Normal paylanmış təsadüfi kəmiyyətlərlə bağlı bir çox məsələlərdə parametrləri olan normal qanuna tabe olan təsadüfi kəmənin -dən -ə qədər olan seqmentə düşmə ehtimalını müəyyən etmək lazımdır. Bu ehtimalı hesablamaq üçün ümumi düsturdan istifadə edirik

kəmiyyətin paylanma funksiyası haradadır.

Parametrli normal qanuna görə paylanmış təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyasını tapaq. Dəyərin paylanma sıxlığı bərabərdir:

Buradan paylama funksiyasını tapırıq

. (6.3.3)

(6.3.3) inteqralında dəyişən dəyişikliyi edək.

və onu bu formada qoyaq:

(6.3.4)

İnteqral (6.3.4) elementar funksiyalar vasitəsilə ifadə edilmir, lakin onu ifadə edən xüsusi funksiya vasitəsilə hesablana bilər. müəyyən inteqral Cədvəllərin tərtib olunduğu ifadədən və ya (ehtimal inteqralı deyilən). Bu cür funksiyaların bir çox çeşidi var, məsələn:

;

və s. Bu funksiyalardan hansını istifadə etmək zövq məsələsidir. Biz belə bir funksiya kimi seçəcəyik

. (6.3.5)

Bu funksiyanın parametrləri olan normal paylanmış təsadüfi dəyişən üçün paylanma funksiyasından başqa bir şey olmadığını görmək asandır.

Gəlin razılaşaq ki, funksiyanı normal paylanma funksiyası adlandıraq. Əlavədə (Cədvəl 1) funksiya qiymətlərinin cədvəlləri var.

Kəmiyyətin paylanma funksiyasını (6.3.3) parametrlərlə və normal paylanma funksiyası vasitəsilə ifadə edək. Aydındır ki,

İndi -dən -ə qədər olan hissəyə təsadüfi dəyişənin düşmə ehtimalını tapaq. Formula (6.3.1) uyğun olaraq

Beləliklə, 0.1 parametrləri ilə ən sadə normal qanuna uyğun gələn standart paylama funksiyası vasitəsilə kəsişə düşmək üçün istənilən parametrləri ilə normal qanuna görə paylanmış təsadüfi dəyişənin ehtimalını ifadə etdik. Qeyd edək ki, (6.3.7) düsturunda funksiyanın arqumentləri çox sadə məna kəsb edir: bölmənin sağ ucundan səpilmə mərkəzinə qədər standart kənarlaşmalarla ifadə olunan məsafə var; - bölmənin sol ucu üçün eyni məsafədir və ucu dispersiya mərkəzinin sağında yerləşirsə bu məsafə müsbət, solda olduqda isə mənfi hesab olunur.

Hər hansı bir paylama funksiyası kimi, funksiya da aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:

3. - azalmayan funksiya.

Bundan əlavə, mənşəyə nisbətən parametrlərlə normal paylanmanın simmetriyasından belə nəticə çıxır ki

Bu xassədən istifadə edərək, dəqiq desək, funksiya cədvəllərini yalnız müsbət arqument qiymətləri ilə məhdudlaşdırmaq olardı, lakin lazımsız əməliyyatın qarşısını almaq üçün (birindən çıxma) Əlavə Cədvəl 1 həm müsbət, həm də mənfi arqumentlər üçün dəyərlər təqdim edir.

Təcrübədə biz tez-tez normal paylanmış təsadüfi kəmiyyətin səpilmə mərkəzinə nisbətən simmetrik olan sahəyə düşmə ehtimalının hesablanması problemi ilə qarşılaşırıq. Uzunluğun belə bir hissəsini nəzərdən keçirək (Şəkil 6.3.1). (6.3.7) düsturu ilə bu sahəyə dəymə ehtimalını hesablayaq:

Funksiyanın (6.3.8) xassəsini nəzərə alaraq və (6.3.9) düsturunun sol tərəfini daha yığcam forma verərək, normal qanuna uyğun olaraq paylanmış təsadüfi kəmənin bir sıraya düşmə ehtimalı üçün düstur alırıq. səpilmə mərkəzinə görə simmetrik sahə:

. (6.3.10)

Gəlin aşağıdakı problemi həll edək. Dispersiya mərkəzindən ardıcıl uzunluq seqmentlərini çəkək (şək. 6.3.2) və onların hər birinə təsadüfi dəyişənin düşmə ehtimalını hesablayaq. Normal əyri simmetrik olduğundan, belə seqmentləri yalnız bir istiqamətdə çəkmək kifayətdir.

(6.3.7) düsturundan istifadə edərək tapırıq:

(6.3.11)

Bu məlumatlardan göründüyü kimi, aşağıdakı seqmentlərin (beşinci, altıncı və s.) hər birini 0,001 dəqiqliklə vurma ehtimalları sıfıra bərabərdir.

Seqmentlərə daxil olma ehtimallarını 0,01-ə (1% -ə qədər) yuvarlaqlaşdıraraq, yadda saxlamaq asan olan üç rəqəm alırıq:

0,34; 0,14; 0,02.

Bu üç dəyərin cəmi 0,5-dir. Bu o deməkdir ki, normal paylanmış təsadüfi dəyişən üçün bütün dispersiya (faiz fraksiyalarının dəqiqliyi ilə) sahəyə uyğun gəlir.

