Triqonometriya başlayanlar üçün. Triqonometriya sadə və aydındır

Bu dərsdə biz tərifləri öyrənəcəyik triqonometrik funksiyalar və onların əsas xassələri, ilə işləməyi öyrənin triqonometrik dairə, gəlin bunun nə olduğunu öyrənək funksiyanın müddəti və müxtəlifləri xatırlayın bucaqların ölçülməsi üsulları. Bundan əlavə, istifadəni başa düşəcəyik azaldılması düsturları.

Bu dərs sizə tapşırıq növlərindən birinə hazırlaşmağa kömək edəcək SAAT 7.

Riyaziyyatdan Vahid Dövlət İmtahanına hazırlıq

Təcrübə

Dərs 7.Triqonometriyaya giriş.

Nəzəriyyə

Dərsin xülasəsi

Bu gün biz çoxları üçün qorxulu adı olan “Triqonometriya” bölməsinə başlayırıq. Dərhal aydınlaşdıraq ki, bu, bəzilərinin düşündüyü kimi, adı ilə həndəsəyə oxşar ayrıca bir mövzu deyil. Yunan dilindən tərcümə edilmiş "triqonometriya" sözü "üçbucaqların ölçülməsi" deməkdir və həndəsə ilə birbaşa bağlıdır. Bundan əlavə, triqonometrik hesablamalar fizika və texnologiyada geniş istifadə olunur. Ancaq əsas triqonometrik funksiyaların düz üçbucaqdan istifadə edərək həndəsəyə necə daxil edildiyini nəzərdən keçirəcəyik.

Biz indicə "triqonometrik funksiya" terminindən istifadə etdik - bu o deməkdir ki, biz bir dəyişən ilə digəri arasında müəyyən uyğunluq qanunlarının bütün sinfini təqdim edəcəyik.

Bunu etmək üçün, şəkildə görə biləcəyiniz rahatlıq üçün tərəflər və bucaqlar üçün standart qeydlərdən istifadə olunan düzbucaqlı üçbucağı nəzərdən keçirin:

Məsələn, bucağı nəzərdən keçirəkvə bunun üçün aşağıdakı hərəkətləri daxil edin:

Qarşı tərəfin hipotenuz sinusuna nisbətini adlandıraq, yəni.

Qonşu ayağın hipotenuz kosinusuna nisbətini adlandıraq, yəni. ;

Qarşı tərəfin bitişik tərəfə nisbəti tangens adlanacaq, yəni. ;

Qonşu tərəfin qarşı tərəfə nisbəti kotangent adlanacaq, yəni. .

Bucaq ilə bütün bu hərəkətlər deyilir triqonometrik funksiyalar. Bucağın özü adətən adlanır triqonometrik funksiyanın arqumenti və onu, məsələn, cəbrdə adətən adət etdiyi kimi, X ilə işarələmək olar.

Dərhal başa düşmək lazımdır ki, triqonometrik funksiyalar dəqiq olaraq bucaqdan asılıdır düz üçbucaq, və onun partiyalarından deyil. Tərəflərin uzunluqları fərqli olacaq, lakin tərəflərin bütün bucaqları və nisbətləri dəyişməyəcək, buna bənzər bir üçbucağı nəzərdən keçirsək, bunu sübut etmək asandır, yəni. Bucaqların triqonometrik funksiyaları da dəyişməz qalacaq.

Triqonometrik funksiyaların bu tərifindən sonra sual yarana bilər: “Orada, məsələn,? Axı, küncdüzbucaqlı üçbucaqda ola bilməz» . Qəribədir ki, bu sualın cavabı müsbətdir və bu ifadənin dəyəri bərabərdir və bu daha da təəccüblüdür, çünki bütün triqonometrik funksiyalar düzbucaqlı üçbucağın tərəflərinin nisbətidir və tərəflərin uzunluqları müsbət ədədlər.

Amma bunda heç bir paradoks yoxdur. Məsələ burasındadır ki, məsələn, fizikada bəzi prosesləri təsvir edərkən bucaqların təkcə böyük deyil, həm də böyük və hətta triqonometrik funksiyalarından istifadə etmək lazımdır. Bunu etmək üçün, sözdə istifadə edərək triqonometrik funksiyaların hesablanması üçün daha ümumi bir qayda tətbiq etmək lazımdır. "vahid triqonometrik dairə".

Bu, mərkəzi Kartezyen müstəvisinin başlanğıcında olması üçün çəkilmiş vahid radiuslu bir dairədir.

Bu dairədə bucaqları təsvir etmək üçün onları haradan yerləşdirmək barədə razılaşmaq lazımdır. Bucaq istinad şüası kimi absis oxunun müsbət istiqamətini qəbul etmək qəbul edilir, yəni. x oxu. Bucaqların çökmə istiqaməti saat yönünün əksinə hesab olunur. Bu razılaşmalara əsaslanaraq, əvvəlcə iti bucağı bir kənara qoyaq. Məhz belə kəskin bucaqlar üçün düz üçbucaqda triqonometrik funksiyaların qiymətlərini necə hesablayacağımızı artıq bilirik. Belə çıxır ki, təsvir edilmiş dairədən istifadə edərək triqonometrik funksiyaları da hesablaya bilərsiniz, yalnız daha rahatdır.

Kəskin bucağın sinusunun və kosinusunun dəyərləri bu bucağın tərəfinin vahid dairə ilə kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarıdır:

Bunu belə yazmaq olar:

Buna əsaslanaraq x oxu boyunca koordinatlar kosinusun qiymətini, y oxu boyunca koordinatlar isə bucağın sinusunun qiymətini göstərir., şəkildə gördüyünüz kimi vahid dairə ilə koordinat sistemindəki oxların adlarını dəyişdirmək rahatdır:

Absis oxunun adı kosinus oxuna, ordinat oxunun isə sinus oxuna dəyişdirilir.

Sinus və kosinusu təyin etmək üçün göstərilən qayda həm küt bucaqlar, həm də ilə arasında olan bucaqlar üçün ümumiləşdirilmişdir. Bu halda sinuslar və kosinuslar həm müsbət, həm də mənfi dəyərləri qəbul edə bilər. Müxtəlif bu triqonometrik funksiyaların qiymətlərinin əlamətləri Sözügedən bucağın hansı dörddəbirə düşdüyündən asılı olaraq, onu aşağıdakı kimi təsvir etmək adətdir:

Gördüyünüz kimi, triqonometrik funksiyaların əlamətləri onlara uyğun oxların müsbət və mənfi istiqamətləri ilə müəyyən edilir.

Bundan əlavə, bir nöqtənin ən böyük koordinatının üstündə olduğuna diqqət yetirməyə dəyər vahid dairəsi və absis və ordinat oxu boyunca birə bərabərdir və ən kiçiyi mənfi birdir, onda sinus və kosinus dəyərləri bu nömrələrlə məhdudlaşır:

Bu qeydlər də adətən bu formada yazılır:

Triqonometrik çevrəyə tangens və kotangens funksiyalarını təqdim etmək üçün əlavə elementlər çəkmək lazımdır: A nöqtəsində çevrəyə toxunan - ondan bucağın tangensinin qiyməti müəyyən edilir, atına olan tangens. B nöqtəsi - ondan bucağın kotangentinin qiyməti müəyyən edilir.

