Düzbucaqlı üçbucağın hündürlüyünün düsturunun çıxarılması. Sağ üçbucaq

Əslində hər şey o qədər də qorxulu deyil. Əlbəttə ki, məqalədə sinus, kosinus, tangens və kotangensin “əsl” tərifinə baxmaq lazımdır. Amma mən həqiqətən istəmirəm, elə deyilmi? Sevinə bilərik: düzbucaqlı üçbucaqla bağlı problemləri həll etmək üçün aşağıdakı sadə şeyləri doldurmaq kifayətdir:

Bəs bucaq? Küncün əksinə olan bir ayaq, yəni əks (bucaq üçün) ayaq varmı? Əlbəttə var! Bu ayaqdır!

Bəs bucaq? Diqqətlə baxın. Hansı ayaq küncə bitişikdir? Əlbəttə ki, ayaq. Bu o deməkdir ki, bucaq üçün ayağın bitişik olduğu və

İndi, diqqət yetirin! Görün nə əldə etdik:

Görün necə sərindir:

İndi keçək tangens və kotangensə.

İndi bunu sözlə necə yaza bilərəm? Ayağın bucağa nisbəti nədir? Əksinə, əlbəttə ki, küncün qarşısında "yatır". Bəs ayaq? Künclə bitişik. Bəs bizdə nə var?

Baxın, say və məxrəc yerləri necə dəyişib?

İndi yenidən künclər və mübadilə etdi:

Xülasə

Gəlin öyrəndiyimiz hər şeyi qısaca yazaq.

Pifaqor teoremi:

Düzbucaqlı üçbucaqlar haqqında əsas teorem Pifaqor teoremidir.

Pifaqor teoremi

Yeri gəlmişkən, ayaqların və hipotenuzanın nə olduğunu yaxşı xatırlayırsınız? Çox yaxşı deyilsə, şəklə baxın - biliklərinizi təzələyin

Tamamilə mümkündür ki, siz artıq Pifaqor teoremindən dəfələrlə istifadə etmisiniz, lakin belə bir teoremin niyə doğru olduğunu heç düşünmüsünüzmü? Mən bunu necə sübut edə bilərəm? Qədim yunanlar kimi edək. Bir tərəfi olan bir kvadrat çəkək.

Görün onun kənarlarını uzunluqlara necə ağılla böldük və!

İndi işarələnmiş nöqtələri birləşdirək

Ancaq burada başqa bir şeyi qeyd etdik, ancaq siz özünüz rəsmə baxıb bunun niyə belə olduğunu düşünürsünüz.

Daha böyük kvadratın sahəsi nədir?

Doğru, .

Daha kiçik bir sahə haqqında nə demək olar?

Şübhəsiz ki, .

Dörd küncün ümumi sahəsi qalır. Təsəvvür edin ki, biz onları bir-bir götürdük və hipotenuzları ilə bir-birinə söykəndik.

Nə olub? İki düzbucaqlı. Bu o deməkdir ki, "kəsiklərin" sahəsi bərabərdir.

İndi hamısını bir yerə qoyaq.

Gəlin çevirək:

Beləliklə, biz Pifaqora baş çəkdik - onun teoremini qədim üsulla sübut etdik.

Düzbucaqlı üçbucaq və triqonometriya

Düzbucaqlı üçbucaq üçün aşağıdakı əlaqələr yerinə yetirilir:

Kəskin bucağın sinusu qarşı tərəfin hipotenuzaya nisbətinə bərabərdir

Kəskin bucağın kosinusu bitişik ayağın hipotenuzaya nisbətinə bərabərdir.

Kəskin bucağın tangensi qarşı tərəfin bitişik tərəfə nisbətinə bərabərdir.

Kəskin bucağın kotangensi bitişik tərəfin qarşı tərəfə nisbətinə bərabərdir.

Və bir daha bütün bunlar tablet şəklində:

Çox rahatdır!

Düzbucaqlı üçbucaqların bərabərliyinin əlamətləri

I. İki tərəfdən

II. Ayaq və hipotenuza görə

III. Hipotenuza və iti bucaqla

IV. Ayaq və kəskin bucaq boyunca

Diqqət! Burada ayaqların "uyğun" olması çox vacibdir. Məsələn, belə olarsa:

O zaman üçbucaqlar BƏRAB OLMAZ, onların bir eyni kəskin bucağa malik olmasına baxmayaraq.

Lazımdır hər iki üçbucaqda ayaq bitişik və ya hər ikisində əks idi.

Düzbucaqlı üçbucaqların bərabərlik əlamətlərinin üçbucaqların adi bərabərlik əlamətlərindən nə ilə fərqləndiyini görmüsünüzmü?

“Mövzuya nəzər salın və diqqət yetirin ki, “adi” üçbucaqların bərabərliyi üçün onların üç elementi bərabər olmalıdır: iki tərəf və aralarındakı bucaq, iki bucaq və aralarındakı tərəf və ya üç tərəf.

Düzgün üçbucaqların bərabərliyi üçün yalnız iki uyğun element kifayətdir. Əla, hə?

