Xətti tənlik nədir. Xətti tənliklər sistemlərinin nümunələri: həll üsulu

Xətti tənliklər sistemi hər birində k dəyişəni olan n xətti tənliyin birləşməsidir. Belə yazılıb:

Bir çoxları ilk dəfə daha yüksək cəbrlə qarşılaşdıqda səhvən tənliklərin sayının mütləq dəyişənlərin sayı ilə üst-üstə düşdüyünə inanırlar. Məktəb cəbrində bu adətən belə olur, lakin ali cəbr üçün bu, ümumiyyətlə, doğru deyil.

Tənliklər sisteminin həlli, sistemin hər bir tənliyinin həlli olan ədədlər ardıcıllığıdır (k 1 , k 2 , ..., k n ), yəni. bu tənliyə x 1 , x 2 , ..., x n dəyişənləri əvəzinə əvəz etdikdə düzgün ədədi bərabərliyi verir.

Müvafiq olaraq, tənliklər sistemini həll etmək onun bütün həllər çoxluğunu tapmaq və ya bu çoxluğun boş olduğunu sübut etmək deməkdir. Tənliklərin sayı və naməlumların sayı eyni olmaya biləcəyi üçün üç hal mümkündür:

Sistem uyğunsuzdur, yəni. bütün həllər toplusu boşdur. Sistemin həlli üçün hansı üsuldan asılı olmayaraq asanlıqla aşkar edilən olduqca nadir bir hal.
Sistem ardıcıl və müəyyən edilmişdir, yəni. tam bir həlli var. Məktəbdən bəri yaxşı tanınan klassik versiya.
Sistem ardıcıl və qeyri-müəyyəndir, yəni. sonsuz sayda həlli var. Bu ən çətin variantdır. “Sistemin sonsuz həllər toplusuna malik olduğunu” ifadə etmək kifayət deyil – bu çoxluğun necə düzüldüyünü təsvir etmək lazımdır.

x i dəyişəni, sistemin yalnız bir tənliyinə daxil edilərsə və əmsalı 1 olarsa, icazə verilən adlanır. Başqa sözlə, qalan tənliklərdə x i dəyişəni üçün əmsalı sıfıra bərabər olmalıdır.

Hər bir tənlikdə bir icazə verilən dəyişən seçsək, bütün tənliklər sistemi üçün icazə verilən dəyişənlər toplusunu alırıq. Bu formada yazılmış sistemin özü də icazəli adlanacaq. Ümumiyyətlə, bir və eyni başlanğıc sistemi müxtəlif icazə verilən sistemlərə endirmək olar, lakin bu, indi bizə aid deyil. İcazə verilən sistemlərə nümunələr:

Hər iki sistemə x 1 , x 3 və x 4 dəyişənlərinə münasibətdə icazə verilir. Bununla belə, eyni müvəffəqiyyətlə ikinci sistemə x 1, x 3 və x 5 nisbətində icazə verildiyini iddia etmək olar. Ən son tənliyi x 5 = x 4 şəklində yenidən yazmaq kifayətdir.

İndi daha ümumi bir vəziyyətə nəzər salın. Tutaq ki, bizdə cəmi k dəyişən var, onlardan r-ə icazə verilir. Sonra iki hal mümkündür:

İcazə verilən dəyişənlərin sayı r dəyişənlərin ümumi sayına bərabərdir k : r = k . r = k icazə verilən dəyişənlərin olduğu k tənliklər sistemi alırıq. Belə bir sistem əməkdaşlıq və müəyyəndir, çünki x 1 \u003d b 1, x 2 \u003d b 2, ..., x k \u003d b k;
İcazə verilən dəyişənlərin sayı r dəyişənlərin ümumi sayından azdır k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Beləliklə, yuxarıdakı sistemlərdə x 2 , x 5 , x 6 (birinci sistem üçün) və x 2 , x 5 (ikinci sistem üçün) dəyişənləri sərbəstdir. Sərbəst dəyişənlərin olması halı teorem kimi daha yaxşı ifadə edilir:

Diqqət edin: bu çox vacib bir məqamdır! Son sistemi necə yazmağınızdan asılı olaraq, eyni dəyişən həm icazə verilən, həm də pulsuz ola bilər. Ən qabaqcıl riyaziyyat müəllimləri dəyişənləri leksikoqrafik ardıcıllıqla yazmağı tövsiyə edir, yəni. artan indeks. Ancaq bu məsləhətə qətiyyən riayət etmək lazım deyil.

Teorem. Əgər n tənlik sistemində x 1 , x 2 , ..., x r dəyişənlərinə icazə verilirsə, x r + 1 , x r + 2 , ..., x k isə sərbəstdirsə, onda:

Sərbəst dəyişənlərin qiymətlərini təyin etsək (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k) və sonra x 1 , x 2 , dəyərlərini tapırıq. .., x r , həllərdən birini alırıq.

İki həlldə sərbəst dəyişənlərin dəyərləri eyni olarsa, icazə verilən dəyişənlərin dəyərləri də eynidir, yəni. həllər bərabərdir.