Bununla belə, biz triqonometrik çevrədəki tangens və kotangenslərin tərifini araşdırmayacağıq, çünki Onları necə edəcəyimizi bildiyimiz bir bucağın sinus və kosinusunun dəyərlərini bilməklə asanlıqla hesablamaq olar. Əgər siz triqonometrik dairədə tangens və kotangensin hesablanmasını öyrənmək istəyirsinizsə, 10-cu sinif cəbr kursunun proqramına nəzər salın.

Biz dairədə yalnız təsviri göstəririk tangens və kotangens əlamətləri bucaqdan asılı olaraq:

Qeyd edək ki, sinus və kosinus dəyərlərinin diapazonlarına bənzər olaraq, siz tangens və kotangens dəyərlərinin diapazonlarını təyin edə bilərsiniz. Onların triqonometrik çevrədəki təriflərinə əsaslanaraq, bu funksiyaların mənaları məhdud deyil:

Başqa nə belə yazmaq olar:

-dən aralığında olan bucaqlara əlavə olaraq, triqonometrik dairə daha böyük və hətta mənfi bucaqlarla işləməyə imkan verir. Belə bucaq qiymətləri həndəsə üçün mənasız görünsə də, bəzi fiziki prosesləri təsvir etmək üçün istifadə olunur. Məsələn, suala necə cavab verirsiniz: "Saat əqrəbi bir gündə hansı bucaqla dönəcək?" Bu müddətdə o, ikisini tamamlayacaq tam inqilablar, və bir inqilabda keçəcək, yəni. bir gün ərzində çevriləcək. Gördüyünüz kimi, bu cür dəyərlər çox praktik məna daşıyır. Bucaq işarələri fırlanma istiqamətini göstərmək üçün istifadə olunur - istiqamətlərdən birinin müsbət açılarla, digəri isə mənfi olanlarla ölçülməsi razılaşdırılır. Bunu triqonometrik dairədə necə nəzərə almaq olar?

Bucaqları olan bir dairədə onlar aşağıdakı kimi işləyirlər:

1) -dən böyük olan bucaqlar saat əqrəbinin əksi istiqamətində çəkilir, başlanğıcdan lazım olduğu qədər dəfələrlə keçir. Məsələn, bir bucaq qurmaq üçün iki tam inqilabdan və digərindən keçmək lazımdır. Bütün triqonometrik funksiyalar son mövqe üçün hesablanır. Üçün və üçün bütün triqonometrik funksiyaların qiymətlərinin eyni olacağını görmək asandır.

2) Mənfi bucaqlar müsbət olanlarla eyni prinsipə uyğun olaraq, yalnız saat yönünün əksinə yerləşdirilir.

Yalnız böyük bucaqların qurulması üsulu ilə, bir-birindən fərqlənən bucaqların sinuslarının və kosinuslarının qiymətlərinin eyni olduğu qənaətinə gələ bilərik. Tangens və kotangenslərin qiymətlərini təhlil etsək, onlar ilə fərqlənən bucaqlar üçün eyni olacaqdır.

Arqumentə əlavə olunduqda funksiyanın dəyərini dəyişməyən belə minimal sıfırdan fərqli ədədlər adlanır. dövr bu funksiya.

Beləliklə, dövrsinus və kosinus bərabərdir, və tangens və kotangens. Bu o deməkdir ki, bu dövrləri nəzərdən keçirilən bucaqlardan nə qədər əlavə və ya çıxarsanız da, triqonometrik funksiyaların qiymətləri dəyişməyəcək.

Misal üçün, , və s.

Triqonometrik funksiyaların bu xassəsinin daha ətraflı izahına və tətbiqinə daha sonra qayıdacağıq.

Eyni arqumentin triqonometrik funksiyaları arasında çox tez-tez istifadə olunan və çağırılan müəyyən əlaqələr var əsas triqonometrik eyniliklər.

Onlar belə görünür:

1) , sözdə "triqonometrik vahid"

Qeyd edək ki, məsələn, qeyd bütün triqonometrik funksiyanın kvadrat olduğunu bildirir. Bunlar. bu formada təmsil oluna bilər: . Bunun kimi qeydlərə bərabər olmadığını başa düşmək vacibdir, bu halda bütün funksiya deyil, yalnız arqument kvadratlaşdırılır və bundan əlavə, bu tip ifadələr olduqca nadirdir.

Bir çox növ problemlərin həllində faydalı ola biləcək birinci şəxsiyyətdən iki çox faydalı nəticə var. Sadə çevrilmələrdən sonra sinusu eyni bucağın kosinusu ilə və əksinə ifadə edə bilərsiniz:

İki mümkün ifadə işarəsi görünür, çünki arifmetik kvadrat kökün götürülməsi yalnız mənfi olmayan qiymətlər verir, sinus və kosinus isə artıq gördüyümüz kimi mənfi qiymətlərə malik ola bilər. Üstəlik, bu funksiyaların əlamətlərini triqonometrik dairədən istifadə edərək, onlarda hansı açıların mövcudluğundan asılı olaraq təyin etmək ən əlverişlidir.

İndi xatırlayaq ki, bucaqlar iki şəkildə ölçülə bilər: dərəcə və radyan. Bir dərəcə və bir radanın təriflərini göstərək.

Bir dərəcə- bu, bir dairəyə bərabər bir qövsə tab gətirən iki radiusun yaratdığı bucaqdır.

Bir radyan- bu, radiuslara bərabər uzunluqlu bir qövsdən ibarət iki radiusun yaratdığı bucaqdır.

Bunlar. cəmi ikidir fərqli yollar tamamilə bərabər olan bucaqları ölçün. Triqonometrik funksiyalarla xarakterizə olunan fiziki prosesləri təsvir edərkən, bucaqların radian ölçüsündən istifadə etmək adətdir, buna görə də buna öyrəşməli olacağıq.

Radianlarda bucaqları pi fraksiyalarında ölçmək adətdir, məsələn, və ya. Bu halda, 3.14-ə bərabər olan "pi" rəqəminin dəyəri əvəz edilə bilər, lakin bu nadir hallarda edilir.

Bucaqların dərəcə ölçüsünü radana çevirmək üçün bucağın əldə edilməsinin asan olmasından yararlanın ümumi formula tərcümə:

Məsələn, radianlara çevirək: .

Bunun əksi də var düsturradyandan dərəcəyə çevrilmə:

Məsələn, dərəcələrə çevirək: .

Bu mövzuda radian bucağın ölçüsündən tez-tez istifadə edəcəyik.

İndi müxtəlif bucaqların triqonometrik funksiyaları ilə hansı xüsusi dəyərlərin verilə biləcəyini xatırlamaq vaxtıdır. -nin çoxluğu olan bəzi bucaqlar üçün var triqonometrik funksiyaların qiymətləri cədvəli. Rahatlıq üçün bucaqlar dərəcə və radian ölçüləri ilə verilir.

Bu açılar bir çox problemdə tez-tez rast gəlinir və bu cədvəldə inamla hərəkət edə bilmək məsləhətdir. Bəzi bucaqların tangens və kotangens dəyərlərinin mənası yoxdur, bu da cədvəldə tire kimi göstərilir. Bunun niyə belə olduğunu özünüz düşünün və ya dərs üçün əlavədə bu barədə daha ətraflı oxuyun.

İlk triqonometriya dərsimizdə tanış olmağımız lazım olan son şeydir azalma düsturlarından istifadə edərək triqonometrik funksiyaların çevrilməsi.

Belə çıxır ki, var müəyyən növ triqonometrik funksiyalar üçün ifadələr, bu olduqca ümumi və rahat şəkildə sadələşdirilmişdir. Məsələn, bunlar ifadələrdir: və s.

Bunlar. Arqument kimi ixtiyari bucağı götürən, tam və ya yarım hissəyə dəyişdirilən funksiyalar haqqında danışacağıq. Bu cür funksiyalar hissələrin ixtiyari əlavə və ya çıxma bucağına bərabər olan arqumentə qədər sadələşdirilir. Misal üçün, , A . Göründüyü kimi, nəticə əks funksiya ola bilər və funksiya işarəni dəyişə bilər.

Buna görə də bu cür funksiyaların transformasiyası qaydalarını iki mərhələyə bölmək olar. Əvvəlcə transformasiyadan sonra hansı funksiyanı əldə edəcəyinizi müəyyənləşdirməlisiniz:

1) Əgər ixtiyari arqument tam ədədə dəyişdirilirsə, funksiya dəyişmir. Bu, tipli funksiyalar üçün doğrudur, burada istənilən tam ədəd;

- -
Adətən, QORXUNU RİYAZİYYƏTlə kimisə qorxutmaq istədikdə, çox mürəkkəb və iyrənc bir şey kimi hər cür sinus və kosinusları misal gətirirlər. Amma əslində bu, başa düşülən və həll oluna bilən gözəl və maraqlı bölmədir.
Mövzu 9-cu sinifdə başlayır və ilk dəfə hər şey həmişə aydın olmur, bir çox incəliklər və fəndlər var. Mövzu ilə bağlı nəsə deməyə çalışdım.

Triqonometriya dünyasına giriş:
Düsturlara tələsmədən əvvəl həndəsədən sinusun, kosinusun və s.-nin nə olduğunu başa düşməlisiniz.
Bucaq sinüsü- əks (bucaq) tərəfin hipotenuzaya nisbəti.
Kosinus- qonşunun hipotenuzaya nisbəti.
Tangens- bitişik tərəfə qarşı tərəf
Kotangent- əks tərəfə bitişik.

İndi koordinat müstəvisində vahid radiuslu bir dairəni nəzərdən keçirin və üzərində müəyyən bir alfa bucağı qeyd edin: (şəkillər tıklanabilir, ən azı bəziləri)
-
-
İncə qırmızı xətlər dairənin kəsişmə nöqtəsindən perpendikulyar və öküz və oy oxundakı düz bucaqdır. Qırmızı x və y oxlardakı x və y koordinatlarının dəyəridir (boz x və y sadəcə olaraq bunların koordinat oxları olduğunu göstərmək üçündür, sadəcə xətlər deyil).
Qeyd etmək lazımdır ki, bucaqlar öküz oxunun müsbət istiqamətindən saat yönünün əksinə hesablanır.
Onun üçün sinus, kosinus və s. tapaq.
sin a: əks tərəf y-ə, hipotenuza 1-ə bərabərdir.
sin a = y / 1 = y
y və 1-i haradan aldığımı tam aydınlaşdırmaq üçün aydınlıq üçün hərfləri düzüb üçbucaqlara baxaq.
- -
AF = AE = 1 - dairənin radiusu.
Buna görə də radius olaraq AB = 1. AB - hipotenuz.
BD = CA = y - oh üçün dəyər kimi.
AD = CB = x - oh görə dəyər kimi.
sin a = BD / AB = y / 1 = y
Sonrakı kosinusdur:
cos a: bitişik tərəf - AD = x
cos a = AD / AB = x / 1 = x

Biz də çıxış edirik tangens və kotangens.
tg a = y / x = sin a / cos a
çarpayı a = x / y = cos a / sin a
Birdən biz tangens və kotangens formulunu əldə etdik.

Gəlin bunun necə həll olunduğuna konkret nəzər salaq.
Məsələn, a = 45 dərəcə.
Bir bucağı 45 dərəcə olan düz üçbucaq alırıq. Bəzilərinə bunun bərabərtərəfli üçbucaq olduğu dərhal aydındır, amma hər halda onu təsvir edəcəyəm.
Üçbucağın üçüncü bucağını tapaq (birincisi 90, ikincisi 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
Əgər iki bucaq bərabərdirsə, deməli onların tərəfləri bərabərdir, bu belə səslənirdi.
Deməli, belə çıxır ki, iki belə üçbucağı bir-birinin üstünə əlavə etsək, diaqonalı radius = 1-ə bərabər olan kvadrat əldə edirik. Pifaqor teoremi ilə biz bilirik ki, tərəfi a olan kvadratın diaqonalı bərabərdir. iki kök.
İndi düşünürük. Əgər 1 (hipotenuza aka diaqonal) kvadratın tərəfi ilə ikinin kökünə bərabərdirsə, kvadratın tərəfi 1/sqrt(2)-ə bərabər olmalıdır və bu kəsrin payını və məxrəcini vursaq ikinin kökü ilə biz sqrt(2)/2 alırıq. Və üçbucaq ikitərəfli olduğu üçün AD = AC => x = y olur
Triqonometrik funksiyalarımızı tapırıq:
sin 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
cos 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
tg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
ctg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
Qalan bucaq dəyərləri ilə eyni şəkildə işləməlisiniz. Yalnız üçbucaqlar ikitərəfli olmayacaq, lakin tərəfləri Pifaqor teoremindən istifadə etməklə asanlıqla tapmaq olar.
Beləliklə, müxtəlif açılardan triqonometrik funksiyaların dəyərlər cədvəlini alırıq:
-
-
Üstəlik, bu masa aldadıcıdır və çox rahatdır.
Heç bir əngəl olmadan özünüz necə tərtib etmək olar: Belə bir cədvəl çəkin və xanalara 1 2 3 rəqəmlərini yazın.
-
-
İndi bu 1 2 3-dən kök götürüb 2-yə bölürsən. Belə çıxır:
-
-
İndi sinusunu kəsirik və kosinusu yazırıq. Onun dəyərləri aynalı sinusdur:
-
-
Tangensi əldə etmək eyni dərəcədə asandır - sinus xəttinin dəyərini kosinus xəttinin dəyərinə bölmək lazımdır:
-
-
Kotangens dəyəri tangensin ters çevrilmiş qiymətidir. Nəticədə belə bir şey alırıq:
- -

Qeyd o tangens, məsələn, P/2-də mövcud deyil. Bunun səbəbini düşünün. (Sıfıra bölmək olmaz.)

Burada yadda saxlamaq lazımdır: sinus y dəyəri, kosinus x dəyəridir. Tangens y-nin x-ə nisbətidir, kotangens isə əksinədir. Beləliklə, sinusların/kosinusların qiymətlərini müəyyən etmək üçün yuxarıda təsvir etdiyim cədvəli və koordinat oxları olan bir dairəni çəkmək kifayətdir (qiymətlərə 0, 90 bucaqlarında baxmaq rahatdır, 180, 360).
- -

Yaxşı, ümid edirəm ki, ayırd edə bilərsiniz dörddəbir:
- -
Onun sinusunun, kosinusunun və s. işarəsi bucağın hansı rübdə olmasından asılıdır. Baxmayaraq ki, ikinci və üçüncü rüblərdə x-in mənfi, üçüncü və dördüncü rüblərdə isə y-nin mənfi olduğunu nəzərə alsanız, tamamilə primitiv məntiqi təfəkkür sizi düzgün cavaba aparacaqdır. Qorxulu və ya qorxulu heç nə yoxdur.

Məncə qeyd etmək əbəs olmaz azaldılması düsturları ala kabuslar, hamının eşitdiyi kimi, həqiqət dənəsi olan. Belə formullar yoxdur, çünki onlar lazımsızdır. Bütün bu hərəkətin mənası: Bucaq dəyərlərini yalnız birinci rüb üçün asanlıqla tapırıq (30 dərəcə, 45, 60). Triqonometrik funksiyalar dövri xarakter daşıyır, ona görə də biz istənilən böyük bucağı birinci rübün içinə çəkə bilərik. Sonra onun mənasını dərhal tapacağıq. Ancaq sadəcə sürükləmək kifayət deyil - işarəni xatırlamaq lazımdır. Azaltma düsturları bunun üçündür.
Deməli, bizdə böyük, daha doğrusu 90 dərəcədən çox bucaq var: a = 120. Və onun sinusunu və kosinusunu tapmaq lazımdır. Bunu etmək üçün 120-ni işləyə biləcəyimiz aşağıdakı bucaqlara ayıracağıq:
sin a = günah 120 = günah (90 + 30)
Bu bucağın ikinci rübdə olduğunu görürük, orada sinus müsbətdir, ona görə də sinusun qarşısındakı + işarəsi qorunub saxlanılır.
90 dərəcədən xilas olmaq üçün sinusunu kosinusa dəyişirik. Yaxşı, bu yadda saxlamalı olduğunuz bir qaydadır:
sin (90 + 30) = cos 30 = sqrt(3) / 2
Və ya başqa cür təsəvvür edə bilərsiniz:
günah 120 = günah (180 - 60)
180 dərəcədən xilas olmaq üçün funksiyanı dəyişmirik.
sin (180 - 60) = sin 60 = sqrt(3) / 2
Eyni dəyəri aldıq, buna görə də hər şey düzgündür. İndi kosinus:
cos 120 = cos (90 + 30)
İkinci rübdəki kosinus mənfidir, buna görə mənfi işarə qoyuruq. Və funksiyanı əksinə dəyişdiririk, çünki 90 dərəcəni silmək lazımdır.
cos (90 + 30) = - sin 30 = - 1/2
Və ya:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1/2

Bucaqları birinci rübə köçürmək üçün bilməli olduğunuz, edə bilməniz və etməli olduğunuz şeylər:
- bucağı həzm olunan terminlərə ayırmaq;
-bucağın hansı rübdə olduğunu nəzərə almaq və bu rübdəki funksiya mənfi və ya müsbət olduqda müvafiq işarəni qoymaq;
- lazımsız şeylərdən qurtulun:
*90, 270, 450 və qalan 90+180n-dən qurtulmaq lazımdırsa, burada n istənilən tam ədəddir, onda funksiya tərsinə çevrilir (sinus kosinus, kotangens ilə tangens və əksinə);
*əgər 180 və qalan 180+180n-dən xilas olmaq lazımdırsa, burada n istənilən tam ədəddir, onda funksiya dəyişmir. (Burada bir xüsusiyyət var, ancaq sözlə izah etmək çətindir, amma yaxşı).
Hamısı budur. Düşünürəm ki, bir neçə qaydanı yadda saxlayıb asanlıqla istifadə edə bildiyiniz halda düsturları yadda saxlamağa ehtiyac yoxdur. Yeri gəlmişkən, bu düsturları sübut etmək çox asandır:
-
-
Həm də çətin cədvəllər tərtib edirlər, onda biz bilirik:
-
-

Triqonometriyanın əsas tənlikləri: onları çox, çox yaxşı, əzbər bilmək lazımdır.
Əsas triqonometrik eynilik(bərabərlik):
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
İnanmırsınızsa, özünüz yoxlayın və özünüz baxın daha yaxşıdır. Müxtəlif bucaqların dəyərlərini əvəz edin.
Bu düstur çox, çox faydalıdır, həmişə bunu xatırlayın. ondan istifadə edərək sinusu kosinus vasitəsilə və əksinə ifadə edə bilərsiniz, bu bəzən çox faydalıdır. Ancaq hər hansı digər düstur kimi, onunla necə davranacağınızı bilməlisiniz. Həmişə unutmayın ki, triqonometrik funksiyanın işarəsi bucağın yerləşdiyi kvadrantdan asılıdır. Buna görə də kökü çıxararkən rübü bilmək lazımdır.

Tangens və kotangens: Biz bu düsturları əvvəldən əldə etmişik.
tg a = sin a / cos a
cot a = cos a / sin a

Tangens və kotangens məhsulu:
tg a * ctg a = 1
Çünki:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - fraksiyalar ləğv edilir.

Gördüyünüz kimi, bütün düsturlar bir oyun və birləşmədir.
Birinci düsturun kosinus kvadratına və sinus kvadratına bölməkdən əldə edilən daha ikisi:
-
-
Nəzərə alın ki, son iki düstur a bucağının dəyərinə məhdudiyyət qoyulmaqla istifadə edilə bilər, çünki siz sıfıra bölmək olmaz.

Əlavə düsturlar: vektor cəbrindən istifadə etməklə sübut edilmişdir.
- -
Nadir hallarda istifadə olunur, lakin dəqiqdir. Skanda düsturlar var, lakin onlar oxunmaz ola bilər və ya rəqəmsal formanı qəbul etmək daha asandır:
- -

İkiqat bucaq düsturları:
Onlar əlavə düsturlarına əsasən alınır, məsələn: ikiqat bucağın kosinusu cos 2a = cos (a + a) - bu sizə nəyisə xatırladırmı? Sadəcə bettanı alfa ilə əvəz etdilər.
- -
Sonrakı iki düstur sin^2(a) = 1 - cos^2(a) və cos^2(a) = 1 - sin^2(a) birinci əvəzetməsindən əldə edilir.
İkiqat bucağın sinusu daha sadədir və daha tez-tez istifadə olunur:
- -
Xüsusi pozğunlar isə tan a = sin a / cos a və s.
-
-

Yuxarıda qeyd olunan şəxslər üçün Üçbucaqlı düsturlar: onlar 2a və a bucaqlarını əlavə etməklə əldə edilir, çünki biz artıq ikiqat bucaq üçün düsturları bilirik.
-
-

Yarım bucaq düsturları:
- -
Onların necə alındığını, daha dəqiq desək, necə izah edəcəyimi bilmirəm... Əsas triqonometrik eyniliyi a/2 ilə əvəz edərək bu düsturları yazsaq, cavab birləşəcək.

Triqonometrik funksiyaların toplanması və çıxılması üçün düsturlar:
-
-
Onlar əlavə düsturlardan əldə edilir, lakin heç kimin vecinə deyil. Onlar tez-tez baş vermir.

Anladığınız kimi, hələ də bir çox düsturlar var, onların siyahısı sadəcə mənasızdır, çünki mən onlar haqqında adekvat bir şey yaza bilməyəcəm və quru düsturları hər yerdə tapmaq olar və onlar əvvəlki mövcud düsturlarla bir oyundur. Hər şey olduqca məntiqli və dəqiqdir. Son olaraq sizə deyəcəm köməkçi bucaq üsulu haqqında:
a cosx + b sinx ifadəsini Acos(x+) və ya Asin(x+) formasına çevirmək köməkçi bucaq (və ya əlavə arqument) təqdim etmək üsulu adlanır. Metod həll etmək üçün istifadə olunur triqonometrik tənliklər, funksiyaların qiymətlərini qiymətləndirərkən, ekstremum məsələlərdə və qeyd etmək vacibdir ki, bəzi problemləri köməkçi bucaq təqdim etmədən həll etmək mümkün deyil.
Bu üsulu necə izah etməyə çalışsanız da, heç nə alınmadı, ona görə də bunu özünüz etməli olacaqsınız:
-
-
Qorxunc bir şey, amma faydalıdır. Problemləri həll etsəniz, nəticə verməlidir.
Buradan, məsələn: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm

Sonrakı kursda triqonometrik funksiyaların qrafikləri var. Ancaq bir dərs üçün bu kifayətdir. Nəzərə alsaq ki, məktəbdə bunu altı ay öyrədirlər.

Suallarınızı yazın, problemləri həll edin, bəzi tapşırıqların skanını istəyin, anlayın, cəhd edin.
Həmişə sənin, Dan Faraday.

Bu dərsdə triqonometrik funksiyaların tətbiqi ehtiyacının necə yarandığı və onların nə üçün öyrənildiyi, bu mövzuda nələri başa düşməli olduğunuz və yalnız harada daha yaxşı olmaq lazım olduğu (texnika nədir) haqqında danışacağıq. Qeyd edək ki, texnika və anlayış iki fərqli şeydir. Razılaşın, bir fərq var: velosiped sürməyi öyrənmək, yəni bunu necə edəcəyinizi anlamaq və ya peşəkar velosipedçi olmaq. Triqonometrik funksiyaların nə üçün lazım olduğunu başa düşmək haqqında xüsusi olaraq danışacağıq.

Dörd triqonometrik funksiya var, lakin onların hamısı eyniliklərdən istifadə etməklə (onları əlaqələndirən bərabərliklər) biri ilə ifadə edilə bilər.

Düzbucaqlı üçbucaqlarda iti bucaqlar üçün triqonometrik funksiyaların formal tərifləri (şək. 1).

Sinus Düzbucaqlı üçbucağın iti bucağı qarşı tərəfin hipotenuzaya nisbətidir.

Kosinus Düzbucaqlı üçbucağın iti bucağı bitişik ayağın hipotenuzaya nisbətidir.

Tangens Düzbucaqlı üçbucağın iti bucağı qarşı tərəfin bitişik tərəfə nisbətidir.

Kotangent Düzbucaqlı üçbucağın iti bucağı bitişik tərəfin qarşı tərəfə nisbətidir.

düyü. 1. Düzbucaqlı üçbucağın iti bucağının triqonometrik funksiyalarının təyini

Bu təriflər formal xarakter daşıyır. Yalnız bir funksiyanın olduğunu söyləmək daha düzgündür, məsələn, sinus. Əgər onlar texnologiyada bu qədər ehtiyac olmasaydı (o qədər də tez-tez istifadə olunmur), bu qədər müxtəlif triqonometrik funksiyalar təqdim olunmazdı.

Məsələn, bucağın kosinusu () əlavə edilməklə eyni bucağın sinusuna bərabərdir. Bundan əlavə, bir bucağın kosinusu həmişə əsas triqonometrik eynilikdən () istifadə edərək işarəyə qədər eyni bucağın sinüsü ilə ifadə edilə bilər. Bucağın tangensi sinusun kosinusa və ya tərs kotangensə nisbətidir (şəkil 2). Bəziləri kotangensdən ümumiyyətlə istifadə etmir, onu ilə əvəz edir. Buna görə də bir triqonometrik funksiyanı başa düşmək və onunla işləməyi bacarmaq vacibdir.

düyü. 2. Müxtəlif triqonometrik funksiyalar arasında əlaqə

Bəs ümumiyyətlə belə funksiyalar nə üçün lazım idi? Hansı praktiki problemləri həll etmək üçün istifadə olunur? Gəlin bir neçə nümunəyə baxaq.

İki nəfər ( A Və IN) maşını gölməçədən itələyin (şək. 3). İnsan IN maşını yan tərəfə itələyə bilər, lakin kömək etmək mümkün deyil A. Digər tərəfdən, onun səylərinin istiqaməti tədricən dəyişə bilər (şək. 4).

düyü. 3. IN maşını yan tərəfə itələyir

düyü. 4. IN səylərinin istiqamətini dəyişməyə başlayır

Aydındır ki, onların səyləri avtomobili bir istiqamətə itələdikdə ən təsirli olacaq (şək. 5).

düyü. 5. Ən effektiv birgə səy istiqaməti

Nə qədər IN maşını onun qüvvəsinin istiqaməti təsir etdiyi qüvvənin istiqamətinə yaxın olduğu dərəcədə itələməyə kömək edir. A, bucağın funksiyasıdır və onun kosinusu ilə ifadə edilir (şək. 6).

düyü. 6. Kosinus səylərin səmərəliliyinin xarakteristikası kimi IN

Hansı qüvvənin böyüklüyünü çoxalsaq IN, bucağın kosinusunda onun qüvvəsinin təsir etdiyi qüvvənin istiqamətinə proyeksiyasını alırıq. A. Qüvvələrin istiqamətləri arasındakı bucaq nə qədər yaxın olarsa, birgə hərəkətlərin nəticəsi bir o qədər təsirli olar. A Və IN(Şəkil 7). Əgər onlar avtomobili eyni qüvvə ilə əks istiqamətlərə itələsələr, avtomobil yerində qalacaq (şək. 8).

düyü. 7. Birgə səylərin səmərəliliyi A Və IN

düyü. 8. Əks istiqamət qüvvələrin hərəkəti A Və IN

Nə üçün bucağı (son nəticəyə töhfəsini) kosinusla (və ya bucağın digər triqonometrik funksiyası) əvəz edə biləcəyimizi başa düşmək vacibdir. Əslində, bu, oxşar üçbucaqların bu xüsusiyyətindən irəli gəlir. Əslində biz bunu deyirik: bucaq iki ədədin nisbəti ilə əvəz edilə bilər (yan-hipotenuza və ya yan-yan). Məsələn, müxtəlif düzbucaqlı üçbucaqların eyni bucağı üçün bu nisbətlər fərqli olsaydı, bu mümkün olmazdı (şək. 9).

düyü. 9. Bənzər üçbucaqlarda bərabər tərəf nisbətləri

Məsələn, nisbət və nisbət fərqli olsaydı, onda tangens funksiyasını təqdim edə bilməzdik, çünki müxtəlif düzbucaqlı üçbucaqlarda eyni bucaq üçün tangens fərqli olardı. Ancaq oxşar düzbucaqlı üçbucaqların ayaqlarının uzunluqlarının nisbətləri eyni olduğuna görə, funksiyanın dəyəri üçbucaqdan asılı olmayacaq, yəni iti bucaq və onun triqonometrik funksiyalarının qiymətləri birə-bir.

Tutaq ki, biz müəyyən ağacın hündürlüyünü bilirik (şək. 10). Yaxınlıqdakı binanın hündürlüyünü necə ölçmək olar?

düyü. 10. 2-ci misalın vəziyyətinin təsviri

Elə bir nöqtə tapırıq ki, bu nöqtədən keçən xətt və evin yuxarı hissəsi ağacın üstündən keçsin (şək. 11).

düyü. 11. 2-ci misaldakı məsələnin həllinin təsviri

Bu nöqtədən ağaca qədər olan məsafəni, ondan evə qədər olan məsafəni ölçə bilərik və ağacın hündürlüyünü bilirik. Proporsiyadan evin hündürlüyünü tapa bilərsiniz: .

Proporsiya iki ədədin nisbətinin bərabərliyidir. Bu halda, oxşar düzbucaqlı üçbucaqların ayaqlarının uzunluqlarının nisbətinin bərabərliyi. Üstəlik, bu nisbətlər triqonometrik funksiya ilə ifadə olunan bucağın müəyyən ölçüsünə bərabərdir (tərifinə görə bu, bir tangensdir). Biz tapırıq ki, hər bir iti bucaq üçün onun triqonometrik funksiyasının qiyməti unikaldır. Yəni sinus, kosinus, tangens, kotangens həqiqətən funksiyalardır, çünki hər bir iti bucaq onların hər birinin dəqiq bir dəyərinə uyğundur. Nəticə etibarilə, onlar daha da tədqiq edilə və xassələrindən istifadə edilə bilər. Bütün bucaqlar üçün triqonometrik funksiyaların dəyərləri artıq hesablanıb və istifadə oluna bilər (onları Bradis cədvəllərindən və ya istənilən mühəndislik kalkulyatoru). Lakin biz həmişə tərs məsələni həll edə bilmirik (məsələn, sinusun dəyərindən istifadə edərək ona uyğun olan bucağın ölçüsünü bərpa etmək).

Bəzi bucağın sinusu bərabər və ya təqribən olsun (şək. 12). Bu sinus dəyərinə hansı bucaq uyğun olacaq? Təbii ki, biz yenidən Bradis cədvəlindən istifadə edib müəyyən dəyər tapa bilərik, lakin məlum olur ki, o, tək olmayacaq (şək. 13).

düyü. 12. Sinusunun qiyməti ilə bucağın tapılması

düyü. 13. Tərs triqonometrik funksiyaların polisemiyası

Nəticə etibarilə, bucağın triqonometrik funksiyasının qiymətini yenidən qurarkən tərs triqonometrik funksiyaların çoxqiymətli xarakteri yaranır. Bu çətin görünə bilər, amma əslində hər gün oxşar vəziyyətlərlə qarşılaşırıq.

Pəncərələri pərdələyirsinizsə və çöldə havanın işıqlı, yoxsa qaranlıq olduğunu bilmirsinizsə və ya özünüzü mağarada görmüsünüzsə, o zaman yuxudan duranda gündüz saat birdir, gecədir, yoxsa demək çətindir. ertəsi gün (şək. 14). Əslində, “saat neçədir?” deyə soruşsanız, vicdanla cavab verməliyik: “Saat üstəgəl hara vurulur”

düyü. 14. Saat nümunəsindən istifadə edərək polisemiyanın təsviri

Bunun bir dövr olduğu qənaətinə gələ bilərik (saatın indiki ilə eyni vaxt göstərəcəyi interval). Triqonometrik funksiyaların da dövrləri var: sinus, kosinus və s. Yəni arqumentdə müəyyən dəyişiklik edildikdən sonra onların dəyərləri təkrarlanır.

Əgər planetdə gecə ilə gündüzün dəyişməsi, fəsillərin dəyişməsi olmasaydı, biz dövri vaxtdan istifadə edə bilməzdik. Axı biz yalnız illəri artan ardıcıllıqla nömrələyirik, lakin günlərin saatları var və hər yeni gün yenidən hesablamalar başlayır. Aylarla da vəziyyət eynidir: əgər indi yanvardırsa, bir neçə aydan sonra yenidən yanvar gələcək və s. Xarici istinad nöqtələri bizə vaxtın (saatların, ayların) dövri hesablanmasından istifadə etməyə kömək edir, məsələn, Yerin öz oxu ətrafında fırlanması və Günəşin və Ayın səmadakı mövqeyinin dəyişməsi. Əgər Günəş həmişə eyni mövqedə dayansaydı, vaxtı hesablamaq üçün bu hesablamanın başladığı andan etibarən saniyələrin (dəqiqələrin) sayını hesablayardıq. Tarix və vaxt belə oxuya bilər: bir milyard saniyə.

Nəticə: tərs funksiyaların polisemiyası baxımından heç bir çətinlik yoxdur. Həqiqətən, eyni sinus üçün fərqli bucaq dəyərləri olduqda seçimlər ola bilər (Şəkil 15).

düyü. 15. Bucağın sinusunun qiymətindən bərpası

Adətən, praktiki məsələləri həll edərkən biz həmişə standart diapazondan - -ə qədər işləyirik. Bu diapazonda triqonometrik funksiyanın hər bir dəyəri üçün bucaq ölçüsünün yalnız iki müvafiq dəyəri var.

Qumun töküldüyü bir çuxur olan bir vedrə şəklində hərəkət edən bir kəmər və sarkac düşünün. Sarkaç yellənir, lent hərəkət edir (şək. 16). Nəticədə, qum sinus dalğası adlanan sinus (və ya kosinus) funksiyasının qrafiki şəklində bir iz buraxacaqdır.

Əslində, sinus və kosinus qrafikləri bir-birindən yalnız istinad nöqtəsində fərqlənir (əgər onlardan birini çəkib sonra koordinat oxlarını silsəniz, hansı qrafikin çəkildiyini müəyyən edə bilməyəcəksiniz). Buna görə də, kosinus qrafikini qrafik adlandırmağın mənası yoxdur (niyə eyni qrafik üçün ayrıca ad tapmaq lazımdır)?

düyü. 16. 4-cü misalda problemin ifadəsinin təsviri

Funksiya qrafiki tərs funksiyaların niyə çoxlu qiymətə malik olacağını anlamağa kömək edə bilər. Əgər sinusun dəyəri sabitdirsə, yəni. absis oxuna paralel düz xətt çəkin, sonra kəsişmədə bucağın sinusunun verilənə bərabər olduğu bütün nöqtələri alırıq. Belə nöqtələrin sonsuz sayda olacağı aydındır. Zaman dəyərinin ilə fərqləndiyi saat nümunəsində olduğu kimi, yalnız burada bucaq dəyəri məbləğə görə fərqlənəcəkdir (şək. 17).

düyü. 17. Sinus üçün polisemiyanın təsviri

Bir saat nümunəsini nəzərdən keçirsək, onda nöqtə (saat əqrəbinin ucu) dairə ətrafında hərəkət edir. Triqonometrik funksiyalar eyni şəkildə müəyyən edilə bilər - düz üçbucaqdakı bucaqları deyil, çevrənin radiusu ilə oxun müsbət istiqaməti arasındakı bucağı nəzərə alın. Nöqtənin keçəcəyi dairələrin sayı (hərəkəti mənfi işarə ilə, saat əqrəbinin əksinə isə artı işarəsi ilə saymağa razılaşdıq), bu bir dövrdür (şək. 18).

düyü. 18. Dairə üzərində sinusun qiyməti

Belə ki, tərs funksiya müəyyən intervalda unikal şəkildə müəyyən edilir. Bu interval üçün onun dəyərlərini hesablaya və funksiyanın dövrünü əlavə edib çıxarmaqla tapılan dəyərlərdən qalanları ala bilərik.

Dövrün başqa bir nümunəsinə baxaq. Maşın yol boyu hərəkət edir. Təsəvvür edək ki, onun təkəri boyaya və ya gölməçəyə çırpılıb. Yolda boya və ya gölməçələrdən bəzən izlər görünə bilər (Şəkil 19).

düyü. 19. Dövr təsviri

Məktəb kursunda kifayət qədər çoxlu triqonometrik düsturlar var, lakin ümumilikdə yalnız birini xatırlamaq kifayətdir (şək. 20).

düyü. 20. Triqonometrik düsturlar

İkiqat bucaq düsturu da əvəz etməklə cəminin sinusundan asanlıqla əldə edilə bilər (eyni şəkildə kosinus üçün). Siz həmçinin məhsul formullarını əldə edə bilərsiniz.

Əslində, çox az xatırlamaq lazımdır, çünki problemlərin həlli ilə bu düsturlar özləri yadda qalacaqlar. Əlbəttə ki, kimsə çox qərar vermək üçün çox tənbəl olacaq, amma sonra bu texnikaya və buna görə də düsturların özünə ehtiyacı olmayacaq.

Və düsturlara ehtiyac olmadığı üçün onları yadda saxlamağa ehtiyac yoxdur. Sadəcə triqonometrik funksiyaların, məsələn, körpüləri hesablamaq üçün istifadə olunan funksiyalar olduğu fikrini başa düşməlisiniz. Demək olar ki, heç bir mexanizm onların istifadəsi və hesablanması olmadan edə bilməz.

1. Tez-tez tellərin yerə tamamilə paralel ola biləcəyi sualı yaranır. Cavab: yox, onlar bilməz, çünki bir qüvvə aşağıya doğru hərəkət edir, digərləri isə paralel hərəkət edir - onlar heç vaxt tarazlıq tutmayacaqlar (şək. 21).

2. Qu quşu, xərçəngkimi və pike eyni müstəvidə araba çəkir. Qu quşu bir istiqamətə uçur, xərçəngkimi digər tərəfə, pike üçüncü tərəfə çəkir (şək. 22). Onların səlahiyyətləri balanslaşdırıla bilər. Bu balans triqonometrik funksiyalardan istifadə etməklə hesablana bilər.

3. Kabelli körpü (şək. 23). Triqonometrik funksiyalar kabellərin sayını hesablamağa, onların necə yönəldilməli və gərginləşdirilməsinə kömək edir.

düyü. 23. Kanatlı körpü

düyü. 24. “Simli körpü”

düyü. 25. Bolşoy Obuxovski körpüsü

ma-te-ri-a-ly saytına keçidlərInternetUrok

Riyaziyyat 6 sinif:

Həndəsə 8 sinif:

Məxfiliyinizi qorumaq bizim üçün vacibdir. Bu səbəbdən biz sizin məlumatlarınızı necə istifadə etdiyimizi və saxladığımızı təsvir edən Məxfilik Siyasəti hazırlamışıq. Zəhmət olmasa məxfilik təcrübələrimizi nəzərdən keçirin və hər hansı sualınız olarsa, bizə bildirin.

Şəxsi məlumatların toplanması və istifadəsi

Şəxsi məlumat müəyyən bir şəxsi müəyyən etmək və ya əlaqə saxlamaq üçün istifadə edilə bilən məlumatlara aiddir.

İstənilən vaxt bizimlə əlaqə saxladığınız zaman sizdən şəxsi məlumatlarınızı təqdim etməyiniz tələb oluna bilər.

Aşağıda toplaya biləcəyimiz şəxsi məlumat növlərinə və bu cür məlumatlardan necə istifadə edə biləcəyimizə dair bəzi nümunələr verilmişdir.

Hansı şəxsi məlumatları toplayırıq:

Saytda ərizə təqdim etdiyiniz zaman biz müxtəlif məlumatlar, o cümlədən adınız, telefon nömrəniz, ünvanınız toplaya bilərik E-poçt və s.

Şəxsi məlumatlarınızı necə istifadə edirik:

Bizim tərəfimizdən yığılmışdır Şəxsi məlumat Bizə sizinlə əlaqə saxlamağa və unikal təkliflər, promosyonlar və digər tədbirlər və qarşıdan gələn tədbirlər haqqında məlumat verməyə imkan verir.
Zaman-zaman biz sizin şəxsi məlumatlarınızdan vacib bildirişlər və kommunikasiyalar göndərmək üçün istifadə edə bilərik.
Təqdim etdiyimiz xidmətləri təkmilləşdirmək və sizə xidmətlərimizlə bağlı tövsiyələr vermək üçün auditlərin aparılması, məlumatların təhlili və müxtəlif tədqiqatların aparılması kimi şəxsi məlumatlardan daxili məqsədlər üçün də istifadə edə bilərik.
Əgər siz uduş tirajında, müsabiqədə və ya oxşar təşviqatda iştirak edirsinizsə, biz bu cür proqramları idarə etmək üçün təqdim etdiyiniz məlumatdan istifadə edə bilərik.

Üçüncü tərəflərə məlumatların açıqlanması

Sizdən alınan məlumatları üçüncü tərəflərə açıqlamırıq.

İstisnalar:

Zəruri hallarda - qanuna uyğun olaraq, məhkəmə qaydasında, məhkəmə icraatında və/və ya ictimai sorğu və ya sorğu əsasında dövlət qurumları Rusiya Federasiyasının ərazisində - şəxsi məlumatlarınızı açıqlayın. Bu cür açıqlamanın təhlükəsizlik, hüquq-mühafizə və ya digər ictimai əhəmiyyətli məqsədlər üçün zəruri və ya uyğun olduğunu müəyyən etsək, sizinlə bağlı məlumatları da açıqlaya bilərik.
Yenidən təşkil, birləşmə və ya satış halında, biz topladığımız şəxsi məlumatları müvafiq varisə üçüncü tərəfə ötürə bilərik.

Şəxsi məlumatların qorunması

Biz şəxsi məlumatlarınızı itkidən, oğurluqdan və sui-istifadədən, habelə icazəsiz daxil olmaqdan, açıqlamadan, dəyişdirilməkdən və məhv olmaqdan qorumaq üçün inzibati, texniki və fiziki tədbirləri görürük.

Şirkət səviyyəsində məxfiliyinizə hörmət etmək

Şəxsi məlumatlarınızın təhlükəsiz olmasını təmin etmək üçün biz əməkdaşlarımıza məxfilik və təhlükəsizlik standartlarını çatdırırıq və məxfilik təcrübələrini ciddi şəkildə tətbiq edirik.

Bir vaxtlar məktəbdə triqonometriyanın öyrənilməsi üçün ayrıca kurs var idi. Sertifikat üç riyaziyyat fənni üzrə qiymətləri ehtiva edirdi: cəbr, həndəsə və triqonometriya.

Sonra islahatın bir hissəsi kimi məktəb təhsili triqonometriya ayrıca bir fənn kimi mövcud olmağı dayandırdı. IN müasir məktəb Triqonometriya ilə ilk tanışlıq 8-ci sinif həndəsə kursunda baş verir. 10-cu sinif cəbr kursunda fənnin daha dərindən öyrənilməsi davam edir.

Sinus, kosinus, tangens və kotangensin tərifləri əvvəlcə düzbucaqlı üçbucağın tərəflərinin əlaqəsi vasitəsilə həndəsədə verilir.

Düzbucaqlı üçbucaqdakı iti bucaq qarşı tərəfin hipotenuzaya nisbətidir.

Kosinus Düzbucaqlı üçbucaqda kəskin bucaq qonşu ayağın hipotenuzaya nisbətidir.

Tangens Düzbucaqlı üçbucaqda kəskin bucaq qarşı tərəfin bitişik tərəfə nisbətidir.

Kotangent Düzbucaqlı üçbucaqda iti bucaq qonşu tərəfin qarşı tərəfə nisbətidir.

Bu təriflər yalnız kəskin açılara aiddir (0º - 90°).

Misal üçün,

ABC üçbucağında, burada ∠C=90°, BC A bucağına əks ayaq, AC A bucağına bitişik ayaq, AB hipotenuzdur.

10-cu sinif cəbr kursu istənilən bucaq (o cümlədən mənfi) üçün sinus, kosinus, tangens və kotangensin təriflərini təqdim edir.

Mərkəzi başlanğıcda - O(0;0) nöqtəsində olan R radiuslu dairəni nəzərdən keçirək. Dairənin absis oxunun müsbət istiqaməti ilə kəsişmə nöqtəsini P 0 kimi qeyd edək.

Həndəsədə bucaq iki şüa ilə məhdudlaşan müstəvi hissəsi kimi qəbul edilir. Bu təriflə bucaq 0° ilə 180° arasında dəyişir.

Triqonometriyada bucaq OP 0 şüasının başlanğıc O nöqtəsi ətrafında fırlanmasının nəticəsi hesab edilir.

Eyni zamanda, onlar şüanın müsbət hərəkət istiqaməti kimi saat əqrəbinin əksi istiqamətində, mənfi isə saat əqrəbinin əksinə çevrilməsini (bu razılaşma Günəşin Yer ətrafında həqiqi hərəkəti ilə bağlıdır) hesab etməyə razılaşdılar.

Məsələn, OP 0 şüası O nöqtəsi ətrafında saat əqrəbinin əksinə α bucağı ilə fırlananda P 0 nöqtəsi P α nöqtəsinə gedəcək,

saat əqrəbi istiqamətində α bucağı ilə dönərkən - F nöqtəsinə.

Bu tərif ilə bucaq istənilən qiymət ala bilər.

OP 0 şüasını saat əqrəbinin əksinə döndərməyə davam etsək, α°+360°, α°+360°·2,...,α°+360°·n bucağından dönərkən, burada n tam ədəddir (n∈). Ζ), yenə P α nöqtəsinə keçək:

Bucaqlar dərəcə və radyanla ölçülür.

1°, işlənmiş bucağın dərəcə ölçüsünün 1/180-ə bərabər olan bir açıdır.

1 radian, qövs uzunluğu dairənin radiusuna bərabər olan mərkəzi bucaqdır:

∠AOB=1 rad.

Radian simvolları adətən yazılmır. Dərəcə təyinatı girişdən buraxıla bilməz.

Misal üçün,

OP 0 şüasının O nöqtəsi ətrafında saat əqrəbinin əksi istiqamətində α bucağı ilə fırlanması ilə P 0 nöqtəsindən alınan P α nöqtəsi P α (x;y) koordinatlarına malikdir.

P α nöqtəsindən absis oxuna perpendikulyar P α A salaq.

OP α A düzbucaqlı üçbucağında:

P α A - α bucağına qarşı ayaq,

OA - α bucağına bitişik ayaq,

OP α hipotenuzdur.

P α A=y, OA=x, OP α =R.

Düzbucaqlı üçbucaqda sinus, kosinus, tangens və kotangensin tərifinə görə:

Beləliklə, ixtiyari radiusun başlanğıcında mərkəzi olan bir dairə vəziyyətində sinusα bucağı P α nöqtəsinin ordinatının radiusun uzunluğuna nisbətidir.

Kosinusα bucağı P α nöqtəsinin absisinin radiusun uzunluğuna nisbətidir.

Tangensα bucağı P α nöqtəsinin ordinatının onun absissinə nisbətidir.

Kotangentα bucağı P α nöqtəsinin absissinin onun ordinatına nisbətidir.

Sinus, kosinus, tangens və kotangensin dəyərləri yalnız α dəyərindən asılıdır və R radiusunun uzunluğundan asılı deyildir (bu, dairələrin oxşarlığından irəli gəlir).

Buna görə də R=1 seçmək rahatdır.

Başında mərkəzi və radiusu R=1 olan çevrə vahid çevrə adlanır.

Təriflər

1) Sinusα bucağı vahid dairənin P α (x;y) nöqtəsinin ordinatı adlanır:

2) Kosinusα bucağı vahid çevrənin P α (x;y) nöqtəsinin absisi adlanır:

3) Tangensα bucağı P α (x;y) nöqtəsinin ordinatının onun absissinə nisbətidir, yəni sinα ilə kosα nisbətidir (burada cosα≠0):

4) Kotangentα bucağı P α (x;y) nöqtəsinin absissinin onun ordinatına nisbəti, yəni kosα ilə sinα nisbətidir (burada sinα≠0):

Bu şəkildə təqdim edilən təriflər bizə yalnız bucaqların triqonometrik funksiyalarını deyil, həm də ədədi arqumentlərin triqonometrik funksiyalarını (əgər sinα, cosα, tanα və ctgα-nı α radyanlarında bucağın uyğun triqonometrik funksiyaları kimi qəbul etsək, nəzərə almağa imkan verir. α ədədinin sinusu α radyanla bucağın sinusu, α ədədinin kosinusu α radyanla bucağın kosinusudur və s.).

Triqonometrik funksiyaların xassələri 10 və ya 11-ci siniflərdə cəbr kursunda ayrıca mövzu kimi öyrənilir. Triqonometrik funksiyalar fizikada geniş istifadə olunur.

Kateqoriya: |