju lahendusi M Selle süsteemi 0 on komplekti alamhulk Rn ja on suletud vektorite liitmise ja reaalarvuga korrutamise all. See tähendab, et neid on palju M 0 – ruumi alamruum Rn. Alamruumi aluseks on homogeense süsteemi põhilahenduste kogum, alamruumi mõõde võrdub vektorite arvuga süsteemi põhilahenduste hulgas.
Trobikond Mühised süsteemilahendused m lineaarvõrrandid n tundmatud on samuti hulga alamhulk Rn ja võrdne hulga summaga M 0 ja vektor A, Kus A on algse süsteemi ja komplekti mingi konkreetne lahendus M 0 – selle süsteemiga kaasneva homogeense lineaarvõrrandisüsteemi lahenduste kogum (erineb algsest ainult vabade mõistete poolest),
M = A + M 0 = {A = m, m Î M 0 }.
See tähendab, et paljud M on ruumi lineaarne kollektor Rn nihkevektoriga A ja suund M 0 .
Näide 8.6. Leidke homogeense lineaarvõrrandisüsteemiga määratletud alamruumi alus ja mõõde:
Lahendus. Leiame sellele süsteemile ja selle põhilahenduste komplektile üldise lahenduse: 
Koos 1 = (–21, 12, 1, 0, 0), Koos 2 = (12, –8, 0, 1, 0), Koos 3 = (11, –8, 0, 0, 1).
Alamruumi aluse moodustavad vektorid Koos 1 , Koos 2 , Koos 3, selle mõõde on kolm.
Töö lõpp -
See teema kuulub jaotisesse:
Lineaaralgebra
N. Nekrasovi nimeline Kostroma Riiklik Ülikool.
Kui vajate sellel teemal lisamaterjali või te ei leidnud seda, mida otsisite, soovitame kasutada otsingut meie tööde andmebaasis:
Mida teeme saadud materjaliga:
Kui see materjal oli teile kasulik, saate selle oma sotsiaalvõrgustike lehele salvestada:
| Säuts |
Kõik selle jaotise teemad:
BBK 22.174ya73-5
M350 Avaldatud KSU nimelise toimetuse ja kirjastusnõukogu otsusega. N. A. Nekrasova Arvustaja A. V. Tšerednikov
BBK 22.174ya73-5
ã T. N. Matytsina, E. K. Korževina 2013 ã KSU nimeline. N. A. Nekrasova, 2013
Liit (või summa)
Definitsioon 1.9 Hulkade A ja B liit on hulk A È B, mis koosneb nendest ja ainult nendest elementidest, mis kuuluvad, kuigi
Ristmik (või toode)
Definitsioon 1.10. Hulkade A ja B ristumiskohaks on hulk A Ç B, mis koosneb nendest ja ainult nendest samasse kuuluvatest elementidest
Erinevus
Definitsioon 1.11 Hulkade A ja B erinevus on hulk A B, mis koosneb nendest ja ainult nendest elementidest, mis kuuluvad hulka A
Descartes'i toode (või otsetoode)
Definitsioon 1.14. Järjestatud paar (või paar) (a, b) on kaks elementi a, b teatud järjekorras. Paarid (a1
Komplekttehte omadused
Ühenduse, lõikepunkti ja täienduse tehte omadusi nimetatakse mõnikord ka hulga algebra seadusteks. Loetleme hulgaga tehtavate põhiomadused. Olgu antud universaalne hulk U
Matemaatilise induktsiooni meetod
Matemaatilise induktsiooni meetodit kasutatakse väidete tõestamiseks, mille sõnastamisel osaleb loomulik parameeter n. Matemaatilise induktsiooni meetod - matemaatika tõestamise meetod
Keerulised numbrid
Arvu mõiste on inimkultuuri üks peamisi saavutusi. Kõigepealt ilmusid naturaalarvud N = (1, 2, 3, …, n, …), seejärel täisarvud Z = (…, –2, –1, 0, 1, 2, …), ratsionaalne Q
Kompleksarvude geomeetriline tõlgendamine
On teada, et negatiivsed arvud võeti kasutusele seoses lineaarvõrrandite lahendamisega ühes muutujas. Konkreetsete ülesannete puhul tõlgendati eitavat vastust suunasuuruse väärtusena (
Kompleksarvu trigonomeetriline kuju
Vektorit saab määrata mitte ainult koordinaatidega ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis, vaid ka pikkuse ja
Tehted kompleksarvudega trigonomeetrilisel kujul
Kompleksarvudega on mugavam teha liitmist ja lahutamist algebralisel kujul ning korrutamist ja jagamist trigonomeetrilisel kujul. 1. Korrutamine Olgu antud kaks k
Astendamine
Kui z = r(cosj + i×sinj), siis zn = rn(cos(nj) + i×sin(nj)), kus n Î
Kompleksarvu eksponentsiaalne kuju
Matemaatilisest analüüsist on teada, et e = , e on irratsionaalne arv. Eile
Suhte kontseptsioon
Definitsioon 2.1. N-aarne (või n-aarne) seos P hulkadel A1, A2, …, An on mis tahes alamhulk
Binaarsete suhete omadused
Olgu binaarne seos P defineeritud mittetühjal hulgal A, st P Í A2. Definitsioon 2.9 Binaarne seos P hulgal
Ekvivalentsuseos
Definitsioon 2.15. Binaarseost hulgal A nimetatakse ekvivalentseosteks, kui see on refleksiivne, sümmeetriline ja transitiivne. Suhte ekvivalent
Funktsioonid
Definitsioon 2.20 Binaarset seost ƒ Í A ´ B nimetatakse funktsiooniks hulgast A hulgast B, kui mis tahes x korral
Üldmõisted
Definitsioon 3.1. Maatriks on ristkülikukujuline arvutabel, mis sisaldab m rida ja n veergu. Arve m ja n nimetatakse järjekorraks (või
Sama tüüpi maatriksite lisamine
Lisada saab ainult sama tüüpi maatrikseid. Definitsioon 3.12. kahe maatriksi A = (aij) ja B = (bij) summa, kus i = 1,
Maatriksi liitmise omadused
1) kommutatiivsus: "A, B: A + B = B + A; 2) assotsiatiivsus: "A, B, C: (A + B) + C = A
Maatriksi korrutamine arvuga
Definitsioon 3.13. Maatriksi A = (aij) korrutis reaalarvuga k on maatriks C = (сij), mille korral
Maatriksi arvuga korrutamise omadused
1) " A: 1 × A = A; 2) " α, β О R, " A: (αβ) × A = α × (β × A) = β ×
Maatrikskorrutis
Defineerime kahe maatriksi korrutise; Selleks on vaja kasutusele võtta mõned täiendavad mõisted. Definitsioon 3.14. Maatriksit A ja B nimetatakse konsistentseks
Maatrikskorrutamise omadused
1) Maatrikskorrutis ei ole kommutatiivne: A×B ≠ B×A. Seda omadust saab demonstreerida näidetega. Näide 3.6. A)
Maatriksite transponeerimine
Definitsioon 3.16. Maatriksit At, mis saadakse antud maatriksist, asendades iga selle rea sama numbriga veeruga, nimetatakse transponeerituks antud maatriksisse A
Teist ja kolmandat järku maatriksite determinandid
Iga n-järku ruutmaatriks A on seotud arvuga, mida nimetatakse selle maatriksi determinandiks. Nimetus: D, |A|, det A,
Definitsioon 4.6.
1. Kui n = 1, koosneb maatriks A ühest arvust: |A| = a11. 2. Olgu teada (n – 1) maatriksi determinant. 3. Defineeri
Determinantide omadused
3-st suuremate järkude determinantide arvutamiseks kasutatakse determinantide omadusi ja Laplace'i teoreemi. Teoreem 4.1 (Laplace). Ruutmaatriksi determinant
Determinantide praktiline arvutamine
Üks viis kolmest kõrgema järjekorra määrajate arvutamiseks on laiendada seda mõne veeru või rea peale. Näide 4.4 Arvutage determinant D =
Maatriksi astme mõiste
Olgu A maatriks mõõtmega m ´ n. Valime selles maatriksis suvaliselt k rida ja k veergu, kus 1 ≤ k ≤ min(m, n).
Maatriksi auastme leidmine alaealiste ääristamise meetodil
Üks maatriksi auastme leidmise meetodeid on alaealiste loendamise meetod. See meetod põhineb maatriksi järjestuse määramisel. Meetodi olemus on järgmine. Kui on vähemalt üks element ma
Maatriksi järgu leidmine elementaarteisenduste abil
Vaatleme teist võimalust maatriksi auastme leidmiseks. Definitsioon 5.4. Maatriksi elementaarteisendusteks nimetatakse järgmisi teisendusi: 1. korrutada
Pöördmaatriksi mõiste ja selle leidmise meetodid
Olgu antud ruutmaatriks A. Definitsioon 5.7. Maatriksit A–1 nimetatakse maatriksi A pöördväärtuseks, kui A×A–1
Algoritm pöördmaatriksi leidmiseks
Vaatleme ühte võimalust antud maatriksi pöördmaatriksi leidmiseks algebraliste liitmiste abil. Olgu antud ruutmaatriks A. 1. Leidke maatriksi |A| determinant. EL
Pöördmaatriksi leidmine elementaarteisenduste abil
Vaatleme teist võimalust pöördmaatriksi leidmiseks elementaarteisenduste abil. Sõnastame vajalikud mõisted ja teoreemid. Definitsioon 5.11 Maatriks nime järgi
Crameri meetod
Vaatleme lineaarsete võrrandite süsteemi, milles võrrandite arv on võrdne tundmatute arvuga, st m = n ja süsteemil on vorm:
Pöördmaatriksmeetod
Pöördmaatriksi meetod on rakendatav lineaarvõrrandisüsteemidele, milles võrrandite arv on võrdne tundmatute arvuga ja põhimaatriksi determinant ei ole võrdne nulliga. Süsteemi tähistuse maatriksvorm
Gaussi meetod
Selle meetodi kirjeldamiseks, mis sobib suvaliste lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks, on vaja uusi mõisteid. Definitsioon 6.7. Võrrand kujul 0×
Gaussi meetodi kirjeldus
Gaussi meetod – tundmatute järjestikuse kõrvaldamise meetod – seisneb selles, et elementaarteisenduste abil taandatakse algne süsteem samaväärseks astmelise või t süsteemiga.
Lineaarvõrrandisüsteemi uurimine
Lineaarvõrrandisüsteemi uurimine tähendab süsteemi lahendamata vastamist küsimusele: kas süsteem on järjepidev või mitte ja kui on järjekindel, siis mitu lahendust sellel on? Vasta sellele sisse
Homogeensed lineaarvõrrandisüsteemid
Definitsioon 6.11 Lineaarvõrrandisüsteemi nimetatakse homogeenseks, kui selle vabad liikmed on võrdsed nulliga. M lineaarvõrrandi homogeenne süsteem
Homogeense lineaarvõrrandisüsteemi lahendite omadused
1. Kui vektor a = (a1, a2, …, an) on homogeense süsteemi lahendus, siis vektor k×a = (k×a1, k&t
Homogeense lineaarvõrrandisüsteemi põhilahenduste kogum
Olgu M0 homogeense lineaarvõrrandisüsteemi (4) lahenduste hulk. Definitsioon 6.12 Vektorid c1, c2, ..., c
Vektorite süsteemi lineaarne sõltuvus ja sõltumatus
Olgu a1, a2, …, аm m n-mõõtmelise vektori hulk, mida tavaliselt nimetatakse vektorite süsteemiks, ja k1
Vektorite süsteemi lineaarse sõltuvuse omadused
1) Nullvektorit sisaldav vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv. 2) Vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv, kui mõni selle alamsüsteem on lineaarselt sõltuv. Tagajärg. Kui si
Ühikvektori süsteem
Definitsioon 7.13. Ühikvektorite süsteem ruumis Rn on vektorite süsteem e1, e2, …, en
Kaks teoreemi lineaarse sõltuvuse kohta
Teoreem 7.1. Kui suuremat vektorite süsteemi väljendatakse lineaarselt läbi väiksema, siis suurem süsteem on lineaarselt sõltuv. Sõnastame selle teoreemi üksikasjalikumalt: olgu a1
Vektorsüsteemi alus ja järk
Olgu S vektorite süsteem ruumis Rn; see võib olla kas lõplik või lõpmatu. S" on süsteemi S alamsüsteem, S" Ì S. Anname kaks
Vektorsüsteemi auaste
Anname vektorite süsteemi astme kaks ekvivalentset definitsiooni. Definitsioon 7.16. Vektorite süsteemi aste on vektorite arv selle süsteemi mis tahes alusel.