Bu teoremin mənası nədir? İcazə verilən tənliklər sisteminin bütün həllərini əldə etmək üçün sərbəst dəyişənləri ayırmaq kifayətdir. Sonra sərbəst dəyişənlərə müxtəlif qiymətlər təyin etməklə biz hazır həllər əldə edəcəyik. Hamısı budur - bu şəkildə sistemin bütün həllərini əldə edə bilərsiniz. Başqa həll yolları yoxdur.

Nəticə: icazə verilən tənliklər sistemi həmişə ardıcıldır. İcazə verilən sistemdəki tənliklərin sayı dəyişənlərin sayına bərabər olarsa, sistem müəyyən, az olarsa, qeyri-müəyyən olacaqdır.

Və hər şey yaxşı olardı, amma sual yaranır: həll olunanı orijinal tənliklər sistemindən necə əldə etmək olar? Bunun üçün var

Və s., başqa tipli tənliklərlə tanış olmaq məntiqlidir. Növbəti sırada xətti tənliklər, məqsədyönlü öyrənilməsi 7-ci sinifdə cəbr dərslərində başlayır.

Aydındır ki, əvvəlcə xətti tənliyin nə olduğunu izah etmək, xətti tənliyin tərifini, onun əmsallarını vermək, ümumi formasını göstərmək lazımdır. Sonra əmsalların dəyərlərindən və köklərin necə tapıldığından asılı olaraq xətti tənliyin neçə həlli olduğunu anlaya bilərsiniz. Bu, nümunələrin həllinə keçməyə və bununla da öyrənilən nəzəriyyəni möhkəmləndirməyə imkan verəcəkdir. Bu yazıda biz bunu edəcəyik: xətti tənliklər və onların həlli ilə bağlı bütün nəzəri və praktiki məqamlar üzərində ətraflı dayanacağıq.

Dərhal deyək ki, burada yalnız bir dəyişənli xətti tənlikləri nəzərdən keçirəcəyik və ayrıca məqalədə həll prinsiplərini öyrənəcəyik. iki dəyişənli xətti tənliklər.

Səhifə naviqasiyası.

Xətti tənlik nədir?

Xətti tənliyin tərifi onun qeyd forması ilə verilir. Üstəlik, müxtəlif riyaziyyat və cəbr dərsliklərində xətti tənliklərin təriflərinin tərtibi məsələnin mahiyyətinə təsir etməyən bəzi fərqlərə malikdir.

Məsələn, Yu. N. Makarycheva və başqalarının 7-ci sinif üçün cəbr dərsliyində xətti tənlik aşağıdakı kimi müəyyən edilmişdir:

Tərif.

Tip tənliyi ax=b, burada x dəyişən, a və b bəzi ədədlər adlanır bir dəyişənli xətti tənlik.

Səsli tərifə uyğun gələn xətti tənliklərə misallar verək. Məsələn, 5 x=10 bir x dəyişənli xətti tənlikdir, burada a əmsalı 5, b ədədi isə 10-dur. Başqa bir misal: −2.3 y=0 həm də xətti tənlikdir, lakin y dəyişəni ilə, burada a=−2.3 və b=0 . Və xətti tənliklərdə x=−2 və −x=3.33 a açıq şəkildə mövcud deyil və müvafiq olaraq 1 və −1-ə bərabərdir, birinci tənlikdə b=−2, ikincidə isə b=3.33 .

Və bir il əvvəl N. Ya.Vilenkinin riyaziyyat dərsliyində a x = b formalı tənliklərdən əlavə, bir naməlum xətti olan xətti tənliklər də birdən terminləri köçürməklə bu formaya endirilə bilən tənliklər hesab olunurdu. tənliyin bir hissəsini əks işarəli digərinə, eləcə də oxşar şərtləri azaltmaqla. Bu tərifə əsasən 5 x=2 x+6 formalı tənliklər və s. həm də xətti olur.

Öz növbəsində, A. G. Mordkoviçin 7 sinif üçün cəbr dərsliyində aşağıdakı tərif verilmişdir:

Tərif.

Bir x dəyişəni ilə xətti tənlik a x+b=0 formalı tənlikdir, burada a və b bəzi ədədlərdir, xətti tənliyin əmsalları adlanır.

Məsələn, bu cür xətti tənliklər 2 x−12=0, burada a əmsalı 2-yə, b isə −12-yə bərabərdir, a=0,2 və b =4,6 əmsalları ilə 0,2 y+4,6=0. Lakin eyni zamanda, a x+b=0 deyil, x=b formasına malik olan xətti tənliklərin nümunələri var, məsələn, 3 x=12 .

Gəlin, gələcəkdə heç bir uyğunsuzluğun olmaması üçün bir x dəyişəni və a və b əmsalları olan xətti tənlik altında a x+b=0 formalı bir tənliyi başa düşək. Bu tip xətti tənlik ən əsaslandırılmış kimi görünür, çünki xətti tənliklər belədir cəbri tənliklər birinci dərəcə. Yuxarıda göstərilən bütün digər tənliklər, eləcə də ekvivalent çevrilmələrin köməyi ilə x+b=0 formasına endirilən tənliklər adlanır. xətti tənliklərə endirilən tənliklər. Bu yanaşma ilə 2 x+6=0 tənliyi xətti tənlikdir və 2 x=−6 , 4+25 y=6+24 y , 4 (x+5)=12 və s. xətti tənliklərdir.

Xətti tənlikləri necə həll etmək olar?

İndi a x+b=0 xətti tənliklərinin necə həll olunduğunu anlamaq vaxtıdır. Başqa sözlə, xətti tənliyin kökləri olub-olmadığını, varsa, neçə və necə tapacağını öyrənmək vaxtıdır.

Xətti tənliyin köklərinin olması a və b əmsallarının qiymətlərindən asılıdır. Bu halda a x+b=0 xətti tənliyinə malikdir

a≠0-da yeganə kök,
a=0 və b≠0 üçün kökləri yoxdur,
a=0 və b=0 üçün sonsuz çoxlu köklərə malikdir, bu halda istənilən ədəd xətti tənliyin köküdür.

Bu nəticələrin necə əldə edildiyini izah edək.

Biz bilirik ki, tənlikləri həll etmək üçün ilkin tənlikdən ekvivalent tənliklərə, yəni eyni köklü və ya ilkin kimi köksüz tənliklərə keçmək mümkündür. Bunu etmək üçün aşağıdakı ekvivalent çevrilmələrdən istifadə edə bilərsiniz:

bir terminin tənliyin bir hissəsindən digərinə əks işarə ilə köçürülməsi,
və həmçinin tənliyin hər iki tərəfini sıfırdan fərqli eyni ədədə vurmaq və ya bölmək.

Deməli, a x+b=0 formalı bir dəyişəni olan xətti tənlikdə b terminini əks işarə ilə sol tərəfdən sağ tərəfə keçirə bilərik. Bu halda tənlik a x=−b formasını alacaq.

Və sonra tənliyin hər iki hissəsinin a sayına bölünməsi özünü göstərir. Ancaq bir şey var: a rəqəmi sıfıra bərabər ola bilər, bu halda belə bölmə mümkün deyil. Bu problemi həll etmək üçün əvvəlcə a rəqəminin sıfırdan fərqli olduğunu fərz edəcəyik və bir az sonra sıfır a halını ayrıca nəzərdən keçirəcəyik.

Deməli, a sıfıra bərabər olmadıqda, a x=−b tənliyinin hər iki hissəsini a ilə bölmək olar, bundan sonra o, x=(−b) formasına çevrilir: a, bu nəticəni a istifadə edərək yazmaq olar. kimi möhkəm xətt.

Beləliklə, a≠0 üçün a·x+b=0 xətti tənliyi kökünün göründüyü tənliyə ekvivalentdir.

Bu kökün unikal olduğunu, yəni xətti tənliyin başqa kökləri olmadığını göstərmək asandır. Bu, əks metodu etməyə imkan verir.

Kökü x 1 kimi qeyd edək. Tutaq ki, x 2 və x 2 ≠ x 1 işarə etdiyimiz xətti tənliyin başqa bir kökü var ki, buna görə fərq vasitəsilə bərabər ədədlərin tərifləri x 1 − x 2 ≠0 şərtinə ekvivalentdir. x 1 və x 2 a x+b=0 xətti tənliyinin kökləri olduğundan a x 1 +b=0 və a x 2 +b=0 ədədi bərabərlikləri baş verir. Ədədi bərabərliklərin xassələrinin bizə imkan verdiyi bu bərabərliklərin müvafiq hissələrini çıxa bilərik, bizdə x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , buradan a (x 1 −x 2)+( b−b)=0 və sonra a (x 1 − x 2)=0 . Həm a≠0, həm də x 1 − x 2 ≠0 olduğundan bu bərabərlik mümkün deyil. Beləliklə, a≠0 üçün a·x+b=0 xətti tənliyinin kökünün unikallığını sübut edən ziddiyyətə gəldik.

Beləliklə, a x+b=0 xətti tənliyini a≠0 ilə həll etdik. Bu yarımbəndin əvvəlində verilən ilk nəticə əsaslandırılır. a=0 şərtinə cavab verən daha ikisi var.

a=0 üçün a·x+b=0 xətti tənliyi 0·x+b=0 olur. Bu tənlikdən və ədədləri sıfıra vurma xassəsindən belə nəticə çıxır ki, hansı ədədi x kimi götürsək də, onu 0 x+b=0 tənliyinə əvəz etdikdə b=0 ədədi bərabərliyi əldə edirik. Bu bərabərlik b=0 olduqda doğrudur, digər hallarda isə b≠0 olduqda bu bərabərlik yanlışdır.

Buna görə də, a=0 və b=0 ilə istənilən ədəd a x+b=0 xətti tənliyinin köküdür, çünki bu şərtlərdə x əvəzinə istənilən ədədi əvəz etmək 0=0 düzgün ədədi bərabərliyi verir. Və a=0 və b≠0 üçün a x+b=0 xətti tənliyinin kökü yoxdur, çünki bu şərtlərdə x əvəzinə istənilən ədədi əvəz etmək səhv ədədi b=0 bərabərliyinə gətirib çıxarır.

Yuxarıdakı əsaslandırmalar istənilən xətti tənliyi həll etməyə imkan verən hərəkətlər ardıcıllığını formalaşdırmağa imkan verir. Belə ki, xətti tənliyin həlli alqoritmi edir:

Əvvəlcə xətti tənlik yazaraq a və b əmsallarının qiymətlərini tapırıq.
Əgər a=0 və b=0 olarsa, onda bu tənliyin sonsuz çoxlu kökləri var, yəni istənilən ədəd bu xətti tənliyin köküdür.
Əgər a sıfırdan fərqlidirsə, onda

b əmsalı əks işarə ilə sağ tərəfə köçürülür, xətti tənlik isə a x=−b formasına çevrilir,
bundan sonra yaranan tənliyin hər iki hissəsi sıfırdan fərqli a ədədinə bölünür ki, bu da ilkin xətti tənliyin istənilən kökünü verir.

Yazılı alqoritm xətti tənlikləri necə həll etmək sualına tam cavabdır.

Bu paraqrafın yekununda qeyd etmək lazımdır ki, oxşar alqoritm a x=b formalı tənlikləri həll etmək üçün istifadə olunur. Onun fərqi ondadır ki, a≠0 tənliyin hər iki hissəsi dərhal bu ədədə bölündükdə, burada b artıq tənliyin istənilən hissəsindədir və onu köçürməyə ehtiyac yoxdur.

a x=b formalı tənlikləri həll etmək üçün aşağıdakı alqoritmdən istifadə olunur:

Əgər a=0 və b=0 olarsa, onda tənliyin istənilən ədəd olan sonsuz çoxlu kökləri var.
Əgər a=0 və b≠0 olarsa, ilkin tənliyin kökləri yoxdur.
Əgər a sıfır deyilsə, onda tənliyin hər iki tərəfi sıfırdan fərqli a ədədinə bölünür, ondan b/a-ya bərabər olan tənliyin yeganə kökü tapılır.

Xətti tənliklərin həlli nümunələri

Gəlin məşqə keçək. Xətti tənliklərin həlli alqoritminin necə tətbiq olunduğunu təhlil edək. Xətti tənliklərin əmsallarının müxtəlif qiymətlərinə uyğun gələn tipik nümunələrin həllərini təqdim edək.

Misal.

0 x−0=0 xətti tənliyini həll edin.

Həll.

Bu xətti tənlikdə a=0 və b=−0, b=0 ilə eynidir. Buna görə də bu tənliyin sonsuz çoxlu kökləri var, istənilən ədəd bu tənliyin köküdür.

Cavab:

x istənilən ədəddir.

Misal.

0 x+2.7=0 xətti tənliyinin həlli varmı?

Həll.

Bu halda a əmsalı sıfıra, bu xətti tənliyin b əmsalı isə 2,7-yə bərabərdir, yəni sıfırdan fərqlidir. Buna görə də xətti tənliyin kökləri yoxdur.

Tənliklər. Başqa sözlə, bütün tənliklərin həlli bu çevrilmələrdən başlayır. Xətti tənlikləri həll edərkən, o (həlli) eyni çevrilmələrə əsaslanır və yekun cavabla bitir.

Naməlum dəyişən üçün sıfırdan fərqli əmsal halı.

ax+b=0, a ≠ 0

X olan üzvləri bir tərəfə, nömrələri isə digər tərəfə köçürüürük. Şərtləri tənliyin əks tərəfinə köçürərkən işarəni dəyişdirməyiniz lazım olduğunu unutmayın:

ax:(a)=-b:(a)

azaldırıq a saat X və alırıq:

x=-b:(a)

Bu cavabdır. Bir nömrənin olub olmadığını yoxlamaq istəyirsinizsə -b:(a) tənliyimizin kökü, o zaman əvəzinə ilkin tənlikdə əvəz etməmiz lazımdır X bu eyni nömrədir:

a(-b:(a))+b=0 ( olanlar. 0=0)

Çünki onda bu bərabərlik doğrudur -b:(a) həqiqət isə tənliyin köküdür.

Cavab: x=-b:(a), a ≠ 0.

Birinci misal:

5x+2=7x-6

Şərtləri bir tərəfə transfer edirik X, və nömrənin digər tərəfində:

5x-7x=-6-2

-2x:(-2)=-8:(-2)

Naməlum əmsalla onu azaldıb cavab aldılar:

Bu cavabdır. Əgər 4 rəqəminin həqiqətən tənliyimizin kökü olub-olmadığını yoxlamaq lazımdırsa, orijinal tənlikdə x əvəzinə bu rəqəmi əvəz edirik:

5*4+2=7*4-6 ( olanlar. 22=22)

Çünki bu bərabərlik doğrudur, onda 4 tənliyin köküdür.

İkinci misal:

Tənliyi həll edin:

5x+14=x-49

Naməlumları və rəqəmləri müxtəlif istiqamətlərə köçürərək, əldə etdik:

Tənliyin hissələrini at əmsalı ilə bölürük x(4-də) və əldə edin:

Üçüncü misal:

Tənliyi həll edin:

Birincisi, bütün şərtləri aşağıdakılara vurmaqla naməlum əmsalındakı irrasionallıqdan xilas oluruq:

Bu forma sadələşdirilmiş hesab olunur, çünki ədədin məxrəcdəki ədədin kökü var. Numerator və məxrəci eyni ədədə vuraraq cavabı sadələşdirməliyik, bizdə belədir:

Heç bir həll yolu yoxdur.

Tənliyi həll edin:

2x+3=2x+7

Hamı üçün x tənliyimiz əsl bərabərliyə çevrilməyəcək. Yəni bizim tənliyin kökü yoxdur.

Cavab: Heç bir həll yolu yoxdur.

Xüsusi hal sonsuz sayda həll yoludur.

Tənliyi həll edin:

2x+3=2x+3

X və ədədləri müxtəlif istiqamətlərə köçürərək və oxşar şərtləri gətirərək tənliyi əldə edirik:

Burada da hər iki hissəni 0-a bölmək mümkün deyil, çünki qadağandır. Bununla belə, yerinə qoymaq X istənilən ədəd, düzgün bərabərliyi əldə edirik. Yəni hər bir ədəd belə bir tənliyin həllidir. Beləliklə, sonsuz sayda həll var.

Cavab: sonsuz sayda həll yolu.

İki tam formanın bərabərliyi halı.

ax+b=cx+d

ax-cx=d-b

(a-c)x=d-b

x=(d-b):(a-c)

Cavab: x=(d-b):(a-c), əgər d≠b və a≠c, əks halda sonsuz sayda həll yolu var, amma əgər a=c, a d≠b, onda heç bir həll yolu yoxdur.

Bu videoda biz eyni alqoritmlə həll olunan xətti tənliklərin bütün dəstini təhlil edəcəyik - buna görə də onlar ən sadə adlanırlar.

Başlamaq üçün müəyyən edək: xətti tənlik nədir və onlardan hansını ən sadə adlandırmaq lazımdır?

Xətti tənlik yalnız bir dəyişənin və yalnız birinci dərəcədə olduğu bir tənlikdir.

Ən sadə tənlik tikinti deməkdir:

Bütün digər xətti tənliklər alqoritmdən istifadə edərək ən sadə tənliklərə endirilir:

Mötərizələri açın, əgər varsa;
Tərkibində dəyişən olan şərtləri bərabər işarəsinin bir tərəfinə, dəyişəni olmayan şərtləri isə digər tərəfə köçürün;
Bənzər şərtləri bərabər işarənin soluna və sağına gətirin;
Yaranan tənliyi $x$ dəyişəninin əmsalına bölün.

Əlbəttə ki, bu alqoritm həmişə kömək etmir. Fakt budur ki, bəzən bütün bu maxinasiyalardan sonra $x$ dəyişəninin əmsalı sıfıra bərabər olur. Bu vəziyyətdə iki seçim mümkündür:

Tənliyin heç bir həlli yoxdur. Məsələn, $0\cdot x=8$ kimi bir şey əldə etdiyiniz zaman, yəni. solda sıfır, sağda isə sıfırdan fərqli rəqəmdir. Aşağıdakı videoda bu vəziyyətin mümkün olmasının bir neçə səbəbini nəzərdən keçirəcəyik.
Həll bütün nömrələrdir. Bunun mümkün olduğu yeganə hal tənliyin $0\cdot x=0$ konstruksiyasına endirilməsidir. Tamamilə məntiqlidir ki, hansı $x$-ı əvəz etsək də, yenə də “sıfır sıfıra bərabərdir” çıxacaq, yəni. düzgün ədədi bərabərlik.

İndi gəlin bütün bunların real problemlərin timsalında necə işlədiyini görək.

Tənliklərin həlli nümunələri

Bu gün biz xətti tənliklərlə və yalnız ən sadələri ilə məşğul oluruq. Ümumiyyətlə, xətti tənlik tam bir dəyişəni ehtiva edən hər hansı bərabərlik deməkdir və o, yalnız birinci dərəcəyə qədər gedir.

Bu cür tikintilər təxminən eyni şəkildə həll olunur:

Hər şeydən əvvəl, əgər varsa, mötərizələri açmaq lazımdır (son nümunəmizdə olduğu kimi);
Sonra oxşar gətirin
Nəhayət, dəyişəni təcrid edin, yəni. dəyişənlə bağlı olan hər şey - onun daxil olduğu terminlər bir tərəfə, onsuz qalan hər şey digər tərəfə keçir.

Sonra, bir qayda olaraq, ortaya çıxan bərabərliyin hər tərəfinə oxşarlıq gətirməlisiniz və bundan sonra yalnız "x" əmsalı ilə bölmək qalır və biz yekun cavabı alacağıq.

Teorik olaraq, bu gözəl və sadə görünür, lakin praktikada hətta təcrübəli orta məktəb tələbələri kifayət qədər sadə xətti tənliklərdə təhqiredici səhvlər edə bilərlər. Adətən, ya mötərizələri açarkən, ya da “artı” və “mənfiləri” sayarkən səhvlərə yol verilir.

Bundan əlavə, belə olur ki, xətti tənliyin heç bir həlli yoxdur və ya həll bütün ədəd xəttidir, yəni. istənilən nömrə. Bu incəlikləri bugünkü dərsimizdə təhlil edəcəyik. Ancaq artıq başa düşdüyünüz kimi, ən sadə tapşırıqlardan başlayacağıq.

Sadə xətti tənliklərin həlli sxemi

Başlamaq üçün icazə verin, bir daha ən sadə xətti tənliklərin həlli üçün bütün sxemi yazım:

Əgər varsa, mötərizələri genişləndirin.
Dəyişənləri təcrid edin, yəni. tərkibində "x" olan hər şey bir tərəfə, "x" olmadan isə digər tərəfə köçürülür.
Oxşar terminləri təqdim edirik.
Hər şeyi "x" əmsalı ilə bölürük.

Əlbəttə ki, bu sxem həmişə işləmir, onun müəyyən incəlikləri və fəndləri var və indi biz onlarla tanış olacağıq.

Sadə xətti tənliklərin real nümunələrinin həlli

Tapşırıq №1

İlk addımda mötərizələri açmağımız tələb olunur. Lakin onlar bu nümunədə deyillər, ona görə də bu addımı atlayırıq. İkinci addımda dəyişənləri təcrid etməliyik. Diqqət yetirin: söhbət yalnız fərdi şərtlərdən gedir. Gəlin yazaq:

Biz solda və sağda oxşar şərtlər veririk, lakin bu, artıq burada edilib. Beləliklə, dördüncü addıma keçirik: bir faktora bölün:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Burada cavabı aldıq.

Tapşırıq №2

Bu tapşırıqda biz mötərizələri müşahidə edə bilərik, ona görə də onları genişləndirək:

Həm solda, həm də sağda təxminən eyni tikinti görürük, lakin alqoritmə uyğun hərəkət edək, yəni. sekvestr dəyişənləri:

Budur bəziləri:

Bu hansı köklərə əsaslanır? Cavab: istənilən üçün. Buna görə də yaza bilərik ki, $x$ istənilən ədəddir.

Tapşırıq №3

Üçüncü xətti tənlik artıq daha maraqlıdır:

\[\sol(6-x \sağ)+\sol(12+x \sağ)-\sol(3-2x \sağ)=15\]

Burada bir neçə mötərizə var, lakin onlar heç nə ilə vurulmur, sadəcə onların qarşısında müxtəlif işarələr var. Gəlin onları parçalayaq:

Artıq bizə məlum olan ikinci addımı yerinə yetiririk:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Gəlin hesablayaq:

Son addımı yerinə yetiririk - hər şeyi "x" əmsalı ilə bölürük:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Xətti tənlikləri həll edərkən yadda saxlamalı olanlar

Əgər çox sadə tapşırıqlara məhəl qoymuruqsa, onda aşağıdakıları demək istərdim:

Yuxarıda dediyim kimi, hər xətti tənliyin həlli yoxdur - bəzən sadəcə köklər olmur;
Köklər olsa belə, onların arasına sıfır daxil ola bilər - bunda səhv bir şey yoxdur.

Sıfır qalanlarla eyni rəqəmdir, onu bir şəkildə ayırd etməməli və ya sıfır alsanız, səhv bir şey etdiyinizi düşünməməlisiniz.

Başqa bir xüsusiyyət mötərizələrin genişləndirilməsi ilə bağlıdır. Diqqət edin: onların qarşısında "mənfi" olduqda, onu çıxarırıq, lakin mötərizədə işarələri dəyişdiririk. əks. Və sonra standart alqoritmlərə uyğun olaraq aça bilərik: yuxarıdakı hesablamalarda gördüklərimizi alacağıq.

Bu sadə həqiqəti başa düşmək, orta məktəbdə bu cür hərəkətlərin təbii qəbul edildiyi zaman axmaq və incidəcək səhvlərə yol verməməyə kömək edəcək.

Mürəkkəb xətti tənliklərin həlli

Daha mürəkkəb tənliklərə keçək. İndi konstruksiyalar daha da mürəkkəbləşəcək və müxtəlif çevrilmələri yerinə yetirərkən kvadrat funksiya meydana çıxacaq. Bununla belə, bundan qorxmamalısınız, çünki müəllifin niyyətinə uyğun olaraq xətti tənliyi həll etsək, onda çevrilmə prosesində kvadrat funksiyanı ehtiva edən bütün monomiallar mütləq azalacaq.