Bu, təsadüfi dəyişənin standart sapmasını və riyazi gözləntisini bilməklə onun praktiki olaraq mümkün qiymətlərinin diapazonunu təxmini olaraq göstərməyə imkan verir. Təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərlərinin diapazonunu qiymətləndirmək üçün bu üsul məlumdur riyazi statistika"üç siqma qaydası" adlanır. Üç siqma qaydası təsadüfi dəyişənin standart sapmasını təyin etmək üçün təxmini metodu da nəzərdə tutur: ortadan maksimum praktiki mümkün olan sapmanı götürün və onu üçə bölün. Əlbəttə ki, bu kobud texnika yalnız müəyyən etmək üçün başqa, daha dəqiq üsullar olmadıqda tövsiyə edilə bilər.

Nümunə 1. Normal qanuna görə paylanmış təsadüfi kəmiyyət müəyyən məsafənin ölçülməsində səhvi təmsil edir. Ölçmə zamanı 1,2 (m) həddindən artıq qiymətləndirmə istiqamətində sistematik bir səhvə yol verilir; Ölçmə xətasının standart sapması 0,8 (m) təşkil edir. Ölçülmüş qiymətin həqiqi qiymətdən kənarlaşmasının mütləq qiymətdə 1,6 (m)-dən çox olmama ehtimalını tapın.

Həll. Ölçmə xətası və parametrləri ilə normal qanuna tabe olan təsadüfi dəyişəndir. Bu kəmiyyətin -dən -ə qədər olan hissəyə düşmə ehtimalını tapmalıyıq. (6.3.7) düsturuna görə bizdə:

Funksiya cədvəllərindən (Əlavə, Cədvəl 1) istifadə edərək, tapırıq:

; ,

Nümunə 2. Əvvəlki misaldakı kimi eyni ehtimalı tapın, lakin sistematik xəta olmamaq şərti ilə.

Həll. (6.3.10) düsturundan istifadə edərək, fərz etsək, tapırıq:

Nümunə 3. Eni 20 m olan zolaq (avtomobil yolu) kimi görünən hədəf magistral yola perpendikulyar istiqamətdə atəşə tutulur. Hədəflənmə magistralın mərkəzi xətti boyunca aparılır. Atış istiqamətində standart kənarlaşma m-ə bərabərdir.Çəkiliş istiqamətində sistematik xəta var: altlıq 3 m.Bir atışla magistral yola düşmə ehtimalını tapın.

Ehtimal nəzəriyyəsində ən məşhur və tez-tez istifadə olunan qanun normal paylanma qanunudur və ya Gauss qanunu .

əsas xüsusiyyət normal paylanma qanunu belədir son qanun digər paylama qanunları üçün.

Qeyd edək ki, normal paylanma üçün inteqral funksiya aşağıdakı formaya malikdir:

.

İndi göstərək parametrlərin ehtimal mənası aşağıdakı kimidir: A riyazi gözləntidir, - normal paylanmanın standart sapması (yəni):

a) fasiləsiz təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisinin tərifi ilə bizdə var

Həqiqətən

,

çünki inteqral işarəsi altındadır qəribə funksiya, və inteqrasiyanın sərhədləri mənşəyə görə simmetrikdir;

- Puasson inteqralı .

Deməli, normal paylanmanın riyazi gözləntisi parametrə bərabərdir A .

b) fasiləsiz təsadüfi kəmiyyətin dispersiyasının tərifi ilə və bunu nəzərə alaraq yaza bilərik

.

Hissələr üzrə inteqrasiya, qoymaq , tapaq

Beləliklə .

Deməli, normal paylanmanın standart sapması parametrə bərabərdir.

halda və normal paylanma normallaşdırılmış (və ya standart normal) paylanma adlanır. Bundan sonra, aydındır ki, normallaşdırılmış sıxlıq (diferensial) və normallaşdırılmış inteqral paylanma funksiyası müvafiq olaraq aşağıdakı formada yazılacaqdır:

(Funksiya, bildiyiniz kimi, Laplas funksiyası (5-ci MÜHAZİRƏYƏ bax) və ya ehtimal inteqralı adlanır. Hər iki funksiya, yəni , cədvəl şəklində tərtib edilir və onların dəyərləri müvafiq cədvəllərdə qeyd olunur).

Normal paylanmanın xassələri (normal əyrinin xüsusiyyətləri):

1. Aydındır ki, bütün say xəttində funksiya.

2. , yəni normal əyri oxun üstündə yerləşir Oh .

3. , yəni ox Oh qrafikin üfüqi asimptotu kimi xidmət edir.

4. Normal əyri düz xəttə görə simmetrikdir x = a (müvafiq olaraq, funksiyanın qrafiki oxuna görə simmetrikdir OU ).

Ona görə də yaza bilərik: .

5. .

6. Xalların olduğunu göstərmək asandır Və normal əyrinin əyilmə nöqtələridir (bunu özünüz sübut edin).

7.Aydındır ki

amma o vaxtdan , Bu . Bundan başqa , buna görə də bütün tək anlar sıfıra bərabərdir.

Hətta anlar üçün yaza bilərik:

8. .

9. .

10. , Harada.

11. Təsadüfi dəyişənin mənfi qiymətləri üçün: , burada .

13. Təsadüfi kəmənin paylanma mərkəzinə nisbətən simmetrik kəsimə düşmə ehtimalı bərabərdir:

NÜMUNƏ 3. Normal paylanmış təsadüfi dəyişən olduğunu göstərin X riyazi gözləntidən yayınır M(X) -dən çox deyil.

