Sinusun törəməsi: (sin x)′. Sinusun törəməsi: (sin x)′ Sinusun həddi keçən törəməsi

törəmə

Riyazi funksiyanın törəməsinin hesablanması (diferensiasiya) ali riyaziyyatın həlli zamanı çox yayılmış problemdir. Sadə (elementar) riyazi funksiyalar üçün bu, kifayət qədər sadə məsələdir, çünki elementar funksiyalar üçün törəmələrin cədvəlləri çoxdan tərtib edilib və asanlıqla əldə edilə bilər. Bununla belə, mürəkkəb riyazi funksiyanın törəməsinin tapılması əhəmiyyətsiz bir iş deyil və çox vaxt əhəmiyyətli səy və vaxt tələb edir.

Törəmə onlayn tapın

Onlayn xidmətimiz mənasız uzun hesablamalardan qurtulmağa imkan verir və törəməni onlayn tapın bir anda. Üstəlik, saytda yerləşən xidmətimizdən istifadə etməklə www.site, hesablaya bilərsiniz onlayn törəmə həm elementar funksiyadan, həm də analitik həlli olmayan çox mürəkkəb funksiyadan. Saytımızın digərləri ilə müqayisədə əsas üstünlükləri bunlardır: 1) törəmənin hesablanması üçün riyazi funksiyanın daxil edilməsi metoduna ciddi tələblər yoxdur (məsələn, sinus x funksiyasını daxil edərkən onu sin x və ya sin kimi daxil edə bilərsiniz. (x) və ya sin[x] və s. d.); 2) onlayn törəmə hesablanması rejimdə dərhal baş verir onlayn və mütləq pulsuz; 3) funksiyanın törəməsini tapmağa imkan veririk istənilən sifariş, törəmənin sırasını dəyişdirmək çox asan və başa düşüləndir; 4) demək olar ki, hər hansı bir riyazi funksiyanın törəməsini onlayn tapmağa imkan veririk, hətta digər xidmətlər tərəfindən həll edilə bilməyən çox mürəkkəb. Təqdim olunan cavab həmişə dəqiqdir və səhvləri ehtiva edə bilməz.

Bizim serverimizdən istifadə etmək sizə 1) xəta və ya yazı xətası edə biləcəyiniz vaxt aparan və yorucu hesablamaları aradan qaldıraraq, törəməni sizin üçün onlayn hesablamağa imkan verəcək; 2) bir riyazi funksiyanın törəməsini özünüz hesablayırsınızsa, onda biz sizə əldə edilmiş nəticəni xidmətimizin hesablamaları ilə müqayisə etmək və həllin düzgün olduğundan əmin olmaq və ya daxil olan bir səhv tapmaq imkanı veririk; 3) sadə funksiyaların törəmə cədvəllərindən istifadə etmək əvəzinə xidmətimizdən istifadə edin, burada istədiyiniz funksiyanı tapmaq çox vaxt tələb olunur.

Sizə lazım olan hər şeydir törəməni onlayn tapın- xidmətimizdən istifadə etməkdir

Mövzunu öyrənərkən rahatlıq və aydınlıq üçün xülasə cədvəlini təqdim edirik.

Daimiy = C

Güc funksiyası y = x p

(x p) " = p x p - 1

Eksponensial funksiyay = balta

(a x) " = a x ln a

Xüsusilə, nə vaxta = ebizdə var y = e x

(e x) " = e x

Loqarifmik funksiya

(log a x) " = 1 x ln a

Xüsusilə, nə vaxta = ebizdə var y = log x

(ln x) " = 1 x

Triqonometrik funksiyalar

(sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x

Tərs triqonometrik funksiyalar

(a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2

Hiperbolik funksiyalar

(s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Göstərilən cədvəlin düsturlarının necə alındığını təhlil edək və ya başqa sözlə, hər bir funksiya növü üçün törəmə düsturların törəməsini sübut edəcəyik.

Sabitin törəməsi

Sübut 1

Bu düsturu əldə etmək üçün bir nöqtədə funksiyanın törəməsinin tərifini əsas götürürük. Biz x 0 = x istifadə edirik, burada x istənilən həqiqi ədədin qiymətini alır və ya başqa sözlə, x f (x) = C funksiyasının oblastından istənilən ədəddir. Funksiya artımının arqumentin artımına nisbətinin həddini ∆ x → 0 kimi yazaq:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Nəzərə alın ki, 0 ∆ x ifadəsi limit işarəsinin altına düşür. Bu, "sıfırın sıfıra bölünməsi" qeyri-müəyyənliyi deyil, çünki paylayıcıda sonsuz kiçik bir dəyər deyil, dəqiq sıfır var. Başqa sözlə, sabit funksiyanın artımı həmişə sıfırdır.

Beləliklə, f (x) = C sabit funksiyasının törəməsi bütün tərif oblastı boyunca sıfıra bərabərdir.

Misal 1

Sabit funksiyalar verilir:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Həll

Verilmiş şərtləri təsvir edək. Birinci funksiyada 3 natural ədədinin törəməsini görürük. Aşağıdakı nümunədə törəməni götürməlisiniz A, Harada A- istənilən real rəqəm. Üçüncü nümunə bizə irrasional 4 ədədinin törəməsini verir. 13 7 22, dördüncüsü sıfırın törəməsidir (sıfır tam ədəddir). Nəhayət, beşinci halda rasional kəsrin törəməsi var - 8 7.

Cavab: verilmiş funksiyaların törəmələri istənilən real üçün sıfırdır x(bütün tərif sahəsi üzrə)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Güc funksiyasının törəməsi

Gəlin güc funksiyasına və onun törəməsinin düsturuna keçək, forması var: (x p) " = p x p - 1, burada eksponent səh istənilən real rəqəmdir.

Sübut 2

Göstəricinin natural ədəd olduğu düsturun sübutu budur: p = 1, 2, 3, …

Biz yenə də törəmənin tərifinə etibar edirik. Güc funksiyasının artımının arqumentin artımına nisbətinin həddini yazaq:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Numeratordakı ifadəni sadələşdirmək üçün Nyutonun binom düsturundan istifadə edirik:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Beləliklə:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (. C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p -. 1 + 0 + 0 = p (p - 1) !

Beləliklə, eksponent natural ədəd olduqda güc funksiyasının törəməsinin düsturunu sübut etdik.

Sübut 3

İşin sübutunu təmin etmək üçün p- sıfırdan başqa istənilən həqiqi ədəd üçün loqarifmik törəmədən istifadə edirik (burada loqarifmik funksiyanın törəməsi ilə fərqi başa düşməliyik). Daha dolğun başa düşmək üçün loqarifmik funksiyanın törəməsini öyrənmək və gizli funksiyanın törəməsini və mürəkkəb funksiyanın törəməsini daha da başa düşmək məsləhətdir.

İki halı nəzərdən keçirək: nə vaxt x müsbət və nə vaxt x mənfi.

Beləliklə, x > 0. Sonra: x p > 0 . y = x p bərabərliyini e əsasına loqarifm edək və loqarifmin xassəsini tətbiq edək:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

Bu mərhələdə biz üstüörtülü şəkildə müəyyən edilmiş funksiya əldə etdik. Onun törəməsini müəyyən edək:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

İndi biz nə vaxt vəziyyətə baxırıq x - mənfi rəqəm.

Əgər göstərici səh cüt ədəddir, onda güc funksiyası x üçün müəyyən edilir< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Sonra x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Əgər səh tək ədəddir, onda güc funksiyası x üçün müəyyən edilir< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

Sonuncu keçid, əgər olması səbəbindən mümkündür səh onda tək rəqəmdir p - 1 ya cüt ədəd, ya da sıfır (p = 1 üçün), buna görə də mənfi üçün x(- x) p - 1 = x p - 1 bərabərliyi doğrudur.

Beləliklə, biz istənilən real p üçün güc funksiyasının törəməsinin düsturunu sübut etdik.

Misal 2

Verilən funksiyalar:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Onların törəmələrini təyin edin.

Həll

Verilmiş funksiyaların bəzilərini dərəcənin xassələrinə əsaslanaraq cədvəl formasına çeviririk y = x p , sonra isə düsturdan istifadə edirik:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Eksponensial funksiyanın törəməsi

Sübut 4

Tərifdən əsas götürərək törəmə düsturunu çıxaraq:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Bizdə qeyri-müəyyənlik var. Onu genişləndirmək üçün z = a ∆ x - 1 (z → 0 kimi ∆ x → 0) olan yeni dəyişən yazaq. Bu halda a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Sonuncu keçid üçün yeni loqarifm bazasına keçid formulundan istifadə edilmişdir.

Orijinal limiti əvəz edək:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

İkinci əlamətdar həddi xatırlayaq və sonra eksponensial funksiyanın törəməsi üçün düstur alırıq:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

Misal 3

Eksponensial funksiyalar verilir:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Onların törəmələrini tapmaq lazımdır.

Həll

Eksponensial funksiyanın törəməsi və loqarifmin xassələri üçün düsturdan istifadə edirik:

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Loqarifmik funksiyanın törəməsi

Sübut 5

Hər hansı bir loqarifmik funksiyanın törəməsi üçün düsturun sübutunu təqdim edək x tərif sahəsində və loqarifmin a əsasının hər hansı icazə verilən dəyərləri. Törəmə tərifinə əsasən, əldə edirik:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

Göstərilən bərabərlik zəncirindən aydın olur ki, çevrilmələr loqarifmin xassəsinə əsaslanır. lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e bərabərliyi ikinci əlamətdar həddə uyğun olaraq doğrudur.

Misal 4

Loqarifmik funksiyalar verilir:

f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x

Onların törəmələrini hesablamaq lazımdır.

Həll

Alınan düsturu tətbiq edək:

f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x

Beləliklə, natural loqarifmin törəməsi birinə bölünür x.

Triqonometrik funksiyaların törəmələri

Sübut 6

Triqonometrik funksiyanın törəməsinin düsturunu əldə etmək üçün bəzi triqonometrik düsturlardan və ilk gözəl hədddən istifadə edək.

Sinus funksiyasının törəməsinin tərifinə görə alırıq:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Sinusların fərqi düsturu bizə aşağıdakı hərəkətləri yerinə yetirməyə imkan verəcəkdir:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Nəhayət, ilk gözəl limitdən istifadə edirik:

sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Beləliklə, funksiyanın törəməsi günah x olacaq cos x.

Kosinusun törəməsinin düsturunu da sübut edəcəyik:

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Bunlar. cos x funksiyasının törəməsi olacaq – günah x.

Diferensiasiya qaydalarına əsasən tangens və kotangens törəmələri üçün düsturları əldə edirik:

t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Tərs triqonometrik funksiyaların törəmələri

Tərs funksiyaların törəməsi bölməsində arksinus, arkkosinus, arktangens və arktangens törəmələri üçün düsturların isbatı haqqında geniş məlumat verilir, ona görə də biz burada materialı təkrar etməyəcəyik.

Hiperbolik funksiyaların törəmələri

Sübut 7

Diferensiasiya qaydasından və eksponensial funksiyanın törəməsinin düsturundan istifadə edərək hiperbolik sinus, kosinus, tangens və kotangensin törəmələri üçün düsturlar əldə edə bilərik:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Cədvəlin ilk düsturunu çıxararkən, bir nöqtədə törəmə funksiyanın tərifindən çıxış edəcəyik. hara aparaq x- istənilən real rəqəm, yəni, x– funksiyanın təyini sahəsindən istənilən ədəd. Funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinin həddini aşağıdakı nöqtədə yazaq:

Qeyd etmək lazımdır ki, limit işarəsi altında sıfırın qeyri-müəyyənliyi sıfıra bölünən ifadə alınmır, çünki paylayıcıda sonsuz kiçik bir dəyər deyil, dəqiq sıfır var. Başqa sözlə, sabit funksiyanın artımı həmişə sıfırdır.

Beləliklə, sabit funksiyanın törəməsibütün tərif sahəsi boyunca sıfıra bərabərdir.

Güc funksiyasının törəməsi.

Güc funksiyasının törəməsinin düsturu formaya malikdir , eksponent olduğu yer səh- istənilən real rəqəm.

Əvvəlcə təbii göstəricinin, yəni üçün düsturunu sübut edək p = 1, 2, 3, …

Törəmə tərifindən istifadə edəcəyik. Güc funksiyasının artımının arqumentin artımına nisbətinin həddini yazaq:

Numeratordakı ifadəni sadələşdirmək üçün Nyuton binom düsturuna müraciət edirik:

Beləliklə,

Bu, təbii eksponent üçün güc funksiyasının törəməsinin düsturunu sübut edir.

Eksponensial funksiyanın törəməsi.

Tərif əsasında törəmə düsturun törəməsini təqdim edirik:

Biz qeyri-müəyyənliyə gəldik. Onu genişləndirmək üçün yeni dəyişən təqdim edirik və . Sonra . Sonuncu keçiddə yeni loqarifmik bazaya keçid formulundan istifadə etdik.

Orijinal limiti əvəz edək:

İkinci diqqətəlayiq həddi xatırlasaq, eksponensial funksiyanın törəməsinin düsturuna gəlirik:

Loqarifmik funksiyanın törəməsi.

Hamı üçün loqarifmik funksiyanın törəməsinin düsturunu sübut edək x tərif sahəsindən və bazanın bütün etibarlı dəyərlərindən a loqarifm Törəmə tərifinə görə bizdə:

Qeyd etdiyiniz kimi, isbat zamanı loqarifmin xassələrindən istifadə etməklə çevrilmələr aparılmışdır. Bərabərlik ikinci əlamətdar həddi səbəbiylə doğrudur.

Triqonometrik funksiyaların törəmələri.

Triqonometrik funksiyaların törəmələri üçün düsturlar əldə etmək üçün bəzi triqonometriya düsturlarını, eləcə də ilk diqqətəlayiq həddi xatırlamalı olacağıq.

Sinus funksiyası üçün törəmənin tərifinə görə əlimizdə .

Sinusların fərqi düsturundan istifadə edək:

İlk əlamətdar həddə keçmək qalır:

Beləliklə, funksiyanın törəməsi günah x var cos x.

Kosinusun törəməsinin düsturu da məhz eyni şəkildə isbat edilir.

Buna görə də funksiyanın törəməsi cos x var – sin x.

Sübut edilmiş diferensiasiya qaydalarından (kəsirin törəməsi) istifadə edərək, tangens və kotangens üçün törəmələr cədvəli üçün düsturları əldə edəcəyik.

Hiperbolik funksiyaların törəmələri.

Diferensiasiya qaydaları və törəmələr cədvəlindən eksponensial funksiyanın törəməsinin düsturu hiperbolik sinus, kosinus, tangens və kotangens törəmələri üçün düsturlar əldə etməyə imkan verir.

Tərs funksiyanın törəməsi.

Təqdimat zamanı çaşqınlığa yol verməmək üçün diferensiasiyanın həyata keçirildiyi funksiyanın arqumentini, yəni funksiyanın törəməsi olduğunu alt yazı ilə qeyd edək. f(x) By x.

İndi formullaşdıraq tərs funksiyanın törəməsinin tapılması qaydası.

Qoy funksiyalar y = f(x) Və x = g(y) qarşılıqlı tərs, intervallarda müəyyən edilmiş və müvafiq olaraq. Bir nöqtədə funksiyanın sonlu sıfırdan fərqli törəməsi varsa f(x), onda nöqtədə tərs funksiyanın sonlu törəməsi var g(y), və . Başqa bir yazıda .

Bu qayda hər kəs üçün yenidən formalaşdırıla bilər x intervaldan , sonra alırıq .

Bu düsturların etibarlılığını yoxlayaq.

Natural loqarifm üçün tərs funksiyanı tapaq (Burada y funksiyadır və x- mübahisə). Bu tənliyi həll etdikdən sonra x, alırıq (burada x funksiyadır və y– onun arqumenti). Yəni, və qarşılıqlı tərs funksiyalar.

Törəmələr cədvəlindən bunu görürük Və .

Əmin olaq ki, tərs funksiyanın törəmələrini tapmaq üçün düsturlar bizi eyni nəticələrə gətirib çıxarır:

Gördüyünüz kimi, törəmələr cədvəlində olduğu kimi eyni nəticələr əldə etdik.

İndi biz tərs triqonometrik funksiyaların törəmələri üçün düsturları sübut etmək üçün biliklərə sahibik.

Arksinusun törəməsi ilə başlayaq.

. Sonra tərs funksiyanın törəməsi üçün düsturdan istifadə edərək, alırıq

Geriyə yalnız dəyişiklikləri həyata keçirmək qalır.

Arksinüs diapazonu interval olduğundan , Bu (əsas elementar funksiyalar, onların xassələri və qrafikləri bölməsinə baxın). Ona görə də biz bunu nəzərə almırıq.