Hər hansı bir fiqurun sahəsini necə tapmaq olar. Fiqurlar üçün sahə teoremləri

Sinif: 5

Məncə, müəllimin vəzifəsi təkcə öyrətmək deyil, həm də şagirddə idraki marağı inkişaf etdirməkdir. Ona görə də imkan daxilində dərs mövzularını praktiki tapşırıqlarla əlaqələndirirəm.

Dərs zamanı tələbələr müəllimin rəhbərliyi altında "mürəkkəb rəqəmin" sahəsini tapmaq (təmir smetalarının hesablanması üçün) üçün problemlərin həlli üçün bir plan tərtib edir, ərazini tapmaq üçün problemlərin həlli bacarıqlarını möhkəmləndirir; diqqətin, bacarıqların inkişafı tədqiqat fəaliyyəti, fəaliyyətin, müstəqilliyin tərbiyəsi.

Cütlərlə işləmək biliyə sahib olanlarla onu əldə edənlər arasında ünsiyyət vəziyyəti yaradır; Bu iş fənn üzrə təlimin keyfiyyətinin yüksəldilməsinə əsaslanır. Tədris prosesinə marağın inkişafına və tədris materialının daha dərindən mənimsənilməsinə kömək edir.

Dərs təkcə tələbələrin biliklərini sistemləşdirmir, həm də yaradıcılıq və analitik qabiliyyətlərin inkişafına kömək edir. Dərsdə praktiki məzmunlu məsələlərin istifadəsi gündəlik həyatda riyazi biliklərin aktuallığını göstərməyə imkan verir.

Dərsin məqsədləri:

Təhsil:

düzbucaqlı, düzbucaqlı üçbucağın sahəsi üçün düsturlar haqqında biliklərin möhkəmləndirilməsi;
"mürəkkəb" fiqurun sahəsinin hesablanması üçün tapşırıqların və onların yerinə yetirilməsi üsullarının təhlili;
bilik, bacarıq və bacarıqları yoxlamaq üçün tapşırıqların müstəqil yerinə yetirilməsi.

Təhsil:

əqli və tədqiqat fəaliyyətinin metodlarının işlənib hazırlanması;
dinləmək və qərarın gedişatını izah etmək bacarığını inkişaf etdirmək.

Təhsil:

tələbələrin akademik bacarıqlarını inkişaf etdirmək;
şifahi və yazılı riyazi nitq mədəniyyətini inkişaf etdirmək;
sinifdə mehriban münasibət və qruplarda işləmək bacarığını inkişaf etdirmək.

Dərsin növü: birləşdirilmiş.

Avadanlıq:

Riyaziyyat: 5-ci sinif üçün dərslik. ümumi təhsil qurumlar/ N.Ya. Vilenkin, V.I. Joxov və b., M.: “Mnemosyne”, 2010.
Mürəkkəb bir formanın sahəsini hesablamaq üçün formaları olan tələbə qrupları üçün kartlar.
Rəsm alətləri.

Dərs planı:

Təşkilat vaxtı.
Biliklərin yenilənməsi.
a) Nəzəri suallar (test).
b) Problemin ifadəsi.
Yeni material öyrəndi.
a) problemin həllini tapmaq;
b) problemin həlli.
Materialın bərkidilməsi.
a) problemlərin kollektiv həlli;
Bədən tərbiyəsi dəqiqəsi.
b) müstəqil iş.
Ev tapşırığı.
Dərsin xülasəsi. Refleksiya.

Dərslər zamanı

I. Təşkilati məqam.

Bu ayrılıq sözləri ilə dərsə başlayacağıq:

Riyaziyyat, dostlar,
Tamamilə hər kəsə lazımdır.
Sinifdə səylə çalışın
Və uğur sizi mütləq gözləyəcək!

II. Biliklərin yenilənməsi.

A) Siqnal kartları ilə frontal iş (hər tələbənin 1, 2, 3, 4 nömrələri olan kartları var; test sualına cavab verərkən tələbə düzgün cavabın nömrəsi olan kartı qaldırır).

1. Kvadrat santimetr belədir:

tərəfi 1 sm olan kvadratın sahəsi;
tərəfi 1 sm olan kvadrat;
perimetri 1 sm olan kvadrat.

2. Şəkildə göstərilən fiqurun sahəsi bərabərdir:

8 dm;
8 dm 2;
15 dm 2.

3. Bərabər fiqurların bərabər perimetrləri və bərabər sahələri olduğu doğrudurmu?

4. Düzbucaqlının sahəsi düsturla müəyyən edilir:

S = a 2;
S = 2 (a + b);
S = a b.

5. Şəkildə göstərilən fiqurun sahəsi bərabərdir:

12 sm;
8 sm;
16 sm.

b) (Problemin formalaşdırılması). Tapşırıq. 1 m2-ə 200 q boya sərf edilərsə, aşağıdakı formaya malik olan döşəməni rəngləmək üçün nə qədər boya lazımdır (şəklə bax?

III. Yeni materialın öyrənilməsi.

Son problemi həll etmək üçün nə bilməliyik? ("mürəkkəb fiqur" kimi görünən mərtəbə sahəsini tapın.)

Şagirdlər dərsin mövzusunu və məqsədlərini formalaşdırır (lazım olduqda müəllim kömək edir).

Bir düzbucaqlı düşünün A B C D. Gəlin orada bir xətt çəkək KPMN, düzbucaqlı qırmaq A B C D iki hissəyə: ABNMPK Və KPMNCD.

Ərazi nədir? A B C D? (15 sm 2)

Şəklin sahəsi nədir? ABMNPK? (7 sm 2)

Şəklin sahəsi nədir? KPMNCD? (8 sm 2)

Nəticələrinizi təhlil edin. (15= = 7 + 8)

Nəticə? (Bütün fiqurun sahəsi onun hissələrinin sahələrinin cəminə bərabərdir.)

S = S 1 + S 2

Problemimizi həll etmək üçün bu xüsusiyyəti necə tətbiq edə bilərik? (Mürəkkəb fiquru hissələrə bölək, hissələrin sahələrini, sonra isə bütün fiqurun sahəsini tapaq.)

S 1 = 7 2 = 14 (m 2)
S 2 = (7 – 4) (8 – 2 – 3) = 3 3 = 9 (m 2)
S 3 = 7 3 = 21 (m 2)
S = S 1 + S 2 + S 3 = 14 + 9 + 21 = 44 (m2)

Gəlin makiyaj edək "mürəkkəb fiqurun" sahəsini tapmaq üçün problemlərin həlli üçün plan:

Biz rəqəmi sadə rəqəmlərə bölürük.
Sadə fiqurların sahələrinin tapılması.

a) Tapşırıq 1. Aşağıdakı ölçülərdə bir sayt qoymaq üçün neçə plitə lazımdır:

S = S 1 + S 2
S 1 = (60 – 30) 20 = 600 (dm 2)
S 2 = 30 50 = 1500 (dm 2)
S = 600 + 1500 = 2100 (dm 2)

Həll etməyin başqa yolu varmı? (Təklif olunan variantları nəzərdən keçiririk.)

Cavab: 2100 dm 2.

Tapşırıq 2. (kollektiv qərar lövhədə və dəftərlərdə.) Aşağıdakı formada bir otağı təmir etmək üçün neçə m2 linoleum lazımdır:

S = S 1 + S 2
S 1 = 3 2 = 6 (m 2)
S 2 = ((5 – 3) 2) : 2 = 2 (m 2)
S = 6 + 2 = 8 (m2)

Cavab: 8 m2.

Bədən tərbiyəsi dəqiqəsi.

İndi, uşaqlar, ayağa qalxın.
Tez əllərini yuxarı qaldırdılar.
Yanlara, irəli, arxaya.
Sağa, sola çevrildi.
Sakitcə oturdular və işə qayıtdılar.

b) Müstəqil iş (təhsil) .

Şagirdlər qruplara bölünür (№ 5–8 daha güclüdür). Hər qrup bir təmir komandasıdır.

Komandalar üçün tapşırıq: 1 m2 üçün 200 q boya tələb olunarsa, kartda göstərilən rəqəmin formasına malik olan döşəmənin rənglənməsi üçün nə qədər boya lazım olduğunu müəyyənləşdirin.

Bu rəqəmi dəftərinizdə qurursunuz və bütün məlumatları yazır və tapşırığa başlayırsınız. Siz həll yolunu müzakirə edə bilərsiniz (ancaq yalnız öz qrupunuzda!). Əgər hansısa qrup tapşırığın öhdəsindən tez gəlirsə, o zaman onlara əlavə tapşırıq verilir (müstəqil işi yoxladıqdan sonra).

Qruplar üçün tapşırıqlar:

V. Ev tapşırığı.

bənd 18, No 718, No 749.

Əlavə tapşırıq. Yay bağının plan diaqramı (Sankt-Peterburq). Onun sahəsini hesablayın.

VI. Dərsin xülasəsi.

Refleksiya. Cümləni davam etdirin:

Bu gün bildim...
Maraqlı idi…
Çətin idi…
İndi mən edə bilərəm…
Mənə həyat dərsi verdi...

Həndəsə problemlərini həll etmək üçün üçbucağın sahəsi və ya paraleloqramın sahəsi kimi düsturları, eləcə də əhatə edəcəyimiz sadə üsulları bilməlisiniz.

Əvvəlcə fiqurların sahələri üçün düsturları öyrənək. Biz onları xüsusi olaraq rahat bir cədvəldə topladıq. Çap edin, öyrənin və tətbiq edin!

Əlbəttə ki, bütün həndəsə düsturları cədvəlimizdə yoxdur. Məsələn, ikinci hissədə həndəsə və stereometriyadan məsələləri həll etmək profil Vahid Dövlət İmtahanı Riyaziyyatda üçbucağın sahəsi üçün başqa düsturlardan da istifadə olunur. Onlar haqqında sizə mütləq məlumat verəcəyik.

Bəs bir trapezoidin və ya üçbucağın sahəsini deyil, hansısa mürəkkəb fiqurun sahəsini tapmaq lazımdırsa? Universal yollar var! Biz onları FIPI tapşırıq bankından nümunələrdən istifadə edərək göstərəcəyik.

1. Qeyri-standart fiqurun sahəsini necə tapmaq olar? Məsələn, ixtiyari dördbucaqlı? Sadə bir texnika - gəlin bu rəqəmi hər şeyi bildiyimizə bölmək və onun sahəsini tapmaq - bu fiqurların sahələrinin cəmi kimi.

Üfüqi bir xətt ilə bu dördbucaqlını ümumi əsası bərabər olan iki üçbucağa bölün. Bu üçbucaqların hündürlükləri bərabərdir Və . Onda dördbucağın sahəsi iki üçbucağın sahələrinin cəminə bərabərdir: .

Cavab: .

2. Bəzi hallarda fiqurun sahəsi bəzi sahələrin fərqi kimi göstərilə bilər.

Bu üçbucağın təməlinin və hündürlüyünün nəyə bərabər olduğunu hesablamaq o qədər də asan deyil! Ancaq deyə bilərik ki, onun sahəsi bir tərəfi üç ilə kvadratın sahələri arasındakı fərqə bərabərdir düz üçbucaqlar. Şəkildə onları görürsən? Alırıq: .

Cavab: .

3. Bəzən tapşırıqda bütün fiqurun deyil, onun bir hissəsinin sahəsini tapmaq lazımdır. Adətən biz sektorun sahəsindən - dairənin bir hissəsindən danışırıq.Qövs uzunluğu bərabər olan radiuslu dairənin sektorunun sahəsini tapın. .

Bu şəkildə bir dairənin bir hissəsini görürük. Bütün dairənin sahəsi bərabərdir. Dairənin hansı hissəsinin təsvir olunduğunu tapmaq qalır. Bütün dairənin uzunluğu bərabər olduğundan (çünki ) və verilmiş sektorun qövsünün uzunluğu bərabərdir , buna görə də qövsün uzunluğu bütün çevrənin uzunluğundan bir neçə dəfə azdır. Bu qövsün dayandığı bucaq da tam çevrədən (yəni dərəcə) kiçik bir əmsaldır. Bu o deməkdir ki, sektorun sahəsi bütün dairənin sahəsindən bir neçə dəfə kiçik olacaq.

Həndəsi mənanın təhlilinə həsr olunmuş əvvəlki bölmədə müəyyən inteqral, əyri bir trapezoidin sahəsini hesablamaq üçün bir sıra düsturlar aldıq:

S (G) = ∫ a b f (x) d x fasiləsiz və mənfi olmayan y = f (x) funksiyası üçün [ a ; b ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x fasiləsiz və qeyri-müsbət funksiya üçün y = f (x) [ a ; b].

Bu düsturlar nisbətən sadə məsələlərin həlli üçün tətbiq edilir. Reallıqda biz tez-tez daha mürəkkəb fiqurlarla işləməli olacağıq. Bununla əlaqədar olaraq, bu bölməni açıq formada funksiyalarla məhdudlaşan rəqəmlərin sahəsini hesablamaq üçün alqoritmlərin təhlilinə həsr edəcəyik, yəni. y = f(x) və ya x = g(y) kimi.

Teorem

y = f 1 (x) və y = f 2 (x) funksiyaları [ a intervalında təyin olunsun və kəsimli olsun; b ] , və [ a dan istənilən x qiyməti üçün f 1 (x) ≤ f 2 (x) ; b]. Sonra x = a, x = b, y = f 1 (x) və y = f 2 (x) xətləri ilə məhdudlaşan G rəqəminin sahəsini hesablamaq üçün düstur S (G) = ∫ kimi görünəcəkdir. a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Bənzər bir düstur y = c, y = d, x = g 1 (y) və x = g 2 (y) xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsi üçün də tətbiq olunacaq: S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Sübut

Düsturun etibarlı olacağı üç halı nəzərdən keçirək.

Birinci halda, sahənin əlavə xüsusiyyətini nəzərə alaraq, orijinal G fiqurunun və G 1 əyri xətti trapezoidin sahələrinin cəmi G 2 rəqəminin sahəsinə bərabərdir. Bu o deməkdir ki

Buna görə də S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Müəyyən inteqralın üçüncü xassəsindən istifadə edərək sonuncu keçidi həyata keçirə bilərik.

İkinci halda bərabərlik doğrudur: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 () x) - f 1 (x)) d x

Qrafik illüstrasiya belə görünəcək:

Hər iki funksiya qeyri-pozitiv olarsa, alarıq: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x . Qrafik illüstrasiya belə görünəcək:

y = f 1 (x) və y = f 2 (x) O x oxunu kəsdiyi zaman ümumi halı nəzərdən keçirək.

Biz kəsişmə nöqtələrini x i, i = 1, 2, kimi işarə edirik. . . , n - 1. Bu nöqtələr seqmenti [a; b ] n hissəyə x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, burada α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Beləliklə,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f () x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Müəyyən inteqralın beşinci xassəsindən istifadə edərək sonuncu keçidi edə bilərik.

Qrafikdə ümumi vəziyyəti təsvir edək.

S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x düsturu sübut edilmiş hesab edilə bilər.

İndi y = f (x) və x = g (y) xətləri ilə məhdudlaşan fiqurların sahəsinin hesablanması nümunələrinin təhlilinə keçək.

Nümunələrdən hər hansı birini nəzərdən keçirməyə qrafik quraraq başlayacağıq. Şəkil bizə mürəkkəb formaları daha sadə formaların birləşmələri kimi təqdim etməyə imkan verəcək. Əgər onlar üzərində qrafiklər və rəqəmlər qurmaq sizin üçün çətindirsə, siz funksiyanı öyrənərkən əsas elementar funksiyalar, funksiyaların qrafiklərinin həndəsi çevrilməsi, həmçinin qrafiklərin qurulması bölməsini öyrənə bilərsiniz.

Misal 1

y = - x 2 + 6 x - 5 parabola və y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4 düz xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini təyin etmək lazımdır.

Həll

Dekart koordinat sistemində qrafikin üzərindəki xətləri çəkək.

Seqmentdə [ 1 ; 4 ] y = - x 2 + 6 x - 5 parabolunun qrafiki y = - 1 3 x - 1 2 düz xəttinin üstündə yerləşir. Bununla əlaqədar olaraq, cavabı əldə etmək üçün əvvəllər əldə edilmiş düsturdan, həmçinin Nyuton-Leybniz düsturundan istifadə edərək müəyyən inteqralın hesablanması metodundan istifadə edirik:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Cavab: S(G) = 13

Daha mürəkkəb bir nümunəyə baxaq.

Misal 2

y = x + 2, y = x, x = 7 xətləri ilə məhdudlaşan rəqəmin sahəsini hesablamaq lazımdır.

Həll

Bu halda, x oxuna paralel yerləşən yalnız bir düz xəttimiz var. Bu x = 7-dir. Bu, inteqrasiyanın ikinci həddini özümüz tapmağımızı tələb edir.

Gəlin bir qrafik quraq və onun üzərində məsələnin bəyanatında verilmiş xətləri çəkək.

Qrafiki gözümüzün qabağında tutaraq asanlıqla müəyyən edə bilərik ki, inteqrasiyanın aşağı həddi y = x düz xəttinin qrafikinin və y = x + 2 yarımparabolunun kəsişmə nöqtəsinin absissası olacaqdır. Absisləri tapmaq üçün bərabərliklərdən istifadə edirik:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Belə çıxır ki, kəsişmə nöqtəsinin absisi x = 2-dir.

Diqqətinizi ona cəlb edirik ki, rəsmdəki ümumi nümunədə y = x + 2, y = x xətləri (2; 2) nöqtəsində kəsişir, ona görə də belə ətraflı hesablamalar lazımsız görünə bilər. Biz burada belə ətraflı həlli təqdim etdik, çünki daha mürəkkəb hallarda həll o qədər də aydın olmaya bilər. Bu o deməkdir ki, xətlərin kəsişməsinin koordinatlarını analitik şəkildə hesablamaq həmişə daha yaxşıdır.

İnterval üzrə [ 2 ; 7] y = x funksiyasının qrafiki y = x + 2 funksiyasının qrafikindən yuxarıda yerləşir. Sahəni hesablamaq üçün formula tətbiq edək:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Cavab: S (G) = 59 6

Misal 3

y = 1 x və y = - x 2 + 4 x - 2 funksiyalarının qrafikləri ilə məhdudlaşdırılan rəqəmin sahəsini hesablamaq lazımdır.

Həll

Qrafikdə xətləri çəkək.

Gəlin inteqrasiyanın sərhədlərini müəyyən edək. Bunun üçün 1 x və - x 2 + 4 x - 2 ifadələrini bərabərləşdirməklə xətlərin kəsişmə nöqtələrinin koordinatlarını təyin edirik. x sıfır olmamaq şərti ilə, 1 x = - x 2 + 4 x - 2 bərabərliyi tam əmsallı üçüncü dərəcəli tənliyə - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 bərabərliyinə çevrilir. Bu cür tənliklərin həlli alqoritmi haqqında yaddaşınızı yeniləmək üçün “Kubik tənliklərin həlli” bölməsinə müraciət edə bilərik.

Bu tənliyin kökü x = 1-dir: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

- x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ifadəsini x - 1 binomuna bölsək, alırıq: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Qalan kökləri x 2 - 3 x - 1 = 0 tənliyindən tapa bilərik:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Biz x ∈ 1 intervalını tapdıq; 3 + 13 2, burada G rəqəmi mavinin üstündə və qırmızı xəttin altındadır. Bu, rəqəmin sahəsini təyin etməyə kömək edir:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Cavab: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Misal 4

y = x 3, y = - log 2 x + 1 əyriləri və absis oxu ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablamaq lazımdır.

Həll

Qrafikdə bütün xətləri çəkək. y = - log 2 x + 1 funksiyasının qrafikini y = log 2 x qrafikindən əldə edə bilərik, əgər onu x oxuna görə simmetrik olaraq yerləşdirsək və bir vahid yuxarı aparsaq. X oxunun tənliyi y = 0-dır.

Xətlərin kəsişmə nöqtələrini qeyd edək.

Şəkildən göründüyü kimi y = x 3 və y = 0 funksiyalarının qrafikləri (0; 0) nöqtəsində kəsişir. Bu baş verir, çünki x = 0 x 3 = 0 tənliyinin yeganə həqiqi köküdür.

x = 2 tənliyin yeganə köküdür - log 2 x + 1 = 0, ona görə də y = - log 2 x + 1 və y = 0 funksiyalarının qrafikləri (2; 0) nöqtəsində kəsişir.

x = 1 x 3 = - log 2 x + 1 tənliyinin yeganə köküdür. Bu baxımdan y = x 3 və y = - log 2 x + 1 funksiyalarının qrafikləri (1; 1) nöqtəsində kəsişir. Sonuncu ifadə aydın olmaya bilər, lakin x 3 = - log 2 x + 1 tənliyinin birdən çox kökü ola bilməz, çünki y = x 3 funksiyası ciddi şəkildə artır və y = - log 2 x + 1 funksiyası ciddi şəkildə azalır.

Növbəti həll bir neçə variantı əhatə edir.

Seçim №1

G rəqəmini x oxundan yuxarıda yerləşən, birincisi x ∈ 0 seqmentində orta xəttdən aşağıda yerləşən iki əyrixətti trapezoidin cəmi kimi təsəvvür edə bilərik; 1, ikincisi isə x ∈ 1 seqmentində qırmızı xəttin altındadır; 2. Bu o deməkdir ki, sahə S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x -ə bərabər olacaqdır.

Seçim № 2

Şəkil G iki fiqurun fərqi kimi göstərilə bilər, birincisi x oxunun üstündə və x ∈ 0 seqmentində mavi xəttin altında yerləşir; 2, ikincisi isə x ∈ 1 seqmentində qırmızı və mavi xətlər arasında; 2. Bu, ərazini aşağıdakı kimi tapmağa imkan verir:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Bu halda sahəni tapmaq üçün S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y formasının düsturundan istifadə etməli olacaqsınız. Əslində, rəqəmi bağlayan xətlər y arqumentinin funksiyaları kimi göstərilə bilər.

y = x 3 və - log 2 x + 1 tənliklərini x-ə münasibətdə həll edək:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Lazım olan sahəni alırıq:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Cavab: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Misal 5

y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4 xətləri ilə məhdudlaşan rəqəmin sahəsini hesablamaq lazımdır.

Həll

Qırmızı xəttlə y = x funksiyası ilə müəyyən edilmiş xətti çəkirik. y = - 1 2 x + 4 xəttini mavi, y = 2 3 x - 3 xəttini isə qara rənglə çəkirik.

Gəlin kəsişmə nöqtələrini qeyd edək.

y = x və y = - 1 2 x + 4 funksiyalarının qrafiklərinin kəsişmə nöqtələrini tapaq:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Yoxlayın: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 deyil X 2 = tənliyinin həlli 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 tənliyinin həlli ⇒ (4; 2) kəsişmə nöqtəsi i y = x və y = - 1 2 x + 4

y = x və y = 2 3 x - 3 funksiyalarının qrafiklərinin kəsişmə nöqtəsini tapaq:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Yoxlayın: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 tənliyinin həlli ⇒ (9 ; 3) nöqtəsi a s y = x və y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Tənliyin həlli yoxdur

y = - 1 2 x + 4 və y = 2 3 x - 3 xətlərinin kəsişmə nöqtəsini tapaq:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1) ) kəsişmə nöqtəsi y = - 1 2 x + 4 və y = 2 3 x - 3

Metod №1

İstədiyiniz fiqurun sahəsini fərdi fiqurların sahələrinin cəmi kimi təsəvvür edək.

Sonra fiqurun sahəsi:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metod № 2

Orijinal fiqurun sahəsi digər iki rəqəmin cəmi kimi göstərilə bilər.

Sonra x-ə nisbətən xəttin tənliyini həll edirik və yalnız bundan sonra rəqəmin sahəsini hesablamaq üçün düstur tətbiq edirik.

y = x ⇒ x = y 2 qırmızı xətt y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 qara xətt y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Beləliklə, ərazi belədir:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Gördüyünüz kimi, dəyərlər eynidir.

Cavab: S (G) = 11 3

Nəticələr

Məhdud fiqurun sahəsini tapmaq üçün verilmiş xətlər müstəvidə xətlər qurmalı, onların kəsişmə nöqtələrini tapmalı və sahəni tapmaq üçün düsturdan istifadə etməliyik. Bu bölmədə biz tapşırıqların ən çox yayılmış variantlarını araşdırdıq.

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Sahə: Sahə səthin ölçüsünü ölçən kəmiyyətdir. Riyaziyyatda fiqurun sahəsi həndəsi bir anlayışdır, ölçüdür düz fiqur. Səth sahəsi bir səthin ədədi xarakteristikasıdır. Memarlıqda meydan, açıq... ... Vikipediya

Kvadrat- Bu terminin başqa mənaları da var, bax Ərazi (mənalar). Sahə Ölçüsü L² SI vahidləri m² ... Vikipediya

Üçbucağın sahəsi- Standart qeyd Üçbucaq 3 təpəsi (bucaq) və 3 tərəfi olan ən sadə çoxbucaqlıdır; təyyarənin eyni xətt üzərində olmayan üç nöqtə ilə məhdudlaşan hissəsi və bu nöqtələri cüt-cüt birləşdirən üç seqment. Üçbucağın təpələri ... Vikipediya

Lenin meydanı (Petrozavodsk)- Lenin meydanı Petrozavodsk ... Vikipediya

Sahə (həndəsə)- Sahə, həndəsi fiqurlarla əlaqəli əsas kəmiyyətlərdən biridir. Ən sadə hallarda, düz bir rəqəmi dolduran vahid kvadratların, yəni bir uzunluq vahidinə bərabər olan tərəfi olan kvadratların sayı ilə ölçülür. P.-nin hesablanması artıq qədim dövrlərdə... ...

Kvadrat- mənzilin kəmiyyət xüsusiyyətlərindən biridir həndəsi fiqurlar və səthlər. Düzbucaqlının sahəsi iki bitişik tərəfin uzunluqlarının hasilinə bərabərdir. Bir pilləli fiqurun sahəsi (yəni bir neçə bitişik yerə bölünə bilən ... ... Böyük ensiklopedik lüğət

AREA (həndəsə)- AREA, yastı həndəsi fiqurların və səthlərin kəmiyyət xüsusiyyətlərindən biridir. Düzbucaqlının sahəsi iki bitişik tərəfin uzunluqlarının hasilinə bərabərdir. Bir pilləli fiqurun sahəsi (yəni bir neçə yerə bölünə bilən ... ... ensiklopedik lüğət

Kvadrat- AREA, kvadratlar, əvvəlki. sahəsi haqqında və (köhnəlmiş) sahəsində, cəm. və sahələr, qadınlar. (kitab). 1. Təyyarənin qırıq və ya əyri xətt (geom.) ilə məhdudlaşan hissəsi. Düzbucaqlının sahəsi. Əyri fiqurun sahəsi. 2. yalnız vahidlər. Kosmos, …… Lüğət Uşakova

Ərazi (memar.)- Meydan, digər şəhər məkanları sisteminə daxil olan, hər hansı binalar, tikililər və ya yaşıllıqlarla haşiyələnmiş, açıq, memarlıq cəhətdən təşkil edilmiş məkan. Şəhər saraylarının sələfləri sarayların mərasim həyətləri və... Böyük Sovet Ensiklopediyası

Yaddaş Meydanı (Tyumen)- Yaddaş Meydanı Tümen Ümumi məlumat ... Wikipedia

Kitablar

Riyaziyyat, fizika və təbiətdəki fiqurlar. Kvadratlar, Üçbucaqlar və Dairələr, Catherine Sheldric-Ross. Kitab haqqında Kitabın xüsusiyyətləri 75-dən çox qeyri-adi ustad dərsləri həndəsə öyrənilməsini maraqlı oyuna çevirməyə kömək edəcək Kitabda əsas fiqurlar mümkün qədər ətraflı təsvir olunur: kvadratlar, dairələr və... 1206 rubla al
Riyaziyyat, fizika və təbiətdəki fiqurlar Kvadratlar, üçbucaqlar və dairələr, Sheldric-Ross K.. 75-dən çox qeyri-adi ustad dərsləri həndəsə öyrənilməsini maraqlı oyuna çevirməyə kömək edəcək. Kitabda əsas fiqurlar mümkün qədər ətraflı təsvir edilmişdir: kvadratlar, dairələr, üçbucaqlar. Kitab öyrədəcək...

Yerin ölçülməsi haqqında biliklər qədim zamanlarda yaranıb və tədricən həndəsə elmində formalaşıb. Bu söz yunan dilindən "yer ölçmə" kimi tərcümə olunur.

Yerin düz hissəsinin uzunluğu və eni ölçüsünün ölçüsü sahədir. Riyaziyyatda adətən Latın hərfi S (ingiliscə “kvadrat” – “sahə”, “kvadrat”) və ya yunan hərfi σ (sigma) ilə işarələnir. S müstəvidəki fiqurun sahəsini və ya cismin səth sahəsini, σ isə fizikada telin kəsişmə sahəsini bildirir. Bunlar əsas simvollardır, baxmayaraq ki, başqaları ola bilər, məsələn, materialların gücü sahəsində, A profilin kəsişmə sahəsidir.

ilə təmasda

Hesablama düsturları

Sadə fiqurların sahələrini bilməklə, daha mürəkkəb olanların parametrlərini tapa bilərsiniz.. Qədim riyaziyyatçılar onları asanlıqla hesablamaq üçün istifadə oluna bilən düsturlar hazırlayıblar. Belə fiqurlar üçbucaq, dördbucaq, çoxbucaqlı, dairədir.

Mürəkkəb müstəvi fiqurun sahəsini tapmaq üçün o, üçbucaq, trapesiya və ya düzbucaqlı kimi bir çox sadə fiqurlara bölünür. Sonra, riyazi üsullardan istifadə edərək, bu rəqəmin sahəsi üçün bir düstur alınır. Bənzər bir üsul təkcə həndəsə deyil, həm də əyrilərlə məhdudlaşan fiqurların sahələrini hesablamaq üçün riyazi analizdə istifadə olunur.

Üçbucaq

Ən sadə rəqəmdən - üçbucaqdan başlayaq. Onlar düzbucaqlı, ikitərəfli və bərabərtərəflidir. Tərəfləri AB=a, BC=b və AC=c (∆ ABC) olan istənilən ABC üçbucağını götürək. Onun sahəsini tapmaq üçün məktəb riyaziyyat kursundan məlum olan sinus və kosinus teoremlərini xatırlayaq. Bütün hesablamaları buraxaraq, aşağıdakı düsturlara gəlirik:

S=√ - Hər kəsə məlum olan Heron düsturu, burada p=(a+b+c)/2 üçbucağın yarım perimetridir;
S=a h/2, burada h a tərəfinə endirilmiş hündürlükdür;
S=a b (sin γ)/2, burada γ a və b tərəfləri arasındakı bucaqdır;
S=a b/2, əgər ∆ ABC düzbucaqlıdırsa (burada a və b ayaqdır);
S=b² (sin (2 β))/2, əgər ∆ ABC ikitərəflidirsə (burada b “itburnu”ndan biridir, β üçbucağın “itburnu” arasındakı bucaqdır);
S=a² √¾, əgər ∆ ABC bərabərtərəfli olarsa (burada a üçbucağın tərəfidir).

Dördbucaqlı

AB=a, BC=b, CD=c, AD=d olan dördbucaqlı ABCD olsun. İxtiyari 4-bucaqlının S sahəsini tapmaq üçün onu diaqonalına görə ümumi halda S1 və S2 sahələri bərabər olmayan iki üçbucağa bölmək lazımdır.

Sonra onları hesablamaq və əlavə etmək üçün düsturlardan istifadə edin, yəni S=S1+S2. Bununla belə, 4-gon müəyyən bir sinifə aiddirsə, onun sahəsi əvvəllər məlum olan düsturlardan istifadə etməklə tapıla bilər:

S=(a+c) h/2=e h, əgər tetraqon trapesiyadırsa (burada a və c əsaslardır, e trapesiyanın orta xəttidir, h trapesiyanın əsaslarından birinə endirilmiş hündürlükdür;
S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, əgər ABCD paraleloqramdırsa (burada φ a və b tərəfləri arasındakı bucaq, h a tərəfinə endirilmiş hündürlük, d1 və d2 diaqonaldır);
S=a b=d²/2, əgər ABCD düzbucaqlıdırsa (d diaqonaldır);
S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, əgər ABCD rombdursa (a rombun tərəfidir, φ onun bucaqlarından biridir, P perimetridir);
S=a²=P²/16=d²/2, əgər ABCD kvadratdırsa.

Poliqon

Riyaziyyatçılar n-qonşunun sahəsini tapmaq üçün onu ən sadə bərabər fiqurlara - üçbucaqlara bölür, hər birinin sahəsini tapır və sonra əlavə edirlər. Ancaq çoxbucaqlı müntəzəmlər sinfinə aiddirsə, düsturdan istifadə edin:

S=a n h/2=a² n/=P²/, burada n çoxbucaqlının təpələrinin (və ya tərəflərinin) sayı, a n-qonşunun tərəfi, P onun perimetri, h apotem, yəni a. poliqonun mərkəzindən onun tərəflərindən birinə 90° bucaq altında çəkilmiş seqment.

Dairə

Dairə sonsuz sayda tərəfi olan mükəmməl çoxbucaqlıdır. Sonsuzluğa meylli tərəflərin sayı n olan çoxbucaqlının sahəsi üçün düsturda sağdakı ifadənin limitini hesablamalıyıq. Bu zaman çoxbucaqlının perimetri çevrəmizin sərhəddi olacaq R radiuslu dairənin uzunluğuna çevriləcək və P=2 π R-ə bərabər olacaqdır. Bu ifadəni yuxarıdakı düsturla əvəz edin. Biz əldə edəcəyik:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

Bu ifadənin limitini n→∞ kimi tapaq. Bunun üçün nəzərə alırıq ki, n→∞ üçün lim (cos (180°/n)) cos 0°=1-ə bərabərdir (lim – həddi işarədir), n→∞ üçün isə lim = limdir. 1/π-ə bərabərdir (biz π rad=180° münasibətindən istifadə edərək dərəcə ölçüsünü radiana çevirdik və ilk əlamətdarı tətbiq etdik. limit lim(sin x)/x=1 at x→∞). Alınan dəyərləri S üçün son ifadə ilə əvəz edərək, məlum düstura gəlirik:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

Vahidlər

Sistemli və sistemsiz ölçü vahidlərindən istifadə olunur. Sistem vahidləri SI-yə (System International) aiddir. Bu kvadrat metrdir (kv. metr, m²) və ondan alınan vahidlər: mm², sm², km².

Kvadrat millimetrdə (mm²), məsələn, elektrik mühəndisliyində naqillərin kəsişmə sahəsini, kvadrat santimetrdə (sm²) - struktur mexanikasında bir şüanın kəsiyini, kvadrat metrdə (m²) - ölçürlər. mənzildə və ya evdə, kvadrat kilometrdə (km²) - coğrafiyada .

Bununla belə, bəzən qeyri-sistem ölçü vahidlərindən istifadə olunur, məsələn: örgü, ar (a), hektar (ha) və acre (ac). Aşağıdakı əlaqələri təqdim edək:

1 toxunuş=1 a=100 m²=0,01 hektar;
1 ha=100 a=100 akr=10000 m²=0,01 km²=2,471 ac;
1 ac = 4046,856 m² = 40,47 a = 40,47 akr = 0,405 hektar.