Həll. Normal paylama üçün: .

Başqa sözlə, sapmanın mütləq dəyərinin olması ehtimalı aşacaqüçqat standart kənarlaşma çox kiçikdir, yəni 0,0027-yə bərabərdir.Bu o deməkdir ki, yalnız 0,27% hallarda bu baş verə bilər. Mümkün olmayan hadisələrin mümkünsüzlüyü prinsipinə əsaslanan belə hadisələri praktiki olaraq qeyri-mümkün hesab etmək olar.

Deməli, ehtimalı 0,9973 olan hadisəni praktiki olaraq etibarlı hesab etmək olar, yəni təsadüfi kəmiyyət riyazi gözləntidən -dən çox olmayan kənara çıxır.

NÜMUNƏ 4. Təsadüfi kəmənin normal paylanmasının xüsusiyyətlərini bilmək X - poladın dartılma gücü: kq/mm2 və kq/mm2, 31 kq/mm2-dən 35 kq/mm2-ə qədər dartılma gücünə malik poladın alınma ehtimalını tapın.

Həll.

3. Eksponensial paylanma (eksponensial paylanma qanunu)

Eksponensial fasiləsiz təsadüfi dəyişənin ehtimal paylanmasıdır. X diferensial funksiya ilə təsvir olunan (paylanma sıxlığı)

sabit müsbət qiymət haradadır.

Eksponensial paylama müəyyən edilmişdir bir parametr. Eksponensial paylanmanın bu xüsusiyyəti daha çox sayda parametrdən asılı olan paylamalarla müqayisədə onun üstünlüyünü göstərir. Adətən parametrlər naməlum olur və onların təxminləri (təxmini dəyərləri) tapılmalıdır; Əlbəttə ki, bir parametri qiymətləndirmək iki, üç və s.-dən daha asandır.

İnteqral eksponensial paylanma funksiyasını yazmaq asandır:

Diferensial funksiyadan istifadə edərək eksponensial paylanmanı təyin etdik; inteqral funksiyasından istifadə etməklə təyin oluna biləcəyi aydındır.

Şərh: Davamlı təsadüfi dəyişəni nəzərdən keçirək T - məhsulun nasazlıq olmadan işləmə müddətinin uzunluğu. Onun qəbul edilən dəyərləri ilə işarələnir t , . Kumulyativ paylama funksiyası müəyyən edir uğursuzluq ehtimalı müəyyən bir müddət ərzində məhsullar t . Nəticə etibarilə, eyni vaxtda, müddət ərzində uğursuz işləmə ehtimalı t , yəni əks hadisənin baş vermə ehtimalı bərabərdir

Normal paylama ( normal paylanma) - verilənlərin təhlilində mühüm rol oynayır.

Bəzən termin əvəzinə normal paylanması terminindən istifadə edin Qauss paylanması K.Qaussun şərəfinə (hazırda praktiki olaraq istifadə edilməyən köhnə terminlər: Qauss qanunu, Qauss-Laplas paylanması).

Birdəyişənli normal paylanma

Normal paylamanın sıxlığı var::

Bu düsturda sabit parametrlərdir orta, - standart sapma.

Müxtəlif parametrlər üçün sıxlıq qrafikləri verilmişdir.

Normal paylanmanın xarakterik funksiyası formaya malikdir:

Xarakterik funksiyanın və təyinatın fərqləndirilməsi t = 0, istənilən sifarişin anlarını əldə edirik.

Normal paylanma sıxlığı əyrisi simmetrikdir və bu nöqtədə bərabər maksimuma malikdir.

Standart kənarlaşma parametri 0 ilə ∞ arasında dəyişir.

Orta -∞ ilə +∞ arasında dəyişir.

Parametr artdıqca əyri ox boyunca yayılır X, 0-a yaxınlaşdıqca orta qiymət ətrafında daralır (parametr yayılma, səpilməni xarakterizə edir).

Dəyişəndə əyri ox boyunca sürüşür X(qrafiklərə baxın).

Parametrləri dəyişdirərək və müxtəlif modellər əldə edirik təsadüfi dəyişənlər, telefoniyada yaranır.

Məsələn, telekommunikasiya məlumatlarının təhlilində normal qanunun tipik tətbiqi səs-küyü, müdaxiləni, səhvləri və trafiki təsvir edən siqnalların modelləşdirilməsidir.

Unidəyişən Normal Paylama Plots

Şəkil 1. Normal paylanmanın sıxlıq qrafiki: orta 0, standart kənarlaşma 1-dir

Şəkil 2. Bütün müşahidələrin 68%-ni və 95%-ni ehtiva edən ərazilərlə standart normal paylanmanın sıxlıq qrafiki

Şəkil 3. Sıfır orta və müxtəlif kənarlaşmalarla normal paylanmaların sıxlıq qrafikləri (=0.5, =1, =2)

Şəkil 4 N(-2,2) və N(3,2) iki normal paylanmanın qrafikləri.

Parametri dəyişdirərkən paylama mərkəzinin dəyişdiyinə diqqət yetirin.

Şərh

Bir proqramda STATİSTİKA N(3,2) təyinatı parametrləri ilə normal və ya Qauss qanununa istinad edir: orta = 3 və standart kənarlaşma =2.

Ədəbiyyatda bəzən ikinci parametr kimi şərh olunur dispersiya, yəni. kvadrat standart sapma.

