Bir nöqtəyə qədər olan məsafəni necə tapmaq olar. Təyyarənin iki nöqtəsi arasındakı məsafə

Salam,

PHP istifadə olunur:

Hörmətlə, Aleksandr.

Salam,

Artıq bir müddətdir ki, problemlə mübarizə aparıram: bir-birindən 30 ilə 1500 metr məsafədə yerləşən iki ixtiyari nöqtə arasındakı məsafəni hesablamağa çalışıram.

PHP istifadə olunur:

$cx=31,319738; //x birinci nöqtənin koordinatı
$cy=60,901638; //y birinci nöqtənin koordinatı
$x=31,333312; //x ikinci nöqtənin koordinatı
$y=60,933981; //y ikinci nöqtənin koordinatı
$mx=abs($cx-$x); //X-dəki fərqi hesablayın (birinci ayaq düz üçbucaq), abs(x) funksiyası - x x ədədinin modulunu qaytarır
$my=abs($cy-$y); //oyunçular arasındakı fərqi hesablayın (sağ üçbucağın ikinci ayağı)
$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Metroya qədər olan məsafəni alın (qaydaya görə hipotenuzun uzunluğu, hipotenuza ayaqların kvadratlarının cəminin kökünə bərabərdir)

Əgər aydın deyilsə, icazə verin izah edim: iki nöqtə arasındakı məsafənin düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzası olduğunu təsəvvür edirəm. Onda iki nöqtənin hər birinin X-ləri arasındakı fərq ayaqlardan biri, digər ayaq isə eyni iki nöqtənin I-lərinin fərqi olacaqdır. Sonra, X və Y arasındakı fərqləri hesablayaraq, hipotenuzanın uzunluğunu (yəni, iki nöqtə arasındakı məsafəni) hesablamaq üçün düsturdan istifadə edə bilərsiniz.

Bilirəm ki, bu qayda Kartezyen koordinat sistemi üçün yaxşı işləyir, lakin o, uzun-uzadı koordinatlar vasitəsilə az-çox işləməlidir, çünki iki nöqtə arasında ölçülmüş məsafə əhəmiyyətsizdir (30-dan 1500 metrə qədər).

Lakin bu alqoritmə uyğun məsafə səhv hesablanmışdır (məsələn, bu alqoritmlə hesablanmış 1-ci məsafə 2-ci məsafəni cəmi 13% üstələyir, halbuki reallıqda 1-ci məsafə 1450 metrə, 2-ci məsafə isə 970 metrə bərabərdir ki, əslində fərq demək olar ki, 50%-ə çatır).

Kimsə kömək edə bilsə, çox minnətdar olaram.

Hörmətlə, Aleksandr.

","contentType":"text/html"),"proposedBody":("mənbə":"

Salam,

Artıq bir müddətdir ki, problemlə mübarizə aparıram: bir-birindən 30 ilə 1500 metr məsafədə yerləşən iki ixtiyari nöqtə arasındakı məsafəni hesablamağa çalışıram.

PHP istifadə olunur:

$cx=31,319738; //x birinci nöqtənin koordinatı
$cy=60,901638; //y birinci nöqtənin koordinatı
$x=31,333312; //x ikinci nöqtənin koordinatı
$y=60,933981; //y ikinci nöqtənin koordinatı
$mx=abs($cx-$x); //x fərqini hesablayın (düzbucaqlı üçbucağın birinci ayağı), abs(x) funksiyası - x x ədədinin modulunu qaytarır
$my=abs($cy-$y); //oyunçular arasındakı fərqi hesablayın (sağ üçbucağın ikinci ayağı)
$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Metroya qədər olan məsafəni alın (qaydaya görə hipotenuzun uzunluğu, hipotenuza ayaqların kvadratlarının cəminin kökünə bərabərdir)

Kimsə kömək edə bilsə, çox minnətdar olaram.

Hörmətlə, Aleksandr.

Salam,

Artıq bir müddətdir ki, problemlə mübarizə aparıram: bir-birindən 30 ilə 1500 metr məsafədə yerləşən iki ixtiyari nöqtə arasındakı məsafəni hesablamağa çalışıram.

PHP istifadə olunur:

$cx=31,319738; //x birinci nöqtənin koordinatı
$cy=60,901638; //y birinci nöqtənin koordinatı
$x=31,333312; //x ikinci nöqtənin koordinatı
$y=60,933981; //y ikinci nöqtənin koordinatı
$mx=abs($cx-$x); //x fərqini hesablayın (düzbucaqlı üçbucağın birinci ayağı), abs(x) funksiyası - x x ədədinin modulunu qaytarır
$my=abs($cy-$y); //oyunçular arasındakı fərqi hesablayın (sağ üçbucağın ikinci ayağı)
$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Metroya qədər olan məsafəni alın (qaydaya görə hipotenuzun uzunluğu, hipotenuza ayaqların kvadratlarının cəminin kökünə bərabərdir)

Kimsə kömək edə bilsə, çox minnətdar olaram.

Hörmətlə, Aleksandr.

","contentType":"text/html"),"authorId":"108613929","slug":"15001","canEdit":false,"canComment":false,"isBanned":false,"canPublish" :false,"viewType":"old","isDraft":false,"isOnModeration":false,"isSubscriber":false,"commentsCount":14,"modificationDate":"Çərşənbə, 27 İyun 2012 20:07:00 GMT +0000 (Əlaqələndirilmiş Universal Saat)","showPreview":true,"approvedPreview":("mənbə":"

Salam,

Artıq bir müddətdir ki, problemlə mübarizə aparıram: bir-birindən 30 ilə 1500 metr məsafədə yerləşən iki ixtiyari nöqtə arasındakı məsafəni hesablamağa çalışıram.

PHP istifadə olunur:

$cx=31,319738; //x birinci nöqtənin koordinatı
$cy=60,901638; //y birinci nöqtənin koordinatı
$x=31,333312; //x ikinci nöqtənin koordinatı
$y=60,933981; //y ikinci nöqtənin koordinatı
$mx=abs($cx-$x); //x fərqini hesablayın (düzbucaqlı üçbucağın birinci ayağı), abs(x) funksiyası - x x ədədinin modulunu qaytarır
$my=abs($cy-$y); //oyunçular arasındakı fərqi hesablayın (sağ üçbucağın ikinci ayağı)
$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Metroya qədər olan məsafəni alın (qaydaya görə hipotenuzun uzunluğu, hipotenuza ayaqların kvadratlarının cəminin kökünə bərabərdir)

Kimsə kömək edə bilsə, çox minnətdar olaram.

Hörmətlə, Aleksandr.

","html":"Salam,","contentType":"text/html"),"proposedPreview":("mənbə":"

Salam,

Artıq bir müddətdir ki, problemlə mübarizə aparıram: bir-birindən 30 ilə 1500 metr məsafədə yerləşən iki ixtiyari nöqtə arasındakı məsafəni hesablamağa çalışıram.

PHP istifadə olunur:

$cx=31,319738; //x birinci nöqtənin koordinatı
$cy=60,901638; //y birinci nöqtənin koordinatı
$x=31,333312; //x ikinci nöqtənin koordinatı
$y=60,933981; //y ikinci nöqtənin koordinatı
$mx=abs($cx-$x); //x fərqini hesablayın (düzbucaqlı üçbucağın birinci ayağı), abs(x) funksiyası - x x ədədinin modulunu qaytarır
$my=abs($cy-$y); //oyunçular arasındakı fərqi hesablayın (sağ üçbucağın ikinci ayağı)
$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Metroya qədər olan məsafəni alın (qaydaya görə hipotenuzun uzunluğu, hipotenuza ayaqların kvadratlarının cəminin kökünə bərabərdir)

Kimsə kömək edə bilsə, çox minnətdar olaram.

Hörmətlə, Aleksandr.

","html":"Salam,","contentType":"text/html"),"titleImage":null,"tags":[("displayName":"məsafənin ölçülməsi","slug":"izmerenie- rasstoyaniy","categoryId":"10615601","url":"/blog/mapsapi?tag=izmerenie-rasstoyaniy"),("displayName":"API 1.x","slug":"api-1 -x","categoryId":"150000131","url":"/blog/mapsapi?tag=api-1-x")],"isModerator":false,"publishCount":1,"commentsEnabled": true,"url":"/blog/mapsapi/15001","urlTemplate":"/blog/mapsapi/%slug%","fullBlogUrl":"https://yandex.ru/blog/mapsapi","addCommentUrl ":"/blog/createComment/mapsapi/15001","updateCommentUrl":"/blog/updateComment/mapsapi/15001","addCommentWithCaptcha":"/blog/createWithCaptcha/mapsapi/150001:"blogCl:"r /api/captcha/new","putImageUrl":"/blog/image/put","urlBlog":"/blog/mapsapi","urlEditPost":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/edit","urlSlug":" /blog/post/generateSlug","urlPublishPost":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/publish","urlUnpublishPost":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54d48b15b79e31e0d54b15b79e31e0d54b9"/Respublika9"/Respublika98"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/publish 48b15b 79e31e0d54c8/removePost","urlDraft " :"/blog/mapsapi/15001/draft","urlDraftTemplate":"/blog/mapsapi/%slug%/draft","urlRemoveDraft":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/removeDraft""Supplate"," / api/suggest/mapsapi","urlAfterDelete":"/blog/mapsapi","isAuthor":false,"subscribeUrl":"/blog/api/subscribe/56a98d48b15b79e31e0d54c8","unsubscribe/insubscribe/ul abunəni dayandırın /56a98d48b15b79e31e0d54c8","urlEditPostPage":"/blog/mapsapi/56a98d48b15b79e31e0d54c8/edit","urlForTranslate":"/blog/post",/"Respubte"/blog/postur/ Problem","urlUpdateTranslate ": " /blog/post/updateTranslate","urlLoadTranslate":"/blog/post/loadTranslate","urlTranslationStatus":"/blog/mapsapi/15001/translationInfo","urlRelatedArticles":"/blog/api/related / 15001","author":("id":"108613929","uid":("value":"108613929","lite":false,"hosted":false),"ləqəblər":(), " login":"mrdds","display_name":("name":"mrdds","avatar":("default":"0/0-0","boş":true)),"ünvan" :" [email protected]","defaultAvatar":"0/0-0","imageSrc":"https://avatars.mds.yandex.net/get-yapic/0/0-0/islands-middle","isYandexStaff": false),"originalModificationDate":"2012-06-27T16:07:49.000Z","socialImage":("orig":("fullPath":"https://avatars.mds.yandex.net/get-yablogs /47421/file_1456488726678/orig"))))">

Riyaziyyatda məsələlərin həlli çox vaxt tələbələr üçün bir çox çətinliklərlə müşayiət olunur. Tələbəyə bu çətinliklərin öhdəsindən gəlməyə kömək etmək, həmçinin “Riyaziyyat” fənni üzrə kursun bütün bölmələrində konkret məsələlərin həlli zamanı mövcud nəzəri biliklərini tətbiq etməyi öyrətmək saytımızın əsas məqsədidir.

Mövzu üzrə məsələlərin həllinə başlayanda şagirdlər müstəvidə onun koordinatlarından istifadə edərək nöqtə qurmağı, habelə verilmiş nöqtənin koordinatlarını tapmağı bacarmalıdırlar.

Müstəvidə götürülmüş iki A(x A; y A) və B(x B; y B) nöqtələri arasındakı məsafənin hesablanması düsturdan istifadə etməklə həyata keçirilir. d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), burada d müstəvidə bu nöqtələri birləşdirən seqmentin uzunluğudur.

Əgər seqmentin uclarından biri koordinatların başlanğıcı ilə üst-üstə düşürsə, digərində isə M(x M; y M) koordinatları varsa, d-nin hesablanması düsturu OM = √(x M 2 + y M 2) formasını alacaq. ).

1. Bu nöqtələrin verilmiş koordinatları əsasında iki nöqtə arasındakı məsafənin hesablanması

Misal 1.

Koordinat müstəvisində A(2; -5) və B(-4; 3) nöqtələrini birləşdirən seqmentin uzunluğunu tapın (şək. 1).

Həll.

