Müxtəlif funksiyaların qrafikləri necə görünür. Funksiyalar və onların qrafikləri

Siz həqiqətən funksiyanın nə olduğunu başa düşdükdən sonra (dərsni bir neçə dəfə oxumalı ola bilərsiniz), funksiyalarla bağlı məsələlərin həllində daha inamlı olacaqsınız.

Bu dərsdə biz funksiya məsələlərinin əsas növlərini və funksiyaların qrafiklərini necə həll edəcəyimizi nəzərdən keçirəcəyik.

Bir funksiyanın dəyərini necə əldə etmək olar

Tapşırığı nəzərdən keçirək. Funksiya “y = 2x − 1” düsturu ilə verilir.

"x = 15" də "y" hesablayın
“y” dəyərinin “−19”-a bərabər olduğu “x” dəyərini tapın.

“x = 15” üçün “y” hesablamaq üçün funksiyada “x” əvəzinə tələb olunan ədədi dəyəri əvəz etmək kifayətdir.

Həll qeydi belə görünür:

y(15) = 2 15 − 1 = 30 − 1 = 29

Məlum “y”dən “x” tapmaq üçün funksiya düsturunda “y” əvəzinə ədədi dəyər əvəz etməlisiniz.

Yəni, indi əksinə, “x”i axtarmaq üçün “y = 2x − 1” funksiyasında “y” əvəzinə “−19” rəqəmini əvəz edirik.

−19 = 2x − 1

Xətti tənliklərin həlli qaydalarına əsasən həll olunan naməlum “x” ilə xətti tənlik əldə etdik.

Unutma!

Tənliklərdə daşıma qaydasını unutma.

Tənliyin sol tərəfindən sağa (və əksinə) köçürüldükdə hərf və ya rəqəm işarəyə dəyişir əks.

−19 = 2x − 1
0 = 2x − 1 + 19
−2x = −1 + 19
−2x = 18

Həlldə olduğu kimi xətti tənlik naməlumu tapmaq üçün indi çoxaltmaq lazımdır həm sol, həm də sağ tərəflər işarəsini dəyişmək üçün “-1”ə keçin.

−2x = 18 | · (−1)
2x = −18

İndi “x”i tapmaq üçün həm sol, həm də sağ tərəfi “2”-yə bölün.

2x = 18 | (: 2)
x=9

Bir funksiya üçün bərabərliyin doğru olub olmadığını necə yoxlamaq olar

Tapşırığı nəzərdən keçirək. Funksiya “f(x) = 2 − 5x” düsturu ilə verilir.

“f(−2) = −18” bərabərliyi doğrudurmu?

Bərabərliyin doğru olub-olmadığını yoxlamaq üçün “x = −2” ədədi dəyərini “f(x) = 2 − 5x” funksiyasına əvəz etməli və onu hesablamalarda əldə etdiyinizlə müqayisə etməlisiniz.

Vacibdir!

“x” əvəzinə mənfi ədədi əvəz edərkən onu mötərizələrə daxil etməyi unutmayın.

Səhv

Sağ

Hesablamalardan istifadə edərək “f(−2) = 12” aldıq.

Bu o deməkdir ki, “f(x) = 2 − 5x” funksiyası üçün “f(−2) = −18” həqiqi bərabərlik deyil.

Bir nöqtənin funksiyanın qrafikinə aid olduğunu necə yoxlamaq olar

“y = x 2 −5x + 6” funksiyasını nəzərdən keçirək.

Koordinatları (1; 2) olan nöqtənin bu funksiyanın qrafikinə aid olub-olmadığını öyrənmək lazımdır.

Bu tapşırıq üçün verilmiş funksiyanın qrafikini qurmağa ehtiyac yoxdur.

Unutma!

Nöqtənin funksiyaya aid olub-olmadığını müəyyən etmək üçün onun koordinatlarını funksiyaya əvəz etmək kifayətdir (“x” əvəzinə “Ox” oxu boyunca koordinasiya edin və “y” əvəzinə “Oy” oxu boyunca koordinasiya edin).

Əgər mümkünsə əsl bərabərlik, yəni nöqtə funksiyaya aiddir.

Gəlin vəzifəmizə qayıdaq. (1; 2) nöqtəsinin koordinatlarını “y = x 2 − 5x + 6” funksiyasına əvəz edək.

“x” əvəzinə “1”-i əvəz edirik. "Y" əvəzinə "2" ilə əvəz edirik.

2 = 1 2 − 5 1 + 6
2 = 1 − 5 + 6
2 = −4 + 6
2 = 2 (düzgün)

Düzgün bərabərlik əldə etdik, bu o deməkdir ki, koordinatları (1; 2) olan nöqtə verilmiş funksiyaya aiddir.

İndi nöqtəni koordinatlarla yoxlayaq (0; 1). O, aiddir
“y = x 2 − 5x + 6” funksiyası?

"x" əvəzinə "0" əvəz edirik. “y” əvəzinə “1”-i əvəz edirik.

1 = 0 2 − 5 0 + 6
1 = 0 − 0 + 6
1 = 6 (yanlış)

Bu halda düzgün bərabərliyi əldə etməmişik. Bu o deməkdir ki, koordinatları (0; 1) olan nöqtə “y = x 2 − 5x + 6” funksiyasına aid deyil.

Funksiya nöqtəsinin koordinatlarını necə əldə etmək olar

Funksiyanın istənilən qrafikindən nöqtənin koordinatlarını götürə bilərsiniz. Onda əmin olmalısınız ki, koordinatları funksiya düsturuna əvəz edərkən düzgün bərabərlik alınsın.

“y(x) = −2x + 1” funksiyasını nəzərdən keçirək. Artıq əvvəlki dərsdə onun cədvəlini qurmuşuq.

“y(x) = −2x + 1” funksiyasının qrafikində x = 2 üçün “y”-yə bərabər olan funksiyanı tapaq.

Bunun üçün “Ox” oxundakı “2” qiymətindən funksiyanın qrafikinə perpendikulyar çəkirik. Perpendikulyar ilə funksiyanın qrafikinin kəsişdiyi nöqtədən “Oy” oxuna başqa bir perpendikulyar çəkirik.

“Oy” oxundakı nəticə “−3” dəyəri istənilən “y” dəyəri olacaqdır.

X = 2 üçün nöqtənin koordinatlarını düzgün qəbul etdiyimizə əmin olaq
“y(x) = −2x + 1” funksiyasında.

Bunun üçün x = 2-ni “y(x) = −2x + 1” funksiya düsturu ilə əvəz edəcəyik. Əgər perpendikulyar düz çəkilmişsə, y = -3 ilə də nəticələnməliyik.

y(2) = −2 2 + 1 = −4 + 1 = −3

Hesablamalarda y = −3 də əldə etdik.

Bu o deməkdir ki, funksiya qrafikindən koordinatları düzgün əldə etmişik.

Vacibdir!

Funksiyaya “x” dəyərlərini əvəz etməklə, funksiya qrafikindən bir nöqtənin bütün alınan koordinatlarını yoxlamağa əmin olun.

Əvəz edərkən ədədi dəyər Funksiyaya "x" əlavə etsəniz, nəticə qrafikdə əldə etdiyiniz "y" dəyəri ilə eyni olmalıdır.

Funksiya qrafikindən nöqtələrin koordinatlarını alarkən səhv etmə ehtimalınız yüksəkdir, çünki oxlara perpendikulyarların çəkilməsi “gözlə” aparılır.

Yalnız funksiya düsturuna dəyərləri əvəz etmək dəqiq nəticələr verir.

Əvvəlcə funksiyanın domenini tapmağa çalışın:

idarə etdin? Gəlin cavabları müqayisə edək:

Hər şey düzdür? Əla!

İndi funksiyanın dəyər diapazonunu tapmağa çalışaq:

Tapıldı? Gəlin müqayisə edək:

Anladım? Əla!

Yenidən qrafiklərlə işləyək, yalnız indi bir az daha mürəkkəbdir - həm funksiyanın tərif sahəsini, həm də funksiyanın dəyər diapazonunu tapın.

