Arifmetik irəliləmənin düsturu n ədədləri. Arifmetik irəliləyişin n-ci həddi üçün düstur

Rəssamlıq və şeir kimi riyaziyyatın da öz gözəlliyi var.

Rus alimi, mexanik N.E. Jukovski

Riyaziyyatdan qəbul imtahanlarında çox rast gəlinən problemlər anlayışla bağlı problemlərdir arifmetik irəliləyiş. Belə məsələləri uğurla həll etmək üçün arifmetik proqresiyanın xassələrini yaxşı bilməli və onların tətbiqində müəyyən bacarıqlara malik olmalısınız.

Əvvəlcə arifmetik irəliləyişin əsas xassələrini xatırlayaq və ən vacib düsturları təqdim edək, bu konsepsiya ilə əlaqələndirilir.

Tərif. Nömrə ardıcıllığı, hər bir sonrakı termin əvvəlkindən eyni sayda fərqlənir, arifmetik irəliləyiş adlanır. Bu vəziyyətdə nömrəirəliləyiş fərqi adlanır.

Arifmetik irəliləyiş üçün aşağıdakı düsturlar etibarlıdır:

, (1)

Harada. Formula (1) arifmetik irəliləyişin ümumi həddinin düsturu adlanır və düstur (2) arifmetik irəliləyişin əsas xassəsini ifadə edir: proqresiyanın hər bir üzvü onun qonşu hədlərinin arifmetik ortası ilə üst-üstə düşür və .

Nəzərə alın ki, məhz bu xassə görə nəzərdən keçirilən irəliləyiş “arifmetik” adlanır.

Yuxarıdakı düsturlar (1) və (2) aşağıdakı kimi ümumiləşdirilmişdir:

(3)

Məbləği hesablamaq üçün birinci arifmetik irəliləyişin şərtləriformul adətən istifadə olunur

(5) harada və .

Formulu nəzərə alsaq (1), onda (5) düsturdan belə çıxır

işarə etsək, onda

Harada. Çünki (7) və (8) düsturları müvafiq (5) və (6) düsturlarının ümumiləşdirilməsidir.

Xüsusilə , düsturdan (5) belə çıxır, Nə

Tələbələrin əksəriyyətinə az məlum olan arifmetik irəliləyişin aşağıdakı teorem vasitəsilə ifadə olunan xassəsidir.

Teorem.Əgər, onda

Sübut.Əgər, onda

Teorem sübut edilmişdir.

Misal üçün , teoremdən istifadə etməklə, bunu göstərmək olar

“Arifmetik irəliləyiş” mövzusunda problemlərin həllinin tipik nümunələrini nəzərdən keçirək.

Misal 1. Qoy olsun. tap .

Həll. Düsturu (6) tətbiq edərək, əldə edirik. Bundan sonra və , sonra və ya .

Misal 2.Üç dəfə böyük olsun və hissəyə bölündükdə nəticə 2, qalıq isə 8-ə bərabər olsun. və müəyyən edin.

Həll. Nümunənin şərtlərindən tənliklər sistemi gəlir

olduğundan, , və , onda (10) tənliklər sistemindən alırıq

Bu tənliklər sisteminin həlli və .

Misal 3.Əgər tapın və .

Həll.(5) düsturuna görə bizdə və ya var. Bununla belə, (9) mülkiyyətindən istifadə edərək .

bəri və , sonra bərabərliyindən tənlik aşağıdakı kimidir və ya .

Misal 4.Əgər tapın.

Həll.Formula (5) görə bizdə var

Ancaq teoremdən istifadə edərək yaza bilərik

Buradan və düsturdan (11) əldə edirik.

Misal 5. Verildi: . tap .

Həll. O vaxtdan bəri. Bununla belə, buna görə də.

Misal 6. Qoy, və. tap .

Həll.(9) düsturundan istifadə edərək əldə edirik. Buna görə də əgər , onda və ya .

O vaxtdan və onda burada tənliklər sistemimiz var

Hansını həll edərək, alırıq və .

Tənliyin təbii kökü edir .

Misal 7.Əgər tapın və .

Həll.(3) düsturuna görə biz buna malikik, deməli məsələnin şərtlərindən tənliklər sistemi gəlir

ifadəsini əvəz etsəksistemin ikinci tənliyinə daxil edilir, onda alırıq və ya .

Kvadrat tənliyin kökləri bunlardır Və .

Gəlin iki halı nəzərdən keçirək.

1. Qoy, sonra. O vaxtdan bəri və sonra.

Bu halda (6) düsturuna görə bizdə var

2. Əgər , onda , və

Cavab: və.

Misal 8. Məlumdur ki, və. tap .

Həll. Formula (5) və nümunənin şərtini nəzərə alaraq və yazırıq.

Bu, tənliklər sistemini nəzərdə tutur

Sistemin birinci tənliyini 2-yə vurub ikinci tənliyə əlavə etsək, alırıq.

Formula (9) görə bizdə var. Bununla əlaqədar olaraq, (12) və ya .

O vaxtdan bəri və sonra.

Cavab: .

Misal 9.Əgər tapın və .

Həll. O vaxtdan , və şərtlə , sonra və ya .

(5) düsturundan məlumdur, Nə . O vaxtdan bəri.

Beləliklə, burada xətti tənliklər sistemimiz var

Buradan alırıq və . Formulu (8) nəzərə alaraq yazırıq.

Misal 10. Tənliyi həll edin.

Həll. Verilmiş tənlikdən belə çıxır ki. Fərz edək ki, , və . Bu halda .

Formula (1) uyğun olaraq və ya yaza bilərik.

olduğundan, (13) tənliyinin yeganə uyğun kökü var.

Misal 11. və olması şərtilə maksimum dəyəri tapın.

Həll.-dən bəri, baxılan arifmetik irəliləyiş azalır. Bu baxımdan ifadə proqresiyanın minimum müsbət həddi olanda maksimum qiymətini alır.

Gəlin (1) düsturundan və faktdan istifadə edək, bu və . Sonra bunu alırıq və ya .

O vaxtdan bəri və ya . Ancaq bu bərabərsizlikdəən böyük natural ədəd, Buna görə də .

Əgər , və qiymətləri (6) düsturu ilə əvəz edilərsə, alarıq.

Cavab: .

Misal 12. Bütün ikirəqəmlilərin cəmini təyin edin natural ədədlər 6-ya bölündükdə 5-in qalığı qalır.

Həll. Bütün ikirəqəmli natural ədədlərin çoxluğu ilə işarə edək, yəni. . Sonra, çoxluğun həmin elementlərindən (rəqəmlərindən) ibarət alt çoxluq quracağıq ki, 6 rəqəminə bölündükdə 5-in qalığını verir.

Quraşdırmaq asandır, Nə . Aydındır ki, ki, çoxluğun elementləriarifmetik irəliləyiş əmələ gətirir, hansı və .

Çoxluğun kardinallığını (elementlərin sayını) müəyyən etmək üçün güman edirik ki, . və olduğundan (1) və ya düsturundan irəli gəlir. (5) düsturunu nəzərə alaraq əldə edirik.

Problemin həllinə dair yuxarıda göstərilən nümunələr heç bir halda tam olduğunu iddia edə bilməz. Bu məqalə təhlil əsasında yazılmışdır müasir üsullar verilmiş mövzu üzrə tipik problemlərin həlli. Arifmetik irəliləyişlə bağlı məsələlərin həlli üsullarını daha dərindən öyrənmək üçün tövsiyə olunan ədəbiyyat siyahısına müraciət etmək məqsədəuyğundur.

1. Kolleclərə abituriyentlər üçün riyaziyyatdan məsələlər toplusu / Red. M.İ. Skanavi. – M.: Sülh və Təhsil, 2013. – 608 s.

2. Suprun V.P. Orta məktəb şagirdləri üçün riyaziyyat: məktəb kurikulumunun əlavə bölmələri. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 s.

3. Medınski M.M. Problemlər və məşqlərdə ibtidai riyaziyyatın tam kursu. Kitab 2: Nömrələrin ardıcıllığı və irəliləmələri. – M.: Editus, 2015. – 208 s.

Hələ suallarınız var?

Repetitordan kömək almaq üçün qeydiyyatdan keçin.

vebsayt, materialı tam və ya qismən köçürərkən mənbəyə keçid tələb olunur.

Bəzi insanlar “tərəqqi” sözünə ehtiyatla yanaşır, ali riyaziyyatın budaqlarından çox mürəkkəb bir termindir. Bu vaxt, ən sadə arifmetik irəliləyiş taksi sayğacının işidir (onların hələ də mövcud olduğu yerdə). Bir neçə elementar anlayışı təhlil edərək arifmetik ardıcıllığın mahiyyətini (və riyaziyyatda “mahiyyəti dərk etməkdən” vacib heç nə yoxdur) başa düşmək o qədər də çətin deyil.

Riyazi ədədlər ardıcıllığı

Ədədi ardıcıllığa adətən hər birinin öz nömrəsi olan nömrələr seriyası deyilir.

a 1 ardıcıllığın ilk üzvüdür;

və 2 ardıcıllığın ikinci şərtidir;

və 7 ardıcıllığın yeddinci üzvüdür;

n isə ardıcıllığın n-ci üzvüdür;

Bununla belə, heç bir ixtiyari rəqəmlər və rəqəmlər dəsti bizi maraqlandırmır. Diqqətimizi n-ci həddinin qiymətinin onun sıra nömrəsi ilə riyazi şəkildə aydın şəkildə ifadə oluna bilən əlaqə ilə əlaqəli olduğu ədədi ardıcıllığa yönəldəcəyik. Başqa sözlə: n-ci ədədin ədədi qiyməti n-in hansısa funksiyasıdır.

a ədədi ardıcıllığın üzvünün qiymətidir;

n - onun seriya nömrəsi;

f(n) funksiyadır, burada n ədədi ardıcıllıqdakı sıra nömrəsi arqumentdir.

Tərif

Arifmetik irəliləyiş adətən hər bir sonrakı terminin əvvəlkindən eyni sayda böyük (kiçik) olduğu ədədi ardıcıllıq adlanır. Arifmetik ardıcıllığın n-ci həddi üçün düstur aşağıdakı kimidir:

a n - arifmetik irəliləyişin cari üzvünün qiyməti;

a n+1 - növbəti ədədin düsturu;

d - fərq (müəyyən sayda).

Müəyyən etmək asandır ki, fərq müsbət olarsa (d>0), onda nəzərdən keçirilən silsilənin hər bir sonrakı üzvü əvvəlkindən böyük olacaq və belə arifmetik irəliləyiş artacaq.

Aşağıdakı qrafikdə nömrə ardıcıllığının niyə “artan” adlandırıldığını görmək asandır.

Fərqin mənfi olduğu hallarda (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Müəyyən edilmiş üzv dəyəri

Bəzən arifmetik irəliləyişin hər hansı ixtiyari a n-nin qiymətini təyin etmək lazımdır. Bu, birincidən istədiyinizə qədər arifmetik irəliləyişin bütün üzvlərinin dəyərlərini ardıcıl olaraq hesablamaqla edilə bilər. Lakin, məsələn, beş minlik və ya səkkiz milyonuncu terminin dəyərini tapmaq lazımdırsa, bu yol həmişə məqbul deyil. Ənənəvi hesablamalar çox vaxt aparacaq. Bununla belə, müəyyən arifmetik irəliləyiş müəyyən düsturlardan istifadə etməklə öyrənilə bilər. n-ci həd üçün də bir düstur var: arifmetik irəliləyişin hər hansı bir üzvünün qiyməti, irəliləyişin fərqi ilə irəliləyişin birinci həddinin cəmi kimi müəyyən edilə bilər, istədiyiniz hədd sayına vurulur, azalır. bir.

Formula irəliləyişin artması və azalması üçün universaldır.

Verilmiş bir terminin dəyərinin hesablanması nümunəsi

Arifmetik irəliləyişin n-ci üzvünün qiymətini tapmaq üçün aşağıdakı məsələni həll edək.

Şərt: parametrləri olan arifmetik irəliləyiş var:

Ardıcıllığın birinci həddi 3-dür;

Nömrə seriyasındakı fərq 1.2-dir.

Tapşırıq: 214 şərtin qiymətini tapmaq lazımdır

Həlli: verilmiş terminin dəyərini müəyyən etmək üçün düsturdan istifadə edirik:

a(n) = a1 + d(n-1)

Problem ifadəsindəki məlumatları ifadəyə əvəz edərək, əldə edirik:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Cavab: Ardıcıllığın 214-cü həddi 258,6-ya bərabərdir.

Bu hesablama metodunun üstünlükləri göz qabağındadır - bütün həll 2 sətirdən çox deyil.

Verilmiş sayda terminlərin cəmi

Çox vaxt müəyyən bir arifmetik seriyada onun bəzi seqmentlərinin qiymətlərinin cəmini müəyyən etmək lazımdır. Bunu etmək üçün hər bir terminin dəyərlərini hesablamağa və sonra onları əlavə etməyə ehtiyac yoxdur. Bu üsul, cəmi tapılmalı olan terminlərin sayı az olduqda tətbiq edilir. Digər hallarda aşağıdakı düsturdan istifadə etmək daha rahatdır.

1-dən n-ə qədər olan arifmetik irəliləyişin hədlərinin cəmi birinci və n-ci hədlərin cəminə bərabərdir, n həddinin sayına vurulur və ikiyə bölünür. Düsturda n-ci həddin qiyməti məqalənin əvvəlki abzasındakı ifadə ilə əvəz edilərsə, alırıq:

Hesablama nümunəsi

Məsələn, aşağıdakı şərtlərlə problemi həll edək:

Ardıcıllığın birinci üzvü sıfırdır;

Fərq 0,5-dir.

Problem 56-dan 101-ə qədər seriyanın şərtlərinin cəminin müəyyən edilməsini tələb edir.

Həll. Proqresiyanın miqdarını təyin etmək üçün düsturdan istifadə edək:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Əvvəlcə problemimizin verilmiş şərtlərini düsturla əvəz etməklə irəliləyişin 101 şərtlərinin qiymətlərinin cəmini təyin edirik:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

Aydındır ki, 56-dan 101-ə qədər irəliləyişin şərtlərinin cəmini tapmaq üçün S 101-dən S 55-i çıxarmaq lazımdır.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Beləliklə, bu nümunə üçün arifmetik irəliləyişin cəmi:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742,5 = 1,782,5

Arifmetik proqresiyanın praktik tətbiqi nümunəsi

Məqalənin sonunda birinci abzasda verilən arifmetik ardıcıllığın nümunəsinə qayıdaq - taksimetrə (taksi avtomobili sayğacı). Bu misalı nəzərdən keçirək.

Taksiyə minmək (buraya 3 km səyahət daxildir) 50 rubla başa gəlir. Hər bir sonrakı kilometr 22 rubl/km dərəcəsi ilə ödənilir. Səyahət məsafəsi 30 km-dir. Gəzintinin qiymətini hesablayın.

1. Qiyməti eniş qiymətinə daxil olan ilk 3 km-i ataq.

30 - 3 = 27 km.

2. Sonrakı hesablama arifmetik ədədlər seriyasını təhlil etməkdən başqa bir şey deyil.

Üzv sayı - səyahət edilmiş kilometrlərin sayı (mənfi ilk üç).

Üzvün dəyəri cəmidir.

Bu problemdə ilk müddət 1 = 50 rubla bərabər olacaqdır.

Tərəqqi fərqi d = 22 r.

bizi maraqlandıran rəqəm arifmetik proqresiyanın (27+1)-ci həddinin qiymətidir - 27-ci kilometrin sonunda sayğacın göstəricisi 27,999... = 28 km-dir.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Özbaşına uzun müddət üçün təqvim məlumatlarının hesablamaları müəyyən ədədi ardıcıllıqları təsvir edən düsturlara əsaslanır. Astronomiyada orbitin uzunluğu həndəsi cəhətdən göy cisminin ulduza olan məsafəsindən asılıdır. Bundan əlavə, müxtəlif ədəd seriyaları statistikada və riyaziyyatın digər tətbiqi sahələrində uğurla istifadə olunur.

Say ardıcıllığının başqa bir növü həndəsidir

Həndəsi irəliləyiş arifmetik irəliləyişlə müqayisədə daha çox dəyişmə sürəti ilə xarakterizə olunur. Təsadüfi deyil ki, siyasətdə, sosiologiyada, tibbdə müəyyən bir hadisənin, məsələn, xəstəliyin epidemiya zamanı yüksək yayılma sürətini göstərmək üçün prosesin həndəsi irəliləyişlə inkişaf etdiyini deyirlər.

Həndəsi ədədlər seriyasının N-ci həddi əvvəlkindən onunla fərqlənir ki, o, hansısa sabit ədədə vurulur - məxrəc, məsələn, birinci hədd 1, məxrəc müvafiq olaraq 2-yə bərabərdir, onda:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - həndəsi proqresiyanın cari müddətinin qiyməti;

b n+1 - həndəsi proqresiyanın növbəti həddinin düsturu;

q həndəsi irəliləyişin məxrəcidir (sabit ədəd).

Arifmetik irəliləyişin qrafiki düz xəttdirsə, həndəsi irəliləyiş bir qədər fərqli bir şəkil çəkir:

Arifmetikada olduğu kimi, həndəsi irəliləyişdə də ixtiyari bir müddətin qiyməti üçün bir düstur var. Həndəsi irəliləyişin hər hansı n-ci həddi birinci hədisin hasilinə və n-in gücünə bir azalmış irəliləyişin məxrəcinə bərabərdir:

Misal. Birinci həddi 3-ə, məxrəci isə 1,5-ə bərabər olan həndəsi irəliləyişimiz var. Proqresiyanın 5-ci həddini tapaq

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Verilmiş sayda terminlərin cəmi də xüsusi düsturla hesablanır. Həndəsi proqresiyanın ilk n hədlərinin cəmi, irəliləyişin n-ci həddi ilə onun məxrəci ilə irəliləyişin birinci həddi arasındakı fərqin bir azalmış məxrəcə bölünməsinə bərabərdir:

Əgər b n yuxarıda müzakirə olunan düsturla əvəz edilərsə, nəzərdən keçirilən ədəd seriyasının ilk n şərtlərinin cəminin qiyməti aşağıdakı formanı alacaq:

Misal. Həndəsi irəliləyiş 1-ə bərabər olan birinci həddlə başlayır. Məxrəc 3-ə qoyulur. İlk səkkiz üzvün cəmini tapaq.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Dərsin növü: yeni material öyrənmək.

Dərsin məqsədləri:

• arifmetik irəliləyişdən istifadə etməklə həll olunan problemlər haqqında tələbələrin anlayışının genişləndirilməsi və dərinləşdirilməsi; arifmetik proqresiyanın ilk n həddinin cəminin düsturunu çıxararkən şagirdlərin axtarış fəaliyyətinin təşkili;
• müstəqil olaraq yeni biliklər əldə etmək və verilmiş tapşırığa nail olmaq üçün artıq əldə edilmiş biliklərdən istifadə etmək bacarığını inkişaf etdirmək;
• əldə edilmiş faktları ümumiləşdirmək istəyi və ehtiyacını inkişaf etdirmək, müstəqilliyi inkişaf etdirmək.