Problemin ifadəsində deyilir: x A = 2; x B = -4; y A = -5 və y B = 3. d-i tapın.

d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) düsturunu tətbiq etməklə əldə edirik:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Verilmiş üç nöqtədən bərabər məsafədə olan nöqtənin koordinatlarının hesablanması

Misal 2.

Üç A(7; -1) və B(-2; 2) və C(-1; -5) nöqtələrindən bərabər məsafədə olan O 1 nöqtəsinin koordinatlarını tapın.

Həll.

Məsələnin şərtlərinin tərtibindən belə çıxır ki, O 1 A = O 1 B = O 1 C. İstənilən O 1 nöqtəsinin koordinatları (a; b) olsun. d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) düsturundan istifadə edərək tapırıq:

O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

İki tənlik sistemi yaradaq:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Tənliklərin sol və sağ tərəflərini kvadratlaşdırdıqdan sonra yazırıq:

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Sadələşdirək, yazaq

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

Sistemi həll etdikdən sonra alırıq: a = 2; b = -1.

O 1 (2; -1) nöqtəsi eyni düz xətt üzərində yatmayan şərtlə göstərilən üç nöqtədən bərabər məsafədədir. Bu nöqtə verilmiş üç nöqtədən keçən dairənin mərkəzidir (Şəkil 2).

3. Absis (ordinat) oxunda yerləşən və üzərində yerləşən nöqtənin absisinin (ordinatının) hesablanması. verilmiş məsafə bu nöqtədən

Misal 3.

B(-5; 6) nöqtəsindən Ox oxunda yerləşən A nöqtəsinə qədər olan məsafə 10. A nöqtəsini tapın.

Həll.

Məsələnin şərtlərinin tərtibindən belə nəticə çıxır ki, A nöqtəsinin ordinatı sıfıra bərabərdir və AB = 10-dur.

A nöqtəsinin absisini a ilə işarə edərək A(a; 0) yazırıq.

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

√((a + 5) 2 + 36) = 10 tənliyini alırıq. Onu sadələşdirsək, əldə edirik.

a 2 + 10a – 39 = 0.

Bu tənliyin kökləri 1 = -13; və 2 = 3.

İki xal alırıq A 1 (-13; 0) və A 2 (3; 0).

İmtahan:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Alınan hər iki nöqtə problemin şərtlərinə uyğundur (şək. 3).

4. Absis (ordinat) oxunda yerləşən və verilmiş iki nöqtədən eyni məsafədə olan nöqtənin absissinin (ordinatının) hesablanması.

Misal 4.

Oy oxunda A (6, 12) və B (-8, 10) nöqtələrindən eyni məsafədə olan nöqtəni tapın.

Həll.

Məsələnin şərtlərinin tələb etdiyi nöqtənin Oy oxunda yerləşən koordinatları O 1 (0; b) olsun (Oy oxunda yatan nöqtədə absis sıfırdır). Şərtdən belə çıxır ki, O 1 A = O 1 B.

d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) düsturundan istifadə edərək tapırıq:

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Bizdə √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) və ya 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2 tənliyi var.

Sadələşdirmədən sonra alırıq: b – 4 = 0, b = 4.

Məsələnin şərtləri ilə tələb olunan O 1 (0; 4) nöqtəsi (Şəkil 4).

5. Koordinat oxlarından və bəzi verilmiş nöqtədən eyni məsafədə yerləşən nöqtənin koordinatlarının hesablanması

Misal 5.

Koordinat müstəvisində koordinat oxlarından və A(-2; 1) nöqtəsindən eyni məsafədə yerləşən M nöqtəsini tapın.

Həll.

Tələb olunan M nöqtəsi, A(-2; 1) nöqtəsi kimi, A, P 1 və P 2 nöqtələrindən bərabər məsafədə olduğu üçün ikinci koordinat bucağında yerləşir. (Şəkil 5). M nöqtəsinin koordinat oxlarından məsafələri eynidir, ona görə də onun koordinatları (-a; a) olacaq, burada a > 0.

