Riyaziyyatda elmi nəzəriyyənin qurulmasının aksiomatik üsulu. Elmi nəzəriyyənin qurulmasının aksiomatik üsulu Nəzəriyyənin qurulmasının aksiomatik üsulu

Aksiomatik üsul qurma üsuludur riyazi nəzəriyyə, burada əsas sübut olmadan qəbul edilən bəzi müddəalara əsaslanır (aksiomlar), qalanların hamısı onlardan sırf məntiqi şəkildə alınır. Bu yanaşmanın köklü tətbiqi ilə riyaziyyat saf məntiqə çevrilir, intuisiya, vizual həndəsi təsvirlər, induktiv mülahizə və s. kimi şeylər ondan xaric edilir. Riyazi yaradıcılığın mahiyyəti yoxa çıxır. Bəs niyə bu üsul icad edildi? Bu suala cavab vermək üçün riyaziyyatın ən başlanğıclarına qayıtmalıyıq.

1. Aksiomalar: iki anlayış

Məktəbdən xatırladığımız kimi, riyazi sübutlar, aksiomlar və teoremlər meydana çıxdı Qədim Yunanıstan. Həndəsənin aksiomatik qurulması bir çox nəsillərə riyaziyyatın öyrədildiyi kitabda - Evklidin Elementlərində kanonlaşdırıldı. Halbuki o dövrlərdə aksioma anlayışı indikindən fərqli başa düşülürdü. İndiyə qədər məktəb dərsliklərində bəzən aksiomaların sübutsuz qəbul edilən aşkar həqiqətlər olduğu deyilir. 19-cu əsrdə bu anlayış çox dəyişdi, çünki “aşkar” sözü yox oldu. Aksiomlar artıq aydın deyil, onlar hələ də sübut olmadan qəbul edilir, lakin, prinsipcə, tamamilə özbaşına ifadələr ola bilər. Bu kiçik, ilk baxışdan dəyişikliyin arxasında fəlsəfi mövqedə kifayət qədər köklü dəyişiklik – yeganə mümkün riyazi reallığı tanımaqdan imtina durur. Bu dəyişiklikdə əsas rolu, əlbəttə ki, 19-cu əsrdə N. İ. Lobaçevski və J. Bolyai kimi alimlərin əməyi sayəsində baş vermiş qeyri-evklid həndəsəsinin yaranma tarixi oynamışdır.

2. Paralel xətlərin aksioması məsələsi

Qeyri-Evklid həndəsəsinin tarixi Evklidin qondarma beşinci postulatını - məşhur paralellər aksiomunu sübut etmək cəhdləri ilə başladı: bir xəttdən kənar bir nöqtə vasitəsilə verilənə paralel birdən çox xətt çəkilə bilməz. Bu ifadə Evklidin qalan aksiomlarından əhəmiyyətli dərəcədə fərqli idi. Çoxlarına elə gəlirdi ki, bunu sübut etmək lazımdır, digər aksiomlar kimi aydın deyildi. Bu cəhdlər əsrlər boyu uğurlu alınmadı, bir çox riyaziyyatçılar öz “həll yollarını” təklif etdilər ki, digər riyaziyyatçılar sonradan səhvlər tapdılar. (İndi biz bilirik ki, bu cəhdlər açıq-aydın uğursuzluğa məhkum idi; bu, sübut olunmayan riyazi ifadələrin ilk nümunələrindən biri idi).

3. Lobaçevski həndəsəsi

Yalnız 19-cu əsrdə başa düşüldü ki, bəlkə də bu ifadə əslində sübuta yetirilməzdir və bu aksiomun yanlış olduğu bizimkindən tamamilə fərqli başqa bir həndəsə var. Lobaçevski nə etdi? Bir ifadəni sübut etməyə çalışarkən riyaziyyatçıların tez-tez etdiklərini etdi. Sevimli bir texnika ziddiyyətlə sübutdur: fərz edək ki bu bəyanat səhv. Bundan nə çıxır? Teoremi sübut etmək üçün riyaziyyatçılar irəli sürülən fərziyyədən bir ziddiyyət çıxarmağa çalışırlar. Lakin bu halda, Lobaçevski irəli sürülən fərziyyədən getdikcə daha çox yeni riyazi, həndəsi nəticələr əldə etdi, lakin onlar çox gözəl, daxili ardıcıl sistemə düzülüblər, buna baxmayaraq bizim öyrəşdiyimiz Evklid sistemindən fərqlənirdi. Onun gözləri önündə bizim öyrəşdiyimizdən fərqli olaraq qeyri-Evklid həndəsəsinin yeni dünyası açılırdı. Bu, Lobaçevskini belə bir həndəsənin mümkün olduğunu başa düşməsinə səbəb oldu. Eyni zamanda, Lobaçevskinin həndəsəsindəki paralellər aksiomu bizim gündəlik həndəsi intuisiyamızla açıq şəkildə ziddiyyət təşkil edirdi: o, nəinki intuitiv olaraq aydın deyildi, həm də bu intuisiya nöqteyi-nəzərindən yalan idi.

Bununla belə, bunun prinsipcə mümkün olduğunu təsəvvür etmək bir şeydir, həndəsə üçün belə aksiomlar sisteminin ardıcıl olduğunu ciddi şəkildə riyazi şəkildə sübut etmək başqa bir şeydir. Buna bir neçə onilliklər sonra digər riyaziyyatçıların – Beltrami, Klein və Puankarenin əsərlərində nail olundu, onlar adi Evklid həndəsəsi çərçivəsində qeyri-Evklid həndəsəsinin aksiomlarının modellərini təklif etdilər. Onlar əslində müəyyən etdilər ki, Lobaçevskinin həndəsəsinin uyğunsuzluğu bizə tanış olan Evklid həndəsəsinin uyğunsuzluğuna səbəb olacaq. Bunun əksi də doğrudur, yəni məntiq baxımından hər iki sistem tamamilə bərabər olur.

Bunu deyərək, edilməli olan bir xəbərdarlıq var. Qeyri-Evklid həndəsəsinin tarixi elm tarixində dəfələrlə müşahidə olunan başqa bir hadisə ilə yaxşı təsvir edilmişdir. Bəzən problemin həlli ondan sonra deyil, problemin özü hər kəs tərəfindən yaxşı başa düşülən dəqiq bir ifadə almadan əvvəl yaranır. Bu halda belə idi: 19-cu əsrin ortalarında tam siyahı elementar həndəsənin aksiomaları hələ mövcud deyildi. Evklidin Elementləri aksiomatik metodun həyata keçirilməsi baxımından kifayət qədər ardıcıl deyildi. Evklidin bir çox arqumentləri vizual intuisiyaya müraciət edirdi; onun aksiomaları hətta paralel postulatın sübut olunmaması probleminin mənalı formalaşdırılması üçün də kifayət deyildi. Lobaçevski Bolyayla, Beltrami isə Klein və Puankare ilə eyni mövqedə idi. Sübut olunmazlıq probleminin lazımi ciddilik səviyyəsində qoyulması riyazi məntiqin tamamilə yeni aparatının və həmin aksiomatik metodun işlənib hazırlanmasını tələb edirdi.