Ehtimal kalkulyatorundan istifadə edərək Normal paylanma faiz xallarının hesablanması STATİSTİKA

Ehtimal kalkulyatorundan istifadə STATİSTİKA Köhnə kitablarda istifadə olunan çətin cədvəllərə müraciət etmədən paylamaların müxtəlif xüsusiyyətlərini hesablaya bilərsiniz.

Addım 1. başlayaq Təhlil / Ehtimal kalkulyatoru / Paylanmalar.

Dağıtım bölməsində seçin normal.

Şəkil 5. Ehtimalların paylanması kalkulyatorunun işə salınması

Addım 2. Bizi maraqlandıran parametrləri göstəririk.

Məsələn, biz normal paylanmanın 95%-lik kvantilini orta 0 və standart kənarlaşma 1 ilə hesablamaq istəyirik.

Bu parametrləri kalkulyatorun sahələrində göstərək (orta və standart sapma kalkulyator sahələrinə baxın).

p=0,95 parametrini daxil edək.

"Tərs f.r." qeyd qutusu avtomatik olaraq görünəcək. "Cədvəl" qutusunu yoxlayın.

Yuxarı sağ küncdəki "Hesabla" düyməsini basın.

Şəkil 6. Parametrlərin qurulması

Addım 3. Z sahəsində biz nəticə əldə edirik: kvantil dəyəri 1,64-dür (növbəti pəncərəyə baxın).

Şəkil 7. Kalkulyatorun nəticəsinin görüntülənməsi

Şəkil 8. Sıxlıq qrafikləri və paylanma funksiyaları. Düz xətt x=1,644485

Şəkil 9. Normal paylanma funksiyasının qrafikləri. Şaquli nöqtəli xətlər - x=-1.5, x=-1, x=-0.5, x=0

Şəkil 10. Normal paylanma funksiyasının qrafikləri. Şaquli nöqtəli xətlər - x=0,5, x=1, x=1,5, x=2

Normal paylanma parametrlərinin qiymətləndirilməsi

Normal paylama dəyərləri istifadə edərək hesablana bilər interaktiv kalkulyator.

İkidəyişənli normal paylanma

Birölçülü normal paylanma təbii olaraq ümumiləşir iki ölçülü normal paylanma.

Məsələn, bir siqnalı yalnız bir nöqtədə nəzərdən keçirirsinizsə, onda sizin üçün bir ölçülü paylama kifayətdir, iki nöqtədə - iki ölçülü, üç nöqtədə - üç ölçülü və s.

İkidəyişənli normal paylanmanın ümumi düsturu belədir:

arasında qoşa korrelyasiya haradadır X 1 Və X 2;

X 1 müvafiq olaraq;

Dəyişənin orta və standart kənarlaşması X 2 müvafiq olaraq.

Əgər təsadüfi dəyişənlər X 1 Və X 2 müstəqildirlər, onda korrelyasiya müvafiq olaraq 0, = 0-dır, eksponentdəki orta müddətli itib gedir və bizdə:

f(x 1 ,x 2) = f(x 1)*f(x 2)

Müstəqil kəmiyyətlər üçün iki ölçülü sıxlıq iki birölçülü sıxlığın məhsuluna parçalanır.

İkidəyişənli normal paylanmaların sıxlıq qrafikləri

Şəkil 11. İkidəyişənli normal paylanmanın sıxlıq qrafiki (ortanın sıfır vektoru, vahid kovariasiya matrisi)

Şəkil 12. Müstəvi z=0,05 olan ikiölçülü normal paylanmanın sıxlıq qrafikinin kəsimi

Şəkil 13. İkiölçülü normal paylanmanın sıxlıq qrafiki (gözlənilən qiymətin sıfır vektoru, əsas diaqonalda 1 və yan diaqonalda 0,5 olan kovariasiya matrisi)

Şəkil 14. İkiölçülü normal paylanmanın sıxlıq qrafikinin (riyazi gözləntilərin sıfır vektoru, əsas diaqonalda 1 və yan diaqonalda 0,5 olan kovariasiya matrisi) z= 0,05 müstəvi ilə kəsimi.

Şəkil 15. İkiölçülü normal paylanmanın sıxlıq qrafiki (gözlənilən qiymətin sıfır vektoru, əsas diaqonalda 1 və yan diaqonalda -0,5 olan kovariasiya matrisi)

Şəkil 16. İkiölçülü normal paylanmanın sıxlıq qrafikinin (riyazi gözləntilərin sıfır vektoru, əsas diaqonalda 1 və yan diaqonalda -0,5 olan kovariasiya matrisi) z=0,05 müstəvi ilə kəsimi.

Şəkil 17. Müstəvi z=0,05 olan ikiölçülü normal paylanmanın sıxlıq qrafiklərinin kəsikləri.

İkidəyişənli normal paylanmanı daha yaxşı başa düşmək üçün aşağıdakı problemi həll etməyə çalışın.

Tapşırıq. İkidəyişənli normal paylanma qrafikinə baxın. Fikir verin, onu birölçülü normal paylanma qrafikinin fırlanması kimi göstərmək olarmı? Deformasiya texnikasından nə vaxt istifadə etməlisiniz?

Təcrübədə ən çox təsadüfi dəyişənlər təsirlənir çoxlu sayda təsadüfi amillər normal ehtimal paylanması qanununa tabedir. Buna görə də ehtimal nəzəriyyəsinin müxtəlif tətbiqlərində bu qanun xüsusi əhəmiyyət kəsb edir.

Təsadüfi dəyişən $X$ normal ehtimal paylanma qanununa tabe olur, əgər onun ehtimal paylanma sıxlığı aşağıdakı formaya malikdirsə

$$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\sol(x-a\sağ))^2)\over ( 2(\sigma )^2)))$$

$f\left(x\right)$ funksiyasının qrafiki şəkildə sxematik şəkildə göstərilmişdir və “Qauss əyrisi” adlanır. Bu qrafikin sağ tərəfində avronun dövriyyəyə buraxılmasından əvvəl istifadə edilmiş Alman 10 markalı əskinas var. Diqqətlə baxsanız, bu əskinasın üzərində Qauss əyrisini və onun kəşfçisi, ən böyük riyaziyyatçı Karl Fridrix Qaussu görə bilərsiniz.

Gəlin $f\left(x\right)$ sıxlıq funksiyamıza qayıdaq və $a,\ (\sigma )^2$ paylanma parametrləri ilə bağlı bəzi izahatlar verək. $a$ parametri təsadüfi dəyişənin qiymətlərinin dispersiya mərkəzini xarakterizə edir, yəni riyazi gözlənti mənasına malikdir. $a$ parametri dəyişdikdə və $(\sigma )^2$ parametri dəyişməz qaldıqda, biz $f\left(x\right)$ funksiyasının qrafikində absis boyunca yerdəyişməni müşahidə edə bilərik, sıxlıq qrafiki isə öz formasını dəyişmir.

$(\sigma )^2$ parametri dispersiyadır və $f\left(x\right)$ sıxlıq qrafiki əyrisinin formasını xarakterizə edir. $(\sigma )^2$ parametrini $a$ parametri dəyişməz olaraq dəyişdirərkən, biz sıxlıq qrafikinin absis oxu boyunca hərəkət etmədən öz formasını necə dəyişdiyini, sıxılaraq və ya uzandığını müşahidə edə bilərik.

Normal paylanmış təsadüfi kəmənin verilmiş intervala düşmə ehtimalı

Məlum olduğu kimi, $X$ təsadüfi dəyişənin $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ intervalına düşmə ehtimalı $P\left(\alpha) hesablana bilər.< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

$$P\sol(\alfa< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

Burada $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ funksiyası Laplas funksiyası. Bu funksiyanın dəyərləri -dən götürülür. $\Phi \left(x\right)$ funksiyasının aşağıdakı xassələrini qeyd etmək olar.

1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, yəni $\Phi \left(x\right)$ funksiyası təkdir.

2 . $\Phi \left(x\right)$ monoton artan funksiyadır.

3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0.5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) \ Phi \ sol(x\sağ)\ )=-0,5$.

$\Phi \left(x\right)$ funksiyasının dəyərlərini hesablamaq üçün Excel-də $f_x$ sehrbazından da istifadə edə bilərsiniz: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left(x) ;0;1;1\sağ )-0,5$. Məsələn, $x=2$ üçün $\Phi \left(x\right)$ funksiyasının qiymətlərini hesablayaq.

Normal paylanmış təsadüfi dəyişən $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ $a$ riyazi gözləntisinə görə simmetrik intervala düşmə ehtimalı düsturdan istifadə etməklə hesablana bilər.

$$P\left(\left|X-a\sağ|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

Üç siqma qaydası. Demək olar ki, normal paylanmış təsadüfi dəyişən $X$ $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$ intervalına düşəcək.

Misal 1 . $X$ təsadüfi dəyişəni $a=2,\ \sigma =3$ parametrləri ilə normal ehtimal paylanması qanununa tabedir. $X$ $\left(0.5;1\right)$ intervalına düşmə ehtimalını və $\left|X-a\right| bərabərsizliyinin ödənilməsi ehtimalını tapın.< 0,2$.

Formuladan istifadə

$$P\sol(\alfa< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

$P\left(0.5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0.5-2)\(3) üzərində tapırıq. ))\sağ)=\Phi \sol(-0,33\sağ)-\Phi \left(-0,5\sağ)=\Phi \left(0,5\sağ)-\Phi \sol(0,33\sağ)=0,191- 0,129=0,062 ABŞ dolları.

$$P\left(\left|X-a\sağ|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

Misal 2 . Tutaq ki, il ərzində müəyyən bir şirkətin səhmlərinin qiyməti 50 şərti pul vahidinə bərabər riyazi gözlənti və 10-a bərabər standart sapma ilə normal qanuna uyğun olaraq paylanmış təsadüfi bir dəyişəndir. müzakirə olunan müddətin günü promosyonun qiyməti belə olacaq:

a) 70-dən çox şərti pul vahidi?

b) bir səhm üçün 50-dən aşağıdır?

c) hər səhmə görə 45-58 şərti pul vahidi arasında?

Qoy $X$ təsadüfi dəyişən hansısa şirkətin səhmlərinin qiyməti olsun. Şərtə görə, $X$ $a=50$ - riyazi gözlənti, $\sigma =10$ - standart kənarlaşma parametrləri ilə normal paylanmaya məruz qalır. Ehtimal $P\sol(\alfa< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

$$P\sol(\alfa< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

$$а)\ P\left(X>70\sağ)=\Phi \left(((\infty -50)\(10))\sağ)-\Phi \left(((70-50)\ yuxarı (10))\sağ)=0,5-\Phi \sol(2\sağ)=0,5-0,4772=0,0228.$$

$$b)\P\sol(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

$$in)\ P\sol(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

Normal ehtimal paylanma qanunu

Mübaliğəsiz bunu fəlsəfi qanun adlandırmaq olar. Ətrafımızdakı dünyadakı müxtəlif obyektləri və prosesləri müşahidə edərkən tez-tez nəyinsə kifayət etmədiyi və normanın mövcudluğu ilə qarşılaşırıq:


Budur əsas görünüş sıxlıq funksiyaları normal ehtimal paylanması və sizi bu maraqlı dərsə salamlayıram.