Vektorite süsteemi järgu ja aluse praktiline määramine
Sellest vektorite süsteemist koostame maatriksi, paigutades vektorid selle maatriksi ridadena. Me taandame maatriksi ešelonvormiks, kasutades elementaarteisendusi selle maatriksi ridade kohal. Kell
Vektorruumi definitsioon suvalise välja kohal
Olgu P suvaline väli. Meile tuntud väljad on näiteks ratsionaal-, reaal- ja kompleksarvude väli. Definitsioon 8.1. Hulk V kutsutakse sisse
Vektorruumide lihtsamad omadused
1) o – nullvektor (element), mis on üheselt defineeritud suvalises vektorruumis üle välja. 2) Iga vektori a О V jaoks on kordumatu
Alamruumid. Lineaarsed kollektorid
Olgu V vektorruum, L М V (L on V alamhulk). Definitsioon 8.2. Vektori pro alamhulk L
Alamruumide lõikepunkt ja summa
Olgu V vektorruum üle välja P, L1 ja L2 selle alamruumides. Definitsioon 8.3. Allquesti ületades
Lineaarsed kollektorid
Olgu V vektorruum, L alamruum, a suvaline vektor ruumist V. Definitsioon 8.6. Lineaarne kollektor
Lõpliku mõõtmega vektorruumid
Definitsioon 8.7 Vektorruumi V nimetatakse n-mõõtmeliseks, kui see sisaldab lineaarselt sõltumatut vektorite süsteemi, mis koosneb n-st vektorist ja
Lõpliku mõõtmega vektorruumi alus
V on lõpliku mõõtmega vektorruum üle välja P, S on vektorite süsteem (lõplik või lõpmatu). Definitsioon 8.10. Süsteemi S alus
Vektori koordinaadid antud baasi suhtes
Vaatleme lõpliku mõõtmega vektorruumi V mõõtmega n, mille aluse moodustavad vektorid e1, e2, …, en. Olgu a toode
Vektori koordinaadid erinevates alustes
Olgu V n-mõõtmeline vektorruum, milles on antud kaks alust: e1, e2, …, en – vana alus, e"1, e
Eukleidese vektorruumid
Antud vektorruum V reaalarvude välja kohal. See ruum võib olla kas lõpliku mõõtmega vektorruum mõõtmega n või lõpmatu mõõtmega
Punktkorrutis koordinaatides
Dimensiooni n eukleidilises vektorruumis V on antud baas e1, e2, …, en. Vektorid x ja y lagundatakse vektoriteks
Mõõdikute mõisted
Eukleidilistes vektorruumides saame kasutusele võetud skalaarkorrutisest liikuda edasi vektori normi ja vektoritevahelise nurga mõistete juurde. Definitsioon 8.16. Norma (
Normi omadused
1) ||a|| = 0 Û a = o. 2) ||la|| = |l|×||a||, sest ||la|| =
Eukleidilise vektorruumi ortonormaalne alus
Definitsioon 8.21. Eukleidilise vektorruumi alust nimetatakse ortogonaalseks, kui baasvektorid on paarikaupa ortogonaalsed, st kui a1, a
Ortogonaliseerimise protsess
Teoreem 8.12. Igas n-mõõtmelises eukleidilises ruumis on ortonormaalne alus. Tõestus. Olgu a1, a2
Punkttoode ortonormaalsel alusel
Antud eukleidilise ruumi V ortonormaalne alus e1, e2, …, en. Kuna (ei, ej) = 0 i jaoks
Alamruumi ortogonaalne komplement
V on eukleidiline vektorruum, L on selle alamruum. Definitsioon 8.23. Vektorit a nimetatakse alamruumi L suhtes ortogonaalseks, kui vektor
Vektori koordinaatide ja selle kujutise koordinaatide vaheline seos
Lineaaroperaator j on antud ruumis V ja selle maatriks M(j) leidub mingis aluses e1, e2, …, en. Olgu see aluseks
Sarnased maatriksid
Vaatleme suvalise välja P elementidega n järku ruutmaatriksite hulka Рn´n. Sellel hulgal tutvustame seost
Maatriksi sarnasusseoste omadused
1. Refleksiivsus. Iga maatriks on iseendaga sarnane, st A ~ A. 2. Sümmeetria. Kui maatriks A on sarnane B-ga, siis B on sarnane A-ga, s.t.
