Parametrik olaraq müəyyən edilmiş əyri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsinin hesablanması. Müəyyən inteqraldan istifadə edərək fırlanma cisimlərinin həcmlərinin hesablanması Ox ətrafında fırlanmanın həcmi

Bölmələr: Riyaziyyat

Dərsin növü: birləşdirilmiş.

Dərsin məqsədi: inteqrallardan istifadə edərək inqilab cisimlərinin həcmlərini hesablamağı öyrənin.

Tapşırıqlar:

bir sıra həndəsi fiqurlardan əyrixətti trapesiyaları müəyyən etmək bacarığını möhkəmləndirmək və əyrixətti trapesiyaların sahələrini hesablamaq bacarığını inkişaf etdirmək;
anlayışı ilə tanış olmaq həcmli rəqəm;
fırlanma cisimlərinin həcmlərini hesablamağı öyrənmək;
məntiqi təfəkkürün, səriştəli riyazi nitqin, rəsmlər qurarkən dəqiqliyin inkişafına kömək etmək;
fənnə marağı, riyazi anlayışlar və təsvirlərlə işləmək, son nəticəyə nail olmaq üçün iradə, müstəqillik və əzmkarlıq tərbiyə etmək.

Dərslər zamanı

I. Təşkilati məqam.

Qrupdan salamlar. Dərsin məqsədlərini tələbələrə çatdırın.

Refleksiya. Sakit melodiya.

– Bugünkü dərsə bir məsəllə başlamaq istərdim. “Bir zamanlar hər şeyi bilən bir müdrik yaşayırdı. Bir adam sübut etmək istəyirdi ki, müdrik hər şeyi bilmir. O, ovuclarında kəpənək tutaraq soruşdu: “Mənə de görüm, müdrik, hansı kəpənək mənim əlimdədir: ölü, yoxsa diri?” Özü də fikirləşir: “Əgər diri desə, onu öldürərəm, ölü deyəcək: onu azad edəcəm”. Arif fikirləşdikdən sonra cavab verdi: "Hər şey sənin əlindədir". (Təqdimat.Slayd)

– Odur ki, bu gün səmərəli işləyək, yeni biliklər anbarına yiyələnək və əldə etdiyimiz bacarıq və bacarıqları gələcək həyatda və əməli fəaliyyətdə tətbiq edək. "Hər şey sənin əlindədir".

II. Əvvəllər öyrənilmiş materialın təkrarlanması.

– Gəlin əvvəllər öyrənilmiş materialın əsas məqamlarını xatırlayaq. Bunun üçün tapşırığı yerinə yetirək "Əlavə sözü aradan qaldırın."(Slayd.)

(Tələbə şəxsiyyət vəsiqəsinə gedir. Əlavə sözü silmək üçün silgi istifadə edir.)

- Düzdür "Diferensial". Qalan sözləri bir ümumi sözlə adlandırmağa çalışın. (İnteqral hesablama.)

– Gəlin inteqral hesabla bağlı əsas mərhələləri və anlayışları xatırlayaq.

“Riyazi dəstə”.

Məşq edin. Boşluqları bərpa edin. (Tələbə çıxır və qələmlə tələb olunan sözləri yazır.)

– İnteqralların tətbiqi ilə bağlı bir mücərrəd daha sonra eşidəcəyik.

Noutbuklarda işləmək.

– Nyuton-Leybniz düsturu ingilis fiziki İsaak Nyuton (1643-1727) və alman filosofu Qotfrid Leybniz (1646-1716) tərəfindən yaradılmışdır. Və bu təəccüblü deyil, çünki riyaziyyat təbiətin özü tərəfindən danışılan dildir.

– Gəlin bu düsturun praktiki məsələlərin həllində necə istifadə olunduğuna nəzər salaq.

Misal 1: Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın

Həlli: Koordinat müstəvisində funksiyaların qrafiklərini quraq . Tapılmalı olan fiqurun sahəsini seçək.

III. Yeni materialın öyrənilməsi.

- Ekrana diqqət yetirin. Birinci şəkildə nə göstərilib? (Slayd) (Şəkil düz bir fiqur göstərir.)

- İkinci şəkildə nə göstərilib? Bu rəqəm düzdür? (Slayd) (Şəkil üçölçülü rəqəmi göstərir.)