Düzbucaqlı üçbucaqların oxşarlıq əlamətləri ilə vəziyyət təxminən eynidir.

Düzbucaqlı üçbucaqların oxşarlıq əlamətləri

I. İti bucaq boyu

II. İki tərəfdən

III. Ayaq və hipotenuza görə

Düzbucaqlı üçbucaqda median

Bu niyə belədir?

Düzbucaqlı üçbucaq əvəzinə bütöv bir düzbucaqlı düşünün.

Diaqonal çəkək və bir nöqtəni - diaqonalların kəsişmə nöqtəsini nəzərdən keçirək. Düzbucaqlının diaqonalları haqqında nə bilirsiniz?

Və bundan nə çıxır?

Beləliklə, belə çıxdı

- median:

Bu faktı xatırlayın! Çox kömək edir!

Daha təəccüblü odur ki, bunun əksi də doğrudur.

Hipotenuzaya çəkilən medianın hipotenuzanın yarısına bərabər olmasından nə əldə etmək olar? Şəkilə baxaq

Diqqətlə baxın. Bizdə: , yəni nöqtədən üçbucağın hər üç təpəsinə qədər olan məsafələr bərabər oldu. Ancaq üçbucağın hər üç təpəsindən olan məsafələri bərabər olan yalnız bir nöqtə var və bu, DƏVRƏNİN MƏRKƏZİDİR. Bəs nə oldu?

Beləliklə, "bundan başqa ..." ilə başlayaq.

Baxaq və.

Ancaq oxşar üçbucaqların hamısı bərabər açılara malikdir!

Eyni şeyi və haqqında da demək olar

İndi gəlin birlikdə çəkək:

Bu “üçlü” oxşarlıqdan hansı fayda əldə edilə bilər?

Yaxşı, məsələn - düzbucaqlı üçbucağın hündürlüyü üçün iki düstur.

Müvafiq tərəflərin münasibətlərini yazaq:

Hündürlüyü tapmaq üçün nisbəti həll edirik və alırıq ilk düstur "Düzbucaqlı üçbucaqda hündürlük":

Yaxşı, indi bu bilikləri tətbiq edərək və başqaları ilə birləşdirərək, düz üçbucaqla istənilən problemi həll edəcəksiniz!

Beləliklə, oxşarlığı tətbiq edək: .

İndi nə olacaq?

Yenə nisbəti həll edirik və ikinci düsturu alırıq:

Bu düsturların hər ikisini çox yaxşı xatırlamalı və daha rahat olandan istifadə etməlisiniz.

Gəlin onları bir daha yazaq

Pifaqor teoremi:

Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuzanın kvadratı ayaqların kvadratlarının cəminə bərabərdir: .

Düzbucaqlı üçbucaqların bərabərliyinin əlamətləri:

iki tərəfdən:
ayaq və hipotenuz ilə: və ya
ayaq və bitişik kəskin bucaq boyunca: və ya
ayaq boyunca və əks kəskin bucaq: və ya
hipotenuza və iti bucaqla: və ya.

Düzbucaqlı üçbucaqların oxşarlığının əlamətləri:

bir kəskin künc: və ya
iki ayağın mütənasibliyindən:
ayağın və hipotenuzun mütənasibliyindən: və ya.

Düzbucaqlı üçbucaqda sinus, kosinus, tangens, kotangens

Düzbucaqlı üçbucağın iti bucağının sinusu qarşı tərəfin hipotenuzaya nisbətidir:
Düzbucaqlı üçbucağın kəskin bucağının kosinusu bitişik ayağın hipotenuzaya nisbətidir:
Düzbucaqlı üçbucağın kəskin bucağının tangensi qarşı tərəfin bitişik tərəfə nisbətidir:
Düzbucaqlı üçbucağın iti bucağının kotangensi ona bitişik tərəfin qarşı tərəfə nisbətidir: .

Düzbucaqlı üçbucağın hündürlüyü: və ya.

Düzbucaqlı üçbucaqda düz bucağın təpəsindən çəkilmiş median hipotenuzanın yarısına bərabərdir: .

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi:

ayaqları vasitəsilə:

Mülkiyyət: 1.İstənilən düzbucaqlı üçbucaqda düz bucaqdan götürülən hündürlük (hipotenuza ilə) düz üçbucağı üç oxşar üçbucağa bölür.

Mülkiyyət: 2. Hipotenuzaya endirilmiş düzbucaqlı üçbucağın hündürlüyü, ayaqların hipotenuzaya proyeksiyalarının həndəsi ortasına (yaxud hündürlüyün hipotenuzanı böldüyü seqmentlərin orta həndəsi dəyərinə) bərabərdir.

Mülkiyyət: 3. Ayaq hipotenuzanın həndəsi ortasına və bu ayağın hipotenuza proyeksiyasına bərabərdir.

Mülkiyyət: 4. 30 dərəcə bucağa qarşı olan ayaq hipotenuzanın yarısına bərabərdir.

Formula 1.

Formula 2., hipotenuz haradadır; , ayaqları.

