Törəmələrin hesablanması qaydaları. Kompleks funksiya

Funksiyalar mürəkkəb tip“Mürəkkəb funksiya” ifadəsini işlətmək tamamilə düzgün deyil. Məsələn, çox təsir edici görünür, lakin fərqli olaraq bu funksiya mürəkkəb deyil.

Bu yazıda konsepsiyanı başa düşəcəyik mürəkkəb funksiya, biz onu elementar funksiyaların bir hissəsi kimi müəyyən etməyi öyrənəcəyik, onun törəməsini tapmaq üçün düstur verəcəyik və tipik nümunələrin həllini ətraflı nəzərdən keçirəcəyik.

Nümunələri həll edərkən, biz daim törəmələr cədvəlindən və fərqləndirmə qaydalarından istifadə edəcəyik, buna görə də onları gözünüzün qarşısında saxlayın.

Kompleks funksiya arqumenti də funksiya olan funksiyadır.

Fikrimizcə, bu tərif ən başa düşüləndir. Şərti olaraq onu f(g(x)) kimi işarələmək olar. Yəni g(x) f(g(x)) funksiyasının arqumenti kimidir.

Məsələn, f arktangent funksiyası və g(x) = lnx natural loqarifm funksiyası olsun, onda f(g(x)) kompleks funksiyası arctan(lnx) olsun. Başqa bir misal: f dördüncü dərəcəyə yüksəltmə funksiyasıdır və tam rasional funksiyadır (bax), onda .

Öz növbəsində g(x) də mürəkkəb funksiya ola bilər. Misal üçün, . Şərti olaraq belə bir ifadə kimi işarələnə bilər . Burada f sinus funksiyası, kvadrat kök funksiyası, - kəsr rasional funksiyası. Funksiyaların yuvalanma dərəcəsinin istənilən sonlu ola biləcəyini güman etmək məntiqlidir natural ədəd.

Siz tez-tez adlı mürəkkəb funksiyanı eşidə bilərsiniz funksiyaların tərkibi.

Mürəkkəb funksiyanın törəməsinin tapılması düsturu.

Misal.

Mürəkkəb funksiyanın törəməsini tapın.

Həll.

Bu misalda f kvadratlaşdırma funksiyası və g(x) = 2x+1 xətti funksiyadır.

Mürəkkəb funksiya törəmə düsturundan istifadə edərək ətraflı həll yolu budur:

Əvvəlcə orijinal funksiyanın formasını sadələşdirərək bu törəməni tapaq.

Beləliklə,

Gördüyünüz kimi nəticələr eynidir.

Hansı funksiyanın f və hansının g(x) funksiyasını qarışdırmamağa çalışın.

Diqqətinizi göstərmək üçün bunu bir misalla izah edək.

Misal.

Mürəkkəb funksiyaların törəmələrini tapın və .

Həll.

Birinci halda, f kvadratlaşdırma funksiyası və g(x) sinus funksiyasıdır
.

İkinci halda, f sinus funksiyasıdır və güc funksiyasıdır. Buna görə də, mürəkkəb bir funksiyanın məhsulu üçün düsturla əldə edirik

Funksiya üçün törəmə formulun forması var

Misal.

Fərqləndirmə funksiyası .

Həll.

Bu nümunədə mürəkkəb funksiya şərti olaraq belə yazıla bilər , burada müvafiq olaraq sinus funksiyası, üçüncü dərəcə funksiyası, əsas e loqarifm funksiyası, arktangens funksiyası və xətti funksiyadır.

Mürəkkəb funksiyanın törəməsinin düsturuna görə

İndi tapırıq

Əldə edilən ara nəticələri bir araya gətirək:

Qorxulu bir şey yoxdur, yuva quran kuklalar kimi mürəkkəb funksiyaları təhlil edin.

Bu məqalənin sonu ola bilərdi, əgər bir şey olmasaydı...

Diferensiasiya qaydalarının və törəmələr cədvəlinin nə vaxt tətbiq olunacağını və mürəkkəb funksiyanın törəməsi üçün düsturun nə vaxt tətbiq olunacağını dəqiq başa düşmək məsləhətdir..

İNDİ ÇOX DİQQƏTLİ OLUN. Mürəkkəb funksiyalarla mürəkkəb funksiyalar arasındakı fərqdən danışacağıq. Törəmələri tapmaqda uğurunuz bu fərqi nə qədər gördüyünüzdən asılı olacaq.

Sadə nümunələrlə başlayaq. Funksiya kompleks hesab edilə bilər: g(x) = tanx , . Buna görə də mürəkkəb funksiyanın törəməsi üçün düsturu dərhal tətbiq edə bilərsiniz

Və burada funksiya var Artıq onu kompleks adlandırmaq olmaz.

Bu funksiya 3tgx və 1 olmaqla üç funksiyanın cəmidir. Baxmayaraq ki, - mürəkkəb funksiyadır: - güc funksiyası (kvadrat parabola), f isə toxunan funksiyadır. Beləliklə, əvvəlcə cəmi diferensiallaşdırma düsturunu tətbiq edirik:

Kompleks funksiyanın törəməsini tapmaq qalır:

Buna görə də .

Ümid edirik ki, mahiyyəti başa düşəcəksiniz.

