Bəzi elementar funksiyaların törəmələri təqdimatı. Bəzi elementar funksiyaların törəmələri

Diferensiasiya qaydaları TEOREM 1. Cəmin, hasilin və hissənin diferensiallaşdırılması. Əgər f və g funksiyaları x nöqtəsində diferensiallanırsa, bu nöqtədə f + g, f g, f /g diferensiallanır (əgər g(x) 0 olarsa) və y = f g olsun. 1) (f(x) + g(x))" = f "(x) + g "(x); 2) (f(x) g(x))" = f "(x)g(x) + f(x)g "(x); Sübut. Xüsusiyyətin sübutunu verək 2. f = f (x + x) – f(x) f (x + x) = f(x) + f ; g = g (x + x) – g(x) g(x + x)= g(x)+ g. g "(x) f "(x) 0 at x 0 (Daimi olmayan diferensial funksiyaya görə.)

TEOREM 2. Mürəkkəb funksiyanın diferensiallaşdırılması y = f(u) funksiyası u 0, y 0 = f(u 0) nöqtəsində, u = (x) funksiyası isə x 0 nöqtəsində diferensiallana bilən olsun, u 0 = (x 0). Onda y = f ((x)) kompleks funksiyası x 0 və f " ((x 0)) = f " (u 0)· " (x 0) nöqtəsində diferensiallanır və ya QEYD: Törəmə hesablanması qaydası. Mürəkkəb bir funksiya istənilən sonlu sayda funksiyanın tərkibinə yayılır Məsələn: (f ((g(x)))" = f "((g(x))) "(g(x)) g"(. x nöqtəsində və C = const, sonra (C f(x))" = C f "(f(x)/C)" = f "(x)/C);

Misal 1. y = cosx, x R. (cosx) = (sin(/2 – x)) = cos(/2 – x)·(/2 – x) = – sinx. y = tgx, x /2 + k, k Z. 1 və 2-ci teoremlərdən istifadə edərək y = ctgx, x + k, k Z triqonometrik funksiyalarının törəmələrini tapırıq.

TEOREM 3. Tərs funksiyanın diferensiallaşdırılması. Əgər y = f(x) fasiləsiz və intervalda ciddi monotondursa və f "(x 0) törəməsinə malikdirsə, onda onun tərs funksiyası x = g(y) y 0 = f(x 0) nöqtəsində diferensiallaşır, və g "( y 0) = 1/ f "(x 0) x0x0 x 0 - x 0 + y0y0 x y x y y = f(x) x = g(y) y belə olsun ki, y 0 + y (,). x = g(y 0 + y) – g(y 0) işarəsi verək. x 0 +) üzərində [, ] tərs funksiyası müəyyən edilir, davamlı və ciddi şəkildə artan f(x 0) (, y 0, onda x 0, -nin ciddi monotonluğuna görə). Buna görə də, y 0 nöqtəsində x = g(y) kəsilməz olduğu üçün eyniliyi yazmaq hüququmuz var.

Nümunə 2. Tərs triqonometrik funksiyaların törəmələrini tapın

0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 " title=" Elementar funksiyaların törəmələri cədvəli 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2" class="link_thumb"> 8 !} Elementar funksiyaların törəmələri cədvəli 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 x, x π/2 + πn, n; 8)(ctg x) = - 1/ sin 2 x, x πn, n; 9)10) 11)12) 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 "> 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R (e x)´ = e x, x R 5)(sin x) = cos 2 x, x π/2 + πn, n ; - 1/ sin 2 x; , x πn, n ; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 " title=" Elementar funksiyaların törəmələri cədvəli 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2"> title="Elementar funksiyaların törəmələri cədvəli 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2"> !}

n-ci dərəcəli törəmə DEFINITION. F(x) U (x 0)-da müəyyən edilsin və bu intervalın hər bir nöqtəsində f (x) törəməsi olsun. Əgər x 0 nöqtəsində f (x)-in törəməsi varsa, bu nöqtədə f (x) funksiyasının ikinci törəməsi adlanır və istənilən n düzənli f (n) (x) törəməsi ilə işarələnir = 1, 2, ... Əgər U (x 0)-da f (n-1) (x) varsa (bu halda sıfır dərəcəli törəmə funksiyanın özü deməkdir), onda n = 1, 2, 3 , …. X çoxluğunun hər bir nöqtəsində n-ci sıra daxil olmaqla törəmələri olan funksiya X çoxluğunda n dəfə diferensiallanan funksiya adlanır.