- Kosmosda, yerdə və içində Gündəlik həyat Biz təkcə düz fiqurlarla deyil, həm də üçölçülü fiqurlarla qarşılaşırıq, bəs belə cisimlərin həcmini necə hesablaya bilərik? Məsələn, planetin, kometin, meteoritin həcmi və s.

– İnsanlar həm ev tikərkən, həm də bir qabdan digərinə su tökərkən həcm haqqında düşünürlər. Həcmi hesablamaq üçün qaydalar və üsullar ortaya çıxmalı idi, onların nə qədər dəqiq və ağlabatan olması başqa məsələdir.

Tələbədən mesaj. (Tyurina Vera.)

1612-ci il məşhur astronom İohannes Keplerin yaşadığı Avstriyanın Linz şəhərinin sakinləri üçün xüsusilə üzümçülük üçün çox məhsuldar olmuşdur. İnsanlar şərab çəlləkləri hazırlayırdılar və onların həcmlərini praktiki olaraq necə təyin edəcəyini bilmək istəyirdilər. (Slayd 2)

– Beləliklə, Keplerin nəzərdən keçirilən əsərləri 17-ci əsrin son rübündə kulminasiya nöqtəsinə çatan bütöv bir tədqiqat axınının əsasını qoydu. İ.Nyuton və G.V.-nin əsərlərində dizayn. Leybniz diferensial və inteqral hesablamalar. Həmin dövrdən etibarən riyazi biliklər sistemində dəyişənlərin riyaziyyatı aparıcı yer tuturdu.

– Bu gün siz və mən belə praktik fəaliyyətlərlə məşğul olacağıq, ona görə də

Dərsimizin mövzusu: "Müəyyən bir inteqraldan istifadə edərək fırlanma cisimlərinin həcmlərinin hesablanması." (Slayd)

– Aşağıdakı tapşırığı yerinə yetirməklə fırlanma bədəninin tərifini öyrənəcəksiniz.

"Labirint".

Labirint (yunan sözü) yerin altına getmək deməkdir. Labirint cığırların, keçidlərin və bir-birini birləşdirən otaqların mürəkkəb şəbəkəsidir.

Ancaq tərif oxlar şəklində işarələr buraxaraq "sındırıldı".

Məşq edin. Qarışıq vəziyyətdən çıxış yolu tapın və tərifi yazın.

Slayd. “Xəritə təlimatı” Həcmlərin hesablanması.

Köməyi ilə müəyyən inteqral müəyyən bir cismin, xüsusən də fırlanma orqanının həcmini hesablaya bilərsiniz.

İnqilab cismi əyri trapesiyanı öz əsası ətrafında fırlatmaqla əldə edilən cisimdir (şək. 1, 2).

Fırlanma cisminin həcmi düsturlardan biri ilə hesablanır:

1. OX oxu ətrafında.

2. , əgər əyri trapezoidin fırlanması op-amp oxunun ətrafında.

Hər bir tələbə bir təlimat kartı alır. Müəllim əsas məqamları vurğulayır.

– Müəllim lövhədəki misalların həlli yollarını izah edir.

A. S. Puşkinin məşhur "Çar Saltanın, onun şanlı və qüdrətli oğlu Şahzadə Guidon Saltanoviçin və gözəl şahzadə Qu quşunun nağılı" nağılından bir parçaya nəzər salaq. (Slayd 4):

…..
Və sərxoş qasid gətirdi
Həmin gün sifariş aşağıdakı kimidir:
“Padşah boyarlarına əmr edir,
Vaxt itirmədən,
Və kraliça və nəsil
Gizlicə suyun uçurumuna atın”.
Ediləcək bir şey yoxdur: boyarlar,
Suveren üçün narahatçılıq
Və gənc kraliçaya,
Onun yataq otağına bir izdiham gəldi.
Padşahın vəsiyyətini elan etdilər -
Onun və oğlunun pis bir payı var,
Biz fərmanı ucadan oxuyuruq,
Və eyni saatda kraliça
Məni oğlumla bir çəlləyə saldılar,
Onlar qatran vurub uzaqlaşdılar
Və məni okiyana buraxdılar -
Çar Saltan belə əmr etdi.

Barelin həcmi nə qədər olmalıdır ki, kraliça və oğlu ona sığsın?

– Aşağıdakı vəzifələri nəzərdən keçirin

1. Xətlərlə hüdudlanmış əyrixətti trapesiyanın ordinat oxu ətrafında fırlanması ilə alınan cismin həcmini tapın: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Cavab: 1163 santimetr 3 .