Omavektorite omadused
1. Iga omavektor kuulub ainult ühele omaväärtusele. Tõestus. Olgu x kahe omaväärtusega omavektor
Maatriksi iseloomulik polünoom
Antud maatriks A О Рn´n (või A О Rn´n). Defineeri
Tingimused, mille korral maatriks sarnaneb diagonaalmaatriksiga
Olgu A ruutmaatriks. Võime eeldada, et see on mingi lineaarse operaatori maatriks, mis on määratletud mingil alusel. On teada, et teisel alusel on lineaaroperaatori maatriks
Jordaania normaalvorm
Definitsioon 10.5. Arvuga l0 seotud k järku Jordani lahter on maatriks järku k, 1 ≤ k ≤ n,
Maatriksi taandamine Jordani (tavaliseks) vormiks
Teoreem 10.3. Jordani normaalvorm määratakse maatriksi jaoks ainulaadselt kuni Jordani rakkude paigutuse järjekorras põhidiagonaalil. Jne
Bilineaarsed vormid
Definitsioon 11.1. Bilineaarne vorm on funktsioon (kaart) f: V ´ V ® R (või C), kus V on suvaline vektor
Bilineaarsete vormide omadused
Mis tahes bilineaarset vormi saab esitada sümmeetriliste ja kaldsümmeetriliste vormide summana. Valitud alusega e1, e2, …, en vektoris
Bilineaarse kujuga maatriksi teisendamine uuele alusele üleminekul. Bilineaarse vormi järk
Olgu kaks alust e = (e1, e2, …, en) ja f = (f1, f2,
Ruutkujulised kujundid
Olgu A(x, y) sümmeetriline bilineaarne vorm, mis on defineeritud vektorruumis V. Definitsioon 11.6. Ruutvorm
Ruutvormi taandamine kanooniliseks vormiks
Antud ruutkuju (2) A(x, x) = , kus x = (x1
Ruutvormide inertsiseadus
On kindlaks tehtud, et ruutvormi nullist erineva kanooniliste kordajate arv on võrdne selle astmega ega sõltu mittemandunud teisenduse valikust, mille abil vormi A(x
Ruutvormi märgi vajalik ja piisav tingimus
avaldus 11.1. Selleks, et n-mõõtmelises vektorruumis V defineeritud ruutvorm A(x, x) oleks märgiline, on vaja
Vajalik ja piisav tingimus kvaasivahelduva ruutvormi jaoks
avaldus 11.3. Selleks, et n-mõõtmelises vektorruumis V defineeritud ruutvorm A(x, x) oleks kvaasi-märgi vahelduv (st.
Sylvesteri kriteerium ruutvormi kindla märgi jaoks
Olgu vorm A(x, x) aluses e = (e1, e2, …, en) määratud maatriksiga A(e) = (aij)
Järeldus
Lineaaralgebra on iga kõrgema matemaatika programmi kohustuslik osa. Iga muu osa eeldab selle distsipliini õpetamise käigus omandatud teadmiste, oskuste ja vilumuste olemasolu
Bibliograafia
Burmistrova E.B., Lobanov S.G. Lineaaralgebra analüütilise geomeetria elementidega. – M.: HSE kirjastus, 2007. Beklemishev D.V. Analüütilise geomeetria ja lineaaralgebra kursus.
Lineaaralgebra
Õppe- ja metoodiline käsiraamat Toimetaja ja korrektor G. D. Neganova Arvutitrükk T. N. Matytsina, E. K. Korževina
Esitlus - Nõukogude tagala Suure Isamaasõja ajal
Muinasjutu G õppetunni esitlus
Miks sai Aleksander Nevskist tatari khaani sõber ja sõlmis hordiga liidu