Rəqəm dairəsində pi ilə ədədləri necə işarələmək olar? "Vahid çevrəsində sinus və kosinusun tərifi" dərsi Xülasə və əsas düsturlar.

Mövzu üzrə dərs və təqdimat: "Koordinat müstəvisində ədəd dairəsi"

Əlavə materiallar
Hörmətli istifadəçilər, şərhlərinizi, rəylərinizi, arzularınızı bildirməyi unutmayın! Bütün materiallar antivirus proqramı ilə yoxlanılıb.

1C-dən 10-cu sinif üçün Integral onlayn mağazasında dərsliklər və simulyatorlar
Parametrlərlə cəbri məsələlər, 9-11-ci siniflər
Həndəsə məsələləri həll edirik. 7-10-cu siniflər üçün interaktiv tikinti tapşırıqları

Nə öyrənəcəyik:
1. Tərif.
2. Say dairəsinin mühüm koordinatları.
3. Ədəd dairəsinin koordinatını necə tapmaq olar?
4. Say dairəsinin əsas koordinatlarının cədvəli.
5. Problemin həlli nümunələri.

Koordinat müstəvisində ədəd dairəsinin tərifi

Say dairəsini koordinat müstəvisinə elə yerləşdirək ki, dairənin mərkəzi koordinatların başlanğıcı ilə üst-üstə düşsün və onun radiusunu vahid seqment kimi götürək. A ədəd dairəsinin başlanğıc nöqtəsi (1;0) nöqtəsi ilə birləşdirilir.

Say dairəsinin hər bir nöqtəsinin koordinat müstəvisində öz x və y koordinatları var və:
1) $x > 0$, $y > 0$ üçün - birinci rübdə;
2) $x 0$ üçün - ikinci rübdə;
3) $x üçün 4) $x > 0$, $y üçün
Ədəd dairəsinin hər hansı $M(x; y)$ nöqtəsi üçün aşağıdakı bərabərsizliklər təmin edilir: $-1
Say dairəsinin tənliyini xatırlayın: $x^2 + y^2 = 1$.

Şəkildə göstərilən say dairəsi üzərindəki nöqtələrin koordinatlarını necə tapmağı öyrənmək bizim üçün vacibdir.

$\frac(π)(4)$ nöqtəsinin koordinatını tapaq

$M(\frac(π)(4))$ nöqtəsi birinci rübün ortasıdır. M nöqtəsindən OA düz xəttinə perpendikulyar MR-i endirək və OMP üçbucağını nəzərdən keçirək.AM qövsü AB qövsünün yarısı olduğu üçün $∠MOP=45°$.
Beləliklə, OMP üçbucağı ikitərəflidir düz üçbucaq və $OP=MP$, yəni. M nöqtəsində absis və ordinat bərabərdir: $x = y$.
$M(x;y)$ nöqtəsinin koordinatları ədəd dairəsinin tənliyini təmin etdiyi üçün onları tapmaq üçün tənliklər sistemini həll etmək lazımdır:
$\begin (hallar) x^2 + y^2 = 1,\\ x = y. \end (hallar)$
Bu sistemi həll etdikdən sonra əldə edirik: $y = x =\frac(\sqrt(2))(2)$.
Bu o deməkdir ki, $\frac(π)(4)$ ədədinə uyğun gələn M nöqtəsinin koordinatları $M(\frac(π)(4))=M(\frac(\sqrt(2))( olacaq) 2);\frac (\sqrt(2))(2))$.
Əvvəlki şəkildə təqdim olunan nöqtələrin koordinatları oxşar şəkildə hesablanır.

Say dairəsi üzərindəki nöqtələrin koordinatları

Nümunələrə baxaq

Misal 1.
Ədəd çevrəsindəki nöqtənin koordinatını tapın: $P(45\frac(π)(4))$.

Həll:
$45\frac(π)(4) = (10 + \frac(5)(4)) * π = 10π +5\frac(π)(4) = 5\frac(π)(4) + 2π*5 $.
Bu o deməkdir ki, $45\frac(π)(4)$ ədədi $\frac(5π)(4)$ ədədi ilə ədəd çevrəsindəki eyni nöqtəyə uyğun gəlir. Cədvəldəki $\frac(5π)(4)$ nöqtəsinin dəyərinə baxsaq, alırıq: $P(\frac(45π)(4))=P(-\frac(\sqrt(2))( 2);-\frac (\sqrt(2))(2))$.

Misal 2.
Ədəd çevrəsindəki nöqtənin koordinatını tapın: $P(-\frac(37π)(3))$.

Həll:

Çünki $t$ və $t+2π*k$ ədədləri, burada k tam ədəddir, ədəd çevrəsinin eyni nöqtəsinə uyğundur, onda:
$-\frac(37π)(3) = -(12 + \frac(1)(3))*π = -12π –\frac(π)(3) = -\frac(π)(3) + 2π *(-6)$.
Bu o deməkdir ki, $-\frac(37π)(3)$ ədədi $–\frac(π)(3)$ rəqəmi ilə ədəd çevrəsindəki eyni nöqtəyə və –$\frac(π) rəqəminə uyğun gəlir. (3)$ $\frac(5π)(3)$ ilə eyni nöqtəyə uyğundur. Cədvəldəki $\frac(5π)(3)$ nöqtəsinin dəyərinə baxsaq, alırıq:
$P(-\frac(37π)(3))=P(\frac((1))(2);-\frac(\sqrt(3))(2))$.

Misal 3.
Ordinat $y =\frac(1)(2)$ olan ədəd dairəsi üzərində nöqtələri tapın və hansı $t$ ədədlərinə uyğun olduğunu yazın?

Həll:
$y =\frac(1)(2)$ düz xətti M və P nöqtələrində ədəd dairəsini kəsir. M nöqtəsi $\frac(π)(6)$ rəqəminə uyğundur (cədvəl məlumatından). Bu, formanın istənilən sayı deməkdir: $\frac(π)(6)+2π*k$. P nöqtəsi $\frac(5π)(6)$ ədədinə və buna görə də $\frac(5π)(6) +2 π*k$ formasının istənilən nömrəsinə uyğundur.
Belə hallarda tez-tez deyildiyi kimi, iki sıra dəyər aldıq:
$\frac(π)(6) +2 π*k$ və $\frac(5π)(6) +2π*k$.
Cavab: $t=\frac(π)(6) +2 π*k$ və $t=\frac(5π)(6) +2π*k$.

Misal 4.
$x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ absis ilə ədəd çevrəsində nöqtələri tapın və onların hansı $t$ ədədlərinə uyğun olduğunu yazın.

Həll:

$x =-\frac(\sqrt(2))(2)$ düz xətti M və P nöqtələrində ədəd dairəsini kəsir. $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ bərabərsizliyi uyğundur. qövsün PM nöqtələrinə. M nöqtəsi $3\frac(π)(4)$ rəqəminə uyğundur (cədvəl məlumatından). Bu, $-\frac(3π)(4) +2π*k$ formasının istənilən sayı deməkdir. P nöqtəsi $-\frac(3π)(4)$ ədədinə və buna görə də $-\frac(3π)(4) +2π*k$ formasının istənilən nömrəsinə uyğun gəlir.

Sonra $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$ alırıq.

Cavab: $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.

Müstəqil həll ediləcək problemlər

1) Ədəd çevrəsindəki nöqtənin koordinatını tapın: $P(\frac(61π)(6))$.
2) Ədəd çevrəsindəki nöqtənin koordinatını tapın: $P(-\frac(52π)(3))$.
3) Ədəd dairəsi üzərində $y = -\frac(1)(2)$ ordinatı olan nöqtələri tapın və onların hansı $t$ ədədlərinə uyğun olduğunu yazın.
4) Ədəd dairəsi üzərində $y ≥ -\frac(1)(2)$ ordinatı olan nöqtələri tapın və onların hansı $t$ ədədlərinə uyğun olduğunu yazın.
5) $x≥-\frac(\sqrt(3))(2)$ absissası olan ədəd dairəsi üzərində nöqtələri tapın və onların hansı $t$ ədədlərinə uyğun olduğunu yazın.

Məktəbdə triqonometriyanı öyrənərkən hər bir şagird çox maraqlı “ədəd çevrəsi” anlayışı ilə qarşılaşır. Şagirdin sonradan triqonometriyanı nə dərəcədə yaxşı öyrənəcəyi məktəb müəlliminin onun nə olduğunu və nə üçün lazım olduğunu izah etmək bacarığından asılıdır. Təəssüf ki, hər müəllim bu materialı aydın şəkildə izah edə bilmir. Nəticə etibarı ilə bir çox tələbələr hətta necə qeyd etmələri ilə bağlı çaşqınlıq yaşayırlar ədəd dairəsində nöqtələr. Bu yazını sona qədər oxusanız, bunu heç bir problem olmadan necə edəcəyinizi öyrənəcəksiniz.

Beləliklə, başlayaq. Radiusu 1 olan çevrə çəkək. Bu dairənin “ən sağdakı” nöqtəsini hərflə işarə edək. O:

Təbrik edirik, indicə vahid dairə çəkdiniz. Bu çevrənin radiusu 1 olduğu üçün uzunluğu .

Hər birinə real rəqəm nöqtədən ədəd dairəsi boyunca trayektoriyanın uzunluğunu uyğunlaşdıra bilərsiniz O. Hərəkət istiqaməti saat əqrəbinin əksinə müsbət istiqamət kimi qəbul edilir. Mənfi üçün - saat yönünde:

Nömrə dairəsində nöqtələrin yeri

Artıq qeyd etdiyimiz kimi, ədəd dairəsinin (vahid çevrənin) uzunluğu -ə bərabərdir. O zaman nömrə bu dairədə harada yerləşəcək? Aydındır ki, nöqtədən O saat yönünün əksinə dairənin yarısına qədər getməliyik və özümüzü istədiyiniz nöqtədə tapacağıq. Onu hərflə qeyd edək B:

Qeyd edək ki, eyni nöqtəyə yarımdairəni mənfi istiqamətdə getməklə əldə etmək olar. Sonra ədədi vahid çevrənin üzərinə çəkərdik. Yəni rəqəmlər eyni nöqtəyə uyğun gəlir.

Üstəlik, bu eyni nöqtə , , rəqəmlərinə və ümumiyyətlə, şəklində yazıla bilən sonsuz ədədlər çoxluğuna uyğun gəlir, burada , yəni tam ədədlər çoxluğuna aiddir. Bütün bunlar nöqteyi-nəzərindən Bİstənilən istiqamətdə “dünya ətrafında” səyahət edə bilərsiniz (çevrəni əlavə edin və ya çıxarın) və eyni nöqtəyə gələ bilərsiniz. Biz başa düşmək və yadda saxlamaq lazım olan mühüm bir nəticə əldə edirik.

Hər bir nömrə ədəd dairəsindəki bir nöqtəyə uyğun gəlir. Lakin ədəd dairəsindəki hər bir nöqtə sonsuz sayda ədədə uyğundur.

İndi ədəd çevrəsinin yuxarı yarımdairəsini nöqtə ilə bərabər uzunluqlu qövslərə bölək C. Qövsün uzunluğunu görmək asandır O.C. bərabərdir. İndi mətləbi təxirə salaq C saat əqrəbinin əksinə eyni uzunluqda qövs. Nəticədə mətləbə çatacağıq B. Nəticə olduqca gözlənilir, çünki . Gəlin bu qövsü yenə eyni istiqamətdə qoyaq, amma indi nöqtədən B. Nəticədə mətləbə çatacağıq D, bu artıq nömrəyə uyğun olacaq:

Bir daha qeyd edək ki, bu nöqtə təkcə rəqəmə deyil, məsələn, rəqəmə də uyğun gəlir, çünki bu nöqtəyə nöqtədən uzaqlaşmaqla çatmaq olar. O saat əqrəbi istiqamətində dörddəbir dairə (mənfi istiqamət).

Və ümumiyyətlə, bir daha qeyd edirik ki, bu nöqtə formada yazıla bilən sonsuz sayda rəqəmlərə uyğundur. . Amma onları formada da yazmaq olar. Yaxud, istəsəniz, şəklində. Bütün bu qeydlər tamamilə ekvivalentdir və onlar bir-birindən əldə edilə bilər.

İndi qövsü hissələrə ayıraq O.C. yarım nöqtə M. İndi qövsün uzunluğunun nə olduğunu anlayın OM? Düzdür, qövsün yarısı O.C.. Yəni . Nöqtə hansı rəqəmlərə uyğun gəlir? M rəqəm dairəsində? Əminəm ki, indi başa düşəcəksiniz ki, bu rəqəmlər kimi də yazıla bilər.

Ancaq fərqli şəkildə edilə bilər. götürək. Sonra bunu anlayırıq . Yəni bu rəqəmlər formada yazıla bilər . Eyni nəticə rəqəm dairəsindən istifadə etməklə əldə edilə bilər. Artıq dediyim kimi, hər iki qeyd ekvivalentdir və onları bir-birindən əldə etmək olar.

İndi siz xalların uyğun gəldiyi rəqəmlərə asanlıqla misal verə bilərsiniz N, P Və K nömrə dairəsi üzərində. Məsələn, rəqəmlər və:

Çox vaxt nömrə dairəsindəki müvafiq nöqtələri təyin etmək üçün qəbul edilən minimal müsbət ədədlərdir. Bu, heç də lazım olmasa da, dövr N, artıq bildiyiniz kimi, sonsuz sayda digər ədədlərə uyğundur. O cümlədən, məsələn, nömrə.

Əgər qövsü pozarsan O.C. nöqtələri olan üç bərabər qövsə S Və L, deməli, məsələ budur S nöqtələr arasında yerləşəcək O Və L, sonra qövs uzunluğu ƏS və qövs uzunluğuna bərabər olacaq OL-ə bərabər olacaq. Dərsin əvvəlki hissəsində əldə etdiyiniz biliklərdən istifadə edərək, rəqəm dairəsindəki qalan nöqtələrin necə olduğunu asanlıqla anlaya bilərsiniz:

Say dairəsində π-nin qatları olmayan ədədlər

İndi özümüzə sual verək: 1 rəqəminə uyğun olan nöqtəni say xəttinin harasında qeyd etməliyik? Bunu etmək üçün vahid dairənin ən "sağ" nöqtəsindən başlamaq lazımdır O uzunluğu 1-ə bərabər olan bir qövsün planını qurun. Biz yalnız təxminən istədiyiniz nöqtənin yerini göstərə bilərik. Gəlin aşağıdakı kimi davam edək.

Ümid edirəm ki, siz artıq ədəd çevrəsi haqqında oxumusunuz və onun niyə ədəd çevrəsi adlandığını, koordinatların mənşəyinin harada olduğunu və müsbət istiqamətin hansı tərəfdə olduğunu bilirsiniz. Yoxdursa, qaçın! Əlbəttə ki, nömrə dairəsində xal tapmasanız.

\(2π\), \(π\), \(\frac(π)(2)\), \(-\frac(π)(2)\), \(\frac(3π) rəqəmlərini işarə edirik. (2 )\)

Əvvəlki məqalədən bildiyiniz kimi, ədəd dairəsinin radiusu \(1\)-dir. Bu o deməkdir ki, çevrə \(2π\)-ə bərabərdir (\(l=2πR\) düsturu ilə hesablanır). Bunu nəzərə alaraq rəqəm dairəsinin üzərində \(2π\) işarəsi qoyuruq. Bu rəqəmi qeyd etmək üçün ədəd çevrəsi boyunca \(0\) nöqtəsindən müsbət istiqamətdə \(2π\)-ə bərabər məsafəyə getməliyik və çevrənin uzunluğu \(2π\ olduğu üçün fırlanır. ki, edəcəyik tam dönüş. Yəni \(2π\) və \(0\) ədədi eyni nöqtəyə uyğun gəlir. Narahat olmayın, bir nöqtə üçün birdən çox dəyər rəqəm dairəsi üçün normaldır.

İndi ədəd çevrəsində \(π\) ədədini işarə edək. \(π\) \(2π\) nin yarısıdır. Beləliklə, bu rəqəmi və müvafiq nöqtəni qeyd etmək üçün \(0\) nöqtəsindən müsbət istiqamətdə yarım dairə getmək lazımdır.

Nöqtəni qeyd edək \(\frac(π)(2)\) . \(\frac(π)(2)\) \(π\-nin yarısıdır, buna görə də bu rəqəmi qeyd etmək üçün \(0\) nöqtəsindən müsbət istiqamətdə \(-in yarısına bərabər olan məsafəyə getmək lazımdır. π\), yəni dörddəbir dairədir.

Dairədəki nöqtələri işarə edək \(-\)\(\frac(π)(2)\) . Keçən dəfə olduğu kimi eyni məsafədə hərəkət edirik, lakin mənfi istiqamətdə.

\(-π\) qoyaq. Bunun üçün mənfi istiqamətdə yarım dairəyə bərabər məsafəni qət edək.

İndi daha mürəkkəb bir nümunəyə baxaq. Gəlin dairənin üzərində \(\frac(3π)(2)\) rəqəmini qeyd edək. Bunun üçün \(\frac(3)(2)\) kəsrini \(\frac(3)(2)\) \(=1\)\(\frac(1)(2)\ dilinə çeviririk. ), yəni e. \(\frac(3π)(2)\) \(=π+\)\(\frac(π)(2)\) . Bu o deməkdir ki, \(0\) nöqtəsindən müsbət istiqamətdə yarım dairə və başqa dörddəbir məsafəyə getmək lazımdır.

Məşq 1. Rəqəm dairəsində \(-2π\),\(-\)\(\frac(3π)(2)\) nöqtələrini qeyd edin.

\(\frac(π)(4)\), \(\frac(π)(3)\), \(\frac(π)(6)\) ədədlərini işarə edirik.

Yuxarıda nömrə dairəsinin \(x\) və \(y\) oxları ilə kəsişmə nöqtələrindəki dəyərləri tapdıq. İndi ara nöqtələrin yerini müəyyən edək. Əvvəlcə \(\frac(π)(4)\) , \(\frac(π)(3)\) və \(\frac(π)(6)\) nöqtələrini çəkək.
\(\frac(π)(4)\) \(\frac(π)(2)\) nin yarısıdır (yəni \(\frac(π)(4)\) \(=\)\ ( \frac(π)(2)\) \(:2)\) , buna görə də \(\frac(π)(4)\) məsafə dörddə bir dairənin yarısıdır.

\(\frac(π)(4)\) \(π\)-nin üçdə bir hissəsidir (başqa sözlə,\(\frac(π)(3)\) \(=π:3\)) məsafə \ (\frac(π)(3)\) yarımdairənin üçdə bir hissəsidir.

\(\frac(π)(6)\) \(\frac(π)(3)\)-in yarısıdır (hər şeydən sonra \(\frac(π)(6)\) \(=\)\( \frac (π)(3)\) \(:2\)) beləliklə \(\frac(π)(6)\) məsafənin yarısıdır \(\frac(π)(3)\) .

Onlar bir-birinə nisbətən belə yerləşirlər:

Şərh:\(0\), \(\frac(π)(2)\) ,\(π\), \(\frac(3π)(2)\) , \(\frac(π) dəyəri olan nöqtələrin yeri ( 4)\) , \(\frac(π)(3)\) , \(\frac(π)(6)\) yadda saxlamaq daha yaxşıdır. Onlarsız rəqəm dairəsi, monitoru olmayan bir kompüter kimi, faydalı bir şey kimi görünür, lakin istifadəsi olduqca əlverişsizdir.

Dairədəki müxtəlif məsafələr aydın şəkildə göstərilir:

\(\frac(7π)(6)\), \(-\frac(4π)(3)\), \(\frac(7π)(4)\) ədədlərini işarə edirik.

Dairədəki nöqtəni işarə edək \(\frac(7π)(6)\) , bunun üçün aşağıdakı çevrilmələri həyata keçirək: \(\frac(7π)(6)\) \(=\)\(\ frac(6π + π)( 6)\) \(=\)\(\frac(6π)(6)\) \(+\)\(\frac(π)(6)\) \(=π+ \)\(\frac( π)(6)\) . Buradan görə bilərik ki, sıfırdan müsbət istiqamətdə \(π\), sonra isə başqa bir \(\frac(π)(6)\) məsafə qət etməliyik.

Dairə üzərində \(-\)\(\frac(4π)(3)\) nöqtəsini qeyd edin. Transformasiya edin: \(-\)\(\frac(4π)(3)\) \(=-\)\(\frac(3π)(3)\) \(-\)\(\frac(π)( 3)\) \(=-π-\)\(\frac(π)(3)\) . Bu o deməkdir ki, \(0\) nöqtəsindən mənfi istiqamətdə \(π\) və həmçinin \(\frac(π)(3)\) məsafəsinə getməliyik.

\(\frac(7π)(4)\) nöqtəsini çəkək, bunun üçün \(\frac(7π)(4)\) \(=\)\(\frac(8π-π)(4) çevirək. )\) \ (=\)\(\frac(8π)(4)\) \(-\)\(\frac(π)(4)\) \(=2π-\)\(\frac(π) )(4) \) . Bu o deməkdir ki, \(\frac(7π)(4)\ dəyəri olan nöqtəni yerləşdirmək üçün \(2π\) dəyəri olan nöqtədən \(\) məsafədə mənfi tərəfə keçmək lazımdır. frac(π)(4)\) .

Tapşırıq 2. \(-\)\(\frac(π)(6)\) ,\(-\)\(\frac(π)(4)\) ,\(-\)\(\frac) nöqtələrini qeyd edin ədəd dairəsi (π)(3)\) ,\(\frac(5π)(4)\) ,\(-\)\(\frac(7π)(6)\) ,\(\frac(11π) (6) \) , \(\frac(2π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(3π)(4)\) .

\(10π\), \(-3π\), \(\frac(7π)(2)\) ,\(\frac(16π)(3)\), \(-\frac(21π) ədədlərini işarə edirik. )( 2)\), \(-\frac(29π)(6)\)

\(10π\) şəklində \(5 \cdot 2π\) yazaq. Xatırladaq ki, \(2π\) məsafədir uzunluğa bərabərdir dairələr, buna görə \(10π\) nöqtəsini qeyd etmək üçün sıfırdan \(5\) dairələrə bərabər məsafəyə getmək lazımdır. Özümüzü yenidən \(0\) nöqtəsində tapacağımızı təxmin etmək çətin deyil, sadəcə beş inqilab etmək kifayətdir.

Bu nümunədən belə nəticəyə gələ bilərik:

Fərqi \(2πn\) olan ədədlər, burada \(n∈Z\) (yəni \(n\) istənilən tam ədəddir) eyni nöqtəyə uyğundur.

Yəni, dəyəri \(2π\)-dən böyük (və ya \(-2π\)-dən kiçik) olan ədədi qoymaq üçün ondan cüt ədəd \(π\) (\(2π\), \(8π\), \(-10π\)…) və atın. Beləliklə, nöqtənin mövqeyinə təsir etməyən nömrələrdən "boş inqilabları" çıxaracağıq.

Başqa bir nəticə:

\(0\) uyğun gələn nöqtə də bütün cüt kəmiyyətlərə uyğundur \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)…).

İndi dairəyə \(-3π\) tətbiq edək. \(-3π=-π-2π\), yəni \(-3π\) və \(–π\) dairənin eyni yerindədir (çünki onlar \(-2π-də “boş dönmə” ilə fərqlənir) \)).

Yeri gəlmişkən, bütün tək \(π\) da orada olacaq.

\(π\) uyğun gələn nöqtə də bütün tək kəmiyyətlərə uyğundur \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)…).

İndi ədədi işarə edək \(\frac(7π)(2)\) . Həmişə olduğu kimi, çeviririk: \(\frac(7π)(2)\) \(=\)\(\frac(6π)(2)\) \(+\)\(\frac(π)(2) \ ) \(=3π+\)\(\frac(π)(2)\) \(=2π+π+\)\(\frac(π)(2)\) . İki pi atırıq və məlum olur ki, \(\frac(7π)(2)\) ədədini təyin etmək üçün sıfırdan müsbət istiqamətdə \(π+\)\(\) bərabər məsafəyə getmək lazımdır. frac(π)(2)\ ) (yəni yarım dairə və başqa dörddəbir).

Lisey şagirdləri heç vaxt bilmirlər ki, nə vaxt dərsləri ilə bağlı problemlər yarana bilər. Məktəbdə rus dilindən tutmuş həyat təhlükəsizliyinə qədər öyrənilən istənilən fənn çətinlik yarada bilər. Biri akademik fənlər Məktəbliləri mütəmadi olaraq tərlədən fənn cəbrdir. Cəbr elmi yeddinci sinifdən uşaqların şüurunu qorxutmağa başlayır və onuncu və on birinci təhsil ilində bu işi davam etdirir. Yeniyetmələr daim həllediciləri əhatə edən müxtəlif vasitələrdən istifadə edərək həyatlarını asanlaşdıra bilərlər.

Cəbrdən 10-11-ci siniflər üçün GDZ toplusu (Ş.A.Alimov, Yu.M.Kolyagin, M.V.Tkaçeva)əsas kitaba əla əlavədir. vasitəsilə istinad məlumatı tələbə istənilən məşqi həll etməyə hazırdır. Tapşırıqlar aşağıdakı mövzuların təhlilini əhatə edir:

• triqonometrik funksiyalar və tənliklər;
• loqarifmlər;
• dərəcə.

Təqdim olunan cavablar və şərhlərdə uşağa mütləq kömək edəcək lazımi müəllif qeydləri var.

Niyə həllediciyə ehtiyacınız var?

Nəşr bütün məktəblilərə müstəqil şəkildə material üzərində işləmək, mövzunu səhv başa düşmək və ya qaçırmaq halında isə keyfiyyətə xələl gətirmədən özləri keçmək imkanı verir. Həmçinin, istinad məlumatları gələcək müstəqil və effektiv şəkildə hazırlanmağa imkan verir testlər. Ən maraqlı tələbələr izləyə bilər kurikulum irəli, bu isə gələcəkdə biliklərin mənimsənilməsinə və orta balın artmasına müsbət təsir göstərəcək.

Onuncu və on birinci sinif şagirdlərindən başqa Alimov 10-11 siniflər üçün cəbr dərsliyi Valideynlər və müəllimlər ondan asanlıqla istifadə edə bilərlər: birincisi üçün bu, uşağın biliyinə nəzarət vasitəsinə, ikincisi üçün isə öz materiallarını hazırlamaq və öyrənmək üçün əsas olacaq. test tapşırıqları sinif fəaliyyəti üçün.

Kolleksiya necə təşkil olunur

Resurs dərsliyin strukturuna tam uyğundur. İçəridə istifadəçi 1624 məşqin cavablarına, həmçinin on üç fəsildən ibarət “Özünü sına” bölməsinin tapşırıqlarına baxmaq imkanına malikdir. Açarlar sutkada 24 saat mövcuddur, nömrəni axtarış sahəsindən və ya rahat naviqasiya vasitəsilə tapmaq olar.

5. HƏR ARQUMENTİN TRIQONOMETRİK FUNKSİYALARI

§ 20. BİRLİK DAİRƏSİ

948. Vahid çevrənin qövs uzunluğu ilə onun radian ölçüsü arasında hansı əlaqə var?

949. Vahid dairədə ədədlərə uyğun nöqtələr qurun: 0; 1; 2; 3; 4; 5; .... Bu məqamlardan hər hansı biri üst-üstə düşə bilərmi? Niyə?

950. Rəqəmlər α = 1/2 düsturu ilə verilir k, Harada k= 0; ±1; ±2; ....
Say xəttində və vahid dairədə bu ədədlərə uyğun olan nöqtələr qurun. Say xəttində neçə belə nöqtə və vahid dairədə neçə belə nöqtə olacaq?

951. Vahid çevrəsində və nömrə oxunda rəqəmlərə uyğun olan nöqtələri qeyd edin:
1) α = π k, k= 0; ±1, ±2, ...;
2) α = π / 2 (2k + 1), k= 0; ± 1; ±2; ...;
3) α = π k / 6 , k= 0; ±1; ±2; ... .
Say xəttində neçə belə nöqtə və vahid dairədə neçə belə nöqtə var?

952. Say oxunda və vahid dairədə yerləşən ədədlərə uyğun nöqtələr necədir?
1) A Və - A; 2) A Və A±π; 3) A+ π və A- π; 4) A Və A+ 2π k, k= 0; ±1; ±2; ...?

953. Ədədlərin ədəd oxundakı nöqtələrlə göstərilməsi ilə vahid çevrəsindəki nöqtələrlə göstərilməsi arasında əsas fərq nədir?

954. 1) Vahid dairənin kəsişmə nöqtələrinə uyğun gələn ən kiçik qeyri-mənfi ədədləri tapın: a) koordinat oxları ilə; b) koordinat bucaqlarının bissektrisaları ilə.

2) Hər bir halda yazın ümumi formula vahid dairənin göstərilən nöqtələrinə uyğun gələn nömrələr.

955. Bunu bilmək A vahid çevrənin verilmiş nöqtəsinə uyğun gələn ədədlərdən biridir, tapın:
1) verilmiş nöqtəyə uyğun gələn bütün ədədlər;
2) vahid dairənin verilmiş nöqtəyə simmetrik olan nöqtəsinə uyğun gələn bütün ədədlər:
a) x oxuna nisbətən; b) ordinat oxuna nisbətən; c) mənşəyə nisbətən.
Qəbul etməklə problemi həll edin A = 0; π / 2 ; 1 ; 2 ; π / 6; - π / 4 .

956. Rəqəmlərin ödədiyi şərti tapın A, uyğundur:
1) vahid dairənin 1-ci rübünün nöqtələri;
2) vahid dairənin 2-ci rübünün nöqtələri;
3) vahid dairənin 3-cü rübünün nöqtələri;
4) vahid dairənin 4-cü rübünün nöqtələri.

957. Vahid çevrəyə yazılmış düzgün səkkizbucaqlı ABCDEFKL-in A təpəsinin koordinatları (1; 0) var (şək. 39).

1) Səkkizbucağın qalan təpələrinin koordinatlarını təyin edin.
2) Vahid çevrənin qövsləri üçün ümumi düstur yaradın:
a) A, C, E və K nöqtələrində; b) B, D, F və L nöqtələrində; c) A, B, C, D, E, F, K və L nöqtələrində.

958. 1) Vahid çevrə üzərində ordinatı 0,5 olan nöqtə qurun. Vahid çevrənin neçə nöqtəsi verilmiş ordinata malikdir? Bu nöqtələr ordinat oxuna nisbətən necə yerləşir?

2) Sonunun ordinatı 0,5 olan mütləq dəyərdə olan ən kiçik qövsü iletki ilə (1° dəqiqliklə) ölçün və ordinatı olan nöqtələrdə bitən vahid dairənin qövsləri üçün ümumi düstur tərtib edin. 0.5.

959. Ordinat götürərək 958-ci məsələni həll edin saat bərabərdir:

1) - 0,5; 2) 0 4; 3) 0,5√3 .

960. 1) Vahid çevrə üzərində absissası 0,5 olan nöqtə qurun. Vahid çevrənin neçə nöqtəsində verilmiş absis var? Bu nöqtələr x oxuna nisbətən necə yerləşir?

2) Ucu 0,5-ə bərabər absis olan ən kiçik müsbət qövsü iletki ilə (1° dəqiqliklə) ölçün və absisi 0,5 olan nöqtələrdə bitən vahid dairə qövsləri üçün ümumi düstur tərtib edin.

961. Absis götürərək 960-cı məsələni həll edin X bərabərdir:

1) - 2 / 3 ; 2) 0,4; 3) 0,5√2 .

962. Formula ilə verilmiş vahid dairənin qövslərinin uclarının koordinatlarını təyin edin ( k= 0; ±1; ±2; ...):

1) α = 30°(2 k+ 1); 2) α = π k / 3 .

963. Aşağıdakı bucaqlar seriyasını ifadə edin ( k= 0; ±1; ±2; ...):

1) α 1 = 180° k+ 120° və α 2 = 180° k+ 30°;

2) α 1 = π k + π / 6 və α 2 = π k - π / 3 ;

3) α 1 = 90° k və α 2 = 45° (2 k + 1);

4) α 1 = π k və α 2 = π / 3 (3k± 1);

5) α 1 = 120° k± 15° və α 2 = 120° k± 45°;

6) α 1 = π k; α2 = 2π k ± π / 3 və α 3 = 2l k± 2π / 3 ;

7) α 1 = 180° k+ 140°; α 2 = 180° k+ 80° və α 3 = 180° k+ 20°;

8) α 1 = 180° k + (-1)k 60° və α 2 = 180° k - (-1)k 60°.

964. Aşağıdakı düsturlarda təkrarlanan bucaqları aradan qaldırın ( k= 0-±1; ±2; ...):

1) α 1 = 90° k və α 2 = 60° k+ 30°;

2) α 1 = π k / 2 və α 2 = π k / 5 ;

3) α 1 = 1 / 4 π k və α 2 = 1/2 π k± 1/4 π;

4) α 1 = π (2 k+ 1) - π / 6 və α 2 = 2 / 5 π k+ 1 / 30 π;

5) α 1 = 72° k+ 36° və α 2 = 120° k+ 60°.