Tapşırıqlar:

• “Arifmetik irəliləyiş” mövzusunda mövcud bilikləri ümumiləşdirmək və sistemləşdirmək;
• arifmetik proqresiyanın ilk n üzvünün cəminin hesablanması üçün düsturlar çıxarmaq;
• müxtəlif məsələlərin həlli zamanı alınan düsturları tətbiq etməyi öyrətmək;
• tələbələrin diqqətini ədədi ifadənin qiymətini tapmaq proseduruna cəlb etmək.

Avadanlıq:

• qruplarda və cütlərdə işləmək üçün tapşırıqları olan kartlar;
• qiymətləndirmə sənədi;
• təqdimat“Arifmetik irəliləyiş.”

I. Əsas biliklərin yenilənməsi.

1. Cütlərdə müstəqil iş.

1-ci seçim:

Arifmetik irəliləyişləri müəyyənləşdirin. Arifmetik irəliləyişi təyin edən təkrarlama düsturunu yazın. Zəhmət olmasa arifmetik irəliləyişin nümunəsini göstərin və onun fərqini göstərin.

2-ci seçim:

Arifmetik irəliləyişin n-ci həddi üçün düsturu yazın. Arifmetik irəliləyişin 100-cü həddini tapın ( a n}: 2, 5, 8 …
Bu zaman lövhənin arxasında iki tələbə eyni suallara cavab hazırlayır.
Şagirdlər partnyorunun işini lövhədə yoxlayaraq qiymətləndirirlər. (Cavabları olan vərəqlər verilir.)

2. Oyun anı.

Məşq 1.

Müəllim. Bir az arifmetik irəliləyiş haqqında düşündüm. Mənə yalnız iki sual verin ki, cavablardan sonra bu irəliləyişin 7-ci hissəsini tez adlandıra biləsiniz. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15...)

Tələbələrin sualları.

1. Proqresiyanın altıncı müddəti nədir və fərq nədir?
2. Proqresiyanın səkkizinci müddəti nədir və fərq nədir?

Artıq suallar yoxdursa, müəllim onları stimullaşdıra bilər - d (fərq) üçün "qadağa", yəni fərqin nəyə bərabər olduğunu soruşmağa icazə verilmir. Suallar verə bilərsiniz: irəliləyişin 6-cı həddi nəyə bərabərdir və irəliləyişin 8-ci həddi nəyə bərabərdir?

Tapşırıq 2.

Lövhədə 20 rəqəm yazılmışdır: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Müəllim arxası taxtaya söykənərək dayanır. Şagirdlər nömrəni çağırır, müəllim isə dərhal nömrənin özünü çağırır. Bunu necə edə biləcəyimi izah edin?

Müəllim n-ci dövr üçün düsturu xatırlayır a n = 3n – 2 və göstərilən dəyərləri n əvəz edərək, müvafiq dəyərləri tapır a n.

II. Öyrənmə tapşırığının təyin edilməsi.

Misir papiruslarında tapılan, eramızdan əvvəl 2-ci minilliyə aid qədim problemi həll etməyi təklif edirəm.

Tapşırıq:“Sənə deyilsin: 10 ölçü arpanı 10 nəfər arasında bölüşdürün, hər adamla qonşusu arasında fərq ölçüsün 1/8-i qədərdir”.

• Bu problemin arifmetik irəliləmə mövzusu ilə necə əlaqəsi var? (Hər növbəti şəxs ölçünün 1/8 hissəsini daha çox alır, yəni fərq d=1/8, 10 nəfərdir, yəni n=10 deməkdir.)
• Sizcə 10 rəqəmi nə deməkdir? (Tərəqqinin bütün şərtlərinin cəmi.)
• Problemin şərtlərinə görə arpanın bölünməsini asan və sadə etmək üçün başqa nə bilmək lazımdır? (Tərəqqinin ilk müddəti.)

Dərsin Məqsədi– irəliləyişin hədlərinin cəminin onların sayından, birinci həddən və fərqdən asılılığını almaq və məsələnin qədim zamanlarda düzgün həll edilib-edilmədiyini yoxlamaq.

Düsturu çıxarmazdan əvvəl gəlin qədim misirlilərin problemi necə həll etdiklərinə baxaq.

Və bunu belə həll etdilər:

1) 10 ölçü: 10 = 1 ölçü – orta pay;
2) 1 ölçü ∙ = 2 ölçü – ikiqat orta paylaş.
İkiqat orta pay 5-ci və 6-cı şəxsin səhmlərinin cəmidir.
3) 2 ölçü – 1/8 ölçü = 1 7/8 ölçü – beşinci şəxsin payını iki dəfə artırın.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – beşdə bir hissə; və s., hər bir əvvəlki və sonrakı şəxsin payını tapa bilərsiniz.

Ardıcıllığı alırıq:

III. Problemin həlli.

1. Qruplarda işləmək

I qrup: Ardıcıl 20 natural ədədin cəmini tapın: S 20 =(20+1)∙10 =210.

Ümumiyyətlə

II qrup: 1-dən 100-ə qədər natural ədədlərin cəmini tapın (Kiçik Qaussun əfsanəsi).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Nəticə:

III qrup: 1-dən 21-ə qədər natural ədədlərin cəmini tapın.

Həlli: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Nəticə:

IV qrup: 1-dən 101-ə qədər natural ədədlərin cəmini tapın.

Nəticə:

Baxılan məsələlərin həllinin bu üsulu “Qauss metodu” adlanır.

2. Hər qrup problemin həllini lövhədə təqdim edir.

3. İxtiyari arifmetik irəliləyiş üçün təklif olunan həllərin ümumiləşdirilməsi:

a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Bənzər əsaslandırmadan istifadə edərək bu məbləği tapaq:

4. Problemi həll etdikmi?(Bəli.)

IV. Alınan düsturların ilkin başa düşülməsi və məsələlərin həlli zamanı tətbiqi.

1. Düsturdan istifadə edərək qədim problemin həllinin yoxlanılması.

2. Düsturun müxtəlif məsələlərin həllində tətbiqi.

3. Məsələləri həll edərkən düsturları tətbiq etmək bacarığını inkişaf etdirmək üçün məşqlər.

A) 613 saylı

Verildi: ( a n) - arifmetik irəliləmə;

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Tapın: S 1500

Həll: , a 1 = 1 və 1500 = 1500,

B) Verilmiş: ( a n) - arifmetik irəliləmə;
(a n): 1, 2, 3, …
S n = 210

Tapın: n
Həll:

V. Qarşılıqlı yoxlama ilə müstəqil iş.

Denis kuryer kimi işləməyə başladı. İlk ayda maaşı 200 rubl idi, hər növbəti ayda 30 rubl artdı. Bir ildə cəmi nə qədər qazandı?

Verildi: ( a n) - arifmetik irəliləmə;
a 1 = 200, d=30, n=12
Tapın: S 12
Həll:

Cavab: Denis il ərzində 4380 rubl aldı.

VI. Ev tapşırığı təlimatı.

1. Bölmə 4.3 – düsturun əldə edilməsini öyrənin.
2. №№ 585, 623 .
3. Arifmetik irəliləyişin ilk n üzvünün cəminin düsturundan istifadə etməklə həll edilə bilən məsələ yaradın.

VII. Dərsi yekunlaşdırmaq.

1. Hesab vərəqi

2. Cümlələri davam etdirin

• Bu gün dərsdə öyrəndim...
• Öyrənilən düsturlar...
• inanıram ki…

3. 1-dən 500-ə qədər olan ədədlərin cəmini tapa bilərsinizmi? Bu problemi həll etmək üçün hansı üsuldan istifadə edəcəksiniz?

Biblioqrafiya.

1. Cəbr, 9-cu sinif. Ümumtəhsil müəssisələri üçün dərslik. Ed. G.V. Dorofeyeva. M.: “Maarifçilik”, 2009.

Orta məktəbdə (9-cu sinif) cəbri öyrənərkən mühüm mövzulardan biri də proqressiyaları - həndəsi və arifmetikləri özündə cəmləşdirən ədədi ardıcıllıqların öyrənilməsidir. Bu yazıda arifmetik irəliləyişlərə və həlləri olan nümunələrə baxacağıq.

Arifmetik irəliləyiş nədir?

Bunu başa düşmək üçün sözügedən irəliləyişi müəyyənləşdirmək, həmçinin problemlərin həllində sonradan istifadə olunacaq əsas düsturları təqdim etmək lazımdır.

Arifmetik və ya cəbri irəliləyiş hər bir üzvü əvvəlkindən müəyyən sabit qiymətlə fərqlənən sıralı rasional ədədlər toplusudur. Bu dəyər fərq adlanır. Yəni, sıralanmış ədədlər seriyasının hər hansı üzvünü və fərqi bilməklə, bütün arifmetik irəliləyişi bərpa edə bilərsiniz.

Bir misal verək. Aşağıdakı nömrələr ardıcıllığı arifmetik irəliləyiş olacaq: 4, 8, 12, 16, ..., çünki bu vəziyyətdə fərq 4-dür (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Lakin 3, 5, 8, 12, 17 ədədləri artıq nəzərdən keçirilən irəliləyiş növünə aid edilə bilməz, çünki onun üçün fərq sabit dəyər deyil (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠). 17 - 12).

Vacib düsturlar

İndi arifmetik irəliləyişdən istifadə edərək məsələləri həll etmək üçün lazım olacaq əsas düsturları təqdim edək. Ardıcıllığın n-ci üzvünü a n simvolu ilə qeyd edək, burada n tam ədəddir. Biz fərqi latın d hərfi ilə işarə edirik. Sonra aşağıdakı ifadələr etibarlıdır:

1. n-ci həddinin qiymətini təyin etmək üçün aşağıdakı düstur uyğundur: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. İlk n üzvün cəmini təyin etmək üçün: S n = (a n +a 1)*n/2.

9-cu sinifdə həlli ilə arifmetik irəliləyişin hər hansı bir nümunəsini başa düşmək üçün bu iki düsturu xatırlamaq kifayətdir, çünki baxılan növdəki hər hansı bir problem onların istifadəsinə əsaslanır. Həm də yadda saxlamalısınız ki, irəliləyiş fərqi düsturla müəyyən edilir: d = a n - a n-1.

Nümunə 1: naməlum terminin tapılması

Arifmetik proqressiyanın sadə nümunəsini və onun həlli üçün istifadə edilməli olan düsturları verək.

10, 8, 6, 4, ... ardıcıllığı verilsin, onda beş şərt tapmaq lazımdır.

Problemin şərtlərindən belə çıxır ki, ilk 4 şərt məlumdur. Beşinci iki şəkildə müəyyən edilə bilər:

1. Əvvəlcə fərqi hesablayaq. Bizdə: d = 8 - 10 = -2. Eynilə, bir-birinin yanında duran hər hansı digər iki üzvü götürə bilərsiniz. Məsələn, d = 4 - 6 = -2. Məlum olduğu üçün d = a n - a n-1, onda d = a 5 - a 4, ondan alırıq: a 5 = a 4 + d. Biz məlum dəyərləri əvəz edirik: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. İkinci üsul da sözügedən irəliləyişin fərqini bilmək tələb edir, ona görə də əvvəlcə onu yuxarıda göstərildiyi kimi müəyyən etməlisiniz (d = -2). Birinci terminin a 1 = 10 olduğunu bilərək, ardıcıllığın n nömrəsi üçün düsturdan istifadə edirik. Bizdə: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Son ifadədə n = 5-i əvəz edərək, alarıq: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Gördüyünüz kimi, hər iki həll yolu eyni nəticəyə gətirib çıxardı. Qeyd edək ki, bu nümunədə irəliləyiş fərqi d mənfi qiymətdir. Bu cür ardıcıllıqlar azalan adlanır, çünki hər növbəti termin əvvəlkindən azdır.

Nümunə №2: irəliləyiş fərqi

İndi tapşırığı bir az çətinləşdirək, necə olduğuna dair bir nümunə verək

Məlumdur ki, bəzilərində 1-ci hədd 6-ya, 7-ci hədd isə 18-ə bərabərdir.Fərqi tapmaq və bu ardıcıllığı 7-ci həddə bərpa etmək lazımdır.

Naməlum termini müəyyən etmək üçün düsturdan istifadə edək: a n = (n - 1) * d + a 1 . Şərtdən məlum olan məlumatları, yəni a 1 və a 7 rəqəmlərini ona əvəz edək: 18 = 6 + 6 * d. Bu ifadədən asanlıqla fərqi hesablaya bilərsiniz: d = (18 - 6) /6 = 2. Beləliklə, məsələnin birinci hissəsinə cavab verdik.

Ardıcıllığı 7-ci həddə bərpa etmək üçün cəbri irəliləmənin tərifindən istifadə etməlisiniz, yəni a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d və s. Nəticədə, biz bütün ardıcıllığı bərpa edirik: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Misal № 3: irəliləyişin tərtib edilməsi

Problemi daha da mürəkkəbləşdirək. İndi arifmetik irəliləyişin necə tapılacağı sualına cavab verməliyik. Aşağıdakı misal göstərmək olar: iki ədəd verilir, məsələn - 4 və 5. Cəbri irəliləyiş yaratmaq lazımdır ki, bunların arasında daha üç həd yerləşsin.

Bu problemi həll etməyə başlamazdan əvvəl, verilən nömrələrin gələcək inkişafda hansı yeri tutacağını başa düşməlisiniz. Onların arasında daha üç termin olacağı üçün a 1 = -4 və 5 = 5 olacaq. Bunu müəyyən etdikdən sonra əvvəlkinə bənzəyən məsələyə keçirik. Yenə n-ci müddət üçün düsturdan istifadə edirik, alırıq: a 5 = a 1 + 4 * d. Kimdən: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. Burada əldə etdiyimiz fərqin tam dəyəri deyil, rasional ədəddir, ona görə də cəbri irəliləyiş üçün düsturlar eyni qalır.

İndi tapılan fərqi 1-ə əlavə edək və irəliləyişin çatışmayan şərtlərini bərpa edək. Alırıq: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, üst-üstə düşür problemin şərtləri ilə.

Nümunə № 4: irəliləmənin birinci müddəti

Həllləri ilə arifmetik irəliləyiş nümunələri verməyə davam edək. Əvvəlki bütün məsələlərdə cəbri irəliləyişin ilk nömrəsi məlum idi. İndi fərqli tipli məsələni nəzərdən keçirək: iki ədəd verilsin, burada a 15 = 50 və a 43 = 37. Bu ardıcıllığın hansı rəqəmlə başladığını tapmaq lazımdır.

İndiyə qədər istifadə olunan düsturlar 1 və d haqqında bilikləri nəzərdə tutur. Problem bəyanatında bu nömrələr haqqında heç nə məlum deyil. Buna baxmayaraq, məlumatın mövcud olduğu hər bir termin üçün ifadələr yazacağıq: a 15 = a 1 + 14 * d və a 43 = a 1 + 42 * d. 2 naməlum kəmiyyətin (a 1 və d) olduğu iki tənlik aldıq. Bu o deməkdir ki, problem xətti tənliklər sisteminin həllinə endirilir.

Bu sistemi həll etməyin ən asan yolu hər tənlikdə 1 ifadə etmək və sonra ortaya çıxan ifadələri müqayisə etməkdir. Birinci tənlik: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; ikinci tənlik: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Bu ifadələri bərabərləşdirərək alırıq: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, buradan fərq d = ​​(37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (yalnız 3 onluq yer verilir).

d-ni bilməklə, 1 üçün yuxarıdakı 2 ifadədən hər hansı birini istifadə edə bilərsiniz. Məsələn, birinci: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Əldə edilən nəticə ilə bağlı şübhəniz varsa, onu yoxlaya bilərsiniz, məsələn, şərtdə göstərilən irəliləyişin 43-cü müddətini təyin edin. Alırıq: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. Kiçik xəta hesablamalarda mində yuvarlaqlaşdırmadan istifadə edilməsi ilə bağlıdır.

Nümunə № 5: məbləğ

İndi arifmetik irəliləyişin cəminin həlli ilə bir neçə nümunəyə baxaq.

Aşağıdakı formada ədədi irəliləyiş verilsin: 1, 2, 3, 4, ...,. Bu ədədlərin 100-nün cəmini necə hesablamaq olar?

Kompüter texnologiyasının inkişafı sayəsində bu problemi həll etmək, yəni bütün rəqəmləri ardıcıl olaraq əlavə etmək mümkündür, insan Enter düyməsini basan kimi kompüter bunu edəcəkdir. Ancaq təqdim olunan ədədlər silsiləsi cəbri proqressiya olduğuna və fərqinin 1-ə bərabər olduğuna diqqət yetirsəniz, problemi əqli şəkildə həll etmək olar. Cəmi üçün düstur tətbiq edərək, əldə edirik: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Maraqlıdır ki, bu problemin “Qauss” adlandırılması ona görədir ki, XVIII əsrin əvvəllərində hələ cəmi 10 yaşı olan məşhur alman onu bir neçə saniyə ərzində beynində həll edə bilmişdi. Oğlan cəbri irəliləyişin cəminin düsturunu bilmirdi, amma fərq etdi ki, ardıcıllığın sonundakı ədədləri cüt-cüt əlavə etsəniz, həmişə eyni nəticəni alırsınız, yəni 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... və bu məbləğlər tam olaraq 50 (100 / 2) olacağından, düzgün cavabı almaq üçün 50-ni 101-ə vurmaq kifayətdir.

Nümunə № 6: n-dən m-ə qədər olan şərtlərin cəmi

Arifmetik irəliləyişin cəminin başqa tipik nümunəsi aşağıdakılardır: bir sıra ədədlər verildikdə: 3, 7, 11, 15, ..., onun 8-dən 14-ə qədər olan şərtlərinin cəminin nəyə bərabər olacağını tapmaq lazımdır. .

Problem iki yolla həll olunur. Bunlardan birincisi 8-dən 14-ə qədər naməlum şərtləri tapmağı və sonra onları ardıcıl olaraq cəmləməyi əhatə edir. Termin az olduğu üçün bu üsul kifayət qədər əmək tələb etmir. Buna baxmayaraq, bu problemi daha universal olan ikinci üsuldan istifadə etməklə həll etmək təklif olunur.

İdeya m və n şərtləri arasında cəbri irəliləyişin cəmi üçün düstur əldə etməkdir, burada n > m tam ədədlərdir. Hər iki halda cəmi üçün iki ifadə yazırıq:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

n > m olduğundan aydın olur ki, 2-ci cəm birincini ehtiva edir. Son nəticə o deməkdir ki, bu cəmlər arasındakı fərqi götürsək və ona a m termini əlavə etsək (fərq alındıqda S n cəmindən çıxılır) məsələyə lazımi cavabı alacağıq. Bizdə: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Bu ifadədə n və m üçün düsturları əvəz etmək lazımdır. Sonra əldə edirik: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Əldə edilən düstur bir qədər çətin olur, lakin S mn cəmi yalnız n, m, a 1 və d-dən asılıdır. Bizim vəziyyətimizdə a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Bu ədədləri əvəz edərək, alarıq: S mn = 301.

Yuxarıdakı həllərdən göründüyü kimi, bütün məsələlər n-ci həd üçün ifadə və birinci hədlər çoxluğunun cəminin düsturu haqqında biliklərə əsaslanır. Bu problemlərdən hər hansı birini həll etməyə başlamazdan əvvəl şərti diqqətlə oxumaq, nə tapmaq lazım olduğunu aydın şəkildə başa düşmək və yalnız bundan sonra həllinə davam etmək tövsiyə olunur.

Başqa bir ipucu sadəliyə çalışmaqdır, yəni mürəkkəb riyazi hesablamalardan istifadə etmədən suala cavab verə bilsəniz, bunu etməlisiniz, çünki bu vəziyyətdə səhv etmək ehtimalı daha azdır. Məsələn, 6 nömrəli həlli ilə arifmetik irəliləyiş nümunəsində S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m düsturunda dayanmaq olar və ümumi problemi ayrı-ayrı alt tapşırıqlara bölün (bu halda əvvəlcə a n və a m şərtlərini tapın).

Əldə edilən nəticə ilə bağlı şübhəniz varsa, verilmiş nümunələrdən bəzilərində edildiyi kimi onu yoxlamaq tövsiyə olunur. Arifmetik irəliləyişin necə tapılacağını öyrəndik. Bunu başa düşsəniz, o qədər də çətin deyil.

Məsələn, ardıcıllıq \(2\); \(5\); \(8\); \(on bir\); \(14\)... arifmetik irəliləyişdir, çünki hər bir sonrakı element əvvəlkindən üç ilə fərqlənir (əvvəlki elementdən üç əlavə etməklə əldə etmək olar):

Bu irəliləyişdə \(d\) fərqi müsbətdir (\(3\)-ə bərabərdir) və buna görə də hər növbəti termin əvvəlkindən böyükdür. Belə irəliləmələr deyilir artır.

Bununla belə, \(d\) mənfi ədəd də ola bilər. Misal üçün, arifmetik irəliləyişdə \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... irəliləmə fərqi \(d\) mənfi altıya bərabərdir.

Və bu halda, hər bir növbəti element əvvəlkindən daha kiçik olacaq. Bu irəliləyişlər adlanır azalan.

Arifmetik irəliləyiş qeydi

Tərəqqi kiçik Latın hərfi ilə göstərilir.

Proqressiya əmələ gətirən ədədlər adlanır üzvləri(və ya elementlər).

Onlar arifmetik irəliləyişlə eyni hərflə, lakin ardıcıllıqla elementin sayına bərabər ədədi indekslə işarələnirlər.

Məsələn, arifmetik irəliləmə \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) elementlərindən ibarətdir \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) və s.

Başqa sözlə, irəliləmə üçün \(a_n = \sol\(2; 5; 8; 11; 14…\sağ\)\)

Arifmetik irəliləyiş məsələlərinin həlli

Prinsipcə, yuxarıda təqdim olunan məlumat demək olar ki, hər hansı arifmetik irəliləyiş problemini həll etmək üçün kifayətdir (OGE-də təklif olunanlar da daxil olmaqla).

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyiş \(b_1=7; d=4\) şərtləri ilə müəyyən edilir. \(b_5\) tapın.
Həll:

Cavab: \(b_5=23\)

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyişin ilk üç üzvü verilmişdir: \(62; 49; 36...\) Bu irəliləyişin birinci mənfi üzvünün qiymətini tapın.
Həll:

	Bizə ardıcıllığın ilk elementləri verilir və onun arifmetik irəliləyiş olduğunu bilirik. Yəni hər bir element qonşusundan eyni sayda fərqlənir. Növbəti elementdən əvvəlkini çıxmaqla hansının olduğunu öyrənək: \(d=49-62=-13\).
	İndi biz lazım olan (ilk mənfi) elementə irəliləməmizi bərpa edə bilərik.
	Hazır. Cavab yaza bilersiniz.

Cavab: \(-3\)

Nümunə (OGE). Arifmetik proqresiyanın bir neçə ardıcıl elementi verilmişdir: \(…5; x; 10; 12.5...\) \(x\) hərfi ilə təyin olunan elementin qiymətini tapın.
Həll:

	\(x\) tapmaq üçün növbəti elementin əvvəlkindən nə qədər fərqləndiyini, başqa sözlə, irəliləyiş fərqini bilməliyik. Onu iki məlum qonşu elementdən tapaq: \(d=12,5-10=2,5\).
	İndi biz axtardığımızı asanlıqla tapa bilərik: \(x=5+2,5=7,5\).
	Hazır. Cavab yaza bilersiniz.

Cavab: \(7,5\).

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyiş aşağıdakı şərtlərlə müəyyən edilir: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Bu irəliləyişin ilk altı üzvünün cəmini tapın.
Həll:

	Proqresiyanın ilk altı şərtinin cəmini tapmalıyıq. Amma onların mənalarını bilmirik, bizə yalnız birinci element verilir. Buna görə də, əvvəlcə bizə veriləndən istifadə edərək dəyərləri bir-bir hesablayırıq: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Bizə lazım olan altı elementi hesablayaraq onların cəmini tapırıq.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Lazım olan məbləğ tapılıb.

Cavab: \(S_6=9\).

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyişdə \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Bu irəliləyişin fərqini tapın.
Həll:

Cavab: \(d=7\).

Arifmetik irəliləyiş üçün vacib düsturlar

Gördüyünüz kimi, arifmetik irəliləyişlə bağlı bir çox problemi sadəcə əsas şeyi başa düşməklə həll etmək olar - arifmetik irəliləyiş ədədlər zənciridir və bu zəncirdəki hər bir sonrakı element əvvəlki birinə eyni ədədi əlavə etməklə əldə edilir. irəliləmə fərqi).

Ancaq bəzən "baş-üstə" qərar vermək çox əlverişsiz olan vəziyyətlər var. Məsələn, təsəvvür edin ki, ilk misalda biz beşinci elementi \(b_5\) deyil, üç yüz səksən altıncı \(b_(386)\) tapmalıyıq. Dörd \(385\) dəfə əlavə etməliyik? Və ya təsəvvür edin ki, sondan əvvəlki nümunədə ilk yetmiş üç elementin cəmini tapmaq lazımdır. Saymaqdan yorulacaqsan...

Buna görə də, belə hallarda onlar hər şeyi “baş-başa” həll etmirlər, arifmetik irəliləyiş üçün alınan xüsusi düsturlardan istifadə edirlər. Əsas olanlar isə irəliləyişin n-ci həddi üçün düstur və \(n\) birinci hədlərin cəminin düsturudur.

\(n\)-ci həddinin düsturu: \(a_n=a_1+(n-1)d\), burada \(a_1\) irəliləyişin birinci üzvüdür;
\(n\) – tələb olunan elementin sayı;
\(a_n\) – \(n\) rəqəmi ilə irəliləyişin müddəti.

Bu düstur bizə irəliləyişin yalnız birincisini və fərqini bilməklə hətta üç yüz və ya milyonuncu elementi də tez tapmağa imkan verir.

Misal. Arifmetik irəliləyiş şərtlərlə müəyyən edilir: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). \(b_(246)\) tapın.
Həll:

Cavab: \(b_(246)=1850\).

İlk n şərtin cəmi üçün düstur: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), burada

\(a_n\) – son cəmlənmiş termin;

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyiş \(a_n=3.4n-0.6\) şərtləri ilə müəyyən edilir. Bu irəliləyişin ilk \(25\) şərtlərinin cəmini tapın.
Həll:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		İlk iyirmi beş şərtlərin cəmini hesablamaq üçün birinci və iyirmi beşinci şərtlərin dəyərini bilməliyik. Bizim irəliləyişimiz onun sayından asılı olaraq n-ci hədd düsturu ilə verilir (ətraflı məlumat üçün bax). Birinci elementi \(n\) yerinə birini əvəz edərək hesablayaq.
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		İndi \(n\) əvəzinə iyirmi beşi əvəz edərək iyirmi beşinci həddi tapaq.
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Yaxşı, indi tələb olunan məbləği asanlıqla hesablaya bilərik.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Cavab hazırdır.

Cavab: \(S_(25)=1090\).

İlk şərtlərin \(n\) cəmi üçün başqa bir düstur əldə edə bilərsiniz: sadəcə \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) əvəzinə \(a_n\) düsturu ilə əvəz edin \(a_n=a_1+(n-1)d\). Biz əldə edirik:

İlk n şərtin cəmi üçün düstur: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), burada

\(S_n\) – \(n\) birinci elementlərin tələb olunan cəmi;
\(a_1\) – ilk cəmlənmiş şərt;
\(d\) – irəliləyiş fərqi;
\(n\) – cəmi elementlərin sayı.

Misal. Arifmetik irəliləyişin ilk \(33\)-ex hədlərinin cəmini tapın: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Həll:

Cavab: \(S_(33)=-231\).

Daha mürəkkəb arifmetik irəliləyiş məsələləri

İndi demək olar ki, istənilən arifmetik irəliləyiş problemini həll etmək üçün lazım olan bütün məlumatlara sahibsiniz. Gəlin mövzunu təkcə düsturları tətbiq etmək deyil, həm də bir az düşünmək lazım olan problemləri nəzərdən keçirərək bitirək (riyaziyyatda bu faydalı ola bilər ☺)

Nümunə (OGE). Proqresiyanın bütün mənfi şərtlərinin cəmini tapın: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Həll:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Tapşırıq əvvəlki ilə çox oxşardır. Eyni şeyi həll etməyə başlayırıq: əvvəlcə \(d\) tapırıq.
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		İndi mən cəm üçün düsturda \(d\) əvəz etmək istərdim... və burada kiçik bir nüans ortaya çıxır - biz \(n\) bilmirik. Başqa sözlə, neçə terminin əlavə edilməsi lazım olduğunu bilmirik. Necə tapmaq olar? Gəlin düşünək. İlk müsbət elementə çatdıqda elementləri əlavə etməyi dayandıracağıq. Yəni bu elementin sayını tapmaq lazımdır. Necə? Arifmetik irəliləyişin hər hansı elementini hesablamaq üçün düsturu yazaq: bizim işimiz üçün \(a_n=a_1+(n-1)d\).
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Bizə sıfırdan böyük olmaq üçün \(a_n\) lazımdır. Bunun nə \(n\) baş verəcəyini öyrənək.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Bərabərsizliyin hər iki tərəfini \(0,3\) ilə bölürük.
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		İşarələri dəyişdirməyi unutmadan mənfi birini köçürürük
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Gəlin hesablayaq...
\(n>65,333…\)		...və belə çıxır ki, birinci müsbət element \(66\) rəqəminə sahib olacaq. Müvafiq olaraq, sonuncu mənfidə \(n=65\) var. Hər halda, gəlin bunu yoxlayaq.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Beləliklə, ilk \(65\) elementləri əlavə etməliyik.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Cavab hazırdır.

Cavab: \(S_(65)=-630,5\).

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləmə şərtlərlə müəyyən edilir: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)-ci elementdən \(42\) elementi daxil olmaqla cəmini tapın.
Həll:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Bu məsələdə siz həm də elementlərin cəmini tapmalısınız, lakin birincidən deyil, \(26\)-dan başlayaraq. Belə bir hal üçün bizim düsturumuz yoxdur. Necə qərar vermək olar? Bu asandır - \(26\)-dan \(42\)-ciyə qədər olan cəmini əldə etmək üçün əvvəlcə \(1\)-dən \(42\)-ciyə qədər olan məbləği tapmalı və sonra çıxmalısınız. ondan birincidən \(25\)-ə qədər olan məbləğ (şəkilə bax).
	Bizim irəliləyişimiz üçün \(a_1=-33\) və fərq \(d=4\) (hər şeydən sonra, növbəti elementi tapmaq üçün əvvəlki elementə dördü əlavə edirik). Bunu bilərək birinci \(42\)-y elementlərinin cəmini tapırıq.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	İndi ilk \(25\) elementlərin cəmi.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Və nəhayət, cavabı hesablayırıq.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Cavab: \(S=1683\).

Arifmetik irəliləyiş üçün praktiki faydalılığı az olduğuna görə bu məqalədə nəzərdən keçirmədiyimiz daha bir neçə düstur var. Bununla belə, onları asanlıqla tapa bilərsiniz.