Daha geniş şəkildə baxsaq, kompleks tipli funksiyaların mürəkkəb funksiyaların, mürəkkəb funksiyaların isə mürəkkəb tipli funksiyaların tərkib hissəsi ola biləcəyini iddia etmək olar.

Nümunə olaraq, funksiyanı onun komponent hissələrinə təhlil edək .

Birincisi, bu kimi təmsil oluna bilən mürəkkəb funksiyadır, burada f əsas 3 loqarifm funksiyası və g(x) iki funksiyanın cəmidir Və . Yəni, .

İkincisi, h(x) funksiyası ilə məşğul olaq. ilə əlaqəni təmsil edir .

Bu iki funksiyanın cəmidir və , Harada - ədədi əmsalı 3 olan mürəkkəb funksiya. - kub funksiyası, - kosinus funksiyası, - xətti funksiya.

Bu, iki funksiyanın cəmidir və burada - mürəkkəb funksiya, - eksponensial funksiya, - güc funksiyası.

Beləliklə, .

üçüncü, mürəkkəb funksiyanın məhsulu olan gedin və bütün rasional funksiya

Kvadratlaşdırma funksiyası e bazası üçün loqarifm funksiyasıdır.

Beləliklə, .

Ümumiləşdirək:

İndi funksiyanın strukturu aydındır və onu diferensiallaşdırarkən hansı düsturların və hansı ardıcıllıqla tətbiq olunacağı bəlli olub.

Funksiyanı diferensiallaşdırmaq (törəmə tapmaq) bölməsində siz oxşar məsələlərin həlli ilə tanış ola bilərsiniz.

Mürəkkəb tipli funksiyalar həmişə mürəkkəb funksiyanın tərifinə uyğun gəlmir. Əgər y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 formasının funksiyası varsa, y = sin 2 x-dən fərqli olaraq onu mürəkkəb hesab etmək olmaz.

Bu məqalədə kompleks funksiya anlayışı və onun identifikasiyası göstəriləcək. Nəticədə həll nümunələri ilə törəməni tapmaq üçün düsturlarla işləyək. Törəmə cədvəlindən və diferensiasiya qaydalarından istifadə törəmənin tapılması vaxtını əhəmiyyətli dərəcədə azaldır.

Əsas təriflər

Tərif 1

Mürəkkəb funksiya arqumenti də funksiya olan funksiyadır.

Bu şəkildə işarələnir: f (g (x)). Bizdə var ki, g (x) funksiyası f (g (x)) arqumenti hesab olunur.

Tərif 2

Əgər f funksiyası varsa və o kotangent funksiyadırsa, g(x) = ln x natural loqarifm funksiyasıdır. F (g (x)) mürəkkəb funksiyasının arctg(lnx) kimi yazılacağını tapırıq. Və ya g (x) = x 2 + 2 x - 3 tam ədəd hesab edilən 4-cü dərəcəyə qaldırılmış funksiya olan f funksiyası rasional funksiya, tapırıq ki, f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Aydındır ki, g(x) mürəkkəb ola bilər. y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 misalından aydın olur ki, g-nin qiyməti kəsrin kub kökünə malikdir. Bu ifadə y = f (f 1 (f 2 (x))) kimi işarələnə bilər. Əldə etdiyimiz yerdən f sinus funksiyasıdır və f 1 kvadrat kökün altında yerləşən funksiyadır, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 kəsr rasional funksiyadır.

Tərif 3

Yuvalanma dərəcəsi istənilən natural ədədlə müəyyən edilir və y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... f n (x)))))) kimi yazılır.

Tərif 4

Funksiya tərkibi anlayışı məsələnin şərtlərinə uyğun olaraq yuvalanmış funksiyaların sayına aiddir. Həll etmək üçün formanın mürəkkəb funksiyasının törəməsini tapmaq üçün düsturdan istifadə edin

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Nümunələr

Misal 1

y = (2 x + 1) 2 şəklində olan mürəkkəb funksiyanın törəməsini tapın.

Həll

Şərt göstərir ki, f kvadrat funksiyadır, g(x) = 2 x + 1 isə xətti funksiya hesab olunur.

Mürəkkəb funksiya üçün törəmə düsturunu tətbiq edək və yazaq:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x)))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Funksiyanın sadələşdirilmiş orijinal forması olan törəməni tapmaq lazımdır. Biz əldə edirik:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Buradan bizdə bu var

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Nəticələr eyni idi.

Bu tipli məsələləri həll edərkən f və g (x) formasının funksiyasının harada yerləşəcəyini anlamaq vacibdir.

Misal 2

y = sin 2 x və y = sin x 2 formasının mürəkkəb funksiyalarının törəmələrini tapmalısınız.

Həll

Birinci funksiya qeydində deyilir ki, f kvadratlaşdırma funksiyası və g(x) sinus funksiyasıdır. Sonra bunu anlayırıq

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

İkinci qeyd göstərir ki, f sinus funksiyasıdır, g(x) = x 2 isə güc funksiyasını bildirir. Buradan belə çıxır ki, mürəkkəb funksiyanın hasilini kimi yazırıq

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x))))) üçün düstur y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (.)) kimi yazılacaq. . ( f n (x))) · f 1 " (f 3 (... (f n (x))) · · f 2 " (f . . (f n (x)) ))) . . . fn "(x)

Misal 3

y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) funksiyasının törəməsini tapın.

Həll

Bu nümunə funksiyaların yazılmasının və yerini təyin etməyin çətinliyini göstərir. Onda y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) işarə edir ki, burada f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) sinus funksiyası, yüksəltmə funksiyasıdır. 3 dərəcə, loqarifm və əsas e olan funksiya, arktangent və xətti funksiya.

Mürəkkəb funksiyanı təyin etmək üçün düsturdan biz bunu əldə edirik

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Biz tapmaq üçün lazım olanı alırıq

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) törəmələr cədvəlinə görə sinusun törəməsi kimi, sonra f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4)) x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x))) güc funksiyasının törəməsi kimi, sonra f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) loqarifmik törəmə kimi, sonra f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) arktangensin törəməsi kimi, sonra f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. f 4 (x) = 2 x törəməsini taparkən, eksponenti 1-ə bərabər olan güc funksiyasının törəməsi üçün düsturdan istifadə edərək törəmənin işarəsindən 2-ni çıxarın, sonra f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Aralıq nəticələri birləşdiririk və bunu əldə edirik

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Belə funksiyaların təhlili yuva quran kuklaları xatırladır. Fərqləndirmə qaydaları həmişə törəmə cədvəlindən istifadə etməklə açıq şəkildə tətbiq edilə bilməz. Çox vaxt mürəkkəb funksiyaların törəmələrini tapmaq üçün düsturdan istifadə etmək lazımdır.

Mürəkkəb görünüş və mürəkkəb funksiyalar arasında bəzi fərqlər var. Bunu ayırd etmək üçün aydın bir qabiliyyətlə törəmələri tapmaq xüsusilə asan olacaq.

Misal 4

Belə bir nümunə verməyi düşünmək lazımdır. Əgər y = t g 2 x + 3 t g x + 1 formasının funksiyası varsa, o zaman onu g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 formasının mürəkkəb funksiyası hesab etmək olar. . Aydındır ki, mürəkkəb törəmə üçün düsturdan istifadə etmək lazımdır:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 q (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 q (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

y = t g x 2 + 3 t g x + 1 formalı funksiya t g x 2, 3 t g x və 1-in cəminə malik olduğundan mürəkkəb hesab edilmir. Bununla belə, t g x 2 mürəkkəb funksiya hesab olunur, onda g (x) = x 2 və tangens funksiyası olan f formalı güc funksiyasını alırıq. Bunun üçün məbləğə görə fərqləndirin. Bunu anlayırıq

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

Mürəkkəb funksiyanın törəməsinin tapılmasına keçək (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Alırıq ki, y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Mürəkkəb tipli funksiyalar mürəkkəb funksiyalara, mürəkkəb funksiyaların özü isə mürəkkəb tipli funksiyaların tərkib hissəsi ola bilər.

Misal 5

Məsələn, y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) formasının mürəkkəb funksiyasını nəzərdən keçirək.

Bu funksiya y = f (g (x)) şəklində göstərilə bilər, burada f-in qiyməti 3 əsas loqarifmin funksiyasıdır və g (x) h (x) = formasının iki funksiyasının cəmi hesab olunur. x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 və k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) . Aydındır ki, y = f (h (x) + k (x)).

h(x) funksiyasını nəzərdən keçirək. Bu, l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7-nin m (x) = e x 2 + 3 3 nisbətidir.

Bizdə var ki, l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) iki n (x) = x 2 + 7 və p ( funksiyalarının cəmidir. x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , burada p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) ədədi əmsalı 3 olan mürəkkəb funksiyadır və p 1 kub funksiyasıdır, p 2 kosinus funksiyası ilə, p 3 (x) = 2 x + 1 xətti funksiya ilə.

Biz tapdıq ki, m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) q (x) = e x 2 və r (x) = 3 3 funksiyalarının cəmidir, burada q (x) = q 1 (q 2 (x)) mürəkkəb funksiyadır, q 1 eksponensiallı funksiyadır, q 2 (x) = x 2 güc funksiyasıdır.

Bu onu göstərir ki, h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) formasının ifadəsinə keçərkən aydın olur ki, funksiya s ( kompleksi şəklində təqdim olunur. x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) rasional tam ədədi ilə t (x) = x 2 + 1, burada s 1 kvadratlaşdırma funksiyasıdır, s 2 (x) = ln x isə loqarifmikdir. əsas e.

Buradan belə nəticə çıxır ki, ifadə k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) formasını alacaq.

Sonra bunu anlayırıq

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3) x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Funksiya strukturlarına əsaslanaraq, ifadəni diferensiallaşdırmaq üçün onu necə və hansı düsturlardan istifadə etmək lazım olduğu aydın oldu. Belə məsələlərlə və onların həlli konsepsiyası ilə tanış olmaq üçün funksiyanın diferensiallaşdırılması, yəni onun törəməsinin tapılması nöqtəsinə keçmək lazımdır.

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Törəmə tapma əməliyyatına diferensiasiya deyilir.

Artımın arqumentin artımına nisbətinin həddi kimi törəməni təyin etməklə ən sadə (və çox sadə olmayan) funksiyaların törəmələrinin tapılması problemlərinin həlli nəticəsində törəmələr cədvəli və dəqiq müəyyən edilmiş diferensiallaşdırma qaydaları meydana çıxdı. . Törəmələrin tapılması sahəsində ilk iş görənlər İsaak Nyuton (1643-1727) və Qotfrid Vilhelm Leybnizdir (1646-1716).

Odur ki, bizim dövrümüzdə hər hansı funksiyanın törəməsini tapmaq üçün funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinin yuxarıda qeyd olunan həddini hesablamağa ehtiyac yoxdur, sadəcə olaraq, cədvəldən istifadə etmək kifayətdir. törəmələr və diferensiallaşma qaydaları. Törəmə tapmaq üçün aşağıdakı alqoritm uyğundur.

Törəmə tapmaq üçün, əsas işarənin altında bir ifadə lazımdır sadə funksiyaları komponentlərə ayırın və hansı hərəkətləri müəyyənləşdirin (məhsul, cəmi, əmsal) bu funksiyalar əlaqəlidir. Sonra, elementar funksiyaların törəmələrini törəmələr cədvəlində, hasil, cəmi və hissənin törəmələri üçün düsturları isə diferensiasiya qaydalarında tapırıq. Törəmə cədvəli və fərqləndirmə qaydaları ilk iki nümunədən sonra verilmişdir.

Misal 1. Funksiyanın törəməsini tapın

Həll. Diferensiasiya qaydalarından məlum olur ki, funksiyaların cəminin törəməsi funksiyaların törəmələrinin cəmidir, yəni.

Törəmələr cədvəlindən məlum olur ki, "x"-in törəməsi birə, sinusun törəməsi isə kosinusa bərabərdir. Bu dəyərləri törəmələrin cəmində əvəz edirik və problemin şərti ilə tələb olunan törəməni tapırıq:

Misal 2. Funksiyanın törəməsini tapın

Həll. Törəmə işarəsindən çıxarıla bilən ikinci terminin sabit əmsalı olduğu cəminin törəməsi kimi fərqləndiririk:

Əgər hələ də bir şeyin haradan gəldiyi ilə bağlı suallar yaranarsa, onlar adətən törəmələr cədvəli və ən sadə fərqləndirmə qaydaları ilə tanış olduqdan sonra aydınlaşdırılır. Biz hazırda onlara gedirik.

Sadə funksiyaların törəmələri cədvəli

1. Sabitin (ədədin) törəməsi. Funksiya ifadəsində olan istənilən ədəd (1, 2, 5, 200...). Həmişə sıfıra bərabərdir. Bunu xatırlamaq çox vacibdir, çünki çox vaxt tələb olunur
2. Müstəqil dəyişənin törəməsi. Çox vaxt "X". Həmişə birə bərabərdir. Bunu uzun müddət xatırlamaq da vacibdir
3. Dərəcənin törəməsi. Problemləri həll edərkən kvadrat olmayan kökləri güclərə çevirmək lazımdır.
4. Dəyişənin -1 gücünə törəməsi
5. Kvadrat kökün törəməsi
6. Sinusun törəməsi
7. Kosinusun törəməsi
8. Tangensin törəməsi
9. Kotangensin törəməsi
10. Arksinusun törəməsi
11. Arkkosinin törəməsi
12. Arktangensin törəməsi
13. Qövs kotangensinin törəməsi
14. Natural loqarifmin törəməsi
15. Loqarifmik funksiyanın törəməsi
16. Göstəricinin törəməsi
17. Eksponensial funksiyanın törəməsi

Fərqləndirmə qaydaları

1. Cəmin və ya fərqin törəməsi
2. Məhsulun törəməsi
2a. Sabit əmsala vurulan ifadənin törəməsi
3. Bölmənin törəməsi
4. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi

Qayda 1.Əgər funksiyaları

müəyyən nöqtədə diferensiallanır, sonra funksiyalar eyni nöqtədə diferensiallanır

və

olanlar. funksiyaların cəbri cəminin törəməsi bu funksiyaların törəmələrinin cəbri cəminə bərabərdir.

Nəticə. İki diferensiallanan funksiya sabit bir həddi ilə fərqlənirsə, onların törəmələri bərabərdir, yəni.

Qayda 2.Əgər funksiyaları

müəyyən nöqtədə diferensiallana bilirlər, sonra onların məhsulu eyni nöqtədə diferensiallana bilir

və

olanlar. İki funksiyanın hasilinin törəməsi bu funksiyaların hər birinin hasilinin və digərinin törəməsinin cəminə bərabərdir.

Nəticə 1. Daimi amili törəmənin işarəsindən çıxarmaq olar:

Nəticə 2. Bir neçə diferensiallanan funksiyanın hasilinin törəməsi hər bir amilin və bütün digərlərinin törəməsinin hasillərinin cəminə bərabərdir.

Məsələn, üç çarpan üçün:

Qayda 3.Əgər funksiyaları

müəyyən nöqtədə fərqlənə bilər Və , onda bu nöqtədə onların nisbəti də diferensiallaşıru/v , və

olanlar. iki funksiyanın bölgüsünün törəməsi kəsrə bərabərdir ki, onun payı məxrəcin hasilləri ilə payın törəməsi və payın və məxrəcin törəməsi arasındakı fərqdir, məxrəc isə onun kvadratıdır. keçmiş say.

Başqa səhifələrdə şeyləri harada axtarmaq lazımdır

Həqiqi məsələlərdə məhsulun törəməsini və nisbətini taparkən həmişə eyni vaxtda bir neçə fərqləndirmə qaydasını tətbiq etmək lazımdır, ona görə də məqalədə bu törəmələrə dair daha çox nümunə var."Funksiyaların hasilinin və əmsalının törəməsi".

Şərh. Sabiti (yəni rəqəmi) cəmdəki terminlə sabit faktor kimi qarışdırmamalısınız! Termin halında onun törəməsi sıfıra bərabərdir, sabit əmsalda isə törəmələrin işarəsindən çıxarılır. Bu tipik səhv, baş verən ilkin mərhələ törəmələri öyrənir, lakin onlar bir və iki hissədən ibarət bir neçə nümunəni həll etdikləri üçün orta tələbə artıq bu səhvi etmir.

Bir məhsulu və ya əmsalı fərqləndirərkən bir termininiz varsa u"v, hansında u- bir ədəd, məsələn, 2 və ya 5, yəni sabit, onda bu ədədin törəməsi sıfıra bərabər olacaq və buna görə də bütün müddət sıfıra bərabər olacaqdır (bu hal 10-cu misalda müzakirə olunur).

Başqa bir ümumi səhv mürəkkəb funksiyanın törəməsinin sadə funksiyanın törəməsi kimi mexaniki yolla həll edilməsidir. Buna görə də mürəkkəb funksiyanın törəməsi ayrıca məqalə həsr olunub. Ancaq əvvəlcə törəmələri tapmağı öyrənəcəyik sadə funksiyalar.

Yolda, ifadələri dəyişdirmədən edə bilməzsiniz. Bunu etmək üçün təlimatı yeni pəncərələrdə açmalı ola bilərsiniz. Gücləri və kökləri olan hərəkətlər Və Kəsrlərlə əməliyyatlar .

Güclü və köklü kəsrlərin törəmələrinin həlli yollarını axtarırsınızsa, yəni funksiya belə göründüyü zaman , sonra “Kəsrlərin cəmlərinin hədləri və kökləri olan törəməsi” dərsini izləyin.

kimi bir vəzifəniz varsa , sonra “Sadə triqonometrik funksiyaların törəmələri” dərsini keçəcəksiniz.

Addım-addım nümunələr - törəməni necə tapmaq olar

Misal 3. Funksiyanın törəməsini tapın

Həll. Funksiya ifadəsinin hissələrini müəyyənləşdiririk: bütün ifadə məhsulu təmsil edir və onun amilləri cəmidir, ikincisində isə şərtlərdən biri sabit amildən ibarətdir. Məhsulun fərqləndirmə qaydasını tətbiq edirik: iki funksiyanın hasilinin törəməsi bu funksiyaların hər birinin digərinin törəməsi ilə hasillərinin cəminə bərabərdir:

Daha sonra biz cəmi diferensiallaşdırma qaydasını tətbiq edirik: funksiyaların cəbri cəminin törəməsi bu funksiyaların törəmələrinin cəbri cəminə bərabərdir. Bizim vəziyyətimizdə hər cəmdə ikinci hədd mənfi işarəyə malikdir. Hər bir cəmdə həm törəməsi birə bərabər olan müstəqil dəyişən, həm də törəməsi sıfıra bərabər olan sabit (ədəd) görürük. Beləliklə, “X” birinə, mənfi 5 isə sıfıra çevrilir. İkinci ifadədə "x" 2-yə vurulur, ona görə də ikisini "x"-in törəməsi ilə eyni vahidə vururuq. Aşağıdakı törəmə dəyərləri əldə edirik:

Tapılmış törəmələri hasillərin cəmində əvəz edirik və problemin şərti ilə tələb olunan bütün funksiyanın törəməsini alırıq:

Törəmə probleminin həllini burada yoxlaya bilərsiniz.

Misal 4. Funksiyanın törəməsini tapın

Həll. Bizdən hissənin törəməsini tapmaq tələb olunur. Hissənin diferensiallaşdırılması düsturunu tətbiq edirik: iki funksiyanın bölünməsinin törəməsi kəsrə bərabərdir, onun payı məxrəcin hasilləri ilə payın və payın törəməsi və törəməsi arasındakı fərqdir. məxrəc, məxrəc isə əvvəlki payın kvadratıdır. Biz əldə edirik:

Artıq 2-ci misalda payda olan amillərin törəməsini tapmışıq. Onu da unutmayaq ki, indiki misaldakı payda ikinci amil olan hasil mənfi işarə ilə alınır:

Əgər siz köklərin və güclərin davamlı yığınının olduğu funksiyanın törəməsini tapmağınız lazım olan problemlərin həlli yollarını axtarırsınızsa, məsələn, , sonra sinifə xoş gəldiniz "Kəsrlərin gücü və kökləri olan cəminin törəməsi" .

Sinusların, kosinusların, tangenslərin və başqalarının törəmələri haqqında daha çox öyrənmək lazımdırsa triqonometrik funksiyalar, yəni funksiyanın göründüyü zaman , onda sizin üçün bir dərs "Sadə triqonometrik funksiyaların törəmələri" .

Misal 5. Funksiyanın törəməsini tapın

Həll. Bu funksiyada faktorlarından biri müstəqil dəyişənin kvadrat kökü olan hasil görürük, törəməsi ilə törəmələr cədvəlində tanış olduq. Məhsulu və kvadrat kökün törəməsinin cədvəl dəyərini fərqləndirmək qaydasından istifadə edərək əldə edirik:

Törəmə probleminin həllini burada yoxlaya bilərsiniz onlayn törəmələrin kalkulyatoru .

Misal 6. Funksiyanın törəməsini tapın

Həll. Bu funksiyada dividend müstəqil dəyişənin kvadrat kökü olan bir hissəni görürük. 4-cü misalda təkrar etdiyimiz və tətbiq etdiyimiz əmsalların diferensiallaşdırılması qaydasından və kvadrat kökün törəməsinin cədvəl dəyərindən istifadə edərək əldə edirik:

Hissədə kəsrdən xilas olmaq üçün payı və məxrəci ilə vurun.

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi üçün düsturdan istifadə etməklə törəmələrin hesablanmasına misallar verilmişdir.

Məzmun

Həmçinin bax: Mürəkkəb funksiyanın törəməsi üçün düsturun sübutu

Əsas düsturlar

Burada aşağıdakı funksiyaların törəmələrinin hesablanmasına dair nümunələr veririk:
; ; ; ; .

Əgər funksiya kompleks funksiya kimi aşağıdakı formada təqdim edilə bilərsə:
,
onda onun törəməsi düsturla müəyyən edilir:
.
Aşağıdakı nümunələrdə bu düsturu aşağıdakı kimi yazacağıq:
.
Harada.
Burada törəmə işarəsi altında yerləşən və ya alt işarələri fərqləndirmənin aparıldığı dəyişənləri bildirir.

Adətən törəmələr cədvəllərində x dəyişənindən funksiyaların törəmələri verilir. Bununla belə, x formal parametrdir. x dəyişəni istənilən başqa dəyişənlə əvəz edilə bilər. Buna görə də, funksiyanı dəyişəndən fərqləndirərkən, biz sadəcə olaraq törəmələr cədvəlində x dəyişənini u dəyişəninə dəyişirik.

Sadə nümunələr

Misal 1

Mürəkkəb funksiyanın törəməsini tapın
.

Verilmiş funksiyanı ekvivalent formada yazaq:
.
Törəmələr cədvəlində biz tapırıq:
;
.

Mürəkkəb bir funksiyanın törəməsi üçün düstura görə, biz var:
.
Budur.

Misal 2

Törəməni tapın
.

Törəmə işarəsindən 5 sabitini götürürük və törəmələr cədvəlindən tapırıq:
.

.
Budur.

Misal 3

Törəməni tapın
.

Bir sabiti çıxarırıq -1 törəmənin işarəsi üçün və törəmələr cədvəlindən tapırıq:
;
Törəmələr cədvəlindən tapırıq:
.

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi üçün formula tətbiq edirik:
.
Budur.

Daha mürəkkəb nümunələr

Daha çox mürəkkəb nümunələr mürəkkəb funksiyanın diferensiallaşdırılması qaydasını bir neçə dəfə tətbiq edirik. Bu halda törəməni sondan hesablayırıq. Yəni funksiyanı komponent hissələrinə bölürük və istifadə edərək ən sadə hissələrin törəmələrini tapırıq törəmələr cədvəli. Biz də istifadə edirik məbləğlərin diferensiallaşdırılması qaydaları, məhsullar və fraksiyalar. Sonra əvəzetmələr edirik və mürəkkəb funksiyanın törəməsi üçün düstur tətbiq edirik.

Misal 4

Törəməni tapın
.

Düsturun ən sadə hissəsini seçək və onun törəməsini tapaq. .

.
Burada qeyddən istifadə etdik
.

Alınan nəticələrdən istifadə edərək orijinal funksiyanın növbəti hissəsinin törəməsini tapırıq. Məbləğin diferensiallaşdırılması qaydasını tətbiq edirik:
.

Bir daha mürəkkəb funksiyaların diferensiallaşdırılması qaydasını tətbiq edirik.

.
Budur.

Misal 5

Funksiyanın törəməsini tapın
.

Düsturun ən sadə hissəsini seçək və törəmələr cədvəlindən onun törəməsini tapaq. .

Mürəkkəb funksiyaların diferensiallaşdırılması qaydasını tətbiq edirik.
.
Burada
.

Əldə olunan nəticələrdən istifadə edərək növbəti hissəni fərqləndirək.
.
Burada
.

Gəlin növbəti hissəni fərqləndirək.

.
Burada
.

İndi biz istədiyiniz funksiyanın törəməsini tapırıq.

.
Burada
.

Həmçinin bax:

Bunun üzərində biz ən sadə törəmələri araşdırdıq, həmçinin diferensiallaşdırma qaydaları və törəmələri tapmaq üçün bəzi texniki üsullarla tanış olduq. Beləliklə, əgər siz funksiyaların törəmələri ilə çox yaxşı deyilsinizsə və ya bu məqalədəki bəzi məqamlar tam aydın deyilsə, əvvəlcə yuxarıdakı dərsi oxuyun. Xahiş edirəm ciddi əhval-ruhiyyədə olun - material sadə deyil, amma yenə də onu sadə və aydın şəkildə təqdim etməyə çalışacağam.

Təcrübədə mürəkkəb funksiyanın törəməsi ilə çox tez-tez məşğul olmalısan, hətta deyərdim ki, demək olar ki, həmişə, sənə törəmələri tapmaq üçün tapşırıqlar veriləndə.

Mürəkkəb funksiyanı diferensiallaşdırmaq üçün qaydada (№ 5) cədvələ baxırıq:

Gəlin bunu anlayaq. İlk öncə girişə diqqət yetirək. Burada iki funksiyamız var – və funksiyası, məcazi mənada desək, funksiyanın daxilində yerləşmişdir. Bu tip funksiyaya (bir funksiya digərinin içində yerləşdikdə) mürəkkəb funksiya adlanır.

Funksiyanı çağıracağam xarici funksiya, və funksiyası – daxili (və ya yuvalanmış) funksiya.

! Bu təriflər nəzəri deyil və tapşırıqların yekun tərtibatında əks olunmamalıdır. Mən qeyri-rəsmi ifadələrdən “xarici funksiya”, “daxili” funksiyanı yalnız materialı başa düşməyinizi asanlaşdırmaq üçün istifadə edirəm.

Vəziyyəti aydınlaşdırmaq üçün düşünün:

Misal 1

Funksiyanın törəməsini tapın

Sinusun altında yalnız "X" hərfi deyil, bütöv bir ifadə var, buna görə də dərhal cədvəldən törəməni tapmaq işləməyəcək. Onu da görürük ki, burada ilk dörd qaydanı tətbiq etmək qeyri-mümkündür, görünür, fərq var, amma fakt budur ki, sinus “parçalara” bölünə bilməz:

Bu misalda artıq intuitiv olaraq mənim izahlarımdan aydın olur ki, funksiya mürəkkəb funksiyadır, çoxhədli isə daxili funksiya (yerləşdirmə) və xarici funksiyadır.

İlk addım Mürəkkəb bir funksiyanın törəməsini taparkən etməli olduğunuz şey hansı funksiyanın daxili, hansının xarici olduğunu anlayın.

Sadə misallarda polinomun sinusun altında yerləşdiyi aydın görünür. Bəs hər şey aydın deyilsə? Hansı funksiyanın xarici, hansının daxili olduğunu necə dəqiq müəyyən etmək olar? Bunun üçün zehni olaraq və ya qaralama şəklində edilə bilən aşağıdakı texnikadan istifadə etməyi təklif edirəm.

Təsəvvür edək ki, ifadənin dəyərini kalkulyatorda hesablamalıyıq (birin əvəzinə istənilən rəqəm ola bilər).

Əvvəlcə nəyi hesablayacağıq? Hər şeydən əvvəl aşağıdakı hərəkəti yerinə yetirməli olacaqsınız: , buna görə də polinom daxili funksiya olacaq:

İkincisi tapmaq lazımdır, buna görə də sinus – xarici funksiya olacaq:

Bizdən sonra SATILDI daxili və xarici funksiyalarla mürəkkəb funksiyaların diferensiallaşdırılması qaydasını tətbiq etməyin vaxtıdır .

Qərar verməyə başlayaq. Dərsdən Törəməni necə tapmaq olar? hər hansı bir törəmə həllinin dizaynının həmişə belə başladığını xatırlayırıq - ifadəni mötərizəyə daxil edirik və yuxarı sağda bir vuruş qoyuruq:

Əvvəlcə xarici funksiyanın (sinus) törəməsini tapırıq, elementar funksiyaların törəmələri cədvəlinə baxırıq və qeyd edirik ki, . Bütün cədvəl düsturları “x” mürəkkəb ifadə ilə əvəz edildikdə də tətbiq edilir, bu halda:

Nəzərə alın ki, daxili funksiya dəyişməyib, biz ona toxunmuruq.

Bəli, bu, tamamilə aydındır

Düsturun tətbiqinin nəticəsi son formada belə görünür:

Sabit amil adətən ifadənin əvvəlində yerləşdirilir:

Hər hansı bir anlaşılmazlıq olarsa, həll yolunu kağıza yazın və izahatları yenidən oxuyun.

Misal 2

Funksiyanın törəməsini tapın

Misal 3

Funksiyanın törəməsini tapın

Həmişə olduğu kimi yazırıq:

Xarici funksiyamızın harada olduğunu və daxili funksiyamızın harada olduğunu anlayaq. Bunun üçün biz (zehni və ya qaralamada) ifadənin dəyərini hesablamağa çalışırıq. Əvvəlcə nə etməlisən? Əvvəlcə bazanın nəyə bərabər olduğunu hesablamalısınız: buna görə də polinom daxili funksiyadır:

Və yalnız bundan sonra eksponentasiya yerinə yetirilir, buna görə də güc funksiyası xarici funksiyadır:

Formula görə , əvvəlcə xarici funksiyanın törəməsini, bu halda dərəcəsini tapmaq lazımdır. Tələb olunan düsturu cədvəldə axtarırıq: . Bir daha təkrar edirik: hər hansı bir cədvəl düsturu təkcə “X” üçün deyil, həm də mürəkkəb ifadə üçün etibarlıdır. Beləliklə, mürəkkəb funksiyanın diferensiallaşdırılması qaydasının tətbiqinin nəticəsi sonrakı:

Bir daha vurğulayıram ki, xarici funksiyanın törəməsini götürəndə daxili funksiyamız dəyişmir:

İndi qalan şey daxili funksiyanın çox sadə törəməsini tapmaq və nəticəni bir az tənzimləməkdir:

Misal 4

Funksiyanın törəməsini tapın

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir (cavab dərsin sonunda).

Mürəkkəb bir funksiyanın törəməsi haqqında anlayışınızı möhkəmləndirmək üçün şərhsiz bir nümunə verəcəyəm, bunu özünüz anlamağa çalışacağam, xarici və daxili funksiyanın harada olduğunu, niyə vəzifələrin bu şəkildə həll edildiyini izah edin?

Misal 5

a) funksiyanın törəməsini tapın

b) funksiyanın törəməsini tapın

Misal 6

Funksiyanın törəməsini tapın

Burada bir kökümüz var və kökü fərqləndirmək üçün onu bir güc kimi göstərmək lazımdır. Beləliklə, əvvəlcə funksiyanı diferensiasiya üçün uyğun formaya gətiririk:

Funksiyanı təhlil edərək belə nəticəyə gəlirik ki, üç şərtin cəmi daxili funksiya, gücə yüksəltmək isə xarici funksiyadır. Mürəkkəb funksiyaların diferensiallaşdırılması qaydasını tətbiq edirik :

Biz dərəcəni yenidən radikal (kök) kimi təqdim edirik və daxili funksiyanın törəməsi üçün cəmini fərqləndirmək üçün sadə bir qayda tətbiq edirik:

Hazır. Siz həmçinin ifadəni mötərizədə ortaq məxrəcə endirə və hər şeyi bir kəsr kimi yaza bilərsiniz. Bu, əlbəttə ki, gözəldir, amma çətin uzun törəmələr əldə etdikdə bunu etməmək daha yaxşıdır (çaşmaq, lazımsız səhv etmək asandır və müəllimin yoxlaması əlverişsiz olacaq).

Misal 7

Funksiyanın törəməsini tapın

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir (cavab dərsin sonunda).

Maraqlıdır ki, bəzən mürəkkəb funksiyanın diferensiallaşdırılması qaydası əvəzinə, əmsalın fərqləndirilməsi qaydasından istifadə edə bilərsiniz. , lakin belə bir həll qeyri-adi pozğunluq kimi görünəcək. Budur tipik bir nümunə:

Misal 8

Funksiyanın törəməsini tapın

Burada əmsalın diferensiallaşdırılması qaydasından istifadə edə bilərsiniz , lakin törəməni mürəkkəb funksiyanın diferensiallaşdırma qaydası ilə tapmaq daha sərfəlidir:

Funksiyanı diferensiasiya üçün hazırlayırıq - mənfini törəmə işarəsindən çıxarırıq və kosinusu paylayıcıya qaldırırıq:

Kosinus daxili funksiyadır, eksponentasiya xarici funksiyadır.
Qaydamızdan istifadə edək :

Daxili funksiyanın törəməsini tapırıq və kosinusu geri qaytarırıq:

Hazır. Baxılan misalda işarələrdə çaşqınlığa düşməmək vacibdir. Yeri gəlmişkən, qaydadan istifadə edərək həll etməyə çalışın , cavablar uyğun olmalıdır.

Misal 9

Funksiyanın törəməsini tapın

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir (cavab dərsin sonunda).

İndiyə qədər kompleks funksiyada yalnız bir yuva qurduğumuz hallara baxdıq. Praktik tapşırıqlarda siz tez-tez törəmələrə rast gələ bilərsiniz, burada yuva quran kuklalar kimi biri digərinin içərisində, 3 və ya hətta 4-5 funksiya bir anda yuvalanır.

Misal 10

Funksiyanın törəməsini tapın

Bu funksiyanın əlavələrini anlayaq. Eksperimental qiymətdən istifadə edərək ifadəni hesablamağa çalışaq. Bir kalkulyatora necə güvənə bilərik?

Əvvəlcə tapmaq lazımdır, yəni arcsine ən dərin yerləşdirmədir:

Birin bu arksinüsünün kvadratı alınmalıdır:

Və nəhayət, yeddini bir gücə qaldırırıq:

Yəni bu nümunədə üçümüz var müxtəlif funksiyalar və iki yerləşdirmə, ən daxili funksiya arksinus və ən xarici funksiya eksponensial funksiyadır.

Qərar verməyə başlayaq

Qaydaya görə Əvvəlcə xarici funksiyanın törəməsini götürməlisiniz. Törəmələr cədvəlinə baxırıq və eksponensial funksiyanın törəməsini tapırıq: Yeganə fərq ondadır ki, “x” əvəzinə kompleks ifadəmiz var və bu düsturun etibarlılığını inkar etmir. Beləliklə, mürəkkəb funksiyanın diferensiallaşdırılması qaydasının tətbiqinin nəticəsi növbəti.