f(x) və g(x) funksiyalarının x nöqtəsində n-ci dərəcəli törəmələri olsun. Onda A və V sabit olan Аf(x) + Вg(x) funksiyasının da x nöqtəsində törəməsi var və (Аf(x) + Вg(x)) (n) = Аf (n) ( x) + Вg (n)(x). İstənilən sıralı törəmələri hesablayarkən tez-tez aşağıdakı əsas düsturlardan istifadə olunur. y = x ; y (n) = (-1)... (- (n-1)) x - n. y = x -1, y = (-1)x -2, y = (-1)(-2) x -3 ... Xüsusilə, = m N olarsa, y = a x ; y (n) = a x (lna) n. y = a x lna, y = a x (lna) 2, y = a x (lna) 3, ... Xüsusilə (e x) (n) = e x. y " = ((x + a) - 1)" = - (x+a) - 2, y "" = 2 (x + a) - 3, y """ = (x + a) - 4, …

Y = ln(x+a); y (n) = (–1) n–1 (n–1)!(x+a) –n. y = (x +a) –1, y = – (x +a) –2, y = 2(x +a) –3, y (4) = – 2 3(x +a) – 4, … y = sin αx; y (n) = α n sin(αx+n· /2) y = α cos αx = α sin(αx+ /2), y = α 2 cos(αx+ /2) = α 2 sin(αx+2· / 2), y = α 3 cos(αx + 2· /2) = α 3 sin(αx+3· /2), … y = cos αx; y (n) = α n cos(αx+n· /2) y = – α sin αx = α cos(αx+ /2), y = – α 2 sin(αx+ /2) = α 2 cos(αx + 2) · /2), y = – α 3 sin(αx+2· /2) = α 3 cos(αx + 3· /2),...

İki funksiyanın hasilinin N-ci törəməsi (Leybniz düsturu) burada Bu düstur Leybniz düsturu adlanır. f(x) və g(x) funksiyalarının x nöqtəsində n-ci dərəcəli törəmələri olduğu formada yazmaq olar. İnduksiya ilə sübut edə bilərik ki, (f(x) g(x)) (n) =?
Misal 5. y = (x 2 +3x+5) sin x, y (13) = ? = sin(x +13π /2) (x 2 +3x+5) + 13 sin (x +12π /2) (2x+3) + 78 sin (x +11π /2) 2 = = cos x (x 2) +3x+5) + 13 sin x (2x+3) + 78 (- cos x) 2 = = (x 2 +3x -151) cos x + 13 (2x+3) sin x. F(x) = sin x, g(x) = (x 2 +3x+5) qoyaraq Leybniz düsturunu tətbiq edək. Sonra

Slayd 1

Funksiyanın törəməsi Törəmənin tərifi Törəmənin həndəsi mənası Davamlılıq və diferensiallıq arasında əlaqə Əsas elementar funksiyaların törəmələri Diferensiallaşma qaydaları Kompleks funksiyanın törəməsi Gizli funksiyanın törəməsi Loqarifmik diferensiallaşma

Slayd 2

Törəmənin tərifi y = f(x) funksiyası hansısa intervalda (a; b) müəyyən edilsin. x arqumentinə bir qədər artım verək: x f(x) x+Δx f(x+ Δx) Funksiyanın müvafiq artımını tapaq: Əgər limit varsa, o zaman y = f(x) funksiyasının törəməsi adlanır. və simvollardan biri ilə işarələnir:

Slayd 3

Törəmənin tərifi Beləliklə, tərifinə görə: (a; b) intervalının hər nöqtəsində törəməsi olan y = f(x) funksiyası bu intervalda diferensiallanan adlanır; funksiyanın törəməsinin tapılması əməliyyatına diferensiasiya deyilir. y = f(x) funksiyasının törəməsinin x0 nöqtəsindəki qiyməti simvollardan biri ilə işarələnir: Əgər y = f(x) funksiyası hər hansı fiziki prosesi təsvir edirsə, onda f '(x) funksiyasının sürətidir. bu proses - törəmənin fiziki mənası.

Slayd 4

Törəmənin həndəsi mənası Kesintisiz L əyrisi üzərində iki M və M1 nöqtəsini götürək: x f(x) x+Δx M M1 f(x+ Δx) M və M1 nöqtələrindən sekant çəkirik və maillik bucağını φ ilə işarə edirik. sekantın.

Slayd 5

Törəmənin həndəsi mənası f ’(x) törəməsi absisi x olan nöqtədə y = f(x) funksiyasının qrafikinə toxunan meylin mailliyinə bərabərdir. M tangens nöqtəsinin (x0; y0) koordinatları varsa, toxunanın mailliyi k = f ’(x0) olur. Yamaclı xəttin tənliyi: Tangens nöqtəsində tangensə perpendikulyar olan xətt əyrinin normalı adlanır. Tangens tənlik Normal tənlik

Slayd 6

Funksiyanın davamlılığı və diferensiallığı arasında əlaqə Əgər f(x) funksiyası müəyyən nöqtədə diferensiallana bilirsə, o zaman həmin nöqtədə davamlıdır. Teorem y = f(x) funksiyası hansısa x nöqtəsində diferensiallana bilsin, ona görə də hədd var: Sübut: burada at Funksiya, onun həddi və sonsuz kiçik funksiya arasındakı əlaqəyə dair teoremə əsasən, y = f funksiyası. (x) davamlıdır. Əksi doğru deyil: davamlı funksiyanın törəməsi olmaya bilər.

Slayd 7

Əsas elementar funksiyaların törəmələri 1 Nyutonun binom düsturu: Güc funksiyası: K – faktorial

Slayd 8

Əsas elementar funksiyaların törəmələri Nyuton binom düsturuna görə bizdə: Onda:

Slayd 9

Əsas elementar funksiyaların törəmələri 2 Loqarifmik funksiya: Digər əsas elementar funksiyaların diferensiallaşdırılması qaydaları oxşar şəkildə alınır.

Slayd 10

Diferensiasiya qaydaları U(x), v(x) və w(x) funksiyaları müəyyən (a; b) intervalında diferensiallanan funksiyalar olsun, C sabitdir.

Slayd 11

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi y = f(u) və u = φ(x) olsun, onda y = f(φ(x)) aralıq u arqumenti və müstəqil x arqumenti olan mürəkkəb funksiyadır. Teorem Bu qayda bir neçə aralıq arqument olduqda qüvvədə qalır:

Slayd 12

Slayd 13

TÖRƏVVƏ

Bələdiyyə təhsil müəssisəsi Srednesantimirskaya orta məktəbi

Riyaziyyat müəllimi tərəfindən tamamlandı

Singatullova G.Ş.

• Törəmənin tərifi.
• Törəmənin fiziki mənası.
• .

• Fərqləndirmənin əsas qaydaları.
• Mürəkkəb funksiyanın törəməsi.
• Törəmə mövzusu üzrə məsələlərin həlli nümunələri.

Törəmənin tərifi

y= funksiyası hansısa intervalda müəyyən edilsin (a, b) f(x). Bu intervaldan istənilən x 0 nöqtəsini götürək və x 0 nöqtəsindəki x arqumentinə ixtiyari ∆ x artımı verək ki, x 0 + ∆ x nöqtəsi bu intervala aid olsun. Funksiya artırılacaq

törəmə y= funksiyaları f(x) x =x 0 nöqtəsində arqumentin artımı sıfıra meyl etdikdə bu nöqtədə ∆y funksiyasının artımının ∆x arqumentinin artımına nisbətinin həddi deyilir.

Törəmənin həndəsi mənası

y= funksiyası olsun f(x) bəzi intervalda (a, b) müəyyən edilir. Sonra funksiyanın qrafikinə MR sekantının meyl bucağının tangensi.

Burada  tangens funksiyasının maillik bucağıdır f(x) nöqtəsində (x 0 , f(x 0)).

Əyrilər arasındakı bucaq istənilən nöqtədə bu əyrilərə çəkilmiş tangenslər arasındakı bucaq kimi müəyyən edilə bilər.

Bir əyriyə toxunan tənliyi:

Törəmənin fiziki mənası 1. Maddi hissəciyin hərəkət sürətinin təyini məsələsi

Nöqtə s= s(t) qanununa uyğun olaraq müəyyən xətt boyunca hərəkət etsin, burada s qət edilən məsafə, t vaxtdır və t 0 anında nöqtənin sürətini tapmaq lazımdır.

t 0 zaman anına görə qət edilən məsafə s 0 = s(t 0), anında isə (t 0 + ∆t) - yol s 0 + ∆s=s(t 0 + ∆t) bərabərdir. ).

Sonra ∆t intervalında orta sürət olacaqdır

∆t nə qədər kiçik olsa, orta sürət t 0 anında nöqtənin hərəkətini bir o qədər yaxşı xarakterizə edir. Buna görə də, altında t zamanı nöqtənin sürəti 0 t 0-dan t 0 +∆t-ə qədər olan dövr üçün orta sürətin həddi kimi başa düşülməlidir, ∆t⇾0 olduqda, yəni.

2. KİMYƏNİ MADDƏNİN DƏRƏFƏSİ HAQQINDA PROBLEM REAKSİYALAR

Bəzi maddənin kimyəvi reaksiyaya girməsinə icazə verin. Bu maddənin Q miqdarı reaksiya zamanı t zamanından asılı olaraq dəyişir və zamanın funksiyasıdır. Maddənin miqdarı ∆t vaxtı ərzində ∆Q dəyişsin, onda əmsal ∆t vaxtı ərzində kimyəvi reaksiyanın orta sürətini və bu nisbətin həddini ifadə edəcək.

Kimyəvi reaksiyanın cari sürəti

vaxt t.

3. TASK RADİOAKTİV PÖRÜŞMƏ SÜRƏTİNİN MƏYYƏNLƏRİ

Əgər m radioaktiv maddənin kütləsi, t isə zamandırsa, radioaktiv maddənin kütləsinin zamanla azalması şərti ilə t zamanında radioaktiv parçalanma hadisəsi m = m(t) funksiyası ilə xarakterizə olunur.

∆t zamanla orta çürümə sürəti nisbətlə ifadə edilir

və t zamanında ani çürümə sürəti

Törəmənin hesablanması ALQORİTMİ

y= f(x) funksiyasının törəməsini aşağıdakı sxemdən istifadə etməklə tapmaq olar:

1. X arqumentinə ∆x≠0 artım verək və y+∆y= f(x+∆x) funksiyasının artan qiymətini tapaq.

2. ∆y= f(x+∆x) - f(x) funksiyasının artımını tapın.

3. Münasibət yaradın

4. Bu nisbətin həddini ∆x⇾0-da tapın, yəni.

(əgər bu məhdudiyyət varsa).

Fərqləndirmənin əsas qaydaları

Qoy u=u(x) Və v=v(x) – x nöqtəsində diferensiallana bilən funksiyalar.

1) (u  v)  = u   v 

2) (uv)  = u  v +uv 

(cu)  =cu 

3) , Əgər v  0

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi

Teorem. Əgər funksiya x nöqtəsində diferensiallana bilirsə və funksiya

müvafiq nöqtədə diferensiallanır, onda kompleks funksiya x nöqtəsində diferensiallanır və:

olanlar. mürəkkəb funksiyanın törəməsi aralıq arqumentə görə funksiyanın törəməsinin x-ə görə aralıq arqumentinin hasilinə bərabərdir.

Tapşırıq 1.

Problem 2 .

Problem 3 .

Problem 4 .

Problem 5 .

Problem 6 .

Problem 7 .

Problem 8 .

Oxşar sənədlər

İki dəyişənli funksiyanın anlayışı, limiti və davamlılığı. Birinci dərəcəli qismən törəmələr, ümumi diferensialın tapılması. Daha yüksək dərəcəli qismən törəmələr və bir neçə dəyişənli funksiyanın ekstremumları. Ekstremumun mövcudluğu üçün zəruri şərtlər.

test, 02/02/2014 əlavə edildi


Bucaqlar və onların ölçülməsi. Bucaqlar və ədədlər seriyası arasında uyğunluq. Triqonometrik funksiyaların həndəsi mənası. Triqonometrik funksiyaların xassələri. Əsas triqonometrik eynilik və ondan gələn nəticələr. Universal triqonometrik əvəzetmə.

tutorial, 04/18/2012 əlavə edildi


"Törəmə" anlayışının mahiyyəti. Cismin hərəkətini təsvir edən funksiyanın ikinci törəməsi kimi sürətlənmə. Zamanın bir anında nöqtənin ani sürətinin təyin edilməsi məsələsinin həlli. Reaksiyalarda törəmə, onun rolu və yeri. Düsturun ümumi görünüşü.

təqdimat, 22/12/2013 əlavə edildi


Bucaqlar və onların ölçülməsi, iti bucağın triqonometrik funksiyaları. Triqonometrik funksiyaların xassələri və əlamətləri. Cüt və tək funksiyalar. Tərs triqonometrik funksiyalar. Düsturlardan istifadə etməklə sadə triqonometrik tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli.

tutorial, 30/12/2009 əlavə edildi


Nyuton polinomundan istifadə edərək interpolasiyanın aparılması. Üç təkrarlamada verilmiş intervalda kökün qiymətinin dəqiqləşdirilməsi və hesablama xətasının tapılması. Məsələnin həllində Nyuton, Sampson və Eyler üsullarının tətbiqi. Funksiya törəməsinin hesablanması.

test, 06/02/2011 əlavə edildi


Törəmə anlayışı, onun həndəsi və fiziki mənası, diferensial. Funksiyaların tədqiqi və qrafiklərin qurulması. Faktorlara ayırma, ifadələrin sadələşdirilməsi. Bərabərsizliklərin həlli, tənliklər sistemləri və eyniliklərin sübutu. Funksiya limitlərinin hesablanması.

test, 11/16/2010 əlavə edildi


Funksiyanın törəməsinin tərifi, onun artımının həndəsi mənası. Verilmiş əlaqənin həndəsi mənası. Verilmiş nöqtədə funksiyanın törəməsinin fiziki mənası. Verilmiş nisbətin meyl etdiyi ədəd. Törəmə hesablamalarının nümunələrinin təhlili.

təqdimat, 12/18/2014 əlavə edildi


Elementar funksiyaların törəmələri cədvəlinə baxış. Aralıq arqument anlayışı. Mürəkkəb funksiyaların diferensiallaşdırılması qaydaları. Nöqtənin trayektoriyasını onun oxlar üzrə proyeksiyalarının dəyişməsi şəklində təsvir etmək üsulu. Parametrli təyin olunmuş funksiyanın diferensiallaşdırılması.

test, 08/11/2009 əlavə edildi


Antik dövrdən bu günə qədər triqonometriyanın bir elm kimi formalaşmasının tarixi icmalı. Cəbr dərslərində triqonometrik funksiyalar anlayışının tətbiqi və dərsliklərdən istifadə edərək təhlilin başlanğıcı A.G. Mordkoviç, M.I. Başmaqova. Xətti diferensial tənliklərin həlli.

dissertasiya, 07/02/2011 əlavə edildi


Triqonometriyanın bir elm kimi formalaşmasının tarixi icmalı. Triqonometrik funksiyalar anlayışını təqdim etməyin müxtəlif yolları. M.İ. tərəfindən məktəb dərsliklərinin təhlili. Başmaqov və A.G. Mordkoviç bu mövzuda. Materialdan tədris üçün istifadə perspektivləri.