4. Aksiomatik metodun yaradılması

Vəziyyət D.Hilbertin "Həndəsənin əsasları" kitabının nəşrindən sonra başa düşüldü, o, başladığımız aksiomatik metod konsepsiyasını təklif etdi. Hilbert başa düşdü ki, həndəsənin əsaslarını başa düşmək üçün məntiqdən başqa hər şeyi aksiomlardan tamamilə çıxarmaq lazımdır. O, bu fikri rəngarəng şəkildə belə ifadə edib: “Adi “nöqtə, xətt, müstəvi” terminlərini digərləri ilə əvəz etsək, aksiomların və teoremlərin etibarlılığı heç də sarsılmaz, eyni dərəcədə şərti: “stul, stol, pivə fincanı”!

Elementar həndəsə üçün ilk ardıcıl və tam aksiomlar sistemini quran Hilbert idi, bu, 19-cu əsrin sonlarında baş verdi. Beləliklə, aksiomatik metod əslində müəyyən, bu halda həndəsi ifadələri sübut etməyin mümkünsüzlüyünü sübut etmək üçün yaradılmışdır.

Hilbert kəşfindən qürur duyur və düşünürdü ki, bu metod bütövlükdə bütün riyaziyyata şamil edilə bilər: təkcə elementar həndəsə deyil, həm də hesab, analiz və çoxluqlar nəzəriyyəsinə. Məqsədi riyaziyyatın bütün hissələri (və hətta fizikanın hissələri) üçün aksioma sistemlərini inkişaf etdirmək və sonra məhdud vasitələrlə riyaziyyatın ardıcıllığını qurmaq olan "Hilbert proqramını" elan etdi. Hilbert aksiomatik metodun imkanlarını dərk edən kimi görünürdü ki, belə inkişaf üçün birbaşa yol açıqdır. Hilbert hətta 1930-cu ildə rus dilinə “biz bilməliyik və biləcəyik” kimi səslənən məşhur bir ifadə işlətdi, yəni riyaziyyatçıların bilməli olduğu hər şeyi gec-tez öyrənəcəklər. Bu məqsəd isə çox sonralar aydınlaşan qeyri-real idi. Ən təəccüblüsü isə odur ki, bu ümidləri təsirli şəkildə təkzib edən teorem, Kurt Gödelin natamamlıq teoremi 1930-cu ildə Hilbertin məşhur nitqini söylədiyi konfransda, bu hadisədən düz bir gün əvvəl elan edilmişdi.

5. Aksiomatik metodun imkanları

Hilbertin aksiomatik metodu aydın müəyyən edilmiş riyazi müddəalar əsasında riyazi nəzəriyyələr qurmağa imkan verir ki, bunlardan başqaları məntiqi olaraq əldə edilə bilər. Hilbert əslində daha da irəli getdi və riyaziyyatın məntiqə endirilməsinin davam etdirilə biləcəyinə qərar verdi. Daha sonra sual verə bilərsiniz: "Məntiqi əməliyyatın nə olduğunu izah etməkdən xilas olmaq mümkündürmü?" Məntiqin özü aksiomatik metoddan çıxarıla bilər. Aksiomatik nəzəriyyələrdən formal aksiomatik nəzəriyyələrə keçirik - bunlar simvolik formada yazılmış nəzəriyyələrdir, riyaziyyat isə sadəcə məntiqi nəticələr ardıcıllığına deyil, müəyyən qaydalara uyğun olaraq formal ifadələrin yenidən yazılmasının bir növ oyununa çevrilir. Məhz bu oyun, sadəlövhcəsinə baxsanız, heç bir mənası yoxdur, “sübutun” nə olduğunun dəqiq riyazi modelini təqdim edir. Bu oyunu təhlil etməklə riyazi teoremlərin isbat edilə bilməyəcəyini sübut etmək olar. Ancaq əsas odur ki, rəsmiləşdirmə nəticəsində riyaziyyatçılar ilk dəfə tam rəsmiləşdirilmiş dillər yaratdılar ki, bu da proqramlaşdırma dillərinin və verilənlər bazası dillərinin yaradılmasına səbəb oldu. Müasir inkişaf Kompüter texnologiyası son nəticədə 20-ci əsrin əvvəllərində riyaziyyatda edilən kəşflərə əsaslanır.

6. Aksiomatik metodun tənqidi

Bir çox riyaziyyatçı aksiomatik metodu nə üçün yaradıldığına görə tənqid edir: o, riyaziyyatdan mənasını alır. Çünki biz əvvəlcə riyaziyyatı müxtəlif həndəsi anlayışlardan, intuisiyadan təmizləyirik. Formal aksiomatik nəzəriyyəyə keçərək, biz, ümumiyyətlə, məntiqi riyaziyyatdan uzaqlaşdırırıq. Və nəticədə maddi sübutdan qalan yalnız formal simvollardan ibarət skeletdir. Sonuncunun üstünlüyü ondan ibarətdir ki, biz "məna" və "intuisiya"nın nə olduğunu bilmirik, lakin sonlu simvol sətirləri ilə manipulyasiyaların nə olduğunu dəqiq bilirik. Bu, bizə mürəkkəb hadisənin - sübutun dəqiq riyazi modelini qurmağa və onu riyazi təhlilə məruz qoymağa imkan verir.

Riyazi sübut əvvəlcə həmsöhbəti müəyyən bir ifadənin düzgünlüyünə inandırmaq üçün psixoloji proses idi. Formal sistemdə belə deyil: hər şey sırf mexaniki prosesə endirilib. Bu sırf mexaniki proses kompüter tərəfindən həyata keçirilə bilər. Lakin, hər hansı bir model kimi, mexaniki proses də real sübutların yalnız bəzi xüsusiyyətlərini çatdırır. Bu modelin tətbiqi məhdudiyyətləri var. Formal sübutların “real” riyazi sübutlar olduğunu və ya riyaziyyatçıların əslində müəyyən formal sistemlər daxilində işlədiyini düşünmək yanlışdır.

Riyaziyyatın tədrisini ayrıca qeyd etmək yerinə düşər. Məktəblilərin təhsilini mexaniki hərəkətlərin (alqoritmlərin) yerinə yetirilməsi və ya formal məntiqi nəticələrin qurulması üzərində qurmaqdan daha pis bir şey yoxdur. Bu yolla bir insanda istənilən yaradıcı başlanğıcı məhv edə bilərsiniz. Müvafiq olaraq, riyaziyyatı öyrədərkən ona Hilbertin mənasında ciddi aksiomatik metod mövqeyindən yanaşmamalısınız - o, bunun üçün yaradılmayıb.

Aksiomatik üsul ilk dəfə Evklid tərəfindən elementar həndəsə qurmaq üçün uğurla tətbiq edilmişdir. Həmin dövrdən etibarən bu metod əhəmiyyətli təkamül keçirmiş və təkcə riyaziyyatda deyil, həm də dəqiq təbiət elminin bir çox sahələrində (mexanika, optika, elektrodinamika, nisbilik nəzəriyyəsi, kosmologiya və s.) çoxsaylı tətbiqlər tapmışdır.