Mülkiyyət: 5. Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuzaya çəkilmiş median onun yarısına bərabərdir və dairənin radiusuna bərabərdir.

Xassə: 6. Düzbucaqlı üçbucağın tərəfləri və bucaqları arasındakı əlaqə:

44. Kosinuslar teoremi. Nəticə: paraleloqramın diaqonalları və tərəfləri arasında əlaqə; üçbucağın növünün müəyyən edilməsi; üçbucağın medianın uzunluğunu hesablamaq üçün düstur; Üçbucaq bucağının kosinusunun hesablanması.

İşin sonu -

Bu mövzu bölməyə aiddir:

Sinif. Əsas planimetriya üzrə kollokvium proqramı

Qonşu bucaqların xassəsi.. bir tərəfi ortaq, digər ikisi düz xətt təşkil edərsə, iki bucağın bitişik olmasının tərifi..

Bu mövzuda əlavə materiala ehtiyacınız varsa və ya axtardığınızı tapmadınızsa, işlərimiz bazamızda axtarışdan istifadə etməyi məsləhət görürük:

Alınan materialla nə edəcəyik:

Bu material sizin üçün faydalı olsaydı, onu sosial şəbəkələrdə səhifənizdə saxlaya bilərsiniz:

Sağ üçbucaq- bu, bucaqlardan birinin düz olduğu, yəni 90 dərəcəyə bərabər olduğu üçbucaqdır.

Düzgün bucağın qarşı tərəfi hipotenuz adlanır (şəkildə göstərilmişdir). c və ya AB)
Düz bucağa bitişik tərəfə ayaq deyilir. Hər bir düzbucaqlı üçbucağın iki ayağı var (şəkildə onlar kimi təyin edilmişdir a və b və ya AC və BC)

Düzbucaqlı üçbucağın düsturları və xassələri

Formula təyinatları:

(yuxarıdakı şəkilə baxın)

a, b- düzbucaqlı üçbucağın ayaqları

c- hipotenuz

α, β - üçbucağın iti bucaqları

S- kvadrat

h- düz bucağın təpəsindən hipotenuzaya endirilən hündürlük

m a a qarşı küncdən ( α )

m b- yan tərəfə çəkilmiş median b qarşı küncdən ( β )

m c- yan tərəfə çəkilmiş median c qarşı küncdən ( γ )

IN düz üçbucaq ayaqların hər hansı biri hipotenuzdan kiçikdir(Formula 1 və 2). Bu əmlak bir nəticədir Pifaqor teoremi.

Hər hansı iti bucaqların kosinusu birdən az (Formula 3 və 4). Bu əmlak əvvəlkindən irəli gəlir. Ayaqların hər hansı biri hipotenuzadan kiçik olduğundan, ayağın hipotenuza nisbəti həmişə birdən az olur.

Hipotenuzanın kvadratı ayaqların kvadratlarının cəminə bərabərdir ( Pifaqor teoremi). (Formula 5). Problemlərin həlli zamanı bu xüsusiyyət daim istifadə olunur.

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi ayaqların məhsulunun yarısına bərabərdir (Formula 6)

Kvadrat medianların cəmi ayaqları üçün hipotenuzanın medianın beş kvadratına və dördə bölünən hipotenuzun beş kvadratına bərabərdir (Formula 7). Yuxarıda göstərilənlərə əlavə olaraq, var daha 5 düstur, buna görə də dərsi oxumağınız tövsiyə olunur " Düzbucaqlı üçbucağın medianı", medianın xüsusiyyətlərini daha ətraflı təsvir edir.

Hündürlük düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzaya bölünən ayaqların hasilinə bərabərdir (Formula 8)

Ayaqların kvadratları hipotenuzaya endirilən hündürlüyün kvadratına tərs mütənasibdir (Formula 9). Bu eynilik həm də Pifaqor teoreminin nəticələrindən biridir.

Hipotenuz uzunluğuəhatə olunmuş dairənin diametrinə (iki radius) bərabərdir (Formula 10). Düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzası çevrənin diametridir. Bu xüsusiyyət tez-tez problemin həllində istifadə olunur.

Yazılı radius V düz üçbucaq dairə Bu üçbucağın ayaqlarının cəmindən hipotenuzanın uzunluğu çıxılmaqla ifadənin yarısı kimi tapıla bilər. Və ya verilmiş üçbucağın bütün tərəflərinin (perimetri) cəminə bölünən ayaqların məhsulu kimi. (Formula 11)
Bucaq sinüsü əks münasibət bu bucaq ayaq hipotenuza(sinusun tərifinə görə). (Formula 12). Bu xüsusiyyət problemlərin həlli zamanı istifadə olunur. Tərəflərin ölçülərini bilməklə, onların meydana gətirdiyi bucağı tapa bilərsiniz.

Bucaq kosinusu Düzbucaqlı üçbucaqda A (α, alfa) bərabər olacaq münasibət bitişik bu bucaq ayaq hipotenuza(sinusun tərifinə görə). (Formula 13)