Bir funksiyanın həm domenini, həm də diapazonunu necə tapmaq olar (qabaqcıl)

Budur, baş verənlər:

Düşünürəm ki, siz qrafikləri anladınız. İndi düsturlara uyğun olaraq funksiyanın tərif sahəsini tapmağa çalışaq (bunu necə edəcəyinizi bilmirsinizsə, haqqında bölməni oxuyun):

idarə etdin? yoxlayaq cavablar:

, çünki radikal ifadə sıfırdan böyük və ya bərabər olmalıdır.
, çünki siz sıfıra bölmək olmaz və radikal ifadə mənfi ola bilməz.
, ildən, müvafiq olaraq, hamı üçün.
, çünki siz sıfıra bölmək olmaz.

Bununla belə, hələ cavabsız qalan bir məqamımız var...

Mən tərifi bir daha təkrarlayaraq vurğulayacağam:

Siz fərq etdiniz? “Tək” sözü bizim tərifimizin çox, çox vacib elementidir. Bunu sizə barmaqlarımla izah etməyə çalışacağam.

Tutaq ki, düz xətt ilə müəyyən edilmiş funksiyamız var. . Biz bu dəyəri “qaydamıza” əvəz edirik və onu əldə edirik. Bir dəyər bir dəyərə uyğundur. Hətta fərqli dəyərlər cədvəlini yarada və özümüz görmək üçün bu funksiyanın qrafikini çəkə bilərik.

“Bax! - deyirsən, ““ iki dəfə olur!” Bəlkə parabola funksiya deyil? Xeyr, elədir!

“ ” işarəsinin iki dəfə görünməsi parabolanı qeyri-müəyyənlikdə ittiham etmək üçün əsas deyil!

Fakt budur ki, hesablama apararkən bir oyun aldıq. Və hesablama apararkən bir oyun aldıq. Deməli, düzgündür, parabola bir funksiyadır. Qrafikə baxın:

Anladım? Yoxdursa, buyurun həyat nümunəsi riyaziyyatdan çox uzaq!

Tutaq ki, sənədləri təqdim edərkən görüşən bir qrup abituriyentimiz var ki, onların hər biri söhbətində harada yaşadığını deyib:

Razılaşın, bir şəhərdə bir neçə oğlanın yaşaması olduqca mümkündür, lakin bir insanın eyni vaxtda bir neçə şəhərdə yaşaması mümkün deyil. Bu, bizim "parabolanın" məntiqi təsvirinə bənzəyir - Bir neçə fərqli X eyni oyuna uyğun gəlir.

İndi asılılığın funksiya olmadığı bir nümunə ilə çıxış edək. Deyək ki, həmin uşaqlar bizə hansı ixtisaslara müraciət etdiklərini söylədilər:

Burada tamamilə fərqli bir vəziyyət var: bir şəxs asanlıqla bir və ya bir neçə istiqamət üzrə sənədləri təqdim edə bilər. Yəni bir element dəstlər korrespondensiyaya salınır bir neçə elementçoxluq. müvafiq olaraq, bu funksiya deyil.

Gəlin biliklərinizi praktikada yoxlayaq.

Şəkillərdən funksiyanın nə olduğunu və nəyin olmadığını müəyyən edin:

Anladım? Və budur cavablar:

Funksiya - B, E.
Funksiya deyil - A, B, D, D.

Soruşursan niyə? Bəli, bunun səbəbi:

Bütün şəkillərdə istisna olmaqla IN) Və E) Biri üçün bir neçə var!

Əminəm ki, indi siz funksiyanı qeyri-funksiyadan asanlıqla ayırd edə, arqumentin nə olduğunu və asılı dəyişənin nə olduğunu söyləyə, həmçinin arqumentin icazə verilən dəyərlərinin diapazonunu və funksiyanın təyini diapazonunu təyin edə bilərsiniz. . Gəlin növbəti hissəyə keçək - funksiyanı necə təyin etmək olar?

Funksiyanı təyin etmək üsulları

Sizcə sözlər nə deməkdir? "funksiya təyin et"? Düzdü, bu, bu halda hansı funksiyadan danışdığımızı hamıya izah etmək deməkdir. Üstəlik bunu elə izah edin ki, hamı sizi düzgün başa düşsün və sizin izahatınıza əsasən insanların çəkdiyi funksiya qrafikləri eyni olsun.

Bunu necə edə bilərəm? Bir funksiyanı necə təyin etmək olar? Bu məqalədə artıq bir dəfədən çox istifadə edilmiş ən sadə üsuldur düsturdan istifadə etməklə. Bir düstur yazırıq və onun içinə bir dəyər qoyaraq dəyəri hesablayırıq. Və xatırladığınız kimi, düstur bir qanundur, bir qaydadır ki, X-in necə Y-yə çevrilməsi bizə və başqa bir insana aydın olur.

Adətən, onlar məhz belə edirlər - tapşırıqlarda biz düsturlarla müəyyən edilmiş hazır funksiyaları görürük, lakin hər kəsin unutduğu funksiyanı təyin etməyin başqa yolları da var və buna görə də "bir funksiyanı başqa necə təyin edə bilərsiniz?" maneələr. Gəlin hər şeyi qaydasında anlayaq və analitik metoddan başlayaq.

Funksiyanı təyin etməyin analitik üsulu

Analitik metod düsturdan istifadə edərək funksiyanı təyin etməkdir. Bu, ən universal, hərtərəfli və birmənalı üsuldur. Bir düsturunuz varsa, onda siz funksiya haqqında tamamilə hər şeyi bilirsiniz - ondan dəyərlər cədvəli yarada bilərsiniz, qrafik qura, funksiyanın harada artdığını və harada azaldığını müəyyən edə bilərsiniz, ümumiyyətlə, onu öyrənə bilərsiniz. tam.

Funksiyanı nəzərdən keçirək. Fərq nədir?

"Bunun mənası nədi?" – soruşursan. İndi izah edəcəyəm.

Nəzərinizə çatdırım ki, qeydlərdə mötərizədə olan ifadə arqument adlanır. Və bu arqument hər hansı bir ifadə ola bilər, mütləq sadə deyil. Müvafiq olaraq, arqument (mötərizədəki ifadə) nə olursa olsun, ifadənin yerinə onu yazacağıq.

Bizim nümunəmizdə bu belə görünəcək:

İmtahanda olacaq funksiyanı təyin etməyin analitik üsulu ilə bağlı başqa bir tapşırığı nəzərdən keçirək.

ifadəsinin qiymətini tapın.

Əminəm ki, əvvəlcə belə bir ifadə görəndə qorxdunuz, amma bunda tamamilə qorxulu bir şey yoxdur!

Hər şey əvvəlki misaldakı kimidir: arqument (mötərizədə olan ifadə) nə olursa olsun, biz onu ifadənin yerinə yazacağıq. Məsələn, bir funksiya üçün.

Bizim nümunəmizdə nə etmək lazımdır? Bunun əvəzinə yazmalısınız və əvəzinə -:

nəticədə ifadəni qısaltın:

Hamısı budur!

Müstəqil iş

İndi aşağıdakı ifadələrin mənasını özünüz tapmağa çalışın:

, Əgər
, Əgər

idarə etdin? Cavablarımızı müqayisə edək: Biz funksiyanın formaya malik olmasına öyrəşmişik

Hətta nümunələrimizdə biz funksiyanı məhz bu şəkildə təyin edirik, lakin analitik olaraq, məsələn, funksiyanı gizli formada təyin etmək mümkündür.

Bu funksiyanı özünüz qurmağa çalışın.

idarə etdin?

Mən onu belə qurdum.

Nəhayət hansı tənliyi əldə etdik?

Doğru! Xətti, yəni qrafik düz xətt olacaq. Hansı nöqtələrin xəttimizə aid olduğunu müəyyən etmək üçün cədvəl yaradaq:

Söhbət məhz bundan gedirdi... Biri bir neçəsinə uyğun gəlir.

Baş verənləri çəkməyə çalışaq:

Əldə etdiyimiz funksiya varmı?

Düzdü, yox! Niyə? Bu suala bir rəsm köməyi ilə cavab verməyə çalışın. Nə aldınız?

"Çünki bir dəyər bir neçə dəyərə uyğundur!"

Bundan hansı nəticə çıxara bilərik?

Düzdür, funksiya həmişə açıq şəkildə ifadə edilə bilməz və funksiya kimi “gizlənən” həmişə funksiya deyil!