Parabolik trapesiyanı absis oxu ətrafında fırlatmaqla alınan cismin həcmini tapın y = , x = 4, y = 0.

IV. Yeni materialın birləşdirilməsi

Nümunə 2. Ləçəkin x oxu ətrafında fırlanması ilə əmələ gələn bədənin həcmini hesablayın. y = x 2 , y 2 = x.

Funksiyanın qrafiklərini quraq. y = x 2 , y 2 = x. Cədvəl y2 = x formaya çevirmək y= .

Bizdə var V = V 1 – V 2 Hər bir funksiyanın həcmini hesablayaq

– İndi gəlin Moskvada Şabolovkada görkəmli rus mühəndisi, fəxri akademik V.Q.Şuxovun layihəsi ilə tikilmiş radiostansiyanın qülləsinə baxaq. O, hissələrdən ibarətdir - fırlanma hiperboloidləri. Üstəlik, onların hər biri bitişik dairələri birləşdirən düz metal çubuqlardan hazırlanır (şək. 8, 9).

- Problemi nəzərdən keçirək.

Hiperbola qövslərinin fırlanması ilə alınan cismin həcmini tapın Şəkildə göstərildiyi kimi xəyali oxu ətrafında. 8, harada

kub vahidlər

Qrup tapşırıqları. Şagirdlər tapşırıqlarla püşkatma aparır, whatman kağızı üzərində rəsm çəkir və qrup nümayəndələrindən biri işi müdafiə edir.

1-ci qrup.

Vur! Vur! Daha bir zərbə!
Top qapıya uçur - BALL!
Və bu qarpız topudur
Yaşıl, dəyirmi, dadlı.
Daha yaxşı baxın - nə top!
O, dairələrdən başqa heç nədən ibarət deyil.
Qarpızı dairələrə kəsin
Və onları dadın.

Məhdud funksiyanın OX oxu ətrafında fırlanma ilə alınan cismin həcmini tapın

Xəta! Əlfəcin müəyyən edilməyib.

– Zəhmət olmasa deyin, bu rəqəmlə harada rastlaşırıq?

ev. 1 qrup üçün tapşırıq. SİLİNDİR (slayd) .

"Silindr - bu nədir?" – atamdan soruşdum.
Ata güldü: Üst papaq papaqdır.
Düzgün fikrə sahib olmaq üçün,
Silindr, deyək ki, qalay qutusudur.
Buxar qayıq borusu - silindr,
Damımızdakı boru da,

Bütün borular bir silindrə bənzəyir.
Mən belə bir misal verdim -
Kaleydoskop mənim sevgim,
Gözünü ondan çəkə bilmirsən,
Həm də silindr kimi görünür.

- Məşq edin. Ev tapşırığı: funksiyanın qrafikini qurun və həcmi hesablayın.

2-ci qrup. KONUS (slayd).

Ana dedi: İndi də
Mənim hekayəm konus haqqında olacaq.
Hündür papaqda Stargazer
Bütün il boyu ulduzları sayar.
KONUS - ulduzları seyr edən şlyapa.
O, belədir. Anladın? Bu belədir.
Ana masada dayanmışdı,
Butulkalara yağ tökdüm.
- Quni haradadır? Huni yoxdur.
Onu axtar. Kənarda durmayın.
- Ana, mən yerindən tərpənməyəcəyəm.
Bizə konus haqqında daha çox məlumat verin.
– Huni suvarma qabı konus şəklindədir.
Gəl, onu mənim üçün tez tap.
Mən huni tapa bilmədim
Ancaq ana çanta düzəltdi,
Kartonu barmağıma sardım
Və o, məharətlə onu kağız klipi ilə bağladı.
Yağ axır, ana xoşbəxtdir,
Konus düz çıxdı.

Məşq edin. Absis oxu ətrafında fırlanmaqla əldə edilən cismin həcmini hesablayın

ev. 2-ci qrup üçün tapşırıq. PİRAMİDA(slayd).

Şəkli gördüm. Bu şəkildə
Qumlu səhrada PİRAMİDA var.
Piramidada hər şey qeyri-adi,
Bunda bir növ sirr və sirr var.
Və Qırmızı Meydandakı Spasskaya Qülləsi
Həm uşaqlar, həm də böyüklər üçün çox tanışdır.
Qülləyə baxsan, adi görünür,
Üstündə nə var? Piramida!

Məşq edin. Ev tapşırığı: funksiyanın qrafikini çəkin və piramidanın həcmini hesablayın

- Cildlər müxtəlif orqanlar inteqraldan istifadə edərək cisimlərin həcmləri üçün əsas düstur əsasında hesabladıq.

Bu, müəyyən inteqralın riyaziyyatın öyrənilməsi üçün əsas olduğunun başqa bir təsdiqidir.

- Yaxşı, indi bir az dincələk.

Bir cüt tapın.

Riyazi domino melodiya çalır.

"Mənim axtardığım yol heç vaxt unudulmayacaq..."

Tədqiqat işi. İnteqralın iqtisadiyyat və texnologiyada tətbiqi.

Güclü tələbələr və riyazi futbol üçün testlər.

Riyaziyyat simulyatoru.

2. Verilmiş funksiyanın bütün əks törəmələrinin çoxluğuna deyilir

A) qeyri-müəyyən inteqral;

B) funksiya,

B) fərqləndirmə.

7. Xətlərlə hüdudlanmış əyrixətti trapezoidin absis oxu ətrafında fırlanması ilə alınan cismin həcmini tapın:

D/Z. İnqilab cisimlərinin həcmlərini hesablayın.

Refleksiya.

Formada əksin qəbulu sinxronizasiya(beş sətir).

1-ci sətir – mövzu adı (bir isim).

2-ci sətir – mövzunun iki sözlə, iki sifətlə təsviri.

3-cü sətir – bu mövzu daxilində hərəkətin üç sözlə təsviri.

4-cü sətir mövzuya münasibəti (bütün bir cümlə) göstərən dörd sözdən ibarət ifadədir.

5-ci sətir mövzunun mahiyyətini təkrarlayan sinonimdir.

Həcmi.
Müəyyən inteqral, inteqral funksiya.
Biz qururuq, fırlanırıq, hesablayırıq.
Əyri trapesiyanı fırlatmaqla əldə edilən cisim (əsas ətrafında).
Fırlanma gövdəsi (həcmli həndəsi bədən).

Nəticə (slayd).

Müəyyən bir inteqral riyaziyyatın öyrənilməsi üçün müəyyən bir bünövrədir və praktiki məsələlərin həllinə əvəzsiz töhfə verir.
“İnteqral” mövzusu riyaziyyat və fizika, biologiya, iqtisadiyyat və texnologiya arasında əlaqəni aydın şəkildə nümayiş etdirir.
İnkişaf müasir elm inteqraldan istifadə etmədən təsəvvür etmək mümkün deyil. Bu baxımdan onu orta ixtisas təhsili çərçivəsində öyrənməyə başlamaq lazımdır!

Qiymətləndirmə. (Şərhlə.)

Böyük Ömər Xəyyam - riyaziyyatçı, şair, filosof. O, bizi öz taleyimizin sahibi olmağa təşviq edir. Onun əsərindən bir parçanı dinləyək:

Deyəcəksən, bu həyat bir anlıqdır.
Onu qiymətləndirin, ondan ilham alın.
Nə qədər xərcləsən, o da elə keçəcək.
Unutma: o sənin yaradıcılığındır.

Müəyyən bir inteqralın həndəsi mənasını anladıqda, x oxu və düz xətlərlə məhdudlaşan əyrixətli trapezoidin sahəsini tapmaq üçün istifadə edilə bilən bir düsturla qarşılaşdıq. x = a, x = b, həmçinin davamlı (mənfi və ya müsbət olmayan) funksiya y = f(x). Bəzən rəqəmi parametrik formada məhdudlaşdıran funksiyanı təyin etmək daha rahatdır, yəni. t parametri vasitəsilə funksional asılılığı ifadə edin. Bu materialda, parametrik olaraq müəyyən edilmiş əyri ilə məhdudlaşırsa, fiqurun sahəsini necə tapa biləcəyinizi göstərəcəyik.

Nəzəriyyəni izah etdikdən və düsturu əldə etdikdən sonra bu cür fiqurların sahəsini tapmaq üçün bir neçə tipik nümunəyə baxacağıq.