Aksiomatik metodun inkişafı və təkmilləşdirilməsi iki əsas xətt üzrə baş verdi: birincisi, metodun özünün ümumiləşdirilməsi və ikincisi, aksiomalardan teoremlərin alınması prosesində istifadə olunan məntiqi üsulların inkişafı. Baş vermiş dəyişikliklərin mahiyyətini daha aydın təsəvvür etmək üçün gəlin Evklidin orijinal aksiomatikasına müraciət edək. Məlum olduğu kimi, həndəsənin ilkin anlayışları və aksiomları bir və yeganə şəkildə şərh olunur. Nöqtə, xətt və müstəvi dedikdə həndəsənin əsas anlayışları kimi ideallaşdırılmış fəza obyektləri nəzərdə tutulur və həndəsə özü fiziki məkanın xassələrinin öyrənilməsi kimi qəbul edilir. Tədricən məlum oldu ki, Evklidin aksiomları təkcə həndəsi deyil, digər riyazi və hətta fiziki obyektlərin xüsusiyyətlərini təsvir etmək üçün də doğrudur. Beləliklə, əgər bir nöqtə dedikdə həqiqi ədədlərin üçqatını nəzərdə tuturuqsa, düz xətt və ya müstəvi ilə - müvafiq xətti tənliklər, onda bütün bu qeyri-həndəsi obyektlərin xassələri Evklidin həndəsi aksiomalarını təmin edəcəkdir. Bu aksiomların fiziki obyektlərin, məsələn, mexaniki və fiziki-kimyəvi sistemin vəziyyətlərinin və ya rəng hisslərinin müxtəlifliyinin köməyi ilə şərh edilməsi daha maraqlıdır. Bütün bunlar onu göstərir ki, həndəsə aksiomaları çox fərqli təbiətli obyektlərdən istifadə etməklə şərh edilə bilər.

Aksiomatikaya bu mücərrəd yanaşma daha çox N. İ. Lobaçevski, J. Bolyai, C. F. Qauss və B. Rimann tərəfindən qeyri-evklid həndəsələrinin kəşfi ilə hazırlanmışdır. Ən tutarlı ifadə Yeni Baxış D. Hilbertin məşhur “Həndəsə əsasları” əsərində (1899) rast gəlinən çoxlu müxtəlif şərhlərə imkan verən mücərrəd formalar kimi aksiomlar haqqında. “Biz,” o, bu kitabda yazırdı, “üç müxtəlif şeylər sistemi haqqında düşünürük: biz birinci sistemin şeylərini nöqtə adlandırırıq və A, B, C,... işarə edirik; İkinci sistemə aid şeyləri düz adlandırırıq və a, b, c,... işarə edirik; Üçüncü sistem müstəvilərinin əşyalarını adlandırırıq və onları a, B, y,... kimi təyin edirik. Buradan aydın olur ki, “nöqtə”, “düz xətt” və “müstəvi” dedikdə biz istənilən cisimlər sistemini nəzərdə tuta bilərik. Yalnız onların xassələrinin müvafiq aksiomlarla təsvir edilməsi vacibdir. Aksiomların məzmunundan abstraksiyaya aparan yolda növbəti addım onların düsturlar şəklində simvolik təsviri, eləcə də bəzi düsturlardan (aksiomlardan) digər düsturların (teoremlərin) necə alındığını təsvir edən nəticə çıxarma qaydalarının dəqiq dəqiqləşdirilməsi ilə bağlıdır. əldə edilir. Bunun nəticəsidir ki, tədqiqatın bu mərhələsində anlayışlarla mənalı əsaslandırma əvvəlcədən müəyyən edilmiş qaydalara uyğun olaraq düsturlarla bəzi əməliyyatlara çevrilir. Başqa sözlə, mənalı düşüncə burada hesablamada əks olunur. Bu cür aksiomatik sistemlər çox vaxt formallaşdırılmış sintaktik sistemlər və ya hesablar adlanır.

Nəzərə alınan hər üç aksiomatizasiya növü istifadə olunur müasir elm. Formallaşdırılmış aksiomatik sistemlərə əsasən konkret elmin məntiqi əsasları öyrənilərkən müraciət edilir. Bu cür tədqiqatlar çoxluqlar nəzəriyyəsində paradoksların kəşfi ilə əlaqədar olaraq riyaziyyatda ən geniş əhatə dairəsini qazanmışdır. Formal sistemlər xüsusi elmi dillərin yaradılmasında mühüm rol oynayır ki, onların köməyi ilə adi, təbii dilin qeyri-dəqiqliklərini mümkün qədər aradan qaldırmaq mümkündür.

Bəzi alimlər konkret elmlərdə məntiqi-riyazi metodların tətbiqi prosesində bu məqamı demək olar ki, əsas məsələ hesab edirlər. Belə ki, biologiyada aksiomatik metodun tətbiqinin qabaqcıllarından olan ingilis alimi İ.Vudger hesab edir ki, bu metodun biologiyada və təbiətşünaslığın digər sahələrində tətbiqi hesablamanın elmi cəhətdən mükəmməl bir dilinin yaradılmasından ibarətdir. mümkündür. Belə bir dilin qurulması üçün əsas formallaşdırılmış sistem və ya hesablama şəklində ifadə olunan aksiomatik bir üsuldur. İki növün ilkin simvolları rəsmiləşdirilmiş dilin əlifbası kimi xidmət edir: məntiqi və fərdi.

Məntiqi simvollar bir çox və ya əksər nəzəriyyələr üçün ümumi olan məntiqi əlaqələri və əlaqələri təmsil edir. Fərdi simvollar tədqiq olunan nəzəriyyənin riyazi, fiziki və ya bioloji kimi obyektlərini təmsil edir. Əlifbanın hərflərinin müəyyən ardıcıllığı sözü əmələ gətirdiyi kimi, nizamlanmış simvolların sonlu toplusu da formallaşmış dilin düstur və ifadələrini təşkil edir. Dilin mənalı ifadələrini ayırd etmək üçün düzgün qurulmuş düstur anlayışı təqdim olunur. Süni dilin qurulması prosesini başa çatdırmaq üçün bir formulun alınması və ya digərinə çevrilməsi qaydalarını aydın şəkildə təsvir etmək və bəzi düzgün qurulmuş düsturları aksioma kimi vurğulamaq kifayətdir. Beləliklə, formallaşdırılmış dilin qurulması mənalı aksiomatik sistemin qurulması ilə eyni şəkildə baş verir. Birinci halda düsturlarla mənalı mülahizə yolverilməz olduğundan, burada nəticələrin məntiqi çıxarılması simvolların və onların kombinasiyalarının idarə edilməsi üçün dəqiq müəyyən edilmiş əməliyyatların yerinə yetirilməsi ilə bağlıdır.

Elmdə rəsmiləşdirilmiş dillərdən istifadənin əsas məqsədi elmdə yeni biliklərin əldə edildiyi əsaslandırmanın tənqidi təhlilidir. Rəsmiləşdirilmiş dillər mənalı mülahizələrin bəzi aspektlərini əks etdirdiyi üçün onlardan intellektual fəaliyyətin avtomatlaşdırılması imkanlarını qiymətləndirmək üçün də istifadə oluna bilər.

Tədqiqat predmetinə son dərəcə ümumi yanaşma ilə xarakterizə olunan müasir riyaziyyatda abstrakt aksiomatik sistemlərdən ən çox istifadə olunur. Müasir riyaziyyatçı konkret ədədlər, funksiyalar, xətlər, səthlər, vektorlar və bu kimi şeylər haqqında danışmaq əvəzinə, xassələri aksiomaların köməyi ilə dəqiq formalaşdırılan müxtəlif mücərrəd obyektlər toplusunu nəzərdən keçirir. Belə kolleksiyalar və ya çoxluqlar onları təsvir edən aksiomalarla birlikdə indi çox vaxt abstrakt riyazi strukturlar adlanır.

Aksiomatik metod riyaziyyata hansı üstünlükləri verəcək? Birincisi, riyazi metodların tətbiq dairəsini əhəmiyyətli dərəcədə genişləndirir və çox vaxt tədqiqat prosesini asanlaşdırır. Müəyyən bir sahədə konkret hadisə və prosesləri öyrənərkən alim mücərrəd aksiomatik sistemlərdən hazır təhlil alətləri kimi istifadə edə bilər. Nəzərdən keçirilən hadisələrin bəzi riyazi nəzəriyyənin aksiomlarını təmin etdiyinə əmin olduqdan sonra tədqiqatçı əlavə əmək tutumlu iş görmədən aksiomalardan irəli gələn bütün teoremlərdən dərhal istifadə edə bilər. Aksiomatik yanaşma müəyyən bir elm üzrə mütəxəssisi kifayət qədər mürəkkəb və çətin riyazi tədqiqat aparmaqdan xilas edir.

Riyaziyyatçı üçün bu üsul tədqiqat obyektini daha yaxşı başa düşməyə, ondakı əsas istiqamətləri vurğulamağa, müxtəlif metod və nəzəriyyələrin vəhdətini və əlaqəsini anlamağa imkan verir. Aksiomatik metodun köməyi ilə əldə edilən vəhdət N.Burbakinin obrazlı ifadəsi ilə “cansız skelet verən birlik deyil. Tam inkişafda olan bədənin qidalı şirəsi, elastik və məhsuldar tədqiqat alətidir...” Aksiomatik metod sayəsində, xüsusən də rəsmiləşdirilmiş formada məntiqi quruluşu tam şəkildə açmaq mümkün olur. müxtəlif nəzəriyyələr. Ən mükəmməl formada bu, riyazi nəzəriyyələrə aiddir. Təbiət elmi biliklərində biz özümüzü nəzəriyyələrin əsas nüvəsini aksiomatlaşdırmaqla məhdudlaşdırmalıyıq. Bundan əlavə, aksiomatik metodun istifadəsi lazımi məntiqi sərtliyə nail olmaqla, düşüncələrimizin gedişatını daha yaxşı idarə etməyə imkan verir. Lakin əsas dəyər aksiomatizasiya, xüsusən də riyaziyyatda o, yeni qanunauyğunluqları öyrənmək, əvvəllər bir-birindən təcrid olunmuş kimi görünən anlayışlar və nəzəriyyələr arasında əlaqə yaratmaq üçün bir üsul kimi çıxış edir.

Təbiət elmində aksiomatik metodun məhdud istifadəsi ilk növbədə onunla izah olunur ki, onun nəzəriyyələri daim təcrübə ilə izlənməlidir.

Bu səbəbdən təbiətşünaslıq nəzəriyyəsi heç vaxt tam tamlıq və təcrid üçün səy göstərmir. Eyni zamanda, riyaziyyatda tamlıq tələbini ödəyən aksioma sistemləri ilə məşğul olmağa üstünlük verirlər. Lakin K.Gödelin göstərdiyi kimi, qeyri-trivial xarakterli istənilən ardıcıl aksioma sistemi tam ola bilməz.

Aksiomlar sisteminin ardıcıllığı tələbi onların tamlığı tələbindən qat-qat vacibdir. Əgər aksiomalar sistemi ziddiyyətlidirsə, onun bilik üçün heç bir dəyəri olmayacaq. Özümüzü natamam sistemlərlə məhdudlaşdırmaqla təbii olaraq yalnız əsas məzmunu aksiomatlaşdıra bilərik elmi nəzəriyyələr, təcrübə yolu ilə nəzəriyyənin daha da inkişaf etdirilməsi və təkmilləşdirilməsi imkanını buraxır. Hətta bir sıra hallarda belə məhdud məqsəd çox faydalı olur, məsələn, nəzəriyyənin bəzi gizli müddəalarını və fərziyyələrini aşkar etmək, əldə edilmiş nəticələrin monitorinqi, onların sistemləşdirilməsi və s.

Aksiomatik metodun ən perspektivli tətbiqi, istifadə olunan anlayışların əhəmiyyətli sabitliyə malik olduğu və onların dəyişməsindən və inkişafından mücərrəd alına biləcəyi elmlərdədir.

Məhz bu şəraitdə nəzəriyyənin müxtəlif komponentləri arasında formal-məntiqi əlaqələri müəyyən etmək mümkün olur. Beləliklə, aksiomatik metod hipotetik-deduktiv metoddan daha çox, hazır, əldə edilmiş biliklərin öyrənilməsi üçün uyğunlaşdırılır.

Biliyin yaranması və onun formalaşması prosesinin təhlili inkişafın ən dərin və əhatəli təlimi kimi materialist dialektikaya müraciət etməyi tələb edir.

Riyaziyyatda elmi nəzəriyyənin qurulmasının aksiomatik üsulu

Aksiomatik üsul Qədim Yunanıstanda yaranıb və indi bütün nəzəri elmlərdə, ilk növbədə riyaziyyatda istifadə olunur.

Elmi nəzəriyyənin qurulmasının aksiomatik üsulu belədir: əsas anlayışlar müəyyən edilir, nəzəriyyənin aksiomları tərtib edilir və bütün digər müddəalar onlara əsaslanaraq məntiqi nəticə çıxarır.

Əsas anlayışlar aşağıdakı kimi vurğulanır. Məlumdur ki, bir anlayış başqalarının köməyi ilə izah edilməlidir ki, bu da öz növbəsində bəzi məlum anlayışların köməyi ilə müəyyən edilir. Beləliklə, başqaları vasitəsilə müəyyən edilə bilməyən elementar anlayışlara gəlirik. Bu anlayışlar əsas adlanır.

Bir ifadəni, bir teoremi sübut edəndə, artıq sübut edilmiş hesab edilən binalara etibar edirik. Lakin bu müddəalar da sübuta yetirildi, onlara haqq qazandırmaq lazım idi. Sonda sübuta yetirilməyən ifadələrə gəlirik və sübutsuz qəbul edirik. Bu ifadələrə aksiomlar deyilir. Aksiomlar toplusu elə olmalıdır ki, onun əsasında sonrakı ifadələr sübut olunsun.

Əsas anlayışları müəyyən etdikdən və aksiomları tərtib etdikdən sonra biz teoremləri və digər anlayışları məntiqi şəkildə əldə edirik. Bu, həndəsənin məntiqi quruluşudur. Planimetriyanın əsasını aksiomlar və əsas anlayışlar təşkil edir.

Bütün həndəsələr üçün əsas anlayışların vahid tərifini vermək mümkün olmadığı üçün həndəsənin əsas anlayışları bu həndəsənin aksiomalarını təmin edən hər hansı təbiətli obyektlər kimi müəyyən edilməlidir. Beləliklə, həndəsi sistemin aksiomatik qurulmasında biz müəyyən aksiomalar sistemindən və ya aksiomatikadan başlayırıq. Bu aksiomlar həndəsi sistemin əsas anlayışlarının xassələrini təsvir edir və biz əsas anlayışları aksiomlarda göstərilən xassələrə malik olan istənilən təbiətli obyektlər şəklində təqdim edə bilərik.

İlk həndəsi müddəaların tərtibindən və isbatından sonra bəzi mülahizələri (teoremləri) digərlərinin köməyi ilə sübut etmək mümkün olur. Bir çox teoremlərin sübutları Pifaqor və Demokritə aid edilir.

Təriflərə və aksiomalara əsaslanan həndəsədə ilk sistematik kursu tərtib edən Saqqız Adası Hippokratı hesab olunur. Bu kurs və onun sonrakı müalicələri “Elementlər” adlanırdı.

Sonra 3-cü əsrdə. eramızdan əvvəl, İsgəndəriyyədə "Başlanğıclar"ın rusca tərcüməsində Evklidin eyni adlı kitabı çıxdı. "Elementar həndəsə" termini Latın dilindəki "Başlanğıclar" adından gəlir. Evklidin sələflərinin əsərlərinin bizə gəlib çatmamasına baxmayaraq, Evklidin Elementləri əsasında bu əsərlər haqqında müəyyən fikir formalaşdıra bilərik. “Prinsiplər”də digər bölmələrlə məntiqi cəhətdən çox az bağlı olan bölmələr var. Onların görünüşü yalnız ənənəyə uyğun olaraq təqdim edilmələri və Evklidin sələflərinin "Elementləri" ni kopyalamaları ilə izah edilə bilər.

Evklidin elementləri 13 kitabdan ibarətdir. 1-6-cı kitablar planimetriyaya, 7-10-cu kitablar kompas və hökmdardan istifadə etməklə qurula bilən arifmetik və müqayisə olunmayan kəmiyyətlər haqqındadır. 11-13-cü kitablar stereometriyaya həsr olunmuşdu.

Principia 23 tərif və 10 aksiomun təqdimatı ilə başlayır. İlk beş aksioma “ümumi anlayışlar”, qalanları isə “postulatlar” adlanır. İlk iki postulat ideal bir hökmdardan, üçüncüsü ideal kompasdan istifadə edərək hərəkətləri müəyyənləşdirir. Dördüncüsü, “bütün düz bucaqlar bir-birinə bərabərdir” artıqdır, çünki qalan aksiomalardan çıxarmaq olar. Sonuncu, beşinci postulatda deyilirdi: “Əgər düz xətt iki düz xəttin üzərinə düşürsə və iki düz xəttin cəmində daxili birtərəfli bucaqlar əmələ gətirirsə, onda bu iki düz xəttin qeyri-məhdud uzadılması ilə onlar kəsişəcəklər. bucaqların iki düz xəttdən kiçik olduğu tərəf”.

Beş" ümumi anlayışlar“Uzunluqların, bucaqların, sahələrin, həcmlərin ölçülməsinin Evklid prinsipləri: “bərabərlər bir-birinə bərabərdir”, “bərabərlər bərabərə əlavə olunarsa, cəmlər bərabərdir”, “bərabərlərdən bərabərlər çıxılırsa, qalıqlar bərabərdir”, “Bir-biri ilə birləşənlər bir-birinə bərabərdir”, “bütün hissədən böyükdür”.

Sonra Evklidin həndəsəsinin tənqidi başladı. Evklidi üç səbəbə görə tənqid edirdilər: çünki o, yalnız kompas və hökmdardan istifadə etməklə qurmaq mümkün olan həndəsi kəmiyyətləri hesab edirdi; həndəsə ilə arifmetikanı bir-birindən ayırdığına və həndəsi kəmiyyətlər üçün artıq sübut etdiyini tam ədədlər üçün sübut etdiyinə və nəhayət, Evklidin aksiomalarına görə. Ən çox tənqid edilən postulat beşinci, Evklidin ən mürəkkəb postulatı idi. Çoxları bunu lazımsız hesab edirdi və başqa aksiomalardan da çıxarmaq olar və lazımdır. Digərləri hesab edirdilər ki, onu daha sadə və daha aydın, ona ekvivalent olanı ilə əvəz etmək lazımdır: “Xətdən kənar nöqtə vasitəsilə onların müstəvisində verilmiş xətti kəsməyən birdən çox düz xətt çəkilə bilməz”.

Həndəsə və arifmetika arasındakı boşluğun tənqidi ədəd anlayışının genişlənməsinə səbəb oldu. real rəqəm. Beşinci postulatla bağlı mübahisələr ona gətirib çıxardı ki, 19-cu əsrin əvvəllərində N.I. Lobaczewski, J. Bolyai və K.F. Qauss, beşinci postulat istisna olmaqla, Evklid həndəsəsinin bütün aksiomlarının yerinə yetirildiyi yeni bir həndəsə qurdu. Bunun əksi ifadəsi ilə əvəz olundu: "Müstəvidə, xəttdən kənar bir nöqtə vasitəsilə, verilmiş xətti kəsməyən birdən çox xətt çəkilə bilər." Bu həndəsə Evklidin həndəsəsi kimi ardıcıl idi.

Evklid müstəvisində Lobaçevski planimetriya modeli 1882-ci ildə fransız riyaziyyatçısı Henri Puankare tərəfindən qurulmuşdur.

Evklid müstəvisində üfüqi xətt çəkək (Şəkil 1-ə bax). Bu xətt mütləq (x) adlanır. Evklid müstəvisinin mütləqdən yuxarıda yerləşən nöqtələri Lobaçevski müstəvisinin nöqtələridir. Lobaçevski müstəvisi mütləqdən yuxarıda yerləşən açıq yarım müstəvidir. Puankare modelindəki qeyri-evklid seqmentləri mütləq mərkəzdə yerləşən dairələrin qövsləri və ya mütləqə (AB, CD) perpendikulyar düz xətlərin seqmentləridir. Lobaçevski müstəvisindəki rəqəm mütləq (F) üzərində yerləşən açıq yarım müstəvi şəklidir. Qeyri-Evklid hərəkəti, oxları mütləqə perpendikulyar olan mütləq və oxlu simmetriyalar üzərində mərkəzləşmiş sonlu sayda inversiyaların tərkibidir. İki qeyri-Evklid seqmenti, əgər onlardan biri qeyri-Evklid hərəkəti ilə digərinə köçürülə bilərsə, bərabərdir. Bunlar Lobaçevski planimetriyasının aksiomatikasının əsas anlayışlarıdır.

Lobaçevski planimetriyasının bütün aksiomları ardıcıldır. Düz xəttin tərifi belədir: “Qeyri-Evklid düz xətti ucları mütləqdə olan yarımdairə və ya başlanğıcı mütləq və mütləqə perpendikulyar olan şüadır”. Beləliklə, Lobaçevskinin paralellik aksiomunun müddəaları yalnız hansısa a xətti və bu xətt üzərində olmayan A nöqtəsi üçün deyil, həm də hər hansı a xətti və onun üzərində olmayan istənilən A nöqtəsi üçün də təmin edilir (Şəkil 2-yə baxın).

Lobaçevskinin həndəsəsindən sonra başqa ardıcıl həndəsələr yarandı: Evkliddən ayrılmış proyektiv həndəsə, çoxölçülü Evklid həndəsəsi yarandı, Riman həndəsəsi (uzunluqların ölçülməsi üçün ixtiyari qanunu olan fəzaların ümumi nəzəriyyəsi) və s. Üçölçülü fiqurlar elmindən. Evklid məkanı, həndəsə 40 - 50 il ərzində müxtəlif nəzəriyyələr toplusuna çevrildi, yalnız əcdadına - Evklid həndəsəsinə bənzəyir. 60,896.

Bu üsul riyaziyyat və dəqiq elm nəzəriyyələrini qurmaq üçün istifadə olunur. Bu metodun üstünlükləri hələ III əsrdə Evklid tərəfindən elementar həndəsə üzrə biliklər sistemi qurarkən dərk edilmişdir. Nəzəriyyələrin aksiomatik qurulmasında ilkin anlayışların və müddəaların minimum sayı qalanlarından dəqiq fərqləndirilir. Aksiomatik nəzəriyyə elmi sistem kimi başa düşülür ki, onun bütün müddəaları bu sistemdə sübutsuz qəbul edilən və aksiomlar adlanan müəyyən müddəalar toplusundan sırf məntiqlə çıxarılır və bütün məfhumlar qeyri-müəyyən adlanan müəyyən sabit anlayışlar sinfinə endirilir. Aksiomlar sistemi və istifadə olunan məntiqi vasitələrin toplusu - nəticə çıxarma qaydaları müəyyən edilərsə, nəzəriyyə müəyyən edilir. Aksiomatik nəzəriyyədə törəmə anlayışlar əsasların birləşməsinin qısaldılmasıdır. Kombinasiyaların məqbulluğu aksiomalar və nəticə çıxarma qaydaları ilə müəyyən edilir. Başqa sözlə, aksiomatik nəzəriyyələrdə təriflər nominaldır.

Aksiom məntiqi olaraq ondan nəticə kimi alınan digər ifadələrdən daha güclü olmalıdır. Nəzəriyyənin aksiomalar sistemi potensial olaraq onların köməyi ilə sübut oluna bilən bütün nəticələri və ya teoremləri ehtiva edir. Beləliklə, nəzəriyyənin bütün əsas məzmunu onda cəmləşmişdir. Aksiomların və məntiqi nəticə çıxarma vasitələrinin xarakterindən asılı olaraq aşağıdakılar fərqləndirilir:

• 1) aksiomaların ilkin düsturlar olduğu formallaşdırılmış aksiomatik sistemlər və onlardan müəyyən və dəqiq sadalanan çevrilmə qaydalarına uyğun olaraq teoremlər alınır, bunun nəticəsində sistemin qurulması düsturlarla bir növ manipulyasiyaya çevrilir. Nəzəriyyənin ilkin müddəalarını və məntiqi nəticə vasitələrini mümkün qədər dəqiq təqdim etmək üçün bu cür sistemlərə müraciət etmək lazımdır. aksiomalar. Lobaçevskinin Evklidin paralel aksiomunu sübut etmək cəhdlərinin uğursuzluğu onu başqa bir həndəsənin mümkün olduğuna inamına gətirib çıxardı. Əgər o dövrdə aksiomatika və riyazi məntiq təlimi mövcud olsaydı, o zaman səhv sübutlardan asanlıqla qaçmaq olardı;
• 2) məntiqi nəticə çıxarma vasitələrinin nəzərə alınmadığı, lakin məlum olduğu güman edilən yarımformallaşdırılmış və ya mücərrəd aksiomatik sistemlər və aksiomların özləri çoxlu şərhlərə imkan versə də, düstur kimi çıxış etmirlər. Belə sistemlərlə adətən riyaziyyatda məşğul olurlar;
• 3) mənalı aksiomatik sistemlər vahid şərhi qəbul edir və məntiqi nəticə çıxarma vasitələri məlumdur; dəqiq təbiət elmlərində və digər inkişaf etmiş empirik elmlərdə elmi bilikləri sistemləşdirmək üçün istifadə olunur.

Riyazi aksiomaların empirik aksiomalardan əhəmiyyətli fərqi həm də onların nisbi sabitliyə malik olmasıdır, empirik nəzəriyyələrdə isə eksperimental tədqiqatın yeni mühüm nəticələrinin kəşfi ilə onların məzmunu dəyişir. Nəzəriyyələr hazırlayarkən biz daima onlarla birlikdə nəzərə almalıyıq, ona görə də belə elmlərdə aksiomatik sistemlər heç vaxt nə tam, nə də törəmə üçün qapalı ola bilməz.

Aksiomatik metod elmi nəzəriyyələrin deduktiv şəkildə qurulmasının yollarından biridir, burada:
1. sübutsuz qəbul edilən müəyyən nəzəriyyənin (aksiomların) müəyyən müddəaları toplusu seçilir;
2. onlara daxil olan anlayışlar bu nəzəriyyə çərçivəsində dəqiq müəyyən edilməmişdir;
3. nəzəriyyəyə yeni terminlər (anlayışlar) daxil etməyə və digərlərindən bəzi təklifləri məntiqi şəkildə çıxarmağa imkan verən tərif qaydaları və verilmiş nəzəriyyənin seçilməsi qaydaları sabitdir;
4. bu nəzəriyyənin (teorem) bütün digər müddəaları 3 əsasında 1-dən alınır.

Riyaziyyatda AM qədim yunan həndəsələrinin əsərlərində yaranmışdır. Parlaq, 19-cu əsrə qədər yeganə olaraq qaldı. AM istifadə modeli həndəsi idi. kimi tanınan sistemdir Evklidin “Başlanğıcları” (e.ə. 300-cü il). Baxmayaraq ki, o zaman məntiqi təsvir etmək məsələsi hələ ortaya çıxmamışdı. aksiomalardan mənalı nəticələr çıxarmaq üçün istifadə olunan vasitələr, Evklid sistemində həndəsilərin bütün əsas məzmununu əldə etmək ideyası artıq aydın şəkildə həyata keçirilir. həqiqəti aydın görünən müəyyən, nisbətən az sayda ifadələrdən - aksiomlardan sırf deduktiv üsulla nəzəriyyələr.

Başlanğıcda açılış 19-cu əsr N. İ. Lobaçevski və J. Bolyayın qeyri-evklid həndəsəsi AM-nin gələcək inkişafı üçün təkan oldu.Onlar müəyyən etdilər ki, Evklidin inkarı ilə paralellər haqqında adi və görünür, yeganə “obyektiv doğru” V postulatını əvəz edərək, Siz sırf məntiqi inkişaf etdirə bilərsiniz. həndəsi ilə Evklidin həndəsəsi qədər ahəngdar və məzmunca zəngin bir nəzəriyyə. Bu fakt 19-cu əsrin riyaziyyatçılarını məcbur etdi. riyazi qurmağın deduktiv üsuluna xüsusi diqqət yetirin. riyazi riyaziyyatın özü ilə bağlı yeni problemlərin yaranmasına səbəb olan nəzəriyyələr və formal (aksiomatik) riyazi. nəzəriyyələr. Aksiomatik təcrübə toplandıqca. riyazi təqdimat nəzəriyyələr - burada ilk növbədə elementar həndəsənin məntiqi cəhətdən qüsursuz (Evklidin Elementlərindən fərqli olaraq) qurulmasının tamamlanmasını qeyd etmək lazımdır [M. Paş (M. Paş), J. Peano (Q. Peano), D. Hilbert (D. Hilbert)] və arifmetikanı aksiomatlaşdırmaq üçün ilk cəhdlər (J. Peano), - formal aksiomatik anlayışa aydınlıq gətirilmişdir. sistemlər (aşağıya bax); spesifik bir xüsusiyyət meydana çıxdı. deyilənlər əsasında yaranan problemlər sübut nəzəriyyəsi müasir riyaziyyatın əsas bölməsi kimi. məntiq.

Riyaziyyatın əsaslandırılmasının zəruriliyi və bu sahədə konkret tapşırıqların başa düşülməsi artıq 19-cu əsrdə az və ya çox aydın şəkildə yaranmışdır. Eyni zamanda, bir tərəfdən, əsas anlayışların aydınlaşdırılması və daha mürəkkəb anlayışların daha dəqiq və məntiqi olaraq getdikcə daha sərt əsaslarla ən sadəyə endirilməsi Ç. arr. təhlil sahəsində [A.Koşi, B.Bolzano və K.Veyerştrasın funksional-nəzəri konsepsiyaları, Q.Kantor və R.Dedekind (R .Dedekind) kontinuumu]; digər tərəfdən, qeyri-evklid həndəsələrinin kəşfi riyazi riyaziyyatın inkişafına, yeni ideyaların yaranmasına və daha ümumi metariyaziyyatın problemlərinin formalaşmasına təkan verdi. xarakter, ilk növbədə, ixtiyari aksiomatik anlayışı ilə bağlı problemlər. müəyyən aksiomlar sisteminin ardıcıllığı, tamlığı və müstəqilliyi problemləri kimi nəzəriyyələr. Bu sahədə ilk nəticələr təfsir metodu ilə gətirilmişdir ki, bu da təxminən aşağıdakı kimi təsvir edilə bilər. Verilmiş aksiomatikin hər bir ilkin anlayışı və əlaqəsi olsun. T nəzəriyyəsi müəyyən konkret riyazi nəzəriyyə ilə uyğunlaşdırılır. bir obyekt. Belə obyektlərin toplusu deyilir. təfsir sahəsi. T nəzəriyyəsinin hər bir ifadəsi indi təbii olaraq şərh sahəsinin elementləri haqqında doğru və ya yalan ola bilən müəyyən bəyanatla əlaqələndirilir. Sonra T nəzəriyyəsinin müddəasının həmin şərhə uyğun olaraq doğru və ya yalan olduğu deyilir. Şərh sahəsi və onun xassələri adətən riyazi nəzəriyyənin, ümumiyyətlə, başqa bir riyazi nəzəriyyənin nəzərdən keçirilməsi obyektidir. xüsusilə T 1 nəzəriyyəsi də aksiomatik ola bilər. Şərh üsulu bizə nisbi ardıcıllıq faktını aşağıdakı şəkildə qurmağa, yəni “əgər T 1 nəzəriyyəsi ardıcıldırsa, T nəzəriyyəsi də ardıcıldır” kimi müddəaları sübut etməyə imkan verir. T nəzəriyyəsi T 1 nəzəriyyəsində elə şərh edilsin ki, T nəzəriyyəsinin bütün aksiomları T 1 nəzəriyyəsinin həqiqi mühakimələri ilə şərh olunsun. Sonra T nəzəriyyəsinin hər bir teoremi, yəni T-dəki aksiomlardan məntiqi olaraq çıxarılan hər bir A ifadəsi T 1-də aksiomların şərhlərindən T 1-də çıxarılan müəyyən müddəa ilə şərh olunur. A mən, və buna görə də doğrudur. Sonuncu ifadə məntiqin müəyyən oxşarlığını dolayısı ilə etdiyimiz başqa bir fərziyyəyə əsaslanır. nəzəriyyələrin vasitələri T və T 1, lakin praktikada bu şərt adətən yerinə yetirilir. (Tərcümə metodunun tətbiqi zamanı bu fərziyyə hətta xüsusi olaraq düşünülməmişdir: bu, təbii qəbul edilmişdir; əslində, ilk təcrübələr zamanı məntiqin nisbi ardıcıllığına dair teoremlərin sübutları. T və T 1 nəzəriyyələrinin vasitələri sadəcə olaraq üst-üstə düşürdü - bu, predikatların klassik məntiqi idi. ) İndi T nəzəriyyəsi ziddiyyətli olsun, yəni bu nəzəriyyənin bəzi A təsdiqini onun inkarı ilə birlikdə çıxarmaq olar. Onda yuxarıdakılardan belə nəticə çıxır ki, müddəalar və eyni zamanda T 1 nəzəriyyəsinin doğru ifadələri olacaq, yəni T 1 nəzəriyyəsi ziddiyyətlidir. Bu üsul, məsələn, sübut edilmişdir [F. Klein (F. Klein), A. Puancare (N. Puancare)] Evklid həndəsəsinin ardıcıl olduğu fərziyyəsi ilə qeyri-Evklid Lobaçevski həndəsəsinin tutarlılığı; və Evklid həndəsəsinin Hilbert aksiomatizasiyasının ardıcıllığı məsələsi (D.Hilbert) arifmetikanın ardıcıllığı məsələsinə endirildi. Təfsir metodu həm də aksiomlar sistemlərinin müstəqilliyi məsələsini həll etməyə imkan verir: Ateoriya T aksiomunun bu nəzəriyyənin digər aksiomlarından asılı olmadığını, yəni onlardan çıxarıla bilmədiyini sübut etmək və, buna görə də, bu nəzəriyyənin bütün əhatə dairəsini əldə etmək vacibdir, Abil aksiomunun yalan olacağı və bu nəzəriyyənin bütün digər aksiomlarının doğru olacağı T nəzəriyyəsinin belə bir şərhini qurmaq kifayətdir. Müstəqilliyi sübut etməyin bu metodunun başqa bir forması nəzəriyyənin ardıcıllığının müəyyən edilməsidir ki, bu da verilmiş nəzəriyyədə TaxiomA onun inkarı ilə əvəz olunarsa əldə edilir. Yuxarıda qeyd olunan Lobaçevskinin həndəsəsinin ardıcıllığı məsələsinin Evklid həndəsəsinin ardıcıllığı məsələsinə, bu sonuncunun isə hesabın ardıcıllığı məsələsinə endirilməsi, nəticə etibarı ilə Evklidin postulatının ondan çıxarıla bilməməsi fikrini doğurur. arifmetika uyğun deyilsə, həndəsənin digər aksiomları natural ədədlər. Təfsir metodunun zəif cəhəti ondan ibarətdir ki, aksiom sistemlərin ardıcıllığı və müstəqilliyi məsələlərində istər-istəməz yalnız nisbi xarakter daşıyan nəticələr əldə etməyə imkan verir. Lakin bu metodun mühüm nailiyyəti ondan ibarət idi ki, onun köməyi ilə belə bir riyaziyyat elmi kimi hesabın xüsusi rolu kifayət qədər dəqiq əsaslarla aşkar edilmişdir. nəzəriyyələr, bir sıra digər nəzəriyyələr üçün oxşar sual ardıcıllıq məsələsinə endirilir.