Funksiyanı təyin etmək üçün cədvəl üsulu

Adından da göründüyü kimi, bu üsul sadə bir işarədir. Hə hə. Sizin və mənim artıq düzəltdiyimiz kimi. Misal üçün:

Burada dərhal bir nümunə gördün - Y X-dən üç dəfə böyükdür. İndi isə “çox diqqətlə düşünmək” tapşırığı: sizcə, cədvəl şəklində verilmiş funksiya funksiyaya bərabərdirmi?

Uzun müddət danışmayaq, amma çəkək!

Belə ki. Divar kağızı ilə göstərilən funksiyanı aşağıdakı yollarla çəkirik:

Fərqi görürsən? Hər şey qeyd olunan nöqtələrə aid deyil! Daha yaxından baxın:

İndi görmüsən? Funksiyanı cədvəl şəklində təyin etdikdə, qrafikdə yalnız cədvəldə olan nöqtələri göstəririk və xətt (bizim vəziyyətimizdə olduğu kimi) yalnız onlardan keçir. Bir funksiyanı analitik olaraq təyin etdikdə istənilən nöqtələri götürə bilərik və funksiyamız onlarla məhdudlaşmır. Bu özəllikdir. Unutma!

Funksiyanın qurulmasının qrafik üsulu

Funksiyanı qurmağın qrafik üsulu daha az rahat deyil. Biz funksiyamızı çəkirik və başqa bir maraqlı şəxs müəyyən x-də y-nin nəyə bərabər olduğunu tapa bilər və s. Qrafik və analitik üsullar ən çox yayılmışlar arasındadır.

Bununla belə, burada əvvəldən nə haqqında danışdığımızı xatırlamaq lazımdır - koordinat sistemində çəkilmiş hər bir "burma" funksiya deyil! Sən xatırlayırsan? Hər halda, funksiyanın nə olduğunun tərifini buraya köçürəcəyəm:

Bir qayda olaraq, insanlar adətən müzakirə etdiyimiz funksiyanı dəqiqləşdirməyin üç yolunu adlandırırlar - analitik (düsturdan istifadə etməklə), cədvəl və qrafik, funksiyanın şifahi şəkildə təsvir oluna biləcəyini tamamilə unudurlar. Bunun kimi? Bəli, çox sadə!

Funksiyanın şifahi təsviri

Bir funksiyanı şifahi olaraq necə təsvir etmək olar? Ən son nümunəmizi götürək - . Bu funksiyanı "x-in hər bir real dəyəri onun üçqat dəyərinə uyğundur" kimi təsvir etmək olar. Hamısı budur. Mürəkkəb bir şey yoxdur. Siz, əlbəttə ki, etiraz edəcəksiniz - “belə var mürəkkəb funksiyalarşifahi olaraq soruşmaq mümkün deyil!” Bəli, belələri var, lakin elə funksiyalar var ki, onları şifahi şəkildə təsvir etmək düsturla müəyyən etməkdən daha asandır. Məsələn: “x-in hər bir natural qiyməti onun təşkil etdiyi ədədlər arasındakı fərqə uyğundur və minuend alınır. ən yüksək rəqəm nömrə qeydində əks olunur." İndi funksiyanın şifahi təsvirinin praktikada necə həyata keçirildiyinə baxaq:

Verilmiş ədəddəki ən böyük rəqəm müvafiq olaraq minuenddir, onda:

Funksiyaların əsas növləri

İndi keçək ən maraqlı hissəyə - gəlin məktəb və kollec riyaziyyatı kursunda işlədiyiniz/işlədiyiniz və işləyəcəyiniz əsas funksiya növlərinə baxaq, yəni onlarla tanış olaq, belə deyək. , və onlara verin qısa təsviri. Müvafiq bölmədə hər bir funksiya haqqında ətraflı oxuyun.

Xətti funksiya

Həqiqi ədədlərin olduğu formanın funksiyası.

Bu funksiyanın qrafiki düz xəttdir, ona görə də xətti funksiyanın qurulması iki nöqtənin koordinatlarını tapmağa gəlir.

Düz xəttin koordinat müstəvisində mövqeyi bucaq əmsalından asılıdır.

Funksiyanın əhatə dairəsi (aka etibarlı arqument dəyərlərinin əhatə dairəsi) .

Dəyərlər diapazonu - .

Kvadrat funksiya

Formanın funksiyası, harada

Funksiyanın qrafiki paraboladır; parabolanın budaqları aşağı, budaqları yuxarı yönəldildikdə.

Kvadrat funksiyanın bir çox xassələri diskriminantın qiymətindən asılıdır. Diskriminant düsturdan istifadə etməklə hesablanır

Parabolanın qiymətə və əmsala nisbətən koordinat müstəvisindəki mövqeyi şəkildə göstərilmişdir:

Domen

Dəyərlər diapazonu verilmiş funksiyanın ekstremumundan (parabolanın təpə nöqtəsi) və əmsalından (parabolanın budaqlarının istiqaməti) asılıdır.

Tərs mütənasiblik

Düsturla verilən funksiya, burada

Ədəd tərs mütənasiblik əmsalı adlanır. Dəyərdən asılı olaraq hiperbolanın budaqları müxtəlif kvadratlardadır:

Domen - .

Dəyərlər diapazonu - .

XÜLASƏ VƏ ƏSAS FORMULLAR

1. Funksiya çoxluğun hər bir elementinin çoxluğun tək elementi ilə əlaqələndirilməsi qaydasıdır.

- bu, funksiyanı, yəni bir dəyişənin digərindən asılılığını bildirən düsturdur;
- dəyişən dəyər və ya arqument;
- asılı kəmiyyət - arqument dəyişdikdə, yəni bir kəmiyyətin digərindən asılılığını əks etdirən hər hansı konkret düstura görə dəyişir.

2. Etibarlı arqument dəyərləri, və ya funksiyanın sahəsi, funksiyanın mənalı olduğu imkanlarla əlaqəli olan şeydir.

3. Funksiya diapazonu- məqbul dəyərləri nəzərə alaraq qəbul etdiyi dəyərlər budur.

4. Funksiyanı təyin etməyin 4 yolu var:

analitik (düsturlardan istifadə etməklə);
cədvəlli;
qrafik
şifahi təsvir.

5. Əsas funksiya növləri:

: , burada, həqiqi ədədlərdir;
: , Harada;
: , Harada.

Bilik əsas elementar funksiyalar, onların xassələri və qrafikləri vurma cədvəllərini bilməkdən az əhəmiyyətli deyil. Onlar bünövrə kimidirlər, hər şey onlara əsaslanır, hər şey onlardan tikilir və hər şey onların üzərinə düşür.

Bu yazıda biz bütün əsas elementar funksiyaları sadalayacağıq, onların qrafiklərini təqdim edəcəyik və nəticə və sübut olmadan verəcəyik. əsas elementar funksiyaların xassələri sxemə görə:

funksiyanın tərif sahəsinin, şaquli asimptotların sərhədlərində davranışı (lazım olduqda, funksiyanın kəsilmə nöqtələrinin məqalə təsnifatına baxın);
cüt və tək;
qabarıqlıq (yuxarı qabarıqlıq) və qabarıqlıq (aşağıya doğru qabarıqlıq), əyilmə nöqtələri (lazım olduqda, funksiyanın qabarıqlığına, qabarıqlığın istiqamətinə, əyilmə nöqtələrinə, qabarıqlıq və əyilmə şərtlərinə baxın);
əyri və üfüqi asimptotlar;
funksiyaların tək nöqtələri;
bəzi funksiyaların xüsusi xassələri (məsələn, triqonometrik funksiyaların ən kiçik müsbət dövrü).

Əgər maraqlanırsınızsa və ya, onda nəzəriyyənin bu bölmələrinə keçə bilərsiniz.

Əsas elementar funksiyalar bunlardır: sabit funksiya (sabit), n-ci kök, güc funksiyası, eksponensial, loqarifmik funksiya, triqonometrik və tərs triqonometrik funksiyalar.

Səhifə naviqasiyası.

Daimi funksiya.

Sabit funksiya bütün həqiqi ədədlər çoxluğunda düsturla müəyyən edilir, burada C hansısa həqiqi ədəddir. Sabit funksiya x müstəqil dəyişənin hər bir real qiymətini y asılı dəyişənin eyni qiyməti ilə - C dəyəri ilə əlaqələndirir. Sabit funksiyaya sabit də deyilir.