Məsələnin şərtlərindən belə çıxır ki, MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

olanlar. |-a| = a.

d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) düsturundan istifadə edərək tapırıq:

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

Bir tənlik yaradaq:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

Kvadratlaşdırma və sadələşdirmədən sonra əldə edirik: a 2 – 6a + 5 = 0. Tənliyi həll edin, 1 = 1-i tapın; və 2 = 5.

Məsələnin şərtlərini ödəyən iki M 1 (-1; 1) və M 2 (-5; 5) nöqtəsini alırıq.

6. Absis (ordinat) oxundan və verilmiş nöqtədən eyni müəyyən edilmiş məsafədə yerləşən nöqtənin koordinatlarının hesablanması

Misal 6.

M nöqtəsini tapın ki, onun ordinat oxundan və A(8; 6) nöqtəsindən məsafəsi 5-ə bərabər olsun.

Həll.

Məsələnin şərtlərindən belə çıxır ki, MA = 5 və M nöqtəsinin absisi 5-ə bərabərdir. M nöqtəsinin ordinatı b-yə bərabər olsun, onda M(5; b) (Şəkil 6).

d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) düsturuna görə bizdə:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Bir tənlik yaradaq:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Sadələşdirsək, alarıq: b 2 – 12b + 20 = 0. Bu tənliyin kökləri b 1 = 2; b 2 = 10. Deməli, məsələnin şərtlərini ödəyən iki nöqtə var: M 1 (5; 2) və M 2 (5; 10).

Məlumdur ki, çoxlu tələbələr müstəqil qərar problemlər onların həlli üsulları və üsulları haqqında daimi məsləhətləşməni tələb edir. Çox vaxt şagird müəllimin köməyi olmadan problemin həlli yolunu tapa bilmir. Tələbə problemlərin həlli ilə bağlı lazımi məsləhətləri saytımızda ala bilər.

Hələ suallarınız var? Təyyarədə iki nöqtə arasındakı məsafəni necə tapacağınızı bilmirsiniz?
Repetitordan kömək almaq üçün qeydiyyatdan keçin.
İlk dərs ödənişsizdir!

vebsayt, materialı tam və ya qismən köçürərkən mənbəyə keçid tələb olunur.

Müstəvinin hər bir A nöqtəsi onun koordinatları (x, y) ilə xarakterizə olunur. Onlar koordinatların başlanğıcı - 0 nöqtəsindən çıxan 0A vektorunun koordinatları ilə üst-üstə düşür.

A və B koordinatları (x 1 y 1) və (x 2, y 2) olan müstəvinin ixtiyari nöqtələri olsun.

Onda AB vektorunun açıq-aydın koordinatları var (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Məlumdur ki, vektorun uzunluğunun kvadratı onun koordinatlarının kvadratlarının cəminə bərabərdir. Buna görə də A və B nöqtələri arasındakı d məsafəsi və ya eyni olan AB vektorunun uzunluğu şərtdən müəyyən edilir.

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

$$ d = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$

Alınan düstur, yalnız bu nöqtələrin koordinatları məlum olduqda, müstəvidə hər hansı iki nöqtə arasındakı məsafəni tapmağa imkan verir.

Hər dəfə müstəvidə müəyyən bir nöqtənin koordinatları haqqında danışarkən biz dəqiq müəyyən edilmiş x0y koordinat sistemini nəzərdə tuturuq. Ümumiyyətlə, müstəvidə koordinat sistemi müxtəlif yollarla seçilə bilər. Beləliklə, x0y koordinat sistemi əvəzinə köhnə koordinat oxlarının başlanğıc nöqtəsi 0 ətrafında fırlanması nəticəsində əldə edilən xִy koordinat sistemini nəzərdən keçirə bilərik. saat yönünün əksinə küncdəki oxlar α .

Əgər x0y koordinat sistemində müstəvinin müəyyən nöqtəsinin koordinatları (x, y) varsa, yeni xִy koordinat sistemində onun müxtəlif koordinatları (x, y) olacaqdır.

Nümunə olaraq, 0x oxunda yerləşən və 0 nöqtəsindən 1 məsafədə ayrılmış M nöqtəsini nəzərdən keçirək.

