Bu yazıda bu dairənin radiusu ilə bir dairənin daxil edilə biləcəyi çoxbucaqlı sahəsini necə ifadə etmək barədə danışacağıq. Dərhal qeyd etmək lazımdır ki, hər çoxbucaqlı bir dairəyə sığa bilməz. Ancaq bu mümkündürsə, belə bir çoxbucağın sahəsinin hesablandığı düstur çox sadə olur. Bu məqaləni sona qədər oxuyun və ya əlavə edilmiş video təlimatına baxın və çoxbucaqlının sahəsini içindəki dairənin radiusu baxımından necə ifadə edəcəyinizi öyrənəcəksiniz.

Yazılı dairənin radiusu baxımından çoxbucaqlının sahəsi üçün düstur

Çoxbucaqlı çəkək A 1 A 2 A 3 A 4 A 5, mütləq düzgün deyil, bir dairənin yazıla biləcəyi bir şey. Nəzərinizə çatdırım ki, yazısı olan dairə çoxbucaqlının bütün tərəflərinə toxunan çevrədir. Şəkildə o, nöqtədə mərkəzi olan yaşıl dairədir O:

Biz burada 5-qonlu nümunə götürdük. Ancaq əslində bunun o qədər də əhəmiyyəti yoxdur, çünki əlavə sübut həm 6-qon, həm də 8-bucaq üçün və ümumiyyətlə hər hansı bir ixtiyari “qon” üçün etibarlıdır.

Əgər siz çoxbucaqlının bütün təpələri ilə yazılan dairənin mərkəzini birləşdirsəniz, o, verilmiş çoxbucaqlıda təpələrin sayı qədər üçbucağa bölünəcəkdir. Bizim vəziyyətimizdə: 5 üçbucaq üçün. Nöqtəni birləşdirsək Oçoxbucaqlının tərəfləri ilə yazılmış dairənin bütün toxunma nöqtələri ilə 5 seqment alırsınız (aşağıdakı şəkildə bunlar seqmentlərdir) OH 1 , OH 2 , OH 3 , OH 4 və OH 5), dairənin radiusuna bərabər və çəkildikləri çoxbucaqlı tərəflərinə perpendikulyardır. Sonuncu doğrudur, çünki təmas nöqtəsinə çəkilmiş radius tangensə perpendikulyardır:

Sərhədlənmiş çoxbucaqlımızın sahəsini necə tapmaq olar? Cavab sadədir. Yaranan bütün üçbucaqların sahələrini toplamaq lazımdır:

Üçbucağın sahəsinin nə olduğunu nəzərdən keçirək. Aşağıdakı şəkildə sarı rənglə vurğulanır:

Baza məhsulunun yarısına bərabərdir A 1 A 2 hündürlüyə OH 1, bu bazaya çəkildi. Lakin, artıq aşkar etdiyimiz kimi, bu hündürlük yazılmış dairənin radiusuna bərabərdir. Yəni, üçbucağın sahəsi üçün düstur aşağıdakı formanı alır: , Harada r— yazılmış dairənin radiusu. Qalan bütün üçbucaqların sahələri eyni şəkildə tapılır. Nəticədə, çoxbucaqlının tələb olunan sahəsi bərabərdir:

Görünür ki, bu məbləğin bütün şərtlərində mötərizədən çıxarıla bilən ümumi bir faktor var. Nəticə aşağıdakı ifadə olacaq:

Yəni, mötərizədə qalan çoxbucaqlının bütün tərəflərinin cəmidir, yəni onun perimetridir. P. Çox vaxt bu düsturda ifadə sadəcə olaraq əvəz olunur səh və bu hərfi “yarım perimetr” adlandırırlar. Nəticədə, son düstur aşağıdakı formanı alır:

Yəni, məlum radiuslu bir dairənin daxil olduğu çoxbucaqlının sahəsi bu radiusun və çoxbucaqlının yarım perimetrinin məhsuluna bərabərdir. Bu, hədəflədiyimiz nəticə idi.

Nəhayət, o qeyd edəcək ki, bir dairə həmişə üçbucaqda yazıla bilər, bu çoxbucaqlının xüsusi halıdır. Buna görə də, üçbucaq üçün bu düstur həmişə tətbiq oluna bilər. 3-dən çox tərəfi olan digər çoxbucaqlılar üçün əvvəlcə onlara bir dairənin yazıla biləcəyinə əmin olmalısınız. Əgər belədirsə, bundan etibarlı şəkildə istifadə edə bilərsiniz sadə formula və bu çoxbucağın sahəsini tapmaq üçün istifadə edin.

Material Sergey Valerieviç tərəfindən hazırlanmışdır

Məktəbdə riyaziyyat və həndəsə oxuyan hər kəs bu elmləri ən azı səthi bilir. Amma zaman keçdikcə onları tətbiq etməsən, bilik unudulur. Bir çoxları hətta həndəsi hesablamaları öyrənmək üçün vaxtlarını sərf etdiklərinə inanırlar. Bununla belə, səhv edirlər. Texniki işçilər həndəsi hesablamalarla bağlı gündəlik işləri yerinə yetirirlər. Çoxbucaqlının sahəsinin hesablanmasına gəlincə, bu bilik həyatda da tətbiqini tapır. Onlar ən azı torpağın sahəsini hesablamaq üçün lazım olacaq. Beləliklə, çoxbucaqlının sahəsini necə tapmağı öyrənək.

Poliqon tərifi

Əvvəlcə çoxbucaqlının nə olduğunu müəyyən edək. Düzdür həndəsi fiqur, üç və ya daha çox düz xəttin kəsişməsi nəticəsində yaranmışdır. Başqa bir sadə tərif: çoxbucaqlı qapalı çoxbucaqlıdır. Təbii ki, xətlər kəsişdikdə kəsişmə nöqtələri yaranır, onların sayı çoxbucaqlını təşkil edən xətlərin sayına bərabərdir. Kəsişmə nöqtələrinə təpə nöqtələri, düz xətlərdən əmələ gələn seqmentlərə isə çoxbucaqlının tərəfləri deyilir. Çoxbucaqlının bitişik seqmentləri eyni düz xətt üzərində deyil. Bitişik olmayan xətt seqmentləri ümumi nöqtələrdən keçməyənlərdir.

Üçbucaqların sahələrinin cəmi

Çoxbucaqlının sahəsini necə tapmaq olar? Çoxbucaqlının sahəsi çoxbucaqlının seqmentlərinin və ya tərəflərinin kəsişməsindən əmələ gələn müstəvinin daxili hissəsidir. Çoxbucaqlı üçbucaq, romb, kvadrat, trapesiya kimi fiqurların birləşməsindən ibarət olduğundan onun sahəsini hesablamaq üçün sadəcə universal düstur yoxdur. Praktikada ən universalı, çoxbucaqlının daha sadə fiqurlara bölünməsi üsuludur, onun sahəsini tapmaq çətin deyil. Bu sadə fiqurların sahələrinin cəmini əlavə etməklə çoxbucaqlının sahəsi əldə edilir.

Bir dairənin sahəsi vasitəsilə

Əksər hallarda çoxbucaqlı nizamlı formaya malikdir və onların arasında bərabər tərəfləri və bucaqları olan bir fiqur əmələ gətirir. Bu halda, sahəni hesablamaq, yazılmış və ya məhdud dairədən istifadə etməklə çox sadədir. Bir dairənin sahəsi məlumdursa, o zaman çoxbucaqlının perimetri ilə vurulmalı və nəticədə alınan məhsul 2-yə bölünməlidir. Nəticə belə bir çoxbucağın sahəsini hesablamaq üçün bir düsturdur: S = ½∙P∙r., burada P dairənin sahəsi, r isə çoxbucaqlının perimetridir.

Çoxbucaqlının "rahat" formalara bölünməsi üsulu həndəsədə ən populyardır, çoxbucaqlının sahəsini tez və düzgün tapmağa imkan verir. Orta məktəbin 4-cü sinfi adətən belə üsulları öyrənir.

Həndəsə problemləri tez-tez çoxbucaqlının sahəsini hesablamağı tələb edir. Üstəlik, o, kifayət qədər müxtəlif formada ola bilər - tanış üçbucaqdan tutmuş bəzi ağlasığmaz sayda təpələri olan bəzi n-qonuna qədər. Bundan əlavə, bu çoxbucaqlılar qabarıq və ya konkav ola bilər. Hər birində konkret vəziyyət-dan başlaması nəzərdə tutulur görünüş rəqəmlər. Beləliklə, problemi həll etmək üçün optimal yolu seçə bilərsiniz. Rəqəm düzgün ola bilər ki, bu da problemin həllini xeyli asanlaşdıracaq.

Çoxbucaqlılar haqqında bir az nəzəriyyə

Üç və ya daha çox kəsişən xətt çəkirsinizsə, onlar müəyyən bir rəqəm meydana gətirirlər. Çoxbucaqlı olan odur. Kesişmə nöqtələrinin sayına əsasən, onun neçə təpəyə malik olacağı aydın olur. Yaranan rəqəmə ad verirlər. Ola bilər:

Belə bir rəqəm, şübhəsiz ki, iki mövqe ilə xarakterizə olunacaq:

1. Qonşu tərəflər eyni düz xəttə aid deyil.
2. Qonşu olmayanların ümumi nöqtələri yoxdur, yəni kəsişmirlər.

Hansı təpələrin qonşu olduğunu başa düşmək üçün onların eyni tərəfə aid olub olmadığını yoxlamaq lazımdır. Əgər belədirsə, o zaman qonşular. Əks halda, onlar diaqonal adlandırılmalı olan bir seqmentlə birləşdirilə bilər. Onlar yalnız üçdən çox təpəsi olan çoxbucaqlılarda həyata keçirilə bilər.

Onların hansı növləri mövcuddur?

Dörddən çox küncü olan çoxbucaqlı qabarıq və ya konkav ola bilər. Sonuncular arasındakı fərq ondan ibarətdir ki, onun təpələrinin bəziləri çoxbucaqlının ixtiyari tərəfi ilə çəkilmiş düz xəttin əks tərəflərində yerləşə bilər. Qabarıq vəziyyətdə, bütün təpələr həmişə belə bir düz xəttin eyni tərəfində yerləşir.

Məktəb həndəsə kursunda çox vaxt qabarıq fiqurlara həsr olunur. Buna görə də problemlər qabarıq çoxbucaqlının sahəsini tapmağı tələb edir. Daha sonra hər hansı bir rəqəm üçün istədiyiniz dəyəri tapmağa imkan verən məhdud dairənin radiusu baxımından bir düstur var. Digər hallarda, aydın bir həll yoxdur. Üçbucaq üçün düstur birdir, kvadrat və ya trapesiya üçün isə tamamilə fərqlidir. Fiqurun qeyri-müntəzəm olduğu və ya çoxlu təpələrin olduğu vəziyyətlərdə onları sadə və tanış olanlara bölmək adətdir.

Fiqurun üç və ya dörd təpəsi varsa nə etməli?

Birinci halda, üçbucaq olacaq və düsturlardan birini istifadə edə bilərsiniz:

• S = 1/2 * a * n, burada a tərəfdir, n ona hündürlükdür;
• S = 1/2 * a * b * sin (A), burada a, b üçbucağın tərəfləri, A - məlum tərəflər arasındakı bucaq;
• S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), burada c üçbucağın tərəfidir, artıq göstərilən ikisinə, p yarım perimetrdir, yəni, hər üç tərəfin cəmi ikiyə bölünür.

Dörd təpəsi olan bir rəqəm paraleloqram ola bilər:

• S = a * n;
• S = 1/2 * d 1 * d 2 * sin(α), burada d 1 və d 2 diaqonaldır, α onların arasındakı bucaqdır;
• S = a * in * sin(α).

Trapezoidin sahəsi üçün düstur: S = n * (a + b) / 2, burada a və b əsasların uzunluqlarıdır.

Dörddən çox təpəsi olan müntəzəm çoxbucaqlı ilə nə etmək lazımdır?

Başlamaq üçün belə bir rəqəm bütün tərəflərin bərabər olması ilə xarakterizə olunur. Üstəlik, çoxbucaqlı bərabər açılara malikdir.

Belə bir fiqurun ətrafında bir dairə çəkirsinizsə, onda onun radiusu çoxbucaqlının mərkəzindən təpələrdən birinə qədər olan seqmentlə üst-üstə düşəcəkdir. Buna görə də, ixtiyari sayda təpələri olan müntəzəm çoxbucaqlının sahəsini hesablamaq üçün aşağıdakı düstura ehtiyacınız olacaq:

S n = 1/2 * n * R n 2 * sin (360º/n), burada n çoxbucaqlının təpələrinin sayıdır.

Ondan xüsusi hallar üçün faydalı olanı əldə etmək asandır:

1. üçbucaq: S = (3√3)/4 * R 2 ;
2. kvadrat: S = 2 * R 2;
3. altıbucaqlı: S = (3√3)/2 * R 2.

Səhv rəqəmlə vəziyyət

Çoxbucaqlının sahəsi düzgün deyilsə və əvvəllər məlum olan rəqəmlərdən hər hansı birinə aid edilə bilməzsə, onu necə tapmağın həlli alqoritmdir:

• kəsişməməsi üçün onu sadə formalara, məsələn, üçbucaqlara bölün;
• hər hansı bir düsturdan istifadə edərək sahələrini hesablamaq;
• bütün nəticələri toplayın.

Problem çoxbucaqlının təpələrinin koordinatlarını verirsə nə etməli?

Yəni fiqurun tərəflərini məhdudlaşdıran hər bir nöqtə üçün cüt ədədlər dəsti məlumdur. Adətən onlar birinci üçün (x 1 ; y 1), ikinci üçün (x 2 ; y 2) kimi yazılır və n-ci təpənin aşağıdakı qiymətləri (x n ; y n) olur. Sonra çoxbucaqlının sahəsi n şərtin cəmi kimi müəyyən edilir. Onların hər biri belə görünür: ((y i+1 +y i)/2) * (x i+1 - x i). Bu ifadədə i birdən n-ə qədər dəyişir.

Nəticənin işarəsinin rəqəmin keçməsindən asılı olacağını qeyd etmək lazımdır. Yuxarıdakı düsturdan istifadə edərkən və saat əqrəbi istiqamətində hərəkət edərkən cavab mənfi olacaq.

Nümunə tapşırıq

Vəziyyət. Təpələrin koordinatları aşağıdakı qiymətlərlə müəyyən edilir (0.6; 2.1), (1.8; 3.6), (2.2; 2.3), (3.6; 2.4), (3.1; 0.5). Çoxbucaqlının sahəsini hesablamaq lazımdır.

Həll. Yuxarıdakı düstura görə, birinci müddət (1,8 + 0,6)/2 * (3,6 - 2,1) bərabər olacaq. Burada sadəcə ikinci və birinci nöqtələrdən Y və X üçün dəyərləri götürməlisiniz. Sadə hesablama 1.8 nəticəyə gətirib çıxaracaq.

İkinci müddət eyni şəkildə alınır: (2.2 + 1.8)/2 * (2.3 - 3.6) = -2.6. Bu cür problemləri həll edərkən, mənfi kəmiyyətlərdən qorxmayın. Hər şey lazım olduğu kimi gedir. Bu planlaşdırılır.

Üçüncü (0,29), dördüncü (-6,365) və beşinci şərtlər (2,96) üçün qiymətlər oxşar şəkildə alınır. Sonra son sahə: 1.8 + (-2.6) + 0.29 + (-6.365) + 2.96 = - 3.915.

Damalı kağızda çoxbucaqlının çəkildiyi məsələnin həlli üçün məsləhət

Ən çox çaşdırıcı olan məlumatın yalnız hüceyrənin ölçüsünü ehtiva etməsidir. Amma məlum olur ki, daha çox məlumata ehtiyac yoxdur. Bu problemi həll etmək üçün bir tövsiyə rəqəmi çoxlu üçbucaq və düzbucaqlıya bölməkdir. Onların sahələrini tərəflərin uzunluqlarına görə hesablamaq olduqca asandır, sonra asanlıqla əlavə edilə bilər.

Ancaq çox vaxt daha sadə bir yanaşma var. Düzbucaqlıya fiqur çəkmək və onun sahəsini hesablamaqdan ibarətdir. Sonra artıq olan elementlərin sahələrini hesablayın. Onları ümumi dəyərdən çıxarın. Bu seçim bəzən bir az daha az sayda hərəkəti əhatə edir.

\[(\Böyük(\text(Sahə haqqında əsas faktlar)))\]

Deyə bilərik ki, çoxbucaqlının sahəsi təyyarənin verilmiş çoxbucaqlının tutduğu hissəsini göstərən dəyərdir. Sahənin ölçü vahidi tərəfi \(1\) sm, \(1\) mm və s. olan kvadratın sahəsidir. (vahid kvadrat). Sonra sahə müvafiq olaraq sm\(^2\), mm\(^2\) ilə ölçüləcək.

Başqa sözlə, deyə bilərik ki, bir rəqəmin sahəsi ədədi dəyəri vahid kvadratın verilmiş rəqəmə neçə dəfə uyğun gəldiyini göstərən bir kəmiyyətdir.

Ərazi Xüsusiyyətləri

1. İstənilən çoxbucaqlının sahəsi müsbət kəmiyyətdir.

2. Bərabər çoxbucaqlıların sahələri bərabərdir.

3. Əgər çoxbucaqlı bir neçə çoxbucaqlıdan ibarətdirsə, onda onun sahəsi bu çoxbucaqlıların sahələrinin cəminə bərabərdir.

4. \(a\) tərəfi olan kvadratın sahəsi \(a^2\) -ə bərabərdir.

\[(\Böyük(\mətn(Düzbucaqlı və paraleloqramın sahəsi)))\]

Teorem: Düzbucaqlının sahəsi

Tərəfləri \(a\) və \(b\) olan düzbucaqlının sahəsi \(S=ab\) bərabərdir.

Sübut

Şəkildə göstərildiyi kimi \(ABCD\) düzbucağını tərəfi \(a+b\) olan kvadrata düzəldək:

Bu kvadrat düzbucaqlı \(ABCD\), digər bərabər düzbucaqlı və tərəfləri \(a\) və \(b\) olan iki kvadratdan ibarətdir. Beləliklə,

\(\begin(multline*) S_(a+b)=2S_(\text(pr-k))+S_a+S_b \Sol sağ ox (a+b)^2=2S_(\text(pr-k))+ a^2+b^2 \Sol sağ ox\\ a^2+2ab+b^2=2S_(\text(pr-k))+a^2+b^2 \Sağ ox S_(\text(pr-k) )=ab \end(çox sətir*)\)

Tərif

Paraleloqramın hündürlüyü, paraleloqramın təpəsindən bu təpəsi olmayan tərəfə (və ya tərəfin uzantısına) çəkilmiş perpendikulyardır.
Məsələn, \(BK\) hündürlüyü \(AD\) tərəfinə, \(BH\) isə \(CD\) tərəfinin davamına düşür:

Teorem: Paraleloqramın sahəsi

Paraleloqramın sahəsi hündürlüyün və bu hündürlüyün çəkildiyi tərəfin məhsuluna bərabərdir.

Sübut

Şəkildə göstərildiyi kimi \(AB"\) və \(DC"\) perpendikulyarlarını çəkək. Qeyd edək ki, bu perpendikulyarlar paraleloqramın hündürlüyünə bərabərdir \(ABCD\) .

Onda \(AB"C"D\) düzbucaqlıdır, buna görə də \(S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD\) .

Qeyd edək ki, \(ABB"\) və \(DCC"\) düzbucaqlı üçbucaqlar konqruentdir. Beləliklə,

\(S_(ABCD)=S_(ABC"D)+S_(DCC")=S_(ABC"D)+S_(ABB")=S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD.\)

\[(\Böyük(\mətn(Üçbucağın sahəsi)))\]

Tərif

Üçbucaqdakı hündürlüyün çəkildiyi tərəfi üçbucağın əsası adlandıracağıq.

Teorem

Üçbucağın sahəsi onun əsasının və bu bazaya çəkilən hündürlüyün məhsulunun yarısına bərabərdir.

Sübut

\(S\) \(ABC\) üçbucağının sahəsi olsun. Üçbucağın əsası kimi \(AB\) tərəfini götürək və hündürlüyünü çəkək \(CH\) . Gəlin bunu sübut edək \ Şəkildə göstərildiyi kimi \(ABC\) üçbucağını \(ABDC\) paraleloqramına quraq:

\(ABC\) və \(DCB\) üçbucaqları üç tərəfdən bərabərdir (\(BC\) onların ümumi tərəfidir, \(AB = CD\) və \(AC = BD\) paraleloqramın əks tərəfləridir \ (ABDC\ )), buna görə də onların sahələri bərabərdir. Beləliklə, \(ABC\) üçbucağının \(S\) sahəsi \(ABDC\) paraleloqramının sahəsinin yarısına bərabərdir, yəni \(S = \dfrac(1)(2)AB\cdot CH\).

Teorem

Əgər iki üçbucaq \(\üçbucaq ABC\) və \(\üçbucaq A_1B_1C_1\) bərabər hündürlüyə malikdirsə, onda onların sahələri bu hündürlüklərin çəkildiyi əsaslarla əlaqədardır.

Nəticə

Üçbucağın medianı onu bərabər sahəyə malik iki üçbucağa bölür.

Teorem

Əgər iki üçbucaq \(\üçbucaq ABC\) və \(\üçbucaq A_2B_2C_2\) varsa bərabər bucaq, onda onların sahələri bu bucağı meydana gətirən tərəflərin hasili kimi əlaqələndirilir.

Sübut

\(\bucaq A=\bucaq A_2\) edək. Gəlin bu bucaqları şəkildə göstərildiyi kimi birləşdirək (\(A\ nöqtəsi) \(A_2\) nöqtəsi ilə düzülmüş):

\(BH\) və \(C_2K\) hündürlüklərini tapaq.

\(AB_2C_2\) və \(ABC_2\) üçbucaqları eyni hündürlüyə malikdir \(C_2K\), buna görə də: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC_2))=\dfrac(AB_2)(AB)\]

\(ABC_2\) və \(ABC\) üçbucaqları eyni hündürlüyə malikdir \(BH\), buna görə də: \[\dfrac(S_(ABC_2))(S_(ABC))=\dfrac(AC_2)(AC)\]

Son iki bərabərliyi çarparaq, əldə edirik: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC))=\dfrac(AB_2\cdot AC_2)(AB\cdot AC) \qquad \text( və ya ) \qquad \dfrac(S_(A_2B_2C_2))(S_ (ABC))=\dfrac(A_2B_2\cdot A_2C_2)(AB\cdot AC)\]

Pifaqor teoremi

Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuzanın uzunluğunun kvadratı ayaqların uzunluqlarının kvadratlarının cəminə bərabərdir:

Bunun əksi də doğrudur: əgər üçbucaqda bir tərəfin uzunluğunun kvadratı digər iki tərəfin uzunluqlarının kvadratlarının cəminə bərabərdirsə, onda belə üçbucaq düzbucaqlıdır.

Teorem

Kvadrat düz üçbucaq ayaqların məhsulunun yarısına bərabərdir.

Teorem: Heron düsturu

\(p\) üçbucağın yarımperimetri, \(a\) , \(b\) , \(c\) tərəflərinin uzunluqları olsun, onda onun sahəsi \

\[(\Böyük(\mətn(Romb və trapesiya sahəsi)))\]

Şərh

Çünki Romb paraleloqramdır, onda eyni düstur onun üçün doğrudur, yəni. Rombun sahəsi hündürlüyün və bu hündürlüyün çəkildiyi tərəfin məhsuluna bərabərdir.

Teorem

Diaqonalları perpendikulyar olan qabarıq dördbucağın sahəsi diaqonalların məhsulunun yarısına bərabərdir.

Sübut

\(ABCD\) dördbucağını nəzərdən keçirək. \(AO=a, CO=b, BO=x, DO=y\) işarə edək:

Qeyd edək ki, bu dördbucaq dörd düzbucaqlı üçbucaqdan ibarətdir, ona görə də onun sahəsi bu üçbucaqların sahələrinin cəminə bərabərdir:

\(\begin(multline*) S_(ABCD)=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b) y)=\frac12(a+b)(x+y)\end(çoxxətt*)\)

Nəticə: rombun sahəsi

Rombun sahəsi onun diaqonallarının məhsulunun yarısına bərabərdir: \

Tərif

Trapezoidin hündürlüyü bir təməlin yuxarısından digər bazaya çəkilmiş perpendikulyardır.

Teorem: Trapezoidin sahəsi

Trapezoidin sahəsi əsasların və hündürlüyün cəminin yarısının məhsuluna bərabərdir.

Sübut

Əsasları \(BC\) və \(AD\) olan \(ABCD\) trapesiyasını nəzərdən keçirək. Şəkildə göstərildiyi kimi \(CD"\paralel AB\) çəkək:

Onda \(ABCD"\) paraleloqramdır.

Həmçinin \(BH"\perp AD, CH\perp AD\) həyata keçirək (\(BH"=CH\) trapezoidin hündürlükləridir).

Sonra \(S_(ABCD")=BH"\cdot AD"=BH"\cdot BC, \quad S_(CDD")=\dfrac12CH\cdot D"D\)

Çünki trapesiya paraleloqram \(ABCD"\) və üçbucaqdan \(CDD"\) ibarətdir, onda onun sahəsi paraleloqramın və üçbucağın sahələrinin cəminə bərabərdir, yəni:

\ \[=\dfrac12 CH\sol(BC+AD"+D"D\sağ)=\dfrac12 CH\sol(BC+AD\sağ)\]

1.1 Qədim dövrlərdə ərazilərin hesablanması

1.2 “Sahə”, “çoxbucaqlı”, “çoxbucaqlı sahəsi” anlayışlarının öyrənilməsinə müxtəlif yanaşmalar

1.2.1 Sahə anlayışı. Ərazi Xüsusiyyətləri

1.2.2 Çoxbucaqlı anlayışı

1.2.3 Çoxbucaqlının sahəsi anlayışı. Təsviri tərif

1.3 Çoxbucaqlıların sahələri üçün müxtəlif düsturlar

1.4 Çoxbucaqlıların sahələri üçün düsturların çıxarılması

1.4.1 Üçbucağın sahəsi. Heron düsturu

1.4.2 Düzbucaqlının sahəsi

1.4.3 Trapezoidin sahəsi

1.4.4 Dördbucaqlının sahəsi

1.4.5 Universal düstur

1.4.6 n-bucaq sahəsi

1.4.7 Çoxbucaqlının sahəsinin təpələrinin koordinatlarından hesablanması

1.4.8 Pik düsturu

1.5 Düzbucaqlı üçbucağın ayaqları üzərində qurulmuş kvadratların sahələrinin cəminə dair Pifaqor teoremi

1.6 Üçbucaqların bərabər düzülüşü. Bolyay-Gervin teoremi

1.7 Oxşar üçbucaqların sahələrinin nisbəti

1.8 Ən böyük sahəsi olan rəqəmlər

1.8.1 Trapesiya və ya düzbucaqlı

1.8.2 Meydanın diqqətəlayiq xüsusiyyəti

1.8.3 Digər formaların kəsikləri

1.8.4 Ən böyük sahəsi olan üçbucaq

Fəsil 2. Riyaziyyat dərslərində çoxbucaqlıların sahələrinin öyrənilməsinin metodik xüsusiyyətləri

2.1 Tematik planlaşdırma və riyaziyyatın dərindən öyrənildiyi siniflərdə tədrisin xüsusiyyətləri

2.2 Dərslərin keçirilməsi metodikası

2.3 Eksperimental işin nəticələri

Nəticə

Ədəbiyyat

Giriş

“Çoxbucaqlılar sahəsi” mövzusu məktəb riyaziyyat kursunun ayrılmaz hissəsidir ki, bu da olduqca təbiidir. Axı, tarixən həndəsənin yaranması bu və ya digər formalı torpaq sahələrini müqayisə etmək ehtiyacı ilə bağlıdır. Bununla belə, qeyd etmək lazımdır ki, bu mövzunu əhatə etmək üçün təhsil imkanları Ali məktəb tam istifadə olunmaqdan uzaqdır.

Məktəbdə riyaziyyatın tədrisinin əsas vəzifəsi şagirdlərin riyazi bilik və bacarıqlar sistemini güclü və şüurlu mənimsəməsini təmin etməkdir. Gündəlik həyat və hər bir üzv üçün əmək fəaliyyəti müasir cəmiyyətəlaqəli fənləri öyrənmək və davamlı təhsil üçün kifayətdir.

Əsas problemin həlli ilə yanaşı, riyaziyyatın dərindən öyrənilməsi şagirdlərdə fənnə davamlı marağın formalaşdırılmasını, onların riyazi qabiliyyətlər, əhəmiyyətli dərəcədə riyaziyyatla əlaqəli peşələrə istiqamətlənmə, universitetdə təhsil almağa hazırlıq.

Kvalifikasiya işiümumtəhsil məktəbi riyaziyyat kursunun məzmununu və bu kursa bilavasitə bitişik olan və onu əsas ideoloji istiqamətlər üzrə dərinləşdirən bir sıra əlavə suallar daxildir.

Əlavə sualların daxil edilməsi bir-biri ilə əlaqəli iki məqsəd daşıyır. Bu, bir tərəfdən, kursun əsas bölmələri ilə birlikdə, riyaziyyata meylli tələbələrin maraqlarını təmin etmək və bacarıqlarını inkişaf etdirmək üçün bazanın yaradılması, digər tərəfdən, əsas kursun məzmun boşluqları, dərindən öyrənmə məzmununa lazımi bütövlük verilməsi.

Kvalifikasiya işi giriş, iki fəsil, nəticə və istinad edilmiş ədəbiyyatdan ibarətdir. Birinci fəsildə çoxbucaqlıların sahələrinin öyrənilməsinin nəzəri əsaslarından, ikinci fəsildə isə sahələrin öyrənilməsinin metodoloji xüsusiyyətlərindən birbaşa bəhs edilir.

Fəsil 1. Çoxbucaqlıların sahələrinin öyrənilməsinin nəzəri əsasları

1.1 Qədim dövrlərdə ərazilərin hesablanması

Sahələrin ölçülməsi ilə bağlı həndəsi biliklərin başlanğıcı min illərin dərinliklərində itib.

Hətta 4-5 min il əvvəl babillilər düzbucaqlı və trapezoidin sahəsini kvadrat vahidlərdə təyin edə bildilər. Kvadrat bir çox diqqətəlayiq xüsusiyyətlərinə görə uzun müddət ərazilərin ölçülməsi üçün etalon kimi xidmət etmişdir: bərabər tərəflər, bərabər və düz bucaqlar, simmetriya və formanın ümumi mükəmməlliyi. Meydanları qurmaq asandır və ya boşluqlar olmadan bir təyyarəni doldura bilərsiniz.

IN qədim Çin Sahənin ölçüsü düzbucaqlı idi. Masonlar bir evin düzbucaqlı divarının sahəsini təyin edərkən, divarın hündürlüyünü və enini vurdular. Bu həndəsədə qəbul edilən tərifdir: düzbucaqlının sahəsi onun bitişik tərəflərinin məhsuluna bərabərdir. Bu tərəflərin hər ikisi eyni xətti vahidlərlə ifadə edilməlidir. Onların məhsulu müvafiq kvadrat vahidlərlə ifadə olunan düzbucaqlının sahəsi olacaqdır. Deyin ki, divarın hündürlüyü və eni dekimetrlə ölçülürsə, onda hər iki ölçmənin məhsulu kvadrat desimetrlə ifadə olunacaq. Hər bir üzbəüz salın sahəsi kvadrat desimetrdirsə, nəticədə alınan məhsul örtük üçün lazım olan plitələrin sayını göstərəcəkdir. Bu, sahələrin ölçülməsinin əsasını təşkil edən ifadədən belə çıxır: kəsişməyən fiqurlardan ibarət fiqurun sahəsi onların sahələrinin cəminə bərabərdir.

Qədim misirlilər 4000 il əvvəl düzbucaqlı, üçbucaq və trapezoidin sahəsini ölçmək üçün etdiyimiz üsullarla demək olar ki, eyni üsullardan istifadə edirdilər: üçbucağın əsası yarıya bölündü və hündürlüyə vuruldu; trapesiya üçün paralel tərəflərin cəmi yarıya bölünür və hündürlüyə vurulur və s. Sahəni hesablamaq üçün

tərəfləri olan dördbucaqlı (şək. 1.1), düstur (1.1) istifadə edilmişdir

olanlar. Qarşı tərəflərin yarım cəmi vuruldu.

Bu düstur hər hansı dördbucaqlı üçün açıq-aydın yanlışdır, buradan, xüsusən də bütün rombların sahələrinin eyni olduğu belə çıxır. Bu arada, belə rombların sahələrinin təpələrdəki bucaqların ölçüsündən asılı olduğu aydındır. Bu düstur yalnız düzbucaqlı üçün doğrudur. Onun köməyi ilə bucaqları düz bucaqlara yaxın olan dördbucaqlıların sahəsini təxminən hesablaya bilərsiniz.

Ərazini müəyyən etmək üçün

misosceles üçbucağı (Şəkil 1.2), burada misirlilər təxmini düsturdan istifadə etdilər:
(1.2) Şək. 1.2 Bu vəziyyətdə buraxılan xəta daha kiçikdir, üçbucağın tərəfi ilə hündürlüyü arasındakı fərq nə qədər kiçik olarsa, başqa sözlə, təpə (və) -dən hündürlüyün əsasına bir o qədər yaxın olar. Buna görə də təxmini düstur (1.2) yalnız zirvədə nisbətən kiçik bucağı olan üçbucaqlar üçün tətbiq edilir.

Ancaq artıq qədim yunanlar çoxbucaqlıların sahələrini necə düzgün tapmağı bilirdilər. Euclid "Elements"ində "sahə" sözünü işlətmir, çünki "fiqur" sözünün özü ilə o, müstəvinin bu və ya digər qapalı xətt ilə məhdudlaşan hissəsini başa düşür. Evklid sahənin ölçülməsinin nəticəsini ədədlə ifadə etmir, fərqli fiqurların sahələrini bir-biri ilə müqayisə edir.

Digər qədim elm adamları kimi, Evklid də bəzi fiqurların eyni ölçülü digərlərinə çevrilməsi ilə məşğul olur. Kompozit fiqurun sahəsi, onun hissələri fərqli şəkildə, lakin kəsişmədən düzülürsə, dəyişməyəcəkdir. Buna görə də, məsələn, düzbucaqlının sahəsi üçün düsturlara əsaslanaraq, digər fiqurların sahələri üçün düsturlar tapmaq mümkündür. Beləliklə, üçbucaq daha sonra bərabər ölçülü düzbucaqlının yarana biləcəyi hissələrə bölünür. Bu konstruksiyadan belə çıxır ki, üçbucağın sahəsi onun əsasının və hündürlüyünün məhsulunun yarısına bərabərdir. Belə bir kəsimə müraciət edərək, paraleloqramın sahəsinin təməl və hündürlüyün hasilinə bərabər olduğunu və trapezoidin sahəsinin əsasların və hündürlüyün cəminin yarısının məhsulu olduğunu tapırlar. .

Masonların divara plitələr qoyması lazım olduqda mürəkkəb konfiqurasiya, üzlük üçün istifadə olunan plitələrin sayını hesablayaraq divarın sahəsini təyin edə bilərlər. Bəzi plitələr, əlbəttə ki, örtükün kənarları divarın kənarı ilə üst-üstə düşməsi üçün kəsilməlidir. İşdə istifadə olunan bütün plitələrin sayı divar sahəsini artıqlığı ilə, qırılmamış plitələrin sayı - çatışmazlıq ilə qiymətləndirir. Hüceyrələrin ölçüsü azaldıqca tullantıların miqdarı azalır və plitələrin sayı ilə müəyyən edilən divar sahəsi getdikcə daha dəqiq hesablanır.

Əsərləri əsasən tətbiqi xarakter daşıyan sonrakı yunan riyaziyyatçı və ensiklopedistlərindən biri də I əsrdə yaşamış İsgəndəriyyə Herondur. n. e. Görkəmli mühəndis olduğu üçün onu "Mexanik Heron" da adlandırırdılar. Heron "Dioptris" əsərində müxtəlif maşınları və praktiki ölçü alətlərini təsvir edir.

Heronun kitablarından biri “Həndəsə” adlanırdı və bir növ düsturlar və müvafiq məsələlər toplusudur. Burada kvadratların, düzbucaqlıların və üçbucaqların sahələrinin hesablanmasına dair nümunələr var. Üçbucağın tərəflərinə görə sahəsini tapmaq haqqında Heron yazır: “Məsələn, üçbucağın bir tərəfinin uzunluğu 13, ikincisi 14, üçüncüsü isə 15 ölçü ipinə malik olsun. Sahəni tapmaq üçün davam edin. göstərildiyi kimi. 13, 14 və 15 əlavə edin; 42 olacaq. Bunun yarısı 21 olacaq. Bundan üç tərəfi bir-bir çıxarın; əvvəlcə 13-ü çıxarın - 8 qalır, sonra 14 - 7 qalır və nəhayət 15 - 6 qalır. İndi onları çoxaltın: 21 dəfə 8 168 verir, bunu 7 dəfə götür - 1176 alırsınız və götürün. bu daha 6 dəfə - 7056 alırsınız. Buradan kvadrat kök 84 olacaq. Üçbucağın sahəsində nə qədər ölçü kordları olacaq."