Butaforlar üçün törəmələrin həlli: tərif, necə tapmaq, həll nümunələri. Törəmələrin hesablanması qaydaları Mürəkkəb funksiyanın törəməsi u v

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi ilə bağlı teorem isə formulası aşağıdakı kimidir:

Qoy 1) $u=\varphi (x)$ funksiyasının müəyyən nöqtədə $x_0$ törəməsi $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ olsun, 2) $y=f(u)$ funksiyası olsun. $u_0=\varphi (x_0)$ nöqtəsində müvafiq $y_(u)"=f"(u)$ törəməsi olsun. Onda qeyd olunan nöqtədə $y=f\left(\varphi (x) \right)$ kompleks funksiyası da $f(u)$ və $\varphi ( funksiyalarının törəmələrinin hasilinə bərabər törəməyə malik olacaqdır. x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\sağ)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \sağ)\cdot \varphi"(x_0) $$

və ya daha qısa qeydlə: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

Bu bölmədəki nümunələrdə bütün funksiyalar $y=f(x)$ formasına malikdir (yəni biz yalnız bir dəyişən $x$ funksiyasını nəzərdən keçiririk). Müvafiq olaraq, bütün nümunələrdə $x$ dəyişəninə münasibətdə $y"$ törəməsi götürülür. Törəmənin $x$ dəyişəninə münasibətdə götürüldüyünü vurğulamaq üçün çox vaxt $y əvəzinə $y"_x$ yazılır. "$.

1, 2 və 3 nömrəli nümunələr törəmənin tapılması üçün ətraflı prosesi təsvir edir. mürəkkəb funksiyalar. Nümunə № 4 törəmə cədvəlinin daha dolğun başa düşülməsi üçün nəzərdə tutulub və onunla tanış olmağın mənası var.

1-3 nömrəli misallardakı materialı öyrəndikdən sonra 5, 6 və 7 nömrəli misalların müstəqil həllinə keçmək məsləhətdir. Nümunələr №5, №6 və 7-də qısa bir həll var ki, oxucu öz nəticəsinin düzgünlüyünü yoxlaya bilsin.

Nümunə №1

$y=e^(\cos x)$ funksiyasının törəməsini tapın.

$y"$ mürəkkəb funksiyasının törəməsini tapmalıyıq. $y=e^(\cos x)$ olduğundan $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. $ \left(e^(\cos x)\right)"$ törəməsini tapın, törəmələr cədvəlindən 6 nömrəli düsturdan istifadə edirik. 6 nömrəli düsturdan istifadə etmək üçün nəzərə almalıyıq ki, bizim vəziyyətimizdə $u=\cos x$. Növbəti həll sadəcə olaraq $u$ əvəzinə $\cos x$ ifadəsini 6 nömrəli düsturla əvəz etməkdən ibarətdir:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

İndi $(\cos x)"$ ifadəsinin qiymətini tapmaq lazımdır. Ondan 10 nömrəli düstur seçərək yenidən törəmələr cədvəlinə keçirik. 10 nömrəli düsturda $u=x$ əvəz edərək, əldə edirik. : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. İndi isə bərabərliyi (1.1) davam etdirək, onu tapılan nəticə ilə tamamlayaq:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

$x"=1$ olduğundan bərabərliyi davam etdiririk (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Beləliklə, (1.3) bərabərliyindən əldə edirik: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Təbii ki, izahlar və ara bərabərliklər adətən atlanır, törəmənin tapılmasını bir sətirdə yazır, bərabərliyində olduğu kimi ( 1.3) Beləliklə, mürəkkəb funksiyanın törəməsi tapıldı, cavabı yazmaq qalır.

Cavab verin: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Nümunə № 2

$y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ funksiyasının törəməsini tapın.

$y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ törəməsini hesablamalıyıq. Başlamaq üçün qeyd edək ki, sabit (yəni 9 rəqəmi) törəmə işarədən çıxarıla bilər:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \sağ)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \sağ)" \tag (2.1) $$

İndi $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ ifadəsinə keçək. Törəmələr cədvəlindən istədiyiniz düsturun seçilməsini asanlaşdırmaq üçün ifadəni təqdim edəcəm. bu formada sual: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. İndi aydın olur ki, 2 nömrəli düsturdan istifadə etmək lazımdır, yəni. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Bu düsturda $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ və $\alpha=12$ əvəz edək:

Əldə edilmiş nəticə ilə bərabərliyi (2.1) tamamlayaraq, əldə edirik:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \sağ)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \sağ)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

Bu vəziyyətdə, həlledici ilk addımda düstur əvəzinə $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ düsturunu seçdikdə çox vaxt səhvə yol verilir. $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Məsələ ondadır ki, xarici funksiyanın törəməsi birinci gəlməlidir. $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ ifadəsi üçün hansı funksiyanın xarici olacağını başa düşmək üçün təsəvvür edin ki, siz $\arctg^(12)(4\cdot 5^) ifadəsinin dəyərini hesablayırsız. x)$ müəyyən dəyərdə $x$. Əvvəlcə $5^x$ dəyərini hesablayacaqsınız, sonra nəticəni 4-ə vuraraq $4\cdot 5^x$ əldə edəcəksiniz. İndi bu nəticədən $\arctg(4\cdot 5^x)$ alaraq arktangenti götürürük. Sonra $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ əldə edərək, alınan ədədi on ikinci dərəcəyə qaldırırıq. Son hərəkət, yəni. 12-nin gücünə yüksəltmək xarici bir funksiya olacaq. Məhz bundan sonra bərabərlikdə (2.2) yerinə yetirilən törəməni tapmağa başlamalıyıq.

İndi $(\arctg(4\cdot \ln x))"$ tapmalıyıq. Törəmələr cədvəlinin 19 nömrəli düsturundan istifadə edərək, orada $u=4\cdot \ln x$ əvəz edirik:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

$(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$ nəzərə alaraq nəticədə ifadəni bir qədər sadələşdirək.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Bərabərlik (2.2) indi belə olacaq:

$(4\cdot \ln x)"$ tapmaq qalır. Törəmə işarəsindən sabiti (yəni 4) çıxaraq: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. Üçün $(\ln x)"$ tapmaq üçün biz $u=x$ əvəz edərək №8 düsturdan istifadə edirik: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$. $x"=1$ olduğundan, onda $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Alınan nəticəni (2.3) düsturu ilə əvəz edərək əldə edirik:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \sağ)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\sol(\arctg(4\cdot \ln x) \sağ)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \sol(\arctg(4\cdot \ln x) \sağ)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

Nəzərinizə çatdırım ki, mürəkkəb funksiyanın törəməsi ən çox sonuncu bərabərlikdə yazıldığı kimi bir sətirdə olur. Buna görə də, standart hesablamalar və ya nəzarət işlərini hazırlayarkən, həlli bu qədər ətraflı təsvir etmək heç də lazım deyil.

Cavab verin: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Nümunə № 3

$y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$ funksiyasının $y"$ tapın.

Əvvəlcə radikalı (kök) güc kimi ifadə edərək $y$ funksiyasını bir az çevirək: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. İndi törəməni tapmağa başlayaq. $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$ olduğundan, onda:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\sağ)^(\frac(3)(7))\sağ)" \tag (3.1) $$

$u=\sin(5\cdot 9^x)$ və $\alpha=\frac(3)(7)$ əvəz edərək törəmələr cədvəlindəki 2 nömrəli düsturdan istifadə edək:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Əldə edilən nəticədən istifadə edərək bərabərliyi (3.1) davam etdirək:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\sağ)^(\frac(3)(7))\sağ)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

İndi $(\sin(5\cdot 9^x))"$ tapmalıyıq. Bunun üçün törəmələr cədvəlindən $u=5\cdot 9^x$ əvəz edərək 9 nömrəli düsturdan istifadə edirik:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Əldə edilən nəticə ilə bərabərliyi (3.2) tamamlayaraq, əldə edirik:

$(5\cdot 9^x)"$ tapmaq qalır. Əvvəlcə törəmə işarəsindən kənar sabiti ($5$ rəqəmini) götürək, yəni $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9) ^x) "$. $(9^x)"$ törəməsini tapmaq üçün törəmələr cədvəlinin №5 düsturunu tətbiq edin, orada $a=9$ və $u=x$ əvəz edin: $(9^x) )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. $x"=1$ olduğundan, o zaman $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. İndi bərabərliyi davam etdirə bilərik (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\sağ)^(\frac(3)(7))\sağ)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\sağ)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\sağ)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\sağ) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Biz yenidən güclərdən radikallara (yəni köklərə) qayıda bilərik, $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ yazaraq $\ şəklində frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\sağ)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5) cdot 9^x)))$. Sonra törəmə bu formada yazılacaq:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\sağ)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

Cavab verin: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.

Nümunə № 4

Göstərin ki, törəmələr cədvəlinin 3 və 4 nömrəli düsturları bu cədvəlin 2 nömrəli düsturunun xüsusi halıdır.

Törəmələr cədvəlinin 2 nömrəli düsturunda $u^\alpha$ funksiyasının törəməsi var. 2 nömrəli düsturda $\alpha=-1$ əvəz edərək, əldə edirik:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

$u^(-1)=\frac(1)(u)$ və $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$ olduğundan bərabərlik (4.1) aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Bu, törəmələr cədvəlinin 3 nömrəli düsturudur.

Törəmələr cədvəlinin 2 nömrəli düsturuna yenidən müraciət edək. $\alpha=\frac(1)(2)$ əvəz edək:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\sağ)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Çünki $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ və $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, onda bərabərlik (4.2) aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Nəticədə $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ bərabərliyi törəmələr cədvəlinin 4-cü düsturudur. Göründüyü kimi, törəmə cədvəlinin 3 və 4 nömrəli düsturları 2 nömrəli düsturdan müvafiq $\alpha$ qiymətini əvəz etməklə alınır.

Törəmə və onun hesablanması üsullarını bilmədən riyaziyyatda fiziki məsələlərin və ya nümunələrin həlli tamamilə mümkün deyil. Törəmə riyazi analizdə ən vacib anlayışlardan biridir. Bugünkü məqaləmizi bu əsas mövzuya həsr etmək qərarına gəldik. Törəmə nədir, onun fiziki və həndəsi mənası nədir, funksiyanın törəməsi necə hesablanır? Bütün bu suallar bir yerdə birləşdirilə bilər: törəməni necə başa düşmək olar?

Törəmənin həndəsi və fiziki mənası

Qoy bir funksiya olsun f(x) , müəyyən intervalla müəyyən edilir (a, b) . x və x0 nöqtələri bu intervala aiddir. X dəyişdikdə, funksiyanın özü də dəyişir. Arqumentin dəyişdirilməsi - onun dəyərlərindəki fərq x-x0 . Bu fərq kimi yazılır delta x və arqument artımı adlanır. Bir funksiyanın dəyişməsi və ya artması bir funksiyanın iki nöqtədəki dəyərləri arasındakı fərqdir. Törəmə tərifi:

Bir nöqtədə funksiyanın törəməsi, sonuncu sıfıra meyl etdikdə, verilmiş nöqtədə funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinin həddidir.

