Unikal dəyərlər verən tərs funksiyalar. §7

Fərz edək ki, müəyyən bir y = f (x) funksiyamız var ki, o, x ∈ a tərif dairəsi üzrə qəti şəkildə monoton (azalan və ya artan) və davamlıdır; b ; onun dəyər diapazonu y ∈ c ; d və c intervalında; d bu halda x = g (y) təyin olunmuş funksiyaya sahib olacağıq, a dəyərlər diapazonu ilə; b. İkinci funksiya da davamlı və ciddi monoton olacaq. y = f (x) ilə bağlı tərs funksiya olacaq. Yəni y = f (x) açıq olduqda tərs funksiyadan x = g (y) danışa bilərik verilmiş interval ya azalacaq, ya da artacaq.

Bu iki funksiya, f və g, qarşılıqlı tərs olacaq.

Niyə bizə tərs funksiyalar anlayışı lazımdır?

Bu ifadələrdən istifadə edərək dəqiq yazılan y = f (x) tənliklərini həll etmək üçün bizə bu lazımdır.

Tutaq ki, cos (x) = 1 3 tənliyinin həllini tapmalıyıq. Onun həlləri bütün nöqtələr olacaq: x = ± a rc c o s 1 3 + 2 π · k, k ∈ Z

Məsələn, tərs kosinus və kosinus funksiyaları bir-birinə tərs olacaq.

Verilmişlərə tərs olan funksiyaları tapmaq üçün bir neçə məsələyə baxaq.

Misal 1

Vəziyyət: y = 3 x + 2 üçün tərs funksiya nədir?

Həll

Şərtdə göstərilən funksiyanın təriflər sahəsi və dəyər diapazonu bütün həqiqi ədədlərin çoxluğudur. Bu tənliyi x vasitəsilə, yəni x-i y vasitəsilə ifadə etməklə həll etməyə çalışaq.

Biz x = 1 3 y - 2 3 alırıq. Bu bizə lazım olan tərs funksiyadır, lakin y burada arqument, x isə funksiya olacaq. Daha tanış nota almaq üçün onları yenidən təşkil edək:

Cavab: y = 1 3 x - 2 3 funksiyası y = 3 x + 2-nin tərsi olacaq.

Hər ikisi qarşılıqlıdır tərs funksiyalar aşağıdakı kimi tərtib edilə bilər:

Hər iki qrafikin y = x ilə bağlı simmetriyasını görürük. Bu xətt birinci və üçüncü kvadrantların bissektrisasıdır. Nəticə qarşılıqlı tərs funksiyaların xassələrindən birinin sübutudur ki, bundan sonra bundan sonra danışacağıq.

Verilmiş eksponensial funksiyanın tərsi olan loqarifmik funksiyanı tapmalı olduğumuz bir nümunə götürək.

Misal 2

Vəziyyət: y = 2 x üçün hansı funksiyanın tərs olacağını müəyyən edin.

Həll

Verilmiş funksiya üçün tərif sahəsi bütün həqiqi ədədlərdir. Dəyərlər diapazonu 0 intervalındadır; + ∞ . İndi x-i y ifadəsi ilə ifadə etmək, yəni göstərilən tənliyi x-ə görə həll etmək lazımdır. Biz x = log 2 y alırıq. Dəyişənləri yenidən yerləşdirək və y = log 2 x əldə edək.

Nəticə olaraq, bütün tərif sahəsi boyunca bir-birinə tərs olacaq eksponensial və loqarifmik funksiyalar əldə etdik.

Cavab: y = log 2 x .

Qrafikdə hər iki funksiya belə görünəcək:

Qarşılıqlı tərs funksiyaların əsas xassələri

Bu paraqrafda biz qarşılıqlı tərs olan y = f (x) və x = g (y) funksiyalarının əsas xassələrini sadalayırıq.

Tərif 1

Biz artıq birinci xassəni daha əvvəl əldə etmişik: y = f (g (y)) və x = g (f (x)).
İkinci xüsusiyyət birincidən irəli gəlir: y = f (x) tərif sahəsi x = g (y) tərs funksiyasının dəyər diapazonu ilə üst-üstə düşəcək və əksinə.
Tərs olan funksiyaların qrafikləri y = x-ə nisbətən simmetrik olacaqdır.
Əgər y = f (x) artırsa, x = g (y) artacaq və y = f (x) azalırsa, x = g (y) də azalacaq.

Biz sizə funksiyaların tərif sahəsi və məna sahəsi anlayışlarına diqqətlə yanaşmağı və onları heç vaxt qarışdırmamağı məsləhət görürük. Fərz edək ki, y = f (x) = a x və x = g (y) = log a y iki qarşılıqlı tərs funksiyamız var. Birinci xassə görə y = f (g (y)) = a log a y. Bu bərabərlik yalnız y-nin müsbət qiymətləri olduqda doğru olacaq və mənfi dəyərlər üçün loqarifm müəyyən edilməyib, ona görə də log a y = y olduğunu yazmağa tələsməyin. Bunun yalnız y müsbət olduqda doğru olduğunu yoxlamaq və əlavə etməkdən əmin olun.

Lakin x = f (g (x)) = log a a x = x bərabərliyi x-in istənilən real dəyəri üçün doğru olacaqdır.

Xüsusilə triqonometrik və tərs triqonometrik funksiyalarla işləməlisinizsə, bu məqamı unutmayın. Deməli, a r c sin sin 7 π 3 ≠ 7 π 3, çünki arksinus diapazonu π 2-dir; π 2 və 7 π 3 ona daxil deyil. Düzgün giriş olacaq

a r c sin sin 7 π 3 = a r c sin sin 2 π + π 3 = = a r c sin sin π 3 = π 3

Amma sin a r c sin 1 3 = 1 3 düzgün bərabərlikdir, yəni. sin (a r c sin x) = x üçün x ∈ - 1 ; 1 və x ∈ - π 2 üçün a r c sin (sin x) = x; π 2. Həmişə tərs funksiyaların diapazonu və əhatə dairəsi ilə diqqətli olun!

Əsas qarşılıqlı tərs funksiyalar: güc funksiyaları

Əgər y = x a güc funksiyamız varsa, onda x > 0 üçün x = y 1 a güc funksiyası da onun tərsi olacaq. Hərfləri əvəz edək və müvafiq olaraq y = x a və x = y 1 a alaq.

Qrafikdə onlar belə görünəcək (müsbət və mənfi a əmsalı olan hallar):

Əsas qarşılıqlı tərs funksiyalar: eksponensial və loqarifmik

1-ə bərabər olmayan müsbət ədəd olacaq a götürək.

a > 1 və a olan funksiyalar üçün qrafiklər< 1 будут выглядеть так:

Əsas qarşılıqlı tərs funksiyalar: triqonometrik və tərs triqonometrik

Əgər biz əsas qolun sinusunu və arksinüsünü çəksək, bu belə görünəcək (vurğulanmış işıq sahəsi kimi göstərilir).

y=f(x) funksiyası olsun, X onun təyinetmə oblastıdır, Y onun qiymət diapazonudur. Biz bilirik ki, hər bir x 0  vahid y 0 =f(x 0), y 0 Y qiymətinə uyğundur.

Belə çıxa bilər ki, hər bir y (və ya onun hissəsi  1) də X-dən tək bir x-ə uyğun gəlir.

Sonra deyirlər ki,  (və ya onun   hissəsi) bölgəsində x=y funksiyası y=f(x) funksiyası üçün tərs funksiya kimi təyin olunur.

Misal üçün:

X =(); Y=$

Bu funksiya $X$ intervalında azalan və davamlı olduğundan, sonra $Y=$ intervalında, bu intervalda da azalan və davamlıdır (Teorem 1).

$x$ hesablayaq:

\ \

Uyğun $x$ seçin:

Cavab: tərs funksiya $y=-\sqrt(x)$.

Tərs funksiyaların tapılması üzrə problemlər

Bu hissədə bəzi elementar funksiyalar üçün tərs funksiyaları nəzərdən keçirəcəyik. Yuxarıda göstərilən sxemə uyğun olaraq problemləri həll edəcəyik.

Misal 2

$y=x+4$ funksiyası üçün tərs funksiyanı tapın

$y=x+4$ tənliyindən $x$ tapaq:

Misal 3

$y=x^3$ funksiyası üçün tərs funksiyanı tapın

Həll.

Funksiya bütün tərif sahəsi üzrə artan və davamlı olduğundan, Teorem 1-ə əsasən, onun üzərində tərs davamlı və artan funksiya var.

$y=x^3$ tənliyindən $x$ tapaq:

$x$ uyğun dəyərlərin tapılması

Dəyər bizim vəziyyətimizə uyğundur (çünki tərif sahəsi bütün rəqəmlərdir)

Dəyişənləri yenidən təyin edək, tərs funksiyanın formasına malik olduğunu alırıq

Misal 4

$$ intervalında $y=cosx$ funksiyası üçün tərs funksiyanı tapın

Həll.

$X=\left$ çoxluğunda $y=cosx$ funksiyasını nəzərdən keçirək. O, $X$ çoxluğunda davamlı və azalandır və $X=\left$ çoxluğunu $Y=[-1,1]$ çoxluğuna uyğunlaşdırır, buna görə də tərs davamlı monoton funksiyanın mövcudluğu haqqında teoremlə, $ Y$ çoxluğunda $y=cosx$ funksiyası tərs funksiya var ki, o da $Y=[-1,1]$ çoxluğunda davamlı və artandır və $[-1,1]$ çoxluğunu xəritələşdirir. $\left$ dəstinə.

$y=cosx$ tənliyindən $x$ tapaq:

$x$ uyğun dəyərlərin tapılması

Dəyişənləri yenidən təyin edək, tərs funksiyanın formasına malik olduğunu alırıq

Misal 5

$\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ intervalında $y=tgx$ funksiyası üçün tərs funksiyanı tapın.

Həll.

$X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ dəstində $y=tgx$ funksiyasını nəzərdən keçirək. O, $X$ dəstində davamlıdır və artır və $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ dəstini $Y dəsti ilə əlaqələndirir. =R$ deməli, tərs davamlı monoton funksiyanın mövcudluğu haqqında teoremlə $Y$ çoxluğunda $y=tgx$ funksiyası tərs funksiyaya malikdir, o da $Y=R çoxluğunda davamlı və artandır. $ və $R$ dəstini $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ dəsti ilə əlaqələndirir

$y=tgx$ tənliyindən $x$ tapaq:

$x$ uyğun dəyərlərin tapılması

Dəyişənləri yenidən təyin edək, tərs funksiyanın formasına malik olduğunu alırıq

Transkript

1 Qarşılıqlı tərs funksiyalar Əgər y=f(x) və x=g(y) düsturları x və y dəyişənləri arasında eyni əlaqəni ifadə edirsə, f və g iki funksiyası qarşılıqlı tərs adlanır, yəni. əgər y=f(x) bərabərliyi doğrudursa və yalnız x=g(y) bərabərliyi doğrudursa: y=f(x) x=g(y) Əgər f və g iki funksiyası qarşılıqlı tərsdirsə, onda g f üçün tərs funksiya adlanır və əksinə, f g üçün tərs funksiyadır. Məsələn, y=10 x və x=lgy qarşılıqlı tərs funksiyalardır. Qarşılıqlı tərs funksiyanın mövcudluğu şərti Əgər y=f(x) münasibətindən x dəyişənini y vasitəsilə unikal şəkildə ifadə etmək olarsa, f funksiyası tərs funksiyaya malikdir. Elə funksiyalar var ki, onlar üçün arqumenti funksiyanın verilmiş qiyməti vasitəsilə birmənalı şəkildə ifadə etmək mümkün deyil. Məsələn: 1. y= x. Verilmiş müsbət y ədədi üçün x arqumentinin iki dəyəri var ki, x = y olsun. Məsələn, əgər y=2, onda x=2 və ya x= - 2. Bu o deməkdir ki, y vasitəsilə x-i birmənalı şəkildə ifadə etmək mümkün deyil. Buna görə də bu funksiyanın qarşılıqlı təsiri yoxdur. 2. y=x 2. x=, x= - 3. y=sinx. Verilmiş y (y 1) dəyəri üçün x-in sonsuz sayda dəyəri var ki, y=sinx olsun. Əgər hər bir y=y 0 düz xətti y=f(x) funksiyasının qrafikini birdən çox olmayan nöqtədə kəsərsə, y=f(x) funksiyasının tərsi olur (əgər y 0 olarsa, qrafiki ümumiyyətlə kəsməyə bilər). f) funksiyasının qiymət diapazonuna aid deyil. Bu şərti fərqli formalaşdırmaq olar: hər y 0 üçün f(x)=y 0 tənliyinin ən çoxu bir həlli var. Funksiya ciddi şəkildə artır və ya ciddi şəkildə azalırsa, funksiyanın tərsinə malik olması şərti mütləq yerinə yetirilir. Əgər f ciddi şəkildə artırsa, arqumentin iki fərqli dəyəri üçün fərqli dəyərlər alır, çünki arqumentin daha böyük dəyəri funksiyanın daha böyük dəyərinə uyğundur. Nəticə etibarilə, ciddi monoton funksiya üçün f(x)=y tənliyinin ən çox bir həlli var. y=a x eksponensial funksiyası ciddi monotondur, ona görə də tərs loqarifmik funksiyaya malikdir. Bir çox funksiyaların tərs funksiyaları yoxdur. Əgər bəzi b üçün f(x)=b tənliyinin birdən çox həlli varsa, y=f(x) funksiyasının tərsi yoxdur. Qrafikdə bu o deməkdir ki, y=b xətti funksiyanın qrafikini birdən çox nöqtədə kəsir. Məsələn, y=x 2 ; y=sinx; y=tgx.

2 f(x) = b tənliyinin həllinin qeyri-müəyyənliyi f funksiyasının tərif sahəsini onun dəyər diapazonunun dəyişməməsi, lakin hər bir dəyəri bir dəfə qəbul etməsi üçün azaltmaqla həll edilə bilər. Məsələn, y=x 2, x 0; y=sinx, ; y=tgx,. Funksiya üçün tərs funksiyanın tapılmasının ümumi qaydası: 1. x üçün tənliyi həll edərək tapırıq; 2. x dəyişəninin təyinatını y-yə, y-ni isə x-ə dəyişərək, verilənin tərs funksiyasını alırıq. Qarşılıqlı tərs funksiyaların xassələri Eyniliklər f və g qarşılıqlı tərs funksiyalar olsun. Bu o deməkdir ki, y=f(x) və x=g(y) bərabərlikləri ekvivalentdir: f(g(y))=y və g(f(x))=x. Məsələn, 1. Qoy f eksponensial, g isə loqarifmik funksiya olsun. Alırıq: i. 2. y=x2, x0 və y= funksiyaları qarşılıqlı tərsdir. Bizim iki eyniliyimiz var: və x 0 üçün. Tərif sahəsi f və g qarşılıqlı tərs funksiyalar olsun. f funksiyasının təyin oblastı g funksiyasının təyin olunduğu sahə ilə, əksinə, f funksiyasının oblastı ilə g funksiyasının oblastı üst-üstə düşür. Misal. Eksponensial funksiyanın tərif sahəsi bütün R ədədi oxudur və onun dəyər diapazonu bütün müsbət ədədlərin çoxluğudur. Loqarifmik funksiya üçün bunun əksinədir: tərif dairəsi bütün müsbət ədədlərin çoxluğudur və qiymətlər diapazonu bütün R çoxluğudur. Monotonluq Əgər qarşılıqlı tərs funksiyalardan biri ciddi şəkildə artırsa, o zaman digəri ciddi şəkildə artır. Sübut. Qoy x 1 və x 2 g funksiyasının təyini sahəsində yerləşən iki ədəd və x 1 olsun.

3 Qarşılıqlı tərs funksiyaların qrafikləri Teorem. f və g qarşılıqlı tərs funksiyalar olsun. y=f(x) və x=g(y) funksiyalarının qrafikləri how bucağının bissektrisasına görə bir-birinə simmetrikdir. Sübut. Qarşılıqlı tərs funksiyaların tərifi ilə y=f(x) və x=g(y) düsturları x və y dəyişənləri arasında eyni asılılığı ifadə edir, yəni bu asılılıq hansısa C əyrisinin eyni qrafiki ilə təsvir olunur. C əyrisi y=f(x) funksiyalarının qrafikidir. İxtiyari P(a; b) C nöqtəsini götürək. Bu o deməkdir ki, b=f(a) və eyni zamanda a=g(b). Xy bucağının bissektrisasına nisbətən P nöqtəsinə simmetrik Q nöqtəsi quraq. Q nöqtəsinin koordinatları (b; a) olacaqdır. a=g(b) olduğundan Q nöqtəsi y=g(x) funksiyasının qrafikinə aiddir: doğrudan da, x=b üçün y=a-nın qiyməti g(x)-ə bərabərdir. Beləliklə, C əyrisinin göstərilən düz xəttə nisbətən nöqtələrinə simmetrik olan bütün nöqtələr y=g(x) funksiyasının qrafikində yerləşir. Qrafikləri qarşılıqlı tərs olan funksiyalara nümunələr: y=e x və y=lnx; y=x 2 (x 0) və y= ; y=2x 4 və y= +2.

4 Tərs funksiyanın törəməsi f və g qarşılıqlı tərs funksiyalar olsun. y=f(x) və x=g(y) funksiyalarının qrafikləri how bucağının bissektrisasına görə bir-birinə simmetrikdir. x=a nöqtəsini götürək və bu nöqtədə funksiyalardan birinin qiymətini hesablayaq: f(a)=b. Sonra tərs funksiyanın tərifinə görə g(b)=a. (a; f(a))=(a; b) və (b; g(b))=(b; a) nöqtələri l düz xəttinə görə simmetrikdir. Əyrilər simmetrik olduğundan, onlara toxunan l düz xəttinə nisbətən simmetrikdir. Simmetriyadan xətlərdən birinin x oxu ilə bucağı digər xəttin y oxu ilə bucağına bərabərdir. Düz xətt x oxu ilə α bucağı əmələ gətirirsə, onda onun bucaq əmsalı k 1 =tgα-ya bərabərdir; onda ikinci düz xəttin bucaq əmsalı k 2 =tg(α)=ctgα= olur. Beləliklə, l düz xəttinə nisbətən simmetrik olan xətlərin bucaq əmsalları qarşılıqlı tərsdir, yəni. k 2 = və ya k 1 k 2 =1. Törəmələrə keçərək və tangensin yamacının təmas nöqtəsindəki törəmənin dəyəri olduğunu nəzərə alaraq belə nəticəyə gəlirik: Müvafiq nöqtələrdə qarşılıqlı tərs funksiyaların törəmələrinin dəyərləri qarşılıqlı tərsdir, yəni. 1. İsbat edin ki, f(x) = x 3 funksiyası geri çevrilir. Həll. y=f(x)=x 3. Tərs funksiya y=g(x)= funksiyası olacaq. g: funksiyasının törəməsini tapaq. Bunlar. =. Tapşırıq 1. Düsturla verilmiş funksiyanın tərsinə çevrildiyini sübut edin 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

5 Misal 2. y=2x+1 funksiyasının tərs funksiyasını tapın. Həll. y=2x+1 funksiyası artır, ona görə də onun tərsi var. y vasitəsilə x-i ifadə edək: əldə edirik.. Ümumi qəbul edilmiş qeydlərə keçək, Cavab: Tapşırıq 2. Bu funksiyalar üçün tərs funksiyaları tapın 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

Mühazirə 20 TÖRƏMƏK KOMPLEKS FUNKSİYA HAQQINDA TEOREM. y = f(u) və u= u(x) olsun. x arqumentindən asılı olaraq y funksiyasını alırıq: y = f(u(x)). Sonuncu funksiya funksiyadan və ya mürəkkəb funksiyadan olan funksiya adlanır.

Fəsil 9 Dərəcə Tam göstərici ilə dərəcə. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0 ; > >.. >. Əgər bərabərdirsə, onda ()< (). Например, () 0 = 0 < 0 = = () 0. Если нечетно, то () >(). Məsələn, () = > = = (), belə

Nəyi öyrənəcəyik: Mövzu üzrə dərs: Monotonluq üçün funksiyanın öyrənilməsi. Artan və azalan funksiyalar. Funksiyanın törəməsi və monotonluğu arasında əlaqə. Monotonluq haqqında iki mühüm teorem. Nümunələr. Uşaqlar, biz

Xətti tənlik a x = b var: unikal həll, a 0 üçün; sonsuz həllər toplusu, a = 0, b = 0; a = 0, b 0 üçün həlli yoxdur. ax 2 + bx + c = 0 kvadrat tənliyində: iki fərqli

6 Törəmə anlayışına aparan problemlər Let maddi nöqtə s f (t) qanununa uyğun olaraq bir istiqamətdə düz xəttlə hərəkət edir, burada t vaxt, s isə yoldur, nöqtəsi ilə keçilə bilər zamanı t Müəyyən bir məqamı qeyd edək

“TÖRƏVVƏ” RİYAZİYYATI 11-ci sinif (əsas) Şagirdlər bilməli/başa düşməlidirlər: Törəmə anlayışı. Törəmənin tərifi. Cəmin, fərqin, hasilin törəmələrinin tapılması üçün teoremlər və qaydalar

Törəmənin həndəsi mənası y=f(x) funksiyasının qrafikini və P 0 (x 0 ; f(x 0)) nöqtəsindəki tangensi nəzərdən keçirək. Bu nöqtədə qrafikə toxunan meylin mailliyini tapaq. Tangensin meyl bucağı P 0

Müxtəlif məsələlərdə kvadrat funksiya Dixtyar MB Əsas məlumat Kvadrat funksiya (kvadrat üçhəcmli) y ax bx c formasının funksiyasıdır, burada abc, verilmiş ədədlər və Kvadrat funksiyalar saat

TÖRƏVVƏ FUNKSİYA ANLAYIŞI X çoxluğunda müəyyən edilmiş funksiya olsun və X nöqtəsi X qonşuluğu olan nöqtələrin daxili nöqtəsi olsun. İstənilən nöqtəni götürün və onu çağırılan ilə işarələyin.

Mühazirə 5 Əsas elementar funksiyaların törəmələri Xülasə: Bir dəyişənli funksiyanın törəməsinin fiziki və həndəsi şərhləri verilir.Funksiyaların diferensiallaşdırılmasına dair nümunələr və qaydalar nəzərdən keçirilir.

1 S.A.Lavrençenko Mühazirə 12 Tərs funksiyalar 1 Tərs funksiya anlayışı Tərif 11 Funksiya birdən çox qiymət almırsa, birdən-birə adlanır.

Riyaziyyat və Ali Riyaziyyatın İnformatika Elementləri Bölməsi Tədris-metodika kompleksi distant texnologiyalardan istifadə etməklə təhsil alan orta ixtisas təhsili müəssisələrinin tələbələri üçün Modul Diferensial hesablar Tərtib edən:

Fəsil 5 Teylor düsturundan istifadə edərək funksiyaların tədqiqi Funksiyanın yerli ekstremumu Tərif Funksiya = f (c nöqtəsində lokal maksimuma (minimuma) çatır, əgər δ > müəyyən etmək mümkündürsə, onun artımı

MODUL “Davamlılığın və törəmənin tətbiqi. Törəmənin funksiyaların öyrənilməsində tətbiqi”. Davamlılığın tətbiqi.. İnterval üsulu.. Qrafikə tangens. Laqranj düsturu. 4. Törəmənin tətbiqi

Mühazirə 9. Yüksək tərtibli törəmələr və diferensiallar, onların xassələri. Funksiyanın ekstremal nöqtələri. Fermat və Rol teoremləri. y funksiyası hansısa [b] intervalında diferensiallana bilsin. Bu halda, onun törəməsi

Riyaziyyat və informatika kafedrası Riyazi analiz Distant texnologiyalardan istifadə etməklə təhsil alan ali təhsil müəssisələrinin tələbələri üçün tədris-metodiki kompleks Modul 4 Törəmə tətbiqləri Tərtib edən: dosent

Fəsil 1. Limitlər və davamlılıq 1. Ədədi çoxluqlar 1 0. Həqiqi rəqəmlər Məktəb riyaziyyatından bilirsiniz təbii N tam ədədləri Z rasional Q və həqiqi R ədədləri Təbii və tam ədədlər

Mühazirə 19 TÖRƏVVƏ VƏ ONUN TƏTBİQİ. TÖRƏMƏNİN TƏRİFİ. Hansısa intervalda müəyyən edilmiş y=f(x) funksiyası olsun. Bu intervaldan x arqumentinin hər bir qiyməti üçün y=f(x) funksiyası

Diferensial hesab Əsas anlayışlar və düsturlar Tərif 1 Funksiyanın nöqtədə törəməsi, arqumentin artımı şərti ilə funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinin həddidir.

Mövzu 8. Eksponensial və loqarifmik funksiyalar. 1. Eksponensial funksiya, onun qrafiki və xassələri Təcrübədə y=2 x,y=10 x,y=(1 2x),y=(0,1) x və s. funksiyalarından, yəni funksiyasından tez-tez istifadə olunur. y=a x forması,

44 Nümunə Kompleks funksiyanın tam törəməsini tapın = sin v cos w burada v = ln + 1 w= 1 (9) düsturundan istifadə etməklə d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 İndi kompleksin tam diferensialını tapın. funksiyası f

Müstəqil həll üçün tapşırıqlar. 6x funksiyasının oblastını tapın. Funksiya qrafikinin M (;) nöqtəsindən keçən tangensin x oxuna meyl bucağının tangensini tapın. Bucağın tangensini tapın

Mövzu Ədədi funksiya, onun xassələri və qrafiki Ədədi funksiya anlayışı Funksiyanın tərifi və qiymətlər çoxluğu sahəsi X ədədi çoxluğu verilsin Hər bir X rəqəmini unikal bir rəqəmlə əlaqələndirən qayda

23-cü mühazirə AYIRMA NÖQTƏSİNİN QRAFİNİN QABAR VƏ BUĞAĞLIĞI y=f(x) funksiyasının qrafiki (a; b) intervalında qabarıq adlanırsa, o, bu intervalda onun hər hansı bir tangensindən aşağıda yerləşirsə Qrafik.

Mövzu Limitlər nəzəriyyəsi Praktiki dərs Say ardıcıllığı Ədəd ardıcıllığının tərifi Məhdud və məhdud olmayan ardıcıllıqlar Monoton ardıcıllıqlar Sonsuz kiçik

Ədədi funksiyalar və ədədi ardıcıllıqlar D. V. Lytkina NPP, I semestr D. V. Lytkina (SibGUTI) AES-in riyazi təhlili, I semestr 1 / 35 Mündəricat 1 Ədədi funksiya Funksiya anlayışı Ədədi funksiyalar.

“TÖRƏVVƏ” RİYAZİYYAT sinfi (profil) mövzusu üzrə tapşırıqlar bankı Şagirdlər bilməli/başa düşməlidirlər: Törəmə anlayışı. Törəmənin tərifi. Cəmin, fərqin, hasilin törəmələrinin tapılması üçün teoremlər və qaydalar

Â. À. TƏHLÜKƏLƏRİN ÖLÇÜLMƏSİ: ÇƏRÇİVƏNİN ÇƏRÇİVƏSİ. SPO ÜÇÜN CV TƏDRİS TƏLİMATI - Rusiya Elmlər Akademiyası tərəfindən düzəliş edilmiş və əlavə edilmiş nəşr

A.V. Zemlyanko riyaziyyat. Cəbr və təhlilin prinsipləri Voronej MÜNDƏRİCAT MÖVZU 1. FUNKSİYANIN ƏSAS XÜSUSİYYƏTLƏRİ... 6 1.1. Ədədi funksiya... 6 1.2. Funksiya qrafiki... 9 1.3. Funksiya qrafikləri çevrilir...

Mövzu. Funksiya. Tapşırıq üsulları. Gizli funksiya. Tərs funksiya. Funksiyaların təsnifatı Çoxluqlar nəzəriyyəsinin elementləri. Əsas anlayışlar Müasir riyaziyyatın əsas anlayışlarından biri də çoxluq anlayışıdır.

D R ədədi çoxluğu verilsin.Hər bir x D ədədi əlaqələndirilirsə tək y, onda D çoxluğunda ədədi funksiyanın verildiyini deyirlər: y = f (x), x D. D çoxluğu adlanır.

Bir neçə dəyişənli funksiyalar 11. Bir neçə dəyişənli funksiyanın tərifi. FNP-nin limiti və davamlılığı 1. Bir neçə dəyişənli funksiyanın tərifi TƏYİF. X = ( 1 n i X i R ) U R. Funksiya olsun

BÜTÜN RİYAZİYYAT Y.L.Kalinovski Mündəricat 1 Funksiyaların qrafikləri. I hissə................................. 5 1.1 Giriş 5 1.1.1 Çoxluq anlayışı.. ........................................... 5 1.1.

Praktik iş 6 Mövzu: “Funksiyaların tam öyrənilməsi. Qrafiklərin çəkilməsi" İşin məqsədi: ümumi sxem üzrə funksiyaları tədqiq etməyi və qrafiklər qurmağı öyrənin. İşi tamamlamaq nəticəsində tələbə aşağıdakıları etməlidir:

Fəsil 8 Funksiyalar və qrafiklər Dəyişənlər və onlar arasındakı asılılıqlar. İki kəmiyyət onların nisbəti sabitdirsə, düz mütənasib adlanır, yəni = olduqda, dəyişmə ilə dəyişməyən sabit ədəddir.

MÜHAZİRƏ 2. K ölçüsünün alt fəzaları ilə əməliyyatlar, əsasların sayı, əsasların sayı və alt fəzaların sayı. 2-ci mühazirənin əsas nəticələri. 1) U V, U + V, dim(u + V). 2) F 4 2-də təyyarələrin sayının hesablanması.

Sual 5. Funksiya, tapşırılma üsulları. Elementar funksiyaların nümunələri və onların qrafikası. İki ixtiyari çoxluq X və Y verilsin Funksiya X çoxluğundakı hər bir elementin tapıla biləcəyi qaydadır.

Mühazirə 4 REALIN ƏDƏD FUNKSİYALARI DƏYİŞƏN Konsepsiya funksiyalar Funksiyanı təyin etmək üsulları Funksiyaların əsas xassələri Kompleks funksiya 4 Tərs funksiya Funksiya anlayışı Funksiyanı təyin etmək üsulları D

Mühazirələr Fəsil Bir neçə dəyişənin funksiyaları Əsas anlayışlar Bir neçə dəyişənin bəzi funksiyaları yaxşı məlumdur Gəlin bir neçə misal verək Üçbucağın sahəsini hesablamaq üçün Heronun S düsturu məlumdur.

Funksiyaların davamlılığı Bir nöqtədə funksiyanın davamlılığı Birtərəfli limitlər Tərif A rəqəmi f(x) funksiyasının soldan həddi adlanır, çünki x a-a meyl edir, hər hansı bir ədəd üçün belə bir ədəd mövcuddur.

Tədqiqat işi Riyaziyyat “Tənliklərin həlli üçün funksiyanın ekstremal xassələrinin tətbiqi” Tamamladı: Yelena Qudkova, şəhər qəsəbəsi “G” MBOU tam orta məktəbinin “G” sinif şagirdi. Anna Baş:

Federal Təhsil Agentliyi ----- Sankt-Peterburq DÖVLƏT POLİTEXNIK UNİVERSİTETİ AI Surygin EF İzotova OA Novikova TA Çaikina RİYAZİYYAT Elementar funksiyalar və onların qrafikləri Təhsil

BİR NEÇƏ DƏYƏNƏNLƏRİN FUNKSİYALARI Bir müstəqil dəyişənin funksiyaları təbiətdə mövcud olan bütün asılılıqları əhatə etmir. Ona görə də məlum funksional asılılıq anlayışını genişləndirmək və təqdim etmək təbiidir

Funksiya Funksiya anlayışı Funksiyanı təyin etmək üsulları Funksiyanın xarakteristikaları Tərs funksiya Funksiyanın həddi Funksiyanın nöqtədəki həddi Birtərəfli limitlər Funksiyanın x nöqtəsində həddi Sonsuz əla funksiya 4 Mühazirə

Bölmə Bir və bir neçə dəyişənli funksiyaların diferensial hesabı Həqiqi arqument funksiyası Həqiqi ədədlər Müsbət tam ədədlərə natural ədədlər deyilir Natural ədədlərə əlavə edin

Sergey A Belyaev səhifə 1 Riyazi minimum 1-ci hissə Nəzəri 1 Tərif düzgündürmü?İki tam ədədin ən kiçik ortaq qatı verilmiş ədədlərin hər birinə bölünən ən kiçik ədəddir.

Bölmə 2 Limitlər nəzəriyyəsi Mövzu Nömrə ardıcıllığı Ədəd ardıcıllığının tərifi 2 Məhdud və qeyri-məhdud ardıcıllıqlar 3 Monoton ardıcıllıqlar 4 Sonsuz kiçik və

Dolayı şəkildə verilmiş funksiyanın diferensasiyası (,) = C (C = const) funksiyasını nəzərdən keçirək Bu tənlik gizli funksiyanı təyin edir () Tutaq ki, biz bu tənliyi həll etdik və açıq ifadəni = () tapdıq.

Test tapşırıqları tələbələr üçün “Riyaziyyat” fənni üzrə imtahana hazırlaşmaq yazışma şöbəsi y=f() funksiyasının törəməsi deyilir: f A) B) f C) f f Əgər nöqtənin hansısa qonşuluğunda funksiya

DƏYƏNƏNLƏR VƏ SABİT KƏMİLLƏR Fiziki kəmiyyətlərin (zaman, sahə, həcm, kütlə, sürət və s.) ölçülməsi nəticəsində onların rəqəmli dəyərlər. Riyaziyyat kəmiyyətlərlə məşğul olur, diqqəti yayındırır

Riyazi analiz Bölmə: Analizlərə giriş Mövzu: Funksiya anlayışı (əsas təriflər, təsnifat, davranışın əsas xüsusiyyətləri) Müəllim Rojkova S.V. 2012 Ədəbiyyat Piskunov N.S. Diferensial

Dərs 7 Orta dəyər teoremləri. L'Hôpital qaydası 7. Orta ilə bağlı teoremlər Orta ilə bağlı teoremlər üç teoremdir: Rol, Laqranj və Koşi, hər biri əvvəlkini ümumiləşdirir. Bu teoremlərə də deyilir

Dosent Musina MV tərəfindən hazırlanmış mühazirə Funksiyanın davamlılığı y = f(x) funksiyası x nöqtəsində və bu nöqtənin bəzi qonşuluğunda müəyyən edilsin. y = f(x) funksiyası x nöqtəsində davamlı adlanırsa mövcuddur

BİR DƏYƏNƏNİN FUNKSİYALARININ FƏRQLƏNMƏSİ Törəmə anlayışı, onun həndəsi və fiziki mənası Törəmə anlayışına aparan məsələlər A x nöqtəsində y f (x) xəttinə S tangensinin təyini; f (

13. Daha yüksək dərəcəli qismən törəmələr Let = var və DO-da müəyyən edilir. Funksiyalara funksiyanın birinci dərəcəli qismən törəmələri və ya funksiyanın birinci qismən törəmələri də deyilir. və ümumiyyətlə

Belarus Respublikası Təhsil Nazirliyi "YANKA KUPALA ADINDA QRODNO DÖVLƏT UNİVERSİTETİ" TƏHSİL MÜƏSSİSƏSİ Yu.Yu. Qnezdovski, V.N.Qorbuzov, P.F. Proneviç EKSPONENTAR VƏ LOQARIFMİK

Mühazirə Fəsli Çoxluqlar və onlar üzərində əməliyyatlar Çoxluq anlayışı Çoxluq anlayışı riyaziyyatın daha sadə anlayışlar vasitəsilə müəyyən olunmayan ən ilkin anlayışlarına aiddir.. Çoxluq toplu kimi başa düşülür

Mühazirə 8 Mürəkkəb funksiyanın diferensiasiyasını nəzərdən keçirək mürəkkəb funksiya t t t f burada ϕ t t t t t t t f t t t t t t t t Teorem N t t t nöqtəsində funksiyalar diferensiallana bilsin, f funksiyası isə diferensiallana bilsin.

Mühazirə 3 Bir neçə dəyişənli funksiyanın ekstremumu D oblastında bir neçə dəyişənli u = f (x, x) funksiyası müəyyən edilsin və x (x, x) = nöqtəsi bu oblasta aid olsun Funksiya u = f ( x, x) var

Sual. Bərabərsizliklər, xətti bərabərsizliklər sistemi Tərkibində bərabərsizlik işarəsi və dəyişəni olan ifadələri nəzərdən keçirək:. >, - +x-dir xətti bərabərsizliklər bir x dəyişəni ilə.. 0 kvadrat bərabərsizlikdir.

BÖLMƏ PARAMETRLƏRİ PROBLEMLƏR Şərh Parametrlərlə bağlı problemlər ənənəvi olaraq mürəkkəb tapşırıqlardır. Vahid Dövlət İmtahanının strukturu, ərizəçidən yalnız müxtəlif həllərin bütün üsulları və üsulları haqqında bilik tələb etmir

2.2.7. Diferensialın təxmini hesablamalara tətbiqi. y = funksiyasının diferensialı x-dən asılıdır və x-in artımının əsas hissəsidir. Düsturdan da istifadə edə bilərsiniz: dy d Onda mütləq xəta belədir:

Fəsil 6 Bir dəyişənli funksiyanın diferensial hesablanması Törəmə anlayışına aparan problemlər Qeyri-bərabər sürət haqqında problem düzxətli hərəkət S - qeyri-bərabər xətti hərəkət qanunu

Müstəvidə xətt Xəttin ümumi tənliyi. Girişdən əvvəl ümumi tənlik müstəvidə xətt, xəttin ümumi tərifini təqdim edirik. Tərif. F(x,y)=0 (1) şəklində olan tənliyə L xətti tənliyi deyilir

LENİNQRAD RİYONU DÖVLƏT BÜDCƏLİ PEŞƏ TƏHSİL MÜƏSSİSƏSİNİN ÜMUMİ VƏ İXTİSAR TƏHSİLİ KOMİTESİ “VOLXOV ALÜMİNİUM KOLLECİ” Metodiki.

Törəmə və diferensiasiya qaydaları y = f funksiyası arqumentin artımına uyğun y f 0 f 0 artımı alsın 0 Tərif y funksiyasının artımının zəng edənə nisbətində məhdudiyyət varsa.

Moskva Dövlət Universiteti Texniki Universitet adına N.E. Bauman fakültəsi Əsas Elmlər» Riyazi modelləşdirmə kafedrası A.H. Kaviakovykov, A.P. Kremenko

TERS FUNKSİYALAR Tərs funksiyaların iştirak etdiyi məsələlərə riyaziyyatın müxtəlif sahələrində və onun tətbiqlərində rast gəlinir.Riyaziyyatın mühüm sahəsi inteqral nəzəriyyəsinin tərs məsələləridir.

“Tangens tənliyi” mövzusunda məsələlər sistemi a, b, c a) absisləri olan nöqtələrdə y f () funksiyasının qrafikinə çəkilmiş tangensin yamacının işarəsini təyin edin b) törəmənin olduğu nöqtələri göstərin.

Qarşılıqlı tərs funksiyalar.

Qoy funksiya ciddi şəkildə monotonik (artan və ya azalan) və təyinetmə sahəsində davamlı olsun, bu funksiyanın dəyər sahəsi, sonra intervalda dəyərlər sahəsi olan davamlı ciddi monoton funksiya müəyyən edilir. -nin tərsidir .

Başqa sözlə desək, müəyyən intervalda olan funksiya bu intervalda ya artarsa, ya da azalırsa, onun tərs funksiyasından danışmaq məntiqlidir.

Funksiyalar f Və g qarşılıqlı tərs adlanır.

Niyə ümumiyyətlə tərs funksiyalar anlayışını nəzərdən keçirin?

Bu, tənliklərin həlli problemindən qaynaqlanır. Həlllər tərs funksiyalardan istifadə etməklə yazılır.

Gəlin nəzərdən keçirək tərs funksiyaların tapılmasına dair bir neçə nümunə .

Gəlin xətti qarşılıqlı tərs funksiyalardan başlayaq.

üçün tərs funksiyanı tapın.

Bu funksiya xəttidir; onun qrafiki düz xəttdir. Bu o deməkdir ki, funksiya bütün tərif sahəsi üzərində monotondur. Buna görə də biz onun tərs funksiyasını bütün tərif sahəsi boyunca axtaracağıq.

ifadə edək x vasitəsilə y (başqa sözlə, tənliyi həll edək x ).

- burada olsa da, bu tərs funksiyadır y - mübahisə və x bu arqumentin funksiyasıdır. Yazıda vərdişləri pozmamaq üçün (bu, əsas əhəmiyyət kəsb etmir), hərfləri yenidən təşkil edir x Və y , yazacaq .

Beləliklə, və qarşılıqlı tərs funksiyalardır.

Budur, qarşılıqlı tərs xətti funksiyaların qrafik təsviri.

Aydındır ki, qrafiklər düz xəttə nisbətən simmetrikdir (birinci və üçüncü rüblərin bisektorları). Bu, aşağıda müzakirə ediləcək qarşılıqlı tərs funksiyaların xüsusiyyətlərindən biridir.

Tərs funksiyanı tapın.

Bu funksiya kvadratdır; qrafik təpəsi bir nöqtədə olan paraboladır.

Funksiya da artır və azalır. Bu o deməkdir ki, siz iki intervaldan birində verilmiş biri üçün tərs funksiyanı axtara bilərsiniz.

O zaman, və x və y-ni dəyişdirərək verilmiş intervalda tərs funksiyanı alaq: .

Tərs funksiyanı tapın.

Bu funksiya kubdur; qrafik təpəsi bir nöqtədə olan kub paraboladır.

Funksiya da artır. Bu o deməkdir ki, bütün tərif sahəsində verilmiş bir funksiya üçün tərs funksiya axtara bilərsiniz.

, və x və y-ni dəyişdirməklə tərs funksiyanı alırıq.

Bunu bir qrafikdə təsvir edək.

Siyahıya salaq qarşılıqlı tərs funksiyaların xassələri Və.

Və.

Birinci xassədən aydın olur ki, funksiyanın tərif sahəsi ilə funksiyanın dəyər dairəsi üst-üstə düşür və əksinə.

Qarşılıqlı tərs funksiyaların qrafikləri düz xəttə nisbətən simmetrikdir.

Artarsa artar, azalarsa azalar.

Verilmiş funksiya üçün tərs funksiyanı tapın:

Verilmiş funksiya üçün verilmiş və tərs funksiyanın tərs və qrafiklərini tapın:

Verilmiş funksiya üçün tərs funksiyanın olub olmadığını öyrənin. Əgər belədirsə, onda tərs funksiyanı analitik olaraq təyin edin, verilmiş və tərs funksiyanın qrafikini çəkin:

Funksiyaya tərs olan funksiyanın oblastını və diapazonunu tapın, əgər:

Qarşılıqlı tərs funksiyaların hər birinin dəyər diapazonunu tapın və əgər onların tərif sahələri göstərilibsə:

Funksiyalar qarşılıqlı tərsdir, əgər:

Verilmiş funksiyanın tərs funksiyasını tapın. Bu qarşılıqlı tərs funksiyaların qrafiklərini bir koordinat sistemi üzərində qurun:
Bu funksiya özünün tərsidirmi: Bunun tərs funksiyasını təyin edin və onun qrafikini çəkin: