Krılov alt fəzasından istifadə edərək xətti cəbri tənliklərin qeyri-şərtsiz seyrək sistemlərinin həlli. Xətti cəbri tənliklərin şərtsiz sistemlərinin həlli Qeyri-xətti tənliklərin və qeyri-xətti tənliklərin sistemlərinin həlli

Xətti tənliklərin zahirən oxşar görünən iki sistemi, giriş məlumatlarında səhvlərə qarşı fərqli həssaslığa malik ola bilər. Bu xüsusiyyət konsepsiya ilə bağlıdır tənliklər sisteminin şərtiliyi.

Vəziyyət nömrəsi xətti operator A, normallaşdırılmış fəzada fəaliyyət göstərən və həmçinin xətti tənliklər sisteminin şərt nömrəsi ilə balta = saat kəmiyyəti deyək

Beləliklə, şərt nömrəsi ilə norma seçimi arasında əlaqə yaranır.

Fərz edək ki, sistemin matrisi və sağ tərəfi dəqiq göstərilməyib. Bu halda matrisin xətası d-dir A, və sağ tərəfi - d saat. Göstərilə bilər ki, səhv üçün d x aşağıdakı təxminimiz var ( ):

Xüsusilə, əgər d A= 0, onda

Bu vəziyyətdə tənliyin həlli balta = saat hamının gözü qarşısında deyil saat narahatlığa eyni dərəcədə həssasdır d saat sağ tərəf.

Xətti operatorun şərt nömrəsinin xüsusiyyətləri:

və bütün bunlar üçün maksimum və minimum götürülür x Nəticədə,

burada və müvafiq olaraq matrisin minimum və maksimum modul öz dəyərləridir A. Kosmosda Evklid normasından istifadə edildikdə öz-özünə bitişik matrislər üçün bərabərlik əldə edilir.

Şərti sayı böyük olan (təxminən ) matrislər çağırılır şərtsiz matrislər. Şərtsiz matrisləri olan sistemləri ədədi həll edərkən, d səhvinin təxminindən irəli gələn güclü səhvlərin yığılması mümkündür. x. Sağ tərəfi hesablayarkən kompüterdə yuvarlaqlaşdırma xətaları nəticəsində yaranan həll xətası məsələsini araşdıraq. Qoy t- kompüterdə ədədlərin ikili rəqəmli tutumu. Sağ tərəfdəki vektorun hər bir komponenti nisbi xəta ilə yuvarlaqlaşdırılır.

Beləliklə, yuvarlaqlaşdırma xətalarının səbəb olduğu həll xətası pis kondisioner sistemlər vəziyyətində qəbuledilməz dərəcədə böyük ola bilər.

Beləliklə, iki əsas problem qalır:

1 .alqoritmin unikal (model nümunəsi olduqda, doğru) struktura əsaslandırılmış yaxınlaşması təmin edilmir və

2 . Model parametrlərinin qiymətləndirilməsində iştirak etməyən yeni nöqtələrdə pilləli reqressiya modellərinin qeyri-adekvatlığı ilə bağlı ziddiyyət həll edilməmişdir. Mümkündürmü, əgər model sintezinin digər üsullarından istifadə etməklə belə adekvatlığı təmin etmək mümkün deyilsə, onda heç olmasa belə bir problemi həll etməyin yolunu tapın (adekvatlığı başqa üsulla da müəyyən etmək olar)

ASR üçün, OLS qiymətləndirməsi üçün Gram-Schmidt prosedurundan istifadə edilsə belə, modelin unikallığı məsələsi həll edilmir - sadəcə olaraq parametr qiymətləndirmələri ən dəqiq və qərəzsiz olur.

Bu. real məsələlərdə uyğun həllərin bütün dəstinin zəmanətli tapılması (üçün - xətti giriş arqumentlərinin sayı və PP p > 3 dərəcəsi) yalnız tamamlandıqdan sonra əldə ediləcəkdir.

bütün reqressiyalar metodunda olduğu kimi tam strukturun bütün alt strukturlarının sadalanması (Dreyper və Smit tərəfindən). Sonra tapacağıq bütün modellər , hansında bütün arqumentlər qeyd olunandan az olmayan əhəmiyyət səviyyəsi ilə daxil edilir. Yuxarıda təsvir olunan bütün problemlərlə - və onlardan hansı biri, həqiqətən, bizimdir.

Məlumatlardakı səs-küyün səviyyəsini nəzərə almaq üçün əhəmiyyət səviyyəsindəki istifadə edilməmiş dəyişiklik ehtimalı haqqında ASR bağına bir daş da əlavə edə bilərsiniz.

Məhz bu problemi MSGU konsepsiyanı təqdim etməklə həll etməyi təklif edir xarici meyarlar.

Tələb olunan Qeyd.

ASR, MVI, MSHA və digər uyğun yanaşmaların bütün növləri ilə demək olar ki, eyni dərəcədə effektiv (və ya səmərəsiz) həllər təmin edir. Kriteriya əyriləri eyni dərəcədə asimptotik olaraq sıfırdan fərqli bəzi səviyyəyə meyl edir, yaxınlaşdıqda tək model müəyyən edilir.

Onların hər biri bunu özünəməxsus şəkildə yerinə yetirir və istədiyiniz modelə yaxınlaşmaqla metodun adekvatlığını yalnız öz tapşırığınıza uyğun model nümunəsi qurmaqla müəyyən edə bilərsiniz.

Bununla belə, ən çox rast gəlinən hal xalların sayının az olmasıdır, o zaman etməməyə qərar veririk yenidən müəyyən edilmişdir problem (burada dəqiq həll yoxdur və biz pis həllər arasında ən yaxşısını axtarırıq) və müəyyənə yaxındır- daha doğrusu hətta nə vaxtsa naməlum vəzifə həddən artıq müəyyən edilmiş – çox müəyyən edilmiş və ya az müəyyənləşdirilmiş. Yəni burada tamamilə yanlış görünən bir tapşırıq daxil edilib.

VƏ struktur-parametrik sintezin həllinə ən effektiv yanaşma bu şərtlərdə GMDH nümayiş etdirir

Gördüyümüz kimi, birinci şərtin pozulması artıqdır yaradır modellərin çoxluğu problemini tam axtarış proseduruna müraciət etmədən həll etmək zərurəti - namizəd modellərin tam axtarışı olmadan həqiqi və ya kvazi-həqiqi modelə yol tapmağa imkan verən bəzi prinsip təklif etmək lazımdır.

Növbəti problem daha az real deyil və struktur tapmaq problemini daha da qarışdırır. - məlumatlarda səs-küy problemi - bunun LSM aparatının proyeksiya xüsusiyyətlərini pozduğunu xatırlayırıq - təxminlərin xüsusiyyətləri pozulur, lakin problem ondadır ki, səs-küylü məlumatlarda əsl strukturu tapmaq ümumiyyətlə problemli ola bilər - əgər səs-küy xüsusiyyətləri və onların tətbiqi nöqtələri məlum deyil, alqoritm axmaqcasına səs-küyə uyğunlaşacaq.

Əsas problem– klassik ASH tərəfindən model strukturunun əsassız seçilməsi problemi dəfələrlə kəskinləşir, çünki eşikşəklində Fisher meyarı tərəfindən istifadə olunur əhəmiyyət səviyyəsi

əslində yalnız səhv riskini tənzimləyir

– onun seçimi səs-küy səviyyəsini və onun tətbiqi nöqtələrini nəzərə almalıdır.

Axı, səs-küy səviyyəsinin artması, məsələn, çıxışda, istər-istəməz modelin qabalaşdırılmasını (səs-küyə uyğunlaşdırmadan) və buna görə də arqumentləri modelə daha ciddi şəkildə süzgəcdən keçirmək və əhəmiyyətini artırmaq üçün səviyyənin dəyişdirilməsini tələb edir. sadələşdirin.

Girişdə səs-küyü nəzərə almaq, xüsusən də modelin qeyri-xətti çevrilməsinə məruz qaldıqda, daha çətindir.

Bununla belə, metodoloji cəhətdən alqoritmlərdə bu düzəlişlərin nəzərə alınması mexanizmləri yoxdur səs-küy şəraitində strukturların seçilməsini əsassız edir.

Kolleksiya çıxışı:

KRILOV ALT MƏZƏNİNDƏN İSTİFADƏ EDİLƏN XƏTTİ CƏBRİK TƏNLİKLƏRİN QEYRİ ŞƏRTLƏRDƏNMƏYƏN PARSE SİSTEMLƏRİNİN HƏLLİ

Quseva Yuliya Sergeevna

S.P adına Samara Dövlət Aerokosmik Universitetinin tələbəsi. Kraliça,

Samara

E-poçt:

Gogoleva Sofya Yurievna

S.P. adına Samara Dövlət Aerokosmik Universitetinin dosenti. Kraliça,

Samara

E-poçt:

Giriş

Bir çox praktiki məsələlərin riyazi modelləri əksər elementlərin sıfıra bərabər olduğu böyük və seyrək əmsallı matrisləri olan SLAE-lərin həllinə gətirib çıxarır. Bir matrisə seyrəklik xassəsinin aid edilməsi onun seyrəkliyindən istifadə edən alqoritmin mövcudluğunu təsdiqləməyə bərabərdir. Bir matrisin əmsallarının böyük bir hissəsi sıfırlardan ibarət olduqda, bütün bu sıfırları kompüterin yaddaşında saxlamaq istəməyimiz tamamilə aydındır. Buna görə də, matris alqoritmləri elə qurulmalıdır ki, yalnız sıfırdan fərqli elementlər işlənsin və sıfırdan fərqli elementlərin yerləşdiyi yer haqqında əvvəlcədən biliklərə əsaslanaraq, sıfırla toplama və ya sıfıra vurma kimi əməliyyatlardan qaçınsın. Beləliklə, alqoritmi yerinə yetirərkən maşının yerinə yetirdiyi əməliyyatların sayı matrisin bütün elementlərinin sayına deyil, sıfırdan fərqli elementlərin sayına mütənasibdir. Seyrək matrislərlə işləyərkən ciddi problem ədədi sabitlikdir.

Qauss aradan qaldırılması kimi üsullar tənlik sistemlərini həll etmək üçün çox vaxt və ya yaddaş tələb etdikdə, iterativ üsullardan istifadə olunur. Şərti olmayan seyrək SLAE-ləri həll edərkən, həll edərkən dəqiq nəticə və ən az doldurma (yeni sıfırdan fərqli elementlərin görünüşü) əldə etməyə imkan verəcək bir üsul seçmək lazımdır. Bu cür tənlik sistemlərinin həlli üçün iterativ üsullar arasında ən təsirli və sabit proyeksiya metodları adlanır və xüsusilə onların Krılov alt fəzalarına proyeksiya ilə əlaqəli olan sinfidir. Bu üsulların bir sıra üstünlükləri var: onlar sabitdir, səmərəli paralelləşdirməyə imkan verir, müxtəlif sətir (sütun) formatları və müxtəlif tipli ilkin şərtlərlə işləyir.

Problemin ifadəsi

Xətti cəbri tənliklər sistemini nəzərdən keçirək

Harada: - pis kondisioner seyrək matris,

Bu yazı pis şəraitli seyrək SLAE-lərin həlli üçün iterativ üsulların müqayisəli təhlilini təqdim edir. Aşağıdakı üsullar seçildi: konjugat qradiyenti metodu (CG), minimal qalıq metodu (MinRes), ikili konjugat istiqaməti metodu (CGS) və kvazi-minimal qalıqlar (QMR).

SLAE-lərin həlli üçün bu və ya digər metodu seçərkən A matrisinin strukturunu nəzərə almaq vacibdir. Bu, hər bir metodun müəyyən xətti tənliklər sistemi üçün zəmanətli nəticə əldə etməyə imkan verməməsi ilə əlaqədardır.

Beləliklə, SLAE-lərin həlli üçün iterativ üsulların müqayisəsi üçün kriteriya aşağıdakılardan ibarət olacaqdır: nəticələrin səhvi, yaxınlaşma sürəti və matrisin strukturu.

Ədədi tədqiqatların nəticələri göstərmişdir ki, SLAE-ləri simmetrik/asimmetrik və normal tənliklərə yaxşı şərtlənmiş A matrisi ilə həll etmək üçün CG metodundan istifadə etmək daha yaxşıdır. Əgər A matrisi simmetrikdirsə və zəif şərtlənirsə, MinRes metodu ən yaxşı yaxınlaşmanı göstərdi. A üçün - asimmetrik, pis kondisioner - kvazi-minimal qalıqlar üsulu.

İterativ metodların yaxınlaşma dərəcəsini yaxşılaşdırmaq üçün sistem matrisinin əvvəlcədən şərtləndirilməsindən istifadə olunur. Bu, belə bir ilkin şərtləndirici matrisin SLAE həlli prosedurunun çox əmək tutumlu və ədədi sabit olmaması üçün seçilməsindən ibarətdir. Müəyyən problemdən asılı olaraq ilkin kondisionerin düzgün seçilməsi konvergensiyanı çox sürətləndirə bilər. Əslində, iterativ bir metodun ümumiyyətlə yaxınlaşması üçün yaxşı bir şərti təmin edən çox vaxt lazımdır.

Bu işdə seyrək pis kondisioner matrisləri olan kvazi-minimal qalıqların metodu üçün bir neçə növ əvvəlcədən şərtləşdirmə nəzərdən keçirilmişdir: QR parçalanması ilə sol və sağ ilkin şərtləşdirmə, LU parçalanması ilə sol və sağ ilkin şərtləşdirmə, həmçinin LU parçalanmasının modifikasiyasından istifadə etməklə .

Cədvəl 1.

İlkin şərtləşdiricilərin nisbi xətasının müqayisəsi

Matris	L.U.- parçalanma		L.U.- parçalanma (modifikasiya)	QR- parçalanma
Matris	(sol)	(sağ)	L.U.- parçalanma (modifikasiya)	(sol)	(sağ)

Nəticə

Məqalədə seyrək pis kondisioner SLAE-lərin həlli ilə bağlı kvazi-minimal qalıqlar metodu və ilkin kondisionerin seçilməsi üçün müxtəlif variantlar nəzərdən keçirilmişdir. LU parçalanmasının dəyişdirilməsi ilə əldə edilən ilkin kondisionerdən istifadəyə əsaslanan kvazi-minimal qalıqlar üsulu ədədi sabitlik baxımından ən yaxşı nəticəni verdi.

İstinadlar:

1. Golub J., Van Loon Ch Matrix hesablamaları / Ed. V.V. Voyvodina. - M.: “Mir”, 1999. - 548 s.

2. Demmel J. Hesablama xətti cəbri. Nəzəriyyə və tətbiqlər / Tərcümə. İngilis dilindən H.D. İkramova. - M.: “Mir”, 2001. - 430 s.

3. Pissanetski S. Seyrək matrislərin texnologiyası / Ed. H.D. İkramova - M.: “Mir”, 1988. - 410 s.

4.Stankeviç, İ.V. Sonlu elementlər texnologiyasında seyrək matrislərin saxlanması və istifadəsi. “Elm və təhsil” jurnalı. - 2005. - 10 oktyabr.

5. Tevarson R. Seyrək matrislər / Ed. H.D. İkramova. - M.: “Mir”, 1977. - 172 s.

6. Bucker Martin, Basermann Achim. Paylanmış yaddaş maşınında QMR, CGS və TFQMR-nin müqayisəsi / Bucker Martin //Hesablama riyaziyyatı. - 1994 - 31 may

7.Harwell-Boeing Collection - [Elektron resurs] – Giriş rejimi. - URL: http://math.nist.gov/MatrixMarket/data/Harwell-Boeing/ (giriş tarixi: 15/12/2012)

8. Roland W. Freund, Noel M. Nachtiqal. QMR: Qeyri-Hermitli Xətti Sistemlər üçün Kvazi-Minimal Qalıq Metod / Roland W. Freund, Noel M. Nachtiqal // Journal Math. - 1991. - No 60. - səh. 315-339.

9.Saad, Y. Seyrək xətti sistemlər üçün iterativ üsullar / Y. Saad. // SİAM. - 2003. - 447 s.

Xətti cəbri tənliklərin qeyri-şərtsiz sistemlərinin həlli ilə bağlı hansı çətinliklərin olduğu məlumdur: belə sistemlərin sağ tərəflərindəki kiçik dəyişikliklər həlldəki böyük (məqbul hüdudlardan kənar) dəyişikliklərə uyğun ola bilər.

Tənliklər sistemini nəzərdən keçirək

Аz=u, (3; 2,1)

Harada A -- a ij elementləri olan matris , A=(a ij ), z -- z j koordinatları olan istənilən vektor , z=(z j ), Və -- koordinatları olan məlum vektor Və i ,u= (u i ), i, j =1, 2, ..., səh. Sistem (3; 2,1) adlanır degenerasiya, sistemin determinantı sıfırdırsa, detA = 0. Bu halda matris A sıfır xüsusi dəyərə malikdir. Bu tip pis kondisioner sistemlər üçün matris A sıfıra yaxın öz dəyərlərinə malikdir.

Əgər hesablamalar sonlu dəqiqliklə aparılırsa, onda bəzi hallarda verilmiş tənliklər sisteminin pozulmuş və ya pis şəraitdə olmasını müəyyən etmək mümkün olmur. Beləliklə, pis vəziyyətdə olan və pozulmuş sistemlər müəyyən bir dəqiqlik daxilində fərqlənə bilər. Aydındır ki, bu vəziyyət matrisin olduğu hallarda meydana gəlir A sıfıra olduqca yaxın öz dəyərlərinə malikdir.

Praktik məsələlərdə çox vaxt sağ tərəf olur Və və matris elementləri A, yəni sistemin əmsalları (3; 2,1) təqribən məlumdur. Bu hallarda sistem yerinə (3;2,1) biz Az= başqa bir sistemlə məşğul oluruq Və belə ki, ||A-A||<=h, ||u-u||<=--d, где смысл норм обычно определяется характером задачи. Имея вместо матрицы A A matrisi, biz daha çox sistemin degenerasiyası və ya qeyri-degenerasiyası haqqında qəti mühakimə yürütə bilmirik (3; 2.1).

Bu hallarda, dəqiq sistem haqqında Аz=u, həlli müəyyən edilməli olan, yalnız matris üçün bilirik A və sağ tərəf Və bərabərsizliklər ||A-A||<=h, ||u-u||<=--d. Но систем с такими исходными данными (Ah, və) sonsuz saydadır və bizə məlum olan xəta səviyyəsində onlar fərqlənmir. Çünki dəqiq sistemin əvəzinə (3; 2.1) təxmini bir sistem var Az= və, onda biz ancaq təxmini həll yolunun tapılmasından danışa bilərik. Ancaq təxmini sistem Az=u həll olunmayan ola bilər. Sual yaranır:

Təsvir edilən vəziyyətdə sistemin (3; 2.1) təxmini həlli kimi nə başa düşülməlidir?

“Mümkün dəqiq sistemlər” arasında degenerasiyaya uğramış sistemlər də ola bilər. Əgər onlar həll oluna bilirlərsə, onda sonsuz sayda həll yolları var. Onlardan hansının təxmini tapıntısı haqqında danışmalıyıq?

Beləliklə, bir çox hallarda bir-birindən fərqlənməyən (müəyyən bir səhv səviyyəsində) tənliklər sistemlərinin bütöv bir sinfini nəzərdən keçirməliyik, onların arasında həm pozulmuş, həm də həll olunmayan ola bilər. Bu sinif sistemlərinin təxmini həllərinin qurulması üsulları eyni və ümumi olmalıdır. Bu həllər ilkin məlumatlarda kiçik dəyişikliklərə davamlı olmalıdır (3; 2.1).

Bu cür metodların qurulması "seçim" ideyasına əsaslanır. Seçim problem bəyanatına daxil edilmiş xüsusi, əvvəlcədən təyin edilmiş W[ z ] funksiyalarından istifadə etməklə həyata keçirilə bilər.

F-də F-nin hər yerdə sıx F 1 alt çoxluğunda müəyyən edilmiş mənfi olmayan funksional W[ z ] adlanır. sabitləşdirici funksionallıq,Əgər:

a) z T elementi onun təyinetmə sahəsinə aiddir;
b) istənilən d>0 ədədi üçün F 1-dən F 1,d elementləri z çoxluğu bunun üçün
W[z]

Beləliklə, xətti cəbri tənliklərin ixtiyari sistemini nəzərdən keçirək (qısaca, SLAEs)

Az =u, (3; 2,2)

burada z və u vektordur, z=(z 1, z 2, ...,z n)-OR n, Və=(u 1 , u 2 , ... ,u n)--OR m , A-- a ij elementləri olan matris , A= (a ij ), burada j =1, 2, ..., n; i= 1, 2, ..., T, və nömrə n sayına bərabər olması lazım deyil T.

Bu sistem unikal şəkildə həll oluna bilər, degenerasiyaya uğramış (və sonsuz sayda həlli var) və həll olunmayan ola bilər.

Pseudo-həll sistemi (3; 2,2) uyğunsuzluğu minimuma endirən z vektoru adlanır || Az - u || bütün məkanda Rn. Sistem (3; 2,2) birdən çox psevdohəll ola bilər. F A onun bütün psevdohəlllərinin çoxluğu olsun və z 1-dən hansısa sabit vektor olsun. Rn, adətən problemin ifadəsi ilə müəyyən edilir.

Vektora nisbətən normal z (3;2,2) sisteminin 1 həlli minimal normalı z 0 psevdohəlli adlanacaq || z - z 1 ||, yəni belə ki

|| z 0 - z 1 || =

Budur. Bundan sonra qeydin sadəliyi üçün fərz edəcəyik ki, z 1 = 0 və z 1 = 0 vektoruna görə normal həll sadəcə adlanacaq. normal həll.

(3; 2,2) formasının istənilən sistemi üçün normal həll mövcuddur və unikaldır.

Qeyd 1. Sistemin (3;2,2) normal həlli z° həm də z--z 1 vektorunun koordinatlarına nisbətən verilmiş müsbət müəyyən kvadratik formanı minimuma endirən psevdohəl kimi təyin oluna bilər. Aşağıda təqdim olunan bütün nəticələr etibarlıdır.

Qeyd 2. Matrisin rütbəsi olsun A degenerasiya sistemi (3; 2,1) r-ə bərabərdir < n və z r+1 ,z r+2 , … , z n – xətti fəzanın əsası N A , z elementlərindən ibarətdir ki, bunun üçün Аз=0, N A = ( z; Аз= 0). n--r ortoqonallıq şərtlərini ödəyən sistemin (3; 2,1) z° həlli

(z 0 - z 1 , z S)= 0, S= r + 1, r + 2, .. ,n, (3; 2,3)

unikal olaraq təyin edilir və normal həll ilə üst-üstə düşür.

Sistemin (3; 2,2) normal həllinin tapılması probleminin pis qoyulduğunu görmək asandır. Əslində, qoy A -- simmetrik matris. Qeyri-degenerativdirsə, ortoqonal çevrilmə ilə

z = Vz*, u = Vu*

onun diaqonal formaya endirilə bilər və çevrilmiş sistem formaya malik olacaqdır

l i z i *=u i * , i= 1, 2,. .., p,

burada l i matrisin xüsusi qiymətləridir A.

Əgər simmetrik matris A -- degenerativ deyil və r dərəcəsinə malikdir, onda onun öz dəyərlərinin n - r sıfıra bərabərdir. Qoy

i=1, 2, ..., r üçün l i №0;

i=r+1,r+2, …, n üçün l i =0.

Sistemin (3; 2,2) həll edilə biləcəyini fərz edirik. Bu halda i =r + 1, ..., n üçün u i *= 0.

Sistemin "ilkin məlumatlarına" icazə verin (A Və Və) xəta ilə müəyyən edilmişdir, yəni əvəzinə A Və Və onların təxminləri verilmişdir A Və u:

|| A - A ||<=h, ||u - u||<=d . При этом

Qoy mən -- matrisin xüsusi qiymətləri A. Məlumdur ki, onlar davamlı olaraq normada A-dan asılıdır (3; 2.4). Nəticə etibarilə, l r+1 , l r+2 , …,l n xüsusi qiymətlər kifayət qədər kiçik h üçün özbaşına kiçik ola bilər .

Əgər onlar sıfıra bərabər deyilsə, onda

Beləliklə, kifayət qədər kiçik bir səhv daxilində sistemin pozulmaları olacaq A Və Və, bunun üçün bəzi z i * hər hansı əvvəlcədən müəyyən edilmiş dəyərləri alacaq. Bu o deməkdir ki, sistemin (3; 2,2) normal həllinin tapılması problemi qeyri-sabitdir.

Aşağıda sistemin normal həllini tapmaq üçün metodun təsviri verilmişdir (3; 2.2), sabitdən kiçikə qədər (normada (3; 2.4)) sağ tərəfin pozğunluqları Və, nizamlanma metoduna əsaslanır.

Yenidən SLAU-ya qayıdaq Ah=b kvadrat matris A ölçüsü ilə MхN, yuxarıda nəzərdən keçirilən “yaxşı” vəziyyətdən fərqli olaraq (bax. Bölmə 8.D) xüsusi yanaşma tələb edir. İki oxşar SLAE növünə diqqət yetirək:

degenerasiya sistemi (sıfır determinant ilə |A|=0);
zəif kondisioner sistem (A determinantı sıfıra bərabər deyil, lakin şərt sayı çox böyükdür).

Bu tip tənlik sistemlərinin bir-birindən əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənməsinə baxmayaraq (birincisi üçün heç bir həll yoxdur, ikincisi üçün yalnız bir var), kompüterin praktiki nöqteyi-nəzərindən bir çox ortaq cəhətlər var. onlar.

Degenerasiya SLAE

Degenerativ sistem, determinantı sıfır olan bir matris tərəfindən təsvir edilən sistemdir |A|=0(tək matris). Belə bir sistemə daxil olan bəzi tənliklər digər tənliklərin xətti kombinasiyası ilə təmsil olunduğundan, əslində sistemin özü az müəyyən edilmişdir. Bunu başa düşmək asandır ki, sağ tərəf b vektorunun xüsusi növündən asılı olaraq, ya sonsuz sayda həll var, ya da heç biri yoxdur. Birinci variant normal psevdohəllin qurulmasına (yəni, sonsuz həllər toplusundan müəyyən, məsələn, sıfıra vektora ən yaxın olanı seçmək) gəlir. Bu iş bölmədə ətraflı müzakirə edilmişdir. 8.2.2 (8.11-8.13 siyahılarına baxın).

düyü. 8.7. Tək matrisli iki tənlikdən ibarət ziddiyyətli sistemin qrafik təsviri

SLAE olduqda ikinci işi nəzərdən keçirək Ah=b tək kvadrat matrisi olan A-nın həlli yoxdur. Belə bir problemin nümunəsi (iki tənlik sistemi üçün) Şəkil 1-də təsvir edilmişdir. 8.7, üst hissəsində matris daxil edilir A və vektor b, və həmçinin funksiyadan istifadə edərək sistemi həll etməyə cəhd edilir (uğursuz, çünki A matrisi təkdir). təcrid etmək. Şəklin əsas hissəsini tutan qrafik göstərir ki, sistemi təyin edən iki tənlik müstəvidə (x0,x1) iki paralel xətti müəyyən edir. Xətlər koordinat müstəvisinin heç bir nöqtəsində kəsişmir və buna uyğun olaraq sistemin həlli yoxdur.

Qeyd
Birincisi, qeyd edək ki, 2x2 ölçülü qeyri-tək kvadrat matrisa ilə təyin olunan SLAE müstəvidə kəsişən bir cüt xətti müəyyən edir (aşağıdakı Şəkil 8.9-a baxın). İkincisi, deməyə dəyər ki, əgər sistem ardıcıl olsaydı, onda tənliklərin həndəsi təsviri sonsuz sayda həlli təsvir edən iki üst-üstə düşən xətt olardı..

düyü. 8.8. f (x) qalıq funksiyasının bölmələrinin qrafiki = |Ax-b|

Təxmin etmək asandır ki, nəzərdən keçirilən tək halda sistemin psevdo-həllləri uyğunsuzluğu minimuma endirir. |Ax-b|, sonsuz sayda olacaq və onlar Şəkildə göstərilən ikisinə paralel üçüncü düz xətt üzərində uzanacaqlar. 8.7 və onların arasında ortada yerləşir. Bu Şəkildə göstərilmişdir. 8.8, funksiyanın bir neçə bölməsini göstərir f(x)= | Ax-b |, bu da eyni dərinlikdə minimum ailənin mövcudluğunu göstərir. Onları tapmaq üçün daxili funksiyadan istifadə etməyə çalışarsanız minimuma endir, onun ədədi üsulu həmişə qeyd olunan düz xəttin hər hansı bir nöqtəsini tapacaq (ilkin şərtlərdən asılı olaraq). Buna görə də, unikal həlli müəyyən etmək üçün bütün psevdohəllər dəstindən ən kiçik normaya malik olanı seçmək lazımdır. Siz daxili funksiyaların birləşməsindən istifadə edərək Mathcad-da bu çoxölçülü minimumlaşdırma problemini formalaşdırmağa cəhd edə bilərsiniz. minimuma endir, lakin daha səmərəli üsul nizamlanmadan (aşağıya bax) və ya ortoqonal matrisin parçalanmasından istifadə etmək olardı (bax: Bölmə 8.3).

UDC 519.61:621.3

V.P. VOLOBOEV*, V.P. KLİMENKO*

FİZİKİ OYNANI TƏSVİR EDƏN XƏTTİ CƏBRİK TƏNLİKLƏRİN QEYRİ ŞƏRTDƏSİZ SİSTEMİNİN HƏLLİNƏ BİR YANIM HAQQINDA

Ukrayna Milli Elmlər Akademiyasının Riyazi Maşınlar və Sistemlər Problemləri İnstitutu, Kiyev, Ukrayna

mücərrəd. Göstərilmişdir ki, diskret modeli xətti cəbri tənliklər sistemi (SLAR) ilə təsvir edilən fiziki obyektlərin modelləşdirilməsinin nəticələrinin ehtimalı matrisin zəif dizaynı nəticəsində deyil, onun nəticəsidir. qovşaq potensialları və ya onun analoqları metodundan istifadə edərək qatlanmış səviyyələrdə SLAR-da səhv seçim dəyişiklikləri və metodun özü Bu, SLAR-ın düzgünlüyünü yoxlamaq üçün bir üsulla formalaşan vəzifənin düzgün qurulması metodundan əsas bir sapmadır yaradılmamış simmetrik matrisə malik olan düyün potensiallarının metodu təklif edilmişdir və onu düzgün formaya çevirmək lazımdır.

Açar sözlər: sistem, modelləşdirmə, səhv təyinat, səhv mülahizə, xətti cəbri tənliklər sistemi, düyün potensialları metodu, tapşırığın düzgün təyin edilməsi üsulu, düzgünlüyün yoxlanılması.

Annotasiya. Göstərilir ki, diskret modeli xətti cəbri tənliklər sistemi (SLAE) ilə təsvir edilən fiziki obyektlərin modelləşdirilməsinin nəticələrinin etibarlılığı matrisin zəif şərtiliyindən deyil, SLAE dəyişənlərinin düzgün seçilməməsindən asılıdır. nodal potensiallar metodundan və ya onun analoqlarından istifadə edərək tənliklərin tərtibi mərhələsində və metodun özü məsələnin düzgün formalaşdırılması metodunun xüsusi bir halıdır. Qeyri-degenerativ və simmetrik matrisə malik olan nodal potensiallar üsulu ilə tərtib edilmiş SLAE-nin düzgünlüyünü yoxlamaq və lazım gəldikdə onu düzgün formaya çevirmək üçün bir texnika təklif olunur.

Açar sözlər: sistem, modelləşdirmə, səhv qoyulmuş məsələ, qeyri-kondisioner, xətti cəbri tənliklər sistemi, düyün potensialları metodu, məsələnin düzgün formalaşdırılması üsulu, düzgünlüyün yoxlanılması.

mücərrəd. Məqalədə göstərilir ki, diskret modeli xətti cəbri tənliklər sistemi (SLAE) ilə təsvir edilən fiziki obyektlərin simulyasiyasının nəticələrinin etibarlılığı pis kondisioner matrisadan deyil, tənliklərin yaradılması mərhələsində dəyişən SLAE-nin düzgün seçilməməsindən asılıdır. düyün potensialı metodu və ya onun analoqları ilə, metod isə problemin düzgün ifadəsi metodunun xüsusi halıdır. Qeyri-sinqulyar və simmetrik matrisə malik qovşaq potensialı üsulu ilə hazırlanmış SLAE-nin düzgünlüyünün yoxlanılması və lazım gəldikdə düzgün formaya çevrilməsi təklif edilmişdir.

Açar sözlər: sistem, simulyasiya, səhv məsələ, pis şərtli, xətti cəbri tənliklər sistemi, qovşaq potensialı metodu, məsələnin düzgün ifadəsi üsulu, düzgünlüyün yoxlanılması.

1. Giriş

Fiziki (texniki) obyektlərin modelləşdirilməsinin bir çox problemləri xətti cəbri tənliklər sistemlərinin (SLAE) həllinə gəlir. Belə sistemləri həll edərkən bütün hesablamalar sonlu sayda əhəmiyyətli rəqəmlərlə aparıldığından, yuvarlaqlaşdırma səhvləri səbəbindən dəqiqlik əhəmiyyətli dərəcədə itirilə bilər. Zəif kondisioner (qeyri-sabit) sistem və ya daha ümumi formada desək, səhv qoyulmuş problem, daxil edilmiş məlumatların səhvlərinin sabit səviyyəsini və hesablamaların dəqiqliyini nəzərə alaraq, həlldə heç bir dəqiqliyə zəmanət verməyən problem hesab olunur. Şərt nömrəsi SLAE-nin həllində mümkün səhvlərin apriori ən pis qiymətləndirilməsi kimi istifadə olunur. Ədəbiyyatdan göründüyü kimi, səhv qoyulmuş məsələlərin həlli üsullarının işlənib hazırlanması bir çox məsələlərin ədədi həllinə baxmayaraq, fiziki (texniki) obyektlərin xüsusiyyətlərinin nəzərə alınmadığı sırf riyazi problem kimi qəbul edilir. riyazi fizika və mürəkkəb fiziki proseslərin riyazi modelləşdirilməsi

bayquşlar və texniki sistemlər xətti cəbr problemlərinin tükənməz mənbəyidir. Sadalanan problemlər sinfi üçün həll üsullarını hazırlayarkən, bu və ya digər şəkildə müəyyən bir problemin xüsusiyyətlərini nəzərə almaq mümkün olan SLAE-nin tərtib edilməsi mərhələsi nəzərə alınmır. Bu mərhələnin mütləq nəzərə alınması aşağıdakı işlərin nəticələri ilə təsdiqlənir.

Hər şeydən əvvəl, SLAE-lərin həlli zamanı dəqiqlik itkisinin az olduğu və şərt nömrəsinin dəyərinin böyük olduğu matrislərə nümunələr verən işi qeyd etmək lazımdır, yəni ümumi qəbul edilmiş meyarın şərt sayı əsasında SLAE-lərin həllinin düzgünlüyünün apriori qiymətləndirilməsi zəruridir, lakin kifayət deyil. Əsərlərdə qarşıya qoyulmuş problemin həllinə tamamilə yeni yanaşma təklif edilmişdir. SLAE-lərin həllinin dəqiqliyini artırmaq üçün, hətta şərt sayının böyük bir dəyəri ilə, fiziki obyektin diskret modelinin təsviri mərhələsində SLAE-lərin düzgün tərtib edilməsi təklif olunur. Bu o deməkdir ki, işdə bildirildiyi kimi təkcə belə matrislər mövcud deyil, həm də obyektin diskret modelini təsvir edən SLAE matrisini düzgün tərtib etmək üçün metod təklif edilmişdir. SLAE matrisinin tərtibi üsulu elektrik dövrələrinin, enerji sistemlərinin, mexanikanın çubuq sistemlərinin və riyazi fizikanın elliptik tənliklərinin davranışının modelləşdirilməsi problemlərinə münasibətdə nəzərdən keçirilir.

Bu metodun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, mövcud metodlardan fərqli olaraq, SLAE formalaşdırarkən, dəyişənlərin məqsədyönlü seçimi ilə fiziki obyektin diskret modelinin parametrləri nəzərə alınır. Qeyd etmək lazımdır ki, metod yalnız diskret model topologiyası qrafiklə təmsil olunan obyektlərə şamil edilir.

Bu tələb elektrik dövrəsinin və enerji sisteminin dizayn modeli ilə təmin edilir. Mürəkkəb fiziki proseslərin, texniki sistemlərin və riyazi fizikanın riyazi modelləşdirilməsinin bir çox problemləri üçün diskret modelin topologiyasının qrafik şəklində təqdim edilməsindən istifadə edilmir. Əsərlər göstərir ki, yuxarıda göstərilən məhdudiyyət fiziki obyektin diskret modelinin hesablama sxemlərinin elementlərinin topologiyasını qrafik şəklində təqdim etməklə aradan qaldırılır. Elementlərin topologiyasını qrafiklər şəklində təqdim etmək üsulu da mövcuddur.

Bu yazıda diskret modelin topologiyasının qrafik şəklində göstərilmədiyi hal üçün səhv qoyulmuş problemi düzəltmək üçün bir üsul təklif edəcəyik. Metod hazırlayarkən nəzərə alırıq ki, riyazi fizikada və mürəkkəb fiziki proseslərdə və texniki sistemlərdə problemlərin diskret modellərini təsvir etmək üçün ümumi qəbul edilmiş metod (nodal potensial metodu) SLAE matrisinin düzgün tərtib edilməsi metodunun xüsusi halıdır. .

2. Obyektin diskret modelini təsvir edən SLAE-nin həllinin dəqiqliyi ilə tənliklərin qurulması metodu arasında əlaqə

Akademik Voevodin V.V. öz işində göstərdi ki, SLAE-lərin Qauss metodundan istifadə etməklə həlli nəticələrinin ən yüksək dəqiqliyinə əsas elementin seçimi ilə metoddan istifadə zamanı nail olunur. Bu ideya əsasında çoxlu sayda əsərlər nəşr edilmişdir. Bununla belə, praktiki problemlərin həlli göstərdi ki, SLAE-lərin həllinin dəqiqliyi, xüsusən də pis şərtlənmiş matrislər halında, yuvarlaqlaşdırma səhvləri səbəbindən əhəmiyyətli dərəcədə itirilir, yəni həll mərhələsində nəticələrin düzgünlüyünü artırmaq üçün bu kifayət deyil. sadəcə olaraq əsas elementlərin seçimi ilə Qauss metodundan istifadə etmək.

Bu fikrin sonrakı inkişafı işdə təklif olunan metoddur, burada obyektin diskret modelinin təsvirinin tərtibi mərhələsində matrisin diaqonal elementlərini əsas kimi formalaşdırmaq təklif olunur. Bunun üçün təsviri tərtib edərkən əlavə məlumatlardan, yəni diskret modelin parametrlərindən istifadə olunur. Bu yanaşmanın effektivliyi, yəni diskreti təsvir edən SLAE-nin həllinin düzgünlüyündən asılılıqdır.

ISSN 1028-9763. Riyazi maşınlar və sistemlər, 2014, No 4

Tənliklərin qurulması metodundan obyektin yeni modeli model nümunəsindən istifadə etməklə nümayiş etdiriləcək. Aşağıda əsas elementi və onun həllini seçməklə və seçməksiz-də təsvir olunan metoddan istifadə edərək model nümunəsinin təsvirini tərtib etməyi nəzərdən keçirəcəyik.

Model nümunəsi kimi Şəkil 1-də göstərilən elektrik dövrəsi seçilmişdir. 1.

düyü. 1. Elektrik dövrəsi

Məlumdur ki, elektrik dövrəsini təsvir edən SLAE-nin şərti dövrə komponentlərinin keçiricilik (müqavimət) dəyərlərinin yayılma diapazonundan asılıdır. 15 sifarişə bərabər olan elektrik dövrəsinin komponentlərinin keçiriciliyində seçilmiş dəyişikliklər diapazonu SLAE-nin zəif şərtliliyini və beləliklə, ümumi hesab edildiyi kimi, problemin düzgünlüyünü təmin edir. 2-ci qovşağın potensialının (G2 komponentində gərginlik) hesablanması nümunəsindən istifadə edərək, elektrik dövrəsinin təsvirini tərtib edərkən hesablama nəticələrinin etibarlılığının diaqonal elementin formalaşdırılması metodundan asılılığı təhlil ediləcəkdir.

Aşağıda problemin düzgün formalaşdırılması metodundan istifadə edərək bir model nümunəsinin həlli üçün zəruri olan əsas müddəalar verilmişdir. Bu metoddan istifadə edərək elektrik dövrəsinin riyazi modelinin qurulması, Kirchhoff qanunları əsasında tərtib edilmiş komponent tənlikləri və tənlikləri özündə cəmləşdirən elektrik dövrəsinin tənliklərinin əsas sisteminə əsaslanır. Model nümunəsi üçün komponent tənliyi formaya malikdir

burada U i komponentə düşən gərginlik, I komponentdən keçən cərəyan, Gt komponentin keçiriciliyidir.

Elektrik dövrəsinin qrafikini və buna uyğun olaraq Kirchhoff qanunlarına əsaslanan tənlikləri təsvir etmək üçün konturların və kəsiklərin topoloji matrislərindən istifadə olunur. Dövrə qrafiki elektrik dövrəsi ilə üst-üstə düşür. Konturların və kəsiklərin topoloji matrislərinin tərtibi dövrə qrafiki ağacının seçilməsi və seçilmiş ağac üçün konturların çəkilməsini nəzərdə tutur. Elektrik dövrə qrafikinin ağacı elə seçilir ki, bütün gərginlik mənbələri ağaca, bütün cərəyan mənbələri isə akkordlara daxil olsun. Dövrə komponentlərinin gərginlik vektorları U və cərəyanlar I elementləri ağaca daxil olanlara (indeks D), yəni budaqlara və akkordlara (indeks X) qruplaşdırılır, beləliklə:

Konturlar akkordları dövrə qrafiki ağacına birləşdirməklə formalaşır. Bu halda

konturların topoloji matrisi formaya malikdir

burada 1 akkordların vahid submatrisidir, t

Matrisin transpozisiyasını bildirir və bölmələrin topoloji matrisi |1 -F formasındadır, burada 1 budaqların vahid submatrisasıdır. -dən göründüyü kimi, matrisin diaqonal hədləri

ISSN 1028-9763. Riyazi maşınlar və sistemlər, 2014, No 4

sxemlərdə ağac komponentlərinin keçiricilikləri maksimum keçiriciliyə malik olduqda əsas olacaqlar. Topoloji matrislərin növünü nəzərə alaraq, Kirchhoff qanunları əsasında tərtib edilmiş dövrə tənliklərini matris şəklində aşağıdakı kimi yazmaq olar:

onların =-ґid, (3)

Tərtib edilmiş tənliklər sisteminin dəyişənləri əsas tənliklər sisteminin təhlili nəticəsində komponentlərin gərginlikləri və/yaxud cərəyanlarından seçilir. Ağacın budaqlarına daxil olan komponentlər dəyişən gərginliklər kimi seçilərsə, komponent tənlikləri (1) və tənliklər (3), (4) aşağıdakı formaya çevrilə bilər:

Gd U d - F(Gx (- FUd)) = 0.

Aşağıda bir model nümunəsi üçün tənliklərin tərtibini təqdim edəcəyik. Əvvəlcə elektrik dövrəsinin təsviri tərtib edilir ki, matrisin diaqonal şərtləri əsas olsun. Bu tələb ağaca daxil olan E1, G6, G3, G2 komponentləri toplusu ilə təmin edilir (şəkil 1-də ağacın budaqları qalın xətt ilə vurğulanır). Komponentlərin aşağıdakı gərginlik və cərəyan vektorları seçilmiş ağaca uyğundur:

və topoloji matrislər

Dönüşümlərdən sonra (6), (7) və komponent tənlikləri nəzərə alınmaqla (5) tənliyi aşağıdakı formaya malikdir:

- (G4 + G5) (G4 + G5) G1 + G2 + G4 + G5

SLAE (8) pis vəziyyətdədir, çünki matrisin xüsusi dəyərləri \= 1.5857864376253, R2 = 5.0E +14+j5.0E +14, A, = 5.0E +14 - j5.0E +14. Sistemin həlli nəticələrinin düzgünlüyünün tənliklərin tərtib edilməsi variantının seçilməsindən necə asılı olduğunu müəyyən etmək üçün 2-ci qovşağın potensial Uq hesablanması ümumi formada aparılacaqdır:

ISSN 1028-9763. Riyazi maşınlar və sistemlər, 2014, No 4

(g1+g2 +g4 +g5)-

Hesablama prosesinin təhlilindən (9-11) belə çıxır ki, keçiricilik dəyərlərindəki dəyişikliklərin böyük diapazonuna (15 böyüklük sırası) baxmayaraq, rəqəmlərin təqdim edilməsinin yekun dəqiqliyi üçün ciddi tələblər yoxdur. tənliklərin qurulması və onların həlli zamanı. Etibarlı bir nəticə əldə etmək üçün rəqəmləri iki əhəmiyyətli rəqəmə əks etdirmə dəqiqliyi ilə SLAE-lərin tərtibi və həlli üçün hesablama prosesini yerinə yetirmək kifayətdir.

Qeyd etmək lazımdır ki, SLAE (8)-də G+G4+G5I matrisinin ikinci sırasının (sütununun) diaqonal elementi qalan şərtlərin cəmindən əhəmiyyətli dərəcədə böyükdür (15 böyüklük sırası ilə)

sətirlər (sütunlar) | G4 + 2G51. Bu o deməkdir ki, UG = 0 götürməklə SLAE-ni sadələşdirə bilərik

(8), nəticələrin etibarlılığını qorumaq. Əllə hesablama dövründə bu texnika 2-ci node ilə 3-ün birləşməsinə uyğun gəlirdi (şəkil 1).

İkinci halda (əsas kimi diaqonal elementi seçmədən) ağacda Ex, G6, G4, G2 komponentlərini seçmək kifayətdir (şəkil 1-də ağacın budaqları kəsikli xətlərlə işarələnmişdir.

xətt). Bu komponentlərdəki gərginlik düşmələri sıfır nodedən hesablanan 1, 4, 3, 2 node potensiallarına uyğundur. Bu o deməkdir ki, ağacda komponentlərin belə bir seçimi ilə SLAE matrisini düzgün tərtib etmək üsulu nodal potensiallar üsulu ilə üst-üstə düşür. Komponentlərin aşağıdakı gərginlik və cərəyan vektorları seçilmiş ağac və akkordlara uyğundur:

U D = UG UG G4, Ux = G1 UG3 UG G D G ig G4, Ix = G1 IG3 IG

UG G2 G5 ig G2 G5

və topoloji matrislər

(12), (13) və komponent tənlikləri nəzərə alınmaqla (5) tənliyi aşağıdakıları qəbul edəcəkdir

ISSN 1028-9763. Riyazi maşınlar və sistemlər, 2014, No 4

G5 + G6 -G5 0 UG G6 0

G5 G3 + G4 + G5 -G3 Uo. = 0

0 - G3 G1 + G2 + G3 Uo2 G1E1

(14) tənliklər sistemi pis şərtlidir, çünki o, matrisin aşağıdakı xüsusi dəyərlərinə malikdir: 1 = 1.0,1 =1015 +у1015,1 =1015-/1015. Nümunənin birinci versiyasında olduğu kimi, 2-ci node-un potensial UG ümumi formada hesablanacaq:

(G + G + G) -----------

V 3 4 У (G + G)

+ (G1 + G2 + G3)

3 4 5" (G5 + G6)

(15-17) tənliklər sisteminin həllinin hesablama prosesinin təhlilindən belə nəticə çıxır ki, nəticələrin etibarlılığı həm tənliklərin tərtibi, həm də həlli zamanı ədədlərin təsvirinin yekun dəqiqliyindən asılıdır. Beləliklə, sistemin həllinin hesablama prosesi (15-17) 15 əhəmiyyətli rəqəmdən az dəqiqliklə yerinə yetirilirsə, nəticə

1015 +1015 ~ o,

və dəqiqliyin 15 əhəmiyyətli rəqəmdən çox olduğu halda, belə olacaqdır

1030 + 2*1015 +1030 + %+ 3/1015)

(8) və (14) matrislərinin, eləcə də tənlik sistemlərinin həlli üçün hesablama proseslərinin müqayisəsindən aşağıdakı nəticələr çıxır.

Düyün potensialları metodu təklif olunan metodun xüsusi halıdır, yəni düyün potensialları metodunda əsas nodu qalanları ilə birləşdirən qrafikin kənarları həmişə ağaca seçilir.

Matrisin diaqonal elementləri, matrisin maksimum diaqonalların seçilməsi ilə və ya seçilməməsindən asılı olmayaraq, həm sətirlərdə, həm də sütunlarda digər elementlərdən modul baxımından daha böyükdür. Yeganə fərq, diaqonal elementlərin diaqonal olmayanlardan nə qədər böyük olmasıdır. Bu o deməkdir ki, əsas elementin seçimi ilə Qauss metodundan istifadə etməklə bu tip SLAE-nin həlli bu sinif problemlərin nəticələrinin dəqiqliyini artırmır.

ISSN 1028-9763. Riyazi maşınlar və sistemlər, 2014, No 4

Gauss həllində istifadə olunan əhəmiyyətli rəqəmlərin son sayı matrisin maksimum diaqonal elementləri seçməklə və ya seçilmədən qurulmasından əhəmiyyətli dərəcədə asılıdır. Məsələnin bir versiyası ilə digəri arasındakı fərq yalnız ondan ibarətdir ki, tənliklərin tərtibi mərhələsində bir halda maksimum keçiriciliyə malik komponent ağaca seçilir və beləliklə, bu komponentin gərginliyi SLAE-də dəyişən kimi çıxış edir. Bu komponentin keçiriciliyi yalnız matrisin diaqonal elementinin formalaşmasında iştirak edir. Başqa bir halda, bu komponent akkordlara düşür. (3) tənliyindən aşağıdakı kimi komponent gərginliyi ağac komponentlərinin gərginliyi ilə müəyyən edilir. (4) tənliyindən belə nəticə çıxır ki, komponentin keçiriciliyi sətir və sütun elementlərinin formalaşmasında iştirak edir və beləliklə, akkordun keçiriciliyi bu matrisin elementlərinin ölçüsünü müəyyən edir.

3. Düyün potensialları üsulu ilə tərtib edilmiş SLAE matrisinin düzgün tərtibata uyğun formaya çevrilməsi

Riyazi fizikanın və mürəkkəb fiziki proseslərin və texniki sistemlərin riyazi modelləşdirilməsi məsələlərinin ədədi həlli zamanı bu məsələlərin diskret modellərini təsvir edən SLAE-ləri tərtib etmək üçün əsasən nodal potensiallar və ya onun analoqları metodundan istifadə olunur. Bu metodun fərqli xüsusiyyəti ondan ibarətdir ki, SLAE dəyişənləri kimi diskret modelin dizayn sxeminin potensialları, baza qovşağından qalan qovşaqlara qədər hesablanır, tənliklərin qurulması üçün sadə alqoritm və SLAE-nin zəif doldurulmuş matrisi istifadə olunur. Belə səmərəliliyin qiyməti tapşırığın düzgün olmaması ola bilər. Nəzərə alsaq ki, düyün potensialları metodu problemin düzgün qoyulması metodunun variantlarından sadəcə biridir, yanlış qoyulmuş problem matris çevrilməsinin tətbiqi ilə düzəldilə bilər. Aşağıda düyün potensialları üsulu ilə səhv tərtib edilmiş problemin çevrilməsi alqoritmini nəzərdən keçirəcəyik.

Fiziki obyektlərin bütün müxtəlifliyindən yalnız xətti diskret modeli qeyri-degenerativ və simmetrik matrisə malik SLAE tərəfindən təsvir edilən obyektlər nəzərə alınacaqdır.

3.1. Matrisin çevrilməsi alqoritmi

Bir matrisin çevrilməsi alqoritmini hazırlayarkən, matrisin i-ci sırasının j-ci qeyri-diaqonal elementinin mənfi işarəsi olan matrisə daxil edilməsi və əlaqəni təsvir edən diskret model parametrinin olması faktından istifadə olunur. diskret modelin i-ci və j-ci qovşaqları arasında. Diaqonal element müsbət işarəsi olan matrisə daxil edilir, qeyri-diaqonal elementlərin cəmini və i-ci node ilə əsas arasındakı əlaqəni təsvir edən diskret model parametrini ehtiva edir. Adətən, diskret modelin qovşaqlarının nömrələnməsi zamanı əsas qovşaq sıfır hesab olunur.

Yuxarıda aparılmış tədqiqatdan göründüyü kimi, tərtib edilmiş SLAE səviyyəsində problemin səhvliyi yalnız xəttin diaqonal olmayan elementlərindən ən azı biri yalnız daxil olan diskret modelin parametrindən əhəmiyyətli dərəcədə böyük olduqda baş verir. diaqonal elementdə. Aşağıda tərtib edilmiş SLAE-nin düzgünlüyünün yoxlanılması metodologiyası verilmişdir.

SLAE formasına sahib olsun

burada x nodal potensialların vektoru (nodal təsirlər), y xarici axınların vektoru, A formanın matrisidir.

ISSN 1028-9763. Riyazi maşınlar və sistemlər, 2014, No 4

a11 a1і a1j a1n

aі1 a,і aj ain , (21)

aJ1 an1 aі aJJ ann

burada n matrisin ölçüsüdür. Matris elementləri aşağıdakı tələblərə cavab verir:

ai > 0, a.< 0, а. = а]г,1 < i < n, 1 < j < n при j Ф і. (22)

Aşağıda matrisin i-ci cərgəsinin düzgünlüyünü yoxlamaq və lazım gələrsə, onun korreksiyasını nəzərdən keçirəcəyik.

Əvvəlcə matrisin i-ci sırasının diaqonal elementinə daxil olan diskret model parametri müəyyən edilir,

Ait parametri şərti ödəyirsə, matrisin i-ci sırası düzgün tərtib edilmiş hesab olunur.

1 < j < n, при j Ф і.

Şərt (24) yerinə yetirilməzsə, i-ci sıra düzəldilir. Əvvəlcə diaqonal olmayan elementlərdən ən böyüyü seçilir. Bu i -ci sıranın j -ci elementi olsun. Asanlıqla yoxlamaq olar ki, matrisin tərkibinin xüsusiyyətlərinə görə (şərt (22)) elementlərin formalaşmasında iştirak edən diskret modelin parametri o. və i-ci və j-ci sətirlərin a.^ aii və a elementlərinin tərkib hissəsi kimi daxil edilir. . i-ci sıranın tənzimlənməsinin mahiyyəti matrisin i-ci və j-ci sətirlərini elə çevirməkdir ki, elementin qiyməti a olsun. yalnız aii elementinə daxil edilmişdir. xi dəyişənini formada təmsil etdiyini görmək asandır

X = xj + xj (25)

və SLAE matrisinin j-ci sütununun elementlərinin aşağıdakı transformasiyasını yerinə yetirmək

o = ai. + ai, 1< 1 < n , (26)

matrisin yeni j-ci sütununu alırıq, burada çevrilmiş elementlər adır. və a. elementləri təşkil edən diskret modelin parametrini ehtiva etmir a. və a. .

Növbəti addım düsturdan istifadə edərək j-ci sıranı çevirməkdir

aji = a.i + aii, 1< l < n . (27)

Transformasiya edilmiş j-sətirinin a i elementləri artıq a i elementinə uyğun diskret model parametrini ehtiva etmir.

ISSN 1028-9763. Riyazi maşınlar və sistemlər, 2014, No 4

SLAE matrisinin düzgünlüyünün yoxlanılması və səhv sətirlərin düzəldilməsi bütün matris üçün həyata keçirilir. Bu işdə yalnız matrisin düzgün formaya çevrilməsi üçün alqoritmin qurulmasına yanaşma nəzərdən keçirilir. Bu işdə matrisin düzgün formaya çevrilməsi üçün səmərəli alqoritmin işlənib hazırlanması ilə bağlı məsələlər nəzərdən keçirilmir. Aşağıda nodal potensiallar üsulu ilə tərtib edilmiş SLAE matrisinin (14) çevrilməsinə nümunə verəcəyik.

3.2. Demo nümunəsi

Hər şeydən əvvəl qeyd etmək lazımdır ki, matrisin (14) simmetrik və qeyri-degenerativdir. Matris əmsalları (22) şərtini ödəyir. Nodal potensiallar komponentlər arasında gərginliyin azalmasına uyğundur

U4 = UG^, U3 = UG, U2 = UG

(28) nəzərə alınmaqla, SLAE (14) aşağıdakı kimi təqdim edilə bilər:

G5 + G6 - G5 0 U 4 0

G5 G3 + G4 + G5 - G3 U3 = 0

0 - G3 G + G2 + G3 U2 GA

Matrisin düzgünlüyünün yoxlanılması aşağıdakı əməliyyatları əhatə edir.

Yalnız daxil edilmiş diskret model parametrinin (23) düsturla müəyyən edilməsi

diaqonal elementə çevrilir. Matrisin birinci cərgəsi üçün G6, ikinci sıra üçün G4 və üçüncü üçün - (Gl + G2) olacaq.

Matris sətirlərinin düzgünlüyünün yoxlanılması (24) düsturuna uyğun olaraq həyata keçirilir. Bu yoxlama nəticəsində məlum olur ki, ikinci sətir düzgünlük tələbinə cavab vermir, çünki (G4 = 1) ^ (G3 = 1015) . G3 parametri də matrisin üçüncü cərgəsinə daxildir, buna görə də (25) düsturuna uyğun olaraq U3 dəyişəninin təsviri formada seçilir.

U3 = U2 + U23, (30)

3-cü sütunun elementlərinin çevrilməsi nəticəsində (26) düsturuna uyğun olaraq aşağıdakı formanın (29) matrisini alırıq:

G5 + G6 - G5 - G5

G5 g3 + g4 + g5 g4+g5

üçüncü cərgə çevrildikdən sonra (27) düsturuna uyğun olaraq (31) matris formaya sahib olacaq.

(G5 + G6) - G5 - g5 U 4 0

G5 (G3 + G4 + G) (G4 + G5) U 23 = 0 . (32)

G5 (G4 + g5) (G + G2 + G4+g5) U2 G E

SLAE (32) düzgünlük tələbini ödəyir, ona görə də tənzimləmə tamamlanmış sayılır. SLAE dəyişənləri (32) SLAE dəyişənlərinə (8) uyğundur, yəni

ISSN 1028-9763. Riyazi maşınlar və sistemlər, 2014, No 4

Ağaca çevrilmə nəticəsində problemin düzgün formalaşdırılması metodunda olduğu kimi eyni komponentlər seçilmişdir. SLAE (8) və (32) müqayisəsindən belə nəticə çıxır ki, ikinci sütunun və ikinci cərgənin matrisinin (32) diaqonal olmayan elementləri (8) matrisindən işarə baxımından fərqlənir. Bu, matrisin (14) çevrilməsi zamanı G3 komponentinin cərəyanının istiqamətinin SLAE (8) tərtibi zamanı seçilmiş istiqamətin əksinə seçilməsinin nəticəsidir. U23 dəyişənini U23 = -U23 ilə əvəz etməklə və ikinci tənlikdəki elementlərin işarələrini əksinə dəyişdirməklə (8) matrisini alırıq.

4. Nəticə

Modelləşdirmə bəşəriyyətin intellektual fəaliyyətinin tərkib hissəsinə çevrilmişdir və modelləşdirmə nəticələrinin etibarlılığı modelləşdirmənin nəticələrinin qiymətləndirilməsinin əsas meyarıdır. Nəticələrin etibarlılığını təmin etmək üçün mürəkkəb obyektləri və onların həllərini təsvir etmək üçün üsul və alqoritmlərin işlənib hazırlanmasına yeni yanaşmalar tələb olunur.

Səhv qoyulmuş problemlərin həlli üçün metodların işlənib hazırlanmasına mövcud yanaşmadan fərqli olaraq, bu məqalə pis qoyulmuş problemi (şərtsiz) düzgün formaya gətirməyi təklif edir. Fiziki obyektlərin diskret modellərini təsvir edən SLAE-lərin həlli zamanı etibarlı nəticələrin əldə edilməsini çətinləşdirən matrisin zəif şərtliliyi deyil, tənliklərin qurulması mərhələsində SLAE dəyişənlərinin düzgün seçilməməsi və düyün metodu olduğu göstərilir. diskret modeli təsvir edən SLAE-ləri tərtib etmək üçün istifadə olunan potensiallar və onun analoqları problemin düzgün formalaşdırılması metodunun xüsusi halıdır. SLAE matrisinin qeyri-tək və simmetrik olduğu hal üçün nodal potensiallar üsulu ilə tərtib edilmiş SLAE-nin düzgünlüyünü yoxlamaq üçün bir texnika təklif olunur. Matrisin düzgün formaya çevrilməsi alqoritmi nəzərdən keçirilir.

İSTİFADƏLƏR

1. Kalitkin N.N. Xətti cəbri tənliklər sistemləri üçün kəmiyyət şərtlilik meyarı / N.N. Kalitkin, L.F. Yuxno, L.V. Kuzmina // Riyazi modelləşdirmə. - 2011. T. 23, No 2. - S. 3 - 26.

2. Voloboev V.P. Mürəkkəb sistemlərin modelləşdirilməsinə bir yanaşma haqqında / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Riyazi maşınlar və sistemlər. - 2008. - No 4. - S. 111 - 122.

3. Voloboev V.P. Enerji sistemlərinin modelləşdirilməsinə bir yanaşma / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Riyazi maşınlar və sistemlər. - 2009. - No 4. - S. 106 - 118.

4. Voloboev V.P. Çubuq sistemlərinin mexanikası və qrafik nəzəriyyəsi / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Riyazi maşınlar və sistemlər. - 2012. - No 2. - S. 81 - 96.

5. Voloboev V.P. Sonlu elementlər metodu və qrafik nəzəriyyəsi / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Riyazi maşınlar və sistemlər. - 2013. - No 4. - S. 114 - 126.

6. Puxov G.E. Riyazi maşınlar nəzəriyyəsinin seçilmiş sualları / Puxov G.E. - Kiyev: Ukrayna SSR Elmlər Akademiyasının Nəşriyyatı, 1964. - 264 s.

7. Seshu S. Xətti qrafiklər və elektrik sxemləri / S. Seşu, M.B. Reid. - M.: Ali məktəb, 1971. - 448 s.

8. Zenkeviç O. Sonlu elementlər və yaxınlaşma / O. Zenkeviç, K. Morqan. - M.: Mir, 1986. -318 s.

9. Voevodin V.V. Xətti cəbrin hesablama əsasları / Voevodin V.V. - M.: Nauka, 1977. -304 s.

10. Elektrik mühəndisliyinin nəzəri əsasları: universitetlər üçün dərslik / K.S. Dəmirçyan, L.R. Neiman, N.V. Korovkin, V.L. Çeçurin. - . - Peter, 2003. - T. 2. - 572 s.