Sabit funksiyanın qrafiki x oxuna paralel və koordinatları (0,C) olan nöqtədən keçən düz xəttdir. Nümunə olaraq aşağıdakı şəkildə qara, qırmızı və mavi xətlərə uyğun gələn y=5, y=-2 və sabit funksiyalarının qrafiklərini göstərəcəyik.

Sabit funksiyanın xassələri.

Domen: real ədədlərin bütün dəsti.
Sabit funksiya cütdür.
Dəyərlər diapazonu: ibarət dəst təkİLƏ.
Daimi funksiya artan və azalmayandır (buna görə də sabitdir).
Sabitin qabarıqlığı və qabarıqlığı haqqında danışmağın mənası yoxdur.
Asimptotlar yoxdur.
Funksiya koordinat müstəvisinin (0,C) nöqtəsindən keçir.

n-ci dərəcəli kök.

n – düsturu ilə verilən əsas elementar funksiyanı nəzərdən keçirək. natural ədəd, birdən böyük.

n-ci dərəcəli kök, n cüt ədəddir.

N kök göstəricisinin cüt dəyərləri üçün n-ci kök funksiyasından başlayaq.

Nümunə olaraq, burada funksiya qrafiklərinin təsvirləri olan bir şəkil var və , onlar qara, qırmızı və mavi xətlərə uyğundur.

Cüt dərəcəli kök funksiyalarının qrafikləri eksponentin digər qiymətləri üçün oxşar görünüşə malikdir.

Cüt n üçün n-ci kök funksiyasının xassələri.

n-ci kök, n tək ədəddir.

Tək kök göstəricisi n olan n-ci kök funksiyası bütün həqiqi ədədlər toplusunda müəyyən edilir. Məsələn, burada funksiya qrafikləri var və , onlar qara, qırmızı və mavi əyrilərə uyğundur.

Kök eksponentin digər tək qiymətləri üçün funksiya qrafikləri oxşar görünüşə malik olacaq.

Tək n üçün n-ci kök funksiyasının xassələri.

Güc funksiyası.

Güc funksiyası formanın düsturu ilə verilir.

Qüvvət funksiyasının qrafiklərinin formasını və eksponentin qiymətindən asılı olaraq güc funksiyasının xassələrini nəzərdən keçirək.

Tam eksponent a olan güc funksiyasından başlayaq. Bu zaman güc funksiyalarının qrafiklərinin görünüşü və funksiyaların xassələri eksponentin bərabər və ya təkliyindən, həmçinin işarəsindən asılıdır. Buna görə də, əvvəlcə a eksponentinin tək müsbət qiymətləri, sonra cüt müsbət göstəricilər, sonra tək mənfi eksponentlər və nəhayət, hətta mənfi a üçün güc funksiyalarını nəzərdən keçirəcəyik.

Kəsrə və irrasional göstəricilərə malik güc funksiyalarının xassələri (həmçinin belə güc funksiyalarının qrafiklərinin növü) a eksponentinin qiymətindən asılıdır. Onları, birincisi, sıfırdan birə, ikincisi, birdən böyük üçün, üçüncüsü, mənfi birdən sıfıra qədər, dördüncü, mənfi birdən kiçik üçün nəzərdən keçirəcəyik.

Bu bölmənin sonunda tamlıq üçün sıfır eksponentli güc funksiyasını təsvir edəcəyik.

Tək müsbət eksponentli güc funksiyası.

Tək müsbət göstəricili, yəni a = 1,3,5,... olan güc funksiyasını nəzərdən keçirək.

Aşağıdakı şəkildə güc funksiyalarının qrafikləri göstərilir – qara xətt, – mavi xətt, – qırmızı xətt, – yaşıl xətt. a=1 üçün bizdə var xətti funksiya y=x.

Tək müsbət eksponentli güc funksiyasının xassələri.

Hətta müsbət göstərici ilə güc funksiyası.

Cüt müsbət göstəricili güc funksiyasını nəzərdən keçirək, yəni a = 2,4,6,... üçün.

Nümunə olaraq güc funksiyalarının qrafiklərini veririk – qara xətt, – mavi xətt, – qırmızı xətt. a=2 üçün bizdə var kvadrat funksiya, kimin qrafiki kvadratik parabola.

Cüt müsbət eksponentli güc funksiyasının xassələri.

Tək mənfi eksponentli güc funksiyası.

Eksponentin tək mənfi qiymətləri üçün güc funksiyasının qrafiklərinə baxın, yəni a = -1, -3, -5,....

Şəkildə misal olaraq güc funksiyalarının qrafikləri göstərilir - qara xətt, - mavi xətt, - qırmızı xətt, - yaşıl xətt. a=-1 üçün bizdə var tərs mütənasiblik, kimin qrafiki hiperbola.

Tək mənfi eksponentli güc funksiyasının xassələri.

Hətta mənfi eksponentli güc funksiyası.

a=-2,-4,-6,… üçün güc funksiyasına keçək.

Şəkildə güc funksiyalarının qrafikləri göstərilir – qara xətt, – mavi xətt, – qırmızı xətt.

Cüt mənfi eksponentli güc funksiyasının xassələri.

Dəyəri sıfırdan böyük və birdən kiçik olan rasional və ya irrasional eksponentli güc funksiyası.

Qeyd!Əgər a tək məxrəcli müsbət kəsrdirsə, onda bəzi müəlliflər güc funksiyasının təyinetmə sahəsini interval hesab edirlər. Müəyyən edilmişdir ki, a eksponenti azalmayan kəsrdir. İndi cəbr və təhlil prinsipləri üzrə bir çox dərsliklərin müəllifləri arqumentin mənfi qiymətləri üçün tək məxrəcli kəsr şəklində eksponentlə güc funksiyalarını TƏYİD ETMİR. Biz məhz bu fikrə əməl edəcəyik, yəni çoxluğu kəsr müsbət göstəriciləri olan güc funksiyalarının təyini oblastları hesab edəcəyik. Tələbələrə fikir ayrılıqlarının qarşısını almaq üçün müəlliminizin bu incə məqamla bağlı fikrini öyrənməyi tövsiyə edirik.

Rasional və ya irrasional göstəricisi a olan güc funksiyasını nəzərdən keçirək.

a=11/12 (qara xətt), a=5/7 (qırmızı xətt), (mavi xətt), a=2/5 (yaşıl xətt) üçün güc funksiyalarının qrafiklərini təqdim edək.

Tam olmayan rasional və ya irrasional eksponenti birdən böyük olan güc funksiyası.

Tam ədədi olmayan rasional və ya irrasional göstəricisi a olan güc funksiyasını nəzərdən keçirək.

Düsturlarla verilmiş güc funksiyalarının qrafiklərini təqdim edək (müvafiq olaraq qara, qırmızı, mavi və yaşıl xətlər).

a eksponentinin digər qiymətləri üçün funksiyanın qrafikləri oxşar görünüşə malik olacaqdır.

-də güc funksiyasının xassələri.

Həqiqi eksponenti mənfi birdən böyük və sıfırdan kiçik olan güc funksiyası.

Qeyd!Əgər a tək məxrəcli mənfi kəsrdirsə, onda bəzi müəlliflər güc funksiyasının tərif sahəsini interval hesab edirlər. . Müəyyən edilmişdir ki, a eksponenti azalmayan kəsrdir. İndi cəbr və təhlil prinsipləri üzrə bir çox dərsliklərin müəllifləri arqumentin mənfi qiymətləri üçün tək məxrəcli kəsr şəklində eksponentlə güc funksiyalarını TƏYİD ETMİR. Biz məhz bu fikrə sadiq qalacağıq, yəni kəsr mənfi göstəriciləri olan dərəcə funksiyalarının təyini sahələrini müvafiq olaraq çoxluq hesab edəcəyik. Tələbələrə fikir ayrılıqlarının qarşısını almaq üçün müəlliminizin bu incə məqamla bağlı fikrini öyrənməyi tövsiyə edirik.

Gəlin güc funksiyasına keçək, kgod.

Güc funksiyalarının qrafiklərinin forması haqqında yaxşı təsəvvürə malik olmaq üçün funksiyaların qrafiklərinə nümunələr veririk. (müvafiq olaraq qara, qırmızı, mavi və yaşıl əyrilər).

a, eksponentli güc funksiyasının xassələri.

Tam olmayan real eksponenti mənfi birdən kiçik olan güc funksiyası.

üçün güc funksiyalarının qrafiklərinə nümunələr verək , onlar müvafiq olaraq qara, qırmızı, mavi və yaşıl xətlərlə təsvir edilmişdir.

Tam olmayan mənfi eksponenti mənfi birdən kiçik olan güc funksiyasının xassələri.

a = 0 olduqda, funksiyamız var - bu, (0;1) nöqtəsinin xaric edildiyi düz xəttdir (0 0 ifadəsinə heç bir əhəmiyyət verməmək razılaşdırıldı).

Eksponensial funksiya.

Əsas elementar funksiyalardan biri eksponensial funksiyadır.

Eksponensial funksiyanın qrafiki, burada və a əsasının qiymətindən asılı olaraq müxtəlif formalar alır. Gəlin bunu anlayaq.

Əvvəlcə eksponensial funksiyanın əsasının sıfırdan 1-ə qədər qiymət alması halını nəzərdən keçirək, yəni .

Nümunə olaraq a = 1/2 – mavi xətt, a = 5/6 – qırmızı xətt üçün eksponensial funksiyanın qrafiklərini təqdim edirik. Eksponensial funksiyanın qrafikləri bazanın digər qiymətləri üçün intervaldan oxşar görünüşə malikdir.

Əsası birdən kiçik olan eksponensial funksiyanın xassələri.

Eksponensial funksiyanın əsasının birdən böyük olması halına keçək, yəni .

Bir illüstrasiya olaraq, eksponensial funksiyaların qrafiklərini təqdim edirik - mavi xətt və - qırmızı xətt. Bazanın birdən böyük digər qiymətləri üçün eksponensial funksiyanın qrafikləri oxşar görünüşə malik olacaqdır.

Əsası birdən böyük olan eksponensial funksiyanın xassələri.

Loqarifmik funksiya.

Növbəti əsas elementar funksiya loqarifmik funksiyadır, burada , . Loqarifmik funksiya yalnız arqumentin müsbət qiymətləri üçün, yəni üçün müəyyən edilir.

Loqarifmik funksiyanın qrafiki a əsasının qiymətindən asılı olaraq müxtəlif formalar alır.

Başlayaq nə vaxt.

Nümunə olaraq a = 1/2 – mavi xətt, a = 5/6 – qırmızı xətt üçün loqarifmik funksiyanın qrafiklərini təqdim edirik. Bazanın birdən çox olmayan digər qiymətləri üçün loqarifmik funksiyanın qrafikləri oxşar görünüşə sahib olacaqdır.

Əsası birdən kiçik olan loqarifmik funksiyanın xassələri.

Loqarifmik funksiyanın əsasının birdən () böyük olması halına keçək.

Loqarifmik funksiyaların qrafiklərini göstərək - mavi xətt, - qırmızı xətt. Bazanın birdən böyük digər qiymətləri üçün loqarifmik funksiyanın qrafikləri oxşar görünüşə sahib olacaqdır.

Əsası birdən böyük olan loqarifmik funksiyanın xassələri.

Triqonometrik funksiyalar, onların xassələri və qrafikləri.

Bütün triqonometrik funksiyalar (sinus, kosinus, tangens və kotangens) əsas elementar funksiyalara aiddir. İndi biz onların qrafiklərinə baxacağıq və xassələrini sadalayacağıq.

Triqonometrik funksiyalar anlayışına malikdir tezlik(bir-birindən dövrə görə fərqlənən müxtəlif arqument dəyərləri üçün funksiya dəyərlərinin təkrarlanması , burada T dövrdür), buna görə də triqonometrik funksiyaların xassələri siyahısına element əlavə edilmişdir. "ən kiçik müsbət dövr". Həmçinin, hər bir triqonometrik funksiya üçün müvafiq funksiyanın itdiyi arqumentin dəyərlərini göstərəcəyik.

İndi bütün triqonometrik funksiyaları ardıcıllıqla həll edək.

Sinus funksiyası y = sin(x) .

Sinus funksiyasının qrafikini çəkək, ona “sinus dalğası” deyilir.

Sinus funksiyasının xassələri y = sinx.

Kosinus funksiyası y = cos(x) .

Kosinus funksiyasının (“kosinus” adlanır) qrafiki belə görünür:

y = cosx kosinus funksiyasının xassələri.

Tangens funksiyası y = tan(x) .

Tangens funksiyasının qrafiki (“tangentoid” adlanır) belə görünür:

Tangens funksiyasının xassələri y = tanx.

Kotangent funksiyası y = ctg(x) .

Kotangent funksiyasının qrafikini çəkək (“kotangentoid” adlanır):

y = ctgx kotangent funksiyasının xassələri.

Tərs triqonometrik funksiyalar, onların xassələri və qrafikləri.

Tərs triqonometrik funksiyalar (qövs sinusu, qövs kosinusu, qövs tangensi və qövs kotangensi) əsas elementar funksiyalardır. Çox vaxt "qövs" prefiksinə görə tərs triqonometrik funksiyalar qövs funksiyaları adlanır. İndi biz onların qrafiklərinə baxacağıq və xassələrini sadalayacağıq.

Arksinus funksiyası y = arcsin(x) .

Arksinus funksiyasının qrafikini çəkək:

y = arcctg(x) arkkotangent funksiyasının xassələri .

Biblioqrafiya.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. və başqaları.Cəbr və təhlilin başlanğıcları: Proc. 10-11 siniflər üçün. ümumi təhsil müəssisələri.
Vıqodski M.Ya. İbtidai Riyaziyyat Təlimatı.
Novoselov S.I. Cəbr və elementar funksiyalar.
Tumanov S.I. Elementar cəbr. Öz-özünə təhsil üçün dərslik.

Əsas elementar funksiyalar, onlara xas olan xassələr və müvafiq qrafiklər vurma cədvəlinə əhəmiyyətinə görə oxşar riyazi biliklərin əsaslarından biridir. Elementar funksiyalar bütün nəzəri məsələlərin öyrənilməsi üçün əsas, dayaqdır.

Aşağıdakı məqalə əsas elementar funksiyalar mövzusunda əsas material təqdim edir. Biz terminləri təqdim edəcəyik, onlara təriflər verəcəyik; Elementar funksiyaların hər bir növünü ətraflı öyrənək və onların xassələrini təhlil edək.

Əsas elementar funksiyaların aşağıdakı növləri fərqləndirilir:

Tərif 1

sabit funksiya (sabit);
n-ci kök;
güc funksiyası;
eksponensial funksiya;
loqarifmik funksiya;
triqonometrik funksiyalar;
qardaş triqonometrik funksiyalar.

Sabit funksiya aşağıdakı düsturla müəyyən edilir: y = C (C müəyyən real ədəddir) və həmçinin adı var: sabit. Bu funksiya x müstəqil dəyişənin hər hansı real qiymətinin y dəyişəninin eyni qiymətinə - C dəyərinə uyğunluğunu müəyyən edir.

Sabitin qrafiki absis oxuna paralel olan və koordinatları (0, C) olan nöqtədən keçən düz xəttdir. Aydınlıq üçün y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 sabit funksiyalarının qrafiklərini təqdim edirik (rəsmdə müvafiq olaraq qara, qırmızı və mavi rənglərlə göstərilmişdir).

Tərif 2

Bu elementar funksiya y = x n düsturu ilə müəyyən edilir (n birdən böyük natural ədəddir).

Funksiyanın iki variantını nəzərdən keçirək.

n-ci kök, n – cüt ədəd

Aydınlıq üçün bu cür funksiyaların qrafiklərini göstərən bir rəsm göstəririk: y = x, y = x 4 və y = x8. Bu xüsusiyyətlər rəng kodludur: müvafiq olaraq qara, qırmızı və mavi.

Cüt dərəcəli funksiyanın qrafikləri eksponentin digər qiymətləri üçün oxşar görünüşə malikdir.

Tərif 3

n-ci kök funksiyasının xassələri, n cüt ədəddir

tərif dairəsi – bütün qeyri-mənfi real ədədlərin çoxluğu [ 0 , + ∞ ) ;
x = 0 olduqda, funksiya y = x n sıfıra bərabər qiymətə malikdir;
verilmişdir funksiya-funksiya ümumi görünüş(nə cüt, nə də tək deyil);
diapazon: [ 0 , + ∞);
bu funksiya y = x n cüt kök göstəriciləri ilə bütün tərif dairəsi boyunca artır;
funksiya bütün tərif sahəsi boyunca yuxarı istiqamətə malik qabarıqlığa malikdir;
əyilmə nöqtələri yoxdur;
asimptotlar yoxdur;
cüt n üçün funksiyanın qrafiki (0; 0) və (1; 1) nöqtələrindən keçir.

n-ci kök, n – tək ədəd

Belə bir funksiya bütün həqiqi ədədlər toplusunda müəyyən edilir. Aydınlıq üçün funksiyaların qrafiklərini nəzərdən keçirin y = x 3 , y = x 5 və x 9. Rəsmdə onlar rənglərlə göstərilir: qara, qırmızı və Mavi rəng və müvafiq olaraq əyrilər.

y = x n funksiyasının kök eksponentinin digər tək qiymətləri oxşar tipli bir qrafik verəcəkdir.

Tərif 4

n-ci kök funksiyasının xassələri, n tək ədəddir

tərif sahəsi – bütün həqiqi ədədlərin çoxluğu;
bu funksiya qəribədir;
dəyərlər diapazonu - bütün həqiqi ədədlərin çoxluğu;
tək kök göstəriciləri üçün y = x n funksiyası tərifin bütün sahəsi üzrə artır;
funksiya (- ∞ ; 0 ] intervalında qabarıqlığa və [ 0 , + ∞ intervalında qabarıqlığa malikdir);
əyilmə nöqtəsinin koordinatları var (0; 0);
asimptotlar yoxdur;
Tək n üçün funksiyanın qrafiki (- 1 ; - 1), (0 ; 0) və (1 ; 1) nöqtələrindən keçir.

Güc funksiyası

Tərif 5

Güc funksiyası y = x a düsturu ilə müəyyən edilir.

Qrafiklərin görünüşü və funksiyanın xassələri eksponentin qiymətindən asılıdır.

güc funksiyasının tam göstəricisi a olduqda, güc funksiyasının qrafikinin növü və onun xassələri göstəricinin cüt və ya tək olmasından, həmçinin eksponentin hansı işarəyə malik olmasından asılıdır. Bütün bu xüsusi halları aşağıda daha ətraflı nəzərdən keçirək;
eksponent kəsr və ya irrasional ola bilər - bundan asılı olaraq qrafiklərin növü və funksiyanın xassələri də dəyişir. Biz bir neçə şərt qoyaraq xüsusi halları təhlil edəcəyik: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
güc funksiyası sıfır eksponentə malik ola bilər; biz bu işi də aşağıda daha ətraflı təhlil edəcəyik.

Güc funksiyasını təhlil edək y = x a, a tək müsbət ədəd olduqda, məsələn, a = 1, 3, 5...

Aydınlıq üçün bu cür güc funksiyalarının qrafiklərini göstəririk: y = x (qrafik rəng qara), y = x 3 (qrafikin mavi rəngi), y = x 5 (qrafiyanın qırmızı rəngi), y = x 7 (qrafik rəng yaşıl). a = 1 olduqda, y = x xətti funksiyasını alırıq.

Tərif 6

Eksponent tək müsbət olduqda güc funksiyasının xüsusiyyətləri

funksiya x ∈ (- ∞ ; + ∞) üçün artır;
funksiya x ∈ (- ∞ ; 0 ] üçün qabarıqlığa və x ∈ [ 0 ; + ∞) üçün qabarıqlığa malikdir (xətti funksiya istisna olmaqla);
əyilmə nöqtəsinin koordinatları var (0 ; 0) (xətti funksiya istisna olmaqla);
asimptotlar yoxdur;
funksiyasının keçid nöqtələri: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Güc funksiyasını təhlil edək y = x a, a cüt müsbət ədəd olduqda, məsələn, a = 2, 4, 6...

Aydınlıq üçün bu cür güc funksiyalarının qrafiklərini göstəririk: y = x 2 (qrafik rəng qara), y = x 4 (qrafikin mavi rəngi), y = x 8 (qrafikin qırmızı rəngi). a = 2 olduqda, qrafiki kvadrat parabola olan kvadrat funksiya əldə edirik.

Tərif 7

Göstərici hətta müsbət olduqda güc funksiyasının xüsusiyyətləri:

təyin dairəsi: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
x ∈ üçün azalan (- ∞ ; 0 ] ;
funksiya x ∈ (- ∞ ; + ∞) üçün konkavliyə malikdir;
əyilmə nöqtələri yoxdur;
asimptotlar yoxdur;
funksiyasının keçid nöqtələri: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Aşağıdakı şəkildə güc funksiyası qrafiklərinin nümunələri göstərilir y = x a tək mənfi ədəd olduqda: y = x - 9 (qrafik rəng qara); y = x - 5 (qrafikin mavi rəngi); y = x - 3 (qrafikin qırmızı rəngi); y = x - 1 (qrafik rəng yaşıl). a = - 1 olduqda, qrafiki hiperbola olan tərs mütənasiblik əldə edirik.

Tərif 8

Eksponent tək mənfi olduqda güc funksiyasının xüsusiyyətləri:

x = 0 olduqda, ikinci növ kəsikliyi əldə edirik, çünki lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ a = - 1, - 3, - 5, … üçün. Beləliklə, x = 0 düz xətti şaquli asimptotdur;

diapazon: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
funksiya təkdir, çünki y (- x) = - y (x);
funksiya x ∈ - ∞ üçün azalır; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
funksiya x ∈ (- ∞ ; 0) üçün qabarıqlığa və x ∈ (0 ; + ∞) üçün qabarıqlığa malikdir;
əyilmə nöqtələri yoxdur;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 olduqda, a = - 1, - 3, - 5, . . . .

funksiyasının keçid nöqtələri: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Aşağıdakı şəkildə a cüt mənfi ədəd olduqda y = x a güc funksiyasının qrafiklərinin nümunələri göstərilir: y = x - 8 (qrafik rəng qara); y = x - 4 (qrafikin mavi rəngi); y = x - 2 (qrafikin qırmızı rəngi).

Tərif 9

Eksponent hətta mənfi olduqda güc funksiyasının xüsusiyyətləri:

təyin dairəsi: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

x = 0 olduqda, ikinci növ kəsikliyi əldə edirik, çünki lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ a = - 2, - 4, - 6, … üçün. Beləliklə, x = 0 düz xətti şaquli asimptotdur;

funksiya cütdür, çünki y(-x) = y(x);
funksiya x ∈ (- ∞ ; 0) üçün artır və x ∈ 0 üçün azalır; + ∞ ;
funksiya x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) nöqtəsində konkavliyə malikdir;
əyilmə nöqtələri yoxdur;
üfüqi asimptot – düz xətt y = 0, çünki:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 olduqda a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

funksiyasının keçid nöqtələri: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Əvvəldən aşağıdakı aspektə diqqət yetirin: a tək məxrəcli müsbət kəsr olduğu halda, bəzi müəlliflər bu güc funksiyasının təyini sahəsi kimi - ∞ intervalını götürürlər; + ∞ , a eksponentinin azalmayan kəsr olduğunu şərtləndirir. Hal-hazırda, cəbr və təhlil prinsipləri ilə bağlı bir çox tədris nəşrlərinin müəllifləri güc funksiyalarını təyin etmirlər, burada eksponent arqumentin mənfi dəyərləri üçün tək məxrəcli bir kəsrdir. Bundan sonra biz məhz bu mövqeyə sadiq qalacağıq: dəsti alacağıq [ 0 ; + ∞) . Şagirdlər üçün tövsiyə: fikir ayrılıqlarının qarşısını almaq üçün müəllimin bu məsələyə münasibətini öyrənin.

Beləliklə, güc funksiyasına baxaq y = x a , eksponent rasional və ya irrasional ədəd olduqda, bu şərtlə ki, 0< a < 1 .

Qrafiklərlə güc funksiyalarını təsvir edək a = 11 12 olduqda y = x a (qrafik rəng qara); a = 5 7 (qrafikin qırmızı rəngi); a = 1 3 (qrafiyanın mavi rəngi); a = 2 5 (qrafiyanın yaşıl rəngi).

a eksponentinin digər dəyərləri (0 verilir< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Tərif 10

0-da güc funksiyasının xassələri< a < 1:

diapazon: y ∈ [ 0 ; + ∞);
funksiya x ∈ [ 0 üçün artır; + ∞);
funksiya x ∈ (0 ; + ∞) üçün qabarıqdır;
əyilmə nöqtələri yoxdur;
asimptotlar yoxdur;

Güc funksiyasını təhlil edək y = x a, eksponent tam olmayan rasional və ya irrasional ədəd olduqda, a > 1 olmaq şərtilə.

Qrafiklərlə güc funksiyasını təsvir edək y = x a verilmiş şərtlərdə aşağıdakı funksiyalardan nümunə kimi istifadə etməklə: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (qrafiklərin qara, qırmızı, mavi, yaşıl rəngləri, müvafiq olaraq).

a>1 şərti ilə a eksponentinin digər qiymətləri oxşar qrafik verəcəkdir.

Tərif 11

> 1 üçün güc funksiyasının xüsusiyyətləri:

tərif sahəsi: x ∈ [ 0 ; + ∞);
diapazon: y ∈ [ 0 ; + ∞);
bu funksiya ümumi formanın funksiyasıdır (nə tək, nə də cüt deyil);
funksiya x ∈ [ 0 üçün artır; + ∞);
funksiya x ∈ (0 ; + ∞) üçün konkavliyə malikdir (1 olduqda< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
əyilmə nöqtələri yoxdur;
asimptotlar yoxdur;
funksiyanın keçid nöqtələri: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Nəzərə alın ki, a tək məxrəcli mənfi kəsr olduqda, bəzi müəlliflərin əsərlərində belə bir fikir var ki, bu halda tərif dairəsi - ∞ intervalıdır; 0 ∪ (0 ; + ∞) a eksponentinin azalmayan kəsr olduğuna diqqət yetirməklə. Hazırda müəlliflər tədris materialları cəbrdə və təhlil prinsiplərində arqumentin mənfi qiymətləri üçün tək məxrəcli kəsr şəklində eksponentlə güc funksiyalarını MƏYYƏN ETMƏYİN. Bundan əlavə, biz tam olaraq bu fikrə əməl edirik: kəsr mənfi eksponentləri olan güc funksiyalarının təyini sahəsi kimi çoxluğu (0 ; + ∞) götürürük. Tələbələr üçün tövsiyə: Bu məqamda fikir ayrılıqlarının qarşısını almaq üçün müəlliminizin baxışını aydınlaşdırın.

Mövzunu davam etdirək və güc funksiyasını təhlil edək y = x a təmin edilir: - 1< a < 0 .

Aşağıdakı funksiyaların qrafiklərinin təsvirini təqdim edək: y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (qara, qırmızı, mavi, yaşıl rəng müvafiq olaraq xətlər).

Tərif 12

- 1-də güc funksiyasının xassələri< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ - 1 olduqda< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

diapazon: y ∈ 0 ; + ∞ ;
bu funksiya ümumi formanın funksiyasıdır (nə tək, nə də cüt deyil);
əyilmə nöqtələri yoxdur;

Aşağıdakı rəsm y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 güc funksiyalarının qrafiklərini göstərir (müvafiq olaraq əyrilərin qara, qırmızı, mavi, yaşıl rəngləri).

Tərif 13

a üçün güc funksiyasının xüsusiyyətləri< - 1:

tərif sahəsi: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ olduqda a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

diapazon: y ∈ (0 ; + ∞) ;
bu funksiya ümumi formanın funksiyasıdır (nə tək, nə də cüt deyil);
funksiya x ∈ 0 üçün azalır; + ∞ ;
funksiya x ∈ 0 üçün konkavliyə malikdir; + ∞ ;
əyilmə nöqtələri yoxdur;
üfüqi asimptot – düz xətt y = 0;
funksiyanın keçid nöqtəsi: (1; 1) .

a = 0 və x ≠ 0 olduqda, (0; 1) nöqtəsinin xaric edildiyi xətti təyin edən y = x 0 = 1 funksiyasını alırıq (0 0 ifadəsinə heç bir məna verilməyəcəyi razılaşdırıldı. ).

Eksponensial funksiya formaya malikdir y = a x, burada a > 0 və a ≠ 1 və bu funksiyanın qrafiki a əsasının dəyərinə görə fərqli görünür. Xüsusi halları nəzərdən keçirək.

Əvvəlcə eksponensial funksiyanın əsasının sıfırdan 1-ə (0) qədər dəyər verdiyi vəziyyətə baxaq.< a < 1) . Yaxşı bir nümunə a = 1 2 (əyrinin mavi rəngi) və a = 5 6 (əyrinin qırmızı rəngi) üçün funksiyaların qrafikləridir.

Eksponensial funksiyanın qrafikləri 0 şərti altında bazanın digər qiymətləri üçün oxşar görünüşə malik olacaqdır< a < 1 .

Tərif 14

Baza birdən kiçik olduqda eksponensial funksiyanın xüsusiyyətləri:

diapazon: y ∈ (0 ; + ∞) ;
bu funksiya ümumi formanın funksiyasıdır (nə tək, nə də cüt deyil);
bazası birdən kiçik olan eksponensial funksiya bütün tərif sahəsi üzrə azalır;
əyilmə nöqtələri yoxdur;
üfüqi asimptot – x dəyişəni + ∞-ə meyl edən düz xətt y = 0;

İndi eksponensial funksiyanın əsasının birdən (a > 1) böyük olduğu halı nəzərdən keçirək.

Bu xüsusi halı y = 3 2 x (əyrinin mavi rəngi) və y = e x (qrafiyanın qırmızı rəngi) eksponensial funksiyalarının qrafiki ilə təsvir edək.

Bazanın digər dəyərləri, daha böyük vahidlər, eksponensial funksiyanın qrafikinə oxşar görünüş verəcəkdir.

Tərif 15

Baza birdən böyük olduqda eksponensial funksiyanın xüsusiyyətləri:

tərif sahəsi – həqiqi ədədlərin bütün dəsti;
diapazon: y ∈ (0 ; + ∞) ;
bu funksiya ümumi formanın funksiyasıdır (nə tək, nə də cüt deyil);
bazası birdən böyük olan eksponensial funksiya x ∈ - ∞ kimi artır; + ∞ ;
funksiya x ∈ - ∞ nöqtəsində konkavliyə malikdir; + ∞ ;
əyilmə nöqtələri yoxdur;
üfüqi asimptot – düz xətt y = 0 ilə x dəyişəni - ∞-ə meyllidir;
funksiyanın keçid nöqtəsi: (0; 1) .

Loqarifmik funksiya y = log a (x) formasına malikdir, burada a > 0, a ≠ 1-dir.

Belə bir funksiya yalnız arqumentin müsbət qiymətləri üçün müəyyən edilir: x ∈ 0 üçün; + ∞ .

Loqarifmik funksiyanın qrafiki a əsasının dəyərinə görə fərqli görünüşə malikdir.

Əvvəlcə 0 olduqda vəziyyəti nəzərdən keçirək< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Bazanın digər dəyərləri, daha böyük vahidlər deyil, oxşar bir qrafik növü verəcəkdir.

Tərif 16

Baza birdən kiçik olduqda loqarifmik funksiyanın xassələri:

tərif sahəsi: x ∈ 0 ; + ∞ . X sağdan sıfıra meyl etdiyi üçün funksiya dəyərləri +∞-ə meyllidir;
qiymətlər diapazonu: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
bu funksiya ümumi formanın funksiyasıdır (nə tək, nə də cüt deyil);
loqarifmik
funksiya x ∈ 0 üçün konkavliyə malikdir; + ∞ ;
əyilmə nöqtələri yoxdur;
asimptotlar yoxdur;

İndi loqarifmik funksiyanın bazası birdən böyük olan xüsusi hala baxaq: a > 1 . Aşağıdakı rəsm y = log 3 2 x və y = ln x loqarifmik funksiyalarının qrafiklərini göstərir (müvafiq olaraq qrafiklərin mavi və qırmızı rəngləri).

Bazanın birdən çox olan digər dəyərləri oxşar qrafik növü verəcəkdir.

