Adi fraksiyaların tarixi. "Kəsrlərin tarixindən" layihəsi Elmi iş Dövri kəsrlər haqqında maraqlı faktlar

İşçenko Aleksandra

6-cı sinif şagirdlərinin “Kəsrlərin tarixindən” layihəsi çərçivəsində hazırladıqları təqdimatlardan biri. ərzində tədqiqat fəaliyyəti tələbələr suala cavab verməli idilər: adi kəsr riyaziyyatçıların ixtirası və ya konsepsiyasıdır praktik fəaliyyətlərşəxs. Müxtəlif ölkələrdə və müxtəlif tarixi dövrlərdə kəsrlərin yaranma tarixini öyrənərkən tələbələr bu suala cavab verirlər. Təqdimat daxildir Maraqlı Faktlar və antik riyaziyyat kitablarının fotoşəkilləri təqdim olunur. Bu təqdimatdan mövzuya marağı inkişaf etdirmək üçün “Kəsrlər” mövzusunda dərslərdə istifadə oluna bilər.

Yüklə:

Slayd başlıqları:

Qədim dövrlərdən bəri insanlar nəinki obyektləri,

təbii ədədləri tələb edən, həm də uzunluğu, vaxtı, sahəsi ölçmək üçün. Ölçmə nəticəsi həmişə ifadə edilmir natural ədəd, hissələr və paylar nəzərə alınmalı idi. Fraksiyalar belə ortaya çıxdı.

İşchenko Sasha, 6D sinfi,

“87 saylı gimnaziya” bələdiyyə təhsil müəssisəsi, 2009-cu il.

Fraksiyaların ilk qeydləri Qədim Babilin gil lövhələrində tapıldı.

Bu dövlət təxminən eramızdan üç min il əvvəl Dəclə və Fərat çaylarının vadilərində yerləşirdi.

Babil "mətnləri" bizə gil lövhələr şəklində gəlir, adətən təxminən avuç ölçüsündədir. Onlar mixi yazı ilə, paz şəkilli əlifba ilə yazılmışdır.

Onların hesabının əsası 60 idi, Babil riyaziyyatında tam ədədlər və kəsrlər üçün sexagesimal sistemindən istifadə etdilər, kəsrlər 60-a bərabər sabit məxrəclə yazılırdı.

Misal üçün,

Daha sonra qədim misirlilər 1/2, 1/3, 1/28 fraksiyalarını təqdim etdilər - onlar əsas və ya vahid adlanırdılar; digər fraksiyaların təyinatları ilə üst-üstə düşməyən 2/3 fraksiya üçün xüsusi təyinat var idi.

Misirlilər bütün digər fraksiyaları payların cəmi kimi yazmağa çalışdılar, yəni. 1/n formasının kəsrləri.

Məsələn, 8/15 əvəzinə 1/3+1/5 yazdılar. Bəzən rahat olurdu

Eramızdan əvvəl 2000-ci illərdə qədim Misir papirusu.

Vahid fraksiyalardan istifadə etməklə hesablama üsulları misirlilərdən Yunanıstana, yunanlardan ərəblərə və onlardan da Qərbi Avropa.

Maraqlı bir kəsr sistemi var idi Qədim Roma. Kütlə vahidi, 1 ass, 12 hissəyə bölündü; buna görə romalılar onikilik fraksiyalardan istifadə etdilər.

1/12 dediyimiz fraksiya uzunluq və ya başqa bir kəmiyyəti ölçmək üçün istifadə olunsa belə, romalılar onu “unsiya” adlandırırdılar; 1/8 dediyimiz fraksiya romalılar və buna bənzərlər tərəfindən "bir yarım unsiya" adlandırılırdı.

Bir Romalı deyə bilər ki, o, 7 unsiya cığır keçib və ya 5 unsiya kitab oxuyub. Eyni zamanda, təbii ki, onlar nə yolu, nə də kitabı tərəziyə götürüblər.

Bu, yolun 7/12 hissəsinin keçdiyi və ya kitabın 5/12 hissəsinin oxunduğu demək idi.

Müasir kəsrlərin payı və məxrəci ilə yazılması sistemi qədim Hindistanda yaradılmışdır, lakin hindlilər kəsr xətlərini yazmamışlar.
Hind alimi Brahmaqupta (eramızın 8-ci əsri) tərəfindən qoyulmuş kəsrlərlə işləmə qaydaları bizimkindən bir qədər fərqlənir.Kəsrlərin hind təyinatı və onlarla işləmə qaydaları 9-cu əsrdə müsəlman ölkələrində öyrənilmişdir. Özbək alimi Xorəzmli Məhəmməd (əl-Xarəzmi) .

Onları Qərbi Avropaya Pizadan olan italyan taciri və alimi Leonardo Fibonaççi gətirib (13-cü əsr).

Pizalı Leonardo

təxminən 1170-1250

Qədim Rusiyada fraksiyalar səhmlər, sonradan qırılan ədədlər adlanırdı. Beləliklə, 1 ədədi olan kəsrlərin öz adları var idi.

1/2 - yarım, yarım.

1\3 üçüncüdür.

1\4 - bərabər.

1\6 - üçdə bir yarım.

1\8 - yarım.

1\12 - üçdə bir yarım.

1\10 – onda bir (1,09 ha)

MAQNITSKİ

Leonti Filippoviç (1669-1739)

Səhifə birinci

Rus dili dərsliyi "Arifmetika"

Slavyan nömrələmə Rusiyada 16-cı əsrə qədər istifadə edilmişdir. Və yalnız I Pyotrun dövründə bu günə qədər qalan onluq say sistemi tətbiq edildi. 1903-cü ildə L.F.Maqnitskinin “Arifmetika” əsəri nəşr olundu. Birinci hissədə tam ədədlərlə əməliyyatlar təsvir olunur, ikincisi - qırıq ədədlərlə, yəni. fraksiyalarda.

Bu mövzunu müxtəlif ədəbiyyatda və İnternetdə öyrəndikdən sonra,

Mən belə nəticəyə gəldim:

Adi kəsr riyaziyyatçıların ixtirası deyil, anlayışdır

hansı insanlar müxtəlif ölkələr və müxtəlif tarixi dövrlərdə özlərində

Biz bunu tapdıq və həyatımızda istifadə etdik.

Hər bir xalq öz adları və fraksiyaların qeydləri ilə gəldi.

Riyaziyyatçılar yalnız bunu sistemləşdirmişlər və

Biz rahat qeydiyyat forması ilə gəldik.

4. http://images.yandex.ru/yandsearch?

5. http://ru.wikipedia.org/wiki

3. http://kosilova.textdriven.com/narod/studia3/math/translatio/babylon.htm

Ədəbiyyat

2. Ensiklopediya. Mən dünyanı kəşf edirəm. Böyük alimlər. – M.: AST Nəşriyyatı MMC, 2003;

1. Ensiklopediya. Mən dünyanı kəşf edirəm. Riyaziyyat. – M.: MMC “AST Nəşriyyatı”,

Ondalık kəsrlər III əsrdə meydana çıxdı. e.ə. Qədim Çində onluq say sistemindən istifadə edilmişdir. 3-cü əsrin Çin riyaziyyatçısı. Liu Hui məxrəci 10, 100 və s olan fraksiyalardan istifadə etməyi tövsiyə etdi. kvadrat kökləri çıxararkən. O, qaydanı nəzərdə tuturdu

sonralar bir çox ərəb və Avropa riyaziyyatçıları tərəfindən tez-tez istifadə edilmişdir. Məhz bu qayda bəzi digər hesablama texnikaları ilə birlikdə onluq fraksiyaların elmə daxil olmasına böyük töhfə verdi.

15-ci əsrdə Onluq kəsrlərin tam nəzəriyyəsi səmərqəndli astronom Cəmşid əl-Kaşi tərəfindən “Arifmetikanın açarı” (1427) traktatında işlənib hazırlanmışdır. O, onluq kəsrlərlə işləmə qaydalarını ətraflı təsvir etdi. Ola bilsin ki, əl-Kaşi Çində ondalıqların istifadə olunduğundan xəbərsiz olub. Özü də onları öz ixtirası hesab edirdi. Şübhə yoxdur ki, onluq kəsrlərin daimi istifadəsi və onlarla işləmə qaydalarının təsviri alimin bilavasitə xidmətlərindəndir. Lakin onun traktatları Avropa alimlərinə məlum deyildi. Onlar müstəqil olaraq onluq kəsrlər nəzəriyyəsini inkişaf etdirdilər.

Belə bir kəsr sisteminin qurulması ideyası 13-cü əsrdən etibarən arifmetika dərsliklərində vaxtaşırı ortaya çıxdı. Bu barədə Jordan Nemorarius “On Kitabda Arifmetika” adlı əsərində yazmışdır.

Fransız alimi Fransua Viet 1579-cu ildə Parisdə "Riyazi Kanon" adlı əsərini nəşr etdirdi və burada tərtibində onluq kəsrlərdən istifadə etdiyi triqonometrik cədvəlləri təqdim etdi. Onluq kəsrləri yazarkən o, heç bir xüsusi üsula əməl etmirdi: bəzən bütün hissəni kəsr hissədən şaquli xəttlə ayırır, bəzən tam hissənin nömrələrini qalın hərflərlə təsvir edir, bəzən kəsr hissəsinin nömrələrini yazır. kiçik hərflərlə. Beləliklə, Vyeta sayəsində onluq kəsrlər elmi hesablamalara nüfuz etməyə başladı, lakin gündəlik təcrübəyə daxil olmadılar.

Hollandiyalı alim Simon Stevin hesab edirdi ki, bütün praktiki hesablamalarda onluq kəsrlərdən istifadə edilməlidir. O, onluq kəsrləri tətbiq etdiyi və qaydalar hazırladığı “Onuncu” əsərini (1585) buna həsr etmişdir. arifmetik əməliyyatlar onlarla birlikdə pul vahidlərinin, ölçülərin və çəkilərin onluq sistemini təklif etdi.

"Onuncu" tez bir zamanda Avropada məşhurlaşdı. Kitabı 1585-ci ildə flamand dilində nəşr etdirən müəllif onu dilə tərcümə etmişdir Fransız dili, və 1601-ci ildə ingilis dilində nəşr olundu.

Stevin kəsrləri indikindən fərqli yazırdı. Kəsr hissəni göstərmək üçün dairəvi 0 istifadə edilmişdir. Kəsrləri yazarkən ilk dəfə vergüldən istifadə 1592-ci ildə olub.İngiltərədə vergül əvəzinə nöqtə istifadə edilib, ABŞ-da bu gün də istifadə olunur. O, 1616-1617-ci illərdə nöqtə kimi ayırıcı işarə kimi vergüldən istifadə etməyi təklif etdi. məşhur ingilis riyaziyyatçısı Con Napier. Astronom Yohannes Kepler əsərlərində onluq nöqtədən istifadə edirdi.

Rusiyada onluq kəsrlər doktrinasını ilk dəfə L.F. Maqnitski özünün “Arifmetika” əsərində.

Pavlikova E.V. (, MAOU Dyatkovskaya 5 nömrəli tam orta məktəb)

1. Anişenko E. A. Rəqəm riyaziyyatın əsas anlayışı kimi. Mariupol, 2002.

2. Vilenkin N.Ya., Jokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Riyaziyyat. 5-ci sinif: üçün təhsil təhsil müəssisələri. – 26-cı nəşr, silinib. – M.: Mnemosyne, 2009. – 280 s.

3. Qeyzer G.İ. Məktəbdə riyaziyyatın tarixi. Müəllimlər üçün dərslik. – M.: Təhsil, 1981. – 239 s.

4. Riyaziyyat. 5-ci sinif: ümumi təhsil üçün tədris. qurumlar / S.M. Nikolski, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Şevkin. 11-ci nəşr, yenidən işlənmiş. – M.: Təhsil, 2016. – 272 s. – (MDU – məktəb).

5. Riyazi ensiklopedik lüğət. – M., 1988.

6. Dragunsky V. Sizdə yumor hissi olmalıdır. – Giriş rejimi: http://peskarlib.ru/lib.phpid_sst=248.

7. Kəsrlərin tarixindən. Giriş rejimi: http://schools.keldysh.ru/sch1905/drobi/history.htm.

8. Vikipediyadan material - pulsuz ensiklopediya. Giriş rejimi: http://ru.wikipedia.org/wiki.

9. Sitatlar. Giriş rejimi: http://citaty.socratify.net/lev-toltoi/25013.

Kəsrlərin öyrənilməsini həyatın özü diktə edir. Müxtəlif hesablamalar və hesablamalar aparmaq bacarığı hər bir insan üçün lazımdır, çünki biz fraksiyalarla qarşılaşırıq. Gündəlik həyat. Bu nömrələrin adının haradan gəldiyini bilmək istədim; Bu rəqəmləri ortaya qoyan, məktəbdə oxuduğumuz “Kəsrlər” mövzusu həyatımda zəruridir.

Tədqiqatın obyekti: adi fraksiyaların yaranma tarixi.

Tədqiqatın mövzusu: adi fraksiyalar.

Hipoteza: Əgər kəsrlər olmasaydı, riyaziyyat inkişaf edə bilərdi?

İşin məqsədi: riyaziyyat sinifindəki “Ətrafımızda riyaziyyat” stendini kəsrlər haqqında maraqlı faktlarla bəzəmək.

Tapşırıqlar:

1. Riyaziyyatda kəsrlərin yaranma tarixini öyrənmək;

2. Stendin bölmələrini tərtib etmək üçün istifadə edilə bilən fraksiyalar haqqında ən maraqlı faktları seçin.

3. Riyaziyyat otağında stend qurun.

Fraksiyaların əhatəsində yaşadığımız üçün biz onları həmişə aydın görmürük. Bununla belə, çox tez-tez qarşılaşırıq: evdə, küçədə, mağazada. Səhər yuxudan duranda zəngli saata baxırıq və fraksiyalarla qarşılaşırıq. Mağazalarda əşyaları çəkərkən fraksiyalardan istifadə edirik. Ölçmələrdə, yükün həcmini təyin edərkən. Fraksiyalar bizi hər yerdə əhatə edir. Kəsrlərin köməyi ilə uzunluqları ölçə və bütövü hissələrə bölə bilərik. Kəsrləri bilmədən insanın boyunu və ya cisimlər arasındakı məsafəni necə ölçmək olar? Ətrafdakı hər şey fraksiyadır!

Uyğunluq: Müasir həyat kəsr məsələlərini aktual edir, çünki kəsrlərin praktik tətbiq dairəsi genişlənir.

Tədqiqat üsulları:

1. Müxtəlif mənbələrdə kəsrlər haqqında məlumat axtarın: İnternet, uydurma, dərsliklər.

2. İnformasiyanın təhlili, müqayisəsi, sintezi və sistemləşdirilməsi.

Adi fraksiyaların tarixindən

Fraksiyaların yaranması

Qədim dövrlərdən bəri həyati əhəmiyyət kəsb edən praktiki məsələləri həll etmək üçün insanlar əşyaları saymalı və kəmiyyətləri ölçməli, yəni “Neçə?” suallarına cavab verməli idilər: sürüdə neçə qoyun var, tarladan neçə ölçü taxıl yığılıb. , rayon mərkəzindən neçə kilometr məsafədə və s.. Beləliklə, rəqəmlər ortaya çıxdı. Ölçmənin nəticəsini və ya məhsulun dəyərini natural ədədlə ifadə etmək həmişə mümkün olmayıb. Bir insanın yeni - kəsrli nömrələr tapması lazım olduqda, fraksiyalar meydana çıxdı. Qədim dövrlərdə tam və kəsrli ədədlərə fərqli yanaşırdılar: üstünlüklər tam ədədlərin tərəfində idi. Afina Akademiyasının yaradıcısı Platon yazırdı: "Əgər siz vahidi bölmək istəyirsinizsə, riyaziyyatçılar sizi ələ salacaq və bunu etməyə icazə verməyəcəklər".

Bütün sivilizasiyalarda kəsr anlayışı bütövün bərabər hissələrə bölünməsi prosesindən yaranmışdır. Rus dilindəki "fraksiya" termini, digər dillərdəki analoqları kimi, lat dilindən gəlir. “Fractura”, bu da öz növbəsində eyni mənalı ərəb termininin tərcüməsidir: qırmaq, parçalamaq. Buna görə də, yəqin ki, hər yerdə ilk kəsrlər 1/n formasının kəsrləri idi. Əlavə inkişaf təbii olaraq bu kəsrləri kəsrlərin m/n - rasional ədədlərin təşkil oluna biləcəyi vahidlər kimi nəzərdən keçirməyə doğru gedir. Lakin bu yol bütün sivilizasiyalar tərəfindən getməmişdir: məsələn, Qədim Misir riyaziyyatında heç vaxt həyata keçirilməmişdir.

İnsanların tanış olduğu ilk fraksiya yarısı idi. Aşağıdakı bütün fraksiyaların adları məxrəclərinin adları ilə əlaqəli olsa da (üç "üçüncü", dördü "dörddəbir" və s.), bu, yarısı üçün belə deyil - bütün dillərdə onun adının heç bir əlaqəsi yoxdur. "iki" sözü ilə edin.

Fraksiyaların uçotu sistemi və onlarla işləmə qaydaları müxtəlif xalqlar arasında əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənirdi. müxtəlif vaxtlar eyni insanlardan. Müxtəlif sivilizasiyalar arasında mədəni təmaslar zamanı çoxsaylı ideyalar da mühüm rol oynamışdır.

Rus dilində fraksiyalar

Rus dilində "fraksiya" sözü 8-ci əsrdə meydana çıxdı, "droblit" felindən gəlir - parçalamaq, parçalamaq. Kəsrlər üçün müasir notation mənşəlidir Qədim Hindistan: Ərəblər də ondan istifadə etməyə başladılar.

Köhnə dərsliklərdə rus dilində fraksiyaların aşağıdakı adlarına rast gəlirik:

Slavyan nömrələmə Rusiyada 16-cı əsrə qədər istifadə edildi, sonra onluq mövqe say sistemi tədricən ölkəyə nüfuz etməyə başladı. Nəhayət, I Pyotrun altında slavyan nömrələməsini əvəz etdi.

Rusiyada istifadə edilən torpaq ölçüsü dörddə bir və daha kiçik bir yarım dörddə bir idi, ocmina adlanırdı. Bunlar konkret fraksiyalar, yerin sahəsini ölçmək üçün vahidlər idi, lakin oktina vaxtı və ya sürəti ölçə bilmədi və s. Çox sonralar, oktina istənilən dəyəri ifadə edə bilən 1/8 mücərrəd fraksiyanı nəzərdə tutmağa başladı. Fraksiyaların istifadəsi haqqında Rusiya XVIIəsrdə V. Bellustinin “İnsanlar yavaş-yavaş həqiqi arifmetikaya necə çatdılar” kitabında aşağıdakıları oxuya bilərsiniz: “XVII əsrin əlyazmasında. “Fərmanın bütün kəsrləri ilə bağlı maddə” birbaşa kəsrlərin yazılı şəkildə təyin edilməsi, say və məxrəc göstərilməklə başlayır. Kəsrləri tələffüz edərkən aşağıdakı xüsusiyyətlər maraqlıdır: dördüncü hissə dörddəbir adlanırdı, məxrəci 5-dən 11-ə qədər olan kəsrlər isə “ina” ilə bitən sözlərlə ifadə edilirdi ki, 1/7 həftə, 1/5 beş ballıq, 1/10 ondabirdir; məxrəcləri 10-dan çox olan səhmlər “lotlar” sözləri ilə tələffüz edilir, məsələn, 5/13 – lotun on üçdə beşi. Kəsrlərin nömrələnməsi birbaşa Qərb mənbələrindən götürülmüşdür. Hissəyə yuxarı rəqəm, məxrəcə isə aşağı deyilirdi”.

Antik dövrün digər dövlətlərində fraksiyalar

Qədim misirlilərin bütün sayma qaydaları toplama və çıxmaq, ikiqat ədədləri və tam kəsrləri birə çatdırmaq qabiliyyətinə əsaslanırdı. Kəsrlər üçün xüsusi qeydlər var idi. Misirlilər 1/n formasının kəsrlərindən istifadə edirdilər, burada n natural ədəddir. Belə kəsrlərə alikotlar deyilir. Bəzən m:n-i bölmək əvəzinə, m-i çoxaldırdılar. n.

Bu məqsədlə xüsusi masalardan istifadə edilmişdir. Demək lazımdır ki, kəsrlərlə əməliyyatlar Misir arifmetikasının bir xüsusiyyəti idi, burada ən sadə hesablamalar bəzən mürəkkəb problemlərə çevrilirdi. (Tətbiq).

Ərizə

“Ətrafımızda riyaziyyat” stendi

Cədvəl "Misirdə kəsrlərin yazılması"

Bu cədvəl qəbul edilmiş qanunlara uyğun olaraq mürəkkəb arifmetik hesablamaları aparmağa kömək etdi. Görünür, mirzələr onu əzbərləyiblər, necə ki, indi məktəblilər vurma cədvəlini əzbərləyirlər. Bu cədvəl ədədləri bölmək üçün də istifadə olunurdu. Misirlilər kəsrləri çoxaltmağı və bölməyi də bilirdilər. Ancaq çoxaltmaq üçün fraksiyaları kəsrlərə vurmalı və sonra, bəlkə də, yenidən cədvəldən istifadə etməlisiniz. Bölünmə ilə bağlı vəziyyət daha da mürəkkəb idi.

Misirlilər artıq içəridədirlər qədim dövrlər 2 almanı üç nəfərə necə bölməyi bilirdilər: hətta bu nömrə üçün xüsusi ikona da var idi. Yeri gəlmişkən, bu, misirli katiblərin istifadəsində hesabda vahid olmayan yeganə fraksiya idi - bütün digər fraksiyalar, şübhəsiz ki, paylayıcıda 1-ə malikdir (sözdə əsas fraksiyalar): 1/2, 1/3 , 1/17, ... və s. Fraksiyalara bu münasibət çox uzun müddətdir mövcuddur. Sivilizasiya artıq ölüb qədim Misir, bir vaxtlar yaşıl olan bölgə Sahara qumları tərəfindən uduldu və fraksiyaların hamısı əsas olanların cəmində düzülmüşdü - düz İntibah dövrünə qədər!

Çində adi kəsrlərlə demək olar ki, bütün arifmetik əməliyyatlar II əsrə qədər qurulmuşdur. e.ə e.; onlar riyazi biliklərin fundamental məcmusunda təsvir edilmişdir qədim Çin- “Doqquz kitabda riyaziyyat”, son nəşri Zhang Canqa məxsusdur. Çin riyaziyyatçıları Evklidin alqoritminə bənzər bir qayda əsasında hesablamalar apararaq (hiss və məxrəcin ən böyük ortaq böləni) kəsrləri azaldıblar. Fraksiyaların çarpılması uzunluğu və eni kəsrlərlə ifadə olunan düzbucaqlı bir torpaq sahəsinin sahəsini tapmaq kimi düşünülürdü. Bölmə, paylaşma ideyasından istifadə edilərək nəzərdən keçirildi, Çin riyaziyyatçıları isə bölmədə iştirak edənlərin sayının fraksiya ola biləcəyi, məsələn, 3 1/2 nəfər ola biləcəyi ilə çaşqın olmadılar.

Əvvəlcə çinlilər hamam heroqlifindən istifadə edərək adlandırılan sadə fraksiyalardan istifadə etdilər:

Qadağa (“yarım”) -1\2;

Şao ban (“kiçik yarım”) -1\3;

Tai banh (“böyük yarım”) -2\3.

Maraqlıdır ki, babillilər sabit məxrəcə üstünlük verirdilər (görünür, onların say sistemi cinsi kiçik olduğundan 60-a bərabərdir).

Romalılar da 12-yə bərabər olan yalnız bir məxrəcdən istifadə edirdilər.

Hindistanda ümumi fraksiya konsepsiyasının daha da inkişafına nail olundu. Bu ölkənin riyaziyyatçıları vahid kəsrlərdən ümumi kəsrlərə tez keçə bildilər. İlk dəfə belə fraksiyalara həndəsi konstruksiyaları və bəzi hesablamaların nəticələrini özündə əks etdirən Apastambanın (e.ə. VII-V əsrlər) “İp qaydaları”nda rast gəlinir. Hindistanda bir qeyd sistemindən istifadə olunurdu - bəlkə də Çin və bəlkə də gec yunan mənşəlidir - burada kəsrin payı məxrəcin üstündə yazılır - bizimki kimi, lakin kəsr xətti olmadan, lakin bütün kəsr bir yerə yerləşdirilirdi. düzbucaqlı çərçivə.

Maraqlı fraksiyalar

"Kəsrləri bilmədən heç kim hesabını bilən kimi tanınmaz!"

İnsanlar puldan istifadə etdikdə həmişə kəsrlərlə qarşılaşırlar: Orta əsrlərdə 1 ingilis pensi = 1/12 şillinq; Hazırda bir rus qəpiyi = rublun 1/100-üdür.

Ölçmə sistemləri fraksiyaları daşıyır: 1 santimetr = 1/10 desimetr = 1/100 metr.

Fraksiyalar həmişə dəbdə olub. Dörddə üç qol üslubu həmişə aktualdır. 7/8 kəsilmiş şalvar isə qarderobun gözəl detalıdır.

Fərqli dərslərdə kəsrlərlə tanış ola bilərsiniz. Məsələn, coğrafiyada: “SSRİ-nin mövcud olduğu dövrdə Rusiya torpağın altıda birini tutmuşdu. İndi Rusiya quru ərazisinin doqquzda birini tutur”. IN təsviri incəsənət- insan fiqurunu təsvir edərkən. Musiqidə ritm, musiqi parçasının metri.

İnsan həyatda “kəsir” sözü ilə qarşılaşır:

Ov tüfəngindən atəş üçün kiçik qurğuşun topları - atış.

Tez-tez, fasiləli səslər - nağara.

Donanmada "atış!" - atəşkəs.

Evlərin nömrələnməsi. Kəsrlə ayrılmış rəqəm kəsişən iki küçə boyunca nömrələnmiş evlərə qoyulur.

Rəqsdə fraksiya. Rus xalq rəqsini fraksiyalarsız və qaçışsız təsəvvür etmək mümkün deyil.

Dişlərinizlə bir hissəni döyün - dişlərinizi çırpın (soyuqdan titrəmək, qorxu).

Bədii ədəbiyyatda. Viktor Draqunskinin "Yumor hissinə sahib olmalısan" hekayəsinin qəhrəmanı Deniska bir dəfə dostu Mişkadan bir problem soruşdu: iki almanı üçə necə bərabər bölmək olar? Mişka nəhayət təslim olanda zəfərlə cavabını elan etdi: "Kompot hazırlayın!" Mişka və Denis hələ kəsrləri öyrənməmişdilər və 2-nin 3-ə bölünmədiyini dəqiq bilirdilər?

Düzünü desək, “kompot bişirmək” fraksiyalarla aparılan əməliyyatdır. Gəlin almaları tikə-tikə doğrayaq və bu parçaların kəmiyyətlərini əlavə edib çıxacağıq, çoxaldıb-çıxacağıq, çoxaldıb-böləcəyik - bizə kim mane olacaq?.. Bütün almanı neçə kiçik hissədən təşkil etdiyini xatırlamaq bizim üçün yalnız vacibdir...

Amma elə deyil tək qərar bu vəzifə! Hər almanı üç hissəyə bölmək və iki belə hissəni hər üçünə paylamaq lazımdır.

Əsrlər boyu xalqların dillərində qırıq ədəd kəsr adlanırdı. Məsələn, bir şeyi bərabər şəkildə bölmək lazımdır, məsələn, konfet, bir alma, bir parça şəkər və s. Bunun üçün bir parça şəkər iki bərabər yarıya bölünməlidir və ya parçalanmalıdır. Rəqəmlərlə eynidir, yarısını almaq üçün bir vahidi iki hissəyə bölmək və ya "qırmaq" lazımdır. "Qırılmış" nömrələr adı buradan gəlir.

Üç növ fraksiya var:

1. Vahidlər (alikvotlar) və ya kəsrlər (məsələn, 1/2, 1/3, 1/4 və s.).

2. Sistemli, yəni məxrəcin ədədin gücü ilə ifadə olunduğu kəsrlər (məsələn, 10 və ya 60-ın qüvvəsi və s.).

3. Ümumi tip, burada pay və məxrəc istənilən ədəd ola bilər.

"Yanlış" - qeyri-müntəzəm və "real" - düzgün fraksiyalar var.

Riyaziyyatda kəsr - təmsil forması riyazi kəmiyyətlərəvvəlcə qeyri-tam ədədlər və ya kəsrlər anlayışını əks etdirən bölmə əməliyyatından istifadə etməklə. Ən sadə halda - ədədi fraksiya- iki ədədin nisbəti

m/n kəsrində (oxu: “em nths”) xəttin yuxarısında yerləşən m ədədinə pay, xəttin altında yerləşən n ədədinə isə məxrəc deyilir. Məxrəc tamın neçə bərabər hissəyə bölündüyünü, paylayıcı isə neçə belə hissənin alındığını göstərir. Kəsr xəttini bölmə işarəsi kimi başa düşmək olar.

Kəsrin müasir qeydini istifadə etməyə və yaymağa başlayan ilk avropalı alim italyan taciri və səyyahı, şəhər məmuru Fibbonaççinin (Pizalı Leonardo) oğlu olmuşdur.

1202-ci ildə "kəsr" sözünü təqdim etdi.

Say və məxrəc adları 13-cü əsrdə yunan rahib, alim və riyaziyyatçı Maksim Planud tərəfindən təqdim edilmişdir.

Müasir kəsrlərin yazı sistemi Hindistanda yaradılmışdır. Yalnız orada məxrəci yuxarıya, payı aşağıya yazdılar, kəsr xəttini yazmadılar. Ərəblər isə indiki kimi kəsr yazmağa başladılar. Orta əsrlərdə kəsrlərlə əməliyyatlar riyaziyyatın ən çətin sahəsi hesab olunurdu. Bu günə qədər almanlar çətin vəziyyətə düşən insan haqqında deyirlər ki, o, “kəsiklərə düşüb”.

Musiqidə fraksiyalar da rol oynayırdı. İndi isə müəyyən bir musiqi notasında uzun not – bütöv – yarıya (yarı uzunluğa), dörddə, on altıncıya və otuz saniyəyə bölünür. Beləliklə, hər hansı bir musiqi əsərinin ritmik nümunəsi nə qədər mürəkkəb olsa da, adi kəsrlərlə müəyyən edilir. Harmoniyanın fraksiyalarla sıx bağlı olduğu ortaya çıxdı və bu, avropalıların əsas fikrini təsdiq etdi: "Sayı dünyanı idarə edir".

“İnsan kəsr kimidir: say özü, məxrəc isə özü haqqında düşündüyüdür. Məxrəc nə qədər böyükdürsə, kəsr də o qədər kiçikdir” (L.N.Tolstoy).

Tədqiqatın əsas nəticələri

Kəsrin öyrənilməsi bütün dövrlərdə və bütün xalqlar arasında riyaziyyatın ən çətin bölməsi hesab olunurdu. Kəsrləri bilənlərə böyük hörmət bəslənilirdi. 15-ci əsrə aid qədim slavyan əlyazmasının müəllifi. yazır: “...bütövlükdə gözəl deyil, amma hissə-hissə olması təqdirəlayiqdir”.

İşlədiyim müddətdə çoxlu yeni və maraqlı şeylər öyrəndim. Çoxlu kitablar və ensiklopediyalardan bölmələr oxuyuram. İnsanların işlədiyi ilk kəsrlərlə, alikot kəsr anlayışı ilə tanış oldum, kəsrlər haqqında təlimin inkişafına töhfə vermiş alimlərin yeni adlarını öyrəndim. İşi yerinə yetirərkən bir çox yeni şeylər öyrəndim, düşünürəm ki, bu biliklər dərslərimdə faydalı olacaq.

Nəticə: Fraksiyalara ehtiyac insan inkişafının çox erkən mərhələsində yaranmışdır. Həyatda insan təkcə cisimləri saymamalı, həm də kəmiyyətləri ölçməli idi. İnsanlar uzunluqları, torpaq sahələrini, həcmləri, bədən kütlələrini, vaxtı ölçdülər və alınan və ya satılan mallar üçün ödənişlər etdilər. Ölçmənin nəticəsini və ya məhsulun dəyərini natural ədədlə ifadə etmək həmişə mümkün olmayıb. Fraksiyalar və onlarla işləmə qaydaları belə ortaya çıxdı.

İşin praktiki əhəmiyyəti

Mətn redaktorunda işləmək vərdişlərinə yiyələnmişəm və internet resursları ilə işləmişəm. Riyaziyyat otağında “Ətrafımızda riyaziyyat” stendini kəsrlər haqqında maraqlı faktlarla bəzəmək üçün material seçdim (Əlavə). Və stend tərtib etdi (Əlavə).

Tədqiqat nəticəsində mən fərziyyəni təsdiqlədim: insanlar kəsrlər olmadan edə bilməzlər, kəsrlər olmadan riyaziyyat inkişaf edə bilməz.

Biblioqrafik keçid

Balbutskaya A.A. FRAKSİYALAR HAQQINDA MARAQLI // Elmdən başlayın. – 2017. – No 5-2. – S. 265-268;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=874 (giriş tarixi: 29/08/2019).

Bələdiyyə büdcəli təhsil müəssisəsi

2 saylı tam orta məktəb

ÖZET

Fən: "Riyaziyyat"

bu mövzuda: "Qeyri-adi fraksiyalar"

İcra edilib:

5-ci sinif şagirdi

Frolova Natalya

Nəzarətçi:

Drushchenko E.A.

riyaziyyat müəllimi

Strezhevoy, Tomsk vilayəti


	Giriş
	Adi fraksiyaların tarixindən.
	Fraksiyaların yaranması.
	Qədim Misirdə fraksiyalar.
	Qədim Babildə fraksiyalar.
	Qədim Romada fraksiyalar.
	Fraksiyalar Qədim Yunanıstan.
	Rus dilində fraksiyalar.
	Qədim Çində kəsrlər.
	Antik dövrün və orta əsrlərin digər dövlətlərində fraksiyalar.
	Adi fraksiyaların tətbiqi.
	Alikot fraksiyaları.
	Kiçik lobların əvəzinə, böyük olanlar.
	Çətin şəraitdə bölmələr.
III.	Maraqlı fraksiyalar.
	Domino fraksiyaları.
	Əsrlərin dərinliklərindən.
	Nəticə
	Biblioqrafiya
	Əlavə 1. Təbii şkala.
	Əlavə 2. Adi kəsrlərdən istifadə edən qədim məsələlər.
	Əlavə 3. Adi kəsrlərlə əyləncəli məsələlər.
	Əlavə 4. Domino fraksiyaları

Giriş

Bu il biz fraksiyaları öyrənməyə başladıq. Çox qeyri-adi nömrələr, qeyri-adi notasiyası ilə başlayan və bitən mürəkkəb qaydalar onlarla hərəkətlər. Baxmayaraq ki, onlarla ilk tanışlıqdan belə məlum idi ki, biz onlarsız adi həyatda belə edə bilməyəcəyik, çünki hər gün bir bütövü hissələrə bölmək problemi ilə qarşılaşmalı oluruq və hətta müəyyən bir anda mənə elə gəldi ki, biz artıq tamlarla deyil, kəsr ədədləri ilə əhatə olunmuşdu. Onlarla birlikdə dünya daha mürəkkəb, lakin eyni zamanda daha maraqlı oldu. Bəzi suallarım var. Fraksiyalar lazımdırmı? Onlar vacibdirmi? Fraksiyaların bizə haradan gəldiyini, onlarla işləmək qaydalarını kimlərin icad etdiyini bilmək istədim. İxtira sözü yəqin ki, çox uyğun olmasa da, çünki riyaziyyatda hər şey yoxlanılmalıdır, çünki həyatımızda olan bütün elmlər və sənayelər bütün dünyada tətbiq olunan aydın riyazi qanunlara əsaslanır. Ola bilməz ki, bizdə kəsrlərin toplanması bir qayda ilə aparılır, amma İngiltərədə bu fərqlidir.

Esse üzərində işləyərkən bəzi çətinliklərlə üzləşməli oldum: yeni terminlər və anlayışlarla beynimi qarışdırmalı, problemləri həll etməli və qədim alimlərin təklif etdiyi həll yolunu təhlil etməli oldum. Həm də yazı yazarkən ilk dəfə kəsr və kəsr ifadələri yazmaq ehtiyacı ilə qarşılaşdım.

Essemin məqsədi: adi kəsr anlayışının inkişaf tarixini izləmək, praktiki məsələlərin həllində adi kəsrlərdən istifadənin zəruriliyini və əhəmiyyətini göstərmək. Qarşıma qoyduğum vəzifələr: esse və onun sistemləşdirilməsi mövzusunda material toplamaq, qədim problemləri öyrənmək, işlənmiş materialı ümumiləşdirmək, ümumiləşdirilmiş material hazırlamaq, təqdimat hazırlamaq, referat təqdim etmək.

Mənim işim üç fəsildən ibarətdir. Tədris, elmi və ensiklopedik ədəbiyyat və internet saytı daxil olmaqla 7 mənbədən materialları öyrənib emal etmişəm. Mən qədim mənbələrdən seçilmiş məsələlərdən, adi kəsrlərlə bağlı bəzi maraqlı məsələlərdən ibarət proqram tərtib etmişəm, həmçinin Power Point redaktorunda hazırlanmış təqdimat hazırlamışam.

I. Adi fraksiyaların tarixindən

1.1 Fraksiyaların yaranması

Çoxsaylı tarixi və riyazi tədqiqatlar göstərir ki, kəsr ədədləri müxtəlif xalqlar arasında qədim dövrlərdə, natural ədədlərdən qısa müddət sonra yaranmışdır. Fraksiyaların görünüşü praktik ehtiyaclarla əlaqələndirilir: hissələrə bölmək lazım olan vəzifələr çox yaygın idi. Bundan əlavə, insan həyatda təkcə cisimləri saymamalı, həm də kəmiyyətləri ölçməli idi. İnsanlar uzunluqların, torpaq sahələrinin, həcmlərin və cisimlərin kütlələrinin ölçüləri ilə qarşılaşdılar. Bu halda, ölçü vahidinin ölçülmüş dəyərə tam sayda dəfə uyğun gəlməməsi baş verdi. Məsələn, bir hissənin uzunluğunu addımlarla ölçərkən, bir adam aşağıdakı fenomenlə qarşılaşdı: on addım uzunluğa uyğun gəlir, qalanı isə bir addımdan az idi. Buna görə də, kəsr ədədlərinin görünməsinin ikinci əhəmiyyətli səbəbi seçilmiş ölçü vahidindən istifadə edərək kəmiyyətlərin ölçülməsi hesab edilməlidir.

Beləliklə, bütün sivilizasiyalarda kəsr anlayışı bütövün bərabər hissələrə bölünməsi prosesindən yaranmışdır. Rus dilindəki "fraksiya" termini, digər dillərdəki analoqları kimi, lat dilindən gəlir. fractura, bu da öz növbəsində eyni mənalı ərəb termininin tərcüməsidir: qırmaq, parçalamaq. Buna görə də, yəqin ki, hər yerdə ilk kəsrlər 1/n formasının kəsrləri idi. Gələcək inkişaf təbii olaraq bu kəsrləri m/n fraksiyalarının - rasional ədədlərin təşkil oluna biləcəyi vahidlər kimi nəzərdən keçirməyə doğru gedir. Lakin bu yol bütün sivilizasiyalar tərəfindən getməmişdir: məsələn, Qədim Misir riyaziyyatında heç vaxt həyata keçirilməmişdir.

İnsanların tanış olduğu ilk fraksiya yarısı idi. Aşağıdakı bütün fraksiyaların adları onların məxrəclərinin adları ilə əlaqəli olsa da (üç “üçüncü”, dörd “dörddə” və s.), bu, yarısı üçün doğru deyil - bütün dillərdə onun adının heç bir əlaqəsi yoxdur. "iki" sözü ilə edin.

Fraksiyaların uçotu sistemi və onlarla işləmə qaydaları müxtəlif xalqlar arasında və eyni insanlar arasında müxtəlif vaxtlarda kəskin şəkildə fərqlənirdi. Müxtəlif sivilizasiyalar arasında mədəni təmaslar zamanı çoxsaylı ideyalar da mühüm rol oynamışdır.

1.2 Qədim Misirdə kəsrlər

Qədim Misirdə onlar yalnız say birə bərabər olan ən sadə kəsrlərdən istifadə edirdilər (“kəsrlər” dediyimiz kəsrlər). Riyaziyyatçılar belə fraksiyaları aliquot (latınca aliquot - bir neçə) adlandırırlar. Əsas fraksiyaların və ya vahid fraksiyaların adı da istifadə olunur.

Misirlilər qoydular heroqlif

(er, "[birindən]" və ya re, ağız) adi notlarda vahid kəsri göstərmək üçün rəqəmin üstündə, müqəddəs mətnlərdə isə sətirdən istifadə olunurdu. Məsələn:

gözün çox hissəsi

1/2 (və ya 32/64)

1/8 (və ya 8/64)

göz yaşı damlası (?)

1/32 (və ya ²/64)

Bundan əlavə, misirlilər heroqliflərə əsaslanan yazı formalarından istifadə edirdilər Horusun gözü (Vacet). Qədimlər Günəş və göz təsvirinin bir-birinə qarışması ilə xarakterizə olunurdu. Misir mifologiyasında qanadlı Günəşi təcəssüm etdirən və ən çox yayılmış müqəddəs simvollardan biri olan Horus tanrısı tez-tez xatırlanır. Set obrazında təcəssüm olunan Günəşin düşmənləri ilə döyüşdə Horus əvvəlcə məğlub olur. Seth ondan Gözü - ecazkar gözü qoparır və onu parçalayır. Thoth - öyrənmə, ağıl və ədalət tanrısı - yenidən "Horusun sağlam gözü" yaradaraq gözün hissələrini bir bütövlükdə birləşdirdi. Kəsilmiş Göz hissələrinin təsvirləri Qədim Misirdə 1/2-dən 1/64-ə qədər olan fraksiyaları təmsil etmək üçün yazılı şəkildə istifadə edilmişdir.

Vacetə daxil edilmiş və ümumi məxrəcə endirilmiş altı simvolun cəmi: 32/64 + 16/64 + 8/64 + 4/64 + 2/64 + 1/64 = 63/64

Bölmək üçün belə fraksiyalar Misir fraksiyalarının digər formaları ilə birlikdə istifadə edilmişdir hekat, Qədim Misirdə həcmin əsas ölçüsü. Bu birləşmiş qeyd taxıl, çörək və pivənin həcmini ölçmək üçün də istifadə edilmişdir. Əgər kəmiyyəti Horus Gözünün bir hissəsi kimi qeyd etdikdən sonra bir qədər qalıq varsa, o, adi formada rho-nun qatı, hekatın 1/320-nə bərabər ölçü vahidi kimi yazılır.

Məsələn, bu kimi:

Bu vəziyyətdə "ağız" bütün heroqliflərin qarşısında yerləşdirildi.

Hekat arpa: 1/2 + 1/4 + 1/32 (yəni 25/32 arpa qabı).

Hekat təxminən 4,785 litr idi.

Misirlilər hər hansı digər kəsri aliquot fraksiyalarının cəmi kimi təmsil edirdilər, məsələn, 9/16 = 1/2+1/16; 7/8=1/2+1/4+1/8 və s.

Belə yazılmışdı: /2 /16; /2/4/8.

Bəzi hallarda bu kifayət qədər sadə görünür. Məsələn, 2/7 = 1/7 + 1/7. Ancaq misirlilərin başqa bir qaydası, bir sıra kəsrlərdə təkrarlanan nömrələrin olmaması idi. Yəni 2/7 onların fikrincə 1/4 + 1/28 idi.

İndi bir neçə alikvot fraksiyaların cəminə Misir kəsri deyilir. Başqa sözlə, cəminin hər bir kəsirinin birə bərabər payı və natural ədədə bərabər məxrəci var.

Müxtəlif hesablamalar aparmaq, bütün fraksiyaları vahidlərlə ifadə etmək, təbii ki, çox çətin və vaxt aparan iş idi. Buna görə də misirli alimlər katib işinin asanlaşdırılmasının qayğısına qaldılar. Onlar fraksiyaların sadə olanlara parçalanmasının xüsusi cədvəllərini tərtib etdilər. Qədim Misirin riyazi sənədləri riyaziyyat üzrə elmi traktatlar deyil, həyatdan götürülmüş nümunələrlə praktik dərsliklərdir. Katiblik məktəbinin şagirdinin həll etməli olduğu vəzifələr arasında tövlələrin tutumu, səbətin həcmi, sahənin sahəsi, əmlakın varislər arasında bölüşdürülməsi və s. Katib bu nümunələri yadda saxlamalı və onlardan tez hesablamalar üçün istifadə etməyi bacarmalı idi.

Misir fraksiyalarına məlum olan ilk istinadlardan biri Rhind riyazi papirusudur. Misir fraksiyalarından bəhs edən üç köhnə mətn Misir Riyazi Dəri Tuşunu, Moskva Riyazi Papirusu və Axmim Taxta Lövhəsidir.

Misir riyaziyyatının ən qədim abidəsi olan “Moskva papirusu” eramızdan əvvəl 19-cu əsrə aid sənəddir. 1893-cü ildə qədim xəzinələrin kolleksiyaçısı Qolenişşev tərəfindən alınmış və 1912-ci ildə Moskva İncəsənət Muzeyinin mülkiyyətinə çevrilmişdir. 25 müxtəlif problemdən ibarət idi.

Məsələn, 37-nin (1 + 1/3 + 1/2 + 1/7) kimi verilmiş ədədə bölünməsi məsələsini nəzərdən keçirir. Bu kəsri ardıcıl olaraq ikiqat artırmaqla və 37 ilə nəticə arasındakı fərqi ifadə etməklə və ümumi məxrəci tapmağa mahiyyətcə oxşar prosedurdan istifadə etməklə cavab belə olur: bölgü 16 + 1/56 + 1/679 + 1/776.

Ən böyük riyazi sənəd - mirzə Ahmesin hesablama kitabçasındakı papirus 1858-ci ildə ingilis kolleksiyaçısı Rhind tərəfindən tapılıb. Papirus eramızdan əvvəl 17-ci əsrdə tərtib edilmişdir. Uzunluğu 20 metr, eni 30 santimetrdir. Burada Misir kəsrləri kimi yazılmış 84 riyaziyyat problemi, onların həlli və cavabları var.

Ahmes papirusu 2\n formasının 2/5-dən 2/99-a qədər olan bütün fraksiyalarının aliquot kəsrlərin cəmi kimi yazıldığı cədvəllə başlayır. Misirlilər kəsrləri çoxaltmağı və bölməyi də bilirdilər. Ancaq çoxaltmaq üçün fraksiyaları kəsrlərə vurmalı və sonra, bəlkə də, yenidən cədvəldən istifadə etməlisiniz. Bölünmə ilə bağlı vəziyyət daha da mürəkkəb idi. Məsələn, 5-in 21-ə bölünməsi belədir:

Ahmes papirusunda tez-tez rast gəlinən problem: “Sənə deyilsin: 10 ölçü arpanı 10 nəfərə böl; hər bir insanın qonşusu ilə fərqi - ölçünün 1/8 hissəsidir. Orta pay bir ölçüdür. 10-dan birini çıxarın; qalıq 9. Fərqin yarısını təşkil edin; bu 1/16-dır. 9 dəfə götürün. Bunu orta vuruşa tətbiq edin; sonuna çatana qədər hər bir üz üçün ölçünün 1/8 hissəsini çıxarın.”

Alikot fraksiyalarının istifadəsini nümayiş etdirən Ahmes papirusundan başqa bir problem: "7 çörəyi 8 nəfərə bölün."
Hər bir çörəyi 8 hissəyə kəssəniz, 49 kəsim etməli olacaqsınız.
Misirdə isə bu problem belə həll olunub. 7/8 kəsr kəsr kimi yazılmışdır: 1/2 + 1/4 + 1/8. Bu o deməkdir ki, hər kəsə yarım çörək, dörddə bir çörək və səkkizdə bir çörək verilməlidir; Buna görə də dörd çörəyi yarıya, iki çörəyi 4 hissəyə və bir çörəyi 8 hissəyə kəsdik, sonra hər birinə bir hissə veririk.

Misir fraksiya cədvəlləri və müxtəlif Babil cədvəlləri hesablamaları asanlaşdıran ən qədim məlum vasitələrdir.

Misir fraksiyaları qədim riyaziyyatçıların onlar haqqında söylədiyi şərhlərə baxmayaraq, qədim Yunanıstanda və daha sonra bütün dünya riyaziyyatçıları tərəfindən orta əsrlərə qədər istifadə olunmağa davam etdi. Məsələn, Klavdi Ptolemey Babil sistemi (mövqe say sistemi) ilə müqayisədə Misir fraksiyalarından istifadənin əlverişsizliyindən danışdı. Misir fraksiyalarının öyrənilməsi ilə bağlı mühüm iş 13-cü əsrin riyaziyyatçısı Fibonaççi tərəfindən "Liber Abaci" əsərində aparılmışdır - bunlar nəticədə Misir fraksiyalarını əvəz edən onluq və adi kəsrlərdən istifadə edərək hesablamalardır. Fibonaççi, qarışıq əsas notasiyası və kəsrlərin cəmi qeydi daxil olmaqla, fraksiyaların mürəkkəb qeydindən istifadə etdi və Misir fraksiyaları da tez-tez istifadə edildi. Kitabda həmçinin adi kəsrlərdən Misir fraksiyalarına çevirmək üçün alqoritmlər verilmişdir.

1.3 Qədim Babildə kəsrlər.

Məlumdur ki, qədim Babildə onlar cinsi kiçik say sistemindən istifadə edirdilər. Alimlər bu faktı Babil pul və çəki ölçü vahidlərinin tarixi şəraitə görə 60 bərabər hissəyə bölünməsi ilə əlaqələndirirlər: 1 talant = 60 dəq; 1 mina = 60 şekel. Babillilərin həyatında altmışıncı illər adi hal idi. Məhz buna görə də onlar həmişə məxrəci 60 və ya onun səlahiyyətlərinə malik olan cinsi kiçik kəsrlərdən istifadə edirdilər: 60 2 = 3600, 60 3 = 216000 və s. Bunlar dünyanın ilk sistematik fraksiyalarıdır, yəni. məxrəci eyni ədədin dərəcələri olan kəsrlər. Belə kəsrlərdən istifadə edərək babillilər təxminən bir çox fraksiyaları təmsil etməli idilər. Bu, bu fraksiyaların dezavantajı və eyni zamanda üstünlüyüdür. Bu kəsrlər 15-ci əsrə qədər yunan, sonra isə ərəbdilli və orta əsrlər Avropa alimləri üçün daimi elmi hesablamalar vasitəsinə çevrilib, onluq kəsrlərə keçiblər. Lakin bütün xalqların alimləri 17-ci əsrə qədər astronomiyada cinsi kiçik kəsrlərdən istifadə edərək onları astronomik fraksiyalar adlandırırdılar.

Cinsi kiçik say sistemi Babil riyaziyyatında müxtəlif cədvəllər üçün böyük rolu əvvəlcədən müəyyənləşdirdi. Tam Babil vurma cədvəlində vurma cədvəlimiz kimi 45 deyil, 1x1-dən 59x59-a qədər məhsullar, yəni 1770 rəqəm olardı. Belə bir cədvəli əzbərləmək demək olar ki, mümkün deyil. Hətta yazılı formada da çox çətin olardı. Buna görə də, vurma üçün, bölmə üçün olduğu kimi, müxtəlif cədvəllərin geniş dəsti var idi. Babil riyaziyyatında bölmə əməliyyatını “bir nömrəli problem” adlandırmaq olar. Babillilər m ədədinin n ədədinə bölünməsini m ədədini 1\n kəsrinə vurmağa endirdilər və onlarda hətta “bölmək” termini belə yox idi. Məsələn, x = m: n kimi yazacağımızı hesablayanda həmişə belə əsaslandırırdılar: n-in tərsini götür, 1\ n görəcəksən, m-i 1\ n-ə vuracaqsan və x-i görəcəksən. Təbii ki, bizim məktublar əvəzinə Babil sakinləri konkret rəqəmlər deyirdilər. Beləliklə, Babil riyaziyyatında ən mühüm rolu çoxsaylı qarşılıqlı cədvəllər oynamışdır.

Bundan əlavə, kəsrlərlə hesablamalar üçün babillilər əsas fraksiyaları cinsi kiçik kəsrlərdə ifadə edən geniş cədvəllər tərtib etdilər. Misal üçün:

1\16 = 3\60 + 45\60 2 , 1\54 = 1\60 + 6\60 2 + 40\60 3 .

Babillilər tərəfindən kəsrlərin toplanması və çıxması mövqe say sistemimizdə tam ədədlər və onluq kəsrlərlə müvafiq əməliyyatlara bənzər şəkildə həyata keçirilirdi. Bəs kəsr kəsrə necə vuruldu? Ölçmə həndəsəsinin kifayət qədər yüksək inkişafı (yer ölçmə, ərazinin ölçülməsi) babillilərin həndəsənin köməyi ilə bu çətinlikləri dəf etdiyini göstərir: xətti miqyasda 60 dəfə dəyişiklik sahə miqyasında 60 60 dəfə dəyişiklik verir. Qeyd etmək lazımdır ki, Babildə natural ədədlər sahəsinin müsbət rasional ədədlər bölgəsinə qədər genişlənməsi nəhayət baş vermədi, çünki babillilər yalnız sonlu cinsi kiçik fraksiyaları hesab edirdilər, onların bölgəsində bölmə həmişə mümkün olmur. Bundan əlavə, babillilər 1\2,1\3,2\3,1\4,1\5,1\6,5\6 fraksiyalarından istifadə edirdilər ki, onlar üçün fərdi əlamətlər var idi.

Babil cinsi kiçik say sisteminin izləri müasir elmdə zamanın və bucaqların ölçülməsində qalmaqdadır. Saatın 60 dəqiqəyə, dəqiqənin 60 saniyəyə, dairənin 360 dərəcəyə, dərəcənin 60 dəqiqəyə, dəqiqənin 60 saniyəyə bölünməsi bu günə qədər qorunub saxlanılmışdır.Dəqiqə latınca “kiçik hissə” deməkdir, ikinci mənasını verir. "ikinci"

(kiçik hissə).

1.4. Qədim Romada fraksiyalar.

Romalılar əsasən yalnız konkret fraksiyalardan istifadə edirdilər, bu da mücərrəd hissələri istifadə olunan ölçülərin bölmələri ilə əvəz edirdi. Bu fraksiya sistemi çəki vahidinin 12 hissəyə bölünməsinə əsaslanmışdı, buna eşşək deyilirdi. Roma duodecimal fraksiyaları belə yarandı, yəni. məxrəci həmişə on iki olan kəsrlər. Asın on ikinci hissəsi unsiya adlanırdı. Romalılar 1/12 əvəzinə “bir unsiya”, 5/12 – “beş unsiya” və s. Üç unsiya dörddəbir, dörd unsiya üçüncü, altı unsiya yarım adlanırdı.

Yol, vaxt və digər kəmiyyətlər vizual bir şeylə - çəki ilə müqayisə edildi. Məsələn, bir Romalı deyə bilər ki, o, yeddi unsiya yolu getdi və ya beş unsiya kitab oxudu. Bu halda, təbii ki, nə yolu, nə də kitabı tərəziyə çəkmək deyildi. Bu o demək idi ki, səyahətin 7/12 hissəsi tamamlanıb və ya kitabın 5/12 hissəsi oxunub. Məxrəci 12 olan kəsrlərin azaldılması və ya on ikinin daha kiçik olanlara bölünməsi ilə əldə edilən kəsrlər üçün xüsusi adlar var idi. Ümumilikdə kəsrlər üçün 18 müxtəlif ad istifadə edilmişdir. Məsələn, aşağıdakı adlar istifadə olunurdu:

"scrupulus" - 1/288 assa,

"yarı" - yarı assa,

“Sextance” onun altıncı hissəsidir,

"yarım unsiya" - yarım unsiya, yəni. 1/24 eşşək və s.

Belə kəsrlərlə işləmək üçün toplama cədvəlini və bu kəsrlərin vurma cədvəlini yadda saxlamaq lazım idi. Buna görə də, Roma tacirləri qəti şəkildə bilirdilər ki, trienlər (1/3 assa) və sekstanlar əlavə edildikdə, nəticə semis olur və imp (2/3 assa) seskunsa (2/3 unsiya, yəni 1/8 assa) çarpdıqda nəticə, nəticə bir unsiyadır. İşi asanlaşdırmaq üçün xüsusi cədvəllər tərtib edildi, bəziləri bizə gəlib çatdı.

Bir unsiya sətirlə - yarım assa (6 unsiya) - S hərfi ilə işarə olunurdu (latınca Semis sözündə birinci - yarım). Bu iki işarə hər birinin öz adı olan hər hansı onikilik fraksiyaları qeyd etməyə xidmət edirdi. Məsələn, 7\12 belə yazılmışdır: S-.

Hələ eramızdan əvvəl I əsrdə görkəmli Roma natiqi və yazıçısı Siseron demişdi: “Kəsrləri bilmədən heç kəs hesabi bilən kimi tanınmaz!”

Eramızdan əvvəl I əsrin məşhur Roma şairi Horatsinin əsərindən o dövrün Roma məktəblərindən birində müəllimlə şagirdin söhbətindən bəhs edən aşağıdakı fraqment tipikdir:

Müəllim: Albinin oğlu mənə desin ki, beş unsiyadan bir unsiya götürülsə, nə qədər pul qalacaq!

Tələbə: Üçdə biri.

Müəllim: Düzdü, siz kəsrləri yaxşı bilirsiniz və öz əmlakınızı xilas edə biləcəksiniz.

1.5. Qədim Yunanıstanda kəsrlər.

Qədim Yunanıstanda arifmetika elmidir ümumi xassələriədədlər - logistikadan ayrılmış - hesablama sənəti. Yunanlar fraksiyaların yalnız logistikada istifadə oluna biləcəyinə inanırdılar. Yunanlar kəsrlərlə bütün arifmetik əməliyyatları sərbəst şəkildə yerinə yetirirdilər, lakin onları ədədlər kimi tanımırdılar. Yunanların riyaziyyata aid əsərlərində kəsrlərə rast gəlinmir. Yunan alimləri hesab edirdilər ki, riyaziyyat yalnız tam ədədlərlə məşğul olmalıdır. Onlar fraksiyalarla işləməyi tacirlərə, sənətkarlara, həmçinin astronomlara, tədqiqatçılara, mexaniklərə və digər “qara insanlara” həvalə etdilər. Afina Akademiyasının yaradıcısı Platon yazırdı: "Əgər siz vahidi bölmək istəyirsinizsə, riyaziyyatçılar sizi ələ salacaq və bunu etməyə icazə verməyəcəklər".

Lakin heç də bütün qədim yunan riyaziyyatçıları Platonla həmfikir deyildilər. Beləliklə, Arximed “Bir dairənin ölçülməsi haqqında” traktatında kəsrlərdən istifadə edir. İsgəndəriyyə Heron da fraksiyaları sərbəst idarə edirdi. Misirlilər kimi o, bir kəsri əsas fraksiyaların cəminə bölür. 12\13 əvəzinə 1\2 + 1\3 + 1\13 + 1\78, 5\12 əvəzinə 1\3 + 1\12 və s. Hətta təbii ədədlərə müqəddəs ehtirasla yanaşan Pifaqor da musiqi miqyası nəzəriyyəsini yaradan zaman əsas musiqi intervallarını kəsrlərlə əlaqələndirirdi. Düzdür, Pifaqor və onun tələbələri kəsr anlayışından istifadə etmirdilər. Onlar özlərinə yalnız tam ədədlərin nisbətləri haqqında danışmağa icazə verdilər.

Yunanlar kəsrlərlə yalnız ara-sıra işlədikləri üçün fərqli qeydlərdən istifadə edirdilər. Heron və Diophantus fraksiyaları əlifba sırası ilə yazırdılar, paylayıcı məxrəcin altında yerləşdirilir. Bəzi kəsrlər üçün, məsələn, 1\2 - L′′ üçün ayrıca təyinatlar istifadə edilmişdir, lakin ümumiyyətlə onların əlifba sırası ilə nömrələnməsi fraksiyaları təyin etməyi çətinləşdirirdi.

Vahid fraksiyalar üçün xüsusi qeyddən istifadə olunurdu: kəsrin məxrəci sağa doğru vuruşla müşayiət olunurdu, pay yazılmırdı. Misal üçün,
əlifba sistemində 32 və " - kəsr 1\32 nəzərdə tutulur. Adi kəsrlərin elə qeydləri var ki, burada sadə kəsirli say və iki sadə ilə iki dəfə götürülən məxrəc bir sətirdə yan-yana yazılır. Bu belədir. məsələn, İsgəndəriyyə Heron 3\4 kəsirini yazdı:
.

Kəsr ədədlər üçün yunan notasiyasının dezavantajı onunla bağlıdır ki, yunanlar "ədəd" sözünü vahidlər toplusu kimi başa düşürdülər, buna görə də indi vahid rasional ədəd - kəsr kimi qəbul etdiyimiz şeyi yunanlar nisbəti kimi başa düşürlər. iki tam ədəd. Bu, Yunan arifmetikasında fraksiyaların niyə nadir hallarda tapıldığını izah edir. Vahid paylayıcısı olan kəsrlərə və ya kiçik kiçik fraksiyalara üstünlük verilir. Praktiki hesablamaların dəqiq kəsrlərə ən çox ehtiyac duyduğu sahə astronomiya idi və burada Babil ənənəsi o qədər güclü idi ki, ondan bütün xalqlar, o cümlədən Yunanıstan da istifadə edirdi.

1.6. Rus dilində fraksiyalar

Adından bizə məlum olan ilk rus riyaziyyatçısı, Novqorod monastırının rahibi Kirik xronologiya və təqvim məsələləri ilə məşğul olurdu. Əl ilə yazdığı “Ona insana bütün illərin rəqəmlərini söyləməyi öyrətmək” (1136) kitabında, yəni. “İnsanın illərin sayını necə bilməsinə dair göstəriş” saatın beşə, iyirmi beşə və s. bölünməsini tətbiq edir. fraksiyaları, o, "kəsir saatlar" və ya "təfsirlər" adlandırdı. O, bir gün və ya gecədə 937.500 olan yeddinci kəsr saatına çatır və yeddinci kəsr saatlarından heç nə çıxmadığını söyləyir.

İlk riyaziyyat dərsliklərində (7-ci əsr) kəsrlər kəsrlər, sonralar isə “sınıq ədədlər” adlanırdı. Rus dilində fraksiya sözü 8-ci əsrdə meydana çıxdı, "droblit" felindən gəlir - parçalamaq, parçalamaq. Rəqəm yazarkən üfüqi xəttdən istifadə olunurdu.

Köhnə dərsliklərdə rus dilində fraksiyaların aşağıdakı adları var:

1/2 - yarım, yarım

1/3 - üçüncü

1/4 - bərabər

1/6 - üçdə bir yarım

1/8 - yarım

1/12 - üçdə bir yarım

1/16 - yarım yarım

1/24 - yarım üçdə bir (kiçik üçdə)

1/32 – yarım yarım yarım (kiçik yarım)

1/5 - pyatina

1/7 - həftə

1/10 ondabirdir.

Rusiyada dörddə bir və ya daha kiçik torpaq ölçüsü istifadə edildi -

octina adlanan yarım rüb. Bunlar konkret fraksiyalar, yerin sahəsini ölçmək üçün vahidlər idi, lakin oktina vaxtı və ya sürəti ölçə bilmədi və s. Çox sonralar, oktina istənilən dəyəri ifadə edə bilən 1/8 mücərrəd fraksiyanı nəzərdə tutmağa başladı.

XVII əsrdə Rusiyada fraksiyaların istifadəsi haqqında V. Bellustinin “İnsanlar tədricən həqiqi hesaba necə çatdılar” kitabında aşağıdakıları oxuya bilərsiniz: “17-ci əsrin əlyazmasında. “Bütün kəsrlər haqqında ədədi məqalə” birbaşa kəsrlərin yazılı təyini və pay və məxrəc göstərilməklə başlayır. Kəsrləri tələffüz edərkən aşağıdakı xüsusiyyətlər maraqlıdır: dördüncü hissə dörddəbir adlanırdı, məxrəci 5-dən 11-ə qədər olan kəsrlər isə “ina” ilə bitən sözlərlə ifadə edilirdi ki, 1/7 həftə, 1/5 beş, 1/10 ondabirdir; məxrəcləri 10-dan çox olan səhmlər “lotlar” sözləri ilə tələffüz edilir, məsələn, 5/13 – lotun on üçdə beşi. Kəsrlərin nömrələnməsi bilavasitə Qərb mənbələrindən götürülüb... Hissəyə yuxarı rəqəm, məxrəcə isə aşağı deyilirdi”.

16-cı əsrdən bəri, taxta abak Rusiyada çox məşhur idi - hesablamalar rus abaküsünün prototipi olan bir cihazdan istifadə edirdi. Bu, mürəkkəb hesab əməliyyatlarını tez və asanlıqla yerinə yetirməyə imkan verdi. Plank hesabı tacirlər, Moskva sifarişlərinin işçiləri, "ölçülər" - torpaq tədqiqatçıları, monastır iqtisadçıları və s. arasında çox geniş yayılmışdı.

Öz orijinal formasında, board abacus qabaqcıl arifmetika ehtiyaclarına xüsusi uyğunlaşdırılmışdır. Bu, Rusiyada 15-17-ci əsrlərə aid bir vergi sistemidir, burada tam ədədlərin əlavə, çıxma, vurma və bölmə ilə yanaşı, eyni əməliyyatları kəsrlərlə yerinə yetirmək lazım idi, çünki şərti vergitutma vahidi - şum - hissələrə bölündü.

Plank hesabı iki qatlanan qutudan ibarət idi. Hər qutu ikiyə bölündü (sonradan yalnız aşağıda); ikinci qutu nağd pul hesabının xarakterinə görə lazım idi. Qutunun içərisində sümüklər uzanan kordonlara və ya naqillərə yapışdırılırdı. Onluq say sisteminə uyğun olaraq, tam ədədlər üçün cərgələrdə 9 və ya 10 zar var idi; kəsrlərlə əməliyyatlar natamam cərgələrdə aparılırdı: üç zardan ibarət sıra üçdə üç, dörd zərdən ibarət bir sıra dörddə dörd (dörd) idi. Aşağıda bir zarın olduğu cərgələr var idi: hər zər altında yerləşdiyi kəsrin yarısını təmsil edirdi (məsələn, üç zərdən ibarət cərgənin altında yerləşən zar üçdə birinin yarısı, onun altındakı zər isə zarın yarısının yarısı idi) üçdə biri və s.). İki eyni “birləşən” fraksiyaların əlavə edilməsi ən yaxın yüksək dərəcənin kəsrini verir, məsələn, 1/12+1/12=1/6 və s. Abakada iki belə fraksiya əlavə etmək ən yaxın yüksək domino zirvəsinə keçməyə uyğun gəlir.

Kəsrlər ümumi məxrəcə endirilmədən yekunlaşdırıldı, məsələn, "dörddə bir yarım üçdə bir yarım" (1/4 + 1/6 + 1/16). Bəzən kəsrlərlə əməliyyatlar bütövlükdə olduğu kimi (şum) müəyyən pula bərabər tutulurdu. Məsələn, soxa = 48 pul vahidi olarsa, yuxarıdakı kəsr 12 + 8 + 3 = 23 pul vahidi olacaqdır.

Qabaqcıl hesabda daha kiçik kəsrlərlə məşğul olmaq lazım idi. Bəzi əlyazmalarda 1/128 və 1/96-ya qədər fraksiyaların qoyulması üçün yuxarıda müzakirə olunanlara bənzər, lakin bir sümük ilə çox sayda sıra ilə "hesablama lövhələrinin" təsvirləri və təsvirləri verilir. Müvafiq alətlərin də istehsal olunduğuna şübhə yoxdur. Kalkulyatorların rahatlığı üçün "Kiçik sümüklər kodu" nun bir çox qaydaları verilmişdir, yəni. ümumi hesablamalarda geniş istifadə olunan fraksiyaların əlavə edilməsi, məsələn: üç dörd şum və yarım şum və yarım yarım şum və s. yarım-yarım-yarım-yarım-yarıya qədər şum yarım-yarım-yarım-yarımsız şumdur, yəni. 3/4+1/8+1/16+1/32 +1/64 + 1/128 = 1 - 1/128 və s.

Lakin kəsrlərdən yalnız 1/2 və 1/3-ü, eləcə də onlardan 2-yə ardıcıl bölmədən əldə edilənlər nəzərə alındı. “Taxta sayma” digər sıraların kəsrləri ilə əməliyyatlar üçün uyğun deyildi. Onlarla işləyərkən, fraksiyaların müxtəlif birləşmələrinin nəticələrinin verildiyi xüsusi cədvəllərə müraciət etmək lazım idi.

IN 1703 İlk rus çaplı riyaziyyat dərsliyi “Arifmetika” nəşr olundu. Müəllif Maqnitski Leonti Fillipoviç. Bu kitabın “Qırılmış və ya kəsrli ədədlər haqqında” 2-ci hissəsində kəsrlərin tədqiqi ətraflı şəkildə təqdim olunur.

Maqnitski demək olar ki, müasir xarakter daşıyır. Maqnitski səhmlərin hesablanması üzərində müasir dərsliklərə nisbətən daha ətraflı dayanır. Maqnitski kəsrləri adlandırılmış ədədlər hesab edir (yalnız 1/2 deyil, rublun 1/2 hissəsi, pud və s.) və məsələlərin həlli prosesində kəsrlərlə əməliyyatları öyrənir. Qırılmış rəqəmin olduğunu deyən Maqnitski belə cavab verir: “Sınıq nömrə başqa bir şey deyil, yalnız nömrə kimi elan edilən bir şeyin bir hissəsidir, yəni yarım rubl yarım rubldur və rubl kimi yazılır və ya rubl, yaxud bir rubl, ya da beşdə ikisi və ya hissə kimi elan edilən hər cür şeylər, yəni qırıq rəqəmdir." Maqnitski məxrəci 2-dən 10-a qədər olan bütün düzgün kəsrlərin adlarını verir. Məsələn, məxrəci 6 olan kəsrlər: bir on altı, iki on altı, üç on altı, dörd on altı, beş on altı.

Maqnitski say, məxrəc adından istifadə edir, düzgün olmayan fraksiyaları, qarışıq ədədləri hesab edir, bütün hərəkətlərə əlavə olaraq, düzgün olmayan kəsrin bütün hissəsini təcrid edir.

Kəsrlərin öyrənilməsi həmişə hesabın ən çətin bölməsi olaraq qalmışdır, lakin eyni zamanda, əvvəlki dövrlərin hər hansı birində insanlar kəsrləri öyrənməyin vacibliyini dərk etmiş, müəllimlər şagirdlərini şeir və nəsrdə həvəsləndirməyə çalışmışlar. L.Maqnitski yazırdı:

Amma arifmetika yoxdur

İzho bütün müttəhimdir,

Və bu paylaşımlarda heç nə yoxdur,

Cavab vermək olar.

Oh, xahiş edirəm, xahiş edirəm,

Parçalara bölünməyi bacarın.

1.7. Qədim Çində kəsrlər

Çində adi kəsrlərlə demək olar ki, bütün arifmetik əməliyyatlar II əsrə qədər qurulmuşdur. e.ə e.; onlar qədim Çinin əsas riyazi biliklər toplusunda - "Doqquz kitabda riyaziyyat", son nəşri Zhang Canqa məxsusdur. Çin riyaziyyatçıları Evklidin alqoritminə bənzər bir qayda əsasında hesablamalar apararaq (hiss və məxrəcin ən böyük ortaq böləni) kəsrləri azaldıblar. Fraksiyaların çarpılması uzunluğu və eni kəsrlərlə ifadə olunan düzbucaqlı bir torpaq sahəsinin sahəsini tapmaq kimi düşünülürdü. Bölmə, paylaşma ideyasından istifadə etməklə nəzərdən keçirildi, Çin riyaziyyatçıları isə bölmədə iştirak edənlərin sayının kəsr, məsələn, 3⅓ nəfər ola biləcəyindən utanmadılar.

Əvvəlcə çinlilər hamam heroqlifindən istifadə edərək adlandırılan sadə fraksiyalardan istifadə etdilər:

qadağa (“yarım”) –1\2;

shao ban (“kiçik yarım”) –1\3;

tai banh (“böyük yarım”) –2\3.

Növbəti mərhələ kəsrlər haqqında ümumi anlayışın inkişafı və onlarla işləmə qaydalarının formalaşdırılması idi. Qədim Misirdə yalnız alikot fraksiyalardan istifadə olunurdusa, onda Çində fraksiyalar-fen hesab edilən fraksiyaların yeganə mümkün olanları deyil, növlərindən biri hesab olunurdu. Çin riyaziyyatı qədim zamanlardan bəri qarışıq ədədlərlə məşğul olmuşdur. Riyazi mətnlərin ən qədimi olan Zhou Bi Xuan Jing (Çjou Qnomonun Hesablanması Kanonu/Qnomon üzrə Riyazi Traktat), 247 933 / 1460 kimi rəqəmləri güclərə yüksəldən hesablamaları ehtiva edir.

“Jiu Zhang Xuan Shu” (“Doqquz Bölmədə Sayma Qaydaları”) əsərində kəsr bütövün bir hissəsi kimi qəbul edilir, onun kəsrlərinin n-sayında-fen – m (n) ilə ifadə edilir.

Ümumiyyətlə sahələrin ölçülməsinə həsr olunmuş “Jiu Zhang Xuan Shu”nun birinci bölməsində kəsrlərin azaldılması, toplanması, çıxılması, bölünməsi və vurulması qaydaları, eləcə də onların müqayisəsi və “bərabərləşdirilməsi” ayrıca verilir. onların arifmetik ortasını tapmaq lazım olan üç fraksiyanın belə bir müqayisəsi (kitabda iki ədədin arifmetik ortasını hesablamaq üçün daha sadə bir qayda verilmir).

Məsələn, göstərilən essedə kəsrlərin cəmini əldə etmək üçün aşağıdakı göstərişlər təklif olunur: “Alternativ olaraq sayları məxrəcə (hu çeng) vurun. Əlavə et - bu dividenddir (shi). Məxrəcləri çoxaltın - bu bölücüdür (fa). Dividend və bölücünü bir(lər)ə birləşdirin. Əgər qalıq varsa, onu bölücüyə birləşdirin.” Bu göstəriş o deməkdir ki, bir neçə fraksiya əlavə olunarsa, onda hər kəsrin payı bütün digər kəsrlərin məxrəclərinə vurulmalıdır. Dividenti (belə vurmanın nəticələrinin cəmi kimi) bölənlə (bütün məxrəclərin məhsulu) "birləşdirərkən" lazım olduqda azaldılmalı və bütün hissənin bölmə ilə ayrılması lazım olan bir kəsr əldə edilir. , onda “qalıq” say, kiçildilmiş bölən isə məxrəcdir. Kəsrlər toplusunun cəmi tam ədəddən və kəsrdən ibarət belə bölmənin nəticəsidir. “Məhrəcləri çoxalt” ifadəsi mahiyyətcə kəsrləri ən böyük ortaq məxrəcə endirmək deməkdir.

Jiu Zhang Xuan Shu-da kəsrlərin azaldılması qaydası, iki ədədin ən böyük ortaq bölənini təyin etmək üçün nəzərdə tutulmuş Evklid alqoritmi ilə üst-üstə düşən, payın və məxrəcin ən böyük ortaq bölənini tapmaq üçün alqoritmi ehtiva edir. Lakin sonuncu, məlum olduğu kimi, Principia-da həndəsi formada verilirsə, Çin alqoritmi sırf arifmetik şəkildə təqdim olunur. Deng shu (“eyni ədəd”) adlanan ən böyük ortaq bölücünün tapılması üçün Çin alqoritmi kiçik ədədin böyükdən ardıcıl çıxılması kimi qurulmuşdur. Fraksiya bu den shu sayı ilə azaldılmalıdır. Məsələn, 49\91 kəsrinin azaldılması təklif olunur. Ardıcıl çıxma həyata keçiririk: 91 – 49 = 42; 49 – 42 = 7; 42 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 = 0. Dan şu = 7. Kəsiri bu ədədə qədər azaldın. Alırıq: 7\13.

Jiu Zhang Xuan Shu-da fraksiyaların bölünməsi bu gün qəbul ediləndən fərqlidir. “Jing fen” (“bölmə qaydası”) qaydası bildirir ki, kəsrləri bölməzdən əvvəl onlar ümumi məxrəcə endirilməlidir. Beləliklə, kəsrlərin bölünməsi prosedurunun lazımsız bir addımı var: a/b: c/d = ad/bd: cb/bd = ad/cb. Yalnız V əsrdə. Zhang Qiu-jian "Zhang Qiu-jian suan jing" ("Çjan Qiu-jian'ın sayma qanunu") əsərində adi qaydaya uyğun olaraq fraksiyaları bölərək ondan xilas oldu: a/b: c/d = ad/ cb.

Ola bilsin ki, Çin riyaziyyatçılarının fraksiyaların bölünməsi üçün mürəkkəb alqoritmə uzun müddət sadiq qalması onun universallığını qorumaq istəyi və hesablama lövhəsindən istifadə ilə bağlı olub. Əsasən, fraksiyaların bölünməsini tam ədədlərin bölünməsinə endirməkdən ibarətdir. Tam ədəd qarışıq ədədə bölünərsə, bu alqoritm etibarlıdır. Məsələn, 2922-ni 182 5/8-ə bölərkən hər iki ədəd əvvəlcə 8-ə vuruldu ki, bu da tam ədədləri daha da bölməyə imkan verdi: 23376:1461= 16

1.8. Antik dövrün və orta əsrlərin digər dövlətlərində fraksiyalar.

Məsələn, fraksiya kimi qeydə alınıb

Hind alimi Bramaqupta (8-ci əsr) tərəfindən qoyulmuş kəsrlərlə işləmə qaydaları müasir qaydalardan demək olar ki, fərqlənmirdi. Çində olduğu kimi Hindistanda da ortaq məxrəcə gətirmək üçün bütün terminlərin məxrəcləri uzun müddət, lakin 9-cu əsrdən çoxaldıldı. artıq ən az ümumi çoxluq istifadə olunur.

Orta əsr ərəbləri kəsrlərin yazılması üçün üç sistemdən istifadə edirdilər. Birincisi, hind üsulu ilə, məxrəcin payın altına yazılması; Kəsr xətti 12-ci əsrin sonu - 13-cü əsrin əvvəllərində meydana çıxdı. İkincisi, məmurlar, torpaqşünaslar və tacirlər misirlilərə bənzər, məxrəcləri 10-dan çox olmayan kəsrlərdən istifadə etməklə (yalnız belə kəsrlər üçün ərəb dilində xüsusi terminlər var); təxmini dəyərlər tez-tez istifadə olunurdu; Ərəb alimləri bu hesabı təkmilləşdirmək üçün çalışdılar. Üçüncüsü, ərəb alimləri Babil-Yunan cinsi kiçik sistemini miras aldılar, bu sistemdə yunanlar kimi əlifba qeydindən istifadə edərək onu bütün hissələrə qədər genişləndirdilər.

Kəsrlərin hind notasiyası və onlarla işləmə qaydaları 9-cu əsrdə qəbul edilmişdir. müsəlman ölkələrində Xorazmlı Məhəmmədin (əl-Xorəzmi) sayəsində. İslam ölkələrində ticarət praktikasında vahid kəsrlərdən, elmdə cinsi kiçik kəsrlərdən və daha az dərəcədə adi kəsrlərdən geniş istifadə olunurdu. Əl-Kərəci (X-XI əsrlər), əl-Xassar (XII əsr), əl-Kələsədi (XV əsr) və başqa alimlər öz əsərlərində adi kəsrlərin vahid kəsrlərin cəmi və hasilləri şəklində təqdim edilməsi qaydalarını təqdim etmişlər. Fraksiyalar haqqında məlumat Qərbi Avropaya Pizadan olan italyan taciri və alimi Leonardo Fibonaççi (XIII əsr) tərəfindən köçürülmüşdür. O, kəsr sözünü təqdim etdi, kəsr xəttindən istifadə etməyə başladı (1202) və kəsrlərin sistemli şəkildə əsaslara bölünməsi üçün düsturlar verdi. Say və məxrəc adları 13-cü əsrdə yunan rahib, alim və riyaziyyatçı Maksim Planud tərəfindən təqdim edilmişdir. Kəsrin ümumi məxrəcə endirilməsi üsulu 1556-cı ildə N. Tartalya tərəfindən təklif edilmişdir. Adi fraksiyaların əlavə edilməsinin müasir sxemi 1629-cu ilə aiddir. A. Girardda.

II. Adi fraksiyaların tətbiqi

2.1 Alikot fraksiyaları

Alikot fraksiyalarından istifadə edilən problemlər, qədim zamanlardan gələnlər də daxil olmaqla, qeyri-standart problemlərin böyük bir sinfini təşkil edir. Alikot fraksiyaları, mümkün olan ən az addımlarla bir şeyi bir neçə hissəyə bölmək lazım olduqda istifadə olunur. 2/n və 2/(2n +1) formalı fraksiyaların iki alikot fraksiyaya parçalanması düsturlar şəklində sistemləşdirilir.

Üç, dörd, beş və s. alikot fraksiyaları terminlərdən birini iki kəsrə, növbəti hədisi daha iki alikot fraksiyaya və s.

Ədədi hissəciklərin cəmi kimi təqdim etmək üçün bəzən qeyri-adi ixtiraçılıq nümayiş etdirməlisən. Tutaq ki, 2/43 rəqəmi belə ifadə olunub: 2/43=1/42+1/86+1/129+1/301. Ədədlər üzərində arifmetik əməliyyatlar yerinə yetirmək, onları birin kəsrlərinin cəminə parçalamaq çox əlverişsizdir. Buna görə də, alikot fraksiyaların daha kiçik alikvot fraksiyaların cəmi şəklində parçalanması məsələlərinin həlli prosesində fraksiyaların parçalanmasını düstur şəklində sistemləşdirmək ideyası yaranmışdır. Bu düstur alikvotu fraksiyanı iki hissəyə bölmək lazım olduqda etibarlıdır.

Formula belə görünür:

1/n=1/(n+1) + 1/n ·(n+1)

Fraksiya genişlənməsinə nümunələr:

1/3=1/(3+1)+1/3·(3+1)=1/4 +1/12;

1/5=1/(5+1)+1/5·(5+1)=1/6 +1/30;

1/8=1/(8+1)+1/8·(8+1)=1/9+ 1/72.

Bu düstur aşağıdakı faydalı bərabərliyi əldə etmək üçün çevrilə bilər: 1/n·(n+1)=1/n -1/(n+1)

Məsələn, 1/6=1/(2 3)=1/2 -1/3

Yəni alikot kəsr iki alikot fraksiyasının fərqi və ya məxrəcləri hasilinə bərabər ardıcıl ədədlər olan iki alikot fraksiyasının fərqi ilə təmsil oluna bilər.

Misal. 1 rəqəmini müxtəlif alikvot fraksiyaların cəmi kimi təmsil edin

a) üç şərt 1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6

b) dörd şərt

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)= 1/2+1/3+1/7+1/42

c) beş müddət

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2+1/3+1/7+1/42=1/2+(1/4+ +1/12) +1/7+1/42=1/2+1/4+1/12 +1/7+1/42

2.2 Kiçik fraksiyaların əvəzinə, böyük olanlar

Maşınqayırma zavodlarında çox maraqlı bir peşə var, ona marker deyilir. Marker, lazımi formanı vermək üçün bu iş parçasının emal edilməli olduğu iş parçasının üzərindəki xətləri qeyd edir.

Marker maraqlı və bəzən çətin həndəsi məsələləri həll etməli, arifmetik hesablamalar aparmalı və s.
“12 hissə arasında 7 eyni düzbucaqlı lövhəni birtəhər bərabər payla paylamaq lazım idi.Bu 7 boşqabı markerin üstünə gətirdilər və ondan xahiş etdilər ki, mümkünsə, boşqabları işarələsin ki, heç biri çox kiçik hissələrə bölünməsin. Beləliklə, ən sadə həll yolu budur - hər boşqabın 12 bərabər hissəyə kəsilməsi uyğun deyildi, çünki bu, çoxlu kiçik hissələrə səbəb olardı.
Bu lövhələri daha böyük hissələrə bölmək mümkündürmü? Marker fikirləşdi, kəsrlərlə bəzi arifmetik hesablamalar apardı və nəhayət, bu plitələrin bölünməsinin ən qənaətli yolunu tapdı.
Sonradan o, asanlıqla 5 boşqab əzdi ki, onları altı hissəyə bərabər payla, 12 hissə üçün 13 boşqab, 36 hissə üçün 13 boşqab, 21 ədəd üçün 26 və s.

Belə çıxır ki, marker 7\12 kəsri 1\3 + 1\4 vahid fraksiyalarının cəmi kimi təqdim edib. Bu o deməkdir ki, verilmiş 7 boşqabdan 4-ü hər biri üç bərabər hissəyə kəsilirsə, onda biz 12 üçdə bir, yəni hər hissə üçün üçdə birini alırıq. Qalan 3 boşqabın hər birini 4 bərabər hissəyə kəsdik, 12 rüb, yəni hər hissə üçün dörddə bir alırıq. Eynilə, kəsrlərin vahid fraksiyaların cəmi şəklində təqdim edilməsindən istifadə etməklə 5\6=1\2+1\3; 13\121\3+3\4; 13\36=1\4+1\9.

2.3 Çətin şəraitdə bölmələr

Məşhur şərq məsəli var ki, ata oğullarına 17 dəvə qoyub öz aralarında bölüşdürməyi əmr edir: böyük yarı, ortancıl üçdə biri, ən kiçiyi doqquzuncu. Amma 17 2-yə, 3-ə və ya 9-a bölünmür. Oğullar müdrikə üz tutdular. Adaçayı kəsrlərlə tanış idi və bu çətin vəziyyətdə kömək edə bildi.

O, hiylə işlətdi. Müdrik dəvəsini müvəqqəti olaraq sürüyə qatdı, sonra onların sayı 18 oldu, vəsiyyətnamədə deyildiyi kimi, bu sayı bölünərək, müdrik dəvəsini geri götürdü. Sirr budur ki, oğulların vəsiyyətinə görə sürünü bölməli olduqları hissələr 1-ə çatmır. Doğrudan da, 1\2 + 1\3 + 1\9 = 17\18.

Bu cür tapşırıqlar kifayət qədər çoxdur. Məsələn, rus dərsliyindən 8 kredit qeydi olan pul kisəsi tapan 4 dost haqqında problem: biri bir, üç, beş rubl, qalanı isə on rubl üçün. Qarşılıqlı razılaşma ilə biri üçüncü hissəni, ikincisi dörddə bir, üçüncü beşinci, dördüncü altıncı istəyirdi. Ancaq bunu öz başlarına edə bilmədilər: yoldan keçən bir nəfər rublunu əlavə etdikdən sonra kömək etdi. Bu çətinliyi həll etmək üçün yoldan keçən biri 1\3 + 1\4 + 1\5 + 1\6 = 57\60 vahid fraksiyalarını əlavə edərək, dostlarının istəklərini təmin etdi və özü üçün 2 rubl qazandı.

III.Maraqlı fraksiyalar

3.1 Domino fraksiyaları

Dominolar bütün dünyada məşhur olan stolüstü oyundur. Bir domino oyunu ən çox 28 düzbucaqlı plitələrdən ibarətdir. Domino düzbucaqlı bir kafeldir, ön tərəfi bir xətt ilə iki kvadrat hissəyə bölünür. Hər bir hissə sıfırdan altı nöqtəyə qədərdir. Ən azı bir yarısında (boşluqlar) xal olmayan zarları çıxarsanız, qalan zarlar fraksiya hesab edilə bilər. Hər iki yarısında eyni sayda xal (ikiqat) olan zarlar birinə bərabər olan düzgün olmayan kəsrlərdir. Bu daha çox sümükləri çıxarsanız, 15 sümük qalacaq. Onlar müxtəlif yollarla təşkil edilə və maraqlı nəticələr əldə edə bilərlər.

1. Hər birində kəsrlərin cəmi 2 olan 3 cərgədə düzülmə.

;
;

2. 4/3, 6/1, 3/2 və s. kimi dominoların bəzilərini düzgün olmayan fraksiya kimi istifadə edərək, hər bir cərgədəki fraksiyaların cəminin olması üçün bütün 15 plitəni hər biri 5 plitədən ibarət üç sıraya düzün. 10-a bərabər idi.

1\3+6\1+3\4+5\3+5\4=10

2\1+5\1+2\6+6\3+4\6=10

4\1+2\3+4\2+5\2+5\6=10

3. Cəmi tam ədəd olacaq (lakin müxtəlif cərgələrdə fərqli) kəsrlərin sətirlərdə düzülməsi.

3.2 Qədim zamanlardan.

"O, bu məsələni diqqətlə öyrəndi." Bu o deməkdir ki, məsələ sona qədər öyrənilib, ən kiçik anlaşılmazlıq belə qalmayıb. Qəribə söz "diqqətlə" 1/288 assa - "scrupulus" üçün Roma adından gəlir.

"Kəsirlərə daxil olmaq." Bu ifadə özünüzü çətin vəziyyətdə tapmaq deməkdir.

"Ass" farmakologiyada kütlənin ölçü vahididir (əczaçı funtu).

“Uns” ingilis ölçü sistemində kütlə vahidi, farmakologiya və kimyada kütlə ölçü vahididir.

IV. Nəticə.

Mən belə nəticəyə gəldim ki, fraksiyaların tarixi çoxlu maneələr və çətinliklərlə dolu dolama yoldur. İnşa üzərində işləyərkən çoxlu yeni və maraqlı şeylər öyrəndim. Çoxlu kitablar və ensiklopediyalardan bölmələr oxuyuram. İnsanların işlədiyi ilk kəsrlərlə, alikot kəsr anlayışı ilə tanış oldum, kəsrlər haqqında təlimin inkişafına töhfə vermiş alimlərin yeni adlarını öyrəndim. Mən özüm olimpiada və əyləncəli məsələləri həll etməyə çalışdım, adi kəsrlərin alikvot kəsrlərə parçalanmasına dair nümunələri müstəqil seçdim, mətnlərdə verilmiş misal və məsələlərin həllini təhlil etdim. Esse üzərində işə başlamazdan əvvəl özümə verdiyim sualın cavabı: adi fraksiyalar lazımdır, vacibdir. Təqdimatı hazırlamaq maraqlı idi, kömək üçün müəllimə və sinif yoldaşlarına müraciət etməli oldum. Həm də yazarkən ilk dəfə kəsr və kəsr ifadələrinin yazılması ehtiyacı ilə qarşılaşdım. Bir məktəb konfransında referatımı təqdim etdim. O, həm də sinif yoldaşlarının qarşısında çıxış edib. Çox diqqətlə dinlədilər və fikrimcə, maraqlandılar.

İnanıram ki, referat üzərində işə başlamazdan əvvəl qarşıma qoyduğum tapşırıqları yerinə yetirmişəm.

Ədəbiyyat.

1. Borodin A.I. Arifmetika tarixindən. Baş nəşriyyat “Vişça məktəbi”-K., 1986

2. Qleyzer G.İ.Məktəbdə riyaziyyatın tarixi: IV-VI siniflər. Müəllimlər üçün dərslik. – M.: Təhsil, 1981.

3. İqnatyev E.İ. İxtiraçılıq səltənətində. “Nauka” nəşriyyatının fizika-riyaziyyat ədəbiyyatı baş redaksiyası, M., 1978.

4. Kordemskoy G.A.Riyazi ixtiraçılıq.- 10-cu nəşr, yenidən işlənmiş. Və əlavə - M.: Unisam, MDS, 1994.

5. Stroik D.Ya. Qısa esse riyaziyyat tarixi. M.: Nauka, 1990.

6. Uşaqlar üçün ensiklopediya. Cild 11. Riyaziyyat. Moskva, Avanta+, 1998.

7. /viki.Vikipediyadan material - pulsuz ensiklopediya.

Əlavə 1.

Təbii miqyas

Hamı bilir ki, Pifaqor alim və xüsusən də məşhur teoremin müəllifi olub. Amma onun həm də parlaq musiqiçi olması o qədər də məlum deyil. Bu istedadların birləşməsi ona təbii miqyasın mövcudluğu haqqında ilk təxmin etməyə imkan verdi. Mən hələ bunu sübut etməli idim. Pifaqor təcrübələri üçün yarım alət və yarım cihaz - "monoxord" düzəltdi. Üzərinə ip çəkilmiş uzunsov qutu idi. Simin altında, qutunun üst qapağında, Pifaqor simi vizual olaraq hissələrə bölməyi asanlaşdırmaq üçün tərəzi çəkdi. Pifaqor monokordla bir çox təcrübələr apardı və sonda səslənən simin davranışını riyazi şəkildə təsvir etdi. Pifaqorun əsərləri indi musiqi akustikası dediyimiz elmin əsasını təşkil edirdi. Belə çıxır ki, musiqi üçün oktava daxilində yeddi səs hesabda əllərin on barmağı qədər təbii bir şeydir. Artıq atışdan sonra salınan ilk yayın simi, demək olar ki, dəyişməz olaraq hələ də istifadə etdiyimiz musiqi səsləri toplusunu hazır vəziyyətə gətirdi.

Fizika baxımından kaman və sim bir və eynidir. Kişi isə kamanın xüsusiyyətlərinə diqqət yetirərək simi düzəltdi. Səslənən sim təkcə bütövlükdə deyil, həm də yarım, üçdə, dörddəbir və s. İndi isə bu hadisəyə arifmetik tərəfdən yanaşaq. Yarımlar bütöv bir simli kimi iki dəfə tez-tez titrəyir, üçdə - üç dəfə, dörddəbirdə - dörd dəfə. Bir sözlə, simin titrəyici hissəsi neçə dəfə kiçikdirsə, onun salınımlarının tezliyi eyni sayda dəfə böyükdür. Tutaq ki, bütün sim 24 herts tezliyində titrəyir. On altıncı hissəyə qədər fraksiyaların dalğalanmalarını hesablayaraq, cədvəldə göstərilən nömrələr seriyasını alırıq. Tezliklərin bu ardıcıllığı təbii adlanır, yəni. təbii, miqyaslı.

Əlavə 2.

Ümumi fraksiyalardan istifadə edərək qədim problemlər.

Müxtəlif ölkələrin qədim əlyazmalarında və qədim hesab dərsliklərində kəsrlərə aid çoxlu maraqlı məsələlər var. Bu problemlərin hər birinin həlli kifayət qədər ixtiraçılıq, ixtiraçılıq və düşünmə qabiliyyəti tələb edir.

1. Bir çoban 70 öküzlə gəlir. Ondan soruşurlar:

Çoxlu sürünüzdən nə qədər gətirirsiniz?

Çoban cavab verir:

Mal-qaranın üçdə birinin üçdə ikisini gətirirəm. Sürüdə neçə öküz olduğunu sayın?

Ahmes papirusu (Misir, təxminən eramızdan əvvəl 2000-ci il).

2. Biri xəzinədən 1/13 götürdü. Qalanlardan başqa biri 1/17 aldı. O, xəzinədə 192 qoyub. İlkin olaraq xəzinədə nə qədər olduğunu öyrənmək istəyirik.

Akmim papirusu (VI əsr)

3. Səyahətçi! Diofantın külləri burada basdırılır. Rəqəmlər onun həyatının nə qədər uzun olduğunu başa düşə bilər.

Onun altıncı hissəsi gözəl bir uşaqlıq idi.

Ömrünün on ikinci hissəsi keçdi - sonra çənəsi tüklə örtüldü.
Diophantus yeddinci dəfə uşaqsız evlilikdə yaşadı.

Beş il keçdi; gözəl ilk oğlunun dünyaya gəlməsi ilə xeyir-dua aldı.
Tale atasına nisbətən yer üzündə gözəl və parlaq həyatın yalnız yarısını verdi.

Və dərin kədər içində qoca oğlunu itirdiyi gündən dörd il sağ qalaraq yer üzündəki taleyinin sonunu qəbul etdi.

De görüm, Diofant ölümə neçə il dözdü?

4. Ölüm ayağında olan biri vəsiyyət etdi: “Əgər arvadım oğul doğsa, mülkün 2/3 hissəsi ona, qalanı isə arvadına qalsın. Əgər qız doğulsa, 1/3 hissəsi ona, 2/3 hissəsi isə arvadına veriləcək”. Əkizlər dünyaya gəldi - bir oğul və bir qız. Əmlakı necə bölmək olar?

Qədim Roma problemi (II əsr)

Üç ədəd tapın ki, ən böyüyünün ortanın verilmiş hissəsi ən kiçiyinin müəyyən hissəsi ilə ortadan çox olsun, orta qiymət ən böyüyünün verilmiş hissəsi ilə ən kiçiyi üstələsin və ən kiçiyi ortanın verilmiş hissəsi ilə 10 rəqəmini üstələsin.

Diofant İsgəndəriyyə traktatı "Arifmetika" (Eramızın 2-3-cü əsrləri)

5. Vəhşi ördək Cənub dənizindən Şimal dənizinə 7 gün uçur. Vəhşi qaz 9 gün ərzində şimal dənizindən cənub dənizinə uçur. İndi ördək və qaz eyni vaxtda uçur. Neçə günə görüşəcəklər?

Çin (2-ci əsr)

6. “Bir tacir 3 şəhərdən keçdi və birinci şəhərdə malının yarısı və üçdə biri, ikinci şəhərdə qalan malının yarısı və üçdə biri üçün, üçüncü şəhərdə isə ondan rüsum aldılar. qalan əmlakının yarısı və üçdə biri. Evə gələndə isə 11 pul qalmışdı. Başlanğıcda tacirin nə qədər pulu olduğunu öyrənin”.

Ananiy Şirakatsi. "Suallar və Cavablar" toplusu (VIIeramızdan əvvəl).

Bir kadamba çiçəyi var,

Bir ləçək üçün

Arıların beşdə biri düşdü.

Yaxınlıqda böyümüşəm

Hamısı çiçəklənir Simengda,

Üçüncü hissə isə ona uyğun gəlir.

Onların fərqini tapın

Üç dəfə qatlayın

Və o arıları kutaya ək.

Yalnız ikisi tapılmadı

Heç bir yerdə özünüzə yer yoxdur

Hamı irəli-geri və hər yerə uçurdu

Çiçəklərin qoxusundan həzz alırdı.

İndi mənə deyin

Fikrimdə hesablama,

Ümumilikdə neçə arı var?

Qədim Hindistan problemi (XI əsr).

8. “Bir ədəd tapın ki, ondan üçdə birini və dörddə birini çıxarsanız, 10 alacaqsınız.”

Məhəmməd ibn Musa əl-Xarəzmi “Arifmetika” (IX əsr)

9. Bir qadın alma yığmaq üçün bağa getdi. Bağdan çıxmaq üçün o, hər birində mühafizəçi olan dörd qapıdan keçməli idi. Qadın yığdığı almaların yarısını birinci qapıdakı gözətçiyə verdi. İkinci mühafizəçiyə çatan qadın qalanların yarısını ona verdi. O, üçüncü mühafizəçi ilə də eyni şeyi etdi və almaları dördüncü mühafizəçi ilə bölüşəndə 10 alma qaldı. Bağda neçə alma yığdı?

"1001 gecə"

10. Yalnız “o” və “bu”, “o” və “bunun” yarısı – “o” və “bu”nun dörddə üçünün neçə faizi olacaq.

Kodeks qədim rus(X-XI əsrlər)

11. Üç kazak at almaq üçün çobanın yanına gəldi.

“Yaxşı, mən sənə at satacağam” dedi çoban, “birinciyə yarım sürü və bir yarım at satacağam, qalan atların yarısını, ikinciyə də yarı at satacağam, üçüncüsü də yarısını alacaq. yarım atlı qalan atlardan.

Özümə cəmi 5 at qoyacam”.

Kazaklar çobanın atları necə hissələrə böləcəyinə təəccübləndilər. Ancaq bir az düşündükdən sonra sakitləşdilər və sövdələşmə baş verdi.

Çoban kazakların hər birinə neçə at satdı?

12. Biri müəllimdən soruşdu: “Sinifində neçə şagirdin olduğunu söylə, çünki mən oğlumu sənin yanına yazdırmaq istəyirəm”. Müəllim cavab verdi: “Mənim qədər çox tələbə gəlsə, yarısı qədər, dörddə bir və sizin oğlunuz gəlsə, mənim 100 şagirdim olar”. Sual olunur ki, müəllimin neçə şagirdi var idi?

L. F. Magnitsky "Arifmetika" (1703)

13. Səyahətçi o birini tutaraq ondan soruşdu: “Qarşıdakı kənd nə qədərdir?” Başqa bir səyyah belə cavab verdi: “Gələcəyiniz kənddən olan məsafə kəndlər arasındakı bütün məsafənin üçdə birinə bərabərdir. Və daha iki mil getsən, kəndlərin tam ortasında olacaqsan. İlk səyahətçinin getməsinə neçə mil qalır?

L. F. Magnitsky "Arifmetika" (1703)

14. Kəndli qadın bazarda yumurta satırdı. Birinci müştəri onun yumurtasının yarısını və bir yumurtanın digər yarısını, qalanın ikinci yarısını və yumurtanın daha yarısını, üçüncüsü isə son 10 yumurtanı aldı.

Kəndli qadın bazara neçə yumurta gətirdi?

L. F. Magnitsky "Arifmetika" (1703)

15. Ər-arvad eyni sandıqda pul götürdülər, heç nə qalmadı. Ər bütün pulun 7/10 hissəsini, arvad isə 690 rubl götürdü. Bütün pul nə qədər idi?

L. N. Tolstoy "Arifmetika"

16. Ədədin səkkizdə biri

Onu götürün və istənilən əlavə edin

Üç yüzün yarısı

Və səkkiz üstələyəcək

Bir az deyil - əlli

Dörddə üç. Sevinərəm,

Hesabı bilən olsa

Mənə nömrəni deyəcək.

Johann Hemeling, riyaziyyat müəllimi (1800)

17. Üç nəfər müəyyən məbləğdə pul qazandı. Birinci bu məbləğin 1/4, ikinci -1/7, üçüncü isə 17 florin təşkil edib. Ümumi uduş nə qədər böyükdür?

Adam Riese (Almaniya, 16-cı əsr) 18. Bütün əmanətlərini bütün oğulları arasında bərabər bölüşdürmək qərarına gələn kimsə vəsiyyət etdi. “Oğullarımın ən böyüyü 1000 rubl, qalanın isə səkkizdə birini alsın; növbəti - 2000 rubl və yeni balansın səkkizdə biri; üçüncü oğul - 3000 rubl və növbəti balansın səkkizdə biri və s. Oğulların sayını və vəsiyyət edilən əmanətlərin miqdarını müəyyənləşdirin.

Leonhard Euler (1780)

19. Üç nəfər 24.000 livrə ev almaq istəyir. Razılaşdılar ki, birinci yarısını, ikincisi üçdə birini, üçüncüsü qalanını verəcək. Üçüncüsü nə qədər pul verəcək?

Kəsrlər "," Adi siravi fraksiyalar" Oyun "Nə haqqında danışa bilər ... mental hesab üçün." Mövzu üçün tapşırıqlar " Adi siravi fraksiyalar və onlar üzərində hərəkətlər” 1. U... filosof, yazıçı. B. Paskal idi qeyri-adi istedadlı və çox yönlü, onun həyatı...

Əsərin mətni şəkillər və düsturlar olmadan yerləşdirilib.
Tam versiyası iş PDF formatında "İş Faylları" sekmesinde mövcuddur

Giriş

Kəsrlərin öyrənilməsini həyatın özü diktə edir. Müxtəlif hesablamalar və hesablamalar aparmaq bacarığı hər bir insan üçün lazımdır, çünki gündəlik həyatda fraksiyalarla qarşılaşırıq. Bu nömrələrin adının haradan gəldiyini bilmək istədim; Bu rəqəmləri ortaya qoyan, məktəbdə oxuduğumuz “Kəsrlər” mövzusu həyatımda zəruridir.

Tədqiqatın obyekti: adi fraksiyaların yaranma tarixi.

Tədqiqatın mövzusu: adi fraksiyalar.

Hipotez: Əgər kəsrlər olmasaydı, riyaziyyat inkişaf edə bilərdi?

İşin məqsədi: riyaziyyat sinifindəki “Ətrafımızda Riyaziyyat” stendini kəsrlər haqqında maraqlı faktlarla bəzədi.

Tapşırıqlar:

Riyaziyyatda kəsrlərin tarixini öyrənmək;

Stendin bölmələrini tərtib etmək üçün istifadə edilə bilən fraksiyalar haqqında ən maraqlı faktları seçin.

Riyaziyyat sinfində stend qurun.

Uyğunluq: Müasir həyat kəsr problemlərini aktual edir, çünki fraksiyaların praktik tətbiq dairəsi genişlənir.

Tədqiqat üsulları:

1. Müxtəlif mənbələrdə kəsrlər haqqında məlumat axtarın: İnternetdə, bədii ədəbiyyatda, dərsliklərdə.

2. İnformasiyanın təhlili, müqayisəsi, sintezi və sistemləşdirilməsi.

1. Adi kəsrlərin tarixindən

1.1. Fraksiyaların yaranması

Bütün sivilizasiyalarda kəsr anlayışı bütövün bərabər hissələrə bölünməsi prosesindən yaranmışdır. Rus dilindəki "fraksiya" termini, digər dillərdəki analoqları kimi, lat dilindən gəlir. “Fractura”, bu da öz növbəsində eyni mənalı ərəb termininin tərcüməsidir: qırmaq, parçalamaq. Buna görə də, yəqin ki, hər yerdə ilk kəsrlər 1/n formasının kəsrləri idi. Gələcək inkişaf təbii olaraq bu kəsrləri m/n fraksiyalarının - rasional ədədlərin təşkil oluna biləcəyi vahidlər kimi nəzərdən keçirməyə doğru gedir. Lakin bu yol bütün sivilizasiyalar tərəfindən getməmişdir: məsələn, Qədim Misir riyaziyyatında heç vaxt həyata keçirilməmişdir.

1.2. Rus dilində fraksiyalar

Rus dilində "fraksiya" sözü 8-ci əsrdə meydana çıxdı, "droblit" felindən gəlir - parçalamaq, parçalamaq. Kəsrlərin müasir qeydi Qədim Hindistanda yaranıb: ərəblər də ondan istifadə etməyə başladılar.

Köhnə dərsliklərdə rus dilində fraksiyaların aşağıdakı adlarına rast gəlirik:

Rusiyada istifadə edilən torpaq ölçüsü dörddə bir və daha kiçik bir yarım dörddə bir idi, ocmina adlanırdı. Bunlar konkret fraksiyalar, yerin sahəsini ölçmək üçün vahidlər idi, lakin oktina vaxtı və ya sürəti ölçə bilmədi və s. Çox sonralar, oktina istənilən dəyəri ifadə edə bilən 1/8 mücərrəd fraksiyanı nəzərdə tutmağa başladı. XVII əsrdə Rusiyada fraksiyaların istifadəsi haqqında V. Bellustinin “İnsanlar tədricən həqiqi hesaba necə çatdılar” kitabında aşağıdakıları oxuya bilərsiniz: “17-ci əsrin əlyazmasında. “Fərmanın bütün kəsrləri ilə bağlı maddə” birbaşa kəsrlərin yazılı şəkildə təyin edilməsi, say və məxrəc göstərilməklə başlayır. Kəsrləri tələffüz edərkən aşağıdakı xüsusiyyətlər maraqlıdır: dördüncü hissə dörddəbir adlanırdı, məxrəci 5-dən 11-ə qədər olan kəsrlər isə “ina” ilə bitən sözlərlə ifadə edilirdi ki, 1/7 həftə, 1/5 beş ballıq, 1/10 ondabirdir; məxrəcləri 10-dan çox olan səhmlər “lotlar” sözləri ilə tələffüz edilir, məsələn, 5/13 – lotun on üçdə beşi. Kəsrlərin nömrələnməsi birbaşa Qərb mənbələrindən götürülmüşdür. Hissəyə yuxarı rəqəm, məxrəcə isə aşağı deyilirdi”.

1.3. Antik dövrün digər dövlətlərində fraksiyalar

Bütün hesab qaydaları qədim misirlilər toplama və çıxmaq, qoşa ədədlər və tam kəsrləri birə qoymaq qabiliyyətinə əsaslanırdı. Kəsrlər üçün xüsusi qeydlər var idi. Misirlilər 1/n formasının kəsrlərindən istifadə edirdilər, burada n natural ədəddir. Belə fraksiyalar deyilir hissəcik. Bəzən m:n-i bölmək əvəzinə m∙n-i vururdular.

Onsuz da qədim zamanlarda misirlilər 2 almanı üçə bölməyi bilirdilər: hətta bu nömrə üçün xüsusi bir ikona da var idi. Yeri gəlmişkən, bu, misirli katiblərin istifadəsində hesabda vahid olmayan yeganə fraksiya idi - bütün digər fraksiyalar, şübhəsiz ki, paylayıcıda 1-ə malikdir (sözdə əsas fraksiyalar): 1/2, 1/3 , 1/17, ... və s. Fraksiyalara bu münasibət çox uzun müddətdir mövcuddur. Qədim Misir sivilizasiyası artıq məhv olmuşdu, bir vaxtlar yaşıl torpaq Sahara qumları tərəfindən udulmuşdu və fraksiyaların hamısı əsas olanların cəminə bölünmüşdü - düz İntibah dövrünə qədər!

Çində Adi kəsrlərlə demək olar ki, bütün arifmetik əməliyyatlar II əsrdə qurulmuşdur. e.ə e.; onlar qədim Çinin riyazi biliklərinin əsas orqanında - "Doqquz kitabda riyaziyyat", son nəşri Zhang Tsang-a aid olan bir əsərdə təsvir edilmişdir. Çin riyaziyyatçıları Evklidin alqoritminə bənzər bir qayda əsasında hesablamalar apararaq (hiss və məxrəcin ən böyük ortaq böləni) kəsrləri azaldıblar. Fraksiyaların çarpılması uzunluğu və eni kəsrlərlə ifadə olunan düzbucaqlı bir torpaq sahəsinin sahəsini tapmaq kimi düşünülürdü. Bölmə, paylaşma ideyasından istifadə etməklə nəzərdən keçirildi, Çin riyaziyyatçıları isə bölmədə iştirak edənlərin sayının kəsr, məsələn, 3⅓ nəfər ola biləcəyindən utanmadılar.

Əvvəlcə çinlilər hamam heroqlifindən istifadə edərək adlandırılan sadə fraksiyalardan istifadə etdilər:

banh (“yarım”) -12;

shao ban (“kiçik yarım”) -13;

tai banh (“böyük yarım”) -23. Görəsən nə babillilər onlar sabit məxrəcə üstünlük verirdilər (görünür, onların say sistemi sexagesimal olduğuna görə, 60-a bərabərdir).

Romalılar Onlar həmçinin 12-yə bərabər olan yalnız bir məxrəcdən istifadə etdilər.

Adi fraksiya konsepsiyasının daha da inkişafına nail olundu Hindistan. Bu ölkənin riyaziyyatçıları vahid kəsrlərdən ümumi kəsrlərə tez keçə bildilər. İlk dəfə belə fraksiyalara həndəsi konstruksiyaları və bəzi hesablamaların nəticələrini özündə əks etdirən Apastambanın (e.ə. VII-V əsrlər) “İp qaydaları”nda rast gəlinir. Hindistanda bir qeyd sistemindən istifadə olunurdu - bəlkə də Çin və bəlkə də gec yunan mənşəlidir - burada kəsrin payı məxrəcin üstündə yazılır - bizimki kimi, lakin kəsr xətti olmadan, lakin bütün kəsr bir yerə yerləşdirilirdi. düzbucaqlı çərçivə.

Maraqlı fraksiyalar

"Kəsrləri bilmədən heç kim hesabını bilən kimi tanınmaz!" (Siseron)

İnsanlar puldan istifadə etdikdə həmişə kəsrlərlə qarşılaşırlar: Orta əsrlərdə 1 ingilis pensi = 1/12 şillinq; Hazırda bir rus qəpiyi = rublun 1/100-üdür.

Ölçmə sistemləri fraksiyaları daşıyır: 1 santimetr = 1/10 desimetr = 1/100 metr.

Fraksiyalar həmişə dəbdə olub. Dörddə üç qol üslubu həmişə aktualdır. 7/8 kəsilmiş şalvar isə qarderobun gözəl detalıdır.

Fraksiyalarla tanış ola bilərsiniz müxtəlif dərslərdə. Məsələn, coğrafiyada: “SSRİ-nin mövcud olduğu dövrdə Rusiya torpağın altıda birini tutmuşdu. İndi Rusiya quru ərazisinin doqquzda birini tutur”. Təsviri sənətdə - insan fiqurunu təsvir edərkən. Musiqidə ritm, musiqi parçasının metri.

Bir şəxs "kəsir" sözü ilə qarşılaşır həyat:

Ov tüfəngindən atəş üçün kiçik qurğuşun topları - atış.

Tez-tez, fasiləli səslər - nağara.

Donanmada "atış!" - atəşkəs.

Evlərin nömrələnməsi. Kəsrlə ayrılmış rəqəm kəsişən iki küçə boyunca nömrələnmiş evlərə qoyulur.

Rəqsdə fraksiya. Rus xalq rəqsini fraksiyalarsız və qaçışsız təsəvvür etmək mümkün deyil.

Dişlərinizlə bir hissəni döyün - dişlərinizi çırpın (soyuqdan titrəmək, qorxu).

Bədii ədəbiyyatda. Viktor Draqunskinin "Yumor hissinə sahib olmalısan" hekayəsinin qəhrəmanı Deniska bir dəfə dostu Mişkadan bir problem soruşdu: iki almanı üçə necə bərabər bölmək olar? Mişka nəhayət təslim olanda zəfərlə cavabını elan etdi: "Kompot hazırlayın!" Mişka və Denis hələ kəsrləri öyrənməmişdilər və 2-nin 3-ə bölünmədiyini dəqiq bilirdilər?

Ancaq bu problemin yeganə həlli deyil! Hər almanı üç hissəyə bölmək və iki belə hissəni hər üçünə paylamaq lazımdır.

Üç növ fraksiya var:

Vahidlər (alikvotlar) və ya kəsrlər (məsələn, 1/2, 1/3, 1/4 və s.).

Sistematik, yəni məxrəcin ədədin gücü ilə ifadə olunduğu kəsrlər (məsələn, 10 və ya 60-ın gücü və s.).

Ümumi forma, burada pay və məxrəc istənilən ədəd ola bilər.

"Yanlış" - qeyri-müntəzəm və "real" - düzgün fraksiyalar var.

Riyaziyyatda kəsr- ilkin olaraq tam olmayan ədədlər və ya kəsrlər anlayışını əks etdirən bölmə əməliyyatından istifadə edərək riyazi kəmiyyətlərin təmsil forması. Ən sadə halda ədədi kəsr iki ədədin nisbətidir.

m:n =m/n

Bir hissədə m/n(oxu: “um nth”) nömrə m, xəttin yuxarısında yerləşən rəqəmə pay, xəttin altında yerləşən n ədədinə isə məxrəc deyilir. Məxrəc tamın neçə bərabər hissəyə bölündüyünü, paylayıcı isə neçə belə hissənin alındığını göstərir. Kəsr xəttini bölmə işarəsi kimi başa düşmək olar.

Kəsrin müasir qeydini istifadə etməyə və yaymağa başlayan ilk avropalı alim italyan taciri və səyyahı, şəhər məmuru Fibbonaççinin (Pizalı Leonardo) oğlu olmuşdur.

1202-ci ildə "kəsr" sözünü təqdim etdi.

Say və məxrəc adları 13-cü əsrdə yunan rahib, alim və riyaziyyatçı Maksim Planud tərəfindən təqdim edilmişdir.

“İnsan kəsr kimidir: say özü, məxrəc isə özü haqqında düşündüyüdür. Məxrəc nə qədər böyükdürsə, kəsr də o qədər kiçikdir” (L.N.Tolstoy).

Tədqiqatın əsas nəticələri

Nəticə: Fraksiyalara ehtiyac insan inkişafının çox erkən mərhələsində yaranmışdır. Həyatda insan təkcə cisimləri saymamalı, həm də kəmiyyətləri ölçməli idi. İnsanlar uzunluqları, torpaq sahələrini, həcmləri, bədən kütlələrini, vaxtı ölçdülər və alınan və ya satılan mallar üçün ödənişlər etdilər. Ölçmənin nəticəsini və ya məhsulun dəyərini natural ədədlə ifadə etmək həmişə mümkün olmayıb. Fraksiyalar və onlarla işləmə qaydaları belə ortaya çıxdı.

İşin praktiki əhəmiyyəti:

Mətn redaktorunda işləmək vərdişlərinə yiyələnmişəm və internet resursları ilə işləmişəm. Riyaziyyat sinifindəki “Ətrafımızda riyaziyyat” stendini kəsrlər haqqında maraqlı faktlarla bəzəmək üçün material seçdim (Əlavə 1). Və stend tərtib etdi (Əlavə).

Tədqiqat nəticəsində Mən fərziyyəni təsdiqlədim: insanlar kəsrlər olmadan edə bilməzlər, kəsrlər olmadan riyaziyyat inkişaf edə bilməz.

Biblioqrafiya

Anishchenko E. A. Rəqəm riyaziyyatın əsas anlayışı kimi. Mariupol, 2002.

Vilenkin N.Ya., Jokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Riyaziyyat. 5-ci sinif: Ümumtəhsil müəssisələri üçün dərslik/- 26-cı nəşr, ster. - M.: Mnemosyne, 2009. - 280 s.

Geyser G.I. Məktəbdə riyaziyyatın tarixi. Müəllimlər üçün dərslik. - M.: Təhsil, 1981. - 239 s.

Riyaziyyat. 5-ci sinif: ümumi təhsil üçün tədris. qurumlar. [SANTİMETR. Nikolski, M.K.Potapov, N.N.Reshetnikov, A.V. Şevkin]. - 11-ci nəşr, yenidən işlənmiş. - M.: Təhsil, 2016. - 272 s. - (MDU - məktəb).

Riyazi ensiklopedik lüğət. - M., 1988.

Uzaqdan giriş elektron resursları (İnternet)

3. Vikipediyadan material - pulsuz ensiklopediya. Giriş rejimi: http://ru.wikipedia.org/wiki

Sitatlar. Giriş rejimi: http://citaty.socratify.net/lev-toltoi/25013.

Proqramlar

“Ətrafımızda riyaziyyat” stendi

Cədvəl "Misirdə kəsrlərin yazılması"