Əlavə inkişaf- və müəyyən mənada bu zirvə idi - AM sözdə şəklində D. Hilbert və onun məktəbinin əsərlərində qəbul. üsul formalizm riyaziyyatın əsaslarında. Bu istiqamət çərçivəsində aksiomatik anlayışın aydınlaşdırılmasının növbəti mərhələsi işlənib hazırlanmışdır. nəzəriyyələr, yəni konsepsiya formal sistem. Bu aydınlaşdırma nəticəsində riyazi olanların özünü təmsil etmək mümkün oldu. nəzəriyyələr dəqiq riyazi olaraq obyektləri və ümumi nəzəriyyə qurmaq, və ya metanəzəriyyə, bu kimi nəzəriyyələr. Eyni zamanda, bu yolda riyaziyyatın bünövrəsinin bütün əsas suallarını həll etmək perspektivi şirnikləndirici görünürdü (və D.Hilbert vaxtilə ona valeh olmuşdu). Bu istiqamətin əsas konsepsiyası formal sistem anlayışıdır. İstənilən formal sistem ifadələrin dəqiq müəyyən edilmiş sinfi - düsturlar kimi qurulur ki, burada düsturlar adlanan düsturların alt sinfi müəyyən dəqiq şəkildə fərqləndirilir. bu formal sistemin teoremləri. Eyni zamanda, formal sistemin düsturları birbaşa heç bir məna daşımır və onlar yalnız texniki rahatlıq mülahizələrini rəhbər tutmaqla ixtiyari, ümumiyyətlə desək, nişanlar və ya elementar simvollardan qurula bilər. Əslində, düsturların qurulması metodu və müəyyən bir formal sistemin teoreminin konsepsiyası elə seçilmişdir ki, bütün bu formal aparat müəyyən bir riyazi (və qeyri-riyazi) bir şeyi, bəlkə də daha adekvat və tam şəkildə ifadə etmək üçün istifadə edilə bilər. ) nəzəriyyə, daha doğrusu, faktiki olaraq məzmunu və onun deduktiv strukturu. İxtiyari formal S sisteminin qurulmasının (müəyyənləşdirilməsinin) ümumi sxemi aşağıdakı kimidir.

I. System S dili:

a) əlifba - sistemin elementar simvollarının siyahısı;

b) formalaşma qaydaları (sintaksis) - S sisteminin düsturlarının elementar simvollardan qurulduğu qaydalar; bu halda elementar simvolların ardıcıllığı o halda düstur hesab olunur ki, onu formalaşma qaydalarından istifadə etməklə qurmaq mümkün olsun. .

II. Sistemin aksiomaları S. Müəyyən düsturlar toplusu (adətən sonlu və ya sadalanan) müəyyən edilir ki, bunlar da adlanır. sistemin aksiomaları S.

III. Sistemin çıxarılması qaydaları S. Sistemin bütün düsturlarının çoxluğunda (adətən sonlu) predikatlar dəsti müəyyən edilir S. Qoy - k.-l. bu predikatlardan, əgər ifadə bu düsturlar üçün doğrudursa, o zaman düsturun qaydaya uyğun olaraq birbaşa düsturlardan gəldiyini söyləyirlər.

7. Ehtimal nəzəriyyəsi:

Ehtimal nəzəriyyəsi - təsadüfi hadisələrdə qanunauyğunluqları öyrənən riyazi elm. Ehtimal nəzəriyyəsinin əsas anlayışlarından biri konsepsiyadır təsadüfi hadisə (və ya sadəcə hadisələr ).

Hadisə təcrübə nəticəsində baş verə bilən və ya olmaya bilməyən hər hansı bir faktdır. Təsadüfi hadisələrə misallar: zar atarkən altının düşməsi, texniki cihazın nasazlığı, mesajı rabitə kanalı ilə ötürərkən təhrif edilməsi. Bəzi hadisələrlə əlaqələndirilir nömrələri , bu hadisələrin baş verməsinin obyektiv mümkün dərəcəsini xarakterizə edən, adlanır hadisələrin ehtimalları .

“Ehtimal” anlayışına bir neçə yanaşma var.

Ehtimal nəzəriyyəsinin müasir konstruksiyasına əsaslanır aksiomatik yanaşma və çoxluqlar nəzəriyyəsinin elementar konsepsiyalarına əsaslanır. Bu yanaşma çoxluq-nəzəri adlanır.

Təsadüfi nəticə ilə bəzi təcrübə aparılsın. Təcrübənin bütün mümkün nəticələrinin W çoxluğunu nəzərdən keçirək; onun hər bir elementini çağıracağıq elementar hadisə və Ω dəstidir elementar hadisələrin məkanı. İstənilən hadisə Açoxluq-nəzəri şərhdə Ω çoxluğunun müəyyən alt çoxluğu var: .

Etibarlı hər təcrübədə baş verən W hadisəsi adlanır.

Mümkün deyil təcrübə nəticəsində baş verə bilməyən Æ hadisəsi adlanır.

Uyğun deyil bir təcrübədə eyni vaxtda baş verə bilməyən hadisələrdir.

Məbləğ iki hadisənin (birləşməsi). A Və B(ifadə olunur A+B, AÈ B) hadisələrdən ən azı birinin baş verməsindən ibarət olan hadisədir, yəni. A və ya B, və ya hər ikisi eyni anda.

İş iki hadisənin (kəsişməsi). A Və B(ifadə olunur A× B, AÇ B) hər iki hadisənin baş verdiyi hadisədir A Və B birlikdə.

Qarşıda tədbirə A belə bir hadisə deyilir ki, bu hadisədir A baş vermir.

Hadisələr A k(k=1, 2, …, n) forma tam qrup , əgər onlar qoşa uyğunsuzdursa və ümumilikdə etibarlı hadisə təşkil edirsə.

Hadisənin baş vermə ehtimalıA onlar bu hadisə üçün əlverişli olan nəticələrin sayının tam qrupu təşkil edən bütün eyni dərəcədə mümkün uyğun gəlməyən elementar nəticələrin ümumi sayına nisbəti adlandırırlar. Deməli, A hadisəsinin baş vermə ehtimalı düsturla müəyyən edilir

burada m A üçün əlverişli elementar nəticələrin sayıdır; n bütün mümkün elementar test nəticələrinin sayıdır.

Burada elementar nəticələrin uyğunsuz, eyni dərəcədə mümkün olduğu və tam bir qrup təşkil etdiyi güman edilir. Aşağıdakı xüsusiyyətlər ehtimalın tərifindən irəli gəlir:
Öz məqaləsi 1. Etibarlı bir hadisənin ehtimalı birə bərabərdir. Həqiqətən, əgər hadisə etibarlıdırsa, testin hər bir elementar nəticəsi hadisəyə üstünlük verir. Bu halda m = n, deməli,

P (A) = m / n = n / n = 1.

S təxminən 2 ilə t ilə. Mümkün olmayan bir hadisənin baş vermə ehtimalı sıfırdır. Həqiqətən, əgər bir hadisə mümkün deyilsə, testin elementar nəticələrinin heç biri hadisəyə üstünlük vermir. Bu halda m = 0, deməli,

P (A) = m / n = 0 / n = 0.

Təxminən t ilə təxminən 3-də. Təsadüfi hadisənin baş vermə ehtimalı sıfırdan birə qədər olan müsbət ədəddir.Həqiqətən, təsadüfi bir hadisə yalnız bir hissəsinə üstünlük verir ümumi sayı elementar test nəticələri. Bu halda 0< m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно,

0 <Р (А) < 1

Deməli, hər hansı hadisənin baş vermə ehtimalı ikiqat bərabərsizliyi ödəyir