Hesablama üçün əsas düstur

Fərz edək ki, bizim əyrixətti trapesiyamız var, onun sərhədləri x = a, x = b düz xətləri, O x oxu və parametrik olaraq təyin olunmuş əyri x = φ (t) y = ψ (t) və x = φ (t) və y = ψ (t) funksiyaları α intervalında fasiləsizdir; β, α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

Tərif 1

Belə şəraitdə trapezoidin sahəsini hesablamaq üçün S (G) = ∫ α β ψ (t) · φ "(t) d t düsturundan istifadə etməlisiniz.

Biz onu əyrixətli trapezoidin sahəsi üçün düsturdan S (G) = ∫ a b f (x) d x x = φ (t) y = ψ (t) əvəz etməklə əldə etdik:

S (G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ " (t) d t

Tərif 2

β intervalında x = φ (t) funksiyasının monoton azalması nəzərə alınmaqla; α, β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

Əgər x = φ (t) funksiyası əsas elementar funksiyalardan biri deyilsə, onda onun artıb-azalacağını müəyyən etmək üçün bir intervalda funksiyanın artırılması və azalmasının əsas qaydalarını yadda saxlamalıyıq.

Bu paraqrafda yuxarıda əldə edilmiş düsturdan istifadə edərək bir neçə problemi təhlil edəcəyik.

Misal 1

Vəziyyət: x = 2 cos t y = 3 sin t formalı tənliklərlə verilən xəttin yaratdığı fiqurun sahəsini tapın.

Həll

Bizdə parametrik var verilmiş xətt. Qrafik olaraq iki yarımox 2 və 3 olan ellips şəklində göstərilə bilər. İllüstrasiyaya baxın:

Gəlin birinci kvadrantı tutan nəticədə fiqurun 1 4 sahəsini tapmağa çalışaq. Region x ∈ a intervalındadır; b = 0; 2. Sonra, alınan dəyəri 4-ə vurun və bütün rəqəmin sahəsini tapın.

Hesablamalarımızın gedişatı budur:

x = φ (t) = 2 cos t y = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ β = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

k-nin 0-a bərabər olması ilə β intervalını alırıq; α = 0; π 2. x = φ (t) = 2 cos t funksiyası monoton şəkildə azalacaq (daha ətraflı məlumat üçün əsas elementar funksiyalar və onların xassələri haqqında məqaləyə baxın). Bu o deməkdir ki, siz sahənin hesablanması üçün düsturdan istifadə edə və Nyuton-Leybniz düsturundan istifadə edərək müəyyən inteqralı tapa bilərsiniz:

- ∫ 0 π 2 3 sin t · 2 cos t " d t = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) d t = = 3 · t - sin (2 t) 2) 0 π 2 = 3 π 2 - sin 2 π 2 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π 2

Bu o deməkdir ki, orijinal əyri ilə verilən rəqəmin sahəsi S (G) = 4 · 3 π 2 = 6 π-ə bərabər olacaqdır.

Cavab: S(G) = 6π

Aydınlaşdıraq ki, yuxarıdakı məsələni həll edərkən ellipsin təkcə dörddə birini deyil, həm də yarısını - yuxarı və ya aşağısını götürmək mümkün idi. Yarım x ∈ a intervalında yerləşəcək; b = - 2; 2. Bu halda bizdə olacaq:

φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k, k ∈ Z, φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k, k ∈ Z

Beləliklə, k-nin 0-a bərabər olması ilə β alırıq; α = 0; π. Bu intervalda x = φ (t) = 2 cos t funksiyası monoton şəkildə azalacaq.

Bundan sonra ellipsin yarısının sahəsini hesablayırıq:

- ∫ 0 π 3 sin t · 2 cos t " d t = 6 ∫ 0 π sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 t) d t = = 3 · t - sin (2 t) 2 0 π = 3 π - sin 2 π 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π

Qeyd etmək lazımdır ki, yalnız yuxarı və ya aşağı götürə bilərsiniz, lakin sağ və ya sol deyil.

Verilmiş ellips üçün mərkəzi başlanğıcda yerləşəcək parametrik tənlik yarada bilərsiniz. O, x = a · cos t y = b · sin t kimi görünəcək. Yuxarıdakı nümunədə olduğu kimi davam edərək, a = πab ilə S e l və p ellipsin sahəsini hesablamaq üçün bir düstur alırıq.