Tərif 17

Baza birdən böyük olduqda loqarifmik funksiyanın xüsusiyyətləri:

tərif sahəsi: x ∈ 0 ; + ∞ . X sağdan sıfıra meyl etdiyi üçün funksiya qiymətləri də - ∞ ;
qiymətlər diapazonu: y ∈ - ∞ ; + ∞ (həqiqi ədədlərin bütün dəsti);
bu funksiya ümumi formanın funksiyasıdır (nə tək, nə də cüt deyil);
loqarifmik funksiya x ∈ 0 üçün artır; + ∞ ;
funksiya x ∈ 0 üçün qabarıqdır; + ∞ ;
əyilmə nöqtələri yoxdur;
asimptotlar yoxdur;
funksiyanın keçid nöqtəsi: (1; 0) .

Triqonometrik funksiyalar sinus, kosinus, tangens və kotangensdir. Onların hər birinin xüsusiyyətlərinə və uyğun qrafiklərə baxaq.

Ümumiyyətlə, bütün triqonometrik funksiyalar dövrilik xüsusiyyəti ilə xarakterizə olunur, yəni. funksiyaların dəyərləri bir-birindən f (x + T) = f (x) dövrü ilə fərqlənən arqumentin müxtəlif qiymətləri üçün təkrar edildikdə (T dövrdür). Beləliklə, triqonometrik funksiyaların xassələri siyahısına “ən kiçik müsbət dövr” bəndi əlavə olunur. Bundan əlavə, müvafiq funksiyanın sıfıra çevrildiyi arqumentin dəyərlərini göstərəcəyik.

Sinus funksiyası: y = sin(x)

Bu funksiyanın qrafiki sinus dalğası adlanır.

Tərif 18

Sinus funksiyasının xüsusiyyətləri:

tərif sahəsi: həqiqi ədədlərin bütün çoxluğu x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
funksiya x = π · k olduqda yox olur, burada k ∈ Z (Z tam ədədlər çoxluğudur);
funksiya x ∈ - π 2 + 2 π · k üçün artır; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z və x ∈ π 2 + 2 π · k üçün azalan; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
sinus funksiyası π 2 + 2 π · k nöqtələrində yerli maksimumlara malikdir; 1 və nöqtələrdə yerli minimumlar - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
x ∈ - π + 2 π · k olduqda sinus funksiyası konkav olur; 2 π · k, k ∈ Z və x ∈ 2 π · k olduqda qabarıq; π + 2 π k, k ∈ Z;
asimptotlar yoxdur.

Kosinus funksiyası: y = cos(x)

Bu funksiyanın qrafiki kosinus dalğası adlanır.

Tərif 19

Kosinus funksiyasının xüsusiyyətləri:

tərif sahəsi: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
ən kiçik müsbət dövr: T = 2 π;
dəyərlər diapazonu: y ∈ - 1 ; 1 ;
bu funksiya cütdür, çünki y (- x) = y (x);
funksiya x ∈ - π + 2 π · k üçün artır; 2 π · k, k ∈ Z və x ∈ 2 π · k üçün azalan; π + 2 π k, k ∈ Z;
kosinus funksiyası 2 π · k nöqtələrində yerli maksimumlara malikdir; 1, k ∈ Z və π + 2 π · k nöqtələrində yerli minimumlar; - 1, k ∈ z;
x ∈ π 2 + 2 π · k olduqda kosinus funksiyası konkav olur; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z və x ∈ - π 2 + 2 π · k olduqda qabarıq; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
əyilmə nöqtələrinin koordinatları π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
asimptotlar yoxdur.

Tangens funksiyası: y = t g (x)

Bu funksiyanın qrafiki adlanır tangens.

Tərif 20

Tangens funksiyasının xüsusiyyətləri:

tərif sahəsi: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, burada k ∈ Z (Z tam ədədlər çoxluğudur);
lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ tərif dairəsinin sərhədində tangens funksiyasının davranışı . Beləliklə, x = π 2 + π · k k ∈ Z düz xətləri şaquli asimptotlardır;
k ∈ Z üçün x = π · k olduqda funksiya yox olur (Z tam ədədlər çoxluğudur);
qiymətlər diapazonu: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
bu funksiya təkdir, çünki y (- x) = - y (x) ;
funksiyası artır - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
tangens funksiyası x ∈ [π · k üçün konkavdır; π 2 + π · k) , k ∈ Z və x ∈ üçün qabarıq (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
əyilmə nöqtələrinin koordinatları var π · k ; 0 , k ∈ Z ;

Kotangent funksiyası: y = c t g (x)

Bu funksiyanın qrafiki kotangentoid adlanır. .

Tərif 21

Kotangent funksiyasının xüsusiyyətləri:

tərif sahəsi: x ∈ (π · k ; π + π · k) , burada k ∈ Z (Z tam ədədlər çoxluğudur);

lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ təyin oblastının sərhəddində kotangent funksiyasının davranışı. Beləliklə, x = π · k k ∈ Z düz xətləri şaquli asimptotlardır;

ən kiçik müsbət dövr: T = π;
k ∈ Z üçün x = π 2 + π · k olduqda funksiya yox olur (Z tam ədədlər çoxluğudur);
qiymətlər diapazonu: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
bu funksiya təkdir, çünki y (- x) = - y (x) ;
funksiya x ∈ π · k üçün azalır; π + π k, k ∈ Z;
kotangent funksiyası x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z və x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z üçün qabarıqdır;
əyilmə nöqtələrinin koordinatları π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z ;
Çap və ya üfüqi asimptotlar yoxdur.

Tərs triqonometrik funksiyalar arksinüs, arkkosinus, arktangent və arkkotangentdir. Tez-tez adda "qövs" prefiksinin olması səbəbindən tərs triqonometrik funksiyalar qövs funksiyaları adlanır. .

Qövs sinus funksiyası: y = a r c sin (x)

Tərif 22

Arksinus funksiyasının xüsusiyyətləri:

bu funksiya təkdir, çünki y (- x) = - y (x) ;
arcsinus funksiyası x ∈ 0 üçün konkavliyə malikdir; 1 və x ∈ - 1 üçün qabarıqlıq; 0 ;
əyilmə nöqtələrinin koordinatları (0; 0) olur, bu da funksiyanın sıfırıdır;
asimptotlar yoxdur.

Qövs kosinus funksiyası: y = a r c cos (x)

Tərif 23

Qövs kosinusu funksiyasının xüsusiyyətləri:

tərif sahəsi: x ∈ - 1 ; 1 ;
diapazon: y ∈ 0 ; π;
bu funksiya ümumi formadadır (nə cüt, nə də tək);
funksiya bütün tərif sahəsi üzrə azalır;
qövs kosinus funksiyası x ∈ - 1-də konkavliyə malikdir; 0 və x ∈ 0 üçün qabarıqlıq; 1 ;
əyilmə nöqtələrinin koordinatları 0; π 2;
asimptotlar yoxdur.

Qövs tangensi funksiyası: y = a r c t g (x)

Tərif 24

Arktangent funksiyasının xüsusiyyətləri:

tərif sahəsi: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
dəyərlər diapazonu: y ∈ - π 2 ; π 2;
bu funksiya təkdir, çünki y (- x) = - y (x) ;
funksiya bütün tərif sahəsi üzrə artır;
arktangens funksiyası x ∈ (- ∞ ; 0 ] üçün qabarıqlıq və x ∈ [ 0 ; + ∞) üçün qabarıqlığa malikdir;
əyilmə nöqtəsinin koordinatları (0; 0) var, bu da funksiyanın sıfırıdır;
üfüqi asimptotlar x → - ∞ kimi y = - π 2 və x → + ∞ kimi y = π 2 düz xətləridir (şəkildə asimptotlar yaşıl xətlərdir).

Qövs tangens funksiyası: y = a r c c t g (x)

Tərif 25

Arkotangent funksiyasının xüsusiyyətləri:

tərif sahəsi: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
diapazon: y ∈ (0; π) ;
bu funksiya ümumi formadadır;
funksiya bütün tərif sahəsi üzrə azalır;
qövs kotangent funksiyası x ∈ [ 0 üçün konkavliyə malikdir; + ∞) və x ∈ (- ∞ ; 0 ] üçün qabarıqlıq;
əyilmə nöqtəsinin koordinatları 0-dır; π 2;
üfüqi asimptotlar x → - ∞ nöqtəsində y = π düz xətlərdir (rəsmdə yaşıl xətt) və x → + ∞ nöqtəsində y = 0.

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın