Nyutonun interpolyasiya düsturu. Nyutonda interpolyasiya polinomu müəyyən dəqiqliklə Nyuton düsturlarından istifadə edərək interpolyasiya

Nyutonun ilk interpolyasiya düsturu masa qovşaqlarının yaxınlığında funksiyanın interpolyasiyası üçün praktiki olaraq əlverişsizdir. Bu vəziyyətdə adətən istifadə olunur .

Tapşırıqın təsviri . Funksiya dəyərlərinin ardıcıllığını əldə edək

bərabər məsafəli arqument dəyərləri üçün interpolyasiya addımı haradadır. Aşağıdakı formada çoxhədlini quraq:

və ya ümumiləşdirilmiş gücdən istifadə edərək, əldə edirik:

Sonra bərabərlik olarsa, alırıq

Bu dəyərləri düsturla (1) əvəz edək. Sonra, nəhayət, Nyutonun ikinci interpolyasiya düsturu formaya malikdir:

Gəlin (2) düsturu üçün daha əlverişli nota təqdim edək. Onda olsun

Bu dəyərləri düsturla (2) əvəz edərək əldə edirik:

Bu adi görünüşdür Nyutonun ikinci interpolyasiya düsturu. Funksiya dəyərlərinin hesablanmasını təxmini etmək üçün fərz edin:

Nyutonun həm birinci, həm də ikinci interpolyasiya düsturları funksiyanı ekstrapolyasiya etmək, yəni cədvəldən kənar arqument dəyərləri üçün funksiya dəyərlərini tapmaq üçün istifadə edilə bilər.

Əgər yaxındırsa, onda Nyutonun birinci interpolyasiya düsturunu, sonra isə tətbiq etmək sərfəlidir. Əgər yaxındırsa, üstəlik Nyutonun ikinci interpolyasiya düsturundan istifadə etmək daha rahatdır.

Beləliklə, adətən Nyutonun ilk interpolyasiya düsturundan istifadə edilir irəli interpolyasiya Və geriyə doğru ekstrapolyasiya, və Nyutonun ikinci interpolyasiya düsturu, əksinə, üçün geriyə doğru interpolyasiya edir Və irəli ekstrapolyasiya.

Qeyd edək ki, ekstrapolyasiya əməliyyatı, ümumiyyətlə, sözün dar mənasında interpolyasiya əməliyyatından daha az dəqiqdir.

Misal. Addım ataraq, cədvəldə verilmiş funksiya üçün Nyuton interpolyasiya polinomunu qurun

Həll. Fərqlər cədvəlini tərtib edirik (Cədvəl 1). Üçüncü dərəcəli fərqlər praktiki olaraq sabit olduğundan (3) düsturda qəbul edirik. Qəbul etdikdən sonra əldə edəcəyik:

Bu arzu olunan Nyuton interpolyasiya polinomudur.

Cədvəl 1

	0,875 0,7088 0,5361 0,3572 0,173 -0,0156 -0,20	-0,1662 -0,1727 -0,1789 -0,1842 -0,1886 -0,1925	-0,0065 -0,0062 -0,0053 -0,0044 -0,0039	0,0003 0,0009 0,0009 0,0005

Konsepsiyaya nəzər salaq sonlu fərqlər.

Funksiya verilsin y=f(x) bölünən [x 0 , x„] seqmentində P eyni seqmentlər (bərabər məsafəli arqument dəyərləri halında): Ax=h = const. Hər node üçün x 0, X, =x 0 + /G, ...,X" =x()+ n h formada funksiya qiymətləri müəyyən edilir

Konsepsiyanı təqdim edək sonlu fərqlər.

Birinci dərəcəli sonlu fərqlər

İkinci dərəcəli sonlu fərqlər Daha yüksək səviyyələrin sonlu fərqləri oxşar şəkildə müəyyən edilir:

Cədvəllərdə diaqonal (cədvəl 5.1) və ya üfüqi (cədvəl 5.2) ola bilən funksiyaların sonlu fərqlərini yerləşdirmək rahatdır.

Diaqonal masa

Cədvəl 5.1

Üfüqi masa

Cədvəl 5.2

						5 yaş,
						A 5 Uo
					və 4 y.

Nyutonun ilk interpolyasiya düsturu

Müstəqil dəyişənlərin bərabər qiymətləri üçün y=/(x) funksiyasına y, =/(x) qiymətləri verilsin:

Harada h- interpolyasiya mərhələsi.

Çoxhədli tapmalıyıq P„(x) dərəcə ns yüksəkdir P, X nöqtələrində (qovşaqlarında) qəbul, dəyərlər:

İnterpolyasiya edən çoxhədli aşağıdakı formada axtarılır:

Çoxhədli qurmaq məsələsi əmsalların təyin edilməsinə gəlir A,şərtlərdən:

(5.13)-də x = x 0 qəbul edirik, çünki ikinci, üçüncü və digər şərtlər 0-a bərabərdir, onda

əmsalı tapaq A (.

Pries=X1 alırıq:

Müəyyən etmək üçün a 2 Gəlin ikinci sıradan sonlu fərq yaradaq. At x=x 2 alırıq:

Digər əmsalları da eyni şəkildə tapmaq olar. Ümumi formula belədir:

Bu ifadələri (5.13) düsturu ilə əvəz edərək əldə edirik:

harada x„ y x- interpolyasiya qovşaqları; X- cari dəyişən; h- iki interpolyasiya qovşağı arasındakı fərq; h- dəyər sabitdir, yəni interpolyasiya qovşaqları bir-birindən bərabər məsafədədir.

Bu polinom deyilir Nyutonun interpolyasiya polinomu cədvəlin əvvəlində interpolyasiya etmək (irəli interpolyasiya) və ya Nyutonun birinci polinomu.

Praktik istifadə üçün bu çoxhədli qeydi təqdim etməklə çevrilmiş formada yazılır t=(x - x 0)/saat, Sonra

Bu düstur interpolyasiya intervalının başlanğıcına yaxın olan arqument dəyərləri üçün funksiya dəyərlərini hesablamaq üçün tətbiq olunur.

İrəli interpolyasiya üçün Nyuton metodu alqoritminin blok diaqramı Şəkildə göstərilmişdir. 5.3, proqram - əlavədə.

Misal 5.3. Temperaturdan asılı olaraq bir maddənin istilik tutumu cədvəli verilmişdir C p =f(T)(Cədvəl 5.3).

Cədvəl 5.3

(5.16) düsturundan istifadə edək:

düyü. 5.3.

Çevrilmələri yerinə yetirdikdən sonra aşağıdakı formanın interpolyasiya polinomunu alırıq:

Çoxhədli üçüncü dərəcəyə malikdir və tapılan düsturdan istifadə edərək dəyəri hesablamağa imkan verir saat naməlum üçün X.

Misal 5.4. Cədvəldə 5.3.1 temperaturdan asılı olaraq istilik tutumunun dəyərlərini göstərir. G=450 K nöqtəsində istilik tutumunun qiymətini təyin edin.

Nyutonun birinci interpolyasiya düsturundan istifadə edək. Son fərqlər əvvəlki misalda hesablanmışdır (Cədvəl 5.3.2), interpolyasiya polinomunu x=450 K-də yazırıq:

Beləliklə, 450 K temperaturda istilik tutumu olacaqdır

G=450 K-də istilik tutumunun dəyəri Laqranj düsturundan istifadə etməklə hesablananla eyni idi.

Nyutonun ikinci interpolyasiya düsturu

İnterpolyasiya intervalının sonunda yerləşən nöqtələrdə funksiyaların qiymətlərini tapmaq üçün Nyutonun ikinci interpolyasiya polinomundan istifadə olunur. İnterpolyasiya polinomunu formada yazaq

Oranlar a 0, a b..., A"şərtlə müəyyən edilir:

(5.18)-də güman edirik x=x„, Sonra

Biz inanırıq X=x„_|, buna görə də,

Əgər x = x n - 2 i Bu

Eynilə, polinomun (5.18) digər əmsallarını tapa bilərsiniz:

Bu ifadələri (5.18) düsturu ilə əvəz edərək əldə edirik Nyutonun ikinci interpolyasiya düsturu, və ya "geri" interpolyasiya üçün Nyuton polinomu:

Aşağıdakı qeydi təqdim edək:

(5.19) bəndində bir əvəz etməklə, əldə edirik:

Bu Nyutonun geriyə interpolyasiya üçün ikinci düsturudur.

Misal 5.5. G=550 K temperatur üçün istilik tutumunu hesablayın (cədvəl 5.3-ə baxın).

Nyutonun ikinci düsturundan (5.19) və müvafiq sonlu fərqlərdən istifadə edək (Cədvəl 5.4-ə bax):

Buna görə də, 550 K temperaturda istilik tutumunun qiyməti

Laqranj düsturu ilə eyni məqsədlər üçün istifadə edilən Nyutonun interpolyasiya düsturlarını əldə edərkən, arqumentin bərabər məsafəli dəyərlərinin nəzərə alındığına dair əlavə fərziyyə irəli sürürük. Beləliklə, funksiyanın qiymətlərinə icazə verin y = f(x) bərabər məsafəli dəyərlər üçün müəyyən edilmişdir x 0 , x 1 = x 0 + h, …, x n = x 0 + nh. Bu arqument dəyərləri funksiya qiymətlərinə uyğun olacaq: y 0 =f(x 0),y 1 =f(x 1), …, y n = f(x n).

Tələb olunan çoxhədlini formada yazaq

F( x) = a 0 + a 1 (x- x 0) + a 2 (x- x 0)(x- x 1) + a 3 (x- x 0)(x- x 1)(x- x 2) + …

…+ a n( x- x 0)(x- x 1)…(x- x n -1) (3.9)

Əmsalları müəyyən etmək üçün a 0 , a 1 ,..., a n daxil edin (3.9) x = x 0 . Sonra saat 0 = F(x 0)=a 0 . Bundan əlavə, fərz edirik x=x 1 , alırıq saat 1 =F(x 1) = a 0 + a 1 h , harada

a 1 =

Əmsalların hesablanmasına davam edərək, qoyaq X =x 2. Sonra

y 2 = y 0 + 2h + a 2 2H h, y 2 – 2Δ y 0 = a 2 2h 2 ;

y 2 – 2y 1 + 2y 0 – y 0 = y 2 – 2y 1 + y 0 = a 2 2h 2 .

(3.8) əsasında əldə edirik y 2 – 2y 1 + y 0 = Δ 2 y 0.

Tam eyni şəkildə alırıq

Oxşar sonrakı hesablamalar bizə istənilən əmsal üçün ümumi düstur yazmağa imkan verir A k:

Tapılan ifadələri əmsallar üçün (3.9) düsturu ilə əvəz edərək əldə edirik

Nəticədə alınan düstur Nyutonun birinci interpolyasiya düsturu adlanır.

Praktik istifadə üçün Nyuton düsturu (3.10) adətən çevrilmiş formada yazılır. Bunun üçün qeydi təqdim edirik

buradan x = x 0 + ht.

vasitəsilə ifadə edək t(3.10) düsturuna daxil olan amillər:

………………………..

Alınan ifadələri (3.10) düsturu ilə əvəz edərək nəhayət əldə edirik

İfadə (3.11) Nyutonun birinci interpolyasiya düsturunun son formasını təmsil edir.

Misal. Bir addım atmaq h = 0.05, seqmentdəki funksiya üçün Nyutonun interpolyasiya polinomunu qurun y = e x ,cədvəl ilə müəyyən edilmişdir. 3.3.

Cədvəl 3.3

Qeyd edək ki, fərq sütunlarında, ümumi təcrübədən sonra, funksiya dəyəri sütunundan aydın olan onluq yerləri vergüllə ayırmırıq.

Üçüncü dərəcəli fərqlər praktiki olaraq sabit olduğundan (3.11) düsturuna qoyuruq n = 3. Qəbul edərək X 0 = 3,50 Və saat 0 = 33,115, olacaq:

Nyutonun ilk interpolyasiya düsturu, fərq dəyərlərinin sayının az olduğu cədvəlin sonunda bir funksiyanın interpolyasiyası üçün əlverişsizdir. Bu halda Nyutonun ikinci interpolyasiya düsturu tətbiq edilir ki, biz onu indi nəzərdən keçirəcəyik.

Tələb olunan interpolyasiya polinomunu formada yazaq

Əvvəlki kimi, əmsallar A 0 , A 1 ,… An vəziyyətindən müəyyən edilir F(x i) = y i. Gəlin daxil edək (3.12) X = X n. Sonra a 0 = y n.

Eyni şəkildə, fərz edirik x = x n -1, alırıq y n -1 = y n+ a 1 (x n -1 - x n),

və o vaxtdan x n -1 - x n = - h, Bu

Son ifadənin payı aşağıdakı kimi göstərilə bilər:

yn –yn -1 – (yn -1 -yn-2)= Δ yn -1 -Δ yn -2 =Δ 2 yn -2.

Oxşar hesablamaları davam etdirərək əmsallar üçün ümumi düstur alırıq

Bütün əmsal dəyərlərini (3.12) əvəz etdikdən sonra bu düstur formasını alır

Bu Nyutonun ikinci interpolyasiya düsturudur. İstifadə rahatlığı üçün, birincisi kimi, nota daxil edilərək dəyişdirilir

= t və ya x= xn+ci.

İndi gəlin bunu vasitəsilə ifadə edək t (3.13) düsturu üzrə amillər:

……………………………………………..

Bu əvəzetməni etdikdən sonra nəhayət əldə edirik:

Misal. Cədvələ görə 1000-dən 10-a qədər olan ədədlər üçün yeddi rəqəmli loqarifmlərin 3.5 qiyməti 1044-cü jurnalı tapın.

Cədvəl 3.5

x	y	Δ y	Δ2 y	Δ3 y
	3,0000000 3,0043214 3,0086002 3,0128372 3,0170333 3,0211893		-426 -418 -409 -401

qəbul edək xn= 1050,yn= 3,0211893;Δ yn-1 = 0,0041560;

Δ2 yn -2 = - 0,0000401;Δ 3 y n-3 = 0.0000008. Sonra üçün x= 1044 alırıq

Həm birinci, həm də ikinci Nyuton interpolyasiya düsturları funksiyaları ekstrapolyasiya etmək, yəni arqumentlərin dəyərləri üçün funksiyaların dəyərlərini tapmaq üçün istifadə edilə bilər. X , masadan kənarda uzanır. Əgər dəyər x< x 0 və məna x yaxın x 0 , onda Nyutonun birinci interpolyasiya düsturundan istifadə etmək sərfəlidir və

Əgər x > x 0 Və x yaxın X P , onda Nyutonun ikinci interpolyasiya düsturundan istifadə etmək daha rahatdır və

Beləliklə, Nyutonun birinci interpolyasiya düsturundan adətən irəli interpolyasiya və geriyə ekstrapolyasiya üçün, Nyutonun ikinci interpolyasiya düsturu isə əksinə, geriyə interpolyasiya və irəli ekstrapolyasiya üçün istifadə olunur.

Misal. Masanın olması 3.6 dəyərlər və fərqlər, y = günah X: arasında dəyişir X= 15° əvvəl X = 55° artımlarla h= 5° , günahı tapın 14 ° və günah 56 ° .

Cədvəl 3.6

x(0 C)	y	Δ y	Δ2 y	Δ3 y
	0,2588 0,3420 0,4226 0,5000 0,5736 0,6428 0,7071 0,7660 0,8192	832 532	-26 -32 -38 -44 -49 -54 -57	-6 -6 -6 -5 -5 -3

Həll. Günahı hesablamaq üçün 14 0 qəbul edək x 0 = 15 0 Və x= 14 0 , buradan t = (14–15)/5 = – 0,2.

Burada biz geriyə doğru ekstrapolyasiya etməliyik, ona görə də Nyutonun ilk interpolyasiya düsturunu və bir sətirlə vurğulanmış sonlu fərqləri tətbiq edirik:

sin14 0 = 0,2588 + (– 0,2)0,0832+ (– 0,0026) +

+ (–0,0006) = 0,242.

Günahı tapmaq üçün56 0 qəbul edək xn= 55 0 Və x= 56 0 , buradan t= .

Nyutonun ikinci interpolyasiya düsturunu (3.14) tətbiq edərək və ikiqat altı çizilmiş fərqlərdən istifadə edərək, əldə edəcəyik:

günah56 0 = 0,8192+ 0,2·0,0532 + (- 0,0057)+ (- 0,0003)= 0,83.

Kifayət qədər geniş yayılmış interpolyasiya üsulu Nyuton üsuludur. Bu metod üçün interpolyasiya polinomu aşağıdakı formaya malikdir:

P n (x) = a 0 + a 1 (x-x 0) + a 2 (x-x 0)(x-x 1) + ... + a n (x-x 0)(x-x 1)...(x-x n-1).

Tapşırıq P n (x) polinomunun a i əmsallarını tapmaqdır. Əmsallar tənlikdən tapılır:

P n (x i) = y i , i = 0, 1, ..., n,

sistemi yazmağa imkan verir:

a 0 + a 1 (x 1 - x 0) = y 1 ;

a 0 + a 1 (x 2 - x 0) + a 2 (x 2 - x 0)(x 2 - x 1) = y 2 ;

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

a 0 +... + a n (x n - x 0)(x n - x 1) ... (x n - x n-1) = y n;

Sonlu fərq metodundan istifadə edirik. Əgər x i qovşaqları bərabər intervallarla verilir h, yəni.

x i+1 - x i = h,

onda ümumi halda x i = x 0 + i×h, burada i = 1, 2, ..., n. Sonuncu ifadə həll olunan tənliyi formaya endirməyə imkan verir

y 1 = a 0 + a 1 ×h;

y 2 = a 0 + a 1 (2h) + a 2 (2h)h;

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

y i = a 0 + a 1 ×i×h + a 2 ×i×h[(i-1)h] + ... + a i ×i!×h i ,

əmsalları haradan alırıq

burada Dу 0 birinci sonlu fərqdir.

Hesablamalara davam edərək, əldə edirik:

burada D 2 y 0 fərqlərin fərqi olan ikinci sonlu fərqdir. a i əmsalı aşağıdakı kimi təqdim edilə bilər:

a i əmsallarının tapılmış qiymətlərini P n (x) üçün qiymətlərə qoyaraq, Nyuton interpolyasiya polinomunu alırıq:

Düsturu çevirək, bunun üçün yeni dəyişən təqdim edirik, burada q x nöqtəsinə çatmaq üçün lazım olan addımların sayıdır, x 0 nöqtəsindən hərəkət edir. Transformasiyadan sonra əldə edirik:

Nəticə düstur Nyutonun ilk interpolyasiya düsturu və ya irəli interpolyasiya üçün Nyuton düsturu kimi tanınır. Ondan y = f(x) funksiyasını x – x 0 ilkin dəyərinin yaxınlığında interpolyasiya etmək üçün istifadə etmək sərfəlidir, burada q mütləq qiymətində kiçikdir.

İnterpolyasiya polinomunu aşağıdakı formada yazsaq:

onda oxşar şəkildə Nyutonun ikinci interpolyasiya düsturunu və ya Nyutonun “geriyə” interpolyasiyası üçün düsturunu əldə etmək olar:

Adətən cədvəlin sonuna yaxın bir funksiyanı interpolyasiya etmək üçün istifadə olunur.

Bu mövzunu öyrənərkən yadda saxlamaq lazımdır ki, interpolyasiya çoxhədliləri verilmiş f(x) funksiyası ilə interpolyasiya qovşaqlarında üst-üstə düşür, digər nöqtələrdə isə ümumi halda fərqli olacaqlar. Bu səhv bizə metodun səhvini verir. İnterpolyasiya metodunun xətası, Laqranj və Nyuton düsturları üçün eyni olan və mütləq xəta üçün aşağıdakı qiymətləndirməni əldə etməyə imkan verən qalıq termini ilə müəyyən edilir:

İnterpolyasiya eyni addımla aparılırsa, qalan müddət üçün düstur dəyişdirilir. Xüsusilə, Nyuton düsturundan istifadə edərək “irəli” və “geri” interpolyasiyası zamanı R(x) üçün ifadələr bir-birindən bir qədər fərqli olur.

Nəticə düsturunu təhlil etdikdə aydın olur ki, R(x) xətası sabitə qədər iki amilin hasilidir, bunlardan biri f (n+1) (x), burada x-in daxilində yerləşir. f(x) funksiyasının xassələri və tənzimlənə bilməz, lakin digərinin böyüklüyü,

yalnız interpolyasiya qovşaqlarının seçimi ilə müəyyən edilir.

Bu qovşaqların yeri uğursuz olarsa, modulun yuxarı sərhəddi |R(x)| olduqca böyük ola bilər. Buna görə də, problem interpolyasiya qovşaqlarının x i (müəyyən sayda n qovşaqları üçün) ən rasional seçimi ilə yaranır ki, P n+1 (x) polinomu ən kiçik qiymətə malik olsun.

2. Nyuton interpolyasiyası

Cədvəl funksiyası verilmişdir:

i
0
1
2
..	..	..
n

Koordinatları olan nöqtələrə nodal nöqtələr və ya qovşaqlar deyilir.

Cədvəl funksiyasındakı qovşaqların sayı N=n+1-dir.

Bu funksiyanın qiymətini ara nöqtədə tapmaq lazımdır, məsələn, , və . Problemi həll etmək üçün interpolyasiya polinomundan istifadə olunur.

Nyuton düsturuna görə interpolyasiya polinomu aşağıdakı formaya malikdir:

burada n polinomun dərəcəsidir,

Nyutonun interpolyasiya düsturu interpolyasiya polinomunu qovşaqlardan birindəki qiymət və qovşaqlarda qurulmuş funksiyanın bölünmüş fərqləri ilə ifadə etməyə imkan verir.

Birincisi, ayrılmış fərqlər haqqında lazımi məlumatları təqdim edirik.

Düyünlərə icazə verin

funksiyanın qiymətləri məlumdur. Fərz edək ki, , , nöqtələri arasında üst-üstə düşənlər yoxdur. Birinci dərəcəli bölünmüş fərqlərə münasibətlər deyilir

, ,.

Qonşu qovşaqlardan, yəni ifadələrdən ibarət bölünmüş fərqləri nəzərdən keçirəcəyik

Bu birinci dərəcəli ayrılmış fərqlərdən biz ikinci dərəcəli ayrılmış fərqlər qura bilərik:

,

,

Beləliklə, bir bölmə üzrə ci sıranın ayrılmış fərqi təkrarlanan düsturdan istifadə edərək inci sıranın ayrılmış fərqləri vasitəsilə müəyyən edilə bilər:

burada , , çoxhədlinin dərəcəsidir.

Maksimum dəyər . Onda bölmə üzrə n-ci sıranın bölünmüş fərqi bərabərdir

olanlar. bölmənin uzunluğuna bölünən ci sıranın bölünmüş fərqlərinin fərqinə bərabərdir.

Bölünmüş fərqlər

yaxşı müəyyən edilmiş ədədlərdir, buna görə də (1) ifadəsi həqiqətən ci dərəcəli cəbri polinomdur. Bundan əlavə, (1) polinomunda bütün bölünmüş fərqlər bölmələr üçün müəyyən edilir.

Bölünmüş fərqləri hesablayarkən, onları cədvəl şəklində yazmaq adətdir

■

-ci sıranın bölünmüş fərqi qovşaqlardakı funksiya dəyərləri baxımından aşağıdakı kimi ifadə edilir:

. (1)

Bu düstur induksiya ilə sübut edilə bilər. Bizə düsturun (1) xüsusi halına ehtiyacımız olacaq:

Nyutonun interpolyasiya çoxhədli çoxhədli adlanır

Nyuton polinomunun nəzərdən keçirilən forması Nyutonun birinci interpolyasiya düsturu adlanır və adətən cədvəlin əvvəlində interpolyasiya zamanı istifadə olunur.

Qeyd edək ki, Nyuton interpolyasiyası məsələsinin həlli Laqranj interpolyasiyası məsələsinin həlli ilə müqayisədə bəzi üstünlüklərə malikdir. Laqranj interpolyasiya polinomunun hər bir üzvü y i, i=0,1,…n cədvəl funksiyasının bütün qiymətlərindən asılıdır. Buna görə də, N düyün nöqtələrinin sayı və n çoxhədlinin dərəcəsi (n=N-1) dəyişdikdə, Laqranj interpolyasiya polinomunu yenidən qurmaq lazımdır. Nyuton polinomunda N düyün nöqtələrinin sayını və n çoxhədlinin dərəcəsini dəyişdirərkən yalnız Nyuton düsturuna (2) uyğun gələn standart şərtləri əlavə etmək və ya silmək lazımdır. Bu praktikada rahatdır və hesablama prosesini sürətləndirir.

Nyutonun düstur funksiyasının proqramlaşdırılması

(1) düsturundan istifadə etməklə Nyuton çoxhədlisini qurmaq üçün -ə uyğun olaraq dövri hesablama prosesi təşkil edirik. Bu halda, hər bir axtarış addımında biz k-ci sıranın ayrı-ayrı fərqlərini tapırıq. Hər addımda bölünmüş fərqləri Y massivinə yerləşdirəcəyik.

Sonra təkrarlanan düstur (3) belə görünəcək:

Nyuton düsturu (2) yalnız bölmələr üçün hesablanmış, ci sıranın ayrılmış fərqlərindən istifadə edir, yəni. üçün ci sıranın ayrılmış fərqləri. Bu ayrılmış k-ci sıra fərqlərini kimi işarə edək. Və üçün hesablanmış bölünmüş fərqlər daha yüksək dərəcəli bölünmüş fərqləri hesablamaq üçün istifadə olunur.

(4) istifadə edərək, (2) düsturunu yıxırıq. Nəticədə alırıq

(5)

– üçün cədvəl funksiyasının qiyməti (1).

– bölmə üçün ci sıranın bölünmüş fərqi.