Xətti cəbri tənliklərin şərtsiz sistemləri. Krılov alt fəzasından istifadə edərək xətti cəbri tənliklərin qeyri-şərtsiz seyrək sistemlərinin həlli

3 saylı laboratoriya işi

Xətti cəbri tənliklərin şərtsiz sistemlərinin həlli

Tənzimləmə üsulu

Giriş parametrləri: sistemin n sırasına bərabər olan n-müsbət tam ədəd; a - sistem əmsallarının matrisini ehtiva edən n x n həqiqi ədəddən ibarət massivdir; b - sistemin sərbəst şərtlər sütununu ehtiva edən n həqiqi ədəddən ibarət massiv (b(1) = b 1, b(2)=b 2, …b(n)=b n) .

Çıxış parametrləri: x – sistem həlli; p-iterasiyaların sayı.

Alqoritm diaqramı Şəkil 18-də göstərilmişdir.

Proqram mətni:

prosedur regul(N:Integer;a:Tmatr;b:Tvector;var X:Tvector; var p:integer);

var a1,a2:matr; b1,b2,x0:tvektor; alfa,s1,s:real; max,eps:real; i,j,k,l:tam ədəd;

Out_Slau_T(n,a,b);

I üçün:=1 To n Do (AT A qəbul edir)

K üçün:=1 To N Do

J üçün:=1 N Ediləcək S:=S+A*A;

I üçün:=1 To N Do (A T B qəbul edir)

J üçün:=1 To N Do

Başlayın S:=S+A*B[j];

alfa:=0; (ilkin alfa dəyəri)

k:=0; (təkrarların sayı)

alfa:=alfa+0,01; inc(k); a2:=a1;

i:=1 üçün N etmək a2:=a1+alfa; (AT A+alfa qəbul edir)

i üçün:=1 to N do b2[i]:=b1[i]+alfa*x0[i]; (A T B+alfa qəbul edir)

SIMQ(n,a2,b2,l);

a2:=a1; X:=b2; x0:=X; b2:=b1;

vozm(N,eps,a2,b2);

simq(n,a2,b2,l);

i:=2 üçün n etmək

əgər abs(b2[i]-X[i])>max onda maks:=abs(b2[i]-X[i]);

X1 = 1,981 X2 = 0,4735

Şəkil 18 - Regulyasiya metodu alqoritminin sxemi

Normallaşdırma metodundan istifadə edərək, pis vəziyyətdə olan sistemlərin həlli üçün tapşırıqların variantları Cədvəl 3-də verilmişdir.

Fırlanma üsulu (Givens)

Alqoritm diaqramı Şəkil 19-da göstərilmişdir.

Misal. Tənliklər sistemini həll edin

Proqram mətni:

PROSEDÜR Vrash;

Var I,J,K: Tam ədəd; M, L, R: Real; F1:TEXT; Etiket M1,M2;

Out_Slau_T(nn,aa,b);

i:=1 üçün Nn etmək

I üçün:=1 Nn-1 Başlayın

K üçün:=I+1 To Nn Başlayın

Əgər (Aa0.0) O zaman M1-ə keçin;Əgər (Aa0.0) O zaman M1-ə keçin;

1:M:=Sqrt(Aa*Aa+Aa*Aa);

L:=-1,0*Aa/M;

M2:J üçün:=1 To Nn Başlayın

R:=M*Aa-L*Aa;

Aa:=L*Aa+M*Aa;

R:=M*Aa-L*Aa;

Aa:=L*Aa+M*Aa;

I üçün:=Nn Downto 1 Do Start

K üçün:=0 Nn-I-1 Başlayın M:=M+Aa*Aa; son;

Aa:=(Aa-M)/Aa; son;

for i:=1 to Nn do x[i]:=Aa;End;

Proqrama uyğun olaraq hesablamalar aşağıdakı nəticələrə gətirib çıxardı:

X1 = 1,981 X2 = 0,4735

Şəkil 19 - Givens metodu alqoritminin sxemi (fırlanma)

Tapşırıq seçimləri

Cədvəl 3

	Matris A				Matris A

Biliyə nəzarət üzrə 3 saylı laboratoriya işinin mövzusu nəzarət və təlim proqramı ilə təsvir edilmişdir.

4 saylı laboratoriya işi

Qeyri-xətti tənliklərin və qeyri-xətti tənliklər sistemlərinin həlli

Sadə təkrarlama üsulu

Laboratoriya işlərinin yerinə yetirilməsi qaydası:

Həllin sıfıra yaxınlaşmasını tapın;

f(x) = 0 sistemini x = Ф(x) formasına çevirin;

Metodun yaxınlaşma vəziyyətini yoxlayın.

Alqoritm diaqramı Şəkil 20-də göstərilmişdir.

Misal. Sadə təkrarlama metodundan istifadə edərək sistemi həll edin

Sıfır yaxınlaşma olaraq x = 1, y = 2.2, z = 2 nöqtəsini seçirik. Sistemi formaya çevirək.

Proqram mətni:

PROSEDÜR Iteraz;

Var I,J,K,J1: Tam ədəd;

X2, X3, Eps: Real;

Eps:=0,01; X2:=0,0; K:=1;

J üçün:=1 To Nn Başlayın

I üçün:=1 To Nn Başlayın S:=S+Aa*Xx[i]; son;

J1 üçün:=1 To Nn Başlayın Xx:=R; son; X3:=Xx;

I üçün:=1 To Nn Başlayın Əgər (Xx[i]>=X3) Onda X3:=Xx[i]; son;

I üçün:=1 To Nn Başlayın Xx[i]:=Xx[i]/X3; son;

X1:=X3; U:=Abs(X2-X1); U1:=U/Abs(X1);

Əgər (U1>=Eps) Əgər X2:=X1;

((K>=50) və ya (U1) qədər

Proqrama uyğun olaraq hesablamalar aşağıdakı nəticələrə gətirib çıxardı:

X(1)= 1,1132 X(2)= 2,3718 X(3)= 2,1365

Təkrarların sayı: 5

Şəkil 20 - Sadə təkrarlama metodu alqoritminin sxemi

Nyuton üsulu

Proqram ondan daha yüksək olmayan sifariş sistemlərini həll etmək üçün istifadə edilə bilər.

Giriş parametrləri: n - sistemin tənliklərinin sayı (naməlumların sayı ilə üst-üstə düşür), n £ 10; həllin ilkin təxminini ehtiva edən n həqiqi ədəddən ibarət x massivi; f, x massivinin elementlərində yerləşən x verilmiş qiymətlərə əsasən f funksiyasının cari qiymətlərini hesablayan və onları yerləşdirən f(n, x, y) xarici prosedurunun adıdır. y massivinin elementləri; g - x massivindən verilən x dəyərlərindən matrisin elementlərini hesablayan xarici prosedurun adı g(n, x, d)
n x n ölçülü d massivində yerləşən ; eps - iterativ prosesi bitirmək üçün şərtin dəyəri.

Çıxış parametrləri: x - n həqiqi ədəddən ibarət massiv (həmçinin giriş kimi tanınır) alt proqramdan çıxdıqda həllin təxmini qiymətini ehtiva edir; k təkrarların sayıdır.

UDC 519.61:621.3

V.P. VOLOBOEV*, V.P. KLİMENKO*

FİZİKİ OYNANI TƏSVİR EDƏN XƏTTİ CƏBRİK TƏNLİKLƏRİN QEYRİ ŞƏRTDƏSİZ SİSTEMİNİN HƏLLİNƏ BİR YANIM HAQQINDA

Ukrayna Milli Elmlər Akademiyasının Riyazi Maşınlar və Sistemlər Problemləri İnstitutu, Kiyev, Ukrayna

mücərrəd. Göstərilmişdir ki, diskret modeli xətti cəbri tənliklər sistemi (SLAR) ilə təsvir edilən fiziki obyektlərin modelləşdirilməsinin nəticələrinin ehtimalı matrisin zəif dizaynı nəticəsində deyil, onun nəticəsidir. qovşaq potensialları metodundan və ya onun analoqlarından istifadə etməklə qatlanmış səviyyələr mərhələsində minimal SLAR-ın səhv seçilməsi və metodun özü Bu, tapşırığın düzgün qoyulması metoduna əsas ziddiyyətdir SLAR-ın düzgünlüyünün yoxlanılması üsulu, yaradılmamış simmetrik matrisə malik olan düyün potensiallarının metodu təklif edilmişdir və onu düzgün formaya çevirmək lazımdır.

Açar sözlər: sistem, modelləşdirmə, səhv təyinat, səhv mülahizə, xətti cəbri tənliklər sistemi, düyün potensialları metodu, tapşırığın düzgün təyin edilməsi üsulu, düzgünlüyün yoxlanılması.

Annotasiya. Göstərilir ki, diskret modeli xətti cəbri tənliklər sistemi (SLAE) ilə təsvir edilən fiziki obyektlərin modelləşdirilməsinin nəticələrinin etibarlılığı matrisin zəif şərtiliyindən deyil, SLAE dəyişənlərinin düzgün seçilməməsindən asılıdır. nodal potensiallar metodundan və ya onun analoqlarından istifadə edərək tənliklərin qurulması mərhələsində və metodun özü məsələnin düzgün formalaşdırılması metodunun xüsusi bir halıdır. Qeyri-degenerativ və simmetrik matrisə malik olan, nodal potensiallar üsulu ilə tərtib edilmiş SLAE-nin düzgünlüyünü yoxlamaq və lazım olduqda onu düzgün formaya çevirmək üçün bir texnika təklif olunur.

Açar sözlər: sistem, modelləşdirmə, səhv qoyulmuş məsələ, pis kondisiya, xətti cəbri tənliklər sistemi, düyün potensialları metodu, məsələnin düzgün formalaşdırılması üsulu, düzgünlüyün yoxlanılması.

mücərrəd. Məqalədə göstərilir ki, diskret modeli xətti cəbri tənliklər sistemi (SLAE) ilə təsvir edilən fiziki obyektlərin simulyasiyasının nəticələrinin etibarlılığı pis kondisioner matrisadan deyil, tənliklərin yaradılması mərhələsində dəyişən SLAE-nin düzgün seçilməməsindən asılıdır. düyün potensialı metodu və ya onun analoqları ilə, metod isə problemin düzgün ifadəsi metodunun xüsusi halıdır. Qeyri-sinqulyar və simmetrik matrisə malik qovşaq potensialı üsulu ilə hazırlanmış SLAE-nin düzgünlüyünün yoxlanılması və lazım gəldikdə düzgün formaya çevrilməsi təklif edilmişdir.

Açar sözlər: sistem, simulyasiya, səhv məsələ, pis şərtli, xətti cəbri tənliklər sistemi, qovşaq potensialı metodu, məsələnin düzgün ifadəsi üsulu, düzgünlüyün yoxlanılması.

1. Giriş

Fiziki (texniki) obyektlərin modelləşdirilməsinin bir çox problemləri xətti cəbri tənliklər sistemlərinin (SLAE) həllinə gəlir. Belə sistemləri həll edərkən bütün hesablamalar sonlu sayda əhəmiyyətli rəqəmlərlə aparıldığından, yuvarlaqlaşdırma səhvləri səbəbindən dəqiqlik əhəmiyyətli dərəcədə itirilə bilər. Zəif kondisioner (qeyri-sabit) sistem və ya daha ümumi formada desək, səhv qoyulmuş problem, daxil edilmiş məlumatların səhvlərinin sabit səviyyəsini və hesablamaların dəqiqliyini nəzərə alaraq, həlldə heç bir dəqiqliyə zəmanət verməyən problem hesab olunur. Şərt nömrəsi SLAE-nin həllində mümkün səhvlərin apriori ən pis qiymətləndirilməsi kimi istifadə olunur. Ədəbiyyatdan göründüyü kimi, səhv qoyulmuş məsələlərin həlli üsullarının işlənib hazırlanması bir çox məsələlərin ədədi həllinə baxmayaraq, fiziki (texniki) obyektlərin xüsusiyyətlərinin nəzərə alınmadığı sırf riyazi problem kimi qəbul edilir. riyazi fizika və mürəkkəb fiziki proseslərin riyazi modelləşdirilməsi

© Voloboev V.P., Klimenko V.P., 2014

bayquşlar və texniki sistemlər xətti cəbr problemlərinin tükənməz mənbəyidir. Sadalanan problemlər sinfi üçün həll üsullarını hazırlayarkən, bu və ya digər şəkildə müəyyən bir problemin xüsusiyyətlərini nəzərə almaq mümkün olan SLAE-nin tərtib edilməsi mərhələsi nəzərə alınmır. Bu mərhələnin mütləq nəzərə alınması aşağıdakı işlərin nəticələri ilə təsdiqlənir.

Hər şeydən əvvəl, SLAE-lərin həlli zamanı dəqiqlik itkisinin az olduğu və şərt nömrəsinin dəyərinin böyük olduğu matrislərə nümunələr verən işi qeyd etmək lazımdır, yəni ümumi qəbul edilmiş meyarın şərt sayı əsasında SLAE-lərin həllinin düzgünlüyünün apriori qiymətləndirilməsi zəruridir, lakin kifayət deyil. Əsərlərdə qarşıya qoyulmuş problemin həllinə tamamilə yeni yanaşma təklif edilmişdir. SLAE-lərin həllinin dəqiqliyini artırmaq üçün, hətta şərt sayının böyük bir dəyəri ilə, fiziki obyektin diskret modelinin təsviri mərhələsində SLAE-lərin düzgün tərtib edilməsi təklif olunur. Bu o deməkdir ki, işdə bildirildiyi kimi təkcə belə matrislər mövcud deyil, həm də obyektin diskret modelini təsvir edən SLAE matrisini düzgün tərtib etmək üçün metod təklif edilmişdir. SLAE matrisinin tərtibi üsulu elektrik dövrələrinin, enerji sistemlərinin, mexanikanın çubuq sistemlərinin və riyazi fizikanın elliptik tənliklərinin davranışının modelləşdirilməsi problemlərinə münasibətdə nəzərdən keçirilir.

Bu metodun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, mövcud metodlardan fərqli olaraq, SLAE formalaşdırarkən, dəyişənlərin məqsədyönlü seçimi ilə fiziki obyektin diskret modelinin parametrləri nəzərə alınır. Qeyd etmək lazımdır ki, metod yalnız diskret model topologiyası qrafiklə təmsil olunan obyektlərə şamil edilir.

Bu tələb elektrik dövrəsinin və enerji sisteminin dizayn modeli ilə təmin edilir. Mürəkkəb fiziki proseslərin, texniki sistemlərin və riyazi fizikanın riyazi modelləşdirilməsinin bir çox problemləri üçün diskret modelin topologiyasının qrafik şəklində təqdim edilməsindən istifadə edilmir. Əsərlər göstərir ki, yuxarıda göstərilən məhdudiyyət fiziki obyektin diskret modelinin konstruksiya sxemlərinin elementlərinin topologiyasını qrafik şəklində təqdim etməklə aradan qaldırılır. Elementlərin topologiyasını qrafiklər şəklində təqdim etmək üsulu da mövcuddur.

Bu yazıda diskret modelin topologiyasının qrafik şəklində göstərilmədiyi hal üçün səhv qoyulmuş problemi düzəltmək üçün bir üsul təklif edəcəyik. Metod hazırlayarkən nəzərə alırıq ki, riyazi fizikada və mürəkkəb fiziki proseslərdə və texniki sistemlərdə problemlərin diskret modellərini təsvir etmək üçün ümumi qəbul edilmiş metod (nodal potensial metodu) SLAE matrisinin düzgün tərtib edilməsi metodunun xüsusi halıdır. .

2. Obyektin diskret modelini təsvir edən SLAE-nin həllinin dəqiqliyi ilə tənliklərin qurulması metodu arasında əlaqə

Akademik Voevodin V.V. öz işində göstərdi ki, SLAE-lərin Qauss metodundan istifadə etməklə həlli nəticələrinin ən yüksək dəqiqliyinə əsas elementin seçimi ilə metoddan istifadə zamanı nail olunur. Bu ideya əsasında çoxlu sayda əsərlər nəşr edilmişdir. Bununla belə, praktiki problemlərin həlli göstərdi ki, SLAE-lərin həllinin dəqiqliyi, xüsusən də pis şərtlənmiş matrislər halında, yuvarlaqlaşdırma səhvləri səbəbindən əhəmiyyətli dərəcədə itirilir, yəni həll mərhələsində nəticələrin düzgünlüyünü artırmaq üçün bu kifayət deyil. sadəcə olaraq əsas elementlərin seçimi ilə Qauss metodundan istifadə etmək.

Bu fikrin sonrakı inkişafı işdə təklif olunan metoddur, burada obyektin diskret modelinin təsvirinin tərtibi mərhələsində matrisin diaqonal elementlərini əsas kimi formalaşdırmaq təklif olunur. Bunun üçün təsviri tərtib edərkən əlavə məlumatlardan, yəni diskret modelin parametrlərindən istifadə olunur. Bu yanaşmanın effektivliyi, yəni diskreti təsvir edən SLAE-nin həllinin düzgünlüyündən asılılıqdır.

ISSN 1028-9763. Riyazi maşınlar və sistemlər, 2014, №4

Tənliklərin qurulması metodundan obyektin yeni modeli model nümunəsindən istifadə etməklə nümayiş etdiriləcək. Aşağıda əsas elementi və onun həllini seçməklə və seçməksiz-də təsvir olunan metoddan istifadə edərək model nümunəsinin təsvirini tərtib etməyi nəzərdən keçirəcəyik.

Model nümunəsi kimi Şəkil 1-də göstərilən elektrik dövrəsi seçilmişdir. 1.

düyü. 1. Elektrik dövrəsi

Məlumdur ki, elektrik dövrəsini təsvir edən SLAE-nin şərti dövrə komponentlərinin keçiricilik (müqavimət) dəyərlərinin yayılma diapazonundan asılıdır. 15 sifarişə bərabər olan elektrik dövrəsinin komponentlərinin keçiriciliyində seçilmiş dəyişikliklər diapazonu SLAE-nin zəif şərtliliyini və beləliklə, ümumi hesab edildiyi kimi, problemin düzgünlüyünü təmin edir. 2-ci qovşağın potensialının (G2 komponentində gərginlik) hesablanması nümunəsindən istifadə edərək, elektrik dövrəsinin təsvirini tərtib edərkən hesablama nəticələrinin etibarlılığının diaqonal elementin formalaşdırılması metodundan asılılığı təhlil ediləcəkdir.

Aşağıda problemin düzgün formalaşdırılması metodundan istifadə edərək bir model nümunəsinin həlli üçün zəruri olan əsas müddəalar verilmişdir. Bu üsulla elektrik dövrəsinin riyazi modelinin qurulması elektrik dövrəsinin tənliklərinin əsas sisteminə əsaslanır ki, bu sistemə komponent tənlikləri və Kirxof qanunları əsasında tərtib edilmiş tənliklər daxildir. Model nümunəsi üçün komponent tənliyi formaya malikdir

burada U i komponentə düşən gərginlik, I komponentdən keçən cərəyan, Gt komponentin keçiriciliyidir.

Elektrik dövrəsinin qrafikini və buna uyğun olaraq Kirchhoff qanunlarına əsaslanan tənlikləri təsvir etmək üçün konturların və kəsiklərin topoloji matrislərindən istifadə olunur. Dövrə qrafiki elektrik dövrəsi ilə üst-üstə düşür. Konturların və kəsiklərin topoloji matrislərinin tərtibi dövrə qrafiki ağacının seçilməsi və seçilmiş ağac üçün konturların çəkilməsini nəzərdə tutur. Elektrik dövrə qrafikinin ağacı elə seçilir ki, bütün gərginlik mənbələri ağaca, bütün cərəyan mənbələri isə akkordlara daxil olsun. Dövrə komponentlərinin gərginlik vektorları U və cərəyanlar I elementləri ağaca daxil olanlara (indeks D), yəni budaqlara və akkordlara (indeks X) qruplaşdırılır, beləliklə:

Konturlar akkordları dövrə qrafiki ağacına birləşdirməklə formalaşır. Bu halda

konturların topoloji matrisi formaya malikdir

burada 1 akkordların vahid submatrisidir, t

Matrisin transpozisiyasını bildirir və bölmələrin topoloji matrisi |1 -F formasındadır, burada 1 budaqların vahid submatrisasıdır. -dən göründüyü kimi, matrisin diaqonal hədləri

ISSN 1028-9763. Riyazi maşınlar və sistemlər, 2014, №4

sxemlərdə ağac komponentlərinin keçiricilikləri maksimum keçiriciliyə malik olduqda əsas olacaqlar. Topoloji matrislərin növünü nəzərə alaraq, Kirchhoff qanunları əsasında tərtib edilmiş dövrə tənliklərini matris şəklində aşağıdakı kimi yazmaq olar:

onların =-ґid, (3)

Tərtib edilmiş tənliklər sisteminin dəyişənləri əsas tənliklər sisteminin təhlili nəticəsində komponentlərin gərginlikləri və/yaxud cərəyanlarından seçilir. Ağacın budaqlarına daxil olan komponentlər dəyişən gərginliklər kimi seçilərsə, komponent tənlikləri (1) və tənliklər (3), (4) aşağıdakı formaya çevrilə bilər:

Gd U d - F(Gx (- FUd)) = 0.

Aşağıda bir model nümunəsi üçün tənliklərin tərtibini təqdim edəcəyik. Əvvəlcə elektrik dövrəsinin təsviri tərtib edilir ki, matrisin diaqonal şərtləri əsas olsun. Bu tələb ağaca daxil olan E1, G6, G3, G2 komponentləri toplusu ilə təmin edilir (şəkil 1-də ağacın budaqları qalın xətt ilə vurğulanır). Komponentlərin aşağıdakı gərginlik və cərəyan vektorları seçilmiş ağaca uyğundur:

və topoloji matrislər

Dönüşümlərdən sonra (6), (7) və komponent tənlikləri nəzərə alınmaqla (5) tənliyi aşağıdakı formaya malikdir:

- (G4 + G5) (G4 + G5) G1 + G2 + G4 + G5

SLAE (8) pis vəziyyətdədir, çünki matrisin xüsusi dəyərləri \= 1.5857864376253, R2 = 5.0E +14+j5.0E +14, A, = 5.0E +14 - j5.0E +14. Sistemin həlli nəticələrinin düzgünlüyünün tənliklərin tərtib edilməsi variantının seçilməsindən necə asılı olduğunu müəyyən etmək üçün 2-ci qovşağın potensial Uq hesablanması ümumi formada aparılacaqdır:

ISSN 1028-9763. Riyazi maşınlar və sistemlər, 2014, №4

(g1+g2 +g4 +g5)-

Hesablama prosesinin təhlilindən (9-11) belə çıxır ki, keçiricilik dəyərlərindəki dəyişikliklərin böyük diapazonuna (15 böyüklük sırası) baxmayaraq, rəqəmlərin təqdim edilməsinin yekun dəqiqliyi üçün ciddi tələblər yoxdur. tənliklərin qurulması və onların həlli zamanı. Etibarlı bir nəticə əldə etmək üçün rəqəmləri iki əhəmiyyətli rəqəmə əks etdirmə dəqiqliyi ilə SLAE-lərin tərtibi və həlli üçün hesablama prosesini yerinə yetirmək kifayətdir.

Qeyd etmək lazımdır ki, SLAE (8)-də G+G4+G5I matrisinin ikinci sırasının (sütununun) diaqonal elementi qalan şərtlərin cəmindən əhəmiyyətli dərəcədə böyükdür (15 böyüklük sırası ilə)

sətirlər (sütunlar) | G4 + 2G51. Bu o deməkdir ki, UG = 0 götürməklə SLAE-ni sadələşdirə bilərik

(8), nəticələrin etibarlılığını qorumaq. Əllə hesablama dövründə bu texnika 2-ci node ilə 3-ün birləşməsinə uyğun gəlirdi (şəkil 1).

İkinci halda (əsas kimi diaqonal elementi seçmədən) ağacda Ex, G6, G4, G2 komponentlərini seçmək kifayətdir (şəkil 1-də ağacın budaqları kəsikli xətlərlə işarələnmişdir.

xətt). Bu komponentlərdəki gərginlik düşmələri sıfır nodedən hesablanan 1, 4, 3, 2 node potensiallarına uyğun gəlir. Bu o deməkdir ki, ağacda komponentlərin belə bir seçimi ilə SLAE matrisini düzgün tərtib etmək üsulu nodal potensiallar üsulu ilə üst-üstə düşür. Komponentlərin aşağıdakı gərginlik və cərəyan vektorları seçilmiş ağac və akkordlara uyğundur:

U D = UG UG G4, Ux = G1 UG3 UG G D G ig G4, Ix = G1 IG3 IG

UG G2 G5 ig G2 G5

və topoloji matrislər

(12), (13) və komponent tənlikləri nəzərə alınmaqla (5) tənliyi aşağıdakıları qəbul edəcəkdir

ISSN 1028-9763. Riyazi maşınlar və sistemlər, 2014, №4

G5 + G6 -G5 0 UG G6 0

G5 G3 + G4 + G5 -G3 Uo. = 0

0 - G3 G1 + G2 + G3 Uo2 G1E1

(14) tənliklər sistemi pis şərtlidir, çünki o, matrisin aşağıdakı xüsusi dəyərlərinə malikdir: 1 = 1.0,1 =1015 +у1015,1 =1015-/1015. Nümunənin birinci versiyasında olduğu kimi, 2-ci qovşağın potensial UG ümumi formada hesablanacaq:

(G + G + G) -----------

V 3 4 У (G + G)

+ (G1 + G2 + G3)

3 4 5" (G5 + G6)

(15-17) tənliklər sisteminin həllinin hesablama prosesinin təhlilindən belə nəticə çıxır ki, nəticələrin etibarlılığı həm tənliklərin tərtibi, həm də həlli zamanı ədədlərin təsvirinin yekun dəqiqliyindən asılıdır. Beləliklə, sistemin həllinin hesablama prosesi (15-17) 15 əhəmiyyətli rəqəmdən az dəqiqliklə yerinə yetirilirsə, nəticə

1015 +1015 ~ o,

və dəqiqliyin 15 əhəmiyyətli rəqəmdən çox olduğu halda, belə olacaqdır

1030 + 2*1015 +1030 + %+ 3/1015)

(8) və (14) matrislərinin, eləcə də tənlik sistemlərinin həlli üçün hesablama proseslərinin müqayisəsindən aşağıdakı nəticələr çıxır.

Düyün potensialları metodu təklif olunan metodun xüsusi halıdır, yəni düyün potensialları metodunda əsas nodu qalanları ilə birləşdirən qrafikin kənarları həmişə ağaca seçilir.

Matrisin diaqonal elementləri, matrisin maksimum diaqonalların seçilməsi ilə və ya seçilməməsindən asılı olmayaraq, həm sətirlərdə, həm də sütunlarda digər elementlərdən modul baxımından daha böyükdür. Yeganə fərq, diaqonal elementlərin diaqonal olmayanlardan nə qədər böyük olmasıdır. Bu o deməkdir ki, əsas elementin seçimi ilə Qauss metodundan istifadə etməklə bu tip SLAE-nin həlli bu sinif problemlərin nəticələrinin dəqiqliyini artırmır.

ISSN 1028-9763. Riyazi maşınlar və sistemlər, 2014, №4

Gauss həllində istifadə olunan əhəmiyyətli rəqəmlərin son sayı matrisin maksimum diaqonal elementləri seçməklə və ya seçilmədən qurulmasından əhəmiyyətli dərəcədə asılıdır. Məsələnin bir versiyası ilə digəri arasındakı fərq yalnız ondan ibarətdir ki, tənliklərin tərtibi mərhələsində bir halda maksimum keçiriciliyə malik komponent ağaca seçilir və beləliklə, bu komponentin gərginliyi SLAE-də dəyişən kimi çıxış edir. Bu komponentin keçiriciliyi yalnız matrisin diaqonal elementinin formalaşmasında iştirak edir. Başqa bir halda, bu komponent akkordlara düşür. (3) tənliyindən aşağıdakı kimi komponent gərginliyi ağac komponentlərinin gərginliyi ilə müəyyən edilir. (4) tənliyindən belə çıxır ki, komponentin keçiriciliyi cərgə və sütun elementlərinin formalaşmasında iştirak edir və beləliklə, akkordun keçiriciliyi bu matrisin elementlərinin ölçüsünü müəyyən edir.

3. Düyün potensialları üsulu ilə tərtib edilmiş SLAE matrisinin düzgün tərtibata uyğun formaya çevrilməsi

Riyazi fizikanın və mürəkkəb fiziki proseslərin və texniki sistemlərin riyazi modelləşdirilməsi məsələlərinin ədədi həlli zamanı bu məsələlərin diskret modellərini təsvir edən SLAE-ləri tərtib etmək üçün əsasən nodal potensiallar və ya onun analoqları metodundan istifadə olunur. Bu metodun fərqli xüsusiyyəti ondan ibarətdir ki, SLAE dəyişənləri kimi diskret modelin dizayn sxeminin potensialları, baza qovşağından qalan qovşaqlara qədər hesablanır, tənliklərin qurulması üçün sadə alqoritm və SLAE-nin zəif doldurulmuş matrisi istifadə olunur. Belə səmərəliliyin qiyməti tapşırığın düzgün olmaması ola bilər. Nəzərə alsaq ki, düyün potensialları metodu problemin düzgün qoyulması metodunun variantlarından sadəcə biridir, yanlış qoyulmuş problem matris çevrilməsinin tətbiqi ilə düzəldilə bilər. Aşağıda düyün potensialları üsulu ilə səhv tərtib edilmiş problemin çevrilməsi alqoritmini nəzərdən keçirəcəyik.

Fiziki obyektlərin bütün müxtəlifliyindən yalnız xətti diskret modeli qeyri-degenerativ və simmetrik matrisə malik SLAE tərəfindən təsvir edilən obyektlər nəzərə alınacaqdır.

3.1. Matrisin çevrilməsi alqoritmi

Bir matrisin çevrilməsi alqoritmini hazırlayarkən, matrisin i-ci sırasının j-ci qeyri-diaqonal elementinin mənfi işarəsi olan matrisə daxil edilməsi və əlaqəni təsvir edən diskret model parametrinin olması faktından istifadə olunur. diskret modelin i-ci və j-ci qovşaqları arasında. Diaqonal element müsbət işarəsi olan matrisə daxil edilir, qeyri-diaqonal elementlərin cəmini və i-ci node ilə əsas arasındakı əlaqəni təsvir edən diskret model parametrini ehtiva edir. Adətən, diskret modelin qovşaqlarının nömrələnməsi zamanı əsas qovşaq sıfır hesab olunur.

Yuxarıda aparılmış tədqiqatdan göründüyü kimi, tərtib edilmiş SLAE səviyyəsində problemin səhvliyi yalnız xəttin diaqonal olmayan elementlərindən ən azı biri yalnız daxil olan diskret modelin parametrindən əhəmiyyətli dərəcədə böyük olduqda baş verir. diaqonal elementdə. Aşağıda tərtib edilmiş SLAE-nin düzgünlüyünün yoxlanılması metodologiyası verilmişdir.

SLAE formasına sahib olsun

burada x nodal potensialların vektoru (nodal təsirlər), y xarici axınların vektoru, A formanın matrisidir.

ISSN 1028-9763. Riyazi maşınlar və sistemlər, 2014, №4

a11 a1і a1j a1n

aі1 a,і aj ain , (21)

aJ1 an1 aі aJJ ann

burada n matrisin ölçüsüdür. Matris elementləri aşağıdakı tələblərə cavab verir:

ai > 0, a.< 0, а. = а]г,1 < i < n, 1 < j < n при j Ф і. (22)

Aşağıda matrisin i-ci cərgəsinin düzgünlüyünün yoxlanılması və lazım gəldikdə onun düzəldilməsi məsələsini nəzərdən keçirəcəyik.

Əvvəlcə matrisin i-ci sırasının diaqonal elementinə daxil olan diskret model parametri müəyyən edilir,

Ait parametri şərti ödəyirsə, matrisin i-ci sırası düzgün tərtib edilmiş hesab olunur.

1 < j < n, при j Ф і.

Şərt (24) yerinə yetirilməzsə, i-ci sıra düzəldilir. Əvvəlcə diaqonal olmayan elementlərdən ən böyüyü seçilir. Bu i -ci sıranın j -ci elementi olsun. Asanlıqla yoxlamaq olar ki, matrisin tərkibinin xüsusiyyətlərinə görə (şərt (22)) elementlərin formalaşmasında iştirak edən diskret modelin parametri o. və i-ci və j-ci sətirlərin a.^ aii və a elementlərinin tərkib hissəsi kimi daxil edilir. . i-ci sıranın tənzimlənməsinin mahiyyəti matrisin i-ci və j-ci sətirlərini elə çevirməkdir ki, elementin qiyməti a olsun. yalnız aii elementinə daxil edilmişdir. xi dəyişənini formada təmsil etdiyini görmək asandır

X = xj + xj (25)

və SLAE matrisinin j-ci sütununun elementlərinin aşağıdakı çevrilməsini yerinə yetirmək

o = ai. + ai, 1< 1 < n , (26)

matrisin yeni j-ci sütununu alırıq ki, burada çevrilmiş elementlər adır. və a. elementləri təşkil edən diskret modelin parametrini ehtiva etmir a. və a. .

Növbəti addım düsturdan istifadə edərək j-ci sıranı çevirməkdir

aji = a.i + aii, 1< l < n . (27)

Transformasiya edilmiş j-sətirinin a i elementləri artıq a i elementinə uyğun diskret model parametrini ehtiva etmir.

ISSN 1028-9763. Riyazi maşınlar və sistemlər, 2014, №4

SLAE matrisinin düzgünlüyünün yoxlanılması və səhv sətirlərin düzəldilməsi bütün matris üçün həyata keçirilir. Bu işdə yalnız matrisin düzgün formaya çevrilməsi üçün alqoritmin qurulmasına yanaşma nəzərdən keçirilir. Bu işdə matrisin düzgün formaya çevrilməsi üçün səmərəli alqoritmin işlənib hazırlanması ilə bağlı məsələlər nəzərdən keçirilmir. Aşağıda nodal potensiallar üsulu ilə tərtib edilmiş SLAE matrisinin (14) çevrilməsinə nümunə verəcəyik.

3.2. Demo nümunəsi

Əvvəla, qeyd etmək lazımdır ki, matrisin (14) simmetrik və qeyri-degenerativdir. Matris əmsalları (22) şərtini ödəyir. Nodal potensiallar komponentlər arasında gərginliyin azalmasına uyğundur

U4 = UG^, U3 = UG, U2 = UG

(28) nəzərə alınmaqla, SLAE (14) aşağıdakı kimi təqdim edilə bilər:

G5 + G6 - G5 0 U 4 0

G5 G3 + G4 + G5 - G3 U3 = 0

0 - G3 G + G2 + G3 U2 GA

Matrisin düzgünlüyünün yoxlanılmasına aşağıdakı əməliyyatlar daxildir.

Yalnız daxil edilmiş diskret model parametrinin (23) düsturuna əsasən təyini

diaqonal elementə çevrilir. Matrisin birinci cərgəsi üçün G6, ikinci sıra üçün G4 və üçüncü üçün - (Gl + G2) olacaq.

Matris sətirlərinin düzgünlüyünün yoxlanılması (24) düsturuna uyğun olaraq həyata keçirilir. Bu yoxlama nəticəsində məlum olur ki, ikinci sətir düzgünlük tələbinə cavab vermir, çünki (G4 = 1) ^ (G3 = 1015) . G3 parametri də matrisin üçüncü cərgəsinə daxildir, buna görə də (25) düsturuna uyğun olaraq U3 dəyişəninin təsviri formada seçilir.

U3 = U2 + U23, (30)

3-cü sütunun elementlərinin çevrilməsi nəticəsində (26) düsturuna uyğun olaraq aşağıdakı formanın (29) matrisini alırıq:

G5 + G6 - G5 - G5

G5 g3 + g4 + g5 g4+g5

üçüncü cərgəni çevirdikdən sonra (27) düsturuna uyğun olaraq (31) matris formaya sahib olacaq.

(G5 + G6) - G5 - g5 U 4 0

G5 (G3 + G4 + G) (G4 + G5) U 23 = 0 . (32)

G5 (G4 + g5) (G + G2 + G4+g5) U2 G E

SLAE (32) düzgünlük tələbini ödəyir, ona görə də tənzimləmə tamamlanmış sayılır. SLAE dəyişənləri (32) SLAE dəyişənlərinə (8) uyğundur, yəni

ISSN 1028-9763. Riyazi maşınlar və sistemlər, 2014, №4

Ağaca çevrilmə nəticəsində problemin düzgün formalaşdırılması metodunda olduğu kimi eyni komponentlər seçilmişdir. SLAE (8) və (32) müqayisəsindən belə nəticə çıxır ki, ikinci sütunun və ikinci cərgənin matrisinin (32) diaqonal olmayan elementləri (8) matrisindən işarə baxımından fərqlənir. Bu, matrisin (14) çevrilməsi zamanı G3 komponentinin cərəyanının istiqamətinin SLAE (8) tərtibi zamanı seçilmiş istiqamətin əksinə seçilməsinin nəticəsidir. U23 dəyişənini U23 = -U23 ilə əvəz etməklə və ikinci tənlikdəki elementlərin işarələrini əksinə dəyişdirməklə (8) matrisini alırıq.

4. Nəticə

Modelləşdirmə bəşəriyyətin intellektual fəaliyyətinin tərkib hissəsinə çevrilmişdir və modelləşdirmə nəticələrinin etibarlılığı modelləşdirmənin nəticələrinin qiymətləndirilməsinin əsas meyarıdır. Nəticələrin etibarlılığını təmin etmək üçün mürəkkəb obyektləri və onların həllərini təsvir etmək üçün üsul və alqoritmlərin işlənib hazırlanmasına yeni yanaşmalar tələb olunur.

Səhv qoyulmuş problemlərin həlli üçün metodların işlənib hazırlanmasına mövcud yanaşmadan fərqli olaraq, bu məqalə pis qoyulmuş problemi (şərtsiz) düzgün formaya gətirməyi təklif edir. Fiziki obyektlərin diskret modellərini təsvir edən SLAE-lərin həlli zamanı etibarlı nəticələrin əldə edilməsini çətinləşdirən matrisin zəif şərtliliyi deyil, tənliklərin qurulması mərhələsində SLAE dəyişənlərinin düzgün seçilməməsi və düyün metodu olduğu göstərilir. diskret modeli təsvir edən SLAE-ləri tərtib etmək üçün istifadə olunan potensiallar və onun analoqları problemin düzgün formalaşdırılması metodunun xüsusi halıdır. SLAE matrisinin qeyri-tək və simmetrik olduğu hal üçün nodal potensiallar üsulu ilə tərtib edilmiş SLAE-nin düzgünlüyünü yoxlamaq üçün bir texnika təklif olunur. Matrisin düzgün formaya çevrilməsi alqoritmi nəzərdən keçirilir.

BİBLİOQRAFİYA

1. Kalitkin N.N. Xətti cəbri tənliklər sistemləri üçün kəmiyyət şərtlilik meyarı / N.N. Kalitkin, L.F. Yuxno, L.V. Kuzmina // Riyazi modelləşdirmə. - 2011. T. 23, No 2. - S. 3 - 26.

2. Voloboev V.P. Mürəkkəb sistemlərin modelləşdirilməsinə bir yanaşma haqqında / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Riyazi maşınlar və sistemlər. - 2008. - No 4. - S. 111 - 122.

3. Voloboev V.P. Enerji sistemlərinin modelləşdirilməsinə bir yanaşma haqqında / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Riyazi maşınlar və sistemlər. - 2009. - No 4. - S. 106 - 118.

4. Voloboev V.P. Çubuq sistemlərinin mexanikası və qrafik nəzəriyyəsi / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Riyazi maşınlar və sistemlər. - 2012. - No 2. - S. 81 - 96.

5. Voloboev V.P. Sonlu elementlər metodu və qrafik nəzəriyyəsi / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Riyazi maşınlar və sistemlər. - 2013. - No 4. - S. 114 - 126.

6. Puxov G.E. Riyazi maşınlar nəzəriyyəsinin seçilmiş sualları / Puxov G.E. - Kiyev: Ukrayna SSR Elmlər Akademiyasının Nəşriyyatı, 1964. - 264 s.

7. Seshu S. Xətti qrafiklər və elektrik sxemləri / S. Seşu, M.B. Reid. - M.: Ali məktəb, 1971. - 448 s.

8. Zenkeviç O. Sonlu elementlər və yaxınlaşma / O. Zenkeviç, K. Morqan. - M.: Mir, 1986. -318 s.

9. Voevodin V.V. Xətti cəbrin hesablama əsasları / Voevodin V.V. - M.: Nauka, 1977. -304 s.

10. Elektrik mühəndisliyinin nəzəri əsasları: universitetlər üçün dərslik / K.S. Dəmirçyan, L.R. Neiman, N.V. Korovkin, V.L. Çeçurin. - . - Peter, 2003. - T. 2. - 572 s.

Xətti cəbri tənliklərin qeyri-şərtsiz sistemlərinin həlli ilə bağlı hansı çətinliklərin olduğu məlumdur: belə sistemlərin sağ tərəflərindəki kiçik dəyişikliklər həlldəki böyük (məqbul hüdudlardan kənar) dəyişikliklərə uyğun ola bilər.

Tənliklər sistemini nəzərdən keçirin

Аz=u, (3; 2,1)

Harada A -- a ij elementləri olan matris , A=(a ij ), z -- z j koordinatları olan istənilən vektor , z=(z j ), Və -- koordinatları olan məlum vektor Və i ,u= (u i ), i, j =1, 2, ..., P. Sistem (3; 2,1) adlanır degenerasiya, sistemin determinantı sıfırdırsa, detA = 0. Bu halda matris A sıfır xüsusi dəyərə malikdir. Bu tip pis kondisioner sistemlər üçün matris A sıfıra yaxın öz dəyərlərinə malikdir.

Əgər hesablamalar sonlu dəqiqliklə aparılırsa, onda bəzi hallarda verilmiş tənliklər sisteminin pozulmuş və ya pis şəraitdə olmasını müəyyən etmək mümkün olmur. Beləliklə, pis vəziyyətdə olan və pozulmuş sistemlər müəyyən bir dəqiqlik daxilində fərqlənə bilər. Aydındır ki, bu vəziyyət matrisin olduğu hallarda meydana gəlir A sıfıra olduqca yaxın öz dəyərlərinə malikdir.

Praktik məsələlərdə sağ tərəf çox vaxt olur Və və matris elementləri A, yəni sistemin əmsalları (3; 2,1) təqribən məlumdur. Bu hallarda sistem yerinə (3;2,1) biz Az= başqa bir sistemlə məşğul oluruq Və belə ki, ||A-A||<=h, ||u-u||<=--d, где смысл норм обычно определяется характером задачи. Имея вместо матрицы A A matrisi, biz daha çox sistemin degenerasiyası və ya qeyri-degenerasiyası haqqında qəti mühakimə yürütə bilmirik (3; 2.1).

Bu hallarda, dəqiq sistem haqqında Аz=u, həlli müəyyən edilməli olan, biz yalnız matris üçün bilirik A və sağ tərəf Və bərabərsizliklər ||A-A||<=h, ||u-u||<=--d. Но систем с такими исходными данными (Əl) sonsuz saydadır və bizə məlum olan xəta səviyyəsində onlar fərqlənmir. Çünki dəqiq sistemin əvəzinə (3; 2.1) təxmini bir sistem var Az= və, onda biz ancaq təxmini həll yolunun tapılmasından danışa bilərik. Ancaq təxmini sistem Az=u həll olunmayan ola bilər. Sual yaranır:

təsvir olunan vəziyyətdə sistemin (3; 2.1) təxmini həlli kimi nə başa düşülməlidir?

“Mümkün dəqiq sistemlər” arasında degenerasiyaya uğramış sistemlər də ola bilər. Əgər onlar həll oluna bilirlərsə, onda sonsuz sayda həll yolları var. Onlardan hansının təxmini tapıntısından danışmalıyıq?

Beləliklə, bir çox hallarda bir-birindən fərqlənməyən (müəyyən bir səhv səviyyəsində) tənliklər sistemlərinin bütöv bir sinfini nəzərdən keçirməliyik, onların arasında həm pozulmuş, həm də həll olunmayan ola bilər. Bu sinif sistemlərinin təxmini həllərinin qurulması üsulları eyni və ümumi olmalıdır. Bu həllər ilkin məlumatlarda kiçik dəyişikliklərə davamlı olmalıdır (3; 2.1).

Bu cür metodların qurulması "seçim" ideyasına əsaslanır. Seçim problem bəyanatına daxil edilmiş xüsusi, əvvəlcədən təyin edilmiş W[ z ] funksiyalarından istifadə etməklə həyata keçirilə bilər.

F-də F-nin hər yerdə sıx F 1 alt çoxluğunda müəyyən edilmiş mənfi olmayan funksional W[ z ] adlanır. sabitləşdirici funksionallıq,Əgər:

• a) z T elementi onun təyinetmə sahəsinə aiddir;
• b) istənilən d>0 ədədi üçün F 1-dən F 1,d elementləri z çoxluğu bunun üçün
• W[z]

Beləliklə, xətti cəbri tənliklərin ixtiyari sistemini nəzərdən keçirək (qısaca, SLAEs)

Az =u, (3; 2,2)

burada z və u vektordur, z=(z 1, z 2, ...,z n)-OR n, Və=(u 1 , u 2 , ... ,u n)--OR m , A-- a ij elementləri olan matris , A= (a ij ), burada j =1, 2, ..., n; i= 1, 2, ..., T, və nömrə P sayına bərabər olması lazım deyil T.

Bu sistem unikal şəkildə həll oluna bilər, degenerasiyaya uğramış (və sonsuz sayda həlli var) və həll olunmayan ola bilər.

Pseudo-həll sistemi (3; 2,2) uyğunsuzluğu minimuma endirən z vektoru adlanır || Az - u || bütün məkanda Rn. Sistem (3; 2,2) birdən çox psevdohəll ola bilər. F A onun bütün psevdohəlllərinin çoxluğu olsun və z 1-dən hansısa sabit vektor olsun. Rn, adətən problemin ifadəsi ilə müəyyən edilir.

Vektora nisbətən normal z (3;2,2) sisteminin 1 həlli minimal normalı z 0 psevdohəlli adlanacaq || z - z 1 ||, yəni belə ki

|| z 0 - z 1 || =

Budur. Bundan sonra qeydin sadəliyi üçün fərz edəcəyik ki, z 1 = 0 və z 1 = 0 vektoruna görə normal həll sadəcə adlanacaq. normal həll.

(3; 2,2) formasının istənilən sistemi üçün normal həll mövcuddur və unikaldır.

Qeyd 1. Sistemin (3;2,2) normal həlli z° həm də z--z 1 vektorunun koordinatlarına nisbətən verilmiş müsbət müəyyən kvadratik formanı minimuma endirən psevdohəl kimi təyin oluna bilər. Aşağıda təqdim olunan bütün nəticələr etibarlıdır.

Qeyd 2. Matrisin rütbəsi olsun A degenerasiya sistemi (3; 2,1) r-ə bərabərdir < n və z r+1 ,z r+2 , … , z n – xətti fəzanın əsası N A , z elementlərindən ibarətdir ki, bunun üçün Аз=0, N A = ( z; Аз= 0). n--r ortoqonallıq şərtlərini ödəyən sistemin (3; 2,1) z° həlli

(z 0 - z 1 , z S)= 0, S= r + 1, r + 2, .. ,n, (3; 2,3)

unikal olaraq təyin edilir və normal həll ilə üst-üstə düşür.

Sistemin (3; 2,2) normal həllinin tapılması probleminin pis qoyulduğunu görmək asandır. Əslində, qoy A -- simmetrik matris. Qeyri-degenerativdirsə, ortoqonal çevrilmə ilə

z = Vz*, u = Vu*

onun diaqonal formaya endirilə bilər və çevrilmiş sistem formaya malik olacaqdır

l i z i *=u i * , i= 1, 2,. .., P,

burada l i matrisin xüsusi qiymətləridir A.

Əgər simmetrik matris A -- degenerativ deyil və r dərəcəsinə malikdir, onda onun öz dəyərlərinin n - r sıfıra bərabərdir. Qoy

i=1, 2, ..., r üçün l i №0;

i=r+1,r+2, …, n üçün l i =0.

Sistemin (3; 2, 2) həll edilə biləcəyini fərz edirik. Bu halda i =r + 1, ..., n üçün u i *= 0.

Sistemin "ilkin məlumatlarına" icazə verin (A Və Və) xəta ilə müəyyən edilmişdir, yəni əvəzinə A Və Və onların təxminləri verilmişdir A Və u:

|| A - A ||<=h, ||u - u||<=d . При этом

Qoy mən -- matrisin xüsusi qiymətləri A. Məlumdur ki, onlar davamlı olaraq normada A-dan asılıdır (3; 2.4). Nəticə etibarilə, l r+1 , l r+2 , …,l n xüsusi qiymətlər kifayət qədər kiçik h üçün özbaşına kiçik ola bilər .

Əgər onlar sıfıra bərabər deyilsə, onda

Beləliklə, kifayət qədər kiçik bir səhv daxilində sistemin pozulmaları olacaq A Və Və, bunun üçün bəzi z i * hər hansı əvvəlcədən müəyyən edilmiş dəyərləri alacaq. Bu o deməkdir ki, sistemin (3; 2,2) normal həllinin tapılması problemi qeyri-sabitdir.

Aşağıda sistemin normal həllini tapmaq üçün metodun təsviri verilmişdir (3; 2.2), sabitdən kiçikə qədər (normada (3; 2.4)) sağ tərəfin pozğunluqları Və, nizamlanma metoduna əsaslanır.

Tələb olunan vektor

Əgər , onda sistem (1) qeyri-şərtsiz adlanır. Bu halda, matrisin əmsallarında və sağ tərəflərdəki səhvlər və ya hesablamalarda yuvarlaqlaşdırma xətaları həlli böyük dərəcədə təhrif edə bilər.

Bir çox məsələləri həll edərkən sistemin (1) sağ tərəfi və A matrisinin əmsalları təxminən məlum olur. Bu halda, dəqiq sistemin (1) əvəzinə başqa bir sistemimiz var

belə

Güman edirik ki, və d qiymətləri məlumdur.

Sistemin (1) əvəzinə (2) sistemimiz olduğundan, biz (1) sisteminin yalnız təxmini həllini tapa bilərik. Sistemin (1) təxmini həllinin qurulması üsulu ilkin məlumatlarda kiçik dəyişikliklərə davamlı olmalıdır.

Sistemin yalançı həlli (1) bütün məkanda uyğunsuzluğu minimuma endirən vektordur.

Qoy x 1, adətən problem bəyanatı ilə təyin olunan -dən hansısa sabit vektor olsun.

(1) sisteminin x 1 vektoruna görə normal həlli minimum normaya malik x 0 psevdohəlldir, yəni

burada F sistemin (1) bütün psevdohəllərinin çoxluğudur.

Üstəlik

burada ¾ x vektorunun komponentləridir.

(1) tipli hər hansı sistem üçün normal həll mövcuddur və unikaldır. Şərtsiz bir sistemin normal həllini tapmaq problemi (1) pis qoyulmuşdur.

Sistemin (1) təxmini normal həllini tapmaq üçün tənzimləmə metodundan istifadə edirik.

Bu üsula əsasən, formanın hamarlayıcı funksiyasını qururuq

və bu funksiyanı minimuma endirən vektoru tapın. Bundan əlavə, nizamlanma parametri a şərtdən unikal şəkildə müəyyən edilir

Harada .

Degenerasiya və pis kondisioner sistemlər müəyyən bir dəqiqlik daxilində fərqlənə bilməz. Lakin (1) sisteminin həlli haqqında məlumat varsa, (5) şərtinin əvəzinə aşağıdakı şərt istifadə edilməlidir:

Komponentlər vektorlar funksional (4) minimumunun şərtindən alınan xətti cəbri tənliklər sisteminin həllidir.

və oxşayır

burada E şəxsiyyət matrisidir,

¾Hermit konjugat matrisi.

Praktikada vektorun seçilməsi əlavə mülahizələr tələb edir. Əgər onlar mövcud deyilsə, =0 qəbul edin.

=0 üçün (7) sistemini formada yazırıq

Harada

Tapılmış vektor (1) sisteminin təxmini normal həlli olacaqdır.

a parametrinin seçilməsinə diqqət yetirək. Əgər a=0 olarsa, sistem (7) pis vəziyyətdə olan sistemə çevrilir. Əgər a böyükdürsə, o zaman sistem (7) yaxşı kondisioner olacaq, lakin nizamlı həll sistemə (1) istənilən həllə yaxın olmayacaq. Buna görə çox böyük və ya çox kiçik a uyğun deyil.

Adətən praktikada hesablamalar a parametrinin bir sıra dəyərləri ilə aparılır. Misal üçün,

a-nın hər bir dəyəri üçün funksionalı minimuma endirən elementi tapın (4). Tənzimləmə parametrinin istənilən qiyməti tələb olunan dəqiqliklə bərabərliyin (5) və ya (6) təmin edildiyi a sayı kimi qəbul edilir.

III. MƏŞQ

1. Qiyməti 10 -6 dərəcəsində olan təyinedicisi üç naməlum olan üç tənlikdən ibarət xətti cəbri tənliklər sistemini qurun.

2. Birinciyə bənzər, lakin birinci sistemin sərbəst şərtlərindən 0,00006 ilə fərqlənən digər sərbəst şərtlərə malik ikinci sistemi qurun.

3. Qurulmuş sistemləri nizamlama metodundan (=0 və d=10 -4 fərz etməklə) və başqa bir üsuldan (məsələn, Qauss metodundan) istifadə edərək həll edin.

4. Alınan nəticələri müqayisə edin və istifadə olunan metodların tətbiqi haqqında nəticə çıxarın.

IV. HESABATIN TƏRKİBİ

Hesabat təqdim etməlidir:

1. Əsərin adı.

2. Problemin ifadəsi.

3. Həll alqoritminin təsviri (metod).

4. Proqramın təsviri ilə mətni.

5. Proqramın nəticələri.

BİBLİOQRAFİK SİYAHISI

1. Tixonov A.N., Arsenin V.Ya. Təhlükəli problemlərin həlli üsulları. - M.: Nauka, 1979. 286 s.

2. Baxvalov N.S., Jidkov N.P., Kobelkov G.M. Rəqəmsal üsullar. - M.: BINOM. Bilik laboratoriyası, 2007 636 s.

23 saylı laboratoriya işi

8.2.3. Degenerasiya və pis kondisioner sistemlər

Yuxarıda nəzərdən keçirilən “yaxşı” vəziyyətdən (bax. Bölmə 8. D) fərqli olaraq, xüsusi yanaşma tələb edən MxN ölçülü A kvadrat matrisi ilə yenidən SLAE Ax=b-ə qayıdaq. İki oxşar SLAE növünə diqqət yetirək:

• degenerasiya sistemi (sıfır determinant ilə |A|=0);
• zəif kondisioner sistem (A determinantı sıfıra bərabər deyil, lakin şərt sayı çox böyükdür).

Bu tip tənlik sistemlərinin bir-birindən əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənməsinə baxmayaraq (birincisi üçün heç bir həll yoxdur, ikincisi üçün yalnız bir var), kompüterin praktiki nöqteyi-nəzərindən bir çox ortaq cəhətlər var. onlar.

Degenerasiya SLAE

Degenerativ sistem sıfır təyinedicisi |A|=0 (tək matris) olan matris tərəfindən təsvir edilən sistemdir. Belə bir sistemə daxil olan bəzi tənliklər digər tənliklərin xətti kombinasiyası ilə təmsil olunduğundan, əslində sistemin özü az müəyyən edilmişdir. Bunu başa düşmək asandır ki, sağ tərəf b vektorunun xüsusi növündən asılı olaraq, ya sonsuz sayda həll var, ya da heç biri yoxdur. Birinci variant normal psevdohəllin qurulmasına (yəni, sonsuz həllər toplusundan müəyyən, məsələn, sıfıra vektora ən yaxın olanı seçmək) gəlir. Bu iş bölmədə ətraflı müzakirə edilmişdir. 8.2.2 (8.11-8.13 siyahılarına baxın).

düyü. 8.7. Tək matrisli iki tənlikdən ibarət ziddiyyətli sistemin qrafik təsviri

İkinci halı nəzərdən keçirək, o zaman ki, A sinqulyar kvadrat matrisi olan SLAE Aх=b tək həlli yoxdur. Belə bir problemin nümunəsi (iki tənlik sistemi üçün) Şəkil 1-də təsvir edilmişdir. 8.7, yuxarı hissəsində A matrisi və b vektoru təqdim edilir və sistemin həlli funksiyasından istifadə edərək sistemi həll etməyə cəhd edilir (uğursuzdur, çünki A matrisi təkdir). Şəklin əsas hissəsini tutan qrafik göstərir ki, sistemi təyin edən iki tənlik müstəvidə (x0,xi) iki paralel xətti müəyyən edir. Xətlər koordinat müstəvisinin heç bir nöqtəsində kəsişmir və buna uyğun olaraq sistemin həlli yoxdur.

QEYD

Birincisi, qeyd edək ki, 2x2 ölçülü qeyri-tək kvadrat matrisa ilə təyin olunan SLAE müstəvidə kəsişən bir cüt xətti müəyyən edir (aşağıdakı Şəkil 8.9-a baxın). İkincisi, deməyə dəyər ki, sistem ardıcıl olsaydı, onda tənliklərin həndəsi təsviri sonsuz sayda həlli təsvir edən iki üst-üstə düşən xətt olardı.

düyü. 8.8. f (x) qalıq funksiyasının bölmələrinin qrafiki = |Ax-b|

Təxmin etmək asandır ki, nəzərdən keçirilən tək halda sistemin psevdohəllərinin uyğunsuzluğunu minimuma endirən |Ax-b| , sonsuz sayda olacaq və onlar Şəkildə göstərilən ikisinə paralel üçüncü düz xətt üzərində uzanacaqlar. 8.7 və onların arasında ortada yerləşir. Bu Şəkildə göstərilmişdir. f(x) = = | funksiyasının bir neçə bölməsini göstərən 8.8 Ax-b | , bu da eyni dərinlikdə minimum ailənin mövcudluğunu göstərir. Onları tapmaq üçün quraşdırılmış Minimizə funksiyasından istifadə etməyə çalışsanız, onun ədədi metodu həmişə qeyd olunan xəttin hər hansı bir nöqtəsini tapacaq (ilkin şərtlərdən asılı olaraq). Buna görə də, unikal həlli müəyyən etmək üçün bütün psevdohəllər dəstindən ən kiçik normaya malik olanı seçmək lazımdır. Siz Mathcad-da bu çoxölçülü minimuma endirmə problemini daxili Minimize funksiyalarının kombinasiyalarından istifadə edərək formalaşdırmağa cəhd edə bilərsiniz, lakin daha səmərəli yol nizamlama (aşağıya bax) və ya ortoqonal matris parçalanmalarından istifadə etmək olardı (bax: Bölmə 8.3).

Qeyri-kondisioner sistemlər

Zəif şərtləndirilmiş sistem A determinantının sıfıra bərabər olmadığı, lakin şərt nömrəsinin |A -1 | |A| çox böyük. Şərtsiz sistemlərin unikal həlli olmasına baxmayaraq, praktikada bu həlli axtarmaq çox vaxt mənasızdır. İki xüsusi misaldan istifadə etməklə pis şəraitdə olan SLAE-lərin xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirək (Siyahı 8.14).

Siyahı 8.14. İki yaxın pis vəziyyətdə olan SLAE-nin həlli

Siyahı 8.14-ün hər bir sətri iki çox yaxın pis şəraitli SLAE-nin həllini ehtiva edir (eyni sağ tərəf b və bir qədər fərqli matrislər A ilə). Yaxınlıqlarına baxmayaraq, bu sistemlərin dəqiq həlləri bir-birindən çox uzaqdır. Qeyd etmək lazımdır ki, iki tənlik sistemi üçün dəqiq bir həll əldə etmək asandır, lakin yüksək ölçülü SLAE həll edərkən, hesablamalar zamanı qaçılmaz olaraq yığılan kiçik yuvarlaqlaşdırma səhvləri (“dəqiq” Gauss alqoritmi ilə) böyük səhvlərə səbəb olur. nəticədə. Sual yaranır: problemin özünün qeyri-sabitliyi səbəbindən onun tamamilə yanlış çıxa biləcəyi əvvəlcədən məlumdursa, rəqəmsal həll yolu axtarmaq məntiqlidirmi?

Bizi qeyri-şərtsiz SLAE-lərin həlli üçün xüsusi üsullar axtarmağa məcbur edən başqa bir mülahizə (hətta Siyahı 8.14-də misal kimi verilmiş iki tənlik sistemi) onların eksperimental nəticələr kimi fiziki şərhi ilə bağlıdır. Əgər əvvəlcə məlumdursa ki, giriş məlumatı hansısa xəta ilə əldə edilib, o zaman pis kondisioner sistemlərin həllinin heç bir mənası yoxdur, çünki modeldəki kiçik xətalar (matris A və vektor b) həlldə böyük xətalara gətirib çıxarır. Belə xassələrlə bağlı problemlər pis qoyulmuş adlanır.

Səhvliyin səbəbini daha yaxşı başa düşmək üçün iki tənliyin yaxşı (Şəkil 8.9) və pis (Şəkil 8.10) şərtləndirilmiş sisteminin qrafik şərhini müqayisə etmək faydalıdır. Sistemin həlli tənliklərin hər birini təmsil edən iki düz xəttin kəsişmə nöqtəsi ilə vizuallaşdırılır.

düyü. 8.9. İki tənlikdən ibarət yaxşı şərtlənmiş sistemin qrafiki

düyü. 8.10. Şərtsiz iki tənlik sisteminin qrafiki

Şəkildən. 8.10 aydındır ki, pis kondisioner SLAE-ə uyğun düz xətlər bir-birinə yaxın (demək olar ki, paralel) yerləşir. Bununla əlaqədar olaraq, xətlərin hər birinin yerləşdiyi yerdəki kiçik səhvlər onların kəsişmə nöqtəsinin lokallaşdırılmasında əhəmiyyətli səhvlərə səbəb ola bilər (SLAE həlləri), yaxşı kondisioner sistemdən fərqli olaraq, xətlərdə kiçik səhvlər olduqda. xətlərin yamacının onların kəsişmə nöqtəsinin yerinə az təsiri var (şək. 8.9).

QEYD

Matrisin zəif kondisioneri, həddindən artıq müəyyən edilmiş (uyğun olmayan) SLAE-lər (məsələn, tomoqrafiya problemlərində) ilə müəyyən edilmiş eksperimental məlumatların yenidən qurulması zamanı da tipikdir. Bu, növbəti bölmədə təsvir olunan haldır (aşağıdakı Siyahı 8.16-a baxın).

Tənzimləmə üsulu

Təhlükəli problemləri həll etmək üçün, xüsusən degenerasiya və pis vəziyyətdə olan SLAE-ləri, nizamlama adlı çox təsirli bir texnika hazırlanmışdır. Praktik hallarda çox tez-tez rast gəlinən həllin strukturu (a priori qiymətləndirmənin vektoru) haqqında əlavə a priori məlumatların nəzərə alınmasına əsaslanır. Səbəb ki, nizamlanma bölmədə ətraflı müzakirə edilmişdir. 6.3.3, biz yalnız xatırlayırıq ki, SLAE Ax=b həlli problemi Tixonov funksionalının minimumunu tapmaq problemi ilə əvəz edilə bilər:

Ω (x,λ) = |Ax-b| 2 +λ |x-x0| 2. (8.3)

Burada R, hansısa optimal şəkildə seçilməli olan kiçik müsbət nizamlanma parametridir. Göstərilə bilər ki, Tixonov funksionallığını minimuma endirmək problemi öz növbəsində başqa bir SLAE-nin həllinə endirilə bilər:

(A T A+ λ I)-x=A T B+λ x0, (8.4)

hansı saatda λ ->0 ilkin pis kondisioner sistemə daxil olur və böyük x üçün yaxşı kondisioner olduğundan onun həlli x 0 olur. Aydındır ki, A-nın bəzi aralıq dəyəri məqbul şərtlilik və orijinal problemə yaxınlıq arasında müəyyən kompromis yaradaraq optimal olacaqdır. Qeyd edək ki, nizamlanma yanaşması, problemin xətti olması səbəbindən unikal və sabit olan (8.4) sisteminin həllini tapmaq üçün şərti olaraq yaxşı qoyulmuş (Tixonova görə) probleminə qədər pis qoyulmuş problemi azaldır.

Lazımsız şərhlər olmadan, Şəkil 1-də təqdim olunan degenerasiya sisteminin nizamlı bir həllini təqdim edək. 8.8. Siyahı 8.15 problemin (8.4) həllini tapmağı nümayiş etdirir və nəticədə qalığın və həllin özünün R nizamlayıcı parametrindən asılılığı Şəkil 1-də göstərilmişdir. müvafiq olaraq 8.11 və 8.12. Orijinal sistemin və buna görə də sistemin (8.4) həllərini vurğulamaq vacibdir λ =0 mövcud deyil.

Siyahı 8.15 Degenerasiyaya uğramış SLAE-nin nizamlanması

Nizamlamanın son mərhələsi optimal olanı seçməkdir λ . Ən azı iki mülahizə var ki, bunlara əsaslanaraq, qalığın ondan asılılığına əsaslanaraq nizamlama parametrini seçmək olar. Baxılan nümunədə biz müəyyən etmək üçün meyar tətbiq edirik λ , giriş məlumatlarının dəqiqləşdirilməsində səhvlərin aprior qiymətləndirilməsinə bərabər qalıq normanın seçilməsinə əsaslanaraq: matrisa A və vektor b, yəni dəyər | δA | + |5λ|. Məsələn, qalıq normanı və müvafiq olaraq parametri seçə bilərsiniz λ və həll x( λ ), Şəkildə qeyd olunanlar. 8.11 və 8.12 nöqtəli xətlər.

QEYD 1

Başqa bir seçim λ Model xətaları ilə bağlı heç bir aprior mülahizə tələb etməyən , Bölmədə müzakirə olunan kvazi-optimal metoddur. 6.3.3.

QEYD 2

Xətti məsələdə (8.4) düsturunun ümumi (8.3) düsturu ilə eyni nəticəni verdiyini yoxlamaq faydalıdır. Bunun üçün Listinq 8.15-də SLAE (8.4) həllini ifadə edən sonuncu sətri Siyahı 8.16-da göstərildiyi kimi ədədi üsulla minimumlaşdırmanı həyata keçirən koda dəyişmək kifayətdir. Hesablamalar (bu, daha çox kompüter vaxtı tələb edir) Şəkildə göstərildiyi kimi eyni nəticəni verir. 8.11 və 8.12.

QEYD 3

8.15 və 8.16 siyahılarının hesablamalarında sınayın ki, həllin fərqli, məsələn, daha real, aprior qiymətləndirilməsi (onlarda istifadə olunan sıfır vektor x0 əvəzinə) götürün və bunun nəticəyə necə təsir etdiyinə baxın.

düyü. 8.11. Degenerasiya olunmuş SLAE-nin nizamlı məhlulunun qalığının A parametrindən asılılığı (Siyahı 8.15-in davamı)

QEYD 4

Tixonov funksionalı kimi (8.3) düsturu yerinə başqa bir asılılığın istifadəsi də maraqlıdır: Ω(x,λ ) = |Ax-b|+ λ |x-x0 | . Siz CD-də müvafiq hesablama nümunəsini tapa bilərsiniz.

düyü. 8.12. λ-dan asılı olaraq nizamlı həll (Siyahı 8.15-dən davam edir)

Siyahı 8.16. Minimallaşdırma alqoritmindən istifadə edərək SLAE-lərin nizamlanması (Siyahı 8.15-in davamı)