Nümunə №1

Aydındır ki, ilk addım mötərizələri açmaqdır. Bunu çox diqqətlə edək:

İndi məxfiliyi götürək:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Budur bəziləri:

Aydındır ki, bu tənliyin həlli yoxdur, ona görə də cavabda aşağıdakı kimi yazırıq:

\[\çeşid \]

ya da kökləri yoxdur.

Nümunə №2

Eyni addımları yerinə yetiririk. İlk addım:

Dəyişən ilə hər şeyi sola, onsuz isə sağa keçirək:

Budur bəziləri:

Aydındır ki, bu xətti tənliyin həlli yoxdur, ona görə də bunu belə yazırıq:

\[\varnothing\],

ya da kökləri yoxdur.

Həllin nüansları

Hər iki tənlik tamamilə həll olunur. Bu iki ifadənin timsalında biz bir daha əmin olduq ki, hətta ən sadə xətti tənliklərdə belə hər şey o qədər də sadə ola bilməz: ya bir, ya heç biri, ya da sonsuz sayda ola bilər. Bizim vəziyyətimizdə iki tənliyi nəzərdən keçirdik, hər ikisində sadəcə kök yoxdur.

Amma diqqətinizi başqa bir fakta cəlb etmək istərdim: mötərizələrlə necə işləmək və onların qarşısında mənfi işarə varsa, onları necə açmaq olar. Bu ifadəni nəzərdən keçirin:

Açmadan əvvəl hər şeyi "x" ilə çoxaltmaq lazımdır. Diqqət edin: çoxaldın hər bir fərdi termin. İçəridə iki termin var - müvafiq olaraq iki şərt və vurulur.

Və yalnız bu elementar görünən, lakin çox vacib və təhlükəli çevrilmələr tamamlandıqdan sonra mötərizəni ondan sonra mənfi işarənin olması baxımından açmaq olar. Bəli, bəli: yalnız indi, çevrilmələr edildikdə, mötərizələrin qarşısında mənfi işarənin olduğunu xatırlayırıq, yəni aşağı olan hər şey sadəcə işarələri dəyişir. Eyni zamanda, mötərizələr özləri yox olur və ən əsası, ön "mənfi" də yox olur.

İkinci tənliklə də eyni şeyi edirik:

Təsadüfi deyil ki, bu kiçik, əhəmiyyətsiz görünən faktlara diqqət yetirirəm. Çünki tənliklərin həlli həmişə elementar çevrilmələrin ardıcıllığıdır ki, burada sadə hərəkətləri aydın və bacarıqla yerinə yetirə bilməmək orta məktəb şagirdlərinin mənim yanıma gəlib yenidən belə sadə tənlikləri həll etməyi öyrənməsinə gətirib çıxarır.

Əlbəttə, gün gələcək ki, siz bu bacarıqları avtomatizmə çatdıracaqsınız. Artıq hər dəfə bu qədər transformasiya etmək məcburiyyətində deyilsiniz, hər şeyi bir sətirdə yazacaqsınız. Ancaq yeni öyrənərkən, hər bir hərəkəti ayrıca yazmalısınız.

Daha mürəkkəb xətti tənliklərin həlli

İndi həll edəcəyimiz şeyi çətin ki, ən sadə tapşırıq adlandırmaq olar, amma məna eyni olaraq qalır.

Tapşırıq №1

\[\sol(7x+1 \sağ)\left(3x-1 \sağ)-21((x)^(2))=3\]

Birinci hissədəki bütün elementləri çoxaldaq:

Bir geri çəkiliş edək:

Budur bəziləri:

Son addımı edək:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Son cavabımız budur. Və həll prosesində kvadrat funksiyalı əmsallarımız olmasına baxmayaraq, onlar qarşılıqlı olaraq məhv edildi, bu da tənliyi kvadrat deyil, tam xətti edir.

Tapşırıq №2

\[\sol(1-4x \sağ)\sol(1-3x \sağ)=6x\sol(2x-1 \sağ)\]

Gəlin ilk addımı diqqətlə edək: birinci mötərizədəki hər elementi ikincidəki hər bir elementə çarpın. Ümumilikdə, transformasiyalardan sonra dörd yeni termin əldə edilməlidir:

İndi hər bir termində çoxalmanı diqqətlə yerinə yetirin:

Şərtləri "x" ilə sola, onsuz isə sağa keçirək:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Budur oxşar terminlər:

Biz qəti cavab almışıq.

Həllin nüansları

Bu iki tənliklə bağlı ən vacib qeyd budur: bir müddətdən çox olan mötərizələri vurmağa başlayan kimi, bu, aşağıdakı qaydaya əsasən edilir: birincidən birinci həddi götürürük və hər bir elementlə çoxalırıq. ikincidən; onda birincidən ikinci elementi götürürük və eyni şəkildə ikincinin hər bir elementi ilə çoxalırıq. Nəticədə dörd şərt alırıq.