Aydındır ki, x0y koordinat sistemində bu nöqtənin koordinatları (cos α ,günah α ), xִy koordinat sistemində isə koordinatlar (1,0) olur.

A və B müstəvisində hər hansı iki nöqtənin koordinatları bu müstəvidə koordinat sisteminin necə təyin olunduğundan asılıdır. Və burada bu nöqtələr arasındakı məsafə koordinat sisteminin dəqiqləşdirilməsi üsulundan asılı deyil .

Digər materiallar

Mühazirə: İki nöqtə arasındakı məsafənin düsturu; sferanın tənliyi

İki nöqtə arasındakı məsafə

Əvvəlki sualda xəttin iki nöqtəsi arasındakı məsafəni tapmaq üçün d = x 2 – x 1 düsturundan istifadə etdik.

Ancaq təyyarəyə gəldikdə, hər şey fərqlidir. Sadəcə koordinatlardakı fərqi tapmaq kifayət deyil. Onların koordinatlarından istifadə edərək nöqtələr arasındakı məsafəni tapmaq üçün aşağıdakı düsturdan istifadə edin:

Məsələn, müəyyən koordinatları olan iki nöqtəniz varsa, onlar arasındakı məsafəni aşağıdakı kimi tapa bilərsiniz:

A (4;-1), B (-4;6):

AB = ((4 + 4) 2 + (-1 – 6) 2) 1/2 ≈ 10.6.

Yəni müstəvidə iki nöqtə arasındakı məsafəni hesablamaq üçün koordinat fərqlərinin kvadratlarının cəminin kökünü tapmaq lazımdır.

Bir müstəvidə iki nöqtə arasındakı məsafəni tapmaq lazımdırsa, əlavə koordinatı olan oxşar düsturdan istifadə etməlisiniz:

Sfera tənliyi

Kosmosda bir sferanı təyin etmək üçün aşağıdakı düsturdan istifadə etmək üçün onun mərkəzinin koordinatlarını, eləcə də radiusunu bilməlisiniz:

Bu tənlik mərkəzi başlanğıcda olan sferaya uyğundur.

Əgər kürənin mərkəzi oxlar boyunca müəyyən sayda vahidlə yerdəyişsə, onda aşağıdakı düsturdan istifadə edilməlidir.

Bu yazıda nəzəri olaraq və konkret tapşırıqların nümunəsindən istifadə edərək nöqtədən nöqtəyə məsafəni təyin etməyin yollarına baxacağıq. Başlamaq üçün bəzi tərifləri təqdim edək.

Tərif 1

Nöqtələr arasındakı məsafə mövcud miqyasda onları birləşdirən seqmentin uzunluğudur. Ölçmə üçün uzunluq vahidinə sahib olmaq üçün şkala təyin etmək lazımdır. Buna görə də, əsasən nöqtələr arasındakı məsafənin tapılması məsələsi onların koordinatlarından koordinat xəttində, koordinat müstəvisində və ya üçölçülü fəzada istifadə etməklə həll edilir.

İlkin məlumatlar: O x koordinat xətti və onun üzərində yerləşən ixtiyari A nöqtəsi.Xəttin istənilən nöqtəsi bir xüsusiyyətə malikdir. real rəqəm: A nöqtəsi üçün bu müəyyən bir ədəd olsun x A, həm də A nöqtəsinin koordinatıdır.

Ümumilikdə deyə bilərik ki, müəyyən seqmentin uzunluğu verilmiş miqyasda uzunluq vahidi kimi götürülmüş seqmentlə müqayisədə qiymətləndirilir.

A nöqtəsi tam ədədə uyğundursa, O nöqtəsindən düz xətt boyunca O A seqmentləri - uzunluq vahidləri boyunca ardıcıl olaraq kəsilməklə, kənara qoyulmuş vahid seqmentlərin ümumi sayından O A seqmentinin uzunluğunu müəyyən edə bilərik.

Məsələn, A nöqtəsi 3 rəqəminə uyğundur - O nöqtəsindən ona çatmaq üçün üç bölmə seqmentini kəsmək lazımdır. A nöqtəsinin koordinatı - 4 olarsa, vahid seqmentlər oxşar şəkildə, lakin fərqli, mənfi istiqamətdə yerləşdirilir. Beləliklə, birinci halda O A məsafəsi 3-ə bərabərdir; ikinci halda O A = 4.

Əgər A nöqtəsi koordinat kimi rasional ədədə malikdirsə, o zaman mənbədən (O nöqtəsi) vahid seqmentlərin tam sayını, sonra isə onun zəruri hissəsini çəkirik. Ancaq həndəsi olaraq ölçmə aparmaq həmişə mümkün deyil. Məsələn, 4 111 kəsrini koordinat xəttinə çəkmək çətin görünür.

Yuxarıdakı üsuldan istifadə edərək düz xətt üzərində irrasional ədədi çəkmək tamamilə qeyri-mümkündür. Məsələn, A nöqtəsinin koordinatı 11 olduqda. Bu zaman abstraksiyaya müraciət etmək olar: A nöqtəsinin verilmiş koordinatı sıfırdan böyükdürsə, O A = x A (ədəd məsafə kimi qəbul edilir); koordinat sıfırdan kiçikdirsə, O A = - x A . Ümumiyyətlə, bu ifadələr istənilən həqiqi x A ədədi üçün doğrudur.

Xülasə etmək üçün: başlanğıcdan koordinat xəttindəki həqiqi ədədə uyğun gələn nöqtəyə qədər olan məsafə bərabərdir:

0 nöqtə başlanğıc ilə üst-üstə düşürsə;

x A, əgər x A > 0;

- x A əgər x A< 0 .

Bu vəziyyətdə, seqmentin uzunluğunun özü mənfi ola bilməyəcəyi aydındır, buna görə də modul işarəsindən istifadə edərək, O nöqtəsindən A nöqtəsinə qədər olan məsafəni koordinatla yazırıq. x A: O A = x A

Aşağıdakı ifadə doğru olacaq: bir nöqtədən digərinə olan məsafə koordinat fərqinin moduluna bərabər olacaqdır. Bunlar. hər hansı bir yer üçün eyni koordinat xəttində yerləşən və uyğun koordinatları olan A və B nöqtələri üçün x A Və x B: A B = x B - x A .

İlkin məlumatlar: koordinatları verilmiş O x y düzbucaqlı koordinat sistemində müstəvidə uzanan A və B nöqtələri: A (x A, y A) və B (x B, y B).

A və B nöqtələri vasitəsilə O x və O y koordinat oxlarına perpendikulyarlar çəkək və nəticədə proyeksiya nöqtələrini alaq: A x, A y, B x, B y. A və B nöqtələrinin yerindən asılı olaraq, aşağıdakı variantlar mümkündür:

A və B nöqtələri üst-üstə düşürsə, onların arasındakı məsafə sıfırdır;

A və B nöqtələri O x oxuna perpendikulyar düz xətt üzərində yerləşirsə (absis oxu), onda nöqtələr üst-üstə düşür və | A B | = | A y B y | . Nöqtələr arasındakı məsafə onların koordinatlarının fərqinin moduluna bərabər olduğundan, A y B y = y B - y A və deməli, A B = A y B y = y B - y A olur.

Əgər A və B nöqtələri O y oxuna perpendikulyar düz xətt üzərində yerləşirsə (ordinat oxu) - əvvəlki abzasla analoji olaraq: A B = A x B x = x B - x A

Əgər A və B nöqtələri koordinat oxlarından birinə perpendikulyar düz xətt üzərində deyilsə, hesablama düsturunu çıxararaq onlar arasındakı məsafəni tapacağıq:

A B C üçbucağının quruluşca düzbucaqlı olduğunu görürük. Bu halda A C = A x B x və B C = A y B y olur. Pifaqor teoremindən istifadə edərək bərabərliyi yaradırıq: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 və sonra onu çevirin: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Əldə edilən nəticədən bir nəticə çıxaraq: müstəvidə A nöqtəsindən B nöqtəsinə qədər olan məsafə bu nöqtələrin koordinatlarından istifadə edərək düsturdan istifadə etməklə hesablama yolu ilə müəyyən edilir.

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Əldə edilən düstur həmçinin nöqtələrin oxlara perpendikulyar düz xətlər üzərində yerləşdiyi nöqtələrin və ya vəziyyətlərin üst-üstə düşməsi halları üçün əvvəllər formalaşmış ifadələri təsdiqləyir. Beləliklə, A və B nöqtələri üst-üstə düşürsə, aşağıdakı bərabərlik doğru olacaq: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

A və B nöqtələrinin x oxuna perpendikulyar düz xətt üzərində yerləşdiyi vəziyyət üçün:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

A və B nöqtələri ordinat oxuna perpendikulyar düz xətt üzərində yerləşdiyi halda:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

İlkin məlumatlar: A (x A, y A, z A) və B (x B, y B, z B) koordinatları verilmiş, ixtiyari nöqtələri olan O x y z düzbucaqlı koordinat sistemi. Bu nöqtələr arasındakı məsafəni müəyyən etmək lazımdır.

A və B nöqtələrinin koordinat müstəvilərindən birinə paralel müstəvidə yerləşmədiyi ümumi halı nəzərdən keçirək. A və B nöqtələri vasitəsilə koordinat oxlarına perpendikulyar müstəvilər çəkək və müvafiq proyeksiya nöqtələrini alaq: A x , A y , A z , B x , B y , B z

A və B nöqtələri arasındakı məsafə yaranan paralelepipedin diaqonalıdır. Bu paralelepipedin ölçülərinin qurulmasına görə: A x B x , A y B y və A z B z

Həndəsə kursundan bilirik ki, paralelepipedin diaqonalının kvadratı onun ölçülərinin kvadratlarının cəminə bərabərdir. Bu ifadəyə əsasən bərabərliyi əldə edirik: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Daha əvvəl əldə edilən nəticələrdən istifadə edərək, aşağıdakıları yazırıq:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

İfadəni çevirək:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Final fəzada nöqtələr arasındakı məsafəni təyin etmək üçün düstur belə görünəcək:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Nəticə düstur həmçinin aşağıdakı hallarda etibarlıdır:

Nöqtələr üst-üstə düşür;

Onlar bir koordinat oxunda və ya koordinat oxlarından birinə paralel düz xətt üzərində uzanırlar.

Nöqtələr arasındakı məsafənin tapılmasına dair məsələlərin həlli nümunələri

Misal 1

İlkin məlumatlar: verilmiş A (1 - 2) və B (11 + 2) koordinatları ilə koordinat xətti və onun üzərində uzanan nöqtələr verilir. O başlanğıc nöqtəsindən A nöqtəsinə qədər və A və B nöqtələri arasındakı məsafəni tapmaq lazımdır.

Həll

İstinad nöqtəsindən nöqtəyə qədər olan məsafə bu nöqtənin koordinatının moduluna bərabərdir, müvafiq olaraq O A = 1 - 2 = 2 - 1
A və B nöqtələri arasındakı məsafəni bu nöqtələrin koordinatları arasındakı fərqin modulu kimi təyin edirik: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Cavab: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Misal 2

İlkin məlumatlar: düzbucaqlı koordinat sistemi və onun üzərində yerləşən iki nöqtə A (1, - 1) və B (λ + 1, 3) verilir. λ bəzi real ədəddir. A B məsafəsinin 5-ə bərabər olacağı bu ədədin bütün dəyərlərini tapmaq lazımdır.

Həll

A və B nöqtələri arasındakı məsafəni tapmaq üçün A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2 düsturundan istifadə etməlisiniz.

Həqiqi koordinat qiymətlərini əvəz edərək, alırıq: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Mövcud şərtdən də istifadə edirik ki, A B = 5 və sonra bərabərlik doğru olacaq:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Cavab: λ = ± 3 olarsa, A B = 5.

Misal 3

İlkin məlumatlar: O x y z düzbucaqlı koordinat sistemində üçölçülü fəza göstərilib və orada yerləşən A (1, 2, 3) və B - 7, - 2, 4 nöqtələri.

Həll

Məsələni həll etmək üçün A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2 düsturundan istifadə edirik.

Həqiqi dəyərləri əvəz edərək, alırıq: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Cavab: | A B | = 9

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın