Cəbri kəsrin əsas xüsusiyyəti: tərtibi, sübutu, tətbiqi nümunələri. Cəbri kəsrin əsas xassəsi Kəsrlər və onların xassələri

Adi kəsrləri öyrənərkən kəsrin əsas xassələri anlayışlarına rast gəlirik. Adi fraksiyaları olan misalları həll etmək üçün sadələşdirilmiş formula lazımdır. Bu məqalə cəbri fraksiyaların nəzərdən keçirilməsini və onlara əsas xassələrin tətbiqini əhatə edir ki, bu da onun tətbiqi sahəsinə dair nümunələrlə tərtib ediləcəkdir.

Formalaşdırma və əsaslandırma

Kəsrin əsas xassəsinin forması var:

Tərif 1

Pay və məxrəc eyni vaxtda eyni ədədə vurulduqda və ya bölündükdə kəsrin qiyməti dəyişməz olaraq qalır.

Yəni a · m b · m = a b və a: m b: m = a b ekvivalent olduğunu alırıq, burada a b = a · m b · m və a b = a: m b: m ədalətli hesab olunur. a, b, m qiymətləri bəzi natural ədədlərdir.

Hissənin və məxrəcin ədədə bölünməsi a · m b · m = a b kimi göstərilə bilər. Bu, 8 12 = 8: 4 12: 4 = 2 3 misalının həllinə bənzəyir. Bölmə zamanı a: m b formasının bərabərliyi istifadə olunur: m = a b, sonra 8 12 = 2 · 4 2 · 4 = 2 3. O, a · m b · m = a b, yəni 8 12 = 2 · 4 3 · 4 = 2 3 şəklində də göstərilə bilər.

Yəni a · m b · m = a b və a b = a · m b · m kəsirinin əsas xassəsi a: m b: m = a b və a b = a: m b: m-dən fərqli olaraq ətraflı nəzərdən keçiriləcəkdir.

Əgər pay və məxrəc ehtiva edir real ədədlər, sonra əmlak tətbiq edilir. Əvvəlcə bütün ədədlər üçün yazılı bərabərsizliyin etibarlılığını sübut etməlisiniz. Yəni, sıfıra bölünməmək üçün bütün real a, b, m üçün a · m b · m = a b varlığını sübut edin, burada b və m sıfırdan fərqli dəyərlərdir.

Sübut 1

a b formasının kəsri z qeydinin bir hissəsi hesab edilsin, başqa sözlə, a b = z, onda a · m b · m-nin z-ə uyğun olduğunu sübut etmək lazımdır, yəni a · m b · m = z. . Onda bu, a · m b · m = a b bərabərliyinin mövcudluğunu sübut etməyə imkan verəcəkdir.

Kəsr xətti bölmə işarəsini təmsil edir. Vurma və bölmə ilə əlaqəni tətbiq edərək, a b = z-dən çevrildikdən sonra a = b · z aldığımızı görürük. Ədədi bərabərsizliklərin xassələrinə görə bərabərsizliyin hər iki tərəfi sıfırdan fərqli bir ədədə vurulmalıdır. Sonra m sayına vururuq, a · m = (b · z) · m olduğunu alırıq. Mülkiyyətə görə ifadəni a · m = (b · m) · z şəklində yazmaq hüququmuz var. Bu o deməkdir ki, tərifdən belə çıxır ki, a b = z. a · m b · m = a b ifadəsinin bütün sübutu budur.

a · m b · m = a b və a b = a · m b · m formasının bərabərlikləri o zaman məna kəsb edir ki, a , b , m əvəzinə çoxhədlilər, b və m əvəzinə isə onlar sıfırdan fərqlidir.

Cəbri kəsrin əsas xassəsi: biz eyni vaxtda pay və məxrəci eyni ədədə vurduqda, orijinal ilə eyni olan bir ifadə əldə edirik.

Çoxhədli hərəkətlər ədədlərlə hərəkətlərə uyğun gəldiyi üçün xassə etibarlı sayılır.

Misal 1

3 · x x 2 - x y + 4 · y 3 kəsirinin nümunəsinə baxaq. 3 · x · (x 2 + 2 · x · y) (x 2 - x y + 4 · y 3) · (x 2 + 2 · x · y) formasına çevirmək mümkündür.

x 2 + 2 · x · y çoxhədli ilə vurma yerinə yetirildi. Eyni şəkildə, əsas xüsusiyyət 5 x 2 (x + 1) x 2 (x 3 + 3) formasının 5 x + 5 x 3 + formasının verilmiş bir hissəsində mövcud olan x 2-dən xilas olmağa kömək edir. 3. Buna sadələşdirmə deyilir.

Əsas xassə a · m b · m = a b və a b = a · m b · m ifadələri kimi yazıla bilər, a, b, m çoxhədlilər və ya adi dəyişənlər olduqda, b və m isə sıfırdan fərqli olmalıdır.

Cəbri kəsrin əsas xassəsinin tətbiqi sahələri

Əsas əmlakın tətbiqi yeni məxrəcə endirmə və ya kəsirin azaldılması üçün aktualdır.

Tərif 2

Ortaq məxrəcə endirmək yenisini əldə etmək üçün pay və məxrəci oxşar çoxhədli ilə vurmaqdır. Nəticə kəsr orijinala bərabərdir.

Yəni x + y · x 2 + 1 (x + 1) · x 2 + 1 formasının bir hissəsi x 2 + 1-ə vurulduqda və ortaq məxrəcə (x + 1) azaldıldıqda · (x 2 + 1) ) x 3 + x + x 2 · y + y x 3 + x + x 2 + 1 formasını alacaq.

Çoxhədlilərlə əməliyyatlar apardıqdan sonra tapırıq ki, cəbri kəsr x 3 + x + x 2 · y + y x 3 + x + x 2 + 1-ə çevrilir.

Ümumi məxrəcə endirmə kəsrlərin toplanması və ya çıxılması zamanı da həyata keçirilir. Əgər kəsr əmsalları verilirsə, onda ilk növbədə sadələşdirmə aparılmalıdır ki, bu da ümumi məxrəcin görünüşünü və çox təyin edilməsini asanlaşdıracaq. Məsələn, 2 5 x y - 2 x + 1 2 = 10 2 5 x y - 2 10 x + 1 2 = 4 x y - 20 10 x + 5.

Kəsrlərin azaldılması zamanı xassə tətbiqi 2 mərhələdə həyata keçirilir: ümumi m-i tapmaq üçün payın və məxrəcin amillərə parçalanması və sonra a · m b · formasının bərabərliyinə əsaslanaraq a b kəsr növünə keçin. m = a b.

Genişlənmədən sonra 4 x 3 - x y 16 x 4 - y 2 formasının bir hissəsi x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y-ə çevrilərsə, aydındır ki, ümumi çarpan olacaq. 4 x 2 − y çoxhədli olsun. O zaman kəsri əsas xassəsinə görə azaltmaq mümkün olacaq. Bunu anlayırıq

x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y = x 4 x 2 + y. Fraksiya sadələşdirilmişdir, sonra dəyərləri əvəz edərkən çox şey yerinə yetirmək lazım olacaq az hərəkət orijinalı ilə əvəz edərkən.

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Riyaziyyatda kəsr vahidin bir və ya bir neçə hissəsindən (kəsrdən) ibarət ədəddir. Qeyd formasına görə kəsrlər adi (məsələn \frac(5)(8)) və onluq (məsələn 123.45) bölünür.

Tərif. Adi fraksiya (və ya sadə kəsr)

Adi (sadə) kəsr m və n natural ədədlər olduğu \pm\frac(m)(n) formasının ədədi adlanır. m sayı çağırılır hesablayıcı bu kəsrdir və n ədədi onundur məxrəc.

Üfüqi və ya kəsik xətt bölmə işarəsini göstərir, yəni \frac(m)(n)=()^m/n=m:n

Ümumi fraksiyalar iki növə bölünür: düzgün və düzgün olmayan.

Tərif. Düzgün və düzgün kəsrlər

Düzgün Numeratoru məxrəcindən kiçik olan kəsrə kəsr deyilir. Məsələn, \frac(9)(11) , çünki 9

Səhv Paylayıcının modulu məxrəcin modulundan böyük və ya ona bərabər olan kəsr deyilir. Belə bir kəsr modulu birdən böyük və ya ona bərabər olan rasional ədəddir. Nümunə olaraq \frac(11)(2) , \frac(2)(1) , -\frac(7)(5) , \frac(1)(1) fraksiyaları ola bilər.

Düzgün olmayan kəsrlə yanaşı, ədədin başqa bir təmsili də var ki, bu da qarışıq kəsr (qarışıq ədəd) adlanır. Bu adi fraksiya deyil.

Tərif. Qarışıq fraksiya (qarışıq ədəd)

Qarışıq fraksiya tam ədəd və uyğun kəsr kimi yazılmış kəsrdir və bu ədədin və kəsrin cəmi kimi başa düşülür. Məsələn, 2\frac(5)(7)

(qarışıq ədəd kimi yazılmışdır) 2\frac(5)(7)=2+\frac(5)(7)=\frac(14)(7)+\frac(5)(7)=\frac(19) )(7) (səhv kəsr kimi yazılır)

Kəsr sadəcə ədədin təsviridir. Eyni ədəd həm adi, həm də onluq kəsrlərə uyğun ola bilər. İki adi kəsrin bərabərliyinə işarə yaradaq.

Tərif. Kəsrlərin bərabərliyinin əlaməti

\frac(a)(b) və \frac(c)(d) iki fraksiyadır bərabərdir, əgər a\cdot d=b\cdot c . Məsələn, 2\cdot12=3\cdot8 olduğundan \frac(2)(3)=\frac(8)(12)

Bu atributdan kəsrin əsas xassəsi gəlir.

Əmlak. Kəsrin əsas xüsusiyyəti

Verilmiş kəsrin payı və məxrəci sıfıra bərabər olmayan eyni ədədə vurulursa və ya bölünürsə, verilənə bərabər kəsr alırsınız.

\frac(A)(B)=\frac(A\cdot C)(B\cdot C)=\frac(A:K)(B:K);\quad C \ne 0,\quad K \ne 0

Kəsirin əsas xassəsindən istifadə edərək, verilmiş kəsri verilmiş kəsrə bərabər olan, lakin daha kiçik say və məxrəclə əvəz edə bilərsiniz. Bu əvəzetmə fraksiyaların azalması adlanır. Məsələn, \frac(12)(16)=\frac(6)(8)=\frac(3)(4) (burada pay və məxrəc əvvəlcə 2-yə, sonra isə daha 2-yə bölündü). Kəsri o zaman azaltmaq olar ki, onun payı və məxrəci qarşılıqlı sadə ədədlər olmasın. Əgər verilmiş kəsrin payı və məxrəci qarşılıqlı sadədirsə, onda kəsri azaltmaq olmaz, məsələn, \frac(3)(4) azalmayan kəsrdir.

Müsbət fraksiyalar üçün qaydalar:

İki fraksiyadan eyni məxrəclərlə Numeratoru böyük olan kəsr daha böyükdür. Məsələn, \frac(3)(15)

İki fraksiyadan eyni ədədlərlə Məxrəci kiçik olan kəsr böyükdür. Məsələn, \frac(4)(11)>\frac(4)(13) .

Fərqli say və məxrəcləri olan iki kəsri müqayisə etmək üçün hər iki kəsri elə çevirməlisiniz ki, onların məxrəcləri eyni olsun. Bu çevrilmə kəsrlərin ortaq məxrəcə endirilməsi adlanır.

Bu mövzu olduqca vacibdir, bütün sonrakı riyaziyyat və cəbr kəsrlərin əsas xüsusiyyətlərinə əsaslanır. Nəzərə alınan fraksiyaların xassələri, əhəmiyyətinə baxmayaraq, çox sadədir.

Başa düşmək fraksiyaların əsas xassələri Bir dairəni nəzərdən keçirək.

Dairədə 4 hissənin və ya mümkün səkkizdən kənara kölgə salındığını görə bilərsiniz. Nəticə kəsri yazaq \(\frac(4)(8)\)

Növbəti dairədə iki mümkün hissədən birinin kölgəli olduğunu görə bilərsiniz. Nəticə kəsri yazaq \(\frac(1)(2)\)

Diqqətlə baxsaq görərik ki, birinci halda, ikinci halda dairənin yarısı kölgələndiyindən nəticədə alınan fraksiyalar \(\frac(4)(8) = \frac(1)(-ə bərabərdir. 2)\), yəni eyni nömrədir.

Bunu riyazi olaraq necə sübut etmək olar? Çox sadədir, vurma cədvəlini xatırlayın və ilk kəsri amillərə yazın.

\(\frac(4)(8) = \frac(1 \cdot \rəng(qırmızı) (4))(2 \cdot \rəng(qırmızı) (4)) = \frac(1)(2) \cdot \rəng(qırmızı) (\frac(4)(4)) =\frac(1)(2) \cdot \rəng(qırmızı)(1) = \frac(1)(2)\)

Biz nə etmişik? Biz say və məxrəci faktorlara ayırdıq \(\frac(1 \cdot \color(qırmızı) (4))(2 \cdot \color(red) (4))\) və sonra kəsrləri \(\frac(1) böldük. ) (2) \cdot \rəng(qırmızı) (\frac(4)(4))\). Dördün dördə bölünməsi 1-dir və hər hansı bir ədədə vurulan bir ədədin özüdür. Yuxarıdakı nümunədə etdiyimiz şey adlanır fraksiyaların azaldılması.

Başqa bir misala baxaq və kəsri azaldaq.

\(\frac(6)(10) = \frac(3 \cdot \rəng(qırmızı) (2))(5 \cdot \color(qırmızı) (2)) = \frac(3)(5) \cdot \rəng(qırmızı) (\frac(2)(2)) =\frac(3)(5) \cdot \rəng(qırmızı)(1) = \frac(3)(5)\)

Biz yenə say və məxrəci faktorlara ayırdıq və eyni ədədləri say və məxrəcə endirdik. Yəni ikini ikiyə böldükdə bir, birini istənilən ədədə vuranda eyni ədədi verir.

Kəsrin əsas xüsusiyyəti.

Bu, fraksiyanın əsas xüsusiyyətini nəzərdə tutur:

Əgər kəsrin həm payı, həm də məxrəci eyni ədədə vurularsa (sıfırdan başqa), onda kəsrin qiyməti dəyişməyəcək.

\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n)\)

Siz həmçinin eyni zamanda pay və məxrəci eyni ədədə bölmək olar.
Bir misala baxaq:

\(\frac(6)(8) = \frac(6 \div \rəng(qırmızı) (2))(8 \div \rəng(qırmızı) (2)) = \frac(3)(4)\)

Əgər kəsrin həm payı, həm də məxrəci eyni ədədə bölünərsə (sıfırdan başqa), onda kəsrin qiyməti dəyişməyəcək.

\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \div n)(b \div n)\)

Həm saylarında, həm də məxrəclərində ortaq sadə amilləri olan kəsrlər deyilir azaldıla bilən fraksiyalar.

Azaldılan kəsrə misal: \(\frac(2)(4), \frac(6)(10), \frac(9)(15), \frac(10)(5), …\)

da var azalmayan fraksiyalar.

Azaldılmayan fraksiya sayında və məxrəcində ortaq sadə amilləri olmayan kəsrdir.

Azaldılmayan kəsr nümunəsi: \(\frac(1)(2), \frac(3)(5), \frac(5)(7), \frac(13)(5), …\)

İstənilən ədədi kəsr kimi ifadə etmək olar, çünki istənilən ədəd birə bölünür. Misal üçün:

\(7 = \frac(7)(1)\)

Mövzu ilə bağlı suallar:
Sizcə, hər hansı bir fraksiya azaldıla bilər, ya yox?
Cavab: Xeyr, azalda bilən kəsrlər və azalmayan kəsrlər var.

Bərabərliyin doğru olub olmadığını yoxlayın: \(\frac(7)(11) = \frac(14)(22)\)?
Cavab: kəsri yazın \(\frac(14)(22) = \frac(7 \cdot 2)(11 \cdot 2) = \frac(7)(11)\), bəli ədalətlidir.

Nümunə №1:
a) Kəsirə bərabər məxrəci 15 olan kəsi tapın \(\frac(2)(3)\).
b) Kəsirə bərabər sayı 8 olan kəsri tapın \(\frac(1)(5)\).

Həll:
a) Məxrəcdə 15 rəqəmi lazımdır.İndi məxrəcdə 3 rəqəmi var.15 almaq üçün 3 rəqəmini hansı ədədə vurmalıyıq? 3⋅5 vurma cədvəlini xatırlayaq. Biz kəsrlərin əsas xassəsindən istifadə edib kəsrin həm payını, həm də məxrəcini vurmalıyıq. \(\frac(2)(3)\) 5 ilə.

\(\frac(2)(3) = \frac(2 \cdot 5)(3 \cdot 5) = \frac(10)(15)\)

b) Bizə 8 rəqəminin sayında olması lazımdır.İndi 1 rəqəmi paydadır.8 almaq üçün 1 rəqəmini hansı ədədə vurmalıyıq? Əlbəttə, 1⋅8. Biz kəsrlərin əsas xassəsindən istifadə edib kəsrin həm payını, həm də məxrəcini vurmalıyıq. \(\frac(1)(5)\) 8 ilə. Biz əldə edirik:

\(\frac(1)(5) = \frac(1 \cdot 8)(5 \cdot 8) = \frac(8)(40)\)

Nümunə №2:
Kəsrə bərabər olan azalmayan kəsi tapın: a) \(\frac(16)(36)\), b) \(\frac(10)(25)\).

Həll:
A) \(\frac(16)(36) = \frac(4 \cdot 4)(9 \cdot 4) = \frac(4)(9)\)

b) \(\frac(10)(25) = \frac(2 \cdot 5)(5 \cdot 5) = \frac(2)(5)\)

Nümunə #3:
Ədədi kəsr şəklində yazın: a) 13 b)123

Həll:
A) \(13 = \frac(13) (1)\)

b) \(123 = \frac(123) (1)\)

Fraksiya- riyaziyyatda ədədin təmsil forması. Kəsr çubuğu bölmə əməliyyatını bildirir. Hesablayıcı fraksiya dividend adlanır və məxrəc- bölücü. Məsələn, kəsrdə say 5, məxrəc isə 7-dir.

Düzgün Hissənin modulunun məxrəcin modulundan böyük olduğu kəsr deyilir. Əgər kəsr düzgündürsə, onun dəyərinin modulu həmişə 1-dən kiçikdir. Bütün digər kəsrlər səhv.

Fraksiya deyilir qarışıq, əgər tam və kəsr kimi yazılırsa. Bu, bu ədədin və kəsrin cəmi ilə eynidir:

Kəsrin əsas xüsusiyyəti

Əgər kəsrin payı və məxrəci eyni ədədə vurularsa, onda kəsrin qiyməti dəyişməyəcək, yəni məsələn,

Kəsrin ümumi məxrəcə endirilməsi

İki fraksiyanı ortaq məxrəcə gətirmək üçün sizə lazımdır:

1. Birinci kəsrin payını ikincinin məxrəcinə vurun
2. İkinci kəsrin payını birincinin məxrəcinə vurun
3. Hər iki kəsrin məxrəclərini hasilləri ilə əvəz edin

Kəsrlərlə əməliyyatlar

Əlavə.İki fraksiya əlavə etmək üçün sizə lazımdır

1. Hər iki kəsrin yeni saylarını əlavə edin və məxrəci dəyişmədən qoyun

Misal:

Çıxarma. Bir kəsri digərindən çıxarmaq üçün sizə lazımdır

1. Kəsrləri ortaq məxrəcə endirin
2. Birinci kəsrin payından ikincinin payını çıxarın və məxrəci dəyişmədən buraxın.

Misal:

Vurma. Bir kəsri digərinə vurmaq üçün onların ədədlərini və məxrəclərini çoxaltmaq lazımdır.

Ətraflı müzakirə olunub kəsrin əsas xassəsidir, onun tərtibi verilmiş, sübutu və izahlı nümunəsi verilmişdir. Kəsrin əsas xassəsinin kəsrləri azaldarkən və kəsrləri yeni məxrəcə endirərkən tətbiqi də nəzərdən keçirilir.

Səhifə naviqasiyası.

Kəsrin əsas xüsusiyyəti - tərtib, sübut və izahlı nümunələr

Kəsirin əsas xassəsini təsvir edən bir nümunəyə baxaq. Tutaq ki, 9 "böyük" kvadrata bölünmüş bir kvadratımız var və bu "böyük" kvadratların hər biri 4 "kiçik" kvadrata bölünür. Beləliklə, orijinal kvadratın 4 9 = 36 “kiçik” kvadrata bölündüyünü də söyləyə bilərik. Gəlin 5 "böyük" kvadrat rəngləyək. Bu halda 4·5=20 “kiçik” kvadratlar kölgələnəcək. Budur nümunəmizə uyğun bir rəsm.

Kölgəli hissə orijinal kvadratın 5/9-u və ya eyni olan orijinal kvadratın 20/36-sı, yəni 5/9 və 20/36 kəsrləri bərabərdir: və ya. Bu bərabərliklərdən, eləcə də 20=5·4, 36=9·4, 20:4=5 və 36:4=9 bərabərliklərindən belə çıxır ki, və .

Sökülən materialı birləşdirmək üçün nümunənin həllini nəzərdən keçirin.

Misal.

Bəzilərinin say və məxrəci adi fraksiya 62-yə vurulur, bundan sonra yaranan kəsrin payı və məxrəci 2-yə bölünür. Nəticə kəsr orijinala bərabərdirmi?

Həll.

Kəsrin payını və məxrəcini istənilən ilə vurmaq natural ədəd, xüsusən 62-də, kəsrin əsas xüsusiyyətinə görə orijinala bərabər olan bir kəsr verir. Kəsirin əsas xassəsi bildirməyə imkan verir ki, yaranan kəsrin payını və məxrəcini 2-yə böldükdən sonra yaranan kəsr ilkin kəsrə bərabər olacaqdır.

Cavab:

Bəli, nəticədə alınan kəsr orijinala bərabərdir.

Kəsirin əsas xassəsinin tətbiqi

Kəsirin əsas xassəsindən əsasən iki halda istifadə olunur: birincisi, kəsrləri yeni məxrəcə endirərkən, ikincisi, kəsrləri azaldarkən.

Kəsrin əsas xassəsi fraksiyaları azaltmağa imkan verir və nəticədə ilkin kəsrdən bərabər kəsrə keçir, lakin daha kiçik say və məxrəclə. Kəsirin kiçilməsi ilkin kəsrin payını və məxrəcini birdən başqa hər hansı müsbət paya və məxrəcə bölməkdən ibarətdir (əgər belə ümumi bölənlər yoxdursa, onda ilkin kəsr kiçilməzdir, yəni kiçilə bilməz). Xüsusilə, bölmək orijinal fraksiyanı azaldılmayan bir formaya salacaq.

Biblioqrafiya.

• Vilenkin N.Ya., Jokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Riyaziyyat: 5-ci sinif üçün dərslik. təhsil müəssisələri.
• Vilenkin N.Ya. və başqaları.Riyaziyyat. 6-cı sinif: Ümumtəhsil müəssisələri üçün dərslik.

cleverstudent tərəfindən müəllif hüquqları

Bütün hüquqlar qorunur.
Müəllif hüquqları qanunu ilə qorunur. Saytın heç bir hissəsi, o cümlədən daxili materiallar və görünüş, müəllif hüquqları sahibinin əvvəlcədən yazılı icazəsi olmadan hər hansı formada təkrar istehsal edilə və ya istifadə edilə bilməz.