Cəbri cəmi haqqında

Sonuncu misalla cəbri cəminin nə olduğunu tələbələrə xatırlatmaq istərdim. Klassik riyaziyyatda $1-7$ dedikdə sadə konstruksiya nəzərdə tutulur: birdən yeddi çıxarırıq. Cəbrdə biz bununla aşağıdakıları nəzərdə tuturuq: “bir” rəqəminə başqa bir ədəd, yəni “mənfi yeddi” əlavə edirik. Bu cəbri cəmi adi arifmetik cəmindən fərqlənir.

Bütün çevrilmələri, hər bir əlavə və vurmanı yerinə yetirən kimi, yuxarıda təsvir edilənlərə bənzər konstruksiyalar görməyə başlayırsınız, polinomlar və tənliklərlə işləyərkən cəbrdə sadəcə olaraq heç bir probleminiz olmayacaq.

Yekun olaraq, indi baxdığımızdan daha mürəkkəb olacaq bir neçə misal daha nəzərdən keçirək və onları həll etmək üçün standart alqoritmimizi bir qədər genişləndirməli olacağıq.

Kəsiri olan tənliklərin həlli

Bu cür vəzifələri həll etmək üçün alqoritmimizə daha bir addım əlavə etmək lazımdır. Ancaq əvvəlcə alqoritmimizi xatırladacağam:

Açıq mötərizələr.
Ayrı-ayrı dəyişənlər.
Oxşar gətirin.
Bir faktora bölün.

Təəssüf ki, bu gözəl alqoritm, bütün səmərəliliyinə baxmayaraq, qarşımızda fraksiyalar olduqda tamamilə uyğun deyil. Aşağıda görəcəyimiz şeydə hər iki tənlikdə solda və sağda kəsrimiz var.

Bu vəziyyətdə necə işləmək olar? Bəli, çox sadədir! Bunu etmək üçün alqoritmə daha bir addım əlavə etməlisiniz, bu həm ilk hərəkətdən əvvəl, həm də ondan sonra yerinə yetirilə bilər, yəni fraksiyalardan qurtulun. Beləliklə, alqoritm aşağıdakı kimi olacaq:

Fraksiyalardan qurtulun.
Açıq mötərizələr.
Ayrı-ayrı dəyişənlər.
Oxşar gətirin.
Bir faktora bölün.

"Kəsrlərdən qurtulmaq" nə deməkdir? Və niyə bunu həm ilk standart addımdan sonra, həm də ondan əvvəl etmək mümkündür? Əslində, bizim vəziyyətimizdə bütün kəsrlər məxrəc baxımından ədədidir, yəni. hər yerdə məxrəc sadəcə bir ədəddir. Ona görə də tənliyin hər iki hissəsini bu ədədə vursaq, onda kəsrlərdən xilas olarıq.

Nümunə №1

\[\frac(\left(2x+1 \sağ)\left(2x-3 \sağ))(4)=((x)^(2))-1\]

Bu tənlikdəki kəsrlərdən xilas olaq:

\[\frac(\left(2x+1 \sağ)\left(2x-3 \sağ)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \sağ)\cdot dörd\]

Xahiş edirik unutmayın: hər şey bir dəfə "dörd" ilə vurulur, yəni. iki mötərizənin olması onların hər birini "dörd"ə vurmalı olduğunuz demək deyil. Gəlin yazaq:

\[\left(2x+1 \sağ)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \sağ)\cdot 4\]

İndi onu açaq:

Bir dəyişənin təcridini həyata keçiririk:

Oxşar terminlərin azaldılmasını həyata keçiririk:

\[-4x=-1\sol| :\sol(-4 \sağ) \sağ.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Son həlli aldıq, ikinci tənliyə keçirik.

Nümunə №2

\[\frac(\left(1-x \sağ)\left(1+5x \sağ))(5)+(x)^(2))=1\]

Burada bütün eyni hərəkətləri edirik:

\[\frac(\left(1-x \sağ)\left(1+5x \sağ)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem həll edildi.

Əslində, bu gün demək istədiyim şey budur.

Əsas məqamlar

Əsas tapıntılar aşağıdakılardır:

Xətti tənliklərin həlli alqoritmini bilmək.
Mötərizələr açmaq bacarığı.
Bir yerdə kvadratik funksiyalarınız varsa, narahat olmayın, çox güman ki, sonrakı çevrilmə prosesində onlar azalacaq.
Xətti tənliklərdəki köklər, hətta ən sadələri belə, üç növdür: bir tək kök, bütün say xətti kökdür, kökləri ümumiyyətlə yoxdur.

Ümid edirəm ki, bu dərs bütün riyaziyyatı daha yaxşı başa düşmək üçün sadə, lakin çox vacib bir mövzunu mənimsəməyə kömək edəcək. Bir şey aydın deyilsə, sayta keçin, orada təqdim olunan nümunələri həll edin. İzləmədə qalın, sizi daha çox maraqlı şeylər gözləyir!