Mövzu üzrə mühazirə: “Kompleks ədədin triqonometrik forması”. Kompleks ədədlərin triqonometrik forması Kompleks ədədin triqonometrik qeydi
3.1. Qütb koordinatları
Çox vaxt təyyarədə istifadə olunur qütb koordinat sistemi . O nöqtəsi verilirsə, müəyyən edilir, çağırılır dirək, və qütbdən çıxan şüa (bizim üçün bu oxdur Ox) – qütb oxu. M nöqtəsinin mövqeyi iki rəqəmlə müəyyən edilir: radius (və ya radius vektoru) və qütb oxu ilə vektor arasındakı bucaq φ.φ bucağı adlanır qütb bucağı; radyanla ölçülür və qütb oxundan saat yönünün əksinə sayılır.
Qütb koordinat sistemində nöqtənin mövqeyi sıralı ədədlər cütü (r; φ) ilə verilir. Qütbdə r = 0, və φ müəyyən edilməyib. Bütün digər məqamlar üçün r > 0, və φ 2π-nin qatı olan terminə qədər müəyyən edilir. Bu halda (r; φ) və (r 1 ; φ 1) ədəd cütləri eyni nöqtə ilə əlaqələndirilir, əgər .
Düzbucaqlı koordinat sistemi üçün xOy Nöqtənin kartezyen koordinatları onun qütb koordinatları ilə asanlıqla aşağıdakı kimi ifadə edilir:
3.2. Kompleks ədədin həndəsi şərhi
Müstəvidə Kartezian düzbucaqlı koordinat sistemini nəzərdən keçirək xOy.
İstənilən kompleks ədəd z=(a, b) müstəvidə koordinatları olan nöqtə ilə əlaqələndirilir. x, y), Harada koordinat x = a, yəni. kompleks ədədin həqiqi hissəsi, y = bi koordinatı isə xəyali hissədir.
Nöqtələri kompleks ədədlər olan müstəvi kompleks müstəvidir.
Şəkildə kompleks ədəd z = (a, b) nöqtəyə uyğun gəlir M(x, y).
Məşq edin.Koordinat müstəvisində kompleks ədədlər çəkin:
3.3. Kompleks ədədin triqonometrik forması
Təyyarədə olan kompleks ədəd bir nöqtənin koordinatlarına malikdir M(x;y). Burada:
Kompleks ədədin yazılması - kompleks ədədin triqonometrik forması.
r sayı çağırılır modul kompleks ədəd z və təyin olunur. Modul mənfi olmayan həqiqi ədəddir. üçün .
Modul yalnız və yalnız o halda sıfırdır z = 0, yəni. a = b = 0.
φ nömrəsi çağırılır arqument z və təyin edilir. z arqumenti qütb koordinat sistemindəki qütb bucağı kimi qeyri-müəyyən şəkildə müəyyən edilir, yəni 2π-nin qatı olan terminə qədər.
Sonra qəbul edirik: , burada φ arqumentin ən kiçik qiymətidir. Aydındır ki
.
Mövzunu daha dərindən öyrənərkən köməkçi arqument φ* təqdim edilir ki,
Misal 1. Kompleks ədədin triqonometrik formasını tapın.
Həll. 1) modulu nəzərdən keçirin: ;
2) φ axtarır: ;
3) triqonometrik forma:
Misal 2. Kompleks ədədin cəbri formasını tapın .
Burada dəyərləri əvəz etmək kifayətdir triqonometrik funksiyalar və ifadəni çevirin:
Misal 3. Kompleks ədədin modulunu və arqumentini tapın;
1) ;
2) ; φ – 4 rübdə:
3.4. Triqonometrik formada kompleks ədədlərlə əməliyyatlar
· Toplama və çıxma Cəbri formada mürəkkəb ədədlərlə etmək daha rahatdır:
· Vurma- sadə köməyi ilə triqonometrik çevrilmələr bunu göstərmək olar Çarpma zamanı ədədlərin modulları vurulur və arqumentlər əlavə olunur: ;
Müstəvidə bir nöqtənin mövqeyini təyin etmək üçün qütb koordinatlarından istifadə edə bilərsiniz [g, (r), Harada G nöqtənin başlanğıcdan olan məsafəsidir və (R- radiusu edən bucaq - oxun müsbət istiqaməti ilə bu nöqtənin vektoru Oh. Bucaq dəyişməsinin müsbət istiqaməti (R Nəzərə alınan istiqamət saat yönünün əksinədir. Kartezyen və qütb koordinatları arasındakı əlaqədən istifadə edərək: x = g cos avg,y = g sin (səh,
kompleks ədədin yazılmasının triqonometrik formasını alırıq
z - r(günah (p + i günah
Harada G
Xi + y2, (p mürəkkəb ədədin arqumentidir, ondan tapılır
l X . y y
düsturlar cos(p --, sin^9 = - və ya buna görə tg(p --, (p-arctg
Dəyərləri seçərkən unutmayın Çərşənbə sonuncu tənlikdən işarələri nəzərə almaq lazımdır x və y.
Misal 47. Kompleks ədədi triqonometrik formada yazın 2 = -1 + l/Z / .
Həll. Kompleks ədədin modulunu və arqumentini tapaq:
= yj 1 + 3 = 2 . Künc Çərşənbəəlaqələrdən tapırıq cos(s = -, sin(p = - . Sonra
alırıq cos(p = -,suup
u/z g~
- - -. Aydındır ki, z = -1 + V3-/ nöqtəsi yerləşir
- 2 Kimə 3
ikinci rübdə: (R= 120°
Əvəz edən
2 k.. cos - h; günah
(1) düsturuna 27Г L tapıldı
Şərh. Mürəkkəb ədədin arqumenti unikal şəkildə deyil, çoxluğu olan bir termin daxilində müəyyən edilir 2p. Sonra vasitəsilə sp^g işarələmək
arqument dəyəri daxil edilir (səh 0 %2 Sonra
A)^g = + 2kk.
Məşhur Eyler düsturundan istifadə etməklə e, kompleks ədədin yazılmasının eksponensial formasını alırıq.
Bizdə var r = g(co^(p + i?,p(p)=ge,
Kompleks ədədlər üzərində əməliyyatlar
- 1. İki kompleks ədədin cəmi r, = X] + y x/ və g 2 - x 2 +y 2 / r düsturu ilə müəyyən edilir! +2 2 = (x, +^2) + (^1 + ^2)‘ r
- 2. Kompleks ədədlərin çıxılması əməliyyatı toplamanın tərs əməli kimi müəyyən edilir. Kompleks nömrə g = g x - g 2,Əgər g 2 + g = g x,
mürəkkəb ədədlərin fərqi 2 və g 2. Sonra r = (x, - x 2) + (y, - saat 2) /.
- 3. İki kompleks ədədin hasili g x= x, +y, -z və 2 2 = x 2+ U2‘ r düsturla müəyyən edilir
- *1*2 =(* +U"0(X 2+ T 2 -0= X 1 X 2 Y 1 2 -1 +x Y2 " * + U1 U2 " ^ =
= (хх 2 ~УУ 2)+(Х У2 + Х 2У)-"-
Xüsusilə, y-y= (x + y-y)(x-y /)= x 2 + y 2.
Kompleks ədədləri eksponensial və triqonometrik formalarda vurmaq üçün düsturlar əldə edə bilərsiniz. Bizdə:
- 1^ 2 - G x e 1 = )G 2 e > = G]G 2 cOs((P + orta 2) + isin
- 4. Kompleks ədədlərin bölünməsi tərs əməl kimi müəyyən edilir
çarpma, yəni. nömrə G-- r bölməsinin əmsalı adlanır! g 2-də,
Əgər g x -1 2 ? 2 . Sonra
X + Ti _ (*і + IU 2 ~ 1 U2 ) x 2 + ІУ2 (2 + ^У 2)( 2 ~ 1 У 2)
x, x 2 + /y, x 2 - ix x y 2 - i 2 y x y 2 (x x x 2 + y x y 2)+ /(- x,y 2 + X 2 Y])
2 2 x 2 + Y 2
1 e
i(r g
- - 1U e "(1 Fg) - I.сОї((Р -ср 1)+ І- (R-,)] >2 >2
- 5. Mürəkkəb ədədi müsbət tam ədədə yüksəltmək, ədəd eksponensial və ya triqonometrik formalarda yazılsa, daha yaxşı olar.
Həqiqətən, əgər g = ge 1 onda
=(ge,) = g p e t = G"(co8 psr+іт gkr).
Formula g" =r n (cosn(p+is n(p)) Moivre düsturu adlanır.
6. Kökün çıxarılması P- Mürəkkəb ədədin ci gücü bir gücə yüksəltməyin tərs əməliyyatı kimi müəyyən edilir p, p- 1,2,3,... yəni. kompleks ədəd = y[g kök adlanır P- kompleks ədədin ci gücü
g, əgər G = g x. Bu tərifdən belə çıxır g - g", A g x= l/q. (r-psr x, A sr^-sr/s= r/*+ üçün yazılmış Moivre düsturundan irəli gəlir іьипп(р).
Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, kompleks ədədin arqumenti unikal şəkildə müəyyən edilmir, lakin 2-nin qatı olan bir terminə qədər və. Buna görə də = (p + 2pk, və r ədədinin arqumentindən asılı olaraq Kimə, işarə edək (r k və boo
düsturdan istifadə edərək hesablayın (r k= - + . Aydındır ki, var P kom-
mürəkkəb ədədlər, P-ci qüvvəsi 2 rəqəminə bərabərdir. Bu ədədlər birdir
və eyni modul bərabərdir y[g, və bu ədədlərin arqumentləri ilə əldə edilir Kimə = 0, 1, P - 1. Beləliklə, triqonometrik formada kök i-ci dərəcələr düsturla hesablanır:
(p + 2kp . . Çərşənbə + 2kp
, Kimə = 0, 1, 77-1,
.(p+2ktg
və eksponensial formada - düstura görə l[g - y[ge s
Misal 48. Kompleks ədədlər üzərində cəbri formada əməliyyatlar yerinə yetirin:
a) (1-/H/2) 3 (3 + /)
- (1 - /l/2) 3 (z + /) = (1 - zl/2/ + 6/ 2 - 2 l/2 / ? 3)(3 + /) =
- (1 - Zl/2/ - 6 + 2l/2/DZ + /)=(- 5 - l/2/DZ + /) =
15-Zl/2/-5/-l/2/ 2 = -15 - Zl/2/-5/+ l/2 = (-15 +l/2)-(5 +Zl/2)/;
Misal 49. r = Uz - / sayını beşinci dərəcəyə qaldırın.
Həll. r ədədinin yazılmasının triqonometrik formasını alırıq.
G = l/3 + 1 =2, C08 (p --, 5ІІ7 (R =
- (1 - 2/X2 + /)
- (z-,)
O - 2.-X2 + o
- 12+ 4/-9/
- 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
- (z-O "(z-O
Z/ 2 12-51 + 3 15 - 5/
- (3-i) ’з+/
- 9 + 1 z_±.
- 5 2 1 "
Buradan O--, Ə r = 2
Moivre alırıq: i -2
/ ^ _ 7G, . ?G
- -SS-- ІБІП -
- --b / -
= -(l/w + g)= -2 .
Misal 50: Bütün dəyərləri tapın
Həlli, r = 2, a Çərşənbə tənliyindən tapırıq hıçqırıq(p = -,zt--.
Bu nöqtə 1 - /d/z dördüncü rübdə yerləşir, yəni. f =--. Sonra
- 1 - 2
- ( ( UG L
İfadədən kök dəyərləri tapırıq
V1 - /l/z = l/2
- --+ 2А:/г ---ь 2 kk
- 3 . . 3
S08--1- və 81P-
At Kimə - 0 bizdə 2 0 = l/2 var
Ekranda rəqəmi təmsil etməklə 2 rəqəminin kökünün dəyərlərini tapa bilərsiniz
-* TO/ 3 + 2 cl
At Kimə= 1 başqa bir kök dəyərimiz var:
- 7G. 7G_
- ---ь27г ---ь2;г
- 3. . h
7G . . 7G L-С05- + 181П - 6 6
- --N-
co? - 7G + /5SH - I"
l/3__t_
telial forma. Çünki r= 2, a Çərşənbə= , onda g = 2e 3 , a y[g = y/2e 2
Cəbri formada yazılmış kompleks ədədlər üzərində əməliyyatlar
Kompleks ədədin cəbri forması z =(a,b).formanın cəbri ifadəsi adlanır
z = a + bi.
Kompleks ədədlər üzərində arifmetik əməllər z 1 = a 1 +b 1 i Və z 2 = a 2 +b 2 i, cəbri formada yazılanlar aşağıdakı kimi həyata keçirilir.
1. Kompleks ədədlərin cəmi (fərqi).
z 1 ±z 2 = (a 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)∙i,
olanlar. toplama (çıxma) oxşar həddləri azaltmaqla çoxhədlilərin toplanması qaydasına uyğun olaraq həyata keçirilir.
2. Kompleks ədədlərin hasili
z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 -b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 + a 2 ∙b 1)∙i,
olanlar. vurma faktı nəzərə alınmaqla çoxhədlilərin vurulması üçün adi qaydaya əsasən həyata keçirilir. i 2 = 1.
3. İki mürəkkəb ədədin bölünməsi aşağıdakı qaydaya əsasən aparılır:
, (z 2 ≠ 0),
olanlar. bölünmə dividend və bölücü bölücünün birləşmə nömrəsinə vurmaqla həyata keçirilir.
Kompleks ədədlərin eksponentasiyası aşağıdakı kimi müəyyən edilir:
Bunu göstərmək asandır
Nümunələr.
1. Kompleks ədədlərin cəmini tapın z 1 = 2 – i Və z 2 = – 4 + 3i.
z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.
2. Kompleks ədədlərin hasilini tapın z 1 = 2 – 3i Və z 2 = –4 + 5i.
= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3i∙ 5i = 7+22i.
3. Hissəni tapın z bölmədən z 1 = 3 – 2na z 2 = 3 – i.
z = .
4. Tənliyi həll edin: , x Və y Î R.
(2x+y) + (x+y)i = 2 + 3i.
Kompleks ədədlərin bərabərliyinə görə bizdə:
harada x =–1 , y= 4.
5. Hesablayın: i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i -1 , i -2 .
6. Əgər varsa hesablayın.
.
7. Ədədin əksini hesablayın z=3-i.
Triqonometrik formada mürəkkəb ədədlər
Kompleks təyyarə kartezyen koordinatları olan müstəvi adlanır ( x, y), koordinatları olan hər bir nöqtə ( a, b) mürəkkəb ədədlə əlaqələndirilir z = a + bi. Bu halda absis oxu deyilir real ox, və ordinat oxudur xəyali. Sonra hər bir kompleks ədəd a+bi həndəsi şəkildə müstəvidə nöqtə kimi təsvir edilmişdir A (a, b) və ya vektor.
Buna görə də nöqtənin mövqeyi A(və buna görə də kompleks ədəd z) vektorunun uzunluğu ilə təyin edilə bilər | = r və bucaq j, vektoru ilə | | real oxun müsbət istiqaməti ilə. Vektorun uzunluğu deyilir kompleks ədədin modulu və | ilə işarələnir z |=r, və bucaq jçağırdı mürəkkəb ədəd arqumenti və təyin edilir j = arg z.
Aydındır ki, | z| ³ 0 və | z | = 0 Û z = 0.
Şəkildən. 2 aydındır ki.
Kompleks ədədin arqumenti birmənalı deyil, lakin 2 dəqiqliyi ilə müəyyən edilir pk, kÎ Z.
Şəkildən. 2 də aydın olur ki, əgər z=a+bi Və j=arg z, Bu
cos j =,günah j =, tg j =.
Əgər zÎR Və z> 0, onda arg z = 0 +2pk;
Əgər z ОR Və z< 0, onda arg z = p + 2pk;
Əgər z = 0,arg z müəyyənləşdirilmişdir.
Arqumentin əsas dəyəri 0 intervalında müəyyən edilir £ arg z£2 p,
və ya -səh£ arg z £ p.
Nümunələr:
1. Kompleks ədədlərin modulunu tapın z 1 = 4 – 3i Və z 2 = –2–2i.
2. Şərtlərlə müəyyən edilmiş kompleks müstəvidə sahələri müəyyənləşdirin:
1) | z | = 5; 2) | z| £6; 3) | z – (2+i) | £3; 4) £6 | z – i| £7.
Həll və cavablar:
1) | z| = 5 Û Û - radiusu 5 və mərkəzi başlanğıcda olan dairənin tənliyi.
2) Mərkəzi başlanğıcda olan radiusu 6 olan dairə.
3) Radiusu 3 olan dairə, mərkəzi nöqtədə z 0 = 2 + i.
4) Bir nöqtədə mərkəzi olan radiusları 6 və 7 olan dairələrlə məhdudlaşan halqa z 0 = i.
3. Ədədlərin modulunu və arqumentini tapın: 1) ; 2) .
1) ; A = 1, b = Þ ,
Þ j 1 = .
2) z 2 = –2 – 2i; a =–2, b =-2 Þ ,
.
İpucu: Əsas arqumenti təyin edərkən kompleks müstəvidən istifadə edin.
Beləliklə: z 1 = .
2) , r 2 = 1, j 2 = , .
3) , r 3 = 1, j 3 =, .
4) , r 4 = 1, j 4 =, .