Hansı nümunələri verə bilərsiniz? Onların sadəcə qaranlıqları var. Bu, məsələn, insanların boyu, çəkisi (və təkcə deyil), onların fiziki gücü, zehni qabiliyyətləri və s. "Əsas kütlə" var (bu və ya digər səbəbdən) və hər iki istiqamətdə sapmalar var.

Bunlar cansız cisimlərin fərqli xüsusiyyətləridir (eyni ölçü, çəki). Bu, proseslərin təsadüfi müddətidir, məsələn, yüz metrlik yarışın vaxtı və ya qatranın kəhrəbaya çevrilməsi. Fizikadan hava molekullarını xatırladım: bəziləri yavaş, bəziləri sürətli, lakin əksəriyyəti "standart" sürətlə hərəkət edir.

Sonra, mərkəzdən daha bir standart sapma ilə sapırıq və hündürlüyü hesablayırıq:

Rəsmdə nöqtələrin qeyd edilməsi (yaşıl rəng) və bunun kifayət qədər olduğunu görürük.

Son mərhələdə diqqətlə bir qrafik çəkirik və xüsusilə diqqətləəks etdirsin qabarıq/konkav! Yaxşı, yəqin ki, x oxunun olduğunu çoxdan başa düşdünüz üfüqi asimptot, və onun arxasına "dırmaşmaq" qəti qadağandır!

Elektron bir həll təqdim edərkən Excel-də bir qrafik yaratmaq asandır və gözlənilmədən özüm üçün bu mövzuda qısa bir video da yazdım. Ancaq əvvəlcə normal əyrinin formasının və dəyərlərindən asılı olaraq necə dəyişdiyindən danışaq.

"a" artırdıqda və ya azaldıqda (daimi "siqma" ilə) qrafik öz formasını saxlayır və sağa/sola hərəkət edir müvafiq olaraq. Beləliklə, məsələn, funksiya formanı aldıqda və qrafikimiz 3 vahid sola - dəqiq koordinatların mənşəyinə "hərəkət edir":


Sıfır riyazi gözlənti ilə normal paylanmış kəmiyyət tamamilə təbii bir ad aldı - mərkəzləşdirilmişdir; onun sıxlıq funksiyası hətta, və qrafik ordinata görə simmetrikdir.

"Siqma" dəyişdikdə (sabit “a” ilə), qrafik “eyni olaraq qalır”, lakin formasını dəyişir. Böyüdükdə, çadırlarını uzatan ahtapot kimi alçalır və uzanır. Və əksinə, qrafiki azaldarkən daralır və hündür olur- "təəccüblənmiş ahtapot" olduğu ortaya çıxdı. Bəli, nə vaxt azalmaİki dəfə "sigma": əvvəlki qrafik iki dəfə daralır və uzanır:

Hər şey tam uyğundur qrafiklərin həndəsi çevrilmələri.

Vahid siqma dəyəri olan normal paylama deyilir normallaşdırılıb, və əgər o da mərkəzləşdirilmişdir(bizim halda), onda belə bir paylama deyilir standart. Daha da çoxdur sadə funksiya artıq rast gəlinən sıxlıq Laplasın yerli teoremi: . Standart paylama praktikada geniş tətbiq tapdı və tezliklə biz onun məqsədini başa düşəcəyik.

Yaxşı, indi filmə baxaq:

Bəli, tamamilə haqlıdır - nədənsə o, kölgədə qaldı ehtimal paylama funksiyası. Onu xatırlayaq tərifi:
– təsadüfi dəyişənin bütün real dəyərləri “artı” sonsuzluğa qədər “keçən” dəyişəndən daha AZ dəyər alması ehtimalı.

İnteqralın içərisində adətən fərqli bir hərf istifadə olunur ki, qeyd ilə "üst-üstə düşmə" olmasın, çünki burada hər bir dəyər ilə əlaqələndirilir. düzgün olmayan inteqral, bəzilərinə bərabərdir nömrə intervaldan.

Demək olar ki, bütün dəyərləri dəqiq hesablamaq mümkün deyil, lakin indi gördüyümüz kimi, müasir hesablama gücü ilə bu çətin deyil. Beləliklə, standart paylama funksiyası üçün müvafiq Excel funksiyası ümumiyyətlə bir arqument ehtiva edir:

=NORMSDIST(z)

Bir, iki - və bitirdiniz:

Rəsm hamının həyata keçirilməsini aydın şəkildə göstərir paylanma funksiyasının xassələri, və burada texniki nüanslardan diqqət etməlisiniz üfüqi asimptotlar və əyilmə nöqtəsi.

İndi mövzunun əsas vəzifələrindən birini xatırlayaq, yəni normal təsadüfi dəyişənin olma ehtimalını necə tapmaq olar. intervaldan qiymət alacaq. Həndəsi olaraq bu ehtimal bərabərdir sahə müvafiq bölmədə normal əyri ilə x oxu arasında:

amma hər dəfə təxmini dəyər almağa çalışıram əsassızdır və buna görə də istifadə etmək daha rasionaldır "yüngül" düsturu:
.

! Həm də xatırlayır , Nə

Burada Excel-dən yenidən istifadə edə bilərsiniz, lakin bir neçə əhəmiyyətli "amma" var: birincisi, o, həmişə əlində deyil, ikincisi, "hazır" dəyərlər çox güman ki, müəllimdən suallar doğuracaq. Niyə?

Mən bu barədə əvvəllər dəfələrlə danışmışam: bir vaxtlar (və çox da uzun deyil) adi kalkulyator lüks idi və indi tədris ədəbiyyatı Baxılan problemin həllinin “əl” üsulu hələ də qorunub saxlanılır. Onun mahiyyəti ondan ibarətdir standartlaşdırmaq"alfa" və "beta" dəyərləri, yəni həlli standart paylanmaya endirin:

Qeyd : funksiyanı ümumi halda əldə etmək asandırxətti istifadə edərək əvəzedicilər. Sonra da:

və yerinə yetirilən dəyişdirmədən ixtiyari paylanmanın dəyərlərindən standart paylanmanın müvafiq dəyərlərinə keçid formuluna tam əməl olunur.

Bu niyə lazımdır? Fakt budur ki, dəyərlər əcdadlarımız tərəfindən diqqətlə hesablanmış və terwer haqqında bir çox kitabda olan xüsusi bir cədvəldə tərtib edilmişdir. Ancaq daha tez-tez artıq işlədiyimiz dəyərlər cədvəli var Laplasın inteqral teoremi:

Əgər bizim ixtiyarımızda Laplas funksiyasının dəyərlər cədvəli varsa , sonra həll edirik:

Standart cədvəldə olduğu kimi, kəsr dəyərləri ənənəvi olaraq 4 onluq yerlərinə yuvarlaqlaşdırılır. Və nəzarət üçün var Nöqtə 5 layout.

Bunu sizə xatırladıram və qarışıqlığın qarşısını almaq üçün həmişə nəzarət, NƏ funksiyasının cədvəli gözünüzün qarşısındadır.

Cavab verin faizlə verilməsi tələb olunur, ona görə də hesablanmış ehtimal 100-ə vurulmalı və nəticə mənalı şərhlə təmin edilməlidir:

- 5-dən 70 m-ə qədər uçuşla, mərmilərin təxminən 15,87% -i düşəcək

Özümüz məşq edirik:

Misal 3

Zavod istehsalı olan podşipniklərin diametri təsadüfi dəyişəndir, normal olaraq riyazi gözlənti 1,5 sm və standart kənarlaşma 0,04 sm ilə paylanmışdır.Təsadüfi götürülmüş yatağın ölçüsünün 1,4 ilə 1,6 sm arasında olması ehtimalını tapın.

Nümunə həllində və aşağıda, mən ən ümumi variant kimi Laplas funksiyasından istifadə edəcəyəm. Yeri gəlmişkən, qeyd edək ki, ifadəyə görə, intervalın sonları burada nəzərdən keçirilə bilər. Bununla belə, bu kritik deyil.

Artıq bu nümunədə biz xüsusi bir halla qarşılaşdıq - interval riyazi gözləntiyə nisbətən simmetrik olduqda. Belə bir vəziyyətdə, o, şəklində yazıla bilər və Laplas funksiyasının qəribəliyindən istifadə edərək, iş düsturu sadələşdirilə bilər:

Delta parametri adlanır sapma riyazi gözləntidən və ikiqat bərabərsizlikdən istifadə edərək "qablaşdırıla" bilər modul:

– təsadüfi dəyişənin qiymətinin riyazi gözləntidən -dən az kənara çıxma ehtimalı.

Həllin bir sətirdə olması yaxşıdır :)
– təsadüfi götürülmüş rulmanın diametrinin 1,5 sm-dən 0,1 sm-dən çox olmayan fərq ehtimalı.

Bu tapşırığın nəticəsi birliyə yaxın oldu, amma daha çox etibarlılıq istərdim - yəni diametrin yerləşdiyi sərhədləri tapmaq demək olar ki, hər kəs rulmanlar. Bunun üçün hər hansı bir meyar varmı? Mövcuddur! Verilən suala sözdə cavab verilir

üç siqma qaydası

Onun mahiyyəti bundan ibarətdir praktiki olaraq etibarlıdır normal paylanmış təsadüfi dəyişənin intervaldan qiymət alması faktıdır .

Həqiqətən, gözlənilən dəyərdən kənarlaşma ehtimalı aşağıdakılardan azdır:
və ya 99,73%

Rulmanlara gəldikdə, bunlar diametri 1,38 ilə 1,62 sm arasında olan 9973 ədəd və yalnız 27 "standart" nüsxədir.

IN praktik tədqiqatÜç siqma qaydası adətən əks istiqamətdə tətbiq olunur: əgər statistik olaraq Məlum oldu ki, demək olar ki, bütün dəyərlər tədqiq olunan təsadüfi dəyişən 6 standart sapma intervalına düşür, onda bu dəyərin normal qanuna uyğun olaraq paylandığına inanmaq üçün tutarlı səbəblər var. Doğrulama nəzəriyyədən istifadə etməklə həyata keçirilir statistik fərziyyələr.

Biz sərt sovet problemlərini həll etməyə davam edirik:

Misal 4

Çəki xətasının təsadüfi dəyəri sıfır riyazi gözlənti və 3 qram standart sapma ilə normal qanuna uyğun olaraq paylanır. Mütləq dəyərdə 5 qramdan çox olmayan bir xəta ilə növbəti çəkinin aparılma ehtimalını tapın.

Həllçox sadə. Şərtlə, növbəti çəkidə dərhal qeyd edirik (bir şey və ya kimsə) 9 qram dəqiqliklə demək olar ki, 100% nəticə əldə edəcəyik. Ancaq problem daha dar bir sapma ehtiva edir və düstura görə:

– növbəti çəkinin 5 qramdan çox olmayan xəta ilə aparılma ehtimalı.

Cavab verin:

Həll edilmiş problem oxşar görünən problemdən əsaslı şəkildə fərqlənir. Misal 3 haqqında dərs vahid paylama. Xəta var idi yuvarlaqlaşdırmaölçmə nəticələri, burada ölçmələrin özlərinin təsadüfi səhvindən danışırıq. Bu cür səhvlər cihazın özünün texniki xüsusiyyətlərinə görə yaranır. (məqbul səhvlərin diapazonu adətən onun pasportunda göstərilir), həm də eksperimentatorun günahı ilə - məsələn, "gözlə" eyni tərəzinin iynəsindən oxunuşlar aldıqda.

Digərləri arasında sözdə də var sistematikölçmə xətaları. Artıq var qeyri-təsadüfi cihazın səhv qurulması və ya işləməsi səbəbindən baş verən səhvlər. Məsələn, tənzimlənməmiş döşəmə tərəziləri davamlı olaraq kiloqramları "əlavə edə" bilər və satıcı sistematik olaraq müştəriləri ağırlaşdırır. Yaxud sistematik olaraq hesablana bilməz. Lakin, hər halda, belə bir səhv təsadüfi olmayacaq və onun gözləntiləri sıfırdan fərqlidir.

…Mən təcili olaraq satış üzrə təlim kursu hazırlayıram =)

Gəlin tərs məsələni özümüz həll edək:

Misal 5

Rolların diametri təsadüfi normal paylanmış təsadüfi dəyişəndir, onun standart sapması mm-ə bərabərdir. Rolik diametrinin uzunluğunun düşmə ehtimalı olan riyazi gözləntiyə görə simmetrik intervalın uzunluğunu tapın.

Nöqtə 5* dizayn tərtibatı kömək etmək. Nəzərə alın ki, burada riyazi gözlənti məlum deyil, lakin bu, problemi həll etməyə heç də mane olmur.

VƏ imtahan tapşırığı, mən materialı birləşdirmək üçün çox tövsiyə edirəm:

Misal 6

Normal paylanmış təsadüfi dəyişən onun parametrləri (riyazi gözlənti) və (standart kənarlaşma) ilə müəyyən edilir. Tələb olunur:

a) ehtimal sıxlığını yazın və onun qrafikini sxematik şəkildə təsvir edin;
b) intervaldan qiymət alması ehtimalını tapın ;
c) mütləq qiymətin -dən çox olmayan kənarlaşma ehtimalını tapın;
d) "üç siqma" qaydasından istifadə edərək təsadüfi dəyişənin qiymətlərini tapın.

Bu cür problemlər hər yerdə təklif olunur və bu illər ərzində mən yüzlərlə, yüzlərlə problemi həll etmişəm. Əl ilə rəsm çəkməyi və kağız masalardan istifadə etməyi məşq etməyinizə əmin olun;)

Yaxşı, artan mürəkkəblik nümunəsinə baxacağam:

Misal 7

Təsadüfi dəyişənin ehtimal paylama sıxlığı formasına malikdir . Tapın, riyazi gözlənti, dispersiya, paylama funksiyası, sıxlıq qrafikləri və paylanma funksiyaları qurun, tapın.

Həll: Əvvəla qeyd edək ki, şərt təsadüfi dəyişənin təbiəti haqqında heç nə demir. Bir eksponentin olması özlüyündə heç nə demək deyil: belə çıxa bilər, məsələn, göstərici və ya hətta özbaşına davamlı paylama. Buna görə də paylanmanın "normallığı" hələ də əsaslandırılmalıdır:

Funksiyadan bəri -də müəyyən edilmişdir hər hansı real qiymətdir və o, formasına endirilə bilər, onda təsadüfi dəyişən normal qanuna uyğun olaraq paylanır.

Budur, gedirik. Bunun üçün tam kvadrat seçin və təşkil edin üç mərtəbəli fraksiya:


Göstəricini orijinal formasına qaytararaq bir yoxlama apardığınızdan əmin olun:

, bizim görmək istədiyimiz budur.

Beləliklə:
- By səlahiyyətlərlə əməliyyatlar qaydası"çimdikləmək" Və burada dərhal aşkar ədədi xüsusiyyətləri yaza bilərsiniz:

İndi parametrin qiymətini tapaq. Normal paylanma çarpanı və formasına malik olduğundan, onda:
, ifadə etdiyimiz və funksiyamıza əvəz etdiyimiz yerdən:
, bundan sonra bir daha gözlərimizlə qeyddən keçəcəyik və nəticədə yaranan funksiyanın formasına sahib olduğundan əmin olacağıq .

Sıxlıq qrafiki quraq:

və paylanma funksiyasının qrafiki :

Əlinizdə Excel və ya hətta adi kalkulyatorunuz yoxdursa, son qrafiki asanlıqla əl ilə qurmaq olar! Bir nöqtədə paylama funksiyası qiymət alır və burada tapılır