Əks halda belə yazıla bilər:

Belə bir hədd tapmağın nə mənası var? Və budur:

nöqtədə funksiyanın törəməsi OX oxu arasındakı bucağın tangensi ilə verilmiş nöqtədə funksiyanın qrafikinə olan tangensə bərabərdir.

Törəmənin fiziki mənası: yolun zamana görə törəməsi düzxətli hərəkətin sürətinə bərabərdir.

Həqiqətən, məktəb günlərindən hər kəs sürətin xüsusi bir yol olduğunu bilir x=f(t) və vaxt t . Müəyyən bir müddət ərzində orta sürət:

Bir anda hərəkət sürətini tapmaq üçün t0 limiti hesablamaq lazımdır:

Birinci qayda: sabiti təyin edin

Sabit törəmə işarədən çıxarıla bilər. Üstəlik, bu edilməlidir. Riyaziyyatda nümunələri həll edərkən, bir qayda olaraq götürün - Əgər ifadəni sadələşdirə bilirsinizsə, onu sadələşdirməyə əmin olun .

Misal. Törəməni hesablayaq:

İkinci qayda: funksiyaların cəminin törəməsi

İki funksiyanın cəminin törəməsi bu funksiyaların törəmələrinin cəminə bərabərdir. Eyni şey funksiyalar fərqinin törəməsi üçün də keçərlidir.

Biz bu teoremin isbatını verməyəcəyik, əksinə praktiki bir nümunəyə baxacağıq.

Funksiyanın törəməsini tapın:

Üçüncü qayda: funksiyaların hasilinin törəməsi

İki diferensiallanan funksiyanın hasilinin törəməsi düsturla hesablanır:

Nümunə: funksiyanın törəməsini tapın:

Həll:

Burada mürəkkəb funksiyaların törəmələrinin hesablanmasından danışmaq vacibdir. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi bu funksiyanın ara arqumentə görə törəməsinin və müstəqil dəyişənə görə aralıq arqumentin törəməsinin hasilinə bərabərdir.

Yuxarıdakı misalda ifadə ilə rastlaşırıq:

Bu halda, ara arqument beşinci gücə 8x-dir. Belə bir ifadənin törəməsini hesablamaq üçün əvvəlcə aralıq arqumentə görə xarici funksiyanın törəməsini hesablayırıq, sonra isə müstəqil dəyişənə münasibətdə aralıq arqumentin özünün törəməsi ilə vururuq.

Dördüncü qayda: iki funksiyanın bölünməsinin törəməsi

İki funksiyanın bölünməsinin törəməsini təyin etmək üçün düstur:

Biz sıfırdan dummies üçün törəmələr haqqında danışmağa çalışdıq. Bu mövzu göründüyü qədər sadə deyil, ona görə də xəbərdar olun: misallarda tez-tez tələlər olur, ona görə də törəmələri hesablayarkən diqqətli olun.

Bu və digər mövzularla bağlı hər hansı sualınız varsa, tələbə xidmətinə müraciət edə bilərsiniz. Qısa müddətdə, əvvəllər heç vaxt törəmə hesablamalar etməmisinizsə belə, ən çətin testi həll etməyə və tapşırıqları başa düşməyə kömək edəcəyik.

Əgər tərifə əməl etsəniz, onda bir nöqtədə funksiyanın törəməsi Δ funksiyasının artımının nisbətinin həddidir. y arqument artımına Δ x:

Hər şey aydın görünür. Lakin, məsələn, funksiyanın törəməsini hesablamaq üçün bu düsturdan istifadə etməyə çalışın f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x günah x. Hər şeyi təriflə etsəniz, bir neçə səhifəlik hesablamalardan sonra sadəcə yuxuya gedəcəksiniz. Buna görə daha sadə və daha təsirli yollar var.

Başlamaq üçün qeyd edək ki, bütün müxtəlif funksiyalardan elementar funksiyaları ayırd edə bilərik. Bunlar nisbətən sadə ifadələrdir, törəmələri çoxdan hesablanmış və cədvəl şəklində verilmişdir. Bu cür funksiyaları xatırlamaq olduqca asandır - törəmələri ilə birlikdə.

Elementar funksiyaların törəmələri

Elementar funksiyalar aşağıda sadalananların hamısıdır. Bu funksiyaların törəmələri əzbərdən bilinməlidir. Üstəlik, onları yadda saxlamaq heç də çətin deyil - buna görə də onlar elementardırlar.

Beləliklə, elementar funksiyaların törəmələri:

ad	Funksiya	törəmə
Sabit	f(x) = C, C ∈ R	0 (bəli, sıfır!)
Rasional göstərici ilə güc	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = günah x	cos x
Kosinus	f(x) = cos x	-günah x(minus sinus)
Tangens	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangent	f(x) = ctg x	− 1/günah 2 x
Təbii loqarifm	f(x) = log x	1/x
İxtiyari loqarifm	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Eksponensial funksiya	f(x) = e x	e x(heçnə dəyişmədi)

Elementar funksiya ixtiyari sabitə vurularsa, yeni funksiyanın törəməsi də asanlıqla hesablanır:

(C · f)’ = C · f ’.

Ümumiyyətlə, sabitləri törəmə işarəsindən çıxarmaq olar. Misal üçün:

(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Aydındır ki, elementar funksiyaları bir-birinə əlavə etmək, çoxaltmaq, bölmək olar - və daha çox. Artıq xüsusilə elementar deyil, həm də müəyyən qaydalara görə fərqlənən yeni funksiyalar belə görünəcək. Bu qaydalar aşağıda müzakirə olunur.

Cəm və fərqin törəməsi

Funksiyalar verilsin f(x) Və g(x), törəmələri bizə məlum olan. Məsələn, yuxarıda müzakirə olunan elementar funksiyaları götürə bilərsiniz. Onda bu funksiyaların cəmi və fərqinin törəməsini tapa bilərsiniz:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Deməli, iki funksiyanın cəminin (fərqinin) törəməsi törəmələrin cəminə (fərqinə) bərabərdir. Daha çox şərtlər ola bilər. Misal üçün, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Düzünü desək, cəbrdə “çıxma” anlayışı yoxdur. “Mənfi element” anlayışı var. Buna görə də fərq f − g cəmi kimi yenidən yazmaq olar f+ (−1) g, və sonra yalnız bir düstur qalır - cəminin törəməsi.

f(x) = x 2 + günah x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funksiya f(x) iki elementar funksiyanın cəmidir, buna görə də:

f ’(x) = (x 2 + günah x)’ = (x 2)' + (günah x)’ = 2x+ cos x;

Funksiya üçün də oxşar səbəblər veririk g(x). Yalnız üç termin var (cəbr baxımından):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Cavab:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Məhsulun törəməsi

Riyaziyyat məntiqi bir elmdir, ona görə də bir çox insan hesab edir ki, əgər cəmin törəməsi törəmələrin cəminə bərabərdirsə, məhsulun törəməsidir. zərbə">törəmələrin hasilinə bərabərdir. Ancaq sizi incidir! Məhsulun törəməsi tamamilə fərqli bir düsturla hesablanır. Yəni:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula sadədir, lakin çox vaxt unudulur. Həm də təkcə məktəblilər deyil, həm də tələbələr. Nəticə problemlərin düzgün həll edilməməsidir.

Tapşırıq. Funksiyaların törəmələrini tapın: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funksiya f(x) iki elementar funksiyanın məhsuludur, ona görə də hər şey sadədir:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− günah x) = x 2 (3 cos x − x günah x)

Funksiya g(x) birinci çarpan bir az daha mürəkkəbdir, lakin ümumi sxem dəyişmir. Aydındır ki, funksiyanın birinci amili g(x) çoxhədlidir və onun törəməsi cəminin törəməsidir. Bizdə:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Cavab:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x günah x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Nəzərə alın ki, son mərhələdə törəmə faktorlara bölünür. Formal olaraq bunu etmək lazım deyil, lakin törəmələrin çoxu öz-özünə hesablanmır, funksiyanı araşdırmaq üçün hesablanır. Bu o deməkdir ki, bundan sonra törəmə sıfıra bərabərləşdiriləcək, onun əlamətləri müəyyən ediləcək və s. Belə bir hal üçün ifadənin faktorlara bölünməsi daha yaxşıdır.

İki funksiya varsa f(x) Və g(x), və g(x) ≠ 0 bizi maraqlandıran çoxluqda yeni funksiya təyin edə bilərik h(x) = f(x)/g(x). Belə bir funksiya üçün törəməni də tapa bilərsiniz:

Zəif deyil, hə? Minus haradan gəldi? Niyə g 2? Və bu kimi! Bu, ən mürəkkəb düsturlardan biridir - bir şüşə olmadan başa düşə bilməzsiniz. Ona görə də onu konkret misallarla öyrənmək daha yaxşıdır.

Tapşırıq. Funksiyaların törəmələrini tapın:

Hər kəsrin payı və məxrəci elementar funksiyaları ehtiva edir, ona görə də bizə lazım olan tək şey hissənin törəməsi üçün düsturdur:

Ənənəyə görə, rəqəmi faktorlara ayıraq - bu cavabı çox sadələşdirəcək:

Mürəkkəb bir funksiya mütləq yarım kilometr uzunluğunda bir düstur deyil. Məsələn, funksiyanı götürmək kifayətdir f(x) = günah x və dəyişəni əvəz edin x, deyin, açıq x 2 + ln x. Bu nəticə verəcək f(x) = günah ( x 2 + ln x) - bu mürəkkəb funksiyadır. Onun da törəməsi var, lakin yuxarıda müzakirə olunan qaydalardan istifadə edərək onu tapmaq mümkün olmayacaq.

Mən nə etməliyəm? Belə hallarda mürəkkəb funksiyanın törəməsi üçün dəyişəni və düsturun dəyişdirilməsi kömək edir:

f ’(x) = f ’(t) · t', Əgər x ilə əvəz olunur t(x).

Bir qayda olaraq, bu formulun başa düşülməsi ilə bağlı vəziyyət bölmənin törəməsi ilə müqayisədə daha kədərlidir. Ona görə də konkret misallarla, ilə izah etmək daha yaxşıdır Ətraflı Təsviri hər addım.

Tapşırıq. Funksiyaların törəmələrini tapın: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = günah ( x 2 + ln x)

Qeyd edək ki, əgər funksiyadadırsa f(x) ifadə 2 əvəzinə x+ 3 asan olacaq x, onda elementar funksiya alırıq f(x) = e x. Buna görə də bir əvəz edirik: qoy 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Düsturdan istifadə edərək mürəkkəb funksiyanın törəməsini axtarırıq:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

İndi - diqqət! Biz tərs dəyişdirmə həyata keçiririk: t = 2x+ 3. Alırıq:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

İndi funksiyaya baxaq g(x). Aydındır ki, onu dəyişdirmək lazımdır x 2 + ln x = t. Bizdə:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (günah t)’ · t' = cos t · t ’

Əks dəyişdirmə: t = x 2 + ln x. Sonra:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Hamısı budur! Sonuncu ifadədən göründüyü kimi, bütün problem törəmə cəminin hesablanmasına qədər endirilib.

Cavab:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) çünki ( x 2 + ln x).

Çox vaxt dərslərimdə “törəmə” ifadəsi əvəzinə “əsas” sözünü işlədirəm. Məsələn, cəminin vuruşu vuruşların cəminə bərabərdir. Bu daha aydındır? Əla, bu yaxşıdır.

Beləliklə, törəmənin hesablanması yuxarıda müzakirə olunan qaydalara uyğun olaraq eyni vuruşlardan xilas olmaq üçün gəlir. Son nümunə olaraq, rasional göstərici ilə törəmə gücə qayıdaq:

(x n)’ = n · x n − 1

Bunu rolda az adam bilir n kəsr sayı ola bilər. Məsələn, kök x 0.5. Kökün altında zərif bir şey varsa nə olacaq? Yenə də nəticə mürəkkəb bir funksiya olacaq - bu cür konstruksiyalar verməyi sevirlər testlər və imtahanlar.

Tapşırıq. Funksiyanın törəməsini tapın:

Əvvəlcə kökü rasional göstərici ilə bir güc kimi yenidən yazaq:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

İndi bir əvəz edirik: icazə verin x 2 + 8x − 7 = t. Düsturdan istifadə edərək törəməni tapırıq:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0.5)’ · t' = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Əks əvəzi edək: t = x 2 + 8x− 7. Bizdə:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Nəhayət, köklərə qayıdaq:

Yadda saxlamaq çox asandır.

Yaxşı, uzağa getməyək, dərhal baxaq tərs funksiya. Hansı funksiya eksponensial funksiyanın tərsidir? Loqarifm:

Bizim vəziyyətimizdə əsas rəqəmdir:

Belə bir loqarifmə (yəni əsası olan loqarifmə) "təbii" deyilir və biz bunun üçün xüsusi qeyddən istifadə edirik: əvəzinə yazırıq.

Nəyə bərabərdir? Əlbəttə, .

Təbii loqarifmin törəməsi də çox sadədir:

Nümunələr:

Funksiyanın törəməsini tapın.
Funksiyanın törəməsi nədir?

Cavablar: Eksponensial və təbii loqarifm törəmə nöqteyi-nəzərdən bənzərsiz sadə funksiyalardır. İstənilən digər baza ilə eksponensial və loqarifmik funksiyalar fərqli törəmələrə sahib olacaqlar ki, biz diferensiasiya qaydalarından keçdikdən sonra onu daha sonra təhlil edəcəyik.

Fərqləndirmə qaydaları

Nəyin qaydaları? Yenə yeni termin, yenə?!...

Fərqləndirmə törəmənin tapılması prosesidir.

Hamısı budur. Bu prosesi bir sözlə başqa nə adlandırmaq olar? Törəmə deyil... Riyaziyyatçılar diferensialı funksiyanın eyni artımı adlandırırlar. Bu termin Latın diferensiyası - fərqdən gəlir. Budur.

Bütün bu qaydaları çıxararkən iki funksiyadan istifadə edəcəyik, məsələn, və. Onların artımları üçün düsturlara da ehtiyacımız olacaq:

Ümumilikdə 5 qayda var.

Sabit törəmə işarədən çıxarılır.

Əgər - bəzi sabit ədəd (sabit), onda.

Aydındır ki, bu qayda fərq üçün də işləyir: .

Gəlin bunu sübut edək. Qoy olsun, ya da daha sadə.

Nümunələr.

Funksiyaların törəmələrini tapın:

bir nöqtədə;
bir nöqtədə;
bir nöqtədə;
nöqtədə.

Həll yolları:

(törəmə bütün nöqtələrdə eynidir, çünki bundan xətti funksiya, yadınızdadır?);

Məhsulun törəməsi

Burada hər şey oxşardır: gəlin yeni funksiya təqdim edək və onun artımını tapaq:

Törəmə:

Nümunələr:

və funksiyalarının törəmələrini tapın;
Bir nöqtədə funksiyanın törəməsini tapın.

Həll yolları:

Eksponensial funksiyanın törəməsi

İndi sizin bilikləriniz sadəcə eksponentləri deyil, hər hansı eksponensial funksiyanın törəməsini necə tapmağı öyrənmək üçün kifayətdir (bunun nə olduğunu hələ unutmusunuz?).

Beləliklə, bir nömrə haradadır.

Biz artıq funksiyanın törəməsini bilirik, ona görə də funksiyamızı yeni bazaya endirməyə çalışaq:

Bunun üçün sadə qaydadan istifadə edəcəyik: . Sonra:

Yaxşı, işlədi. İndi törəməni tapmağa çalışın və bu funksiyanın mürəkkəb olduğunu unutmayın.

baş verdi?

Budur, özünüzü yoxlayın:

Düstur bir eksponentin törəməsinə çox bənzədi: olduğu kimi, eyni qalır, yalnız bir amil meydana çıxdı, bu sadəcə bir rəqəmdir, lakin dəyişən deyil.

Nümunələr:
Funksiyaların törəmələrini tapın:

Cavablar:

Bu, sadəcə olaraq, kalkulyator olmadan hesablana bilməyən bir rəqəmdir, yəni bir daha yazmaq mümkün deyil. sadə formada. Ona görə də cavabda onu bu formada qoyuruq.

Qeyd edək ki, burada iki funksiyanın əmsalı var, ona görə də müvafiq diferensiasiya qaydasını tətbiq edirik:

Bu nümunədə iki funksiyanın məhsulu:

Loqarifmik funksiyanın törəməsi

Burada da oxşardır: təbii loqarifmin törəməsini artıq bilirsiniz:

Buna görə də, fərqli əsaslı ixtiyari loqarifm tapmaq üçün, məsələn:

Bu loqarifmi bazaya endirməliyik. Loqarifmin əsasını necə dəyişdirmək olar? Ümid edirəm ki, bu formulu xatırlayırsınız:

Yalnız indi əvəzinə yazacağıq:

Məxrəc sadəcə olaraq sabitdir (dəyişənsiz sabit ədəddir). Törəmə çox sadə şəkildə alınır:

Eksponensial və loqarifmik funksiyaların törəmələri Vahid Dövlət İmtahanında demək olar ki, tapılmır, lakin onları bilmək artıq olmaz.

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi.

"Mürəkkəb funksiya" nədir? Xeyr, bu loqarifm deyil, arktangent deyil. Bu funksiyaları başa düşmək çətin ola bilər (baxmayaraq ki, loqarifmi çətin hesab edirsinizsə, “Loqarifmlər” mövzusunu oxuyun və yaxşı olacaqsınız), lakin riyazi baxımdan “mürəkkəb” sözü “çətin” mənasını vermir.

Kiçik bir konveyer kəmərini təsəvvür edin: iki nəfər oturub bəzi əşyalarla bəzi hərəkətlər edir. Məsələn, birincisi şokolad çubuğunu paketə bükür, ikincisi isə lentlə bağlayır. Nəticə kompozit bir obyektdir: bir şokolad çubuğu bükülmüş və lentlə bağlanmışdır. Şokolad çubuğu yemək üçün tərs ardıcıllıqla tərs addımları yerinə yetirmək lazımdır.

Bənzər bir riyazi boru xətti yaradaq: əvvəlcə ədədin kosinusunu tapacağıq, sonra isə alınan ədədin kvadratını alacağıq. Beləliklə, bizə bir nömrə (şokolad) verilir, mən onun kosinusunu (bağımını) tapıram, sonra mənim aldığımı kvadrat edirsən (lentlə bağla). Nə olub? Funksiya. Bu, mürəkkəb funksiyanın nümunəsidir: onun dəyərini tapmaq üçün ilk hərəkəti birbaşa dəyişənlə, sonra isə birincinin nəticəsi ilə ikinci hərəkəti yerinə yetiririk.

Başqa sözlə, mürəkkəb funksiya arqumenti başqa funksiya olan funksiyadır: .

Bizim misal üçün, .

Eyni addımları tərs qaydada asanlıqla yerinə yetirə bilərik: əvvəlcə siz onun kvadratını çəkirsiniz, sonra isə çıxan ədədin kosinusunu axtarıram: . Nəticənin demək olar ki, həmişə fərqli olacağını təxmin etmək asandır. Mürəkkəb funksiyaların mühüm xüsusiyyəti: hərəkətlərin sırası dəyişdikdə funksiya dəyişir.

İkinci misal: (eyni şey). .

Ən son etdiyimiz hərəkət çağırılacaq "xarici" funksiya, və ilk həyata keçirilən hərəkət - müvafiq olaraq "daxili" funksiya(bunlar qeyri-rəsmi adlardır, mən onlardan yalnız materialı sadə dildə izah etmək üçün istifadə edirəm).

Hansı funksiyanın xarici və hansı daxili olduğunu özünüz müəyyənləşdirməyə çalışın:

Cavablar: Daxili və xarici funksiyaları ayırmaq dəyişənləri dəyişməyə çox bənzəyir: məsələn, funksiyada

Əvvəlcə hansı hərəkəti edəcəyik? Əvvəlcə sinusu hesablayaq və yalnız bundan sonra onu kublara ayıraq. Bu o deməkdir ki, o, daxili funksiyadır, lakin xarici funksiyadır.
Və orijinal funksiyası onların tərkibidir: .
Daxili: ; xarici: .
İmtahan: .
Daxili: ; xarici: .
İmtahan: .
Daxili: ; xarici: .
İmtahan: .
Daxili: ; xarici: .
İmtahan: .

Dəyişənləri dəyişirik və funksiya alırıq.

Yaxşı, indi şokolad çubuğumuzu çıxaracağıq və törəməni axtaracağıq. Prosedur həmişə tərsinə çevrilir: əvvəlcə xarici funksiyanın törəməsini axtarırıq, sonra nəticəni daxili funksiyanın törəməsi ilə çarpırıq. Orijinal nümunə ilə əlaqədar olaraq, belə görünür:

Başqa bir misal:

Beləliklə, nəhayət rəsmi qaydanı formalaşdıraq:

Mürəkkəb funksiyanın törəməsinin tapılması alqoritmi:

Sadə görünür, elə deyilmi?

Nümunələrlə yoxlayaq:

Həll yolları:

1) Daxili: ;

Xarici: ;

2) Daxili: ;

(Yalnız indiyə qədər onu kəsməyə çalışmayın! Kosinusun altından heç nə çıxmır, xatırlayırsınız?)

3) Daxili: ;

Xarici: ;

Dərhal aydın olur ki, bu, üç səviyyəli kompleks funksiyadır: axı, bu, artıq özlüyündə mürəkkəb bir funksiyadır və biz də ondan kök çıxarırıq, yəni üçüncü hərəkəti edirik (şokoladı qablaşdırmaya qoyun) və portfeldə lentlə). Ancaq qorxmaq üçün heç bir səbəb yoxdur: biz yenə də bu funksiyanı həmişəki qaydada "açacağıq": sondan.

Yəni əvvəlcə kökü, sonra kosinusu və yalnız bundan sonra mötərizədə ifadəni fərqləndiririk. Və sonra hamısını çoxaldırıq.

Belə hallarda hərəkətləri nömrələmək rahatdır. Yəni bildiyimizi təsəvvür edək. Bu ifadənin dəyərini hesablamaq üçün hərəkətləri hansı ardıcıllıqla yerinə yetirəcəyik? Bir misala baxaq:

Hərəkət nə qədər gec yerinə yetirilərsə, müvafiq funksiya bir o qədər “xarici” olacaqdır. Hərəkətlərin ardıcıllığı əvvəlki kimidir:

Burada yuvalama ümumiyyətlə 4 səviyyəlidir. Fəaliyyət istiqamətini müəyyən edək.

1. Radikal ifadə. .

2. Kök. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Hamısını bir yerə toplamaq:

TÖRƏVVƏ. ƏSAS ŞEYLƏR HAQQINDA QISA

Funksiya törəməsi- funksiyanın artımının arqumentin sonsuz kiçik artımı üçün arqumentin artımına nisbəti:

Əsas törəmələr:

Fərqləndirmə qaydaları:

Sabit törəmə işarədən çıxarılır:

Cəmin törəməsi:

Məhsulun törəməsi:

Hissənin törəməsi:

Kompleks funksiyanın törəməsi:

Mürəkkəb funksiyanın törəməsinin tapılması alqoritmi:

“Daxili” funksiyanı təyin edirik və onun törəməsini tapırıq.
“Xarici” funksiyanı təyin edirik və onun törəməsini tapırıq.
Birinci və ikinci nöqtələrin nəticələrini çoxaldırıq.

Siz bura gəldiyiniz üçün yəqin ki, artıq dərslikdə bu düsturu görmüsünüz

və belə bir üz düzəldin:

Dostum, narahat olma! Əslində, hər şey sadəcə hədsizdir. Siz mütləq hər şeyi başa düşəcəksiniz. Yalnız bir xahiş - məqaləni oxuyun yavaş-yavaş, hər addımı anlamağa çalışın. Mümkün qədər sadə və aydın yazdım, amma yenə də fikri başa düşmək lazımdır. Və məqalədəki vəzifələri həll etməyinizə əmin olun.

Mürəkkəb funksiya nədir?

Təsəvvür edin ki, siz başqa mənzilə köçürsünüz və buna görə də əşyaları böyük qutulara yığırsınız. Tutaq ki, bəzi kiçik əşyalar, məsələn, məktəb yazı materialları toplamaq lazımdır. Onları nəhəng bir qutuya atsanız, başqa şeylər arasında itəcəklər. Bunun qarşısını almaq üçün əvvəlcə onları, məsələn, bir çantaya qoyursunuz, sonra böyük bir qutuya qoyursunuz, sonra onu möhürləyirsiniz. Bu "mürəkkəb" proses aşağıdakı diaqramda təqdim olunur:

Deyəsən, riyaziyyatın bununla nə əlaqəsi var? Bəli, kompleks funksiyanın TAM EYNİ şəkildə əmələ gəlməsinə baxmayaraq! Yalnız biz dəftər və qələmləri deyil, $x$ “paketləyirik”, halbuki “paketlər” və “qutular” fərqlidir.

Məsələn, x götürək və onu bir funksiyaya “paketlə”:

Nəticədə, əlbəttə ki, $\cos⁡x$ alırıq. Bu, bizim "əşya çantamız"dır. İndi onu "qutuya" qoyaq - məsələn, kub funksiyasına yığın.

Axırda nə olacaq? Bəli, düzdür, “qutuda əşyalar çantası”, yəni “X kubunun kosinusu” olacaq.

Nəticədə dizayn mürəkkəb bir funksiyadır. Sadədən bununla fərqlənir Bir X-ə bir neçə “təsir” (paketlər) tətbiq olunur və belə çıxır ki, "funksiyadan funksiya" - "qablaşdırma içərisində qablaşdırma".

Məktəb kursunda bu "paketlərin" çox az növü var, yalnız dördü:

İndi X-i əvvəlcə 7 bazası olan eksponensial funksiyaya, sonra isə triqonometrik funksiyaya “paketləyək”. Biz əldə edirik:

$x → 7^x → tg⁡(7^x)$

İndi gəlin X-i iki dəfə “paketləyək” triqonometrik funksiyalar, əvvəlcə , sonra isə:

$x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)$

Sadə, elə deyilmi?

İndi funksiyaları özünüz yazın, burada x:
- əvvəlcə o, kosinusda, sonra isə $3$ bazası olan eksponensial funksiyaya “toplanır”;
- əvvəlcə beşinci gücə, sonra isə tangensə;
- əvvəlcə əsas üçün loqarifmə $4$ , sonra gücə $-2$.

Məqalənin sonunda bu tapşırığın cavablarını tapın.

X-i iki yox, üç dəfə “paketə” edə bilərikmi? Problem deyil! Və dörd, beş və iyirmi beş dəfə. Burada, məsələn, x-in $4$ dəfə “qablaşdırıldığı” funksiyadır:

$y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))$

Amma məktəb praktikasında belə düsturlara rast gəlinməyəcək (şagirdlər daha şanslıdır - onlarınki daha mürəkkəb ola bilər☺).

Mürəkkəb bir funksiyanı "açmaq"

Əvvəlki funksiyaya yenidən baxın. "Qablaşdırma" ardıcıllığını anlaya bilərsinizmi? Əvvəlcə nə X dolduruldu, sonra nə və s. sona qədər. Yəni hansı funksiya hansının içində yerləşib? Bir kağız parçası götürün və düşündüyünüzü yazın. Bunu yuxarıda yazdığımız kimi oxları olan bir zəncirlə və ya başqa bir şəkildə edə bilərsiniz.

İndi düzgün cavab belədir: əvvəlcə x $4$-cü qüvvəyə “qablaşdırıldı”, sonra nəticə sinusa yığıldı, o da öz növbəsində $2$ bazasına loqarifmə yerləşdirildi. , və sonunda bütün bu tikinti bir güc beşlərinə dolduruldu.

Yəni, ardıcıllığı TERS SİPARİŞlə açmaq lazımdır. Bunu daha asan etmək üçün bir ipucu var: dərhal X-ə baxın - ondan rəqs etməlisiniz. Gəlin bir neçə nümunəyə baxaq.

Məsələn, burada aşağıdakı funksiya var: $y=tg⁡(\log_2⁡x)$. X-ə baxırıq - əvvəlcə onunla nə olur? Ondan alınıb. Daha sonra? Nəticənin tangensi alınır. Ardıcıllıq eyni olacaq:

$x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)$

Başqa bir misal: $y=\cos⁡((x^3))$. Təhlil edək - əvvəlcə X-i kub etdik, sonra isə nəticənin kosinusunu götürdük. Bu o deməkdir ki, ardıcıllıq belə olacaq: $x → x^3 → \cos⁡((x^3))$. Diqqət yetirin, funksiya ilkin funksiyaya bənzəyir (şəkillərin olduğu yerdə). Amma bu, tamamilə fərqli funksiyadır: burada kubda x (yəni $\cos⁡((x·x·x)))$, kubda isə kosinus $x$ var. yəni $\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x$). Bu fərq müxtəlif "qablaşdırma" ardıcıllığından yaranır.

Sonuncu misal (içində mühüm məlumatla): $y=\sin⁡((2x+5))$. Onların burada ilk olaraq nə etdikləri aydındır arifmetik əməliyyatlar x ilə, sonra nəticənin sinusunu götürdü: $x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))$. Və bu mühüm məqam: arifmetik əməllərin özlüyündə funksiya olmamasına baxmayaraq, burada onlar həm də “qablaşdırma” üsulu kimi çıxış edirlər. Gəlin bu incəliyi bir az daha dərindən araşdıraq.

Yuxarıda dediyim kimi, sadə funksiyalarda x bir dəfə, mürəkkəb funksiyalarda isə iki və ya daha çox “qablaşdırılır”. Üstəlik, sadə funksiyaların istənilən kombinasiyası (yəni, onların cəmi, fərqi, vurma və ya bölməsi) sadə funksiya. Məsələn, $x^7$ sadə funksiyadır və $ctg x$. Bu o deməkdir ki, onların bütün birləşmələri sadə funksiyalardır:

$x^7+ ctg x$ - sadə,
$x^7· çarpayı x$ – sadə,
$\frac(x^7)(ctg x)$ – sadə və s.

Bununla belə, belə birləşməyə daha bir funksiya tətbiq edilərsə, o, mürəkkəb funksiyaya çevriləcək, çünki iki “paket” olacaqdır. Diaqrama baxın:

Yaxşı, indi davam et. "Qapama" funksiyalarının ardıcıllığını yazın:
$y=cos(⁡(sin⁡x))$
$y=5^(x^7)$
$y=arctg⁡(11^x)$
$y=log_2⁡(1+x)$
Cavablar yenə məqalənin sonundadır.

Daxili və xarici funksiyalar

Funksiya yuvasını niyə başa düşməliyik? Bu bizə nə verir? Fakt budur ki, belə bir təhlil olmadan yuxarıda müzakirə olunan funksiyaların törəmələrini etibarlı şəkildə tapa bilməyəcəyik.

Və davam etmək üçün bizə daha iki anlayış lazım olacaq: daxili və xarici funksiyalar. Bu, çox sadə bir şeydir, üstəlik, əslində, biz onları yuxarıda təhlil etdik: bənzətməmizi əvvəldən xatırlasaq, daxili funksiya "paket", xarici funksiya isə "qutu"dur. Bunlar. X-in əvvəlcə “büküldüyü” daxili funksiyadır və daxili funksiyanın “büküldüyü” artıq xaricidir. Yaxşı, niyə aydındır - o kənardadır, bu xarici deməkdir.

Bu misalda: $y=tg⁡(log_2⁡x)$, $\log_2⁡x$ funksiyası daxilidir və
- xarici.

Və burada: $y=\cos⁡((x^3+2x+1))$, $x^3+2x+1$ daxilidir və
- xarici.

Mürəkkəb funksiyaları təhlil etmək üçün son təcrübəni tamamlayın və nəhayət hamımızın başladığı şeyə keçək - mürəkkəb funksiyaların törəmələrini tapacağıq:

Cədvəldəki boş yerləri doldurun:

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi

Bravo, biz nəhayət bu mövzunun “bosuna” çatdıq - əslində mürəkkəb funksiyanın törəməsi və konkret olaraq məqalənin əvvəlindən o çox dəhşətli düstura.☺

$(f(g(x))"=f"(g(x))\cdot g"(x)$

Bu formula belə oxunur:

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi xarici funksiyanın sabit daxili funksiyaya görə törəməsi ilə daxili funksiyanın törəməsinin hasilinə bərabərdir.

Nə olduğunu başa düşmək üçün dərhal "sözdən söz" təhlil diaqramına baxın:

Ümid edirəm ki, “törəmə” və “məhsul” terminləri heç bir çətinlik yaratmayacaq. "Mürəkkəb funksiya" - biz onu artıq sıralamışıq. Tutma “sabit daxili funksiyaya münasibətdə xarici funksiyanın törəməsidir”. Bu nədir?

Cavab: Bu, xarici funksiyanın adi törəməsidir, burada yalnız xarici funksiya dəyişir, daxili funksiya isə dəyişməz qalır. Hələ aydın deyil? Yaxşı, bir misal istifadə edək.

$y=\sin⁡(x^3)$ funksiyası olsun. Aydındır ki, burada daxili funksiya $x^3$, xarici funksiyadır
. İndi daimi interyerə görə eksteryerin törəməsini tapaq.