Siz x = R · cos t y = R · sin t tənliyindən istifadə edərək mərkəzi başlanğıcda yerləşən çevrəni təyin edə bilərsiniz, burada t parametr, R isə bu çevrənin radiusudur. Dərhal bir ellipsin sahəsi üçün düsturdan istifadə etsək, onda R radiusu olan bir dairənin sahəsini hesablaya biləcəyimiz bir düstur alacağıq: S k r y r a = πR 2 .

Gəlin daha bir problemə baxaq.

Misal 2

Vəziyyət: X = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t parametrik olaraq təyin edilmiş əyri ilə məhdudlaşan rəqəmin sahəsinin nəyə bərabər olacağını tapın.

Həll

Dərhal aydınlaşdıraq ki, bu əyri uzanmış astroid formasına malikdir. Tipik olaraq astroid x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t formasının tənliyi ilə ifadə edilir.

İndi belə bir əyrinin necə qurulacağına ətraflı baxaq. Fərdi nöqtələrə əsaslanaraq quraq. Bu ən çox yayılmış üsuldur və əksər tapşırıqlar üçün tətbiq olunur. Daha çox mürəkkəb nümunələr parametrik müəyyən edilmiş funksiyanı müəyyən etmək üçün diferensial hesablama tələb edir.

Bizdə x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t var.

Bu funksiyalar t-nin bütün real dəyərləri üçün müəyyən edilir. Sin və cos üçün onların dövri olduğu və dövrünün 2 pi olduğu məlumdur. Bəzi t = t 0 ∈ 0 üçün x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t funksiyalarının qiymətlərini hesabladıqdan sonra; 2 π π 8 , π 4 , 3 π 8 , π 2 , . . . , 15 π 8, biz x 0 xal alırıq; y 0 = (φ (t 0) ; ψ (t 0)) .

Ümumi dəyərlərin cədvəlini yaradaq:

t 0	0	π 8	π 4	3 π 8	π 2	5 π 8	3 π 4	7 π 8	π
x 0 = φ (t 0)	3	2 . 36	1 . 06	0 . 16	0	- 0 . 16	- 1 . 06	- 2 . 36	- 3
y 0 = ψ (t 0)	0	0 . 11	0 . 70	1 . 57	2	1 . 57	0 . 70	0 . 11	0

t 0	9 π 8	5 π 4	11 π 8	3 π 2	13 π 8	7 π 4	15 π 8	2π
x 0 = φ (t 0)	- 2 . 36	- 1 . 06	- 0 . 16	0	0 . 16	1 . 06	2 . 36	3
y 0 = ψ (t 0)	- 0 . 11	- 0 . 70	- 1 . 57	- 2	- 1 . 57	- 0 . 70	- 0 . 11	0

Bundan sonra, təyyarədə lazımi nöqtələri qeyd edin və onları bir xətt ilə birləşdirin.

İndi fiqurun birinci koordinat rübündə yerləşən hissəsinin sahəsini tapmalıyıq. Bunun üçün x ∈ a; b = 0; 3:

φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

Əgər k 0-a bərabərdirsə, onda β intervalını alırıq; α = 0; π 2 və x = φ (t) = 3 cos 3 t funksiyası onun üzərində monoton şəkildə azalacaq. İndi sahə düsturunu götürürük və hesablayırıq:

- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t · 3 cos 3 t " d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · cos 2 t d t = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · (1 - sin 2 t) d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t

Nyuton-Leybniz düsturundan istifadə etməklə hesablana bilən müəyyən inteqrallar əldə etdik. Bu düstur üçün antiderivativləri təkrarlanan J n (x) = - cos x · sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) düsturundan istifadə etməklə tapmaq olar, burada J n (x) = ∫ günah n x d x.

∫ sin 4 t d t = - cos t · sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 t d t = = - cos t · sin 3 t 4 + 3 4 - cos t · sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 t d t = = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ sin 6 t d t = - cos t · sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 t d t ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = - cos t · sin 5 t 6 0 π 6 ∫ + π2 sin 4 t d t = 5 6 3 π 16 = 15 π 96

Bir rəqəmin dörddə birinin sahəsini hesabladıq. 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16 - 15 π 96 = 9 π 16-a bərabərdir.

Bu dəyəri 4-ə vursaq, bütün rəqəmin sahəsini alırıq - 9 π 4.

Eyni şəkildə, x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t tənlikləri ilə verilən astroidin sahəsinin S a stroid = 3 πa 2 8 düsturu ilə tapıla biləcəyini sübut edə bilərik. , və x = a · cos 3 t y = b · sin 3 t xətti ilə məhdudlaşdırılan rəqəmin sahəsi S = 3 πab 8 düsturu ilə hesablanır.

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

İnqilab səthinin sahəsi üçün düsturlara keçməzdən əvvəl, inqilabın özünün səthinin qısa bir formulunu verəcəyik. İnqilab səthi və ya eyni şeydir, inqilab cisminin səthi bir seqmentin fırlanması ilə əmələ gələn məkan fiqurudur. AB ox ətrafında əyri öküz(aşağıdakı şəkil).

Gəlin yuxarıdan əyrinin qeyd olunan seqmenti ilə məhdudlaşan əyri trapesiya təsəvvür edək. Bu trapesiyanı eyni ox ətrafında fırlatmaqla əmələ gələn cisim öküz, və fırlanma bədənidir. İnqilab səthinin sahəsi və ya inqilab cisminin səthi düz xətlərin oxu ətrafında fırlanma nəticəsində yaranan dairələri saymadan onun xarici qabığıdır. x = a Və x = b .

Qeyd edək ki, inqilab cismi və buna uyğun olaraq onun səthi də fiqurun ox ətrafında deyil, fırlanması ilə də əmələ gələ bilər. öküz, və oxun ətrafında ay.

Düzbucaqlı koordinatlarda göstərilən bir inqilab səthinin sahəsinin hesablanması

Tənliyi müstəvidə düzbucaqlı koordinatlarda edək y = f(x) koordinat oxu ətrafında fırlanması inqilab gövdəsini əmələ gətirən əyri müəyyən edilir.

İnqilabın səth sahəsini hesablamaq üçün formula aşağıdakı kimidir:

(1).

Misal 1.Öz oxu ətrafında fırlanma nəticəsində əmələ gələn paraboloidin səth sahəsini tapın öküz dəyişikliyə uyğun gələn parabolanın qövsü x-dan x= 0-a x = a .

Həll. Parabolanın qövsünü təyin edən funksiyanı açıq şəkildə ifadə edək:

Bu funksiyanın törəməsini tapaq:

İnqilab səthinin sahəsini tapmaq üçün düsturdan istifadə etməzdən əvvəl onun inteqranının kökü təmsil edən hissəsini yazaq və orada tapdığımız törəməni əvəz edək:

Cavab: Əyri qövsünün uzunluğu

Misal 2. Bir ox ətrafında fırlanma nəticəsində yaranan səth sahəsini tapın öküz astroid.

Həll. Birinci rübdə yerləşən astroidin bir qolunun fırlanması nəticəsində yaranan səth sahəsini hesablamaq və onu 2-yə vurmaq kifayətdir. Astroid tənliyindən biz açıq şəkildə əvəz etməli olduğumuz funksiyanı ifadə edəcəyik. fırlanma səthinin sahəsini tapmaq üçün formula:

Biz 0-dan inteqrasiya edirik a:

Parametrik olaraq müəyyən edilmiş bir inqilab səthinin sahəsinin hesablanması

İnqilabın səthini təşkil edən əyrinin parametrik tənliklərlə verildiyi halı nəzərdən keçirək

Sonra fırlanma səthinin sahəsi düsturla hesablanır

(2).

Misal 3. Bir ox ətrafında fırlanma nəticəsində yaranan inqilab səthinin sahəsini tapın ay sikloid və düz xətt ilə məhdudlaşan fiqur y = a. Sikloid parametrik tənliklərlə verilir

Həll. Sikloidlə düz xəttin kəsişmə nöqtələrini tapaq. Sikloid tənliyinin və düz xəttin tənliyinin bərabərləşdirilməsi y = a, tapaq

Buradan belə nəticə çıxır ki, inteqrasiyanın sərhədləri uyğun gəlir

İndi (2) düsturu tətbiq edə bilərik. Gəlin törəmələri tapaq:

Tapılmış törəmələri əvəz edərək düsturda radikal ifadəni yazaq:

Bu ifadənin kökünü tapaq:

Tapdığımızı düsturla (2) əvəz edək:

Gəlin bir əvəz edək:

Və nəhayət tapırıq

İfadələri çevirmək üçün triqonometrik düsturlardan istifadə edilmişdir

Cavab: İnqilabın səth sahəsi .

Qütb koordinatlarında göstərilən inqilab səthinin sahəsinin hesablanması

Fırlanması səthi təşkil edən əyri qütb koordinatlarında göstərilsin.

Parametrik olaraq müəyyən edilmiş xətlərlə məhdudlaşan fiqurların sahələrini hesablamağa imkan verən nəticə düsturunun tətbiqi nümunələrini nəzərdən keçirək.

Misal.

Parametrik tənlikləri formaya malik olan bir xətt ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın.

Həll.

Bizim nümunəmizdə parametrik olaraq təyin olunan xətt 2 və 3 vahid yarım oxları olan bir ellipsdir. Gəlin onu quraq.

Birinci kvadrantda yerləşən ellipsin dörddə birinin sahəsini tapaq. Bu sahə intervalda yerləşir . Yaranan dəyəri dördə vuraraq bütün rəqəmin sahəsini hesablayırıq.

Bizdə nə var:

üçün k = 0 intervalı alırıq . Bu intervalda funksiya monoton şəkildə azalır (bölməyə bax). Sahəni hesablamaq və Nyuton-Leybniz düsturundan istifadə edərək müəyyən inteqralı tapmaq üçün düsturdan istifadə edirik:

Beləliklə, orijinal rəqəmin sahəsi bərabərdir .

Şərh.

Məntiqi sual yaranır: niyə ellipsin yarısını yox, dörddə birini götürdük? Fiqurun yuxarı (və ya aşağı) yarısını görmək mümkün idi. O, intervaldadır . Bu halda biz alacaqdıq

Yəni k = 0 üçün intervalı alırıq. Bu intervalda funksiya monoton şəkildə azalır.

Sonra ellipsin yarısının sahəsi tapılır

Ancaq ellipsin sağ və ya sol yarısını götürə bilməyəcəksiniz.

Başlanğıcda və a və b yarımoxlarında mərkəzləşdirilmiş ellipsin parametrik təsviri formaya malikdir. Təhlil olunan nümunədəki kimi hərəkət etsək, alırıq ellipsin sahəsini hesablamaq üçün düstur .

R radiusunun başlanğıcında mərkəzi olan dairə t parametri vasitəsilə tənliklər sistemi ilə təyin olunur. Ellipsin sahəsi üçün alınan düsturdan istifadə etsəniz, dərhal yaza bilərsiniz bir dairənin sahəsini tapmaq üçün düstur radius R: .

Daha bir misal həll edək.

Misal.

Parametrik olaraq müəyyən edilmiş əyri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın.

Həll.

Bir az irəliyə baxsaq, əyri "uzadılmış" astroiddir. (Astroid aşağıdakı parametrik təmsilə malikdir).

Gəlin rəqəmi bağlayan əyrinin qurulması üzərində ətraflı dayanaq. Biz onu nöqtə-nöqtə quracağıq. Tipik olaraq, belə bir tikinti əksər problemləri həll etmək üçün kifayətdir. Daha mürəkkəb hallarda, şübhəsiz ki, diferensial hesablamadan istifadə edərək parametrik olaraq təyin edilmiş funksiyanın ətraflı öyrənilməsi tələb olunacaq.

Bizim nümunəmizdə.

Bu funksiyalar t parametrinin bütün real qiymətləri üçün müəyyən edilir və sinus və kosinusun xassələrindən bilirik ki, onlar iki pi dövrü ilə dövridir. Beləliklə, bəziləri üçün funksiya dəyərlərini hesablamaq (Misal üçün ), bir sıra xal alırıq .

Rahatlıq üçün dəyərləri cədvələ daxil edək:

Biz müstəvidə nöqtələri qeyd edirik və ARADIMLI olaraq onları bir xətt ilə birləşdiririk.

Birinci koordinat kvadrantında yerləşən bölgənin sahəsini hesablayaq. Bu sahə üçün .

At k=0 intervalı alırıq , funksiyası üzərində monoton şəkildə azalır. Sahəni tapmaq üçün formula tətbiq edirik:

Biz Nyuton-Leybniz düsturundan istifadə etməklə nəticələnən müəyyən inteqralları hesablayırıq və formanın təkrarlanan düsturundan istifadə edərək Nyuton-Leybniz düsturunun əks törəmələrini tapırıq. , Harada .

Beləliklə, dörddəbir rəqəmin sahəsi , onda bütün fiqurun sahəsi bərabərdir.

Eynilə bunu da göstərmək olar astroid sahəsi kimi yerləşir , və xətt ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsi düsturla hesablanır.