Üçbucağın bucaqlarının cəmi. Üçbucaq bucağının cəmi teoremi

Teorem. Üçbucağın daxili bucaqlarının cəmi iki düz bucağa bərabərdir.

Bir neçə ABC üçbucağını götürək (şək. 208). Onun daxili bucaqlarını 1, 2 və 3 rəqəmləri ilə işarə edək. Bunu sübut edək

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Üçbucağın bəzi təpəsində, məsələn, B, AC-yə paralel MN düz xəttini çəkək.

B təpəsində üç bucaq əldə etdik: ∠4, ∠2 və ∠5. Onların cəmi düz bucaqdır, ona görə də 180°-ə bərabərdir:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Lakin ∠4 = ∠1 paralel MN və AC xətləri və kəsik AB olan daxili çarpaz bucaqlardır.

∠5 = ∠3 - bunlar MN və AC paralel xətləri və BC kəsişməsi olan daxili çarpaz bucaqlardır.

Bu o deməkdir ki, ∠4 və ∠5 onların bərabərləri ∠1 və ∠3 ilə əvəz edilə bilər.

Buna görə də, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Teorem sübut edilmişdir.

2. Üçbucağın xarici bucağının xassəsi.

Əslində, ABC üçbucağında (Şəkil 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, həm də ∠ВСD, bu üçbucağın ∠1 və ∠2-yə bitişik olmayan xarici bucağı da 180°-ə bərabərdir. - ∠3.

Beləliklə:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Beləliklə, ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Üçbucağın xarici bucağının törəmə xassəsi üçbucağın xarici bucağı haqqında əvvəllər sübut edilmiş teoremin məzmununu aydınlaşdırır, bu, yalnız üçbucağın xarici bucağının ona bitişik olmayan üçbucağın hər bir daxili bucağından böyük olduğunu ifadə edirdi; indi müəyyən edilmişdir ki, xarici bucaq ona bitişik olmayan hər iki daxili bucağın cəminə bərabərdir.

3. Bucağı 30° olan düzbucaqlı üçbucağın xassəsi.

ACB sağ üçbucağında B bucağı 30°-yə bərabər olsun (şək. 210). Onda onun digər kəskin bucağı 60°-yə bərabər olacaqdır.

AC ayağının AB hipotenuzunun yarısına bərabər olduğunu sübut edək. AC ayağını C düz bucağının təpəsindən kənara uzadaq və AC seqmentinə bərabər olan CM seqmentini kənara qoyaq. M nöqtəsini B nöqtəsinə birləşdirək. Nəticədə yaranan VSM üçbucağı ACB üçbucağına bərabərdir. ABM üçbucağının hər bucağının 60°-yə bərabər olduğunu görürük, ona görə də bu üçbucaq bərabərtərəfli üçbucaqdır.

AC ayağı AM-nin yarısına bərabərdir və AM AB-yə bərabər olduğundan, AC ayağı AB hipotenuzunun yarısına bərabər olacaqdır.

Dünəndən sonra:

Gəlin həndəsə nağılına əsaslanan mozaika ilə oynayaq:

Bir zamanlar üçbucaqlar var idi. O qədər oxşardırlar ki, onlar bir-birinin sadəcə surətidir.
Birtəhər düz bir xəttdə yan-yana dayandılar. Və hamısı eyni hündürlükdə olduğundan -
sonra onların zirvələri hökmdarın altında eyni səviyyədə idi:

Üçbucaqlar yıxılmağı və başlarının üstündə durmağı sevirdilər. Yuxarı cərgəyə qalxıb akrobatlar kimi küncdə dayandılar.
Və biz artıq bilirik - üstləri ilə düz bir xəttdə dayandıqda,
onda onların altlığı da bir hökmdarın ardınca gedir - çünki kimsə eyni boydadırsa, deməli, onlar da eyni hündürlükdədirlər!

Hər şeydə eyni idilər - eyni hündürlük və eyni altlıq,
və yanlardakı sürüşmələr - biri daha dik, digəri daha düzdür - uzunluğu eynidir
və eyni mailliyə malikdirlər. Yaxşı, sadəcə əkizlər! (yalnız müxtəlif geyimlərdə, hər birinin öz tapmacası var).

- Üçbucaqların harada eyni tərəfləri var? Harada künclər eynidir?

Üçbucaqlar başlarının üstündə dayandılar, orada dayandılar və sürüşərək aşağı cərgədə yatmağa qərar verdilər.
Onlar sürüşüb təpədən aşağı sürüşdülər; lakin onların slaydları eynidir!
Beləliklə, onlar aşağı üçbucaqlar arasında tam uyğundur, boşluqlar olmadan və heç kim heç kimi kənara itələmirdi.

Üçbucaqlara baxdıq və maraqlı bir xüsusiyyət gördük.
Onların bucaqları harada birləşsə, hər üç bucaq mütləq birləşəcəkdir:
ən böyüyü “baş bucağı”, ən kəskin bucaq və üçüncü, orta ən böyük bucaqdır.
Onlar hətta rəngli lentlər də bağladılar ki, hansının hansı olduğu dərhal aydın olsun.

Və məlum oldu ki, üçbucağın üç bucağı, əgər onları birləşdirsəniz -
bir böyük bucaq, "açıq künc" təşkil edin - açıq bir kitabın üz qabığı kimi,

______________________O ___________________

buna dönmə bucağı deyilir.

İstənilən üçbucaq pasporta bənzəyir: üç bucaq birlikdə açılmamış bucağa bərabərdir.
Biri sənin qapını döyür: - knock-nock, mən üçbucaqam, icazə ver gecəni keçirim!
Və ona deyin - Mənə bucaqların cəmini genişləndirilmiş formada göstər!
Və bunun əsl üçbucaq və ya fırıldaqçı olduğu dərhal aydın olur.
Uğursuz yoxlama - Yüz səksən dərəcə dön və evə get!

"180° dön" deyəndə geriyə dönmək və
əks istiqamətdə gedin.

Eyni şey daha tanış ifadələrdə, "bir zamanlar" olmadan:

ABC üçbucağının OX oxu boyunca paralel tərcüməsini həyata keçirək
vektor etmək AB AB əsasının uzunluğuna bərabərdir.
Üçbucaqların C və C 1 təpələrindən keçən DF xətti
OX oxuna paralel, OX oxuna perpendikulyar olması səbəbindən
h və h 1 seqmentləri (bərabər üçbucaqların hündürlükləri) bərabərdir.
Beləliklə, A 2 B 2 C 2 üçbucağının əsası AB əsasına paraleldir
və uzunluğu ona bərabərdir (çünki C 1 təpəsi C-yə nisbətən AB miqdarı ilə yerdəyişmişdir).
A 2 B 2 C 2 və ABC üçbucaqları üç tərəfdən bərabərdir.
Deməli, düz bucaq əmələ gətirən ∠A 1 ∠B ∠C 2 bucaqları ABC üçbucağının bucaqlarına bərabərdir.
=> Üçbucağın bucaqlarının cəmi 180°-dir

Hərəkətlərlə - "tərcümələr", sözdə sübut daha qısa və aydındır,
hətta uşaq da mozaikanın parçalarını başa düşə bilər.

Ancaq ənənəvi məktəb:

paralel xətlər üzərində kəsilmiş daxili çarpaz bucaqların bərabərliyinə əsaslanır

Bunun niyə belə olduğu barədə fikir verməsi baxımından dəyərlidir,
Niyəüçbucağın bucaqlarının cəmi əks bucağına bərabərdir?

Çünki əks halda paralel xətlər bizim dünyamıza tanış olan xüsusiyyətlərə malik olmazdı.

Teoremlər hər iki şəkildə işləyir. Paralel xətlərin aksiomundan belə çıxır
çarpaz yalançı və şaquli bucaqların bərabərliyi və onlardan - üçbucağın bucaqlarının cəmi.

Amma bunun əksi də doğrudur: üçbucağın bucaqları 180° olduğu müddətcə paralel xətlər var.
(belə ki, xətt üzərində olmayan bir nöqtə vasitəsilə veriləndən unikal || xətti çəkilə bilər).
Bir gün dünyada bucaqlarının cəmi açılmamış bucağa bərabər olmayan üçbucaq görünsə -
onda paralellər paralel olmaqdan çıxacaq, bütün dünya əyilib əyiləcək.

Üçbucaq naxışlı zolaqlar bir-birinin üstünə qoyularsa -
bütün sahəni plitələr ilə döşəmə kimi təkrarlanan bir naxışla əhatə edə bilərsiniz:

belə bir şəbəkədə müxtəlif formaları izləyə bilərsiniz - altıbucaqlılar, romblar,
ulduzlu poliqonlar və müxtəlif parketlər əldə edin

Təyyarənin parketlə döşənməsi təkcə əyləncəli bir oyun deyil, həm də müvafiq riyazi problemdir:

________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\

Hər dördbucaq düzbucaqlı, kvadrat, romb və s. olduğundan,
iki üçbucaqdan ibarət ola bilər,
müvafiq olaraq dördbucağın bucaqlarının cəmi: 180° + 180° = 360°

Eyni ikitərəfli üçbucaqlar müxtəlif üsullarla kvadratlara qatlanır.
2 hissədən ibarət kiçik bir kvadrat. Orta 4. Və 8-dən ən böyüyü.
Rəsmdə 6 üçbucaqdan ibarət neçə fiqur var?

Üçbucağın bucaqlarının cəminin 180 dərəcəyə bərabər olduğunu sübut edə bilərsinizmi? və ən yaxşı cavabı aldım

Top_ed[guru] tərəfindən cavab
Niyə çox, çox uzun müddət əvvəl sübut edilmiş bir şeyi sübut etmək lazımdır.
Evklid həndəsəsinin klassik teoremi olan üçbucaq bucaqlarının cəmi teoremi bildirir ki,
Üçbucağın bucaqlarının cəmi 180°-dir.
ABC ixtiyari üçbucaq olsun. B təpəsində AC xəttinə paralel bir xətt çəkək. Üzərində D nöqtəsini elə qeyd edək ki, A və D nöqtələri BC xəttinin əks tərəflərində olsun.
DBC və ACB bucaqları AC və BD paralel xətləri ilə eninə BC tərəfindən əmələ gələn daxili çarpaz yatanlar kimi konqruentdir. Beləliklə, B və C təpələrində üçbucağın bucaqlarının cəmi ABD bucağına bərabərdir.
Üçbucağın hər üç bucağının cəmi ABD və BAC bucaqlarının cəminə bərabərdir. Bunlar paralel AC və BD və kəsik AB üçün birtərəfli daxili bucaqlar olduğundan, onların cəmi 180°-dir. Teorem sübut edilmişdir.

-dan cavab Boriska (c)[quru]
edə bilərəm, amma necə olduğunu xatırlamıram))

-dan cavab Muraşkina[quru]
bilər. Sizin üçün təcilidir? ? Beşinci sinif imtahanı verirsən? ? :))

-dan cavab Oriy Semykin[quru]
1. Məkanın həndəsəsindən asılıdır. Riemann təyyarəsində > 180, meydanda. Lobaçevski< 180. На Эвклидовой - равенство.
2. Təpədən tərəflərdən birinə paralel bir xətt çəkin və iki tərəfin və əlavə xəttin yaratdığı çarpaz bucaqları yoxlayın. Alınan bucaq (180) üçbucağın üç bucağının cəminə bərabərdir.

Sübut mahiyyətcə yalnız bir paralel xəttin çəkilə biləcəyi faktına əsaslanır. Bunun belə olmadığı bir çox həndəsi var.

-dan cavab Yuri[quru]
Nə üçün sübut olunduğunu sübut edin?)) Yeni bir şey istəyirsinizsə kvadratı iki hissəyə kəsin))

-dan cavab Nikolay Evgenievich[quru]
bacarmıram.

-dan cavab Aleks Briçka[ekspert]
Bəli, burada sübut ediləcək bir şey yoxdur, sadəcə bir-birinizə bucaqlar əlavə etməlisiniz və bu qədər.

-dan cavab 2 cavab[quru]

salam! Sualınızın cavabı olan mövzuları təqdim edirik: Üçbucağın bucaqlarının cəminin 180 dərəcəyə bərabər olduğunu